On the Average Value of a Generalized Pillai Function over $\mathbb{Z} [i]$ in the Arithmetic Progression
We construct an asymptotics relation for the average value of the generalized Pillai function in the arithmetic progression.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2460 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508356060381184 |
|---|---|
| author | Varbanets, P. D. Dadayan, Z. Yu. Варбанец, П. Д. Дадаян, З. Ю. Варбанец, П. Д. Дадаян, З. Ю. |
| author_facet | Varbanets, P. D. Dadayan, Z. Yu. Варбанец, П. Д. Дадаян, З. Ю. Варбанец, П. Д. Дадаян, З. Ю. |
| author_sort | Varbanets, P. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:16:10Z |
| description | We construct an asymptotics relation for the average value of the generalized Pillai function in the arithmetic progression. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
© П. Д. ВАРБАНЕЦ, З. Ю. ДАДАЯН, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6 755
УДК 511.33
П. Д. Варбанец, З. Ю. Дадаян (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ ПИЛЛАИ
НАД ! [i] В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
We construct an asymptotic formula for the average value of the generalized Pillai function in an arithmetic progression.
Побудовано асимптотичну формулу для середнього значення узагальненої функції Піллаї в арифметичній прогресії.
Введение. В 30-х годах прошлого века индийский математик S. S. Pillai (см. [1]) подробно
изучал арифметическую функцию натурального аргумента
P(n) = (k, n)
k=1
n
! , (1)
позже названную его именем.
Он доказал мультипликативность функции (1), получил формулы для ее вычисления,
показал разложимость ее в произведение Дирихле. Кроме того, обнаружил ряд других нетри-
виальных свойств.
За последние несколько лет K. A. Broughan и O. Bordelles опубликовали ряд статей со
своими результатами [2, 3], где существенно продвинулись в изучении функции (1). В част-
ности, ими были получены асимптотические формулы для сумматорной функции
P(n)
nan!x
" ,
где a — фиксированный вещественный параметр, а x! " .
Мы обобщим (1) на целые гауссовые числа, задав ее в следующем виде:
g(!) := N ((",!))
" (mod!)
# , (2)
причем суммирование, как и отмечалось, проводится по всем неассоциированным ! по моду-
лю !.
Цель настоящей статьи — получить асимптотическую формулу для суммы
G(x;!0, " ) := g(!)
!#!0 (mod " )
N (!)$x
% , (3)
где (!0, " ) = 1 и N (! ) увеличивается вместе с x .
1. Вспомогательные утверждения. Введем следующие обозначения: ![i]— кольцо
целых гауссовых чисел; N (!) = ! 2 — норма целого гауссового !; (!, ") — наибольший
общий делитель ! , ! ; ! — простое гауссовое;
R! = " #![i] | "{ образует полную сис-
756 П. Д. ВАРБАНЕЦ, З. Ю. ДАДАЯН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
тему вычетов по модулю ! в ![i]} ; R!*— приведенная система вычетов по модулю !;
!(")— функция числа делителей над ![i] ; !(")— функция Эйлера над ![i] ; µ(!)— функ-
ция Мебиуса над ![i] ; !" (#)— групповой характер по модулю ! целого ! "![i] ; Id—
«тождественная» функция, т. е. Id(!) = N (!) ; f ! h — свертка Дирихле функций f и h
над ![i] :
f * h(!) = f (")
"|!
# h !
"
$
%&
'
() ,
причем суммирование здесь и всюду в настоящей статье проводится по всем неассоцииро-
ванным делителям.
Известно [4], что для Re s > 2
g(!)
N s (!)!"![i]
# =
Z 2 (s $ 1)
Z(s)
. (4)
Тогда для Re s > 2
g(!)
