On the Geometry of Holomorphic Developable Vector Fields on Almost Hermitian Manifolds
The determination of conditions for the invariance of geometric objects under the action of a group of transformations is one of the most important problems of geometric research. We study the invariance conditions for almost Hermitian structures relative to the action of a local one-parameter group...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2485 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508383023464448 |
|---|---|
| author | Kirichenko, V. F. Kuzakon’, V. M. Кириченко, В. Ф. Кузаконь, В. М. Кириченко, В. Ф. Кузаконь, В. М. |
| author_facet | Kirichenko, V. F. Kuzakon’, V. M. Кириченко, В. Ф. Кузаконь, В. М. Кириченко, В. Ф. Кузаконь, В. М. |
| author_sort | Kirichenko, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:16:28Z |
| description | The determination of conditions for the invariance of geometric objects under the action of a group of transformations is one of the most important problems of geometric research. We study the invariance conditions for almost Hermitian structures relative to the action of a local one-parameter group of diffeomorphisms generated by a developable vector field on a manifold. Moreover, we investigate the relationship between developable (in particular, concircular) vector fields on Riemannian manifolds and locally concircular transformations of the metric of these manifolds. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
В. Ф. Кириченко (Моск. гос. пед. ун-т, Россия),
В. М. Кузаконь (Одес. нац. академия пищевых технологий)
О ГЕОМЕТРИИ ГОЛОМОРФНЫХ ТОРСООБРАЗУЮЩИХ
ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ПОЧТИ ЭРМИТОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
The determinatiuon of conditions for the invariance of geometric objects under the action of a group of transformations
is one of the most important problems of geometric research. In this paper, we study invariance conditions for almost
Hermitian structures relative to the action of a local one-parameter group of diffeomorphisms generated by a developable
vector field on a manifold. In addition, we investigate the relationship between developable (in particular, concircular)
vector fields on Riemannian manifolds and locally concircular transformations of the metric of these manifolds.
Знаходження умов iнварiантностi геометричних об’єктiв щодо дiї тiєї чи iншої групи перетворень є однiєю з най-
бiльш актуальних задач геометричного дослiдження. У цiй роботi ми вивчаємо умови iнварiантностi майже ермi-
тових структур щодо дiї локальної однопараметричної групи дифеоморфiзмiв, породженої торсотвiрним векторним
полем на цьому многовидi. Крiм того, вивченi взаємозв’язки мiж торсотвiрними, зокрема конциркулярними, вектор-
ними полями на рiманових многовидах i локально конциркулярними перетвореннями метрики цих многовидiв.
Пусть M — n-мерное гладкое многообразие, X(M) — C∞(M)-модуль гладких векторных полей
на M , d — оператор внешнего дифференцирования, LX — оператор дифференцирования Ли
в направлении векторного поля X . Все многообразия, тензорные поля и подобные объекты
предполагаются гладкими класса C∞.
Зафиксируем векторное поле ξ ∈ X(M). Известно, что оно порождает локальную однопара-
метрическую группу диффеоморфизмов Ft многообразия M . Рассмотрим дифференциально-
геометрическую структуру S = {T1, . . . , TN } на M , определенную конечным числом тензор-
ных полей на M . Примерами таких структур являются римановы структуры (N = 1), почти
эрмитовы структуры (N = 2), почти контактные структуры (N = 3) и т. п.
Определение 1. Структуру S назовем ξ-инвариантной, если каждый из тензоров, ее
составляющих, инвариантен относительно операций увлечения, порожденных элементами
локальной группы Ft [1].
Лемма 1 [1]. Структура S ξ-инвариантна тогда и только тогда, когда
Lξ(Tk) = 0, k = 1, . . . , N.
Пример [1]. Риманова структура g = 〈 ·, · 〉 ξ-инвариантна тогда и только тогда, когда ξ —
векторное поле Киллинга, т. е.
〈∇Xξ, Y 〉+ 〈∇Y ξ,X〉 = 0, X, Y ∈ X(M),
где ∇ — оператор Кошуля римановой связности метрики g.
Определение 2. Векторное поле ξ ∈ X(M) называется торсообразующим, если ∇ξ =
= ρid + a ⊗ ξ для некоторых ρ ∈ C∞(M) и a ∈ X∗(M). Дифференциальную 1-форму a
и функцию ρ назовем характеристическими. Торсообразующее векторное поле называется
конциркулярным, если da = 0, спецконциркулярным, если a = 0, и рекуррентным, если ρ = 0.
c© В. Ф. КИРИЧЕНКО, В. М. КУЗАКОНЬ, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7 1005
1006 В. Ф. КИРИЧЕНКО, В. М. КУЗАКОНЬ
Пусть S = {g, J} — почти эрмитова (кратко AH-) структура на M , J2 = −id, 〈JX, JY 〉 =
= 〈X,Y 〉 (эндоморфизм J называется почти комплексной структурой).
Определение 3. Векторное поле ξ ∈ X(M) называется голоморфным, если эндомор-
физм J ξ-инвариантен.
Теорема 1. Торсообразующее векторное поле ξ на почти эрмитовом многообразии M
голоморфно тогда и только тогда, когда
∇ξ(J)X = a(JX)ξ − a(X)Jξ, X ∈ X(M). (1)
Доказательство. В принятых обозначениях имеем
Lξ(J)X = Lξ(JX)− JLξ(X) =
= [ξ, JX]− J([ξ,X]) =
= ∇ξ(JX)−∇JXξ − J(∇ξX) + J∇Xξ =
= ∇ξ(J)X + J∇ξX −∇JXξ − J(∇ξX) + J∇Xξ =
= ∇ξ(J)X −∇JXξ + J∇Xξ =
= ∇ξ(J)X − ρ ◦ J(X)− a ◦ J(X)ξ + J(ρX) + J(a(X)ξ) =
= ∇ξ(J)X − a ◦ J(X)ξ + J(a(X)ξ) =
= ∇ξ(J)X − a(JX)ξ + a(X)Jξ,
откуда непосредственно следует, что условие Lξ(J) = 0 ξ-инвариантности почти комплексной
структуры J равносильно справедливости тождества (1).
Теорема 1 доказана.
Напомним [2], что почти эрмитова структура называется келеровой, если она интегрируема
и имеет замкнутую фундаментальную форму Ω(X,Y ) = 〈X, JY 〉. Необходимое и достаточное
условие келеровости почти эрмитовой структуры имеет вид
∇X(J)Y = 0, X, Y ∈ X(M). (2)
Теорема 2. Торсообразующее векторное поле на келеровом многообразии M будет го-
ломорфным тогда и только тогда, когда оно спецконциркулярно.
Доказательство. Пусть ξ — торсообразующее голоморфное векторное поле на келеровом
многообразии. В силу тождеств (1) и (2)
a(JX)ξ − a(X)Jξ = 0, X ∈ X(M),
откуда легко следует, что a = 0, т. е. ξ — спецконциркулярное векторное поле.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
О ГЕОМЕТРИИ ГОЛОМОРФНЫХ ТОРСООБРАЗУЮЩИХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ . . . 1007
Обратно, если ξ — спецконциркулярное векторное поле на келеровом многообразии M ,
то, по определению, a = 0, и с учетом (2) видим, что соотношение (1) выполняется на M
тождественно, а значит, ξ — голоморфное векторное поле.
Теорема 2 доказана.
Пусть ξ — торсообразующее векторное поле на почти эрмитовом многообразии M . Обозна-
чим через ω ковекторное поле, дуальное векторному полю ξ. Имеем
ω(Y ) = 〈ξ, Y 〉, Y ∈ X(M).
Применим к обеим частям этого тождества оператор ∇X :
∇X(ω)Y = 〈∇Xξ, Y 〉 = 〈a(X)ξ, Y 〉+ ρ〈X,Y 〉.
Таким образом,
∇X(ω)Y = a(X)ω(Y ) + ρ〈X,Y 〉, X, Y ∈ X(M). (3)
В частности,
dω(X,Y ) = ∇X(ω)Y −∇Y (ω)X = a(X)ω(Y )− a(Y )ω(X) = a ∧ ω(X,Y ).
Следовательно,
dω = a ∧ ω. (4)
Дифференциальное продолжение этого тождества имеет вид
da ∧ ω = 0. (5)
Соотношение (4) показывает, что гиперраспределение на M , порожденное дифференциальной
формой ω, инволютивно и, значит, вполне интегрируемо. Тем самым доказана следующая
теорема.
Теорема 3. Гиперраспределение на почти эрмитовом многообразии, порожденное диф-
ференциальной формой, дуальной голоморфному торсообразующему векторному полю на этом
многообразии, вполне интегрируемо.
Замечание. Замена соотношения (5) на более сильное условие da = 0 приводит к более
узкому классу — классу конциркулярных векторных полей, для которого полученные результаты
сохраняют силу. При этом соотношение (5) обращается в тождество.
Особый интерес представляет случай ω = a. В этом случае из (4) следует, что da = 0, т. е.
ξ — конциркулярное векторное поле. Уравнение (3) в этом случае принимает вид
∇ω = ω ⊗ ω + ρg. (6)
Здесь ρ — гладкая функция на многообразии M , с необходимостью равная
ρ =
1
n
(δω − ‖ω‖2),
где δω = gijωi,j — кодифференциал формы ω, ‖ω‖ — норма этой формы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
1008 В. Ф. КИРИЧЕНКО, В. М. КУЗАКОНЬ
Уравнение (6) было введено Яно в [3] и называется уравнением Яно. Укажем его геомет-
рический смысл. Как мы видели, дифференциальная форма ω, дуальная торсообразующему
векторному полю ξ, в случае ее совпадения с характеристической формой a замкнута и, значит,
локально точна. Следовательно, существует открытое покрытие U =
{
Uα
}
α∈A многообразия
M такое, что для любого α ∈ A существует σa ∈ C∞(Uα) &ω|Uα = dσα. Рассмотрим функции
σα как определяющие функции локально конформного преобразования g|Uα −→ g̃ = e2σαg|Uα
метрики многообразия M . Тогда выполнимость уравнения Яно на многообразии M равносиль-
на конциркулярности построенного нами локально конформного преобразования его метрики
(напомним, что конформное преобразование метрики называется конциркулярным преобразо-
ванием, если оно любую геодезическую окружность переводит в геодезическую окружность).
Заметим также, что эти рассуждения, очевидно, остаются в силе для любых римановых мно-
гообразий. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 4. Торсообразующее векторное поле на римановом многообразии, дуальная 1-
форма которого совпадает с характеристической 1-формой, является конциркулярным век-
торным полем и внутренним образом порождает конциркулярное локально конформное пре-
образование метрики этого многообразия.
1. Аминова А. В. Проективные преобразования псевдоримановых многообразий. – М.: Янус-К, 2003. – 619 с.
2. Kaehler E. Uber eine bemerkenswerte Hermitische Metrik //Abh. Math. Sem. Hamburgischen Univ. – 1933. – 9. –
P. 173 – 186.
3. Yano K. Concircular geometry. I–4 // Proc. Imp. Acad. Jap. – 1940. – 16. – P. 195 – 200, 354 – 360, 442 – 448, 505 – 511.
Получено 25.09.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-2485 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:20Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/05/6085d4446fd105b20f10e762392a2705.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24852020-03-18T19:16:28Z On the Geometry of Holomorphic Developable Vector Fields on Almost Hermitian Manifolds О геометрии голоморфных торсообразующих векторных полей на почти эрмитовых многообразиях Kirichenko, V. F. Kuzakon’, V. M. Кириченко, В. Ф. Кузаконь, В. М. Кириченко, В. Ф. Кузаконь, В. М. The determination of conditions for the invariance of geometric objects under the action of a group of transformations is one of the most important problems of geometric research. We study the invariance conditions for almost Hermitian structures relative to the action of a local one-parameter group of diffeomorphisms generated by a developable vector field on a manifold. Moreover, we investigate the relationship between developable (in particular, concircular) vector fields on Riemannian manifolds and locally concircular transformations of the metric of these manifolds. Знаходження умов iнварiантностi геометричних об'єктів щодо дії тієї чи іншої групи перетворень є однією з най-6ільш актуальних задач геометричного дослідження. У цій роботі ми вивчаємо умови інваріантності майже ермі-тових структур щодо дії локальної однопараметричної групи дифеоморфізмів, породженої торсотвірним векторним полем на цьому многовиді. Крім того, вивчені взаємозв'язки між торсотвірними, зокрема конциркулярними, векторними полями на ріманових многовидах i локально конциркулярними перетвореннями метрики цих многовидів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2485 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 7 (2013); 1005–1008 Український математичний журнал; Том 65 № 7 (2013); 1005–1008 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2485/1736 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2485/1737 Copyright (c) 2013 Kirichenko V. F.; Kuzakon’ V. M. |
| spellingShingle | Kirichenko, V. F. Kuzakon’, V. M. Кириченко, В. Ф. Кузаконь, В. М. Кириченко, В. Ф. Кузаконь, В. М. On the Geometry of Holomorphic Developable Vector Fields on Almost Hermitian Manifolds |
| title | On the Geometry of Holomorphic Developable Vector Fields on Almost Hermitian Manifolds |
| title_alt | О геометрии голоморфных торсообразующих векторных
полей на почти эрмитовых многообразиях |
| title_full | On the Geometry of Holomorphic Developable Vector Fields on Almost Hermitian Manifolds |
| title_fullStr | On the Geometry of Holomorphic Developable Vector Fields on Almost Hermitian Manifolds |
| title_full_unstemmed | On the Geometry of Holomorphic Developable Vector Fields on Almost Hermitian Manifolds |
| title_short | On the Geometry of Holomorphic Developable Vector Fields on Almost Hermitian Manifolds |
| title_sort | on the geometry of holomorphic developable vector fields on almost hermitian manifolds |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2485 |
| work_keys_str_mv | AT kirichenkovf onthegeometryofholomorphicdevelopablevectorfieldsonalmosthermitianmanifolds AT kuzakonvm onthegeometryofholomorphicdevelopablevectorfieldsonalmosthermitianmanifolds AT kiričenkovf onthegeometryofholomorphicdevelopablevectorfieldsonalmosthermitianmanifolds AT kuzakonʹvm onthegeometryofholomorphicdevelopablevectorfieldsonalmosthermitianmanifolds AT kiričenkovf onthegeometryofholomorphicdevelopablevectorfieldsonalmosthermitianmanifolds AT kuzakonʹvm onthegeometryofholomorphicdevelopablevectorfieldsonalmosthermitianmanifolds AT kirichenkovf ogeometriigolomorfnyhtorsoobrazuûŝihvektornyhpolejnapočtiérmitovyhmnogoobraziâh AT kuzakonvm ogeometriigolomorfnyhtorsoobrazuûŝihvektornyhpolejnapočtiérmitovyhmnogoobraziâh AT kiričenkovf ogeometriigolomorfnyhtorsoobrazuûŝihvektornyhpolejnapočtiérmitovyhmnogoobraziâh AT kuzakonʹvm ogeometriigolomorfnyhtorsoobrazuûŝihvektornyhpolejnapočtiérmitovyhmnogoobraziâh AT kiričenkovf ogeometriigolomorfnyhtorsoobrazuûŝihvektornyhpolejnapočtiérmitovyhmnogoobraziâh AT kuzakonʹvm ogeometriigolomorfnyhtorsoobrazuûŝihvektornyhpolejnapočtiérmitovyhmnogoobraziâh |