Inverse Problem for a Two-Dimensional Diffusion Equation in a Domain with Free Boundary
We establish conditions for the existence and uniqueness of a smooth solution to the inverse problem for a two-dimensional diffusion equation with unknown time-dependent leading coefficient in a domain with free-boundary. The equation of unknown boundary is given in the form of the product of a know...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2477 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508372810334208 |
|---|---|
| author | Ivanchov, N. I. Pabyrivs’ka, N. V. Іванчов, М. І. Пабирівська, Н. В. |
| author_facet | Ivanchov, N. I. Pabyrivs’ka, N. V. Іванчов, М. І. Пабирівська, Н. В. |
| author_sort | Ivanchov, N. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:16:28Z |
| description | We establish conditions for the existence and uniqueness of a smooth solution to the inverse problem for a two-dimensional diffusion equation with unknown time-dependent leading coefficient in a domain with free-boundary. The equation of unknown boundary is given in the form of the product of a known function of space variables and an unknown time-dependent function. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
М. I. Iванчов (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка),
Н. В. Пабирiвська (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”)
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ
В ОБЛАСТI З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ
We establish conditions for the existence and uniqueness of a smooth solution to an inverse problem for a two-dimensional
diffusion equation with unknown time-dependent leading coefficient in a free-boundary domain. The equation of the free
boundary is given by the product of a known function depending on the space variables and an unknown time-dependent
function.
Установлены условия существования и единственности гладкого решения обратной задачи в области со свободной
границей для двумерного уравнения диффузии с неизвестным зависящим от времени старшим коэффициентом.
Уравнение неизвестной границы задается произведением известной функции пространственных переменных и
неизвестной функции, зависящей от времени.
Математичними моделями багатьох процесiв є задачi з вiльними межами для рiвнянь пара-
болiчного типу [1]. В одновимiрному випадку, коли рiвняння невiдомої межi визначається
функцiєю, залежною тiльки вiд часу, такi задачi достатньо повно дослiдженi iз застосуванням
рiзноманiтних методiв як для лiнiйних, так i квазiлiнiйних рiвнянь параболiчного типу (див.,
наприклад, [2 – 7]). В областях з вiльними межами було розглянуто також оберненi задачi для
одно- та двовимiрних параболiчних рiвнянь, що мiстять невiдомi коефiцiєнти, залежнi вiд часу
[8 – 16]. Зокрема, у працi [13] дослiджено обернену задачу для рiвняння теплопровiдностi
ut = a(t)∆u+ f(x1, x2, t)
з невiдомим коефiцiєнтом a(t) у двовимiрнiй областi вигляду 0 < x1 < l(t), 0 < x2 < h(t),
де функцiї l = l(t), h = h(t) є невiдомими. В аналогiчнiй областi було встановлено умови
iснування та єдиностi розв’язку оберненої задачi для параболiчного рiвняння
ut = a1(t)ux1x1 + a2(t)ux2x2 + b(x1, x2, t)ux1 + c(x1, x2, t)ux2 + d(x1, x2, t)u+ f(x1, x2, t)
з невiдомими коефiцiєнтами a1(t), a2(t) [14]. Також вивчалась [15] обернена задача для рiвняння
теплопровiдностi з невiдомим старшим коефiцiєнтом у двовимiрнiй областi, заданiй умовами
l1(t) < x1 < l2(t), h1(t) < x2 < h2(t), де lk(t), hk(t), k = 1, 2, є невiдомими.
У данiй роботi розглянуто обернену задачу для рiвняння дифузiї в двовимiрнiй областi
загального вигляду з невiдомою рухомою межею. Рух межi описується невiдомою функцiєю,
залежною вiд часу. Такий пiдхiд може моделювати процеси, в яких головним питанням є
динамiка процесу, що властиво задачам медицини, екологiї та iн.
1. Формулювання задачi та основнi припущення. В областi QT =
{
(r, ϕ, t) : 0 ≤ r <
< h(t)g(ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 < t < T
}
з вiльною межею, розташування якої залежить вiд
невiдомої функцiї h = h(t) > 0, 0 ≤ t ≤ T, розглянемо задачу знаходження функцiй
(
h(t), a(t),
u(r, ϕ, t)
)
з класу C1[0, T ] × C[0, T ] × C2,1(QT ) ∩ C1,0(QT ), a(t) > 0, h(t) > 0, t ∈ [0, T ], якi
задовольняють рiвняння дифузiї
ut = a(t)∆u+ f(r, ϕ, t), (1)
c© М. I. IВАНЧОВ, Н. В. ПАБИРIВСЬКА, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7 917
918 М. I. IВАНЧОВ, Н. В. ПАБИРIВСЬКА
початкову i крайову умови
u
∣∣
t=0
= u0(r, ϕ), (r, ϕ) ∈ D =
{
(r, ϕ) : 0 ≤ r ≤ h(0)g(ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π
}
, (2)
u
∣∣
∂Dt×[0,T ]= µ(r, ϕ, t), (r, ϕ) ∈ ∂Dt, t ∈ [0, T ], (3)
де Dτ = QT ∩ {t = τ}, 0 ≤ τ ≤ T, та умови перевизначення∫∫
Dt
u(r, ϕ, t)rdr dϕ = κ1(t), 0 ≤ t ≤ T, (4)
−a(t)
∫
∂Dt
∂u(r, ϕ, t)
∂ν
dγ = κ2(t), 0 ≤ t ≤ T, (5)
в яких ν — одиничний вектор зовнiшньої нормалi до кривої ∂Dt, dγ — елемент дуги кривої
∂Dt.
