On One Class of Factorizable Fundamental Inverse Monoids
Let G be an arbitrary group of bijections on a finite set and let I(G) denote the set of all partial injective transformations each of which is included in a bijection from G. The set I(G) is a fundamental factorizable inverse semigroup. We study various properties of the semigroup I(G). In particul...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2462 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508355500441600 |
|---|---|
| author | Derech, V. D. Дереч, В. Д. |
| author_facet | Derech, V. D. Дереч, В. Д. |
| author_sort | Derech, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:16:10Z |
| description | Let G be an arbitrary group of bijections on a finite set and let I(G) denote the set of all partial injective transformations each of which is included in a bijection from G. The set I(G) is a fundamental factorizable inverse semigroup. We study various properties of the semigroup I(G). In particular, we describe the automorphisms of I(G) and obtain necessary and sufficient conditions for each stable order on I(G) to be fundamental or antifundamental. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:23:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.534.5
В. Д. Дереч (Вiнниц. нац. техн. ун-т)
ПРО ОДИН КЛАС РОЗКЛАДНИХ
I ФУНДАМЕНТАЛЬНИХ IНВЕРСНИХ МОНОЇДIВ
Let G be an arbitrary group of bijections on a finite set. Let I(G) denote the set of all partial injective transformations each
of which is included in a bijection from G. The set I(G) is a fundamental factorizable inverse semigroup. We investigate
different properties of the semigroup I(G). In particular, we describe automorphisms of I(G) and obtain necessary and
sufficient conditions for each stable order on I(G) to be fundamental or antifundamental.
Пусть G — произвольная группа биекций на конечном множестве. Обозначим через I(G) множество всех частичных
инъективных преобразований, каждое из которых включается в биекцию из G. I(G) является фундаментальной и
разложимой инверсной полугруппой. В данной статье изучаются различные свойства полугруппы I(G). В част-
ности, описаны автоморфизмы I(G) и найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы каждый
стабильный порядок на I(G) был фундаментальным или антифундаментальным.
Iнверсний моноїд S називається розкладним, якщо S = GE, де G i E — вiдповiдно група
оборотних елементiв i напiврешiтка iдемпотентiв моноїда S. Вiдомо, що iнверсний моноїд є
розкладним тодi i лише тодi, коли для довiльного елемента x iснує елемент g ∈ G такий,
що x ≤ g. Систематичне вивчення розкладних iнверсних моноїдiв започатковано у статтi [1].
На сьогоднi це досить розвинена галузь теорiї iнверсних напiвгруп, основнi результати якої
можна знайти в оглядовiй статтi [2]. Нехай Sn — симетрична група на n-елементнiй множинi
N = {1, 2, 3, . . . , n}. Розглянемо множину всiх iн’єкцiй на N, кожна з яких включається в деяку
бiєкцiю множини N. Зрозумiло, що таким чином (вiдносно звичайної операцiї композицiї) ми
одержуємо симетричну iнверсну напiвгрупу ISn. Очевидно, що ця проста конструкцiя легко
узагальнюється на довiльну групуG перестановок скiнченної множини. Вiдповiдний iнверсний
моноїд далi позначатимемо через I(G). Очевидно, що моноїд I(G) є розкладним. У статтi [3]
дослiджуються властивостi iнверсної напiвгрупи I(An), де An — альтернативна група. У стат-
тi [2] викладено загальний метод одержання багатьох типiв розкладних моноїдiв у виглядi
гомоморфного образу напiвпрямого добутку напiврешiтки i групи. Зокрема, напiвгрупу I(G)
теж можна одержати таким чином. Конкретизуючи (з деякими вiдмiнностями) загальнi виклад-
ки зi статтi [2], покажемо як це робиться. Отже, нехай X — скiнченна множина. Позначимо
через BX напiвгрупу всiх бiнарних вiдношень на множинi X. Нехай G — довiльна група бiєкцiй
множини X. Через ∆A позначимо вiдношення рiвностi на множинi A (A ⊆ X), а через E —
множину {∆A : A ⊆ X}. Очевидно, що E — напiврешiтка вiдносно звичайної операцiї компо-
зицiї бiнарних вiдношень, яка, зрозумiло, iзоморфна напiврешiтцi всiх пiдмножин множини X
вiдносно операцiї перетину ∩. Далi, визначимо дiю групи G на напiврешiтцi E. А саме, нехай
∆A ∈ E i f ∈ G. За означенням ∆Af = f−1 ◦∆A ◦ f, де через ◦ позначено звичайну операцiю
композицiї бiнарних вiдношень. Легко перевiрити, що для будь-яких A та B (A ⊆ X,B ⊆ X) i
довiльних f, ϕ ∈ G виконуються такi властивостi:
1) ∆A∆X = ∆A;
2) ∆Af ◦ ϕ = (∆Af)ϕ;
3) (∆A ◦∆B)f = ∆Af ◦∆Bf.
