One Property of Ring Q-Homeomorphisms With Respect to a p-Module
We establish sufficient conditions for a ring Q-homeomorphisms in \( {{\mathbb{R}}^n} \) , n ≥ 2, with respect to a p-module with n − 1
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2457 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508349017096192 |
|---|---|
| author | Salimov, R. R. Салимов, Р. Р. Салимов, Р. Р. |
| author_facet | Salimov, R. R. Салимов, Р. Р. Салимов, Р. Р. |
| author_sort | Salimov, R. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:15:53Z |
| description | We establish sufficient conditions for a ring Q-homeomorphisms in \( {{\mathbb{R}}^n} \) , n ≥ 2, with respect to a p-module with n − 1 |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. Р. Салимов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ
ОТНОСИТЕЛЬНО p-МОДУЛЯ
We establish a sufficient condition for the ring Q-homeomorphisms in Rn, n ≥ 2, with respect to a p-module for
n− 1 < p < n to possess the finite Lipschitz property. We construct an example of a ring Q-homeomorphism with respect
to a p-module at a fixed point that does not possess the finite Lipschitz property.
Знайдено достатню умову скiнченної лiпшицевостi кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв в Rn, n ≥ 2, вiдносно p-модуля
при n− 1 < p < n. Наведено приклад кiльцевого Q-гомеоморфiзму вiдносно p-модуля у фiксованiй точцi, що не є
скiнченно лiпшицевим.
1. Введение. Напомним некоторые определения. Борелева функция % : Rn → [0,∞] называется
допустимой для семейства кривых Γ в Rn, n ≥ 2 (пишут % ∈ adm Γ, ) если∫
γ
%(x) ds(x) > 1
для всех γ ∈ Γ. Пусть p > 1. Тогда p-модулем семейства кривых Γ называется величина
Mp(Γ) = inf
%∈adm Γ
∫
Rn
%p(x) dm(x).
Здесь m обозначает меру Лебега в Rn.
Пусть G — область в Rn, n ≥ 2. Предположим, что n− 1 < p < n и
Mp(fΓ) ≤ KMp(Γ) (1)
для произвольного семейства Γ кривых γ в области G. При предположении, что f в (1) являет-
ся гомеоморфизмом, Герингом было установлено, что отображение f является липшицевым.
Другими словами, при некоторой постоянной C > 0 и всех x0 ∈ G справедлива оценка
lim sup
x→x0
|f(x)− f(x0)|
|x− x0|
6 C
(см., например, теорему 2 в [1]).
2. О кольцевых Q-гомеоморфизмах относительно p-модуля. Всюду далее B(x0, r) =
=
{
x ∈ Rn : |x−x0| < r
}
, Bn = B(0, 1), ωn−1 — площадь единичной сферы Sn−1 в Rn. Пусть
Q : G → [0,∞] — измеримая функция. Для любого измеримого множества E ⊂ Rn и числа
r > 0 обозначим
−
∫
E
Q(x)dm(x) =
1
m(E)
∫
E
Q(x) dm(x),
qx0(r) =
1
ωn−1rn−1
∫
S(x0,r)
Q(x)dA(x),
где S(x0, r) =
{
x ∈ Rn : |x− x0| = r
}
, а dA(x) — элемент площади поверхности.
c© Р. Р. САЛИМОВ, 2013
728 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОТНОСИТЕЛЬНО p-МОДУЛЯ 729
Напомним следующие определения. Пусть E, F ⊆ Rn — произвольные множества. Обо-
значим через ∆(E,F ;G) семейство всех кривых γ : [a, b] → Rn, которые соединяют E и F
в G, т. е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ G при a < t < b. Пусть x0 ∈ G, d0 = dist(x0, ∂G)
и Q : G → [0,∞] — измеримая по Лебегу функция. Для любых r1 и r2, 0 < r1 < r2 < ∞,
обозначим
R(x0, r1, r2) =
{
x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2
}
,
Sri = S(x0, ri), i = 1, 2.