Будемо припускати, що виконуються такi умови:
(A1) u0 ∈ C2([0,∞)× [0, 2π]), µ ∈ C2,1([0,∞)× [0, 2π]× [0, T ]), κ1 ∈ C1[0, T ], κ2 ∈ C[0, T ],
f ∈ C1,0([0,∞)× [0, 2π]× [0, T ]), g ∈ C1[0, 2π];
(A2) u0(r, ϕ) ≥ M0 > 0, (r, ϕ) ∈ [0,∞) × [0, 2π], µ(r, ϕ, t) > 0, (r, ϕ, t) ∈ [0,∞) ×
× [0, 2π] × [0, T ], h(0) = h0 > 0, де h0 — задане число, κi(t) > 0, i = 1, 2, t ∈ [0, T ],∫ 2π
0
∂
∂ν
(
u0(h(0)g(ϕ), ϕ
)
g(ϕ)dϕ < 0;
(A3) умови узгодження нульового порядку [16, c. 363] u0(h(0)g(ϕ), ϕ) = µ
(
h(0)g(ϕ), ϕ, 0
)
,∫ 2π
0
dϕ
∫ h(0)g(ϕ)
0
u0(r, ϕ)r dr = κ1(0).
Зауважимо, що означення просторiв C2,l(QT ) та C1,0(QT ) дано в [16, c.17].
2. Зведення задачi (1) – (5) до системи рiвнянь. Замiною ρ =
r
h(t)
, ϕ = ϕ, t = t задачу (1) –
(5) зведемо до задачi у вiдомiй фiксованiй областi:
vt =
a(t)
h2(t)
∆v +
ρh′(t)
h(t)
vρ + f(ρh(t), ϕ, t), (ρ, ϕ, t) ∈ D0 × (0, T ), (6)
v
∣∣
t=0
= u0(ρh(0), ϕ), (ρ, ϕ) ∈ D0, (7)
v
∣∣
∂D0×[0,T ]= µ(ρh(t), ϕ, t), (ρ, ϕ, t) ∈ ∂D0 × [0, T ], (8)
h2(t)
∫∫
D0
v(ρ, ϕ, t)ρ dρ dϕ = κ1(t), t ∈ [0, T ], (9)
−a(t)h(t)
2π∫
0
∂v(g(ϕ), ϕ, t)
∂ν
g(ϕ)dϕ = κ2(t), t ∈ [0, T ], (10)
де D0 :=
{
(ρ, ϕ, t) : 0 ≤ ρ < g(ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 < t < T
}
, v
(
r
h(t)
, ϕ, t
)
= u(r, ϕ, t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ В ОБЛАСТI З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ 919
За допомогою замiни
v = w + u0
(
ρh(0), ϕ) + µ(ρh(t), ϕ, t
)
− µ
(
ρh(0), ϕ, 0
)
задачу (6) – (8) зведемо до задачi з нульовими початковою та крайовою умовами:
wt =
a(t)
h2(t)
∆w +
ρh′(t)
h(t)
wρ + f(ρh(t), ϕ, t)− µt(ρh(t), ϕ, t)− µr
(
ρh(t), ϕ, t
)
ρh′(t) +
+
a(t)
h2(t)
∆
(
u0
(
ρh(0), ϕ
)
+ µ
(
ρh(t), ϕ, t
)
− µ
(
ρh(0), ϕ, 0
))
+
ρh′(t)
h(t)
(
h(0)u0r(ρh(0), ϕ
)
+
+h(t)µr
(
ρh(t), ϕ, t
)
− h(0)µr
(
ρh(0), ϕ, 0)
)
, (ρ, ϕ, t) ∈ D0 × (0, T ), (11)
w
∣∣
t=0
= 0, (r, ϕ) ∈ D0, (12)
w
∣∣
∂D0×[0,T ]= 0, (r, ϕ, t) ∈ ∂D0 × [0, T ]. (13)
Задача (11) – (13) еквiвалентна рiвнянню
w(ρ, ϕ, t) =
t∫
0
∫∫
D0
G(ρ, ϕ, t, s, ψ, τ)
(
sh′(τ)
h(τ)
ws(s, ψ, τ) + f
(
sh(τ), ψ, τ
)
− µτ
(
sh(τ), ψ, τ
)
−
−sh′(τ)µr
(
sh(τ), ψ, τ
)
+
a(τ)
h2(τ)
∆
(
u0
(
sh(0), ψ
)
+ µ
(
sh(τ), ψ, τ
)
− µ
(
sh(0), ψ, 0
))
+
+
sh′(τ)
h(τ)
(h(0)u0r
(
sh(0), ψ
)
+ h(τ)µr
(
sh(τ), ψ, τ
)
− h(0)µr
(
sh(0), ψ, 0)
))
ds dψ dτ, (14)
(ρ, ϕ, t) ∈ D0 × [0, T ],
де G = G(ρ, ϕ, t, s, ψ, τ) — функцiя Грiна для рiвняння
wt =
a(t)
h2(t)
∆w (15)
з умовами (12), (13). Повертаючись до функцiї v, маємо
v(ρ, ϕ, t) = u0(ρh(0), ϕ) + µ(ρh(t), ϕ, t)− µ(ρh(0), ϕ, 0) +
t∫
0
∫∫
D0
G(ρ, ϕ, t, s, ψ, τ)×
×
(
a(τ)
h2(τ)
∆
(
u0(sh(0), ψ
)
+ µ
(
sh(τ), ψ, τ
)
− µ
(
sh(0), ψ, 0)
)
+
sh′(τ)
h(τ)
vs(s, ψ, τ)+
+f
(
sh(τ), ψ, τ
)
− µτ
(
sh(τ), ψ, τ
)
− sh′(τ)µr
(
sh(τ), ψ, τ
))
ds dψ dτ, (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
920 М. I. IВАНЧОВ, Н. В. ПАБИРIВСЬКА
(ρ, ϕ, t) ∈ D0 × [0, T ].
