Goursat-Type Problem for a Higher-Order Equation
For a higher-order equation with leading mixed derivative, we consider the Goursat-type problem without consistency conditions. The notion of fundamental solution is introduced. By using this notion, we obtain a representation of the solution of the analyzed problem.
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2474 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508370759319552 |
|---|---|
| author | Yusubov, Sh. Sh. Юсубов, Ш. Ш. Юсубов, Ш. Ш. |
| author_facet | Yusubov, Sh. Sh. Юсубов, Ш. Ш. Юсубов, Ш. Ш. |
| author_sort | Yusubov, Sh. Sh. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:16:10Z |
| description | For a higher-order equation with leading mixed derivative, we consider the Goursat-type problem without consistency conditions. The notion of fundamental solution is introduced. By using this notion, we obtain a representation of the solution of the analyzed problem. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
Ш. Ш. Юсубов (Бакин. гос. ун-т, Азербайджан)
ЗАДАЧА ТИПА ГУРСА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
For a higher-order equation with leading mixed derivative, we consider a Goursat-type problem without agreement condi-
tions. The notion of fundamental solution is introduced. Using this notion, we obtain a representation of a solution of the
considered problem.
Для рiвняння високого порядку з домiнуючою мiшаною похiдною розглянуто задачу типу Гурса без умов узгоджен-
ня. Введено поняття фундаментального розв’язку, на основi якого одержано зображення розв’язку розглядуваної
задачi.
Введение. В области G =
{
(t, x) : t0 < t < t1, x0 < x < x1
}
рассмотрим уравнение
(lnmu) ≡ Dn
t D
m
x u+
∑
i+j<n+m
0≤i≤n
0≤j≤m
aij(t, x)Di
tD
j
xu = ϕnm(t, x). (1)
Заметим, что частные случаи уравнения (1) встречаются при исследовании процессов сорб-
ции, сушки [1], поглощения почвенной влаги растениями [2], продольных волн в тонком упру-
гом стержне с учетом эффектов поперечной инерции [3], при изучении распространения волн
в диспергирующих средах [4] и т. д.
Уравнение (1) и его частные случаи с достаточно гладкими коэффициентами изучены для
задачи Гурса в случае, когда условия задаются на характеристиках, пересекающихся в точке
(t0, x0), т. е. задаются в виде
Di
tu|t=t0 = ϕi0(x), x ∈ (x0, x1), i = 0, n− 1, (2)
Dj
xu|x=x0 = ψ0j(t), t ∈ (t0, t1), j = 0,m− 1, (3)
причем выполняются условия согласования
Di
tψ0j |t=t0 = Dj
xϕi0|x=x0 , j = 0,m− 1, i = 0, n− 1. (4)
В работах [5 – 8] решение этой задачи построено с помощью функции Римана, которая
вводится как решение некоторой специальной задачи Гурса.
Данная работа посвящена исследованию уравнения (1) в случае негладких коэффициентов
и при условиях типа Гурса, для которых выполнение условий согласования не требуется. Вве-
дено понятие фундаментального решения, и с его помощью получено представление решения
поставленной задачи.
1. Постановка задачи. Для уравнения (1) рассмотрим начальные
(li0u)(x) ≡ Di
tu(t0, x) = ϕi0(x), x ∈ (x0, x1), i = 0, n− 1, (5)
и граничные
(lnju)(t) ≡ Dn
t D
j
xu(t, x0) = ϕnj(t), t ∈ (t0, t1), j = 0,m− 1, (6)
c© Ш. Ш. ЮСУБОВ, 2013
874 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ЗАДАЧА ТИПА ГУРСА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 875
условия. Здесь u(t, x) — искомая функция, Dk
s =
∂k
∂sk
— оператор обобщенного дифференциро-
вания в смысле С. Л. Соболева, aij(t, x), i = 0, n, j = 0,m, i+ j < n+m, — измеримые на G
функции, удовлетворяющие условиям aij(t, x) ∈ Lp(G), i = 0, n− 1, j = 0,m− 1, anj(t, x) ∈
∈ Lt,x∞,p(G), j = 0,m− 1, aim(t, x) ∈ Lt,xp,∞(G), i = 0, n− 1; ϕi0(x) ∈W (m)
p (x0, x1), i = 0, n− 1,
и ϕnj(t) ∈ Lp(t0, t1) — заданные функции, где W (m)
p (x0, x1) — пространство измеримых функ-
ций ϕ(x), имеющих в смысле С.Л.Соболева производные D1
xϕ(x), . . . , Dm
x ϕ(x) ∈ Lp(x0, x1).