c© В. Д. ДЕРЕЧ, 2013
780 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ПРО ОДИН КЛАС РОЗКЛАДНИХ I ФУНДАМЕНТАЛЬНИХ IНВЕРСНИХ МОНОЇДIВ 781
Дiя групи G на напiврешiтцi E дозволяє нам звичайним чином визначити напiвпрямий
добуток GnE, а саме, (f,∆A)(ξ,∆B) = (f ◦ξ, ξ−1◦∆A◦ξ◦∆B). Легко перевiрити, що функцiя
F : (f,∆A) 7→ f ◦∆A є гомоморфiзмом моноїда GnE на iнверсний моноїд I(G). В данiй статтi
ми вивчаємо деякi властивостi напiвгрупи I(G). Зокрема, в пунктi 2 з’ясовуються умови, за
яких будь-який стабiльний порядок на I(G) є фундаментальним або антифундаментальним. У
пунктi 3 дано опис групи автоморфiзмiв моноїда I(G).
1. Фундаментальнiсть iнверсного моноїда I(G). Iнверсна напiвгрупа називається фунда-
ментальною, якщо будь-яка конгруенцiя, яка включається в H-вiдношення Грiна, є вiдношен-
ням рiвностi. Нехай ISX — симетрична iнверсна напiвгрупа на множинi X. Позначимо через
A множину примiтивних iдемпотентiв напiвгрупи ISX , тобто A =
{(
x
x
)
: x ∈ X
}
.
Твердження 1. Якщо iнверсна пiднапiвгрупа S напiвгрупи ISX мiстить множину A, то
S — фундаментальна iнверсна напiвгрупа.
Доведення. Нехай Θ — довiльна конгруенцiя на S, яка включається в H-вiдношення Грiна.
Нехай (∅, η) ∈ Θ, де ∅ — порожнє перетворення. Оскiльки Θ ⊆ H, то dom(∅) = dom(η).
Звiдси η = ∅. Якщо ж (f, ϕ) ∈ Θ i f 6= ∅, ϕ 6= ∅, то dom(f) = dom(ϕ) 6= ∅ i im(f) =
= im(ϕ). Нехай a ∈ dom(f) i af = b. Оскiльки
(
a
a
)
∈ S, то
((
a
a
)
◦ f,
(
a
a
)
◦ ϕ
)
∈ Θ. Звiдси((
a
b
)
,
(
a
aϕ
))
∈ Θ. Позаяк Θ ⊆ H, то aϕ = b. Отже, f ⊆ ϕ. Аналогiчно доводиться, що
ϕ ⊆ f. Таким чином, f = ϕ, тобто напiвгрупа S є фундаментальною.
Наслiдок 1. Нехай G — довiльна пiдгрупа симетричної групи Sn, тодi I(G) є фундамен-
тальною iнверсною напiвгрупою.
Зазначимо, що фундаментальнiсть симетричної iнверсної напiвгрупи доведено в [1] (ле-
ма 3.2).