Будем говорить, что гомеоморфизм f : G → Rn является кольцевым Q-гомеоморфизмом
относительно p-модуля в точке x0 ∈ G, 1 < p ≤ n, если соотношение
Mp
(
∆(fSr1 , fSr2 ; fG)
)
≤
∫
R(x0,r1,r2)
Q(x) · ηp
(
|x− x0|
)
dm(x) (2)
выполнено для любого кольца R(x0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < d0, и для каждой измеримой
функции η : (r1, r2)→ [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr ≥ 1.
Говорят, что гомеоморфизм f : G→ Rn является кольцевым Q-гомеоморфизмом относительно
p-модуля в области G, если условие (2) выполнено для всех точек x0 ∈ G.
В дальнейшем будем придерживаться следующих стандартных соглашений: a/∞ = 0 для
a 6= ∞, a/0 = ∞ для a > 0 и 0 · ∞ = 0 (см., например, [2, с. 6]). Ниже приведен критерий
принадлежности классу кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля, который ранее
был установлен в работе [3] (см. теорему 2.3, а также теорему 1 в [4]).
Теорема 1. Пусть G — область в Rn и Q : G → [0,∞] — локально интегрируемая
функция. Гомеоморфизм f : G→ Rn является кольцевым Q-гомеоморфизмом относительно p-
модуля в точке x0 ∈ G тогда и только тогда, когда для любых 0 < r1 < r2 < d0 = dist (x0, ∂G)
выполняется
Mp (∆ (fSr1 , fSr2 ; fG)) ≤ ωn−1
Ip−1
,
где
I = I(x0, r1, r2) =
r2∫
r1
dr
r
n−1
p−1 q
1
p−1
x0 (r)
.
Отметим также, что инфимум в выражении справа в (2) достигается для функции
η0(r) =
1
Ir
n−1
p−1 q
1
p−1
x0 (r)
.
Развиваемая в работе теория кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля приме-
нима, в частности, к отображениям, квазиконформным в среднем (см. [5]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
730 Р. Р. САЛИМОВ
3. Предварительные замечания. Следуя работе [6], пару E = (A,C), где A ⊂ Rn —
открытое множество и C — непустое компактное множество, содержащееся в A, называем
конденсатором. Конденсатор E называется кольцевым конденсатором, если B = A \ C —
кольцо, т. е. еслиB — область, дополнение которой Rn\B состоит в точности из двух компонент.
Говорят также, что конденсатор E = (A,C) лежит в области G, если A ⊂ G. Очевидно, что
если f : G → Rn — непрерывное открытое отображение и E = (A,C) — конденсатор в G, то
(fA, fC) также конденсатор в fG. Далее fE = (fA, fC).
Функция u : A → R абсолютно непрерывна на прямой, имеющей непустое пересечение с
A, если она абсолютно непрерывна на любом отрезке этой прямой, заключенном в A. Функция
u : A→ R принадлежит классу ACL (абсолютно непрерывна на почти всех прямых), если она
абсолютно непрерывна на почти всех прямых, параллельных любой координатной оси.
Обозначим через C0(A) множество непрерывных функций u : A → R1 с компактным но-
сителем, W0(E) = W0(A,C) — семейство неотрицательных функций u : A → R1 таких, что:
1) u ∈ C0(A), 2) u(x) > 1 для x ∈ C и 3) u принадлежит классу ACL . Также обозначим
|∇u| =
(
n∑
i=1
(
∂u
∂xi
)2
)1/2
.
При p > 1 величину
capp E = capp(A,C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|p dm(x)
называют p-емкостью конденсатора E . В дальнейшем при p > 1 будем использовать равенство
(см. [7 – 9])
capp E = Mp
(
∆(∂A, ∂C;A \ C)
)
. (3)
Известно, что при 1 < p < n
capp E > nν
p
n
n
(
n− p
p− 1
)p−1 [
m(C)
]n−p
n , (4)
где νn — объем единичного шара в Rn (см., например, неравенство (8.9) в [10]).