Решение задачи (1), (5), (6) будем искать в пространстве С. Л. Соболева
W (n,m)
p (G) =
{
u ∈ Lp(G)/Di
tD
j
xu ∈ Lp(G), i = 0, n, j = 0,m
}
с доминирующей смешанной производной Dn
t D
m
x u и нормой
‖u‖
W
(n,m)
p (G)
=
n∑
i=0
m∑
j=0
∥∥Di
tD
j
xu
∥∥
Lp(G)
.
Прежде всего заметим, что функция u ∈W (n,m)
p (G), удовлетворяющая условиям типа Гурса
вида (5), (6), удовлетворяет и условиям (2), (3), если в условиях (3) функции ψ0j(t) выбрать в
виде
ψ0j(t) =
n−1∑
k=0
(t− t0)k
k!
Dj
xϕk0(x0) +
t∫
t0
(t− τ)n−1
(n− 1)!
ϕnj(τ)dτ, j = 0,m− 1.
Отметим, что имеет место и обратное утверждение, т. е. если функция u ∈ W
(n,m)
p (G)
удовлетворяет условиям (2), (3), где ϕi0 ∈W (m)
p (x0, x1) и ψ0j ∈W (n)
p (t0, t1), то она удовлетво-
ряет также условиям (5), (6) при ϕnj(t) = Dn
t ψ0j(t). Таким образом, в пространстве Wn,m)
p (G)
условия типа Гурса вида (5), (6) эквивалентны условиям Гурса классического вида (2), (3).
Однако в случае условий Гурса (2), (3) правые части краевых условий должны подчиняться
также условиям согласования (4). В случае же условий типа Гурса вида (5), (6) для правых
частей краевых условий никакие дополнительные условия типа согласования не требуются.
Поэтому задача типа Гурса вида (1), (5), (6) по постановке является более естественной, чем
задача Гурса классического вида (1) – (3).
2. Сведение задачи (1), (5), (6) к операторному уравнению. Задачу (1), (5), (6) запишем в
операторном виде
lu = ϕ, (7)
где
l =
(
lnm, li0, i = 0, n− 1, lnj , j = 0,m− 1
)
: W (n,m)
p (G)→ H(n,m)
p ,
ϕ =
(
ϕnm(t, x), ϕi0(x), i = 0, n− 1, ϕnj(t), j = 0,m− 1
)
∈ H(n,m)
p ,
H(n,m)
p = Lp(G)×
n−1∏
i=0
W (m)
p (x0, x1)×
m−1∏
j=0
Lp(t0, t1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
876 Ш. Ш. ЮСУБОВ
Норму в пространстве H(n,m)
p определим естественным образом с помощью равенства
‖ϕ‖
H
(n,m)
p
= ‖ϕnm‖Lp(G) +
n−1∑
i=0
‖ϕi0‖W (m)
p (x0,x1)
+
m−1∑
j=0
‖ϕnj‖Lp(t0,t1).
Отметим, что при наложенных условиях на коэффициенты aij(t, x) оператор l : W (n,m)
p (G)→
→ H
(n,m)
p линеен и ограничен.
Задачу (1), (5), (6) будем исследовать с помощью интегрального представления из [9] спе-
циального вида для функции u ∈W (n,m)
p (G) :
u(t, x) = (Qb)(t, x) ≡
n−1∑
i=0
(t− t0)i
i!
bi0(x) +
m−1∑
j=0
(x− x0)j
j!
t∫
t0
(t− τ)n−1
(n− 1)!
bnj(τ)dτ+
+
t∫
t0
x∫
x0
(t− τ)n−1
(n− 1)!
(x− s)m−1
(m− 1)!
bnm(τ, s)dτds (8)
с помощью элемента b =
(
bnm(t, x), bi0(x), i = 0, n− 1, bnj(t), j = 0,m− 1
)
∈ H(n,m)
p .
Из формулы (8) следует, что любая функция u ∈ W
(n,m)
p (G) имеет следы Di
tu(t0, x),
i = 0, n− 1, Dn
t D
j
xu(t, x0), j = 0,m− 1, и операции взятия этих следов непрерывны из
W
(n,m)
p (G) в W (m)
p (x0, x1), Lp(t0, t1) соответственно. Для этих следов справедливы также ра-
венства Di
tu(t0, x) = bi0(x), i = 0, n− 1, Dn
t D
j
xu(t, x0) = bnj(t), j = 0,m− 1.