2. Фундаментальнi порядки на iнверсному моноїдi I(G). В цьому пунктi ми знайдемо
необхiднi i достатнi умови для того, щоб кожний стабiльний порядок на iнверсному моної-
дi I(G) був фундаментальним або антифундаментальним. Спочатку наведемо кiлька озна-
чень. Частковий порядок ψ на довiльнiй напiвгрупi S називається стабiльним, якщо з умови
(x, y) ∈ ψ випливає (zx, zy) ∈ ψ i (xz, yz) ∈ ψ для будь-якого z ∈ S. Частковий порядок Ω
на довiльнiй напiвгрупi S називається фундаментальним (див. [4] i [5] або [6]), якщо iснує
гомоморфiзм ξ напiвгрупи S у напiвгрупу PT (X) усiх часткових перетворень деякої множини
X такий, що виконується еквiвалентнiсть (a, b) ∈ Ω ⇔ (a)ξ ⊆ (b)ξ. Легко показати, що за
цих умов частковий порядок Ω є стабiльним, а гомоморфiзм ξ — iзоморфiзмом. Далi частковий
порядок будемо називати просто порядком. Якщо ζ — фундаментальне вiдношення порядку
на напiвгрупi S, то вiдношення порядку ζ−1 називається антифундаментальним. Нехай P —
впорядкована множина з найменшим елементом 0. Через ≺ будемо позначати вiдношення по-
криття. Якщо 0 ≺ a, то елемент a називають атомом впорядкованої множини P. Якщо E —
нетривiальна напiврешiтка скiнченної довжини, то, очевидно, вона мiстить атоми. Кажуть, що
елемент b ∈ E є об’єднанням атомiв, якщо iснує пiдмножина C множини атомiв така, що
sup C = b. Тепер сформулюємо потрiбний результат.
Твердження 2 (див. [7], теорема 1). Нехай S — скiнченна iнверсна напiвгрупа з нулем. На-
ступнi умови є еквiвалентними:
1) будь-який стабiльний порядок на S є фундаментальним або антифундаментальним;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
782 В. Д. ДЕРЕЧ
2) iдеал I1 =
{
x ∈ S : rank(x) ≤ 1
}
є напiвгрупою Брандта i кожний ненульовий iдемпо-
тент напiвгрупи S є об’єднанням атомiв у напiврешiтцi E(S);
3) максимальнi стабiльнi порядки на S вичерпуються ω i ω−1 (де ω — канонiчний порядок
на S).
Далi, нехай G — пiдгрупа симетричної групи Sn.
Твердження 3. Довiльний порядок на iнверсному моноїдi I(G) є фундаментальним або
антифундаментальним тодi i лише тодi, коли група G є транзитивною.
Доведення. Нехай G — транзитивна група. Розглянемо iдеал I1 =
{
ϕ ∈ I(G) : rank(ϕ) ≤
≤ 1
}
. Зрозумiло, що кожний ненульовий елемент iдеалу I1 має форму
(
a
b
)
. Оскiльки за умовою
групаG є транзитивною, то для будь-яких x, y ∈ N iснує перестановка β ∈ G така, що (x)β = y.
Звiдси
(
x
y
)
∈ I1. Тепер зрозумiло, що кожний ненульовий iдемпотент iдеалу I1 є примiтивним.
До того ж I1 є 0-простою напiвгрупою. Отже, iдеал I1 є напiвгрупою Брандта. Крiм того,
кожний ненульовий iдемпотент моноїда I(G) є об’єднанням атомiв. Таким чином, згiдно з
твердженням 2 будь-який порядок на I(G) є фундаментальним або антифундаментальним.
Нехай тепер група G така, що будь-який стабiльний порядок на iнверсному моноїдi I(G)
є фундаментальним або антифундаментальним. Нехай a, b ∈ N — довiльнi елементи множини
N. Оскiльки одиниця групи G є вiдношенням рiвностi на N, то
(
a
a
)
∈ I1 i
(
b
b
)
∈ I1.