N s (!)!"![i]
!#!0 (mod $ )
% =
Z 2 (s & 1)
Z(s)
=
!1 !2!3#!0 (mod $ )
(!0 , $ )=1
%
= N !s (" ) Z !1 s; #3
"
, 0
$
%&
'
()#3*R"*
+ N (" )( )!2(s!1)
#1 #2 ,#0#3!1 (mod " )
+ Z s ! 1; #1
"
, 0
$
%&
'
()
=
= f (s;!3, " )
!#!3 (" )
$
!3%R"*
$ N (" )( )&2(s&1)
!1 !2 #!0!3&1 (mod " )
$ Z s & 1; !1
"
, 0
'
()
*
+,
Z s & 1; !2
"
, 0
'
()
*
+,
=
= f (s;!3," ) N (" )( )#2(s#1)
Z s #1;
!1
"
,0
$
%&
'
()!1 ,!2*R"
*
!1!2+!0!3
#1 (mod" )
,
!3*R"
*
, Z s #1;
!2
"
,0
$
%&
'
()
, (5)
где
Z s; !0, !1( ) =
e2"i Re(!1#)
N s (# + !0 )
#$![i]
#%&!0
' (здесь !0 и !1 гауссовые (необязательно целые)),
а функция f (s;!3, " ) определена рядом
f (s;!3, " ) :=
µ(#)
N s (#)#$![i]
#%!3 (mod " )
& . (6)
Лемма 1. Пусть !0 , ! "![i] , N (!0 ) " N (# ) , a(!) и b(!) — две комплекснознач-
ные функции, определенные на ![i] , причем a(!) " #(N (!)), где !(u) > 0. Предполо-
жим еще, что ряды Дирихле
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ ПИЛЛАИ НАД ! [i] … 757
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
A(s;!0 ) =
a(")
N s (")"#![i]
"$!0 (mod % )
& ,
B(s) =
b(!)
N s (!)!"![i]
#
абсолютно сходятся при Re s ! "a и Re s ! "a # 1 соответственно. Тогда для любых
вещественных чисел c > !a и T > 1 имеем
a(!)
!|"
#
"$!0 (mod % )
N (")&x
# b
"
!
'
()
*
+, =
1
2-i
B(s) A(s) . /(0)
N s (0)01B
#
'
(
)
*
+
,
c.iT
c+iT
2
xs
s
ds + R(x,T , % ) (7)
при x ! " ,
где
R(x,T , ! ) ! xc
TN (! ) (c " #a )l
+
x$(x)
TN (! )
+ $(x) , (8)
B := {!0, !0 ± 1, !0 ± i} .
Это утверждение является аналогом формулы Перрона на арифметической прогрессии и
доказывается аналогичным образом.
Пусть m !! , !0 , !1 "![i] . Рассмотрим Z -функцию Гекке с Grossencharacter
!m (") = e4mi arg! , определяемую для Re s > 1 следующим абсолютно сходящимся рядом:
Zm (s; !0, !1) = "m
#$![i]
% (# + !0 )
e2&i Re(#!1)
N s (# + !0 )
. (9)
Лемма 2. Функция Zm (s; !0, !1) целая, если m ! 0 или m = 0 , !1 — нецелое гауссо-
вое число; для m = 0 , !1 "![i] Zm (s; !0, !1) голоморфна во всей комплексной s -плос-
кости, кроме точки s = 1 , где она имеет полюс первого порядка с вычетом ! . Кроме
того, справедливо функциональное уравнение
!"s#(s+ | 2m |)Zm (s; $0, $1) = !"(1"s)#(1" s+ | 2m |)e"2!i Re($0$1)Z"m (1" s; $1, " $0 ) . (10)
Для !0 = !1 = 0 имеем стандартную Z -функцию Гекке с Grossencharacter !m , а при
m = 0 получаем дзета-функцию Эпштейна квадратичной формы Q(u, v) = u2 + v2 .