При n− 1 < p ≤ n имеет место оценка
(capp E)n−1 ≥ γ
d(C)p
m(A)1−n+p
. (5)
Здесь d(C) — диаметр компакта C, γ — положительная постоянная, зависящая только от раз-
мерности n и p (см. предложение 6 в [11]).
4. Конечная липшицевость кольцевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля.
Для непрерывного отображения f : G→ Rn и x ∈ G ⊆ Rn положим
L(x, f) = lim sup
y→x
|f(y)− f(x)|
|y − x|
.
Говорят, что отображение f является конечно липшицевым, если
L(x, f) <∞
для всех x ∈ G.
Ниже приведена лемма о достаточном условии локальной липшицевости в точке для коль-
цевых Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля при n− 1 < p < n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОТНОСИТЕЛЬНО p-МОДУЛЯ 731
Лемма . ПустьG иG′ — области в Rn, n > 2, Q : G→ [0,∞] — локально интегрируемая
функция и f : G→ G′ — кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-модуля в точке x0 ∈ G с
условием
Q0 = lim sup
ε→0
−
∫
B(x0,ε)
Q(x)dm(x) <∞.
Тогда при n− 1 < p < n имеем
L(x0, f) = lim sup
x→x0
∣∣f(x)− f(x0)|
|x− x0
∣∣ ≤ λn,pQ
1
n−p
0 ,
где λn,p — положительная постоянная, зависящая только от n и p.
Доказательство. Рассмотрим сферическое кольцо R = R(x0, ε1, ε2) с 0 < ε1 < ε2 та-
кое, что R(x0, ε1, ε2) ⊂ G. Тогда
(
fB (x0, ε2) , fB (x0, ε1)
)
— кольцевой конденсатор в G′ и,
согласно (3), имеем равенство
capp (fB(x0, ε2), fB(x0, ε1)) = Mp
(
4(∂fB(x0, ε2), ∂fB(x0, ε1); fR)
)
,
а в силу гомеоморфности f — равенство
4 (∂fB (x0, ε2) , ∂fB (x0, ε1) ; fR) = f
(
4 (∂B(x0, ε2), ∂B(x0, ε1);R)
)
.
Рассмотрим функцию
η(t) =
1
ε2 − ε1
, t ∈ (ε1, ε2),
0, t ∈ R \ (ε1, ε2).
В силу определения кольцевого Q-гомеоморфизма относительно p-модуля замечаем, что
capp (fB(x0, ε2), fB(x0, ε1)) ≤ 1
(ε2 − ε1)p
∫
R(x0,ε1,ε2)
Q(x) dm(x). (6)
Далее, выбирая ε1 = 2ε и ε2 = 4ε, получаем
capp(fB(x0, 4ε), fB(x0, 2ε)) ≤
1
(2ε)p
∫
B(x0,4ε)
Q(x) dm(x). (7)
С другой стороны, в силу неравенства (4) следует оценка
capp(fB(x0, 4ε), fB(x0, 2ε)) ≥ Cn,p
[
m
(
fB(x0, 2ε)
)]n−pn
, (8)
где Cn,p — положительная постоянная, зависящая только от размерности пространства n и p.
Комбинируя (7) и (8), имеем
m
(
fB(x0, 2ε)
)
m
(
B(x0, 2ε)
) 6 cn,p
−
∫
B(x0,4ε)
Q(x) dm(x)
n
n−p
, (9)
где cn,p — положительная постоянная, зависящая только от n и p.
Далее, выбирая в (6) ε1 = ε и ε2 = 2ε, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
732 Р. Р. САЛИМОВ
capp (fB(x0, 2ε), fB(x0, ε)) ≤
1
εp
∫
B(x0,2ε)
Q(x) dm(x). (10)
С другой стороны, в силу неравенства (5) имеем
capp (fB(x0, 2ε), fB(x0, ε)) ≥
(
C̃n,p
dp
(
fB(x0, ε)
)
m1−n+p(fB(x0, 2ε))
) 1
n−1
, (11)
где C̃n,p — положительная постоянная, зависящая только от n и p.