Згiдно з твердженням 2 iдеал I1 є напiвгрупою Брандта, тобто цiлком 0-простою iнверсною
напiвгрупою. Тому I1 ◦
(
b
b
)
◦I1 = I1, а отже,
(
a
a
)
∈ I1 ◦
(
b
b
)
◦I1. Звiдси випливає, що iснують(
a
x
)
∈ I1 i
(
x
a
)
∈ I1 такi, що
(
a
a
)
=
(
a
x
)
◦
(
b
b
)
◦
(
x
a
)
. Оскiльки
(
a
a
)
6= ∅, то x = b.
Таким чином,
(
a
b
)
∈ I1, а отже, iснує перестановка ρ ∈ G така, що (a)ρ = b, тобто група G є
транзитивною.
Наслiдок 2. Максимальнi стабiльнi порядки на iнверсному моноїдi I(G) вичерпуються ω
i ω−1
(
де ω — канонiчний порядок на I(G)) тодi i тiльки тодi, коли група G є транзитивною.
3. Група автоморфiзмiв iнверсного моноїда I(G). В роботi [8] запропоновано загальний
пiдхiд до опису групи автоморфiзмiв напiвгруп. Зокрема, в роздiлi 3.3 цiєї статтi показано як
загальна теорема використовується для опису групи автоморфiзмiв фундаментальної iнверсної
напiвгрупи. В даному пунктi ми не намагаємося виводити твердження з результатiв статтi [8],
а дiємо, безпосередньо ґрунтуючись на iдеї, яку вперше було застосовано в [9] для знаход-
ження автоморфiзмiв симетричної напiвгрупи усiх повних перетворень довiльної множини i
аналог якої в подальшому використовувався неодноразово (див., наприклад, [10 – 12]). Слiд
зазначити, що вищезгаданi результати [9 – 12] щодо групи автоморфiзмiв симетричних напiв-
груп i напiвгрупи усiх бiнарних вiдношень є наслiдками бiльш загальних теорем, доведених у
[13]. Найбiльш загальнi результати щодо групи автоморфiзмiв скiнченної напiвгрупи часткових
ендоморфiзмiв нещодавно одержано в [14].
Нехай S — моноїд. Позначимо через S∗ групу оборотних елементiв моноїда S. Нехай T
— пiднапiвгрупа моноїда S. Якщо елемент g ∈ S∗ такий, що g−1Tg ⊆ T, то автоморфiзм
fg : t 7→ g−1tg (де t ∈ T ) називають внутрiшнiм автоморфiзмом пiднапiвгрупи T. Позначимо
через N(T ) нормалiзатор пiднапiвгрупи T в групi S∗, тобто N(T ) =
{
g ∈ S∗ : gT = Tg
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ПРО ОДИН КЛАС РОЗКЛАДНИХ I ФУНДАМЕНТАЛЬНИХ IНВЕРСНИХ МОНОЇДIВ 783
Наша подальша задача — показати, що група автоморфiзмiв моноїда I(G) iзоморфна N(G) —
нормалiзатору групи G в симетричнiй групi Sn. Це твердження ми доведемо як наслiдок бiльш
загального твердження (див. твердження 4). Для цього доведемо кiлька лем.
Лема 1. Нехай G — довiльна пiдгрупа симетричної групи Sn, тодi N
(
I(G)
)
= N(G).
Нехай h ∈ N
(
I(G)
)
, тобто h◦I(G) = I(G)◦h. Нехай g ∈ G, тодi g ∈ I(G). У цьому випадку
iснує перетворення µ ∈ I(G) таке, що h ◦ g = µ ◦ h. Звiдси µ = h ◦ g ◦ h−1. Отже, µ — бiєкцiя,
до того ж µ ∈ I(G). Таким чином, µ ∈ G. Звiдси ми одержуємо включення h ◦ G ⊆ G ◦ h.
Аналогiчно можна довести, що G ◦ h ⊆ h ◦G. Отже, h ◦G = G ◦ h, тобто h ∈ N(G). Iншими
словами, N
(
I(G)
)
⊆ N(G).