Позначаючи v1(ρ, ϕ, t) := vρ(ρ, ϕ, t) та h1(t) := h′(t), пряму задачу (6) – (8) зводимо до системи
iнтегральних рiвнянь
v(ρ, ϕ, t) = u0
(
ρh(0), ϕ
)
+ µ
(
ρh(t), ϕ, t
)
− µ
(
ρh(0), ϕ, 0
)
+
+
t∫
0
∫∫
D0
G(ρ, ϕ, t, s, ψ, τ)
(
a(τ)
h2(τ)
∆
(
u0
(
sh(0), ψ
)
+ µ
(
sh(τ), ψ, τ
)
− µ(sh(0), ψ, 0)
)
+
+
sh1(τ)
h(τ)
v1(s, ψ, τ) + f
(
sh(τ), ψ, τ
)
− µτ
(
sh(τ), ψ, τ
)
− sh1(τ)µr
(
sh(τ), ψ, τ
))
ds dψ dτ, (17)
v1(ρ, ϕ, t) = h(0)u0r(ρh(0), ϕ) + h(t)µr
(
ρh(t), ϕ, t
)
− h(0)µr
(
ρh(0), ϕ, 0
)
+
+
t∫
0
∫∫
D0
Gρ(ρ, ϕ, t, s, ψ, τ)
(
a(τ)
h2(τ)
∆
(
u0
(
sh(0), ψ
)
+ µ
(
sh(τ), ψ, τ
)
− µ
(
sh(0), ψ, 0
))
+
+
sh1(τ)
h(τ)
v1(s, ψ, τ) + f
(
sh(τ), ψ, τ
)
− µτ
(
sh(τ), ψ, τ
)
− sh1(τ)µr
(
sh(τ), ψ, τ
))
ds dψ dτ, (18)
(ρ, ϕ, t) ∈ D0 × [0, T ].
Оскiльки з умови (A2) випливає, що u0
(
ρh(0), ϕ
)
≥M0 > 0, (ρ, ϕ) ∈ [0,∞)× [0, 2π], а iншi
доданки в (16) дорiвнюють нулю при t = 0, то iснує таке число T1, 0 < T1 ≤ T, що виконується
оцiнка∣∣∣∣∣µ(ρh(t), ϕ, t
)
− µ
(
ρh(0), ϕ, 0
)
+
t∫
0
∫∫
D0
G(ρ, ϕ, t, s, ψ, τ)
(
a(τ)
h2(τ)
∆
(
u0(sh(0), ψ
)
+
+µ
(
sh(τ), ψ, τ
)
− µ
(
sh(0), ψ, 0)
)
+
sh1(τ)
h(τ)
v1(s, ψ, τ) + f
(
sh(τ), ψ, τ
)
−
−µτ
(
sh(τ), ψ, τ
)
− sh1(τ)µr
(
sh(τ), ψ, τ
))
ds dψ dτ
∣∣∣∣∣ ≤ M0
2
, (19)
(ρ, ϕ, t) ∈ [0,∞)× [0, 2π]× [0, T1].
Тодi
v(ρ, ϕ, t) ≥ M0
2
> 0, (ρ, ϕ, t) ∈ [0,∞)× [0, 2π]× [0, T1], (20)
i з умови (9) отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ В ОБЛАСТI З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ 921
h(t) =
κ
1/2
1 (t)(∫ 2π
0
dϕ
∫ g(ϕ)
0
v(ρ, ϕ, t)ρdρ
)1/2
, t ∈ [0, T1]. (21)
Здиференцiюємо умову (9) i використаємо рiвняння (6). Пiсля нескладних обчислень отри-
маємо рiвняння вiдносно h1(t) :
h1(t) =
κ′1(t) + κ2(t)− h2(t)
∫∫
D0
f(ρh(t), ϕ, t)ρ dρ dϕ
h(t)
∫ 2π
0
g2(ϕ)µ(g(ϕ)h(t), ϕ, t)dϕ
, t ∈ [0, T ]. (22)
Якщо з формули (16) знайти похiдну −∂v(g(ϕ), ϕ, t)
∂ν
, то перший доданок у нiй за припу-
щенням (A2) буде дорiвнювати деякому додатному числу M1, а всi iншi дорiвнюватимуть нулю
при t = 0. Це означає, що iснує таке значення T2, 0 < T2 ≤ T, що при t ∈ [0, T2] виконується
нерiвнiсть
−
2π∫
0
∂v(g(ϕ), ϕ, t)
∂ν
g(ϕ)dϕ ≥ M1
2
> 0, t ∈ [0, T2]. (23)
Тодi з умови (10) одержуємо рiвняння
a(t) = −κ2(t)
h(t)
2π∫
0
∂v(g(ϕ), ϕ, t)
∂ν
g(ϕ)dϕ
−1 , t ∈ [0, T2]. (24)
Позначимо T3 = min{T1, T2}. Розглядаючи рiвняння (17), (18), (21), (22), (24) на звуже-
ному часовому промiжку [0, T3], отримуємо систему рiвнянь, до якої зводиться задача (6) –
(10). Еквiвалентнiсть задачi знаходження розв’язку (h, a, v) ∈ C1[0, T3]× C[0, T3]× C2,1
(
D0 ×
× (0, T3)
)
∩ C1,0
(
D0 × [0, T3]
)
, який задовольняє умови (6) – (10), та задачi знаходження непе-
рервного розв’язку (v, v1, h, h1, a) системи рiвнянь (17), (18), (21), (22), (24) легко встановити
повторенням мiркувань, наведених у [14].
3. Iснування розв’язку системи (17), (18), (21), (22), (24).
Теорема 1. Нехай виконуються умови (A1) – (A3). Тодi можна вказати таке значення
T0, 0 < T0 ≤ T, що задача (1) – (5) має принаймнi один розв’язок
(
a(t), h(t), u(r, ϕ, t)
)
з класу
C[0, T0]× C1[0, T0]× C2,1(QT0) ∩ C1,0(QT0) такий, що a(t) > 0, h(t) > 0, t ∈ [0, T0].
Доведення. Очевидно, що достатньо довести iснування неперервного розв’язку системи
рiвнянь (17), (18), (21), (22), (24). Застосуємо до системи (17), (18), (21), (22), (24) теорему Шау-
дера про нерухому точку цiлком неперервного оператора.
Встановимо оцiнки розв’язкiв системи рiвнянь (17), (18), (21), (22), (24) .
Беручи до уваги (19), з рiвняння (17) отримуємо
v(ρ, ϕ, t) ≤ max
D0
u0(h0ρϕ) +
M0
2
:= M2 <∞, (ρ, ϕ, t) ∈ D0 × [0, T3]. (25)
Тодi, враховуючи (20), з (21) знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
922 М. I. IВАНЧОВ, Н. В. ПАБИРIВСЬКА
0 < H0 ≤ h(t) ≤ H1 <∞, t ∈ [0, T3]. (26)
З (24) з урахуванням (23) отримуємо
a(t) ≤ A1 <∞, t ∈ [0, T3]. (27)
Використовуючи (25) у (22), оцiнюємо h1(t) :
|h1(t)| ≤ H2 <∞, t ∈ [0, T3]. (28)
Позначимо V (t) := max(ρ,ϕ)∈D0
∣∣v1(ρ, ϕ, t)∣∣. З рiвняння (18) знаходимо
V (t) ≤ C1 + C2 max
(ρ,ϕ)∈D0
t∫
0
∫∫
D0
∣∣Gρ(ρ, ϕ, t, s, ψ, τ)
∣∣(1 + V (τ)
)
ds dψ dτ, t ∈ [0, T3]. (29)
Використаємо оцiнки перших похiдних функцiї Грiна [16, c. 469]. Оскiльки, з одного боку,
замiною часової змiнної σ = θ(t), де θ(t) =
∫ t
0
a(τ)
h2(τ)
dτ, рiвняння (15) зводиться до вигляду
w̃σ = ∆w̃,
а з iншого — справджуються оцiнки (25), (27), оцiнки перших похiдних функцiї Грiна G(x1, x2,
t, ξ1, ξ2, τ) першої крайової задачi для рiвняння (15) набирають вигляду
∣∣Gxi(x1, x2, t, ξ1, ξ2, τ)
∣∣ ≤ C3(
θ0(t)− θ0(τ)
)3/2 exp
(
−(x1 − ξ1)2 + (x2 − ξ2)2
C4(θ0(t)− θ0(τ))
)
, i = 1, 2,
де θ0(t) :=
∫ t
0
a(τ)dτ. Застосовуючи їх до (29), приходимо до нерiвностi
V (t) ≤ C1 + C5
t∫
0
(
1 + V (τ)
)
dτ√
θ0(t)− θ0(τ)
, t ∈ [0, T3]. (30)
Позначимо W (t) := V (t) + 1 i запишемо нерiвнiсть (30) у виглядi
W (t) ≤ C6 + C5
t∫
0
W (τ)dτ√
θ0(t)− θ0(τ)
. (31)
Беручи до уваги нерiвнiсть
a(t) ≥ C7
V (t)
≥ C7
W (t)
,
яку отримуємо з (24), надаємо (31) вигляду
W (t) ≤ C6 + C8
t∫
0
a(τ)W 2(τ)dτ√
θ0(t)− θ0(τ)
, t ∈ [0, T3]. (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ В ОБЛАСТI З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ 923
Пiднесемо обидвi частини нерiвностi (32) до квадрату i застосуємо нерiвностi Кошi та Буня-
ковського – Кошi:
W 2(t) ≤ C9 + C10
t∫
0
a(τ)dτ√
θ0(t)− θ0(τ)
t∫
0
a(τ)W 4(τ)dτ√
θ0(t)− θ0(τ)
. (33)
Внаслiдок оцiнки (27) отримуємо
t∫
0
a(τ)dτ√
θ0(t)− θ0(τ)
≤ 2
√
θ0(t) ≤ C11,
i нерiвнiсть (33) набирає вигляду
W 2(t) ≤ C9 + C12
t∫
0
a(τ)W 4(τ)dτ√
θ0(t)− θ0(τ)
, t ∈ [0, T3]. (34)
Покладемо в (34) t = σ, домножимо на
a(σ)√
θ0(t)− θ0(σ)
i зiнтегруємо по σ вiд 0 до t :
t∫
0
a(σ)W 2(σ)dσ√
θ0(t)− θ0(σ)
≤ C12 + C11
t∫
0
a(σ))dσ√
θ0(t)− θ0(σ)
σ∫
0
a(τ)W 4(τ)dτ√
θ0(σ)− θ0(τ)
. (35)
Змiнюючи порядок iнтегрування i беручи до уваги рiвнiсть
t∫
τ
a(σ)dσ√
(θ0(t)− θ0(σ))(θ0(σ)− θ0(τ))
= π,
з (32) отримуємо нерiвнiсть
W (t) ≤ C14 + C15
t∫
0
W 4(τ)dτ, t ∈ [0, T3]. (36)
У статтi [14] показано, що iснує число T0, 0 < T0 ≤ T3, яке визначається сталими C14, C15,
таке, що правильною є оцiнка
W (t) ≤M3 <∞, t ∈ [0, T0], (37)
де стала M3 визначається числами C14, C15. Тодi з (24) маємо
a(t) ≥ A0 > 0, t ∈ [0, T0]. (38)
Отже, оцiнки розв’язкiв системи рiвнянь (17), (18), (21), (22), (24) встановлено.
Розглянемо множину N :=
{
(v, v1, h, h1, a) ∈
(
C(D0 × [0, T0])
)2 × (C[0, T0]
)3
: M0/2 ≤
≤ v(ρ, ϕ, t) ≤ M2, |w(ρ, ϕ, t)| ≤ M3, H0 ≤ h(t) ≤ H1,
∣∣h1(t)∣∣ ≤ H2, A0 ≤ a(t) ≤ A1
}
. Систему
рiвнянь (17), (18), (21), (22), (24) подамо у виглядi рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
924 М. I. IВАНЧОВ, Н. В. ПАБИРIВСЬКА
ω = Pω, (39)
в якому ω = (v, v1, h, h1, a), а оператор P = (P1, P2P3, P4, P5) визначається правими частинами
рiвнянь (17), (18), (21), (22), (24). З оцiнок (20), (25) – (28), (37), (38) випливає, що оператор
P переводить множину N у себе. Те, що iнтегральний оператор P є цiлком неперервним
на N , встановлюється аналогiчно до [18]. Застосовуючи до рiвняння (38) теорему Шауде-
ра про нерухому точку цiлком неперервного оператора, отримуємо iснування неперервного
розв’язку рiвняння (38), а отже, iснування розв’язку
(
h(t), a(t), u(r, ϕ, t)
)
задачi (1) – (5) iз кла-
су C1
(
[0, T0]
)
× C
(
[0, T0]
)
× C2,1(QT0) ∩ C1,0(QT0).
Теорему доведено.
4. Єдинiсть розв’язку.
Теорема 2. Нехай, крiм умови (A1), виконується умова:
(A4) κi(t) 6= 0, t ∈ [0, T ], i = 1, 2, h(0) = h0.
Тодi задача (1) – (5) не може мати бiльше одного розв’язку
(
h(t), a(t), u(r, ϕ, t)
)
з класу
C1
(
[0, T ]
)
× C
(
[0, T ]
)
× C2,1(QT ) ∩ C1,0(QT ) такого, що a(t) > 0, h(t) > 0, t ∈ [0, T ].
Доведення. Очевидно, що досить довести єдинiсть розв’язку задачi (6) – (9). Припусти-
мо, що задача (6) – (9) має два рiзних розв’язки
(
hk(t), ak(t), vk(ρ, ϕ, t)
)
, k = 1, 2. Позначимо
H(t) := h1(t) − h2(t), H1(t) := h′1(t) − h′2(t), A(t) := a1(t) − a2(t), V (ρ, ϕ, t) := v1(ρ, ϕ, t) −
− v2(ρ, ϕ, t). З (6) – (10) отримуємо
Vt =
a1(t)
h21(t)
∆V +
ρh′1(t)
h1(t)
Vρ + f
(
ρh1(t), ϕ, t
)
− f
(
ρh2(t), ϕ, t
)
+
+
(
a1(t)
h21(t)
− a2(t)
h22(t)
)
∆v2 +
(
ρh′1(t)
h1(t)
− ρh′2(t)
h2(t)
)
ρv2ρ , (ρ, ϕ, t) ∈ D0 × (0, T ), (40)
V
∣∣
t=0
= 0, (ρ, ϕ) ∈ D0, (41)
V
∣∣
∂D0×[0,T ]= µ(ρh1(t), ϕ, t)− µ(ρh2(t), ϕ, t), (ρ, ϕ, t) ∈ ∂D0 × [0, T ], (42)
h21(t)
∫∫
D0
V (ρ, ϕ, t)ρdρ dϕ = −(h1(t) + h2(t))H(t)
∫∫
D0
v2(ρ, ϕ, t)ρdρ dϕ, t ∈ [0, T ], (43)
−a1(t)h1(t)
2π∫
0
∂V
(
g(ϕ), ϕ, t
)
∂ν
g(ϕ)dϕ =
=
(
a2(t)h2(t)− a1(t)h1(t)
) 2π∫
0
∂v2(g(ϕ), ϕ, t)
∂ν
g(ϕ)dϕ, t ∈ [0, T ]. (44)
Замiною
V (ρ, ϕ, t) = W (ρ, ϕ, t) + µ(ρh1(t), ϕ, t)− µ(ρh2(t), ϕ, t)
зведемо задачу (40) – (42) до задачi з нульовими крайовою та початковою умовами:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ В ОБЛАСТI З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ 925
Wt =
a1(t)
h21(t)
∆W +
ρh′1(t)
h1(t)
Wρ + f(ρh1(t), ϕ, t)− f(ρh2(t), ϕ, t) +
(
a1(t)
h21(t)
− a2(t)
h22(t)
)
∆v2 +
+
(
ρh′1(t)
h1(t)
− ρh′2(t)
h2(t)
)
ρv2ρ − µt(ρh1(t), ϕ, t) + µt(ρh2(t), ϕ, t)− ρh′1(t)µr(ρh1(t), ϕ, t) +
+ρh′2(t)µr(ρh2(t), ϕ, t) +
a1(t)
h21(t)
∆(µ(ρh1(t), ϕ, t)− µ(ρh2(t), ϕ, t)) +
+
ρh′1(t)
h1(t)
(
h1(t)µr
(
ρh1(t), ϕ, t
)
− h2(t)µr
(
ρh2(t), ϕ, t
))
, (ρ, ϕ, t) ∈ D0 × (0, T ), (45)
W
∣∣
t=0
= 0, (ρ, ϕ) ∈ D0, (46)
W
∣∣
∂D0×[0,T ]= 0, (ρ, ϕ, t) ∈ ∂D0 × [0, T ]. (47)
Знайшовши розв’язок задачi (45) – (47) за допомогою функцiї Грiна G̃(ρ, ϕ, t, s, ψ, τ) задачi (46),
(47) для рiвняння
Wt =
a1(t)
h21(t)
∆W +
ρh′1(t)
h1(t)
Wρ
та повернувшись до функцiї V, матимемо розв’язок задачi (40) – (42) у виглядi
V (ρ, ϕ, t) = µ(ρh1(t), ϕ, t)− µ(ρh2(t), ϕ, t)+
+
t∫
0
dτ
∫∫
D0
G̃(ρ, ϕ, t, s, ψ, τ)
(
f(sh1(τ), ψ, τ)− f(sh2(τ), ψ, τ)+
+
(
a1(τ)
h21(τ)
− a2(τ)
h22(τ)
)
∆v2(s, ψ, τ) +
(
sh′1(τ)
h1(τ)
− sh′2(τ)
h2(τ)
)
sv2s(s, ψ, τ)−
−µτ (sh1(τ), ψ, τ) + µτ
(
sh2(τ), ψ, τ
)
− sh′1(τ)µr
(
sh1(τ), ψ, τ
)
+
+sh′2(τ)µr(sh2(τ), ψ, τ) +
a1(τ)
h21(τ)
∆
(
µ
(
sh1(τ), ψ, τ
)
− µ
(
sh2(τ), ψ, τ
))
+
+
sh′1(τ)
h1(τ)
(
h1(τ)µr(sh1(τ), ψ, τ
)
− h2(τ)µr
(
sh2(τ), ψ, τ
))
ds dψ dτ, (ρ, ϕ, t) ∈ D0 × [0, T ].
(48)
Беручи до уваги те, що функцiя v2 задовольняє умови (9), (10), з (43), (44) отримуємо
H(t) = − h21(t)h
2
2(t)
κ1(t)
(
h1(t) + h2(t)
) ∫∫
D0
V (ρ, ϕ, t)ρdρ dϕ, t ∈ [0, T ], (49)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
926 М. I. IВАНЧОВ, Н. В. ПАБИРIВСЬКА
A(t) =
a2(t)h2(t)
κ2(t)h1(t)
(
−κ2(t)
h2(t)
H(t) + a1(t)h1(t)
2π∫
0
∂V (g(ϕ), ϕ, t)
∂ν
g(ϕ)dϕ
)
, t ∈ [0, T ]. (50)
Оскiльки для розв’язкiв задачi (6) – (10) справджується рiвнiсть (22), для H1(t) отримуємо
рiвняння
H1(t) =
(κ′1(t) + κ2(t)
)H(t)
∫∫
D0
f(ρh1(t), ϕ, t)ρ dρ dϕ +
+ h2(t)
∫∫
D0
(f(ρh1(t), ϕ, t)− f(ρh2(t), ϕ, t))ρ dρ dϕ
+
+h1(t)h2(t)
H(t)
∫∫
D0
f
(
ρh2(t), ϕ, t
)
ρ dρ dϕ
2π∫
0
g2(ϕ)µ
(
g(ϕ)h1(t), ϕ, t
)
dϕ−
−h1(t)
∫∫
D0
(
f
(
ρh1(t), ϕ, t
)
− f
(
ρh2(t), ϕ, t
))
ρ dρ dϕ
2π∫
0
g2(ϕ)µ
(
g(ϕ)h1(t), ϕ, t
)
dϕ+
+h1(t)
∫∫
D0
f
(
ρh1(t), ϕ, t
)
ρ dρ dϕ
2π∫
0
g2(ϕ)(µ
(
g(ϕ)h1(t), ϕ, t
)
−
− µ
(
g(ϕ)h2(t), ϕ, t)
)
dϕ
(h1(t)h2(t) 2π∫
0
g2(ϕ)µ
(
g(ϕ)h1(t), ϕ, t
)
dϕ×
×
2π∫
0
g2(ϕ)µ
(
g(ϕ)h2(t), ϕ, t
)
dϕ
)−1
, t ∈ [0, T ]. (51)
У формулi (48) використаємо зображення рiзницi значень неперервно диференцiйовної
функцiї f :
f(x)− f(y) =
1∫
0
∂
∂σ
f
(
y + σ(x− y)
)
dσ = (x− y)
1∫
0
f ′(z)|z=y+σ(x−y)dσ.
Пiдставляючи пiсля цього (48) в (49) та (50), замiнюючи в (50) i (51) значення функцiї H(t) з
формули (49), отримуємо систему однорiдних iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду з
iнтегровними ядрами. З властивостей цих рiвнянь випливає, що H(t) ≡ 0, H1(t) ≡ 0, A(t) ≡ 0,
t ∈ [0, T ]. Використовуючи це у формулi (48), отримуємо V (ρ, ϕ, t) ≡ 0, (ρ, ϕ, t) ∈ D0 × [0, T ].
Теорему доведено.
Зауважимо, що аналогiчно можна дослiдити i n-вимiрний випадок (n ≥ 3) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ОБЕРНЕНА ЗАДАЧА ДЛЯ ДВОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ДИФУЗIЇ В ОБЛАСТI З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ 927
1. Friedman A. Free boundary problems in science and technology // Notic. Amer. Math. Soc. – 2000. – 47, № 8. –
P. 854 – 861.
2. Тахиров Ж. О., Рузиев Ш. Н. Нелокальная задача Стефана // Узбек. мат. журн. – 1994. – № 3. – C. 93 – 100.
3. Kunisch K., Murphy K., Peichl G. Estimation of the conductivity in one-phase Stefan problem: basic results // Boll.
Unione mat. ital. B. – 1995. – 9, № 1. – P. 77 – 103.
4. Рузиев Ш. Н. Задача со свободной границей и с нелокальными краевыми условиями на известной части
границы // Узбек. мат. журн. – 1995. – 3. – C. 91 – 96.
5. El Badia A., Moutazaim F. A one-phase inverse Stefan problem // Inverse Problems. – 1999. – 15. – P. 1507 – 1522.
6. Iванчов М. I. Редукцiя задачi з вiльною межею для параболiчного рiвняння до оберненої задачi // Нелинейные
граничные задачи. – 2002. – Вып. 12. – C. 73 – 83.
7. Ivanchov M. I. Free boundary problem for nonlinear diffusion equation // Мат. студ. – 2003. – 19, № 2. – C. 156 – 164.
8. Iванчов М. I. Задача з вiльною межею для рiвняння дифузiї у прямокутнику // Мат. методи та фiз.-мех. поля. –
2002. – 45, № 4. – C. 67 – 75.
9. Иванчов Н. И. Обратная задача теплопроводности со свободной границей // Обратные задачи и информ.
технологии. – 2002. – 1, № 2. – C. 69 – 81.
10. Iванчов М. I. Обернена задача з вiльною межею для рiвняння теплопровiдностi // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№ 7. – C. 901 – 910.
11. Баранська I. Є. Обернена задача для параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею // Мат. методи та
фiз.-мех. поля. – 2005. – 48, № 2. – C. 32 – 42.
12. Баранська I. Є. Обернена задача з вiльною межею для параболiчного рiвняння // Мат. студ. – 2007. – 27, № 1. –
C. 85 – 94.
13. Баранська I. Є., Iванчов М. I. Обернена задача для двовимiрного рiвняння теплопровiдностi в областi з вiльною
межею // Укр. мат. вiсн. – 2007. – 4, № 4. – C. 457 – 484.
14. Баранська I. Є. Обернена задача в областi з вiльною межею для анiзотропного рiвняння параболiчного ти-
пу // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2008. – Вип. 374. – C. 13 – 28.
15. Баранська I. Є. Обернена задача з вiльною межею для двовимiрного параболiчного рiвняння // Мат. методи
та фiз.-мех. поля. – 2007. – 50, № 2. – C. 17 – 28.
16. Снiтко Г. А. Коефiцiєнтна обернена задача для параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею // Мат.
методи та фiз.-мех. поля. – 2008. – 51, № 4. – C. 37 – 47.
17. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
18. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type // Math. Stud. Monograph Ser. – Lviv: VNTL Publ.,
2003. – 240 p. – 10.
19. Фридман А. Уравнения в частных производных параболического типа. – М.: Наука, 1968. – 428 с.
Одержано 18.06.12,
пiсля доопрацювання — 11.03.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2477 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:10Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f8/a258ae7688a1dea3aa6583a10cc64ff8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24772020-03-18T19:16:28Z Inverse Problem for a Two-Dimensional Diffusion Equation in a Domain with Free Boundary Обернена задача для двовимірного рівняння дифузії в області з вільною межею Ivanchov, N. I. Pabyrivs’ka, N. V. Іванчов, М. І. Пабирівська, Н. В. We establish conditions for the existence and uniqueness of a smooth solution to the inverse problem for a two-dimensional diffusion equation with unknown time-dependent leading coefficient in a domain with free-boundary. The equation of unknown boundary is given in the form of the product of a known function of space variables and an unknown time-dependent function. Установлены условия существования и единственности гладкого решения обратной задачи в области со свободной границей для двумерного уравнения диффузии с неизвестным зависящим от времени старшим коэффициентом. Уравнение неизвестной границы задается произведением известной функции пространственных переменных и неизвестной функции, зависящей от времени. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2477 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 7 (2013); 917–927 Український математичний журнал; Том 65 № 7 (2013); 917–927 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2477/1720 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2477/1721 Copyright (c) 2013 Ivanchov N. I.; Pabyrivs’ka N. V. |
| spellingShingle | Ivanchov, N. I. Pabyrivs’ka, N. V. Іванчов, М. І. Пабирівська, Н. В. Inverse Problem for a Two-Dimensional Diffusion Equation in a Domain with Free Boundary |
| title | Inverse Problem for a Two-Dimensional Diffusion Equation in a Domain with Free Boundary |
| title_alt | Обернена задача для двовимірного рівняння дифузії в області з вільною межею |
| title_full | Inverse Problem for a Two-Dimensional Diffusion Equation in a Domain with Free Boundary |
| title_fullStr | Inverse Problem for a Two-Dimensional Diffusion Equation in a Domain with Free Boundary |
| title_full_unstemmed | Inverse Problem for a Two-Dimensional Diffusion Equation in a Domain with Free Boundary |
| title_short | Inverse Problem for a Two-Dimensional Diffusion Equation in a Domain with Free Boundary |
| title_sort | inverse problem for a two-dimensional diffusion equation in a domain with free boundary |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2477 |
| work_keys_str_mv | AT ivanchovni inverseproblemforatwodimensionaldiffusionequationinadomainwithfreeboundary AT pabyrivskanv inverseproblemforatwodimensionaldiffusionequationinadomainwithfreeboundary AT ívančovmí inverseproblemforatwodimensionaldiffusionequationinadomainwithfreeboundary AT pabirívsʹkanv inverseproblemforatwodimensionaldiffusionequationinadomainwithfreeboundary AT ivanchovni obernenazadačadlâdvovimírnogorívnânnâdifuzíívoblastízvílʹnoûmežeû AT pabyrivskanv obernenazadačadlâdvovimírnogorívnânnâdifuzíívoblastízvílʹnoûmežeû AT ívančovmí obernenazadačadlâdvovimírnogorívnânnâdifuzíívoblastízvílʹnoûmežeû AT pabirívsʹkanv obernenazadačadlâdvovimírnogorívnânnâdifuzíívoblastízvílʹnoûmežeû |