Комбинируя (10) и (11), получаем
d
(
fB(x0, ε)
)
ε
≤ γn,p
(
m
(
fB(x0, 2ε)
)
m
(
B(x0, 2ε)
) )1−n+p
p
−
∫
B(x0,2ε)
Q(x) dm(x)
n−1
p
.
Эта оценка вместе с (9) дает неравенство
d
(
fB(x0, ε)
)
ε
≤ λn,p
−
∫
B(x0,4ε)
Q(x) dm(x)
n(1−n+p)
p(n−p)
−
∫
B(x0,2ε)
Q(x) dm(x)
n−1
p
.
Переходя к верхнему пределу при ε→ 0, находим
L(x0, f) = lim sup
x→x0
∣∣f(x)− f(x0)
∣∣
|x− x0|
≤ lim sup
ε→0
d
(
fB(x0, ε)
)
ε
≤ λn,pQ
1
n−p
0 ,
где λn,p — положительная постоянная, зависящая только от n и p.
Теорема 2. Пусть G и G′ — области в Rn, Q : G → [0,∞] — локально интегрируемая
функция и f : G→ G′ — кольцевой Q-гомеоморфизм относительно p-модуля при n−1 < p < n
с условием
lim sup
ε→0
−
∫
B(x0,ε)
Q(x) dm(x) <∞ ∀x0 ∈ G.
Тогда гомеоморфизм f является конечно липшицевым.
Замечание. В соответствии с леммой 10.6 в [12] конечно липшицевые отображения имеют
N -свойство относительно хаусдорфовых мер и, таким образом, являются абсолютно непрерыв-
ными на кривых и поверхностях.
Построим пример кольцевого Q-гомеоморфизма относительно p-модуля в фиксированной
точке, не являющегося конечно липшицевым.
Пример. Предположим, что n− 1 < p < n. Пусть f : Bn → Bn, где
f(x) =
x
|x|
1 +
n− p
p− 1
1∫
|x|
dt
t
n−1
p−1 ln
1
p−1 (e/t)
− p−1
n−p
при x 6= 0 и f(0) = 0. Покажем, что отображение, определенное таким образом, является
кольцевым Q-гомеоморфизмом относительно p-модуля с Q(x) = ln
e
|x|
в точке x0 = 0. Оче-
видно, что qx0(t) = ln
e
t
. Рассмотрим кольцо R = R(0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < 1. Заметим, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ КОЛЬЦЕВЫХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОТНОСИТЕЛЬНО p-МОДУЛЯ 733
отображение f преобразует кольцо R(0, r1, r2) в кольцо R̃ = R̃ (0, r̃1, r̃2) , где
r̃i =
1 +
n− p
p− 1
1∫
ri
dt
t
n−1
p−1 ln
1
p−1 (e/t)
−
p−1
n−p
, i = 1, 2.
Обозначим через Γ семейство всех кривых, соединяющих сферы S(0, r1) и S(0, r2) в кольце R.
Тогда p-модуль семейства кривых fΓ вычисляется в явном виде (см., например, соотношение (2)
в [1, c. 177])
Mp(fΓ) = ωn−1
(
p− 1
n− p
) 1
p−1
(
(r̃1)
p−n
p−1 − (r̃2)
p−n
p−1
)1−p
. (12)
Подставляя в (12) значения r̃1 и r̃2, определенные выше, получаем
Mp(fΓ) =
ωn−1∫ r2
r1
dt
t
n−1
p−1 ln
1
p−1 (e/t)
p−1 .
Следовательно, в силу теоремы 1 гомеоморфизм f является кольцевым Q-гомеоморфизмом
относительно p-модуля в точке x0 = 0 с Q(x) = ln
e
|x|
. Заметим, что
lim sup
ε→0
−
∫
B(x0,ε)
Q(x) dm(x) =∞.
Тем не менее, как легко проверить по правилу Лопиталя,
|f(x)|
|x|
→ ∞ при x → 0, т. е. гомео-
морфизм f не является липшицевым в нуле.