Доведемо тепер зворотне включення. Нехай α ∈ N(G), тобто α ◦ G = G ◦ α. Нехай τ —
довiльний елемент, що належить моноїду I(G). З означення iнверсного моноїда I(G) випливає
iснування бiєкцiї τ∗ ∈ G такої, що τ ⊆ τ∗. Звiдси α ◦ τ ⊆ α ◦ τ∗ = η ◦ α для деякого η ∈ G.
Оскiльки α ◦ τ ⊆ η ◦ α, то знайдеться iдемпотент ε ∈ ISn такий, що α ◦ τ = ε ◦ η ◦ α. Але ж
ε ◦ η ⊆ η. Отже, ε ◦ η ∈ I(G). Таким чином,
α ◦ I(G) ⊆ I(G) ◦ α. (1)
Доведемо зворотне включення. Нехай β ∈ I(G). Iснує бiєкцiя β∗ ∈ G така, що β ⊆ β∗.Оскiльки
α ∈ N(G), то β∗ ◦ α = α ◦ λ для деякого λ ∈ G. Позаяк β ⊆ β∗, то β ◦ α ⊆ β∗ ◦ α = α ◦ λ.
Отже, iснує iдемпотент σ ∈ ISn такий, що β ◦ α = α ◦ λ ◦ σ. Оскiльки λ ∈ G i λ ◦ σ ⊆ λ, то
λ ◦ σ ∈ I(G). Отже,
I(G) ◦ α ⊆ α ◦ I(G). (2)
З (1) i (2) маємо α ◦ I(G) = I(G) ◦ α, тобто α ∈ N
(
I(G)
)
. Отже, N(G) ⊆ N(I(G)). Оскiльки
зворотне включення вже доведено вище, то N
(
I(G)
)
= N(G).
Лему 1 доведено.
Якщо α ∈ I(G), то число | im(α)| називають рангом перетворення α i позначають через
rank(α). Це стандартне означення рангу має один суттєвий недолiк, а саме, взагалi кажучи,
ранг перетворення не зберiгається при автоморфiзмi. Це легко показати на простих прикладах.
Далi, нехай S — iнверсна пiднапiвгрупа симетричної iнверсної напiвгрупи ISn. Як i вище,
позначимо через A множину
{(
x
x
)
: x ∈ N
}
. Якщо δ ∈ S, то через R1(δ) позначимо множину{
ξ ∈ S : ξ ⊆ δ ∧ rank(ξ) = 1
}
.
Лема 2. Нехай S — iнверсна пiднапiвгрупа симетричної iнверсної напiвгрупи ISn така,
що A ⊆ S. Якщо F ∈ Aut(S) i α ∈ S, то rank(α) = rank((α)F ).
Доведення. Нехай β =
(
b1 b2 . . . bk
b1 b2 . . . bk
)
— довiльний iдемпотент напiвгрупи S. За
умовою
(
bi
bi
)
∈ S, i = 1, 2, . . . , n. Тому R1(β) =
{(
b1
b1
)
,
(
b2
b2
)
, . . . ,
(
bk
bk
)}
. Отже, |R1(β)| =
= rank(β) = k. Далi розглянемо напiврешiтки β ◦ E(S) =
{
ξ ∈ E(S) : ξ ⊆ β
}
i (β)F ◦
◦ E(S) =
{
ξ ∈ E(S) : ξ ⊆ (β)F
}
. Легко довести, що вони iзоморфнi. Отже, кiлькiсть атомiв
напiврешiтки β ◦ E(S) дорiвнює кiлькостi атомiв напiврешiтки (β)F ◦ E(S), тобто
∣∣R1(β)
∣∣ =
=
∣∣∣R1
(
(β)F
)∣∣∣. Звiдки випливає, що rank(β) =
∣∣R1(β)
∣∣ =
∣∣∣R1
(
(β)F
)∣∣∣ = rank
(
(β)F
)
. Таким
чином, rank(α) = rank(α◦α−1) = rank
(
(α◦α−1)F
)
= rank
(
(α)F ◦
(
(α)F
)−1
)
= rank
(
(α)F
)
.
