Trees as Level Sets for Pseudoharmonic Functions in the Plane
Let T be a finite or infinite tree and let V 0 be the set of all vertices of T of valency 1. We propose a sufficient condition for the image of the imbedding ψ: T \V 0 → \( {{\mathbb{R}}^2} \) to be a level set of a pseudoharmonic function.
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2483 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508382186700800 |
|---|---|
| author | Polulyakh, E. O. Полулях, Є. О. |
| author_facet | Polulyakh, E. O. Полулях, Є. О. |
| author_sort | Polulyakh, E. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:16:28Z |
| description | Let T be a finite or infinite tree and let V 0 be the set of all vertices of T of valency 1. We propose a sufficient condition for the image of the imbedding ψ: T \V 0 → \( {{\mathbb{R}}^2} \) to be a level set of a pseudoharmonic function. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 515.173.2, 517.54, 517.572
Є. О. Полулях (Iн-т математики НАН України, Київ)
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ
ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI*
Let T be a tree, finite or infinite. Let V0 be the set of all vertices of T of degree 1. We propose a sufficient condition for
the image of an imbedding Ψ: T \ V0 → R2 to be a level set of a pseudoharmonic function.
Предложено достаточное условие для того, чтобы образ вложения Ψ: T \V0 → R2, где T — дерево, конечное или
бесконечное, V0 — множество его вершин валентности 1, был множеством уровня псевдогармонической функции.
1. Означення i формулювання результатiв. Нехай T = (V,E) — дерево (можливо, нескiн-
ченне) з множиною вершин V i множиною ребер E.
Валентнiстю вершини далi будемо називати кiлькiсть ребер, iнцидентних данiй вершинi.
Будемо вважати, що ця величина для кожної вершини є скiнченною. Позначимо через V0
множину всiх вершин T валентностi 1.
Шляхом, що з’єднує вершини v′, v′′ ∈ V, називається скiнченна послiдовнiсть ребер ek =
= (vk−1, vk), k = 1, . . . , n, така, що v′ = v0, v
′′ = vn i ek 6= el при k 6= l. Шлях називається
простим, якщо vi 6= vj при i 6= j, i, j ∈ {0, 1, . . . , n}.
Означення 1. Множину A ∈ Z будемо називати допустимим дiапазоном, якщо вона має
один iз наступних альтернативних видiв:
A = Z;
A = {k ∈ Z |m ≤ k ≤M} для деяких m, M ∈ Z, m ≤M ;
A = {k ∈ Z | k ≤M} для деякого M ∈ Z;
A = {k ∈ Z |m ≤ k} для деякого m ∈ Z.
Ланцюжком називається послiдовнiсть ребер {ek = (vk−1, vk)}k∈A, яка вiдповiдає наступ-
ним вимогам:
множина iндексiв A є допустимим дiапазоном;
ek 6= el при k 6= l, k, l ∈ A.
Ланцюжок називається простим, якщо vi 6= vj при i 6= j.
Ланцюжок називається максимальним, якщо одночасно виконуються спiввiдношення
((k − 1 /∈ A) ∧ (k ∈ A))⇒ (vk−1 ∈ V0),
((k ∈ A) ∧ (k + 1 /∈ A))⇒ (vk ∈ V0),
тобто „перша” i „остання” вершини ланцюжка (коли вони є) мають валентнiсть 1.
Спiвставимо дереву T топологiчний простiр T̂ за допомогою наступної процедури.
Вiзьмемо диз’юнктне об’єднання одиничних вiдрiзкiв T̂0 =
⊔
e∈E
Ie, iндексоване множи-
ною ребер дерева T. Для кожного e = (v′, v′′) ∈ E кiнцям вiдрiзка Ie спiвставимо вершини v′ i
v′′ дерева T, якi є кiнцями ребра e. Зафiксуємо також гомеоморфiзм ϕe : [0, 1]→ Ie.
* Виконано при частковiй пiдтримцi гранта М/522-2011 Держiнформнауки України i гранта Ф40.1/009 Держав-
ного фонду фундаментальних дослiджень України.
c© Є. О. ПОЛУЛЯХ, 2013
974 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI 975
Розглянемо на просторi T̂0 розбиття f, елементами якого є:
одноточковi множини — внутрiшнi точки вiдрiзкiв Ie, e ∈ E;
для кожної вершини v ∈ V множина кiнцiв вiдрiзкiв Ie, e ∈ E, якi вiдповiдають вершинi v.
Позначимо через T̂ = T̂0/f фактор-простiр простору T̂ по розбиттю f. Нехай pr: T̂0 → T̂ —
вiдображення проекцiї.
Далi ми не будемо розрiзняти дерево T i його „топологiчний носiй” T̂ , оскiльки простiр T̂
успадковує комбiнаторнi властивостi дерева T. Наприклад, „вершинами” в T̂ є точки — проекцiї
елементiв розбиття f,що вiдповiдають вершинам T. „Ребрами” (замкненими) є проекцiї множин
Ie, e ∈ E. Кажучи, що точка w дерева T належить ребру e, будемо мати на увазi, що точка w
простору T̂ належить множинi pr(Ie).
Нехай S2 — двовимiрна сфера. Зафiксуємо точку s ∈ S2, наприклад її пiвнiчний полюс.
Означення 2. Неперервне вiдображення Φ: T → S2 називається плоским, якщо воно
вiдповiдає наступним властивостям:
(i) Φ−1(s) = V0;
(ii) множина Φ(T ) ∪ {s} замкнена в S2;
(iii) вiдображення Φ|T\V0 : T \ V0 → S2 є гомеоморфiзмом на свiй образ.
Означення 3. Неперервне вiдображення Ψ: T \ V0 → R2 називається плоским, якщо
iснують такi плоске вiдображення Φ: T → S2 i гомеоморфiзм ψ : R2 → S2 \ {s}, що
Ψ = ψ−1 ◦ Φ|T\V0 .
Зауваження 1. Для пояснення властивостi (ii) в означеннi 2 зазначимо, що у випадку
нескiнченного дерева T можлива ситуацiя, коли V0 = ∅.
Зауваження 2. Якщо вiдображення Ψ: T \ V0 → R2 є плоским, а Θ: R2 → R2 — го-
меоморфiзм, то i вiдображення Θ ◦ Ψ є плоским, тому що Θ ◦ Ψ = (ψ ◦ Θ−1)−1 ◦ Φ|T\V0 i
ψ ◦Θ−1 : R2 → S2 \ {s} — гомеоморфiзм (тут Φ i ψ — вiдображення з означення 3).
Означення 4 [1, 2]. Функцiя f : R2 → R називається псевдогармонiчною в точцi z ∈ R2,
якщо iснують вiдкритий окiл Uz цiєї точки i гомеоморфiзм ϕ : Uz → {(x, y) ∈ R2 |x2 +y2 < 1}
такi, що ϕ(z) = 0 i функцiя f ◦ ϕ−1 гармонiчна i не є константою.
Функцiя f : R2 → R називається псевдогармонiчною, якщо вона псевдогармонiчна в кожнiй
точцi z ∈ R2.
Теорема 1. Припустимо, що валентнiсть кожної вершини дерева T або дорiвнює 1, або
є парним числом, бiльшим нiж 2.
Нехай Ψ: T \ V0 → R2 — плоске вiдображення.
Тодi iснує псевдогармонiчна функцiя f : R2 → R, для якої Ψ(T \ V0) = f−1(0).
Насамкiнець наведемо кiлька означень, якi будуть потрiбнi далi.
Означення 5 [3]. Покриття Γ топологiчного простору X називається фундаменталь-
ним, якщо довiльна множина, перетин якої з кожною множиною B ∈ Γ є вiдкритим у B, сама
є вiдкритою в X.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
976 Є. О. ПОЛУЛЯХ
Вiдомо [3], що всi вiдкритi покриття, а також всi скiнченнi i локально скiнченнi замкненi
покриття є фундаментальними.
Далi ми будемо позначати через A i FrA вiдповiдно замикання i межу множини A.
Нехай W — область на площинi R2 або на двовимiрнiй сферi S2. Позначимо I = [0, 1].
Означення 6 [4]. Проста неперервна крива η : I → W називається надрiзом областi W,
якщо η(0) ∈ FrW i η(t) ∈W при t > 0.
Точка z ∈ FrW називається досяжною з W, якщо iснує надрiз η областi W такий, що
η(0) = z.
Проста неперервна крива ν : I →W називається розрiзом областiW мiж точками z1, z2 ∈
∈ FrW, якщо ν(0) = z1, ν(1) = z2, ν(t) ∈W при t ∈ (0, 1).
2. Доведення теореми 1. 2.1. Деякi властивостi графiв. Наведемо кiлька вiдомих фактiв
iз теорiї графiв (див. [5, 6]), якi будуть потрiбнi далi.
Твердження 1. Нехай Γ — скiнченний граф.
Тодi кiлькiсть вершин Γ, якi мають непарну валентнiсть, є парним числом.
Наслiдок 1. Нехай Γ — скiнченний граф, валентнiсть кожної вершини якого або дорiвнює
1, або є парним числом.
Тодi множина V0 вершин Γ валентностi 1 має парне число елементiв.
Нехай T — дерево (скiнченне або нескiнченне).
Твердження 2. Якщо скiнченне дерево T невироджене (E 6= ∅), то множина V0 вершин
валентностi 1 мiстить принаймнi два елементи.
Твердження 3. Нехай v — вершина дерева T валентностi n, а T ′ — граф, отриманий з
T вилученням вершини v ∈ V i всiх ребер e1, . . . , en ∈ E, що є сумiжними для цiєї вершини.
Тодi T ′ є незв’язною сумою n дерев T1, . . . , Tn, до того ж дерево Ti мiстить вершину
дерева T, сумiжну з ребром ei, вiдмiнну вiд v, i = 1, . . . , n.
Перейдемо до дослiдження деяких властивостей топологiчного простору T̂ .Ми домовилися
(див. вище) не розрiзняти T i T̂ , тому далi будемо говорити про топологiчнi властивостi де-
рева T.
Нехай n ∈ N зафiксовано. Розглянемо наступну конструкцiю.
Позначимо через Q̃n =
⊔n
i=1
Ji незв’язне об’єднання n одиничних напiвiнтервалiв. Зафiк-
суємо гомеоморфiзми hi : [0, 1)→ Ji, i = 1, . . . , n. Нехай Rn =
⊔n
i=1
hi(0).
Розглянемо розбиття h простору Q̃n на одноточковi множини {x}, x /∈ Rn, i множину Rn.
Нехай Qn = Q̃n/h = Q̃n/Rn — фактор-простiр Q̃n по розбиттю h (див. рис. 1). Позначимо
через prn : Q̃n → Qn вiдображення проекцiї. Позначимо також qn = prn(Rn).
Твердження 4. Для кожної вершини v ∈ T валентностi n ∈ N iснують ї ї вiдкритий
окiл Uv ⊂ T, який лежить в об’єднаннi її сумiжних ребер, а також вкладення iv : Qn → T,
для якого iv(Qn) = Uv, iv(qn) = v.
Для кожної точки w ∈ T \V iснує її вiдкритий окiл Uw в T, який лежить на тому ж ребрi
T, що й w, i гомеоморфний вiдкритому iнтервалу.
Доведення. 1. Нехай вершина v ∈ T має валентнiсть n ∈ N, а e1, . . . , en ∈ E — всi ребра,
iнцидентнi v.
Позначимо (див. вище) Ik = Iek , ϕk = ϕek : [0, 1]→ Ik, k = 1, . . . , n. Для простоти будемо
вважати, що вершинi v вiдповiдає ϕk(0) для кожного k.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI 977
Рис. 1. Приклад: простори Q1 i Q5.
Визначимо ĩv : Q̃n → T̂0 таким чином:
ĩv|Jk = ϕk ◦ h−1
k : Jk → Ik, k = 1, . . . , n .
Зрозумiло, що вiдображення ĩv є неперервним, ĩv(Rn) =
⊔n
k=1
ϕk(0) — повний прообраз вер-
шини v вiдносно проекцiї pr: T̂0 → T, а всi точки множини Q̃n \Rn вiдображаються пiд дiєю
ĩv у внутрiшнi точки вiдрiзкiв I1, . . . , In. Тому ĩv вiдображає елементи розбиття h на елементи
розбиття f простору T̂0 i визначено неперервне фактор-вiдображення iv = fact ĩv : Qn → T
(таке, що pr ◦ ĩv = iv ◦ prn), до того ж iv(qn) = v, а також iv(Qn) ⊂
⋃n
k=1 pr (Ik) =
⋃n
k=1 ek.
Iн’єктивнiсть iv випливає з iн’єктивностi обмеження ĩv|Q̃n\Rn .
За означенням множина
Ũv =
⊔n
k=1
Ik \ ϕk(1) =
⊔n
k=1
ĩv(Jk) = ĩv(Q̃n)
є насиченою вiдкритою множиною в T̂0, тому множина Uv = iv(Qn) = pr (Ũv) 3 v є вiдкритим
околом точки v в T.
Аналогiчнi мiркування приводять до висновку, що ĩv вiдображає вiдкритi насиченi множини
на вiдкритi насиченi множини, тому фактор-вiдображення iv є вiдкритим.
Внаслiдок викладеного вiдображення iv є вкладенням, i першу частину твердження дове-
дено.
2. Нехай w ∈ T \ V. Знайдеться e ∈ E, для якого w ∈ pr (Ie). Позначимо I̊ = (0, 1),
Ũw = ϕe(I̊), Uw = pr (Ũw).
Зазначимо, що множина Ũw є вiдкритою в T̂0 i насиченою (кожна точка цiєї множини
належить одноточковому елементу розбиття f простору T̂0). Крiм того, pr−1(V )∩Ie = Ie\Ũw =
= {ϕe(0), ϕe(1)}. Тому ∅ 6= pr−1(w)∩ Ie = pr−1(w)∩ Ũw i внаслiдок насиченостi множини Ũw
виконується спiввiдношення pr−1(w) ⊂ Ũw.
Отже, множина Uw є вiдкритим околом точки w, не перетинається з множиною вершин T,
лежить на тому ж ребрi e, що i w. Крiм того, вiдображення pr |Ũw : Ũw → Uw є бiєктивним,
його область визначення i множина значень є вiдкритими пiдмножинами вiдповiдних просторiв.
Тому з означення вiдображення проекцiї випливає, що pr|Ũw — вiдкрите вiдображення. Отже,
pr ◦ ϕe|I̊ : I̊ → T гомеоморфно вiдображає вiдкритий iнтервал I̊ на Uw.
Твердження 4 доведено.
2.2. Властивостi плоских вiдображень дерев. Нехай Ψ: T \ V0 → R2 — плоске вiдобра-
ження дерева T, а Φ: T → S2 i ψ : R2 → S2 \ {s} — вiдповiднi вiдображення з означення 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
978 Є. О. ПОЛУЛЯХ
Твердження 5. Кожна компактна пiдмножина площини R2 перетинається лише з обра-
зом скiнченного пiдграфа дерева T.
Доведення. Згiдно з oзначенням 2 маємо Φ(T \V0) ⊂ S2\{s}. Тому визначено вiдображення
Φ0 : T \ V0 → S2 \ {s},
Φ0 : w 7→ Φ(w), w ∈ T \ V0 .
Зрозумiло, що Ψ = ψ−1 ◦ Φ|T\V0 = ψ−1 ◦ Φ0.
S2 \ {s} є вiдкритою пiдмножиною сфери S2, також за означенням 2 вiдображення Φ|T\V0
є гомеоморфiзмом на свiй образ. Тому вiдображення Φ0, а разом з ним i вiдображення Ψ є
вкладеннями простору T \ V0 до просторiв S2 \ {s} i R2 вiдповiдно.
За означенням множина Φ(T ) ∪ {s} замкнена в S2. Тому Φ0(T \ V0) = Φ(T \ V0) = Φ(T ) ∩
∩ S2 \ {s} i Ψ(T \ V0) є замкненими пiдмножинами просторiв S2 \ {s} i R2 вiдповiдно.
Нехай A ⊂ R2 — деяка компактна множина. Тодi A0 = A ∩ Ψ(T \ V0) — компактна пiд-
множина площини. Легким наслiдком твердження 4 є хаусдорфовiсть простору T, тому образ
AT = Ψ−1(A0) цiєї множини пiд дiєю неперервного вiдображення Ψ−1 : Ψ(T \ V0) → T є
компактом.
Вiдкритi околи Uw, w ∈ T, з твердження 4 утворюють покриття простору T. Очевидно,
кожна з множин Uw перетинається лише зi скiнченним числом ребер графа T. Використавши
компактнiсть множини AT ⊂ T, виберемо з цього покриття скiнченне пiдпокриття цiєї множи-
ни. Зрозумiло, що воно, а разом з ним i множина AT будуть перетинатись лише зi скiнченним
пiдграфом T.
Отже, множина A перетинається лише з образом скiнченного пiдграфа T.
Твердження 5 доведено.
Лема 1. Нехай w ∈ T \V0. Знайдуться окiл Uw точки w, який вiдповiдає твердженню 4,
а також гомеоморфiзм Θ: R2 → R2, якi задовольняють наступнi умови:
1a) Θ ◦Ψ(Uw) = {t (cos (2πk/n), sin (2πk/n)) | t ≥ 0, k = 0, . . . , n− 1} ∩ {(x, y) ∈ R2 |x2 +
+ y2 < 1}, якщо w ∈ V \ V0 — вершина валентностi n > 1;
1б) Θ ◦Ψ(Uw) = (−1, 1)× {0}, якщо w ∈ T \ V ;
2) Θ ◦Ψ(T \ V0) ∩ {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 < 1} = Θ ◦Ψ(Uw).
Доведення. 1a) Нехай w ∈ V \ V0 — вершина валентностi n > 1.
Нехай v1, . . . , vn — всi вершини, сумiжнi з w, а e1 = (w, v1), . . . , en = (w, vn) — всi ребра,
iнцидентнi вершинi w.
(i) Припустимо спочатку, що vk /∈ V0, k = 1, . . . , n.
Образи ребер ek, k = 1, . . . , n, пiд дiєю вiдображення Ψ є простими неперервними кривими,
тому що Ψ є вкладенням T \V0 у площину (див. доведення твердження 5). Зафiксуємо парамет-
ризацiю χk : [0, 1]→ Ψ(ek), χk(0) = Ψ(w), χk(1) = Ψ(vk), кривої Ψ(ek) в R2, k = 1, . . . , n.
Нехай ρ — стандартна метрика в R2,
d = min
k∈{1,...,n}
ρ(χk(0), χk(1)) = min
k∈{1,...,n}
ρ(Ψ(w),Ψ(vk)) .
Розглянемо коло S = {z ∈ R2 | ρ(Ψ(w), z) = d/2} радiуса d/2 з центром у точцi Ψ(w).
Зрозумiло, що всi Ψ(vk) лежать за межами S, тому для кожного k = 1, . . . , n iснує єдине
значення параметра τk = min {t |χk(t) ∈ S} ∈ (0, 1), при якому вiдбувається перша зустрiч
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI 979
кривої χk з колом S. За означенням χk(t) ∈ {z ∈ R2 | ρ(Ψ(w), z) < d/2} при t ∈ [0, τk),
k = 1, . . . , n.
Не обмежуючи загальностi мiркувань, змiнимо нумерацiю вершин i ребер так, щоб при
обходi кола S в додатному напрямку ми проходили точки χ1(τ1), χ2(τ2), . . . , χn(τn) послiдовно.
Позначимо αk = χ([0, τk]), k = 1, . . . , n. Нехай βk — сегмент кола S, який при обходi кола в
додатному напрямку з’єднує точку χk(τk) з точкою χi+1(τi+1), k = 1, . . . , n−1, а βn — сегмент
кола мiж точками χn(τn) i χ1(τ1).
Розглянемо коло S0 = {z ∈ R2 | ρ(0, z) = 1}. Позначимо
rk = (cos (2πk/n), sin (2πk/n)) ∈ S0, k = 1, . . . , n .
Розглянемо набiр вiдрiзкiв α̂k = {rkt | t ∈ [0, 1]}, k = 1, . . . , n, якi з’єднують початок координат
з точками r1, . . . , rn. Нехай β̂k = {(cos (2πt/n), sin (2πt/n)) | t ∈ [k, k + 1]}, k = 1, . . . , n.
При обходi кола S0 в додатному напрямку ми проходимо точки r1, . . . , rn в тому ж порядку,
що й точки χ1(τ1), χ2(τ2), . . . , χn(τn) при обходi кола S в додатному напрямку. Тому iснує
гомеоморфiзм µ0 : S → S0 такий, що µ0(χk(τk)) = rk, µ0(βk) = β̂k, k = 1, . . . , n.
Зафiксуємо гомеоморфiзми вiдрiзкiв µk : αk → α̂k такi, що µk(Ψ(w)) = 0, µk(χk(τk)) = rk,
k = 1, . . . , n.
Позначимо C = S ∪
⋃n
k=1
αk, C0 = S0 ∪
⋃n
k=1
α̂k.
Легко бачити, що коректно визначено вiдображення µ : C → C0,
µ(z) =
µ0(z), якщо z ∈ S,
µk(z), якщо z ∈ αk, k = 1, . . . , n .
Компактнi пiдмножини S, α1, . . . , αn утворюють фундаментальне покриття простору C
(див. [3]), i обмеження µ на кожну з цих множин є неперервним, тому i вiдображення µ є
неперервним. Крiм того, як легко бачити, µ є бiєктивним вiдображенням компакта C на C0. На
пiдставi викладеного робимо висновок, що µ є гомеоморфiзмом.
Позначимо γn = αn ∪ α1 ∪ βn, γk = αk ∪ αk+1 ∪ βk, k = 1, . . . , n − 1. Безпосередньо
перевiряється, що всi γk є жордановими кривими. Нехай Dk — замкнений диск, обмежений
кривою γk, а також D̊k = Dk \ γk, k = 1, . . . , n.
З того, що перетин γk ∩ γm є зв’язною множиною при всiх k 6= m, k,m ∈ {1, . . . , n},
випливає, що D̊k ∩ D̊m = ∅ при k 6= m. Також D̊k ∩ C = ∅, k = 1, . . . , n, внаслiдок поперед-
нього спостереження i того, що C =
⋃n
k=1
γk =
⋃n
k=1
Fr D̊k.
Позначимо γ̂n = α̂n ∪ α̂1 ∪ β̂n, γ̂k = α̂k ∪ α̂k+1 ∪ β̂k, k = 1, . . . , n − 1. Очевидно, всi γ̂k є
жордановими кривими. НехайD0,k — замкнений диск, обмежений кривою γ̂k, а D̊0,k = D0,k\γ̂k,
k = 1, . . . , n. Зрозумiло, що D̊0,k ∩ D̊0,m = ∅ при k 6= m, а також D̊0,k ∩ C = ∅, k = 1, . . . , n.
Вiдомо [4], що гомеоморфiзм µ|γk : γk → γ̂k, k = 1, . . . , n, простих замкнених кривих
можна продовжити до гомеоморфiзму дискiв θk : Dk → D0,k, k = 1, . . . , n, обмежених даними
кривими.
Позначимо через D (вiдповiдно D0) замкнений диск, обмежений колом S (вiдповiдно S0).
Елементарно перевiряється, що D =
⋃n
k=1
Dk, D0 =
⋃n
k=1
D0,k, i коректно визначено
бiєктивне вiдображення θ0 : D → D0, θ0(z) = θk(z), якщо z ∈ Dk (рис. 2).
Компактнi пiдмножини D1, . . . , Dn утворюють фундаментальне покриття простору D
(див. [3]), i обмеження θ0 на кожну з цих множин неперервне за побудовою, тому i вiдображен-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
980 Є. О. ПОЛУЛЯХ
Рис. 2. Вiдображення θ0.
ня θ0 є неперервним. Крiм того, з бiєктивностi неперервного вiдображення θ0 компакта D на
D0 випливає, що θ0 є гомеоморфiзмом.
Вiдома теорема про продовження (див. [4]) стверджує, що гомеоморфiзм двох жорданових
кривих на площинi можна продовжити до гомеоморфiзму площини на себе. На пiдставi цiєї
теореми знайдемо гомеоморфiзм θ̃1 : R2 → R2 такий, що θ̃1|S = θ0|S = µ0 : S → S0. Позначимо
через θ1 обмеження θ̃1 на множину D′ = {z | ρ(z,Ψ(w)) ≥ d/2} — замикання зовнiшностi кри-
вої S.
Зрозумiло, що коректно визначено бiєктивне вiдображення θ : R2 → R2,
θ(z) =
θ0(z), якщо z ∈ D,
θ1(z), якщо z ∈ D′ .
МножиниD iD′ утворюють скiнченне замкнене покриття простору R2, яке є фундаментальним,
тому вiдображення θ є неперервним. Крiм того, легко бачити, що обидва вiдображення θ0 i θ1
замкненi, внаслiдок чого вiдображення θ також є замкненим. Тому обернене вiдображення θ−1
неперервне i θ є гомеоморфiзмом.
Повторюючи з очевидними змiнами мiркування, використанi при доведеннi твердження 4,
приходимо до висновку, що множина
U0,w =
n⋃
k=1
Ψ−1 ◦ χk
(
[0, τk)
)
є вiдкритим околом вершини w в T, який належить до об’єднання сумiжних ребер цiєї вершини
i гомеоморфний множинi Qn. Останнє твердження випливає з того, що за побудовою
Q̂n = θ ◦Ψ(U0,w) =
(⋃n
k=1
α̂k
)
\ S0 =
⋃n
k=1
{rkt | t ∈ [0, 1)},
а ця множина очевидно гомеоморфна Qn.
Розглянемо замкнену пiдмножину Xw = T \ U0,w дерева T. Зрозумiло, що множина X̃w =
= Xw \ V0 замкнена в T \ V0, а її образ Yw = θ ◦Ψ(X̃w) замкнений в θ ◦Ψ(T \ V0). Множина
θ ◦ Ψ(T \ V0) є замкненою в R2, тому i Yw = (θ ◦ Ψ(T \ V0)) \ Q̂n — замкнена пiдмножина
площини.
Позначимо D̊a(0) = {z | ρ(z, 0) < a}, a > 0. За побудовою 0 = θ ◦ Ψ(w) /∈ Yw, тому iснує
δ > 0, для якого Yw ∩ D̊δ(0) = ∅. Очевидно, можна вважати, що δ ≤ 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI 981
Позначимо Q̂n(δ) = Q̂n ∩ Dδ(0). За побудовою 0 = θ ◦ Ψ(w) ∈ Q̂n(δ) = Dδ(0) ∩ θ ◦
◦ Ψ(T \ V0) ⊆ θ ◦ Ψ(U0,w), Тому множина Uw = (θ ◦ Ψ)−1(Q̂n(δ)) лежить в об’єднаннi ребер
графа T, iнцидентних вершинi w.
Очевидно, Q̂n(δ) — вiдкрита пiдмножина θ ◦Ψ(T \V0), тому Uw є вiдкритою пiдмножиною
простору T \V0, який сам є вiдкритим пiдпростором T. Отже, множина Uw є вiдкритим околом
вершини w в T.
Нарештi, θ ◦ Ψ гомеоморфно вiдображає простiр T \ V0 на свiй образ (див. доведення
твердження 5), тому пiдмножина Uw простору θ ◦ Ψ(T \ V0) гомеоморфна множинi Q̂n(δ), а
разом з нею i множинi Qn. Враховуючи те, що Qn — вiдкрита пiдмножина простору T \ V0,
який у свою чергу є вiдкритим пiдпростором T, приходимо до висновку, що пiдпростiр Uw
простору T гомеоморфний Qn.
Нехай L : R2 → R2, L(z) = z/δ, Θ = L ◦ θ. Легко бачити, що окiл Uw вершини w ∈ V \ V0
i гомеоморфiзм Θ задовольняють умови леми.
(ii) Нехай тепер w ∈ V \ V0, а сумiжнi вершини графа T вiдповiдають таким умовам:
v1, . . . , vm ∈ V0, vm+1, . . . , vn ∈ V \ V0.
Розглянемо вiдрiзки Iek з T̂0, якi вiдповiдають ребрам ek = (w, vk) i параметризованi за
допомогою гомеоморфiзмiв ϕek : [0, 1] → Iek , k = 1, . . . ,m. Для простоти можна вважати, що
w = pr ◦ ϕek(0), vk = pr ◦ ϕek(1), k = 1, . . . ,m.
Очевидно, pr ◦ϕek([0, 1/2]) ⊂ T \ V0. Тому вiдображення χ′k : [0, 1]→ Ψ ◦ pr ◦ϕek([0, 1/2]),
χ′k(t) = Ψ ◦ pr ◦ϕek(t/2), t ∈ [0, 1], є простою неперервною кривою для кожного k = 1, . . . ,m.
Розглядаючи замiсть вершин vk ∈ V0 точки v′k = pr ◦ ϕek(1/2) ∈ T \ V0, а також кривi χ′k,
k = 1, . . . ,m, i повторюючи попереднi мiркування з очевидними змiнами, знаходимо окiл Uw
вершини w ∈ V \ V0 i гомеоморфiзм Θ, якi задовольняють умови леми.
1б) Нехай точка w ∈ T \V лежить на ребрi e. Розглянемо вiдрiзок Ie i його параметризацiю
ϕe : [0, 1] → Ie. За побудовою (pr ◦ ϕe)−1(V ) = {0, 1}, тому знайдуться 0 < t1 < t2 < 1
такi, що (pr ◦ ϕe)−1(w) ∈ (t1, t2). Зрозумiло, що pr ◦ ϕe([t1, t2]) ⊂ T \ V0, тому вiдображення
χ : [0, 1]→ R2, χ(t) = Ψ ◦ pr ◦ ϕe(t2t+ t1(1− t)) є простою неперервною кривою. При цьому
Ψ(w) = χ(t0) для деякого t0 ∈ (0, 1).
Вiдомо [4], що кожна проста дуга на площинi є дугою деякої жорданової кривої. Зафiксуємо
жорданову криву γ, дугою якої є χ. Нехай γ0 — жорданова крива, що обмежує прямокутник
[−1, 1] × [0, 1]. Легко знайти гомеоморфiзм η : γ → γ0 такий, що η ◦ Ψ(w) = 0, η ◦ χ([0, 1]) =
= [−1, 1]× {0}.
Використаємо теорему про продовження (див. [4]) i продовжимо η до гомеоморфiзму пло-
щини θ.
Множина Uw = pr ◦ ϕ((t1, t2)) = Ψ−1(χ((0, 1))) = (θ ◦Ψ)−1((−1, 1)× {0}) вiдкрита в T i
гомеоморфна iнтервалу (див. доведення твердження 4).
Задовольнити умову 2 леми допомагають мiркування, абсолютно аналогiчнi (з очевидними
змiнами) тим, якi ми використали у випадку w ∈ V \ V0.
Лему 1 доведено.
Твердження 6. Нехай Q — компонента зв’язностi множини R2 \Ψ(T \ V0).
Якщо пiд дiєю Ψ образ деякої точки w ребра e, вiдмiнної вiд вершини, належить FrQ, то
образ його пiдмножини e \ V0 мiститься в FrQ.
Доведення. Нехай точка w належить ребру e дерева T. Позначимо I = [0, 1], I̊ = (0, 1).
Розглянемо вiдображення ϕe : I → Ie та ϕ̂e = pr ◦ ϕe : I → T. За побудовою ϕ̂e(I) ∩ V =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
982 Є. О. ПОЛУЛЯХ
= {ϕ̂e(0), ϕ̂e(1)}. Тому з твердження 4 випливає, що „вiдкрите” ребро ϕ̂e(I̊) є зв’язним вiдкри-
тим околом точки w в T.
Внаслiдок леми 1 справедливим є наступне спостереження: якщо Ψ(w′) ∈ FrQ для деякого
w′ ∈ T \ V, то iснує окiл V ′ 3 w′ в T, для якого Ψ(V ′) ⊂ FrQ; у випадку Ψ(w′′) /∈ FrQ,
w′′ ∈ T \ V, знайдеться окiл V ′′ 3 w′′ в T такий, що Ψ(V ′′) ∩ FrQ = ∅.
Позначимо A = {w′ ∈ ϕ̂e(I̊) |Ψ(w′) ∈ FrQ}, B = {w′′ ∈ ϕ̂e(I̊) |Ψ(w′′) /∈ FrQ}. З
попереднього спостереження випливає, що цi множини вiдкритi в T. Очевидно також, що
A ∩ B = ∅ i A ∪ B = ϕ̂e(I̊). Множина ϕ̂e(I̊) зв’язна (вона є образом зв’язної множини I̊
пiд дiєю неперервного вiдображення), тому одна з множин A або B є порожньою. За вибором
точки w маємо B = ∅. Отже, Ψ ◦ ϕ̂e(I̊) ∈ FrQ i Ψ(e \ V0) = Ψ(ϕ̂e(I) \ V0) ⊂ Ψ ◦ ϕ̂e(I̊) ⊂
⊂ FrQ.
Твердження 6 доведено.
Твердження 7. Нехай Q — компонента зв’язностi множини R2 \Ψ(T \ V0), v ∈ V \ V0,
Ψ(v) ∈ FrQ. Припустимо, що окiл Uv точки v i гомеоморфiзм Θ: R2 → R2 вiдповiдають
лемi 1.
Тодi рiвно один iз секторiв, на якi дiлиться вiдкритий диск D̊0 = {(x, y) ∈ R2 |x2 +y2 < 1}
множиною Θ ◦Ψ(Uv), лежить в Θ(Q).
Доведення. Нехай валентнiсть вершини v дорiвнює n > 1. З урахуванням зауваження 2, не
обмежуючи загальностi мiркувань, можемо вважати, що вiдображення Θ тотожне i множина
Ψ(Uv) = {t (cos (2πk/n), sin (2πk/n)) | t ∈ [0, 1), k = 0, . . . , n− 1}
дiлить диск D̊0 на сектори, кожен з яких лежить в доповненнi R2 \ Ψ(T \ V0). З умови 0 =
Ψ(v) ∈ FrQ випливає, що принаймнi один iз цих секторiв лежить в Q.
Нехай ek = (v, vk) — ребро дерева T, образ якого мiстить множину
αk = {t (cos (2πk/n), sin (2πk/n)) | t ∈ (0, 1)}, k = 1, . . . , n.
Позначимо черезQk вiдкритий сектор диска D̊0, обмежений кривими αk i αk+1, k = 1, . . . , n−1.
Позначимо через Qn сектор, обмежений кривими αn i α1.
Припустимо, що Ql, Qm ∈ Q для деяких l,m ∈ {1, . . . , n}, l < m.
Легко знайти просту замкнену криву γ : I → R2, γ(0) = γ(1) = 0 = Ψ(v) ∈ FrQ, яка
вiдповiдає таким умовам:
γ(I̊) ⊂ Q;
iснують β′ ∈ (2πl/n, 2π(l + 1)/n) i τl ∈ I̊ такi, що γ(t) = (t cosβ′, t sinβ′) ∈ Ql при
t ∈ [0, τl);
iснують β′′ ∈ (2πm/n, 2π(m+ 1)/n) i τm ∈ I̊ такi, що γ(t) = ((1− t) cosβ′, (1− t) sinβ′) ∈
∈ Qm при t ∈ (τm, 1].
Нехай крива γ обмежує диск W (рис. 3).
0 = Ψ(v) /∈ γ([τl, τm]), тому iснує ε > 0 таке, що Dε(0) ∩ γ([τl, τm]) = {(x, y) |x2 + y2 ≤
≤ ε} ∩ γ([τl, τm]) = ∅. Зрозумiло, що ε < τl i 1− ε > τm. Позначимо a′ = γ(ε), a′′ = γ(1− ε),
Sε(0) = FrDε(0) = {(x, y) |x2 + y2 = ε}. За побудовою {a′, a′′} = γ(I) ∩ Sε(0).
Легко бачити, що або областi D̊ε(0) = {(x, y) |x2 + y2 < ε} i W не перетинаються, або
принаймнi одна з двох дуг, на якi коло Sε(0) дiлиться точками a′ i a′′, лежить у W. Зi спiввiд-
ношення 0 ∈ FrW ∩ D̊ε(0) випливає, що W ∩ D̊ε(0) 6= ∅, внаслiдок чого одна з компонент
множини Sε(0) \ {a′, a′′} лежить у W.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI 983
Рис. 3. Крива γ.
Позначимо N ′ = {k ∈ N | (1 ≤ k ≤ l) ∨ (m < k ≤ n)}, N ′′ = {k ∈ N | l < k ≤ m}.
Зрозумiло, що при 1 ≤ l < m ≤ n обидвi множини непорожнi.
Зауважимо, що одна з дуг множини Sε(0) \ {a′, a′′} перетинається з αk для кожного k ∈ N ′,
iнша дуга перетинається з αk для всiх k ∈ N ′′. Ми вже довели вище, що одна з цих дуг є
пiдмножиною W, отже, iснує j ∈ {1, . . . , n} таке, що αj ∩ W 6= ∅. За побудовою зв’язна
множина αj не перетинається з FrW = γ(I), отже, αj ⊂W.
Розглянемо вiдображення ϕj = ϕej : I → Ij = Iej та ϕ̂j = pr ◦ ϕj : I → T, якi реалiзують
вкладення ребра ej у простiр T. Для простоти будемо вважати, що ϕ̂j(0) = v, ϕ̂j(1) = vj .
За побудовою ∅ 6= αj ⊂W ∩Ψ◦ϕ̂j(I̊). З iншого боку, FrW ∩Ψ(T \V0) = γ(I)∩Ψ(T \V0) =
= Ψ(v) = Ψ ◦ ϕ̂j(0) i Ψ ◦ ϕ̂j(I̊) ∩Ψ ◦ ϕ̂j(0) = ∅, тому зв’язна множина Ψ ◦ ϕ̂j(I̊) лежить у W.
За означенням плоского вiдображення
Φ ◦ ϕ̂j |I̊ = ψ ◦Ψ ◦ ϕ̂j |I̊ : I̊ → S \ {s} .
Тому якщо vj ∈ V0, то за означенням Φ(vj) = Φ ◦ ϕ̂j(1) = s, внаслiдок чого s ∈ Φ ◦ ϕ̂j(I̊), i
множина Ψ◦ϕ̂j(I̊) повинна бути необмеженою. Але ця множина мiститься в обмеженiй областi
W, отже, vj /∈ V0 i визначено точку Ψ(vj) = Ψ ◦ ϕ̂j(1) ∈ W. Зi спiввiдношень Ψ(vj) 6= Ψ(v) i
FrW ∩Ψ(T \ V0) = Ψ(v) випливає, що Ψ(vj) ∈W.
Розглянемо множину ψ(W ). Це вiдкритий диск на сферi, обмежений кривою ψ ◦ γ. Зро-
зумiло, що ψ(W ) = ψ(W ) ∪ ψ ◦ γ(I) ⊂ ψ(R2) = S \ {s}. Тому s /∈ ψ(W ). Отже, з одного
боку, ψ ◦ γ(I) ∩ Φ(T \ V0) = ψ ◦ γ(I) ∩ ψ ◦ Ψ(T \ V0) = ψ ◦ Ψ(v) = Φ(v), а з iншого —
Φ(V0) = s /∈ ψ ◦ γ(I). Об’єднуючи цi спiввiдношення, отримуємо Frψ(W ) ∩ Φ(T ) = Φ(v).
Вилучимо з дерева T вершину v i сумiжнi їй ребра e1, . . . , en. Отримаємо незв’язний граф
T ′, який є диз’юнктним об’єднанням дерев T1, . . . , Tn, до того ж vi є вершиною дерева Ti,
i = 1, . . . , n (див. твердження 3). З викладеного вище випливає, що Φ(T ′) ∩ Frψ(W ) = ∅.
Множина Φ(Tj) зв’язна, Φ(Tj) ∩ Frψ(W ) = ∅ i ∅ 6= {Φ(vj)} ⊂ Φ(Tj) ∩ ψ(W ). Внаслiдок
цього Φ(Tj) ⊂ ψ(W ). Оскiльки s = Φ(V0) i s /∈ ψ(W ), то Tj ⊂ T \ V0 i коректно визначено
множину Ψ(Tj).
Ψ(Tj) = ψ−1(Φ(Tj)) є пiдмножиною компакта W, тому дерево Tj є скiнченним (див.
твердження 5). За побудовою всi вершини дерева Tj , крiм vj , мають в Tj ту саму валентнiсть,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
984 Є. О. ПОЛУЛЯХ
що й у T. Вершина ж vj має в Tj валентнiсть на 1 меншу, нiж в T. Отже, або дерево Tj має
єдину вершину vj i vj ∈ V0, або до Tj можна застосувати твердження 2. У будь-якому випадку
iснує вершина v′ дерева Tj , яка має в T валентнiсть 1. Але це суперечить спiввiдношенню
Tj ⊂ T \ V0.
Отримана суперечнiсть доводить, що два рiзних сектори, на якi дiлиться вiдкритий диск
D̊0 множиною Θ ◦Ψ(Uv), не можуть одночасно належати Θ(Q).
Твердження 7 доведено.
Лема 2. Нехай Q — компонента зв’язностi множини R2 \Ψ(T \ V0).
Iснує простий максимальний ланцюжок C = {ek}k∈A, який має наступнi властивостi:
межа FrQ областi Q в R2 має вигляд Ψ(C \ V0);
межа Frψ(Q) в S2 має вигляд Φ(C) ∪ {s} i гомеоморфна колу.
Доведення. 1. Перевiримо, що iснує ребро T, образ якого мiститься в FrQ.
З твердження 5 випливає, що образ множини вершин дерева T в R2 є дискретною множи-
ною. Тому знайдеться w ∈ T \V така, що Ψ(w) ∈ FrQ. Нехай e0 — ребро дерева T, яке мiстить
точку w. З твердження 6 випливає, що Ψ(e0 \ V0) ⊂ FrQ.
Зараз ми побудуємо простий максимальний ланцюжок {ek}k∈A такий, що Ψ(ek \V0) ⊂ FrQ
для кожного k ∈ A.
Нехай для деякого k ∈ Z, k ≥ 0, вже побудовано шлях e0 = (v−1, v0), . . . , ek = (vk−1, vk)
такий, що Ψ(eλ \ V0) ⊂ FrQ для кожного λ ∈ {0, . . . , k}.
Якщо vk ∈ V0, то позначимо M = k i на цьому зупинимось.
Якщо vk /∈ V0, то валентнiсть n вершини vk бiльша за одиницю i цiй вершинi iнцидентне
принаймнi ще одне ребро крiм ek. Використавши лему 1, знайдемо гомеоморфiзм Θ: R2 → R2
такий, що Θ ◦ Ψ(vk) = 0 i множина Ψ(T \ V0) дiлить диск D̊0 на n секторiв. Внаслiдок
твердження 7 перетин Q ∩ D̊0 збiгається з одним iз цих секторiв. Нехай це буде сектор Qj .
Межа сектора Qj за побудовою належить об’єднанню образiв двох ребер, iнцидентних
вершинi vk. Кожне iнше ребро, iнцидентне vk, має точку, яка не є вершиною, i ї ї образ не
належить FrQ. Тому воно може перетинатися з множиною FrQ лише по пiдмножинi своїх
кiнцiв (див. твердження 6). Внаслiдок цього ek — одне з двох ребер, образи яких межують з Qj .
Позначимо iнше через ek+1 = (vk, vk+1). З твердження 6 випливає, що Ψ(ek+1 \ V0) ⊂ FrQ,
оскiльки ek+1 має точку, яка не є вершиною i образ якої лежить у FrQ.
Зауважимо, що на пiдставi викладеного вибiр ребра ek+1 не залежить вiд вибору гомеомор-
фiзму Θ.
Будемо повторювати цю процедуру до тих пiр, поки не зупинимось, або ж до нескiнченностi.
За допомогою аналогiчної iндуктивної процедури або виберемо ребра
em = (vm−1, vm), . . . , e−1 = (v−2, v−1), m < 0, vm−1 ∈ V0,
або знайдемо ek = (vk−1, vk) для кожного k < 0.
Об’єднуючи побудованi ланцюжки для k ≥ 0 i для k < 0, отримуємо послiдовнiсть ребер
C = {ek = (vk−1, vk)}k∈A, для якої виконується спiввiдношення Ψ(ek \ V0) ⊂ FrQ, k ∈ A.
Очевидно, набiр iндексiв A є допустимим дiапазоном. За побудовою ek 6= ek+1 для всiх
допустимих значень iндексу. Тому з означення дерева випливає, що ek 6= el при k 6= l, k, l ∈ A,
i послiдовнiсть ребер C є ланцюжком.
Зазначимо, що в деревi кожен шлях є простим, тому наш ланцюжок теж є простим. Нарештi,
за побудовою ланцюжок C є максимальним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI 985
2. Побудуємо неперервне вiдображення γ : [−1, 1]→ S2, для якого γ([−1, 1]) = Φ(C)∪{s},
i перевiримо, що γ — проста замкнена крива.
Введемо кiлька позначень. Нехай k ∈ A, ϕk = ϕek : I → Ik = Iek ⊂ T̂0 — вкладення з
означення простору T, ϕ̂k = pr ◦ ϕk : I → T, χk = Φ ◦ ϕ̂k : I → S2. Можемо вважати, що
ϕ̂k(0) = vk−1, ϕ̂k(1) = vk.
Розглянемо кiлька можливостей.
(i) |A| = 1. Тодi C = e = (v′, v′′) i v′, v′′ ∈ V0. Нехай ϕe : I → Ie ⊂ T̂0 — вкладення,
χe = Φ ◦ pr ◦ ϕe : I → S2. Означимо γ : [−1, 1] → S2 таким чином: γ(t) = χe((t + 1)/2),
t ∈ [−1, 1]. Легко бачити, що це потрiбне нам вiдображення. З означення плоского вiдображення
випливає, що воно є простою замкненою кривою.
(ii) |A| > 1. Не обмежуючи загальностi мiркувань, можемо вважати, що 0 ∈ A i 1 ∈ A.
Побудуємо окремо обмеження γ+ = γ|[0,1] i γ− = γ|[−1,0].
Припустимо спочатку, що iснує M = maxk∈A k. Тодi з означень випливає, що vk /∈ V0 при
k = 0, . . . ,M − 1 i vM ∈ V0. Означимо для t ∈ [0, 1]
γ+(t) = γ(t) = χk(Mt− k + 1), якщо t ∈
[
k − 1
M
,
k
M
]
.
З означення простого ланцюжка випливає, що якщо ek ∩ ej 6= ∅ при j < k, то k = j + 1 i
ek ∩ ej = vk−1. Внаслiдок цього γ+ є простою неперервною кривою, що з’єднує точки Ψ(v0) i
s = Ψ(vM ).
Нехай тепер N ⊂ A. Тодi vk /∈ V0 для всiх k ∈ N. Означимо для t ∈ [0, 1]
γ+(t) = γ(t) =
=
χk(2
k(t− 1) + 2), якщо t ∈
[
2k−1 − 1
2k−1
,
2k − 1
2k
]
,
s, якщо t = 1 .
Повторюючи попереднi мiркування (з очевидними змiнами), легко бачити наступне. По-
перше, γ(t) 6= s для кожного t ∈ [0, 1). По-друге, для кожного τ ∈ (0, 1) вiдображення
γ|[0,τ ] : [0, τ ]→ S2 є простою неперервною кривою. Отже, вiдображення γ+ iн’єктивне i непе-
рервне для всiх t < 1.
Очевидно, для кожного вiдкритого околу W видiленої точки s ∈ S2 прообраз ψ−1(S2 \W )
є компактною пiдмножиною площини. З твердження 5 i означення плоского вiдображення
випливає, що iснує N(W ) ∈ N таке, що Φ(ek) ⊂ W для всiх k ≥ N(W ). Внаслiдок цього
вiдображення γ+ є неперервним при t = 1.
Таким чином, i в цьому випадку γ+ є простою неперервною кривою, що з’єднує точки
Ψ(v0) i s = Ψ(vM ).
Зрозумiло, що γ+([0, 1]) =
⋃
k>0,k∈A
Φ(ek) ∪ {s}.
Аналогiчно будується i проста неперервна крива γ− : [−1, 0] → S2, яка з’єднує точки s i
Ψ(v0) i така, що γ−([−1, 0]) =
⋃
k≤0,k∈A
Φ(ek) ∪ {s}.
Враховуючи те, що C — простий ланцюжок, зрозумiло, що γ−([−1, 0]) ∩ γ+([0, 1]) =
= {Ψ(v0), s}. Отже, вiдображення γ : [−1, 1]→ S2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
986 Є. О. ПОЛУЛЯХ
γ(t) =
γ−(t), якщо t ∈ [−1, 0),
γ+(t), якщо t ∈ [0, 1],
є простою замкненою кривою i вiдповiдає спiввiдношенню γ([−1, 1]) = Φ(C) ∪ {s}.
3. Перевiримо рiвнiсть γ([−1, 1]) = Frψ(Q).
Нагадаємо, що за побудовою Ψ(ek\V0) ⊂ FrQ для кожного k ∈ A. Тому Φ(ek\V0) ⊂ Frψ(Q)
для кожного k ∈ A. Внаслiдок цього γ((−1, 1)) = Φ(C \ V0) ⊂ Frψ(Q). З неперервностi γ
випливає, що γ([−1, 1]) ⊆ Frψ(Q).
Множина S = γ([−1, 1]) дiлить сферу S2 на двi вiдкритi областi W1 i W2, i вона є їх
спiльною межею (див. [4]). Вiдкрита зв’язна множина ψ(Q) є пiдмножиною однiєї з цих облас-
тей. Нехай ψ(Q) ⊆ W1. Щоб довести рiвнiсть S = Frψ(Q), нам достатньо перевiрити, що
W1 ∩ Φ(T ) = ∅.
Якщо всi вершини дерева T лежать в C, то зрозумiло, що T = C i ψ(Q) = W1.
Нехай iснує вершина v ∈ V, яка не лежить в C. Тодi знайдеться k ∈ A таке, що vk /∈ V0.
Дiйсно, якщо всi вершини T, якi лежать в C, мають валентнiсть 1, то за означенням C зводиться
до єдиного iзольованого ребра дерева T i T = C.
З’єднаємо в T вершини v i vk шляхом g1 = (v, w1) = (w0, w1), g2 = (w1, w2), . . . , gn =
= (wn−1, wn) = (wn−1, vk). Очевидно, iснують iндекси l ∈ {1, . . . , n} i j ∈ A такi, що wl = vj ∈
∈ C i wi /∈ C при i < l. Тодi для шляху P = g1, . . . , gl справедливе включення Φ(P \{v, wl}) ⊂
⊂ S2 \ S.
Вiдмiтимо, що vj /∈ V0. Дiйсно, або vj = vk, або l < n i вершина vj iнцидентна принаймнi
двом ребрам gl i gl+1. Внаслiдок цього j + 1 ∈ A.
Зафiксуємо окiл U точки vj i гомеоморфiзм Θ: R2 → R2, якi вiдповiдають лемi 1. Ми вже
знаємо, що рiвно один iз секторiв, на якi дiлиться вiдкритий диск D̊0 = {(x, y) ∈ R2 |x2 +
+ y2 < 1} множиною Θ ◦Ψ(U), лежить в Θ(Q). Позначимо його Qj . За побудовою цей сектор
обмежений в D̊0 образами ребер Θ ◦Ψ(ej \ V0) i Θ ◦Ψ(ej+1 \ V0).
Диск D̊0 розбивається множиною Θ ◦ Ψ((ej ∪ ej+1) \ V0) на двi вiдкритi областi Qj i Q̂j .
Згiдно з побудовою ланцюжка C, якщо g — ребро, iнцидентне вершинi vj , то або g лежить в
C, або D̊0 ∩ Θ ◦ Ψ(g \ (V0 ∪ {vj})) ⊂ Q̂j . Ребро gl не належить ланцюжку C, тому D̊0 ∩ Θ ◦
◦Ψ(gl \ {v, vj}) ⊂ Q̂j .
Позначимо B = ψ ◦Θ−1(D̊0), Rj = ψ ◦Θ−1(Qj), R̂j = ψ ◦Θ−1(Q̂j). Вiдображення ψ ◦Θ−1
є гомеоморфiзмом площини на S2 \ {s}. Легко бачити, що Φ(C) ∩B = Φ(ej ∪ ej+1) ∩B, тому
вiдкритий дискB розбивається кривою S на двi компонентиRj i R̂j , причомуRj ⊂ ψ(Q) ⊆W1
i R̂j ⊂W2. З попереднього випливає, що Φ(gl \ {v, vj}) ⊂ R̂j . Тому Φ(P \ {v, wl}) ⊂W2.
Якщо v /∈ V0, то Φ(v) ∈ W2 ∩ (S2 \ S) = W2. Тодi i всi ребра дерева T, якi iнцидентнi
вершинi v, лежать в W2 = S2 \W1.
Якщо ж v ∈ V0, то за побудовою g1 єдине ребро, iнцидентне v, теж лежить в W2 i не
перетинається з W1.
Отже, для всiх вершин i ребер дерева T, якi не належать до C, їх образи в S2 мiстяться в
S2 \W1. Внаслiдок цього ψ(Q) = W1 i Frψ(Q) = S = γ([−1, 1]).
Для завершення доведення леми залишилось нагадати, що за означенням Ψ = ψ−1 ◦ Φ, ψ
гомеоморфно вiдображає R2 на S2 \ {s} i Φ−1(s) = V0. Тому межа FrQ областi Q в R2 має
вигляд ψ−1(S \ {s}) = Ψ ◦ Φ−1(S \ {s}) = Ψ(C \ V0).
Лему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI 987
Наслiдок 2. Нехай Q′ i Q′′ — двi рiзнi компоненти зв’язностi множини R2 \Ψ(T \ V0).
Спiльна частина їх межi FrQ′ ∩ FrQ′′ є зв’язною множиною.
Доведення. Нехай C ′ = {e′k}k∈A′ i C ′′ = {e′′l }l∈A′′ — простi максимальнi ланцюжки з
леми 2, образи яких обмежують областi Q′ i Q′′ вiдповiдно.
Припустимо, що множина FrQ′∩FrQ′′ не зв’язна. Тодi знайдуться вершини v′, v′′ ∈ C ′∩C ′′,
образи яких лежать у рiзних компонентах зв’язностi FrQ′ ∩ FrQ′′. Зрозумiло, що v′, v′′ /∈ V0.
З означення ланцюжка випливає, що в C ′ iснує шлях P ′, який з’єднує вершини v′ i v′′.
Аналогiчно, v′ i v′′ в C ′′ можна з’єднати шляхом P ′′. За побудовою P ′ ∩ V0 = P ′′ ∩ V0 = ∅.
Тому коректно визначено зв’язнi множини Ψ(P ′) ∈ FrQ′ i Ψ(P ′′) ∈ FrQ′′, якi з’єднують точки
Ψ(v′) i Ψ(v′′).
Вiдмiтимо, що шляхи P ′ i P ′′ рiзнi. Дiйсно, якщо б P ′ = P ′′, то Ψ(P ′) = Ψ(P ′′) ⊂
⊂ FrQ′ ∩ FrQ′′ i точки v′, v′′ належали б до однiєї компоненти зв’язностi FrQ′ ∩ FrQ′′.
З iншого боку, з означення дерева випливає, що двi його вершини не можна з’єднати двома
рiзними шляхами.
Наслiдок 2 доведено.
Нехай Q = {Qλ}λ∈Λ — набiр всiх компонент зв’язностi множини R2 \Ψ(T \ V0).
Означення 7. Назвемо областi Q′, Q′′ ∈ Q сумiжними, якщо iснує ребро e дерева T
таке, що Ψ(e \ V0) ⊂ FrQ′ ∩ FrQ′′.
Скажемо, що областi Q0, Q1, . . . , Qn ∈ Q, n ≥ 1, утворюють ланцюжок в Q, якщо Qk−1
i Qk сумiжнi для кожного k ∈ {1, . . . , n}.
Твердження 8. Нехай Q′, Q′′ належать Q. Iснує ланцюжок Q′ = Q0, Q1, . . . , Qn = Q′′
елементiв Q, який їх з’єднує.
Доведення. Зрозумiло, що вiдношення на множинi Q „бути з’єднаними ланцюжком” є
транзитивним. Тому для доведення досить знайти скiнченну послiдовнiсть елементiв Q, яка
починається з Q′, закiнчується Q′′ i кожнi два сусiднi елементи якої можна з’єднати ланцюжком
елементiв Q.
Нехай v ∈ V \ V0 — деяка вершина T валентностi n > 1. Знайдемо її окiл Uv в T, а також
гомеоморфiзм Θ: R2 → R2, якi вiдповiдають лемi 1. З твердження 7 випливає, що iснує рiвно n
елементiв Q, межа яких мiстить точку Ψ(v). З огляду на твердження 6 приходимо до висновку,
що елементи Q, яким вiдповiдають сусiднi сектори множини D̊0 \ Θ ◦ Ψ(Uv), є сумiжними в
сенсi означення 7. Внаслiдок цього будь-якi двi областi з Q, межа яких мiстить точку Ψ(v),
можуть бути з’єднанi ланцюжком в Q.
Нехай C ′ = {e′k}k∈A′ i C ′′ = {e′′l }l∈A′′ — простi максимальнi ланцюжки з леми 2, образи
яких обмежують областi Q′ i Q′′ вiдповiдно.
Нехай ланцюжок C ′ зводиться до єдиного ребра e. Тодi за означенням вершини v1 i v2,
iнцидентнi e в T, мають валентнiсть 1. Внаслiдок цього e — єдине ребро дерева T, C ′ = C ′′ =
= {e} i FrQ′ = FrQ′′ = Ψ(e \ {v1, v2}). Отже, областi Q′ i Q′′ є сумiжними.
Нехай тепер множина ребер графа T мiстить бiльше нiж один елемент. Тодi кожен iз
ланцюжкiв C ′ i C ′′ мiстить бiльше нiж одне ребро i знайдуться вершини v′, v′′ ∈ V \ V0 такi,
що Ψ(v′) ∈ FrQ′ i Ψ(v′′) ∈ FrQ′′. Дiйсно, якщо e′k−1, e
′
k ∈ C ′, то за означенням ланцюжка
вони мають спiльну вершину v′ = v′k, i її валентнiсть бiльша за 1. Тодi з леми 2 випливає, що
Ψ(v′) ∈ FrQ′. Аналогiчнi мiркування справедливi i для C ′′.
З’єднаємо вершини v′ i v′′ в T шляхом e1 = (v′, v1) = (v0, v1), e2 = (v1, v2), . . . , el =
= (vl−1, vl) = (vl−1, v
′′).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
988 Є. О. ПОЛУЛЯХ
З леми 1 i твердження 6 випливає, що знайдуться Q̂1, . . . , Q̂l ∈ Q такi, що Ψ(ek) ⊂ Fr Q̂k,
k = 1, . . . , l. Очевидно, Ψ(vk−1) ∈ Ψ(ek−1)∩Ψ(ek) ⊂ Fr Q̂k−1 ∩Fr Q̂k. З викладеного вище ро-
бимо висновок, що областi Q̂k−1 i Q̂k можна з’єднати ланцюжком в Q, k = 2, . . . , l. Аналогiчнi
мiркування доводять, що ланцюжком в Q можна з’єднати областi Q′ i Q̂1, а також Q̂l i Q′′.
Отже, iснує ланцюжок в Q, який з’єднує Q′ i Q′′.
Твердження 8 доведено.
Твердження 9. Припустимо, що валентнiсть кожної вершини дерева T або дорiвнює 1,
або є парним числом, бiльшим за 2.
Тодi для довiльного замкненого ланцюжка Q0, Q1, . . . , Qn = Q0 елементiв Q число n є
парним.
Доведення. Скажемо, що замкнений ланцюжок Q0, Q1, . . . , Qn = Q0 є простим, якщо
Qk 6= Ql при k 6= l, k, l = 1, . . . , n.
1. Спочатку доведемо твердження для випадку, коли ланцюжок Q0, Q1, . . . , Qn = Q0 є
простим.
Iснують ребра e1, . . . , en дерева T такi, що Ψ(ek \ V0) ⊂ FrQk−1 ∩ FrQk, k = 1, . . . , n.
Зафiксуємо для кожного k точку wk ∈ ek \ V. З простоти ланцюжка елементiв Q i з леми 1
випливає, що wk 6= wl при k 6= l.
Вiдомо, що для довiльної пари рiзних точок жорданової кривої на двовимiрнiй сферi iснує
розрiз областi, обмеженої даною кривою мiж цiєю парою точок (див. [4]). Тому з леми 2
випливає, що точки Φ(wk−1) i Φ(wk) можуть бути з’єднанi розрiзом ν̂k : I → ψ(Qk) областi
ψ(Qk), k = 1, . . . , n. Зрозумiло, що ν̂k(I) ⊂ S2 \ {s} для кожного k, тому проста неперервна
крива νk = ψ−1◦ ν̂k : I → R2 є розрiзом областi Qk мiж точками Ψ(wk−1) i Ψ(wk), k = 1, . . . , n.
З того, що ланцюжок Q0, Q1, . . . , Qn = Q0 є простим, випливає, що кривi з сiм’ї {νk}
можуть перетинатися лише в точках Ψ(w1), . . . ,Ψ(wn). Внаслiдок цього вiдображення µ : I →
R2,
µ(t) = νk(nt− k + 1), якщо t ∈
[
k − 1
n
,
k
n
]
,
є простою замкненою кривою. Позначимо черезW вiдкриту область в R2, яку обмежує крива µ.
Вiдмiтимо, що за побудовою µ(I) ∩ Qk = νk(I) i µ(I) ∩ FrQk = FrW ∩ FrQk = {νk(0),
νk(1)} = {Ψ(wk−1),Ψ(wk)}.
Нехай ek = (v′k, v
′′
k), k = 1, . . . , n. Перевiримо, що рiвно одна з двох вершин v′k, v
′′
k ∈ V
мiститься у множинi Ψ−1(W ) (рис. 4).
Якщо v′k, v
′′
k ∈ V0, то ek — єдине ребро дерева T, Q = {Qk−1, Qk} i iснує єдиний (з точнiстю
до циклiчної перестановки iндексiв) замкнений простий ланцюжок Qk−1, Qk, Qk+1 = Qk−1.
Внаслiдок цього n = 2 i твердження виконується.
Далi ми будемо вважати, що принаймнi одна з двох вершин v′k, v
′′
k має валентнiсть, бiльшу
за 1.
За означенням плоского вiдображення Φ(ek) — неперервний образ вiдрiзка, до того ж обме-
ження Φ|ek\V0 є iн’єктивним. З попереднього припущення випливає, що обмеження Φ на ek
також є iн’єктивним. Ребро ek є компактом, тому обмеження Φ|ek є гомеоморфiзмом на свiй
образ.
Нехай γk : [−1, 1] → S2 — жорданова крива, яка обмежує область Q̂k = ψ(Qk) в S2 (див.
лему 2). За побудовою вона мiстить точки Φ(wk−1) = γk(τk−1) i Φ(wk) = γk(τk). Змiнивши
при необхiдностi параметризацiю кривої γk, ми можемо вважати, що τk−1 < τk.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI 989
Рис. 4. Взаємне розташування областi Ŵ i образу ребра дерева T, яке перетинається з її межею.
Також з леми 2 випливає, що Φ(ek) ⊂ γk([−1, 1]). Тому Φ(v′k) = γ(t′k) i Φ(v′′k) = γ(t′′k) для
деяких t′k, t
′′
k ∈ [−1, 1]. Змiнюючи позначення вершин v′k i v′′k , будемо вважати, що t′k < t′′k.
Ми перевiрили вище, що вiдображення Φ(ek) — гомеоморфний образ вiдрiзка, до того ж точки
Φ(v′k) i Φ(v′′k) є образами його кiнцiв. Тому Φ(ek) = γk([t
′
k, t
′′
k]).
З того, що wk−1 /∈ ek i wk ∈ (ek \ V ), випливає, що виконуються нерiвностi −1 ≤ τk−1 <
< t′k < τk < t′′k ≤ 1.
Жорданова крива µ̂ = ψ ◦µ дiлить сферу S2 на двi областi Ŵ i Ŵ ′. Зрозумiло, що s /∈ µ̂(I).
Нехай s ∈ Ŵ ′. Тодi з означень випливає, що Ŵ = ψ(W ).
За побудовою Qk ∩ µ(I) = νk(I̊) 6= ∅, тому Q̂k ∩ µ̂(I) 6= ∅. Внаслiдок цього Q̂k ∩ Ŵ 6= ∅.
Вiдмiтимо, що γk([−1, 1])∩ µ̂(I) = Fr Q̂k∩Fr Ŵ = {Φ(wk−1),Φ(wk)} = {γk(τk−1), γk(τk)}.
Ця множина дiлить жорданову криву γk на двi дуги, причому за побудовою точки Φ(v′k) =
= γk(t
′
k) i Φ(v′′k) = γk(t
′′
k) належать рiзним дугам. Точка Φ(v′′k) лежить на тiй же дузi, що й
точка s = γk(−1) = γk(1), тому Φ(v′′k) ∈ Ŵ ′.
Якщо ми припустимо, що й Φ(v′k) ∈ Ŵ ′, то γk([−1, 1]) \ {γk(τk−1), γk(τk)} ⊂ Ŵ ′. Тодi
γk([−1, 1]) ⊂ S2 \ Ŵ i Fr Q̂k ∩ Ŵ = ∅. Внаслiдок цього або Ŵ ⊂ Q̂k, або Q̂k ∩ Ŵ = ∅. Ми
знаємо, що
µ
(
t+ r − 1
n
)
= νr(t) ∈ Qr
при r 6= k для кожного t ∈ (0, 1). Тому FrW ∩ Int (R2 \Qk) 6= ∅ i W ∩ (R2 \Qk) 6= ∅. Отже,
Ŵ ∩ (S2 \ Q̂k) 6= ∅ i повинно виконуватися спiввiдношення Q̂k ∩ Ŵ = ∅, що неможливо.
Отримана суперечнiсть доводить, що (ek ∩ V ) ∩ Φ−1(Ŵ ) = (ek ∩ V ) ∩ Ψ−1(W ) = {v′k},
k = 1, . . . , n.
Зазначимо, що для рiзних iндексiв k i l вершини v′k i v′l можуть збiгатися. Також можуть
збiгатися при k 6= l вершини v′′k i v′′l .
Нехай e∩Ψ−1(W ) 6= ∅ для деякого ребра e дерева T. Тодi або e збiгається з одним iз ребер
e1, . . . , en, або e ⊂ Ψ−1(W ). Перевiримо це.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
990 Є. О. ПОЛУЛЯХ
Вiдображення ψ за означенням є iн’єктивним, тому
Φ−1(Ŵ ) = Φ−1(ψ(W )) = (ψ ◦Ψ)−1(ψ(W )) = Ψ−1(ψ−1(ψ(W ))) = Ψ−1(W ) .
Аналогiчно Φ−1(Fr Ŵ ) = Ψ−1(FrW ).
Нехай e /∈ {e1, . . . , en}. Тодi e∩Ψ−1(FrW ) = e∩Φ−1(Fr Ŵ ) = ∅. З iншого боку, множина
e є зв’язною. Отже, з нерiвностi Φ(e) ∩ Ŵ 6= ∅ випливає, що Φ(e) ⊂ Ŵ i визначено Ψ(e) =
= ψ−1 ◦ Φ(e) ⊂ ψ−1(Ŵ ) = W.
Розглянемо пiдграф Γ0 дерева T, ребрами якого є всi ребра дерева T, що перетинаються
з множиною Ψ−1(W ). З твердження 5 випливає, що граф Γ0 є скiнченним. Додамо до Γ0
скiнченну множину вершин u1, . . . , un. Вилучимо з Γ0 ребра e1, . . . , en i додамо замiсть них
ребра g1 = (v′1, u1), . . . , gn = (v′n, un). Отримаємо скiнченний граф Γ.
З викладеного вище легко випливає, що вершини u1, . . . , un мають в Γ валентнiсть 1, всi
iншi вершини належать множинi Ψ−1(W ) i мають в Γ ту ж валентнiсть, що й у T. Отже, з
означення плоского вiдображення випливає, що валентнiсть 1 у графi Γ мають лише вершини
u1, . . . , un, всi ж iншi вершини мають парну валентнiсть, бiльшу за 2. Тому з наслiдку 1
випливає, що число n повинно бути парним.
2. Доведемо твердження для довiльного замкненого ланцюжка Q0, Q1, . . . , Qn = Q0 еле-
ментiв Q за допомогою iндукцiї по його довжинi.
База iндукцiї. За означенням ланцюжка елементiв Q областi Qk−1 i Qk повиннi бути сумiж-
ними, отже, Qk−1 6= Qk для кожного k = 1, . . . , n. Внаслiдок цього всi замкненi ланцюжки
довжини n ≤ 3 є простими, i для таких n твердження є правильним.
Крок iндукцiї. Припустимо, що при деякому n > 3 вiдомо, що довжина кожного замкненого
ланцюжка Q′0, Q
′
1, . . . , Q
′
m = Q′0 є парним числом, якщо m < n.
Нехай iснує замкнений ланцюжок Q0, Q1, . . . , Qn = Q0 елементiв Q довжини n.
Якщо ланцюжок є простим, то, як встановлено вище, n повинно бути парним числом, i
крок iндукцiї завершено.
Якщо ланцюжок не є простим, знайдуться l 6= m, l,m ∈ {1, . . . , n}, для яких Ql = Qm.
Змiнюючи циклiчно нумерацiю елементiв ланцюжка, можемо вважати, щоQ0 = Qk для деякого
k ∈ {1, . . . , n− 1}. З означення ланцюжка випливає, що насправдi 2 ≤ k ≤ n− 2.
Очевидно, послiдовностi Q0, Q1, . . . , Qk = Q0 i Qk, Qk+1, . . . , Qn = Q0 = Qk елементiв Q
утворюють два замкнених ланцюжки, довжини яких k i n − k вiдповiдно. Згiдно з вибором k
виконуються нерiвностi k < n i n− k < n. Тому згiдно з припущенням iндукцiї числа k i n− k
повиннi бути парними. Внаслiдок цього i n = k + (n− k) є парним числом.
Твердження 9 доведено.
Лема 3. Припустимо, що валентнiсть кожної вершини дерева T або дорiвнює 1, або є
парним числом, бiльшим нiж 2.
Тодi iснує вiдображення Sign: Q → {−1, 1}, для якого виконується наступна умова: якщо
множина FrQλ1 ∩ FrQλ2 мiстить бiльше нiж одну точку, то Sign (Qλ1) 6= Sign (Qλ2),
λ1, λ2 ∈ Λ, λ1 6= λ2.
Доведення. Побудуємо функцiю Sign .
Зафiксуємо компонентуQ множини R2\Ψ(T \V0) i зiставимо їй який-небудь знак, наприклад
SignQ = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI 991
Нехай для iншої компоненти Q′ iснує ланцюжок Q = Q0, Q1, . . . Qn = Q′ елементiв Q.
Тодi
SignQ′ = (−1)n SignQ =
SignQ, якщо n є парним,
−SignQ, якщо n є непарним.
Перевiримо коректнiсть цього означення.
Припустимо, що iснують два ланцюжки Q = Q0, Q1, . . . , Qn = Q′ i Q = Q′0, Q
′
1, . . . , Q
′
m =
Q′ елементiв Q, якi з’єднують Q з Q′. Тодi, очевидно, послiдовнiсть
Q = Q0, Q1, . . . , Qn = Q′ = Q′m, Q
′
m−1, . . . , Q
′
1, Q
′
0 = Q′
є замкненим ланцюжком елементiв Q довжини n + m. З твердження 9 випливає, що число
n+m є парним. Отже, числа n i m мають однакову парнiсть i SignQ′ не залежить вiд вибору
ланцюжка елементiв Q, який з’єднує Q з Q′.
Внаслiдок твердження 8 вiдображення Sign визначено на всьому Q.
Якщо для деяких Qλ, Qµ ∈ Q перетин FrQλ ∩ FrQµ мiстить бiльше нiж одну точку, то Qλ
i Qµ сумiжнi в Q.
Дiйсно, якщо FrQλ ∩ FrQµ мiстить двi вершини v′ i v′′, то з леми 2 i наслiдку 2 випливає,
що FrQλ ∩FrQµ мiстить також образ єдиного шляху в T, який з’єднує v′ i v′′ (зокрема, i образ
кожного ребра цього шляху). Якщо ж у FrQλ ∩ FrQµ лежить образ точки w ∈ T, яка не є
вершиною, то з твердження 6 випливає, що Ψ(e \ V0) ⊂ FrQλ ∩ FrQµ, де e — ребро T, якому
належить точка w.
Тодi SignQλ 6= SignQµ, тому що послiдовнiсть Qλ = Q0, Q1 = Qµ є за означенням
ланцюжком елементiв Q.
Лему 3 доведено.
2.3. Побудова псевдогармонiчної функцiї. Припустимо, що валентнiсть кожної вершини
дерева T або дорiвнює 1, або є парним числом, бiльшим за 2.
Нехай Q = {Qλ}λ∈Λ — набiр всiх компонент зв’язностi множини R2 \Ψ(T \ V0).
Розглянемо наступнi пiдмножини площини:
W+ = R× [0,+∞), W− = R× (−∞, 0], R = R× {0} = FrW+ = FrW− .
Твердження 10. Для кожного λ ∈ Λ iснує такий гомеоморфiзм hλ : R2 → R2, що
hλ(Qλ) = W+.
Доведення. Легко бачити, що множина ψ(R) ⊂ S2 гомеоморфна колу i мiстить точку s. З
леми 2 вiдомо, що множина Frψ(Qλ) теж гомеоморфна колу i мiстить s.
Зафiксуємо гомеоморфiзм ĝλ : Frψ(Qλ) → ψ(R) такий, що ĝλ(s) = s. Скористаємось
теоремою про продовження (див. [4]) i продовжимо ĝλ до гомеоморфiзму ĥλ : S2 → S2.
Очевидно, ĥλ(s) = s, тому визначено вiдображення
hλ = ψ−1 ◦ ĥλ|S2\{s} ◦ ψ : R2 → R2 .
За побудовою ĥλ|S2\{s} є гомеоморфiзмом, тому вiдображення hλ теж є гомеоморфiзмом.
Зрозумiло, що hλ(FrQλ) = R = FrW+. Тому або hλ(Qλ) = W−, або hλ(Qλ) = W+. Якщо
hλ(Qλ) = W−, то замiнимо hλ на вiдображення r ◦ hλ, де r : R2 → R2, r(x, y) = (−x,−y),
(x, y) ∈ R2.
Твердження 10 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
992 Є. О. ПОЛУЛЯХ
Позначимо через pr1,pr2 : R2 → R координатнi проекцiї. Вiзьмемо функцiю Sign: Q →
→ {−1, 1}, яка вiдповiдає лемi 3. Для кожного λ ∈ Λ побудуємо функцiю fλ : Qλ → R таким
чином:
fλ(z) = SignQλ(z) · pr2 ◦ hλ(z), z ∈ Qλ . (1)
Очевидно, всi fλ є неперервними.
З леми 1 випливає, що Ψ(T \ V0) ⊂
⋃
λ∈ΛQλ. Тому
⋃
λ∈ΛQλ = R2.
Очевидно, f−1
λ (0) = h−1
λ (R) = FrQλ для кожного λ. Крiм того, за означенням Qλ1 ∩Qλ2 =
= ∅ при λ1 6= λ2. Внаслiдок цього коректно визначено функцiю f : R2 → R,
f(z) = fλ(z), якщо z ∈ Qλ, (2)
яка вiдповiдає додатковiй умовi
f−1(0) =
⋃
λ∈Λ
FrQλ.
З леми 1 випливає, що замкнене покриття {Qλ}λ∈Λ площини R2 є локально скiнченним.
Вiдомо [3], що таке покриття є фундаментальним. Внаслiдок цього функцiя f є неперервною.
Доведемо, що f — псевдогармонiчна функцiя. Ми скористаємося наступним топологiчним
критерiєм того, що функцiя є псевдогармонiчною (див. [7]).
Нехай F — двовимiрна поверхня, f : F → R — функцiя. Позначимо через Lc = {z ∈
∈ F | f(z) = c}, c ∈ f(F ), множину рiвня функцiї f.
Означення 8 (див. [7]). Сiм’я {Lc}c∈f(F ) множин рiвня функцiї f називається одностай-
но локально зв’язною в точцi z ∈ F, якщо для кожного околу W точки z на F знайдеться
iнший окiл W ′ ⊂ W точки z такий, що для будь-якого c ∈ f(F ) кожну пару точок з Lc ∩W ′
можна з’єднати в W зв’язною пiдмножиною множини Lc.
Якщо сiм’я {Lc}c∈f(F ) одностайно локально зв’язна в кожнiй точцi z ∈ F, кажуть, що
{Lc} одностайно локально зв’язна на F.
Теорема 2 (Tôki). Функцiя f : F → R є псевдогармонiчною на F тодi й лише тодi, коли
виконуються наступнi умови:
1) функцiя f є неперервною;
2) вiдображення f є вiдкритим;
3) сiм’я {Lc}c∈f(F ) множин рiвня функцiї f одностайно локально зв’язна на F, можливо
за винятком деякого дисконтинууму E ⊂ F.
Неперервнiсть функцiї (2) ми вже перевiрили. Доведемо, що f є вiдкритим вiдображенням.
Очевидно, множини
R− = (−∞, 0], R+ = [0,+∞)
утворюють скiнченне замкнене покриття простору R. Вiдомо [3], що таке покриття є фунда-
ментальним.
За побудовою
f(Qλ) = fλ(Qλ) =
R−, якщо SignQλ = −1,
R+, якщо SignQλ = 1.
(3)
Зрозумiло, що f(Qλ) ∩ R− = {0}, якщо SignQλ = 1, а також f(Qλ) ∩ R+ = {0}, якщо
SignQλ = −1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI 993
Очевидно, всi вiдображення
h̃λ : Qλ →W+, h̃λ(z) = hλ(z), z ∈ Qλ,
вiдкритi. Площина R2 має топологiю прямого добутку, тому координатна проекцiя pr2 : R2 → R
є вiдкритим вiдображенням. З цього випливає, що
f̃λ : Qλ → f(Qλ), f̃λ(z) = fλ(z) = f(z), z ∈ Qλ,
вiдкрите в Qλ для кожного λ ∈ Λ.
Нехай Λ− = {λ ∈ Λ | SignQλ = −1}, Λ+ = {λ ∈ Λ | SignQλ = 1},
Q− =
⋃
λ∈Λ−
Qλ, Q+ =
⋃
λ∈Λ+
Qλ .
Внаслiдок локальної скiнченностi покриття {Qλ}λ∈Λ простору R2 маємо
Q− =
⋃
λ∈Λ−
Qλ, Q+ =
⋃
λ∈Λ+
Qλ .
За означенням множина Ψ(T \ V0) замкнена в R2, тому FrQλ ⊂ Ψ(T \ V0) для кожного
λ ∈ Λ i f−1(0) =
⋃
λ∈Λ
FrQλ ⊂ Ψ(T \ V0). З iншого боку, з лем 1 i 3 випливає, що для
кожного w ∈ T \ V0 iснують λ′ ∈ Λ− i λ′′ ∈ Λ+, для яких Ψ(w) ∈ Qλ′ ∩Qλ′′ . Внаслiдок цього
виконуються рiвностi
FrQ− = FrQ+ = Ψ(T \ V0) = f−1(0) . (4)
Отже, Q− ∩Q+ = Ψ(T \ V0) = f−1(0).
Позначимо
f− = f |Q− : Q− → R−, f+ = f |Q+
: Q+ → R+.
Вiдображення f− є вiдкритим вiдображенням простору Q− на R− внаслiдок того, що f−(A ∩
∩Q−) =
⋃
λ∈Λ−
f̃λ(A ∩Q−) для кожного A ∈ R2 i всi вiдображення f̃λ вiдкритi. Аналогiчно,
f+ є вiдкритим вiдображенням простору Q+ на R+.
Нехай множина U ⊂ R2 є вiдкритою.
1. Припустимо, що 0 /∈ f(U). Тодi f(U ∩Q+) ∩R− = ∅ i f(U) ∩R− = f(U ∩Q−) ∩R− =
= f−(U ∩Q−). Аналогiчно f(U) ∩ R+ = f+(U ∩Q+). Множини U ∩Q− i U ∩Q+ вiдкритi у
просторах Q− i Q+ вiдповiдно. Тому f−(U ∩ Q−) i f−(U ∩ Q−) є вiдкритими пiдмножинами
просторiв R− i R+ вiдповiдно. Отже, f(U) ∩ R− i f(U) ∩ R+ є вiдкритими пiдмножинами R−
i R+ вiдповiдно. З того, що покриття {R−,R+} простору R є фундаментальним, випливає, що
множина f(U) вiдкрита в R.
2. Нехай 0 ∈ f(U). Тодi з (4) випливає, що iснує w ∈ T \ V0 таке, що Ψ(w) ∈ U. З одного
боку, ми знаємо, що f(U ∩ Q+) ∩ R− ⊆ {0}. З iншого боку, з (4) випливає, що 0 = f(w) ∈
∈ f(U ∩Q−). Отже, f(U ∩Q+) ∩ R− ⊂ f−(U ∩Q−) i f(U) ∩ R− = f−(U ∩Q−). Аналогiчно
f(U) ∩ R+ = f+(U ∩ Q+). Повторюючи мiркування з пункту 1, робимо висновок, що i у
випадку 2 множина f(U) є вiдкритою в R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
994 Є. О. ПОЛУЛЯХ
Внаслiдок довiльностi у виборi вiдкритої множини U ∈ R2 приходимо до висновку, що
вiдображення f : R2 → R є вiдкритим.
Перевiримо, що f одностайно локально зв’язна скрiзь на площинi, крiм точок множини
Ψ(V \ V0).
Нагадаємо, що R2 =
⋃
λ∈ΛQλ. Нехай z ∈ Qλ для деякого λ ∈ Λ, U — вiдкритий окiл z в R2.
Тодi множина Ũλ = h̃λ(U ∩Qλ) = hλ(U ∩Qλ) є вiдкритим околом точки hλ(z) у просторi W+.
З рiвностi W+ = R× R+ випливає, що у просторах R i R+ iснують зв’язнi вiдкритi околи
U1 i U2 точок pr1 ◦ hλ(z) i pr2 ◦ hλ(z) вiдповiдно такi, що hλ(z) ∈ U1 × U2 ⊂ Ũλ.
Очевидно, множини рiвня функцiї
p̃r2 = pr2|W+ : W+ → R+
є горизонтальними прямими i довiльнi двi точки з множини U1 × U2, якi належать однiй
множинi рiвня p̃r2, можна з’єднати в U1 × U2 (а тим бiльше в Ũλ) прямолiнiйним вiдрiзком,
який належить тiй же множинi рiвня функцiї p̃r2.
Зрозумiло, що аналогiчне зауваження справедливе i для функцiї SignQλ · p̃r2.
Гомеоморфiзм h̃λ : Qλ → W+ вiдображає множини рiвня функцiї f̃λ на множини рiвня
SignQλ · p̃r2. Тому окiл U ′ = (h̃λ)−1(U1×U2) ⊂ (h̃λ)−1(Ũλ) = U ∩Qλ вiдповiдає означенню 8
вiдносно околу U ∩Qλ точки z у просторi Qλ.
Внаслiдок довiльностi вибору точки z i її околу U для кожного λ ∈ Λ функцiя f̃λ є одно-
стайно локально зв’язною на Qλ.
Нехай z /∈ Ψ(T \ V0). Тодi z ∈ Qλ для деякого λ ∈ Λ. За означенням множина Ψ(T \ V0)
замкнена в R2, тому компонента Qλ доповнення R2 \ Ψ(T \ V0) вiдкрита i для кожного вiд-
критого околу U точки z в R2 множина U ∩ Qλ ⊂ U є вiдкритим околом z як в R2, так i
в Qλ. З урахуванням цього зауваження одностайно локальна зв’язнiсть функцiї f в точцi z є
безпосереднiм наслiдком одностайно локальної зв’язностi функцiї f̃λ = f |Qλ у цiй точцi.
Нехай z ∈ Ψ(T \ V0) i Ψ−1(z) /∈ V. Тодi згiдно з лемою 1 iснують λ, µ ∈ Λ i вiдкритий окiл
Uz точки z в R2 такi, що Uz ⊂ Qλ ∪Qµ i z ∈ Ψ(T \ V0) ∩ Uz ⊂ Qλ ∩Qµ.
Нехай U — вiдкритий окiл точки z в R2. Позначимо Gλ = U ∩Uz ∩Qλ, Gµ = U ∩Uz ∩Qµ.
Зрозумiло, що множини Gλ i Gµ є вiдкритими околами точки z у просторах Qλ i Qµ вiдповiдно.
Вiзьмемо вiдкритi околи G′λ ⊂ Gλ i G′µ ⊂ Gµ точки z у просторах Qλ i Qµ вiдповiдно, якi
задовольняють означення 8 по вiдношенню до околiв Gλ i Gµ.
За означенням iндукованої топологiї на пiдпросторi iснують вiдкритi пiдмножини U ′λ i U ′µ
простору R2, для яких G′λ = U ′λ ∩Qλ i G′µ = U ′µ ∩Qµ. Розглянемо окiл
U ′ = U ∩ Uz ∩ U ′λ ∩ U ′µ
точки z в R2.
З леми 3 випливає, що SignQλ 6= SignQµ. Тому якщо Lc ∩Uz 6= ∅ для деякого c ∈ R \ {0},
то або Lc ∩Qλ = ∅, або Lc ∩Qµ = ∅. Крiм того, L0 ∩ Uz = Ψ(T \ V0) ∩ Uz ⊂ Qλ ∩Qµ згiдно
з вибором Uz. Внаслiдок цього якщо Lc ∩ Uz 6= ∅ для деякого c ∈ R, то Lc ∩ Uz ⊂ Qλ або
Lc ∩ Uz ⊂ Qµ.
Отже, якщо Lc∩U ′ 6= ∅ для деякого c ∈ R, то або Lc∩U ′ ∈ G′λ, або Lc∩U ′ ∈ G′µ i довiльнi
двi точки з Lc ∩ U ′ можна з’єднати зв’язною множиною в Lc ∩ U.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
ДЕРЕВА ЯК МНОЖИНИ РIВНЯ ПСЕВДОГАРМОНIЧНИХ ФУНКЦIЙ НА ПЛОЩИНI 995
Таким чином, функцiя f одностайно локально зв’язна в кожнiй точцi множини Ψ(T \ V ) =
= Ψ(T \ V0) \Ψ(V \ V0).
З твердження 5 випливає, що множина Ψ(V \ V0) дискретна в R2, i ми можемо застосувати
теорему 2, яка стверджує, що f є псевдогармонiчною функцiєю.
Теорему 1 доведено.
1. Morse M. Topological methods in the theory of functions of a complex variable. – Princeton, 1947. – 145 p.
2. Polulyakh E., Yurchuk I. On the pseudo-harmonic functions defined on a disk // Працi Iн-ту математики НАН
України. – 2009. – 80. – 151 с.
3. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. – М.: Наука, 1977. – 488 с.
4. Newman M. H. A. Elements of the topology of plane sets of points. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1964. –
214 p.
5. Берж К. Теория графов и ее приложения. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 320 c.
6. Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1980. – 336 c.
7. Tôki Y. A topological characterization of pseudo-harmonic functions // Osaka Math. J. – 1951. – 3, № 1. – P. 101 – 122.
Одержано 16.07.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2483 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:19Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a2/6155f57d26dc1e5274a2140135aa62a2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24832020-03-18T19:16:28Z Trees as Level Sets for Pseudoharmonic Functions in the Plane Дерева як множини рівня псевдогармонічних функцій на площині Polulyakh, E. O. Полулях, Є. О. Let T be a finite or infinite tree and let V 0 be the set of all vertices of T of valency 1. We propose a sufficient condition for the image of the imbedding ψ: T \V 0 → \( {{\mathbb{R}}^2} \) to be a level set of a pseudoharmonic function. Предложено достаточное условие для того, чтобы образ вложения ψ: T \V 0 → \( {{\mathbb{R}}^2} \) , где T — дерево, конечное или бесконечное, V 0 — множество его вершин валентности 1, был множеством уровня псевдогармонической функции. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2483 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 7 (2013); 974–995 Український математичний журнал; Том 65 № 7 (2013); 974–995 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2483/1732 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2483/1733 Copyright (c) 2013 Polulyakh E. O. |
| spellingShingle | Polulyakh, E. O. Полулях, Є. О. Trees as Level Sets for Pseudoharmonic Functions in the Plane |
| title | Trees as Level Sets for Pseudoharmonic Functions in the Plane |
| title_alt | Дерева як множини рівня псевдогармонічних функцій на площині |
| title_full | Trees as Level Sets for Pseudoharmonic Functions in the Plane |
| title_fullStr | Trees as Level Sets for Pseudoharmonic Functions in the Plane |
| title_full_unstemmed | Trees as Level Sets for Pseudoharmonic Functions in the Plane |
| title_short | Trees as Level Sets for Pseudoharmonic Functions in the Plane |
| title_sort | trees as level sets for pseudoharmonic functions in the plane |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2483 |
| work_keys_str_mv | AT polulyakheo treesaslevelsetsforpseudoharmonicfunctionsintheplane AT polulâhêo treesaslevelsetsforpseudoharmonicfunctionsintheplane AT polulyakheo derevaâkmnožinirívnâpsevdogarmoníčnihfunkcíjnaploŝiní AT polulâhêo derevaâkmnožinirívnâpsevdogarmoníčnihfunkcíjnaploŝiní |