Для !1 , !2 "![i] обозначим
!("1,"2; # ) := e
2$i Re %1"1+%2"2
#
&
'(
)
*+
%1,%2 (mod # )
%1%2 ,%0 (mod # )
- . (11)
758 П. Д. ВАРБАНЕЦ, З. Ю. ДАДАЯН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
Ясно, что при (!0, " ) = 1 имеем
!("1,"2; # ) = K ("1,$0"2; # ) ,
где K (!,"; # ) — сумма Клостермана над кольцом ![i] , для которой известна оценка
K (!,"; # ) ! $(# )N1/2 ((!,", # ))N1/2 (# ) . (12)
Пусть ! , !0 , ! — целые гауссовые числа, (!0, " ) = 1 . Для Re s = ! > 1 определим
функции
f0 (s;!) = N "s (#)
#
#$! (mod % )
& , (13)
g0 (s;!) = µ(")N #s (")
"
"$! (mod % )
& , (14)
F0 (s;!0 ) = f0 (s;!1)
!1,!2"R#*
!1 !2 $!0 (mod # )
% f0 (s;!2 ) . (15)
Ясно, что
f0 (s;!) = N "s (# )Z0 s; !
#
, 0$
%&
'
()
,
(16)
F0 (s;!0 ) =
"(#)
N s (#)#
#$!0 (mod % )
& .
Обозначим еще
F0*(s;!0 ) = F0 (s;!0 ) "
#($)
N s ($)$%B
& , (17)
где B := {!0, !0 ± 1, !0 ± i} .
Лемма 3. В прямоугольнике ! " # Re s # 1+ " , 3 ! Im s ! T справедлива оценка
F0
*(s;!0 ) !" N (# )( )
1$3%
2
+4"
T 2(1$%+4") . (18)
Доказательство. На прямой Re s = 1+ !
F0
*(s;!0 ) ! N "1"# ($ ) .
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ ПИЛЛАИ НАД ! [i] … 759
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
На прямой Re s = !" будем использовать функциональное уравнение (см. лемму 1), фор-
мулу Стирлинга для ! -функции и оценки сумм Клостермана. Тогда получим
F0 (!" + it; # ) ! t 2(1+2") N !1!" ($)
$
% &($1,$2; # )
$1$2 =$
% + N " (# ) !
! !(" )N1/2 (" ) N1/2 (#)!(#$)
N1+% (#$)$
& t 2(1+2%) !
#|"
& T 2(1+2%)N1/2+% (" ) .
Теперь утверждение леммы следует в силу принципа Фрагмена – Линделефа, примененного
к регулярной в полосе !" # Re s # 1+ " функции s ! 1
s + 1
"
#$
%
&'
2
F0 (s;(0 ) .
Лемма 4. Пусть s = ! + it , 0 < ! " 2 , и ! — комплексное число с arg ! = arg s . Су-
ществует постоянная T0 > 0 такая, что для s ! T0
f (s;!) := N "s (#)
#
#$! (% )
& = N "s (#)
#
#$! (% )
N (#)'U
& (* s; )N (#)*
N1/2 (% )
+
,-
.
/0
+
+
!1"s
N s (# )
$(1" s)
$(s)
N s"1(%)$* 1" s; !N (%)
&N1/2 (# )
'
()
*
+,
e"2!i Re -%/#( )
%
N (%).V
/ , (19)
где
!*(z; Z ) = l +O exp "c1
Z
z
#
$%
&
'(
Z
Im(z)
Re(z)
1+ Im(z) 1/2 " c2 Z
Im(z) 1/2
#
$
%
&
'
(
"1#
$
%
%
&
'
(
(
#
$
%
%
&
'
(
(
,
l =
1, esly Z ! z ,
0, esly Z > z ,
"
#
$
%$
c1 , c2 > 0 — абсолютные постоянные,
U = u ! (1+ M log u) , u =
N1/2 (! ) s
" #
,
V = v ! (1+ M log v) , v =
N1/2 (! ) s "
#
,
M > 0 — фиксированное число, а постоянная в символе ,,O” не зависит от ! , ! , s , ! .