1. Gehring F. W. Lipschitz mappings and the p-capacity of ring in n-space // Adv. Theory Riemann Surfaces (Proc.
Conf. Stonybrook, New York, 1969), Ann. Math. Stud. – 1971. – 66. – P. 175 – 193.
2. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949.
3. Салимов Р. Р. Об оценке меры образа шара // Сиб. мат. журн. – 2012. – 53, № 6. – C. 920 – 930.
4. Салимов Р. Р. Локальное поведение обобщенных квазиизометрий // Доп. НАН України. – 2011. – 6. – C. 23 – 28.
5. Golberg A. Integrally quasiconformal mappings in space // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010. – 7,
№ 2. – C. 53 – 64.
6. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math. –
1969. – 448. – P. 1 – 40.
7. Gehring F. W. Quasiconformal mappings in complex analysis and its applications. – Vienna: Int. Atom. Energy
Agency, 1976. – Vol. 2.
8. Hesse J. A p-extremal length and p-capacity equality // Arch. mat. – 1975. – 13. – P. 131 – 144.
9. Shlyk V. A. On the equality between p-capacity and p-modulus // Sib. Mat. Zh. – 1993. – 34, № 6. – P. 216 – 221.
10. Maz’ya V. Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the theory of Sobolev spaces // Contemp.
Math. – 2003. – 338. – P. 307 – 340.
11. Кругликов В. И. Eмкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные в среднем // Мат.
сб. – 1986. – 130, № 2. – C. 185 – 206.
12. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory // Springer Monogr. Math. – New
York: Springer, 2009. – 367 p.
Получено 12.10.11,
после доработки — 09.01.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2457 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:47Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ef/8f42e8d86851a6c0849ddf6b285080ef.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24572020-03-18T19:15:53Z One Property of Ring Q-Homeomorphisms With Respect to a p-Module Об одном свойстве кольцевых Q -гомеоморфизмов относительно p -модуля Salimov, R. R. Салимов, Р. Р. Салимов, Р. Р. We establish sufficient conditions for a ring Q-homeomorphisms in \( {{\mathbb{R}}^n} \) , n ≥ 2, with respect to a p-module with n − 1 Знайдено достатню умову скінченної ліпшицевості кільцевих Q-гомєоморфізмів в \( {{\mathbb{R}}^n} \) , n ≥ 2, відносно p-модуля при n − 1 Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2457 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 5 (2013); 728–733 Український математичний журнал; Том 65 № 5 (2013); 728–733 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2457/1680 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2457/1681 Copyright (c) 2013 Salimov R. R. |
| spellingShingle | Salimov, R. R. Салимов, Р. Р. Салимов, Р. Р. One Property of Ring Q-Homeomorphisms With Respect to a p-Module |
| title | One Property of Ring Q-Homeomorphisms With Respect to a p-Module |
| title_alt | Об одном свойстве кольцевых Q -гомеоморфизмов относительно p -модуля |
| title_full | One Property of Ring Q-Homeomorphisms With Respect to a p-Module |
| title_fullStr | One Property of Ring Q-Homeomorphisms With Respect to a p-Module |
| title_full_unstemmed | One Property of Ring Q-Homeomorphisms With Respect to a p-Module |
| title_short | One Property of Ring Q-Homeomorphisms With Respect to a p-Module |
| title_sort | one property of ring q-homeomorphisms with respect to a p-module |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2457 |
| work_keys_str_mv | AT salimovrr onepropertyofringqhomeomorphismswithrespecttoapmodule AT salimovrr onepropertyofringqhomeomorphismswithrespecttoapmodule AT salimovrr onepropertyofringqhomeomorphismswithrespecttoapmodule AT salimovrr obodnomsvojstvekolʹcevyhqgomeomorfizmovotnositelʹnopmodulâ AT salimovrr obodnomsvojstvekolʹcevyhqgomeomorfizmovotnositelʹnopmodulâ AT salimovrr obodnomsvojstvekolʹcevyhqgomeomorfizmovotnositelʹnopmodulâ |