Лему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
784 В. Д. ДЕРЕЧ
Далi, нехай F ∈ Aut(S). Легко показати, що (A)F = A. Таким чином, автоморфiзм F на
множинi N визначає бiєкцiю ξF , а саме, (x)ξF = y тодi i лише тодi, коли
(
x
x
)
F =
(
y
y
)
.
Лема 3. Якщо
(
s
z
)
∈ S, то
(
s
z
)
F =
(
(s)ξF
(z)ξF
)
.
Доведення. Оскiльки rank
((
s
z
))
= 1, то згiдно з лемою 2 rank
((
s
z
)
F
)
= 1. Отже, iснують
u, v ∈ N такi, що
(
s
z
)
F =
(
u
v
)
. Далi,
(
u
v
)
=
(
s
z
)
F =
((
s
s
)
◦
(
s
z
))
F =
(
s
s
)
F ◦
(
s
z
)
F =
=
(
(s)ξF
(s)ξF
)
◦
(
u
v
)
. Звiдси u = (s)ξF . Аналогiчно доводиться рiвнiсть v = (z)ξF . Таким чином,(
s
z
)
F =
(
(s)ξF
(z)ξF
)
.
Лему 3 доведено.
Лема 4. Нехай S — iнверсна пiднапiвгрупа симетричної iнверсної напiвгрупи ISn така,
що A ⊆ S. Якщо F ∈ Aut(S), то для будь-якого
(
a1 a2 . . . ak
b1 b2 . . . bk
)
∈ S
(
a1 a2 . . . ak
b1 b2 . . . bk
)
F =
=
(
(a1)ξF (a2)ξF . . . (ak)ξF
(b1)ξF (b2)ξF . . . (bk)ξF
)
= ξ−1
F ◦
(
a1 a2 . . . ak
b1 b2 . . . bk
)
◦ ξF .
Доведення. Згiдно з лемою 2 ранг перетворення, що належить напiвгрупi S, зберiгається
при автоморфiзмi. Тому(
a1 a2 . . . ai . . . ak
b1 b2 . . . bi . . . bk
)
F =
(
x1 x2 . . . xi . . . xk
y1 y2 . . . yi . . . yk
)
.
Застосовуючи лему 3, маємо(
(ai)ξF
(bi)ξF
)
=
(
ai
bi
)
F =
((
a1 a2 . . . ai . . . ak
b1 b2 . . . bi . . . bk
)
◦
(
bi
bi
))
F =
=
(
a1 a2 . . . ai . . . ak
b1 b2 . . . bi . . . bk
)
F ◦
(
bi
bi
)
F =
=
(
x1 x2 . . . xi . . . xk
y1 y2 . . . yi . . . yk
)
◦
(
(bi)ξF
(bi)ξF
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ПРО ОДИН КЛАС РОЗКЛАДНИХ I ФУНДАМЕНТАЛЬНИХ IНВЕРСНИХ МОНОЇДIВ 785
Звiдси випливає, що
(
(ai)ξF
(bi)ξF
)
⊆
(
x1 x2 . . . xk
y1 y2 . . . yk
)
. Крiм того, ξF — бiєкцiя множини
N. Звiдси робимо остаточний висновок:(
a1 a2 . . . ak
b1 b2 . . . bk
)
F =
(
(a1)ξF (a2)ξF . . . (ak)ξF
(b1)ξF (b2)ξF . . . (bk)ξF
)
.
Рiвнiсть (
(a1)ξF (a2)ξF . . . (ak)ξF
(b1)ξF (b2)ξF . . . (bk)ξF
)
= ξ−1
F ◦
(
a1 a2 . . . ak
b1 b2 . . . bk
)
◦ ξF
перевiряється безпосередньо.
Лему 4 доведено.
Щойно доведену лему можна вивести з леми 2.2 (див. [14]).
Твердження 4. Нехай S — iнверсна пiднапiвгрупа симетричної iнверсної напiвгрупи ISn.
Якщо A ⊆ S, то Aut(S) ∼= N(S).
Доведення. Нехай α ∈ N(S). Визначимо вiдповiдне перетворення Φα на S, а саме, (η)Φα =
= α−1 ◦ η ◦ α для будь-якого η ∈ S. Легко перевiрити, що Φα — автоморфiзм напiвгрупи S.
Покажемо, що Ω: α 7→ Φα є iзоморфiзмом груп N(S) i Aut(S). Рiвнiсть (α◦β)Ω = (α)Ω◦(β)Ω
легко перевiряється. Доведемо, що Ω — взаємно однозначне вiдображення. Нехай α 6= β.
Покажемо, що Φα 6= Φβ. Припустимо протилежне, тобто Φα = Φβ. Для довiльного x ∈ N
маємо
(
x
x
)
∈ S. Отже, α−1 ◦
(
x
x
)
◦ α = β−1 ◦
(
x
x
)
◦ β, тобто
(
(x)α
(x)α
)
=
(
(x)β
(x)β
)
. Звiдси
(x)α = (x)β. Отримали суперечнiсть. Таким чином, вiдображення Ω є взаємно однозначним.
До того ж за лемою 4 кожний автоморфiзм напiвгрупи S має форму Φτ для деякого τ ∈ N(S).
Таким чином, N(S) ∼= Aut (S).
Твердження 4 доведено.
Твердження 5. Нехай G — довiльна пiдгрупа симетричної групи Sn, тодi Aut
(
I(G)
) ∼=
∼= N(G).
Доведення. Очевидно, що iнверсна напiвгрупа I(G) задовольняє всi умови твердження 4.
Отже, Aut
(
I(G)
) ∼= N
(
I(G)
)
. А згiдно з лемою 1 N
(
I(G)
)
= N(G).
Твердження 5 доведено.
Природним чином виникають два питання:
1) для яких груп G Aut
(
I(G)
) ∼= Sn?
2) для яких груп G Aut
(
I(G)
) ∼= G?
Твердження 6. Якщо n ≥ 3 i n 6= 4, то Aut
(
I(G)
) ∼= Sn для таких i лише таких пiдгруп
симетричної групи Sn :
1) ∆ — одинична пiдгрупа;
2) An — альтернативна пiдгрупа;
3) Sn — симетрична група.
При n = 4 до вищенаведених груп додається група Клейна.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
786 В. Д. ДЕРЕЧ
Доведення. Це твердження безпосередньо випливає з попереднього твердження, а також iз
вiдомого опису нормальних пiдгруп симетричної групи Sn. Зокрема, якщо G = ∆, то I(∆) —
напiвгрупа, яка iзоморфна булеану B(N) вiдносно операцiї перетину ∩.
Твердження 6 доведено.
Щодо другого питання, то тут ми можемо навести лише приклади. Отже, нехай G — макси-
мальна пiдгрупа симетричної групи Sn, вiдмiнна вiд альтернативної пiдгрупи. Тодi Aut
(
I(G)
) ∼=
∼= G.
1. Chen S. Y., Hsieh S. C. Factorizable inverse semigroups // Semigroup Forum. – 1974. – 8. – P. 283 – 297.
2. FitzGerald D. G. Factorizable inverse monoids // Semigroup Forum. – 2010. – 80. – P. 484 – 509.
3. Lipscomb S. L. The alternating semigroups: generators and congruences // Semigroup Forum. – 1992. – 44. – P. 96 –
106.
4. Вагнер В. В. Представление упорядоченных полугрупп // Мат. сб. – 1956. – 38, № 2. – C. 203 – 240.
5. Шайн Б. М. Представление упорядоченных полугрупп // Мат. сб. – 1964. – 65, № 2. – C. 188 – 197.
6. Goberstein S. M. Fundamental order relations on inverse semigroups and on their generalizations // Semigroup
Forum. – 1980. – 21. – P. 285 – 328.
7. Дереч В. Д. Структура скiнченної iнверсної напiвгрупи з нулем, кожний стабiльний порядок якої є фундамен-
тальним або антифундаментальним // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. – C. 29 – 39.
8. Araújo J., Konieczny J. General theorems on automorphisms of semigroups and their applications // J. Aust. Math.
Soc. – 2009. – 87. – P. 1 – 17.
9. Schreier J. Üder Abbildungen einer abstrakten Menge Auf ihre Teilmengen // Fund. Math. – 1937. – 28. – P. 261 – 264.
10. Либер А. Е. О симметрических обобщенных группах // Мат. сб. – 1953. – 33, № 3. – C. 531 – 544.
11. Глускин Л. М. Идеалы полугрупп преобразований // Мат. сб. – 1959. – 47, № 2. – C. 111 – 130.
12. Зарецкий К. А. Абстрактная характеристика полугруппы всех бинарных отношений // Уч. зап. Ленингр. гос.
пед. ин-та им А. И. Герцена. – 1958. – 183. – C. 251 – 263.
13. Schein B. M. Ordered sets, semilattices, distributive lattices and Boolean algebras with homomophic endomorphism
semigroups // Fund. Math. – 1970. – 68. – P. 31 – 50.
14. Araújo J., Fernandes V., Jesus M., Maltcev V., Mitchell J. Automorphisms of partial endomorphism semigroups // Publ.
Math. Debrecen. – 2011. – 79. – P. 23 – 39.
Одержано 16.05.12,
пiсля доопрацювання — 12.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2462 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:23:54Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/28/ca5d6f49658ad052039d0f7889c2c628.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24622020-03-18T19:16:10Z On One Class of Factorizable Fundamental Inverse Monoids Про один клас розкладних і фундаментальних інверсних моноїдів Derech, V. D. Дереч, В. Д. Let G be an arbitrary group of bijections on a finite set and let I(G) denote the set of all partial injective transformations each of which is included in a bijection from G. The set I(G) is a fundamental factorizable inverse semigroup. We study various properties of the semigroup I(G). In particular, we describe the automorphisms of I(G) and obtain necessary and sufficient conditions for each stable order on I(G) to be fundamental or antifundamental. Пусть $G$ — произвольная группа биекций на конечном множестве. Обозначим через $I(G)$ множество всех частичных инъективных преобразований, каждое из которых включается в биекцию из $G$. $I(G)$ является фундаментальной и разложимой инверсной полугруппой. В данной статье изучаются различные свойства полугруппы $I(G)$. В частности, описаны автоморфизмы $I(G)$ и найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы каждый стабильный порядок на $I(G)$ был фундаментальным или антифундаментальным. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2462 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 6 (2013); 780–786 Український математичний журнал; Том 65 № 6 (2013); 780–786 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2462/1690 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2462/1691 Copyright (c) 2013 Derech V. D. |
| spellingShingle | Derech, V. D. Дереч, В. Д. On One Class of Factorizable Fundamental Inverse Monoids |
| title | On One Class of Factorizable Fundamental Inverse Monoids |
| title_alt | Про один клас розкладних і фундаментальних інверсних моноїдів |
| title_full | On One Class of Factorizable Fundamental Inverse Monoids |
| title_fullStr | On One Class of Factorizable Fundamental Inverse Monoids |
| title_full_unstemmed | On One Class of Factorizable Fundamental Inverse Monoids |
| title_short | On One Class of Factorizable Fundamental Inverse Monoids |
| title_sort | on one class of factorizable fundamental inverse monoids |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2462 |
| work_keys_str_mv | AT derechvd ononeclassoffactorizablefundamentalinversemonoids AT derečvd ononeclassoffactorizablefundamentalinversemonoids AT derechvd proodinklasrozkladnihífundamentalʹnihínversnihmonoídív AT derečvd proodinklasrozkladnihífundamentalʹnihínversnihmonoídív |