Это утверждение является специальным случаем теоремы Лаврика [5] о приближенных
функциональных уравнениях для рядов Дирихле. Для этого достаточно рассмотреть ряды
760 П. Д. ВАРБАНЕЦ, З. Ю. ДАДАЯН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
Дирихле
f (s) = an
n=1
!
" n#s , !(s) = bn
n=1
"
# n$s ,
где an = 1!"# ($ )
N (!)=n
% ,
bn = e!2"i Re #$/%( )
N ($)=n& , и заметить, что (в силу леммы 2)
As!(s) f (s) = "A1#s!(1# s)$(1# s)
с A =
1
!
N1/2 (" ) , ! = N "1/2 (# ) .
Следствие. В обозначениях леммы 4 с ! = s N "1/2 (# ) $ имеем
f (s;!) = N "s (#)
#$B
% +
&1"s
N s (' )
((1" s)
((s)
N s"1()) e"2&i Re !)/'( )
)
N ())*V0
% +
+ O N !1/2 (" ) log( s N (" ))( ) +O t !M +2( ) , (20)
где M ! 4 фиксировано, V0 = s 2 log s .
Пусть (!0, " ) = 1. Рассмотрим функцию
F(s;!0 ) =
"(!)
N s (!)!#!0 (mod $ )
% = f (s;!1)
!1,!2
!1!2 #!0 (mod $ )
% f (s;!2 ) .
Вычислим вычет в точке s = 2 функции
!0 (s) :=
g(")
N s (")"#![i]
"$"0 (mod % )
& = g0 (s;"3)F(s ' 1;"0 )
"3#R%*
& . (21)
Рассмотрим Z -функцию Гекке с групповым характером
Z(s; !) =
!(("))
N s (")"
#
(здесь суммирование проводится по всем идеалам (!) кольца целых гауссовых чисел ![i]) .
Имеем
f0 (s;!) =
1
"(# )
$((!))
$ (mod # )
% Z(s; $) . (22)
Рассмотрим ряд Лорана для Z(s; !) :
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ ПИЛЛАИ НАД ! [i] … 761
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
Z(s; !) =
"(!)
s # 1
+ b0,$ (!) + b1,$ (!)(s # 1) +…. (23)
Поскольку Z(s) = 1
N s ((!))(!)" = #(s)L(s, $4 ) , имеем
Z(s; !0 ) = Z(s) 1" 1
N s (#)
$
%&
'
()#|*
+ =
,-(* )
N (* )
1
s " 1
+ b0,* (!0 ) + b1,* (!0 )(s " 1) +… , (24)
где b0,! ("0 ) =
#$(! )
N (! )
E + %L (1, "4 )
L(1, "4 )
+
log N (&)
N (&) ' 1&|!()
*+
,
-.
.
Отсюда
F0 (s;!3"1!0 ) =
#2$(% )
N 2 (% )
1
(s " 1)2
+
#
N (% )$(% )
b0, % (&)
&(mod % )
' &(!1) + &(!2 )( ) 1
s " 1
+… .
!1!2 (!3"1!0
'
(25)
Но
!("1) + !("2 )( )
"1, "2
"1"2 #"3$1"0 (% )
& ! = !
2'(% ), esly!!! = !0,
0 — v! ostal\n¥x !sluçaqx.
(
)
*
+*
Таким образом,
F0 (s;!3"1!0 ) =
#2$(% )
N 2 (% )
1
(s " 1)2
+
2#
N (% )
b0, % (&0 )
s " 1
+…. (26)
Далее в окрестности точки s = 2 в силу (14) имеем
g0 (s;!3) =
µ(")
N 2 (")"#![i]
"$!3 (mod % )
& +
µ(") log N (")
N 2 (")"#![i]
"$!3 (mod % )
& (s ' 1) +… .
Следовательно,
g0 (s;!3)
"#!3 (mod $ )
% =
µ(")
N 2 (")(", $ )=1
% +
µ(") log N (")
N 2 (")(", $ )=1
%
&
'
(
)
*
+ (s , 1) +… . (27)
Принимая во внимание, что два первых коэффициента в разложении (24) не зависят от !3 ,
получаем из (24), (25) значение вычета в точке s = 2 функции !0 (s) :
res
s=1
!0 (s) = A1(" )
#(" )
N 2 (" )
x2 log x + A0 (" )
#(" )
N 2 (" )
x2 , (28)
762 П. Д. ВАРБАНЕЦ, З. Ю. ДАДАЯН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
где A0 (! ) , A1(! ) ограничены сверху и снизу вычислимыми положительными постоян-
ными.
Теперь мoжно доказать основную теорему настоящей статьи.
2. Основные результаты. Поскольку функцию Пиллаи g(!) над кольцом ![i] можно
задать произведением Дирихле (см. [4])
g = µ * Id * Id ,
то
g(!) = N (!1)
!1!2!3=!
" N (!2 )µ(!3) .
Поэтому (см. обозначения (13) – (15)) получаем
!0 (s) :=
g(")
N s (")"#![i]
"$"0 (mod % )
& = f0 (s ' 1;"1) f0 (s ' 1;"2 ) g0 (s;"3)
"#![i]
"1"2"3$"0 (mod % )
& . (29)
Напомним, что мы рассматриваем случай (!0, " ) = 1 , поэтому (!1, " ) = (!2, " ) = (!3, " ) = 1 .
Теорема. Для целых !0 , ! "![i] , (!0, " ) = 1 , справедлива асимптотическая фор-
мула
G(x;!0, " ) := g(!) =
x2 log x
N (" )
c1
!#!0 (mod " )
N (!)$x
% (" ) + x2
N (" )
c0 (" ) +O x3/2+3& /2( ) , (30)
где
c1(! ) = 1" 1
N (#)
$
%&
'
()#|!
* 1" 1
N 2 (#)
$
%&
'
()
,
c0 (! ) = " #Z (2)
Z 2 (2)
1" 1
N 2 ($)
%
&'
(
)*
"1
+
1
Z(2)
log N ($)
N 2 ($) " 1$|!
+
$|!
+
(здесь и всюду в данной статье ! пробегает по всем неассоциированным делителям ! ) .
Доказательство. Пусть Re s > 2 . Из определения F0 (s;!3"1!0 ) следует
!0
* (s) =
µ("3)
N s ("3)"#"3 (mod $ )
% F*(s & 1;"3&1"0 ) =
"3'R$*
% g(()
N s (()(#"3&1"0 (mod $ )
N (()>N ("3$ )
%
"3'R$*
% .
Следовательно, в силу леммы 1 для c > 2 имеем
О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ОБОБЩЕННОЙ ФУНКЦИИ ПИЛЛАИ НАД ! [i] … 763
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
g(!) =
1
2"i
#0
* (s)
c$it
c+it
%
xs
s
ds +
!&'3$1'0 (mod ( )
N ('3( )<N (!))x
*
'3+R(*
*
+O xc
TN (! ) (c " 2)2
#
$%
&
'(
+O x)(x)
T N (! )
#
$%
&
'(
+O )(x)( ) . (31)
В интеграле (31) выполним замену s ! 1 на s и перенесем контур интегрирования на пря-
мую Re s = 1
2
. На основании леммы 3 вклад горизонтальных участков этого контура оцени-
вается как
1
T 1/2!"!c#1
Im(s) =T
max g0 (s + 1;$3) F*(s;$3#1$0 ) x"
$3%R&*
' !
1
T 1/2!"!c#1
Im(s) =T
max F*(s # 1;$) x" !
!
x3/2
4
N !1/4+2" (# ) + x2 log2 x
TN (# )
. (32)
Внутри контура интегрирования находится единственная особенность подынтегральной
функции, а именно: двойной полюс в точке s = 1 с вычетом, который определен равенст-
вом (28).
Осталось оценить интеграл
I := 1
2!i
g0 (s + 1;"3) F*(s;"3#1"0 )
xs+1
s + 1
ds
"3$R%*
&
1/2#iT
1/2+iT
' . (33)
Имеем
F*(s;!3"1!0 ) = f (s;!1) "
1
N s (#1)#1$B1
%
&
'
(
)
*
+ f (s;!2 ) "
1
N s (#2 )#2$B2
%
&
'
(
)
*
+ +
,
-
.
/.!1!2!30!0 (mod 1 )
%
+ f (s;!1) "
1
N s (#1)#1$B1
%
&
'
(
)
*
+
1
N s (#2 )#2$B2
% + f (s;!2 ) "
1
N s (#2 )#2$B2
%
&
'
(
)
*
+
1
N s (#1)#1$B1
% +
+ !(")
N s (")
#
1
N s ("1)"1$B1
% 1
N s ("2 )"2$B2
%
"$B
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.
/.
:= S(s) + S1(s) + S2 (s) + S3(s)( )
010203100 (mod 2 )
% ,
где B := {!3"1!0,!3"1!0 ± 1,!3"1!0 ± i} , B1 := {!1,!1 ± 1,!1 ± i} , B2 := {!2,!2 ± 1,!2 ± i} .
Слагаемое S3(s) дает вклад в интеграл в (33), равный O x3/2 logT log N (! )( ). Вклад
S1(s) и S2 (s) в интеграл I оценивается одинаково. В силу леммы 4 имеем
764 П. Д. ВАРБАНЕЦ, З. Ю. ДАДАЯН
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
1
2!i
g0 (s + 1;"3) S1(s)
xs
s
ds ! g0 (s + 1)
1
Re s=1/2
T
#
"3$R%*
&
1/2'iT
1/2+iT
# !
!
"#R$*
max N (%1)
%1
& '1/2 f (s;"2 ) '
1
N (%2 )%2
&
"1, "2
"1"2 ("'1"0 ($ )
& x3/2
s
dt !
!"R#*
! x
3/2
T
$
max f (s;!2 ) %
1
N s (&2 )&2
'
1
T
(
2
dt
t!1, !2
!1!2 )!%1!0 (# )
' !$ x3/2+$N $ (# ) . (34)
Наконец, вклад интеграла, содержащего S(s) , можно оценить, использовав неравенство
Коши – Шварца и лемму 4. Тогда получим
g0 (s + 1;!3) S(s)
xs+1
s + 1
ds !
!3"R#*
$
1
Re s=1/2
T
%
!"R#*
! x
3/2
max f (s;!1) $
1
N s (%1)%1
&
1
T
'
2
dt
t
f (s;!2 ) $
1
N s (%2 )%2
&
1
T
'
2
dt
t
(
)
*
*
+
,
-
-!1, !2
!1!2 .!$1!0 (# )
&
1/2
!
! x3/2T !N ! (" ) . (35)
Теперь из (31) – (35) следует утверждение теоремы, если положить T =
x1/2
N (! )
.
В заключение заметим, что в основной теореме полученная оценка нетривиальна для всех
N (! ) = o x1/2!"( ) , а остаточный член может быть улучшен, если при оценке интеграла I
использовать укороченные уравнения для f (s;!) и применить метод стационарной фазы.
Кроме того, доказанная теорема легко распространяется и на случай (!0, " ) > 1 .
1. Pillai S. S. On an arithmetic functions // J. Annamalai Univ. – 1937. – 2. – P. 243 – 248.
2. Bordelles O. A note on the average order of the gcd-sum function // J. Integer Sequences. – 2007. – 10. – Arti-
cle 07.3.3.
3. Broughan K. A. The gcd-sum function // J. Integer Sequences. – 2001. – 4. – Article 01.2.2.
4. Дадаян З. Ю. Обобщенная функция Пиллаи // Вестн. Одес. нац. ун-та. – 2011. – 16, вып. 16.
5. Лаврик А. Ф. О приближенных уравнениях для функций Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1968. – 32,
№ 1. – C. 134 – 185.
Получено 28.05.12
|
| id | umjimathkievua-article-2460 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:54Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a8/034bb47a7a9724e5217880208b9856a8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24602020-03-18T19:16:10Z On the Average Value of a Generalized Pillai Function over $\mathbb{Z} [i]$ in the Arithmetic Progression О среднем значении обобщенной функции Пиллаи над $\mathbb{Z} [i]$ в арифметической прогрессии Varbanets, P. D. Dadayan, Z. Yu. Варбанец, П. Д. Дадаян, З. Ю. Варбанец, П. Д. Дадаян, З. Ю. We construct an asymptotics relation for the average value of the generalized Pillai function in the arithmetic progression. Побудовано асимптотичну формулу для середнього значення узагальненої функції Піллаї в арифметичній прогресії. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2460 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 6 (2013); 755–764 Український математичний журнал; Том 65 № 6 (2013); 755–764 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2460/1686 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2460/1687 Copyright (c) 2013 Varbanets P. D.; Dadayan Z. Yu. |
| spellingShingle | Varbanets, P. D. Dadayan, Z. Yu. Варбанец, П. Д. Дадаян, З. Ю. Варбанец, П. Д. Дадаян, З. Ю. On the Average Value of a Generalized Pillai Function over $\mathbb{Z} [i]$ in the Arithmetic Progression |
| title | On the Average Value of a Generalized Pillai Function over $\mathbb{Z} [i]$ in the Arithmetic Progression |
| title_alt | О среднем значении обобщенной функции Пиллаи над
$\mathbb{Z} [i]$ в арифметической прогрессии |
| title_full | On the Average Value of a Generalized Pillai Function over $\mathbb{Z} [i]$ in the Arithmetic Progression |
| title_fullStr | On the Average Value of a Generalized Pillai Function over $\mathbb{Z} [i]$ in the Arithmetic Progression |
| title_full_unstemmed | On the Average Value of a Generalized Pillai Function over $\mathbb{Z} [i]$ in the Arithmetic Progression |
| title_short | On the Average Value of a Generalized Pillai Function over $\mathbb{Z} [i]$ in the Arithmetic Progression |
| title_sort | on the average value of a generalized pillai function over $\mathbb{z} [i]$ in the arithmetic progression |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2460 |
| work_keys_str_mv | AT varbanetspd ontheaveragevalueofageneralizedpillaifunctionovermathbbziinthearithmeticprogression AT dadayanzyu ontheaveragevalueofageneralizedpillaifunctionovermathbbziinthearithmeticprogression AT varbanecpd ontheaveragevalueofageneralizedpillaifunctionovermathbbziinthearithmeticprogression AT dadaânzû ontheaveragevalueofageneralizedpillaifunctionovermathbbziinthearithmeticprogression AT varbanecpd ontheaveragevalueofageneralizedpillaifunctionovermathbbziinthearithmeticprogression AT dadaânzû ontheaveragevalueofageneralizedpillaifunctionovermathbbziinthearithmeticprogression AT varbanetspd osrednemznačeniiobobŝennojfunkciipillainadmathbbzivarifmetičeskojprogressii AT dadayanzyu osrednemznačeniiobobŝennojfunkciipillainadmathbbzivarifmetičeskojprogressii AT varbanecpd osrednemznačeniiobobŝennojfunkciipillainadmathbbzivarifmetičeskojprogressii AT dadaânzû osrednemznačeniiobobŝennojfunkciipillainadmathbbzivarifmetičeskojprogressii AT varbanecpd osrednemznačeniiobobŝennojfunkciipillainadmathbbzivarifmetičeskojprogressii AT dadaânzû osrednemznačeniiobobŝennojfunkciipillainadmathbbzivarifmetičeskojprogressii |