Используя представление (8), уравнение (1) можно записать в виде
(Abnm)(t, x) ≡ bnm(t, x) +A1bnm(t, x) ≡ bnm(t, x) +
n−1∑
i=0
t∫
t0
aim(t, x)
(t− τ)n−i−1
(n− i− 1)!
bnm(τ, x)dτ+
+
m−1∑
j=0
x∫
x0
anj(t, x)
(x− s)m−j−1
(m− j − 1)!
bnm(t, s)ds+
+
∑
i<n
j<m
t∫
t0
x∫
x0
aij(t, x)
(t− τ)n−i−1
(n− i− 1)!
(x− s)m−j−1
(m− j − 1)!
bnm(τ, s)dτ ds = Φ(t, x), (9)
где
Φ(t, x) = ϕnm(t, x)−
n−1∑
i=0
n−1∑
k=i
aim(t, x)
(t− t0)k−i
(k − i)!
Dm
x bk0(x)−
−
m−1∑
j=0
m−1∑
l=j
anj(t, x)
(x− x0)l−j
(l − j)!
bnl(t)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ЗАДАЧА ТИПА ГУРСА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 877
−
∑
i<n
j<m
aij(t, x)
n−1∑
k=i
(t− t0)k−i
(k − i)!
Dj
xbk0(x) +
m−1∑
l=j
(x− x0)l−j
(l − j)!
t∫
t0
(t− τ)n−i−1
(n− i− 1)!
bnl(τ)dτ
.
Оператор A1 в уравнении (9) линеен, вольтерров и из условий, наложенных на коэффи-
циенты aij(t, x), следует, что он является ограниченным вольтерровым оператором из Lp(G)
в Lp(G), 1 ≤ p ≤ ∞. Поэтому уравнение (9) для любой правой части Φ ∈ Lp(G) имеет
единственное решение bnm ∈ Lp(G), 1 ≤ p ≤ ∞, и для этого решения справедлива оценка
‖bnm‖Lp(G) ≤M‖Φ‖Lp(G), где M — постоянная, не зависящая от Φ.
Если bnm ∈ Lp(G) является решением уравнения (9), то решение задачи (1), (5), (6) можно
представить в виде
u(t, x) =
n−1∑
i=0
(t− t0)i
i!
ϕi0(x) +
m−1∑
j=0
(x− x0)j
j!
t∫
t0
(t− τ)n−1
(n− 1)!
ϕnj(τ)dτ+
+
t∫
t0
x∫
x0
(t− τ)n−1
(n− 1)!
(x− s)m−1
(m− 1)!
bnm(τ, s)dτds.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Оператор l задачи (1), (2), (5) является гомеоморфизмом изW (n,m)
p наH(n,m)
p .
3. Сопряженный оператор. Теперь рассмотрим вопрос о построении сопряженного опе-
ратора A∗ для оператора A определяемого равенством (9). Поскольку оператор A действует
в пространстве Lp(G) и ограничен, он имеет сопряженный оператор A∗, который действует
в пространстве L∗p(G) и ограничен. Для нахождения явного вида оператора A∗ используем
произвольную функцию f ∈ Lq(G), где
1
p
+
1
q
= 1, и рассмотрим функционал
F (Abnm) =
∫∫
G
(Abnm)(t, x)f(t, x)dtdx. (10)
Используя выражение оператора A в (9) и меняя порядок интегрирования, получаем
F (Abnm) ≡
∫∫
G
bnm(τ, s)
f(τ, s) +
n−1∑
i=0
t1∫
τ
aim(t, s)
(t− τ)n−i−1
(n− i− 1)!
f(t, s)dt+
+
m−1∑
j=0
x1∫
s
anj(τ, x)
(x− s)m−j−1
(m− j − 1)!
f(τ, x)dx+
+
∑
i<n
j<m
t1∫
τ
x1∫
s
aij(t, x)
(t− τ)n−i−1
(n− i− 1)!
(x− s)m−j−1
(m− j − 1)!
f(t, x)dx dt
dτ ds. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
878 Ш. Ш. ЮСУБОВ
Из (11) следует, что оператор A имеет сопряженный оператор A∗ : Lq(G)→ Lq(G) вида A∗ =
= I +A∗1, где I — единичный оператор, а
(A∗1f)(τ, s) =
n−1∑
i=0
t1∫
τ
aim(t, s)
(t− τ)n−i−1
(n− i− 1)!
f(t, s)dt+
+
m−1∑
j=0
x1∫
s
anj(τ, x)
(x− s)m−j−1
(m− j − 1)!
f(τ, x)dx+
+
∑
i<n
j<m
t1∫
τ
x1∫
s
aij(t, x)
(t− τ)n−i−1
(n− i− 1)!
(x− s)m−j−1
(m− j − 1)!
f(t, x)dt dx. (12)
Теперь рассмотрим уравнение
f +A∗1f = g, (13)
где g ∈ Lq(G) — заданная, а f ∈ Lq(G) — искомая функция. В дальнейшем уравнение (13)
назовем сопряженным уравнением для задачи (1), (5), (6).
Очевидно, что A∗1 является двумерным интегральным оператором, который вольтерров
относительно точки (t1, x1). Поэтому оператор A∗ = I + A∗1 имеет ограниченный обратный
K = (I + A∗1)
−1, действующий в Lq(G). Этот факт можно получить также непосредственно
из факта существования ограниченного обратного оператора B = (I +A1)
−1, действующего в
Lp(G). Очевидно, что K = B∗. Следовательно, справедливо утверждение: сопряженное интег-
ральное уравнение (13) для любого g ∈ Lq(G) имеет единственное решение f ∈ Lq(G) и для
некоторого M1 > 0 выполняется оценка
‖f‖Lq(G) ≤M1‖g‖Lq(G). (14)
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Оператор A∗ : Lq(G)→ Lq(G) уравнения (13) является гомеоморфизмом.
4. Интегральное представление решения основной задачи. Функцию u ∈ W
(n,m)
p (G),
удовлетворяющую условиям (5), (6), запишем в виде
u(t, x) = (B1u)(t, x) + (B2u)(t, x), (15)
где
(B1u)(t, x) =
n−1∑
i=0
(t− t0)i
i!
ϕi0(x) +
m−1∑
j=0
(x− x0)j
j!
t∫
t0
(t− τ)n−1
(n− 1)!
ϕnj(τ)dτ, (16)
(B2u)(t, x) =
t∫
t0
x∫
x0
(t− τ)n−1
(n− 1)!
(x− s)m−1
(m− 1)!
bnm(τ, s)dτds. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
ЗАДАЧА ТИПА ГУРСА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 879
Используя формулу (15), для u ∈W (n,m)
p (G), f ∈ Lp(G) имеем∫∫
G
(lnmu)(t, x)f(t, x)dtdx =
∫∫
G
(lnmB1u)(t, x)f(t, x)dtdx+
∫∫
G
(lnmB2u)(t, x)f(t, x)dtdx.
Отсюда после некоторых преобразований получаем∫∫
G
(lnmu)(t, x)f(t, x)dtdx =
∫∫
G
(lnmB1u)(t, x)f(t, x)dtdx+
∫∫
G
(Abnm)(t, x)f(t, x)dtdx,
(18)
гдеA определяется равенством (9) и bnm = Dn
t D
m
x u.Поскольку операторA имеет сопряженный
оператор A∗, из (18) следует, что для любого u ∈W (n,m)
p (G), f ∈ Lq(G)∫∫
G
(lnmu)(t, x)f(t, x)dtdx =
∫∫
G
(lnmB1u)(t, x)f(t, x)dtdx+
∫∫
G
bnm(t, x)(A∗f)(t, x)dtdx =
=
∫∫
G
(lnmB1u)(t, x)f(t, x)dtdx+
∫∫
G
Dn
t D
m
x u(t, x)(A∗f)(t, x)dtdx. (19)
Теперь для каждой фиксированной точки (t, x) ∈ G рассмотрим уравнение
(A∗f)(τ, s) = θ(t− τ)θ(x− s)(t− τ)n−1
(n− 1)!
(x− s)m−1
(m− 1)!
, (τ, s) ∈ G. (20)
Уравнение (20) можно рассматривать как частный случай сопряженного уравнения (13). По-
этому по теореме 2 уравнение (20) для любой точки (t, x) ∈ G имеет единственное решение
f(τ, s) = f(τ, s; t, x) ∈ Lq(G).
Определение . Если уравнение (20) для любой заданной точки (t, x) ∈ G имеет хотя
бы одно решение f(τ, s) = f(τ, s; t, x) ∈ Lq(G), то это решение назовем фундаментальным
решением задачи (1), (5), (6).
Теорема 3. Пусть f(τ, s; t, x) — фундаментальное решение задачи (1), (5), (6). Тогда
любое решение этой задачи можно представить в виде
u(t, x) = (B1u)(t, x) +
∫∫
G
ϕnm(τ, s)f(τ, s; t, x)dτds −
−
∫∫
G
(lnmB1u)(τ, s)f(τ, s; t, x)dτds, (21)
где (B1u)(t, x) определяется равенством (16).
Доказательство. Пусть функция u ∈W (n,m)
p (G) — решение задачи (1), (5), (6), а функция
f ∈ Lq(G) — решение уравнения (20). Тогда равенство (19) можно записать в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
880 Ш. Ш. ЮСУБОВ
∫∫
G
ϕnm(τ, s)f(τ, s; t, x)dτds =
∫∫
G
(lnmB1u)(τ, s)f(τ, s; t, x)dτds +
+
∫∫
G
Dn
t D
m
x u(τ, s)θ(t− τ)θ(x− s)(t− τ)n−1
(n− 1)!
(x− s)m−1
(m− 1)!
dτds, (22)
где точка (t, x) ∈ G рассматривается как параметр.
Используя интегральное представление (8) для функций u ∈ W (n,m)
p (G), из (22) получаем
формулу∫∫
G
ϕnm(τ, s)f(τ, s; t, x)dτds =
∫∫
G
(lnmB1u)(τ, s)f(τ, s; t, x)dτds+ u(t, x)− (B1u)(t, x),
что и подтверждает справедливость формулы (21).
1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977. – 736 с.
2. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. – М.: Высш. шк., 1995. – 301 с.
3. Березанский Ю. М. О задаче типа Дирихле для уравнения колебания струны // Укр. мат. журн. – 1960. – 12,
№ 4. – C. 363 – 372.
4. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. – М.: Наука, 1979.
5. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Different. Equat. – 1972. – 12, № 3. – P. 559 – 565.
6. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделиро-
вании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. – 1982. – 18, № 4. – C. 689 – 699.
7. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для
псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. – 1987. – 297, № 3. – C. 547 – 552.
8. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов.
Математика. – 1999. – 10. – C. 73 – 76.
9. Никольский С. М. Об устойчивых граничных значениях дифференцируемой функции многих перемен-
ных // Мат. сб. – 1963. – (63)103, № 2. – C. 224 – 252.
Получено 05.08.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2474 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:08Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e3/3dcd55996dbb705c775824b75e113ce3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24742020-03-18T19:16:10Z Goursat-Type Problem for a Higher-Order Equation Задача типа Гурса для уравнения высокого порядка Yusubov, Sh. Sh. Юсубов, Ш. Ш. Юсубов, Ш. Ш. For a higher-order equation with leading mixed derivative, we consider the Goursat-type problem without consistency conditions. The notion of fundamental solution is introduced. By using this notion, we obtain a representation of the solution of the analyzed problem. Для рівняння високого порядку з домінуючою мішаною похідною розглянуто задачу типу Гурса без умов узгодження. Введено поняття фундаментального розв'язку, на основі якого одержано зображення розв'язку розглядуваної задачі. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2474 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 6 (2013); 874–880 Український математичний журнал; Том 65 № 6 (2013); 874–880 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2474/1714 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2474/1715 Copyright (c) 2013 Yusubov Sh. Sh. |
| spellingShingle | Yusubov, Sh. Sh. Юсубов, Ш. Ш. Юсубов, Ш. Ш. Goursat-Type Problem for a Higher-Order Equation |
| title | Goursat-Type Problem for a Higher-Order Equation |
| title_alt | Задача типа Гурса для уравнения высокого порядка |
| title_full | Goursat-Type Problem for a Higher-Order Equation |
| title_fullStr | Goursat-Type Problem for a Higher-Order Equation |
| title_full_unstemmed | Goursat-Type Problem for a Higher-Order Equation |
| title_short | Goursat-Type Problem for a Higher-Order Equation |
| title_sort | goursat-type problem for a higher-order equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2474 |
| work_keys_str_mv | AT yusubovshsh goursattypeproblemforahigherorderequation AT ûsubovšš goursattypeproblemforahigherorderequation AT ûsubovšš goursattypeproblemforahigherorderequation AT yusubovshsh zadačatipagursadlâuravneniâvysokogoporâdka AT ûsubovšš zadačatipagursadlâuravneniâvysokogoporâdka AT ûsubovšš zadačatipagursadlâuravneniâvysokogoporâdka |