Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Rational Approximations of Functions of Two Variables
The Dzyadyk method of generalized moment representations is extended to the case of two-dimensional sequences and used to construct Padé approximants for functions of two variables.
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2489 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508389386223616 |
|---|---|
| author | Holub, A. P. Chernetska, L. O. Голуб, А. П. Чернецька, Л. О. |
| author_facet | Holub, A. P. Chernetska, L. O. Голуб, А. П. Чернецька, Л. О. |
| author_sort | Holub, A. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:16:44Z |
| description | The Dzyadyk method of generalized moment representations is extended to the case of two-dimensional sequences and used to construct Padé approximants for functions of two variables. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
А. П. Голуб, Л. О. Чернецька (Iн-т математики НАН України, Київ)
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ
ТА РАЦIОНАЛЬНI АПРОКСИМАЦIЇ ФУНКЦIЙ ДВОХ ЗМIННИХ
V. K. Dzyadyk’s method of generalized moment representations is extended to the case of two-dimensional sequences and
used to construct Padé approximants of two-variable functions.
Метод обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка распространен на случай двумерных последователь-
ностей и применен к построению аппроксимаций Паде функций двух переменных.
Узагальненi моментнi зображення були введенi В. К. Дзядиком [1] у 1981 р. i виявилися зручним
iнструментом для побудови та вивчення апроксимацiй Паде та їх узагальнень (див. [2]).
Означення 1. Будемо говорити, що для послiдовностi комплексних чисел {sk}∞k=0 має
мiсце узагальнене моментне зображення на добутку лiнiйних просторiв X та Y за означе-
ною на цьому добутку бiлiнiйною формою 〈., .〉, якщо у просторi X вказано послiдовнiсть
елементiв {xk}∞k=0, а у просторi Y — послiдовнiсть елементiв {yj}∞j=0 такi, що
sk+j = 〈xk, yj〉, k, j ∈ Z+. (1)
По аналогiї з (1) можна визначити узагальненi моментнi зображення двовимiрних числових
послiдовностей.
Означення 2. Будемо говорити, що для двовимiрної числової послiдовностi {sk,m}∞k,m=0
має мiсце узагальнене моментне зображення на добутку лiнiйних просторiв X та Y за
означеною на цьому добутку бiлiнiйною формою 〈., .〉, якщо у просторi X вказано двовимiрну
послiдовнiсть елементiв {xk,m}∞k,m=0, а у просторi Y — двовимiрну послiдовнiсть елементiв
{yj,n}∞j,n=0 такi, що
sk+j,m+n = 〈xk,m, yj,n〉, k, j, m, n ∈ Z+. (2)
По аналогiї з тим, як у вiдповiднiсть числовiй послiдовностi {sk}∞k=0 можна поставити
формальний степеневий ряд
f(z) =
∞∑
k=0
skz
k,
двовимiрнiй числовiй послiдовностi {sk,m}∞k,m=0 можна поставити у вiдповiднiсть формальний
степеневий ряд двох змiнних
f(z, w) =
∞∑
k,m=0
sk,mz
kwm. (3)
Для рядiв вигляду (3) можна визначати рацiональнi апроксиманти, що будуть узагальнення-
ми одновимiрних апроксимант Паде, за рiзними схемами (див. [3, с. 323]). При цьому потрiбно
зафiксувати певнi обмеженi областi N i D з Z2
+ та побудувати алгебраїчнi многочлени
c© А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8 1035
1036 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
PN (z, w) =
∑
(k,m)∈N
pk,mz
kwm,
QD(z, w) =
∑
(k,m)∈D
qk,mz
kwm
таким чином, щоб якомога бiльше коефiцiєнтiв ek,m у розкладi
f(z, w)− PN (z, w)
QD(z, w)
=
∑
(k,m)∈Z2
+
ek,mz
kwm
дорiвнювали нулю. Як i у випадку одновимiрних апроксимацiй Паде, побудова таких много-
членiв зводиться до розв’язання системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Тому якщо вимагати,
щоб ek,m = 0 при (k,m) ∈ E ⊂ Z2
+, то в загальному випадку повинна справджуватися рiвнiсть
dim E = dim N + dim D − 1.
Принаймнi, в кожному невиродженому випадку ми можемо добитися, щоб виконувалася нерiв-
нiсть
dim E > dim N + dim D − 1.
Рiзноманiтнi модифiкацiї багатовимiрних i, зокрема, двовимiрних апроксимацiй Паде ви-
вчалися в роботах [4 – 12].
Наступний результат є аналогом теореми В. К. Дзядика [1] для випадку функцiй двох
змiнних.
Теорема 1. Нехай формальний степеневий ряд двох змiнних має вигляд (3) i для двовимiр-
ної послiдовностi {sk,m}∞k,m=0 має мiсце узагальнене моментне зображення вигляду (2). Тодi
якщо для деяких N1, N2 ∈ N iснує нетривiальний узагальнений полiном
YN1,N2 =
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n yj,n (4)
такий, що виконуються умови бiортогональностi
〈xk,m, YN1,N2〉 = 0 (5)
при (k,m) ∈ ([0, N1]× [0, N2]) \ {(N1, N2)} i c(N1,N2)
N1,N2
6= 0, то рацiональна функцiя
1
QN1,N2(z, w)
N1−1∑
k=0
N2−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,N2−nsk−j,m−n+
+zN1
N1∑
k=0
N2−1∑
m=0
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
j,N2−n sk+j,m−n+
+wN2
N1−1∑
k=0
N2∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,n sk−j,m+n
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА РАЦIОНАЛЬНI АПРОКСИМАЦIЇ . . . 1037
де
QN1,N2(z, w) =
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,N2−nz
jwn,
матиме розклад у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами ряду (3)
для всiх (j, n) ∈ ([0, 2N1]× [0, 2N2]) \ {(2N1, 2N2)}.
Доведення. Помножимо рiвнiсть (2) на zkwm i пiдсумуємо по k та m вiд 0 до досить
великих чисел k̃ та m̃ вiдповiдно. Справа отримаємо
〈
k̃∑
k=0
m̃∑
m=0
zkwmxk,m, yj,n
〉
,
а злiва будемо мати
k̃∑
k=0
m̃∑
m=0
sk+j,m+nz
kwm =
k̃+j∑
k=j
m̃+n∑
m=n
sk,mz
k−jwm−n =
=
1
zjwn
f(z, w)−
k̃+j∑
k=j
n−1∑
m=0
sk,mz
kwm −
j−1∑
k=0
m̃+n∑
m=n
sk,mz
kwm−
−
j−1∑
k=0
n−1∑
m=0
sk,mz
kwm −
∞∑
k=k̃+j+1
m̃+n∑
m=0
sk,mz
kwm−
−
k̃+j∑
k=0
∞∑
m=m̃+n+1
sk,mz
kwm −
∞∑
k=k̃+j+1
∞∑
m=m̃+n+1
sk,mz
kwm
.
Домножимо тепер отриманi рiвностi на коефiцiєнти c
(N1,N2)
j,n , j ∈ [0, N1], n ∈ [0, N2], i
пiдсумуємо по j вiд 0 до N1 i по n вiд 0 до N2. Справа отримаємо
〈
k̃∑
k=0
m̃∑
m=0
zkwmxk,m, YN1,N2
〉
.
Враховуючи, що мають мiсце спiввiдношення бiортогональностi (5), розклад отриманої спра-
ва величини в ряд за степенями z та w матиме нульовi коефiцiєнти при степенях (k,m) ∈
∈ ([0, N1]× [0, N2]) \ {(N1, N2)}.
Злiва одержимо
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n
1
zjwn
f(z, w)−
k̃+j∑
k=j
n−1∑
m=0
sk,mz
kwm −
j−1∑
k=0
m̃+n∑
m=n
sk,mz
kwm−
−
j−1∑
k=0
n−1∑
m=0
sk,mz
kwm −
∞∑
k=k̃+j+1
m̃+n∑
m=0
sk,mz
kwm−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1038 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
j k̃ + j
n
m̃+ n
D0,0
D0,1
D0,2
D1,0
D1,2
D2,0
D2,1
D2,2
-
6
Рис. 1
−
k̃+j∑
k=0
∞∑
m=m̃+n+1
sk,mz
kwm −
∞∑
k=k̃+j+1
∞∑
m=m̃+n+1
sk,mz
kwm
=
=
1
zN1wN2
f(z, w)QN1,N2(z, w)−
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n zN1−jwN2−n
∑
(k,m)∈D∗
sk,mz
kwm
,
де D∗ = D0,0 ∪D0,1 ∪D1,0 ∪D0,2 ∪D2,0 ∪D1,2 ∪D2,1 ∪D2,2, а
D0,0 = [0, j − 1]× [0, n− 1], D0,1 = [0, j − 1]× [n, m̃+ n],
D1,0 = [j, k̃ + j]× [0, n− 1], D0,2 = [0, j − 1]× [m̃+ n+ 1,∞],
D2,0 = [k̃ + j + 1,∞]× [0, n− 1], D1,2 = [j, k̃ + j]× [m̃+ n+ 1,∞],
D2,1 = [k̃ + j + 1,∞]× [n, m̃+ n], D2,2 = [k̃ + j + 1,∞]× [m̃+ n+ 1,∞]
(див. рис. 1).
Тодi
f(z, w)QN1,N2(z, w)−
N1∑
j=0
N2∑
n=1
c
(N1,N2)
j,n zN1−jwN2−n
k̃+j∑
k=j
n−1∑
m=0
sk,mz
kwm−
−
N1∑
j=1
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n zN1−jwN2−n
j−1∑
k=0
m̃+n∑
m=n
sk,mz
kwm−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА РАЦIОНАЛЬНI АПРОКСИМАЦIЇ . . . 1039
D
N1 2N1 − 1 2N1
N2
2N2 − 1
2N2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Рис. 2
−
N1∑
j=1
N2∑
n=1
c
(N1,N2)
j,n zN1−jwN2−n
j−1∑
k=0
n−1∑
m=0
sk,mz
kwm =
= O
(
wm̃
)
+O
(
zk̃
)
+ zN1wN2
〈
k̃∑
k=0
m̃∑
m=0
zkwmxk,m, YN1,N2
〉
.
Звiдси за рахунок довiльностi вибору досить великих k̃ та m̃ i отримаємо твердження теореми.
Зауваження 1. Таким чином, для побудованої в теоремi 1 апроксиманти Паде будемо
мати
D = [0, N1]× [0, N2],
N = ([0, 2N1]× [0, 2N2]) \ ([N1, 2N1]× [N2, 2N2]) ,
E = ([0, 2N1]× [0, 2N2]) \ {(2N1, 2N2)}
(див. рис. 2; заштрихована частина — це область N , а обмежена жирним контуром — E ).
Насправдi, в теоремi 1 можна вибирати узагальнений полiном YN1,N2 з умов бiортогональ-
ностi до елементiв xk,m не для (k,m) ∈ ([0, N1]× [0, N2]) \ {(N1, N2)} , а для (k,m)∈H ,
де H — певна множина з Z2
+, обмежена деякою кривою ρ = ρ(ϕ), ϕ ∈ [0, π/2], що мi-
стить (N1 + 1) (N2 + 1)−1 точку. При цьому за N ми можемо вибирати будь-яку множину
з Z2
+ \ ([N1,∞)×[N2,∞)) , що є об’єднанням квадрата [0, N1 − 1] × [0, N2 − 1] з множинами
вигляду {(k,m) : k ∈ [0, N1 − 1], m ∈ [N2, x(k)]} та {(k,m) : m∈ [0, N2−1], k ∈ [N1, y(m)]},
де x(k), y(m) — деякi функцiї з Z+ в Z+ такi, що x(k) >N2, y(m) >N1 для всiх k та m (див.
рис. 3). Тодi множина E буде мати вигляд N ∪ {H + (N1, N2)} , де H + (N1, N2) — мно-
жина, отримана паралельним перемiщенням множиниH , при якому точка (0, 0) переходить у
точку (N1, N2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1040 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
N1N1 − 1
m = x(k)
ρ = ρ(ϕ)
k = y(m)
N2
N2 − 1
k
m
-
6
Рис. 3
А саме, має мiсце наступне узагальнення теореми 1.
Теорема 1′. Нехай за умов теореми 1 при деяких N1, N2 ∈ N iснує нетривiальний узагаль-
нений полiном
YN1,N2 =
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n yj,n
такий, що виконуються умови бiортогональностi
〈xk,m, YN1,N2〉 = 0
при (k,m) ∈H , де область H ⊂ Z2
+ обмежена графiком деякої функцiї ρ = ρ(ϕ), ϕ ∈
[
0,
π
2
]
,
i мiстить (N1 + 1) (N2 + 1)− 1 точку, i при цьому c(N1,N2)
N1,N2
6= 0. Тодi рацiональна функцiя
1
QN1,N2(z, w)
{
N1−1∑
k=0
N2−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,N2−nsk−j,m−n+
+zN1
N2−1∑
m=0
y(m)−N1∑
k=0
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
j,N2−n sk+j,m−n+
+wN2
N1−1∑
k=0
x(k)−N2∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,n sk−j,m+n
}
,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА РАЦIОНАЛЬНI АПРОКСИМАЦIЇ . . . 1041
QN1,N2(z, w) =
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,N2−nz
jwn,
матиме розклад у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами ряду (3)
для всiх (j, n) ∈ E .
Доведення. В процесi доведення теореми 1 було встановлено рiвнiсть
〈
k̃∑
k=0
m̃∑
m=0
zkwmxk,m, YN1,N2
〉
=
=
1
zN1wN2
f(z, w)QN1,N2(z, w)−
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n zN1−jwN2−n
∑
(k,m)∈D∗
sk,mz
kwm
.
Суми, що вiдповiдають областям D0,2, D1,2, D2,2, D2,1 та D2,0, при досить великих k̃, m̃ будуть
мiстити лише zkwm при (k,m) 6∈ E .
Розглянемо
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n zN1−jwN2−n
∑
(k,m)∈D0,0
sk,mz
kwm =
= zN1wN2
N1∑
j=1
N2∑
n=1
c
(N1,N2)
j,n
j−1∑
k=0
n−1∑
m=0
sk,mz
k−jwm−n =
=
N1−1∑
k=0
N2−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,N2−nsk−j,m−n.
Далi
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n zN1−jwN2−n
∑
(k,m)∈D0,1
sk,mz
kwm =
= zN1wN2
N1∑
j=1
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n
j−1∑
k=0
m̃+n∑
m=n
sk,mz
k−jwm−n =
= wN2
N1−1∑
k=0
m̃∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,n sk−j,m+n.
Аналогiчно по областi D1,0:
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n zN1−jwN2−n
∑
(k,m)∈D1,0
sk,mz
kwm =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1042 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
= zN1
k̃∑
k=0
N2−1∑
m=0
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
j,N2−n sk+j,m−n.
Формуючи чисельник двовимiрної апроксиманти Паде, ми включаємо до нього першу суму
повнiстю. З другої суми вiзьмемо
wN2
N1−1∑
k=0
x(k)−N2∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,n sk−j,m+n,
а решта
wN2
N1−1∑
k=0
m̃∑
m=x(k)−N2+1
zkwm
k∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,n sk−j,m+n
потрапить до залишку.
З третьої суми беремо
zN1
N2−1∑
m=0
y(m)−N1∑
k=0
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
j,N2−n sk+j,m−n,
решта
zN1
N2−1∑
m=0
k̃∑
k=y(m)−N1+1
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
j,N2−n sk+j,m−n
також потрапляє до залишку.
Враховуючи умови бiортогональностi, накладенi на узагальнений полiном YN1,N2 , прихо-
димо до висновку про справедливiсть твердження теореми.
Зауважимо, що, як i у випадку одновимiрних узагальнених моментних зображень, задача
про двовимiрнi узагальненi моментнi зображення може бути сформульована в операторному
виглядi. А саме, припустимо, що простори X та Y є нормованими i в просторi X iснують
комутуючi мiж собою обмеженi оператори A,B : X →X такi, що
Axk,m = xk+1,m,
Bxk,m = xk,m+1
при всiх k,m ∈ Z+. Нехай у просторi Y iснують обмеженi оператори A?, B? : Y → Y ,
спряженi до операторiв A та B вiдносно бiлiнiйної форми 〈., .〉 в тому розумiннi, що для
будь-яких x ∈X , y ∈ Y
〈Ax, y〉 = 〈x,A?y〉,
〈Bx, y〉 = 〈x,B?y〉.
Тодi зображення (2) можна записати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА РАЦIОНАЛЬНI АПРОКСИМАЦIЇ . . . 1043
sk,m =
〈
AkBmx0,0, y0,0
〉
, k, m ∈ Z+,
i ряд (3) буде збiжним в околi початку координат до аналiтичної функцiї, що має зображення
f(z, w) =
〈
R̂z(A)R̂w(B)x0,0, y0,0
〉
,
де резольвентна функцiя R̂z(A) визначається рiвнiстю R̂z(A) = (I − zA)−1.
У такому випадку за умов теореми 1 матиме мiсце формула для похибки апроксимацiї
f(z, w)− PN (z, w)
QN1,N2(z, w)
=
1
QN1,N2(z, w)
{
zN1wN2〈R̂z(A)R̂w(B)x0,0, YN1,N2〉+
+zN1
N2−1∑
m=0
∞∑
k=N1+1
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
j,N2−n sk+j,m−n+
+wN2
N1−1∑
k=0
∞∑
m=N2+1
zkwm
k∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,n sk−j,m+n
}
.
За умов теореми 1′ ця формула набирає вигляду
f(z, w)− PN (z, w)
QN1,N2(z, w)
=
1
QN1,N2(z, w)
z
N1wN2〈R̂z(A)R̂w(B)x0,0, YN1,N2〉 +
+zN1
N2−1∑
m=0
∞∑
k=y(m)−N1+1
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
j,N2−n sk+j,m−n+
+ wN2
N1−1∑
k=0
∞∑
m=x(k)−N2+1
zkwm
k∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,n sk−j,m+n
.
Розглянемо окремi приклади зображень вигляду (2) та застосуємо їх до побудови рацiональ-
них апроксимацiй.
Нехай X = Y = L2 ([0, 1], dµ) для деякої мiри, що визначається неспадною функцiєю
µ(t), яка має нескiнченну кiлькiсть точок зростання на [0, 1]. Визначимо у просторi X два
оператори
(Aϕ)(t) = (Bϕ)(t) = tϕ(t).
Їх резольвентнi функцiї мають вигляд
(
R̂z(A)ϕ
)
(t) =
ϕ(t)
1− zt ,
(
R̂w(B)ϕ
)
(t) =
ϕ(t)
1− wt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1044 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
Таким чином,
f(z, w) =
1∫
0
dµ(t)
(1− zt)(1− wt) =
wg(w)− zg(z)
w − z , (6)
де
g(z) =
1∫
0
dµ(t)
1− zt .
Наприклад, для µ(t) = t маємо g(z) = − ln(1− z)
z
i, отже,
f(z, w) =
ln
1− z
1− w
w − z .
Функцiї xk,m(t) при цьому мають вигляд
xk,m(t) = tk+m
i, отже,
sk,m =
1∫
0
tk+mdµ(t). (7)
При
dµ(t) = tν(1− t)σdt, ν, σ > −1, (8)
маємо
sk,m =
1∫
0
tk+m+ν(1− t)σdt =
Γ(k +m+ ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(k +m+ ν + σ + 2)
,
i, отже, отримана функцiя
f(z, w) =
∞∑
k=0
∞∑
m=0
Γ(k +m+ ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(k +m+ ν + σ + 2)
zkwm (9)
з точнiстю до сталого множника збiгатиметься з гiпергеометричним рядом Аппеля
F1(α, β, β
′, γ, z, w) =
∞∑
k,m=0
(α)k+m(β)k(β
′)m
(γ)k+mk!m!
zkwm
(див. [13, c. 219], формула (6)) при α = ν + 1, β = 1, β′ = 1, γ = ν + σ + 2.
Оскiльки функцiя f(z, w) вигляду (6) є симетричною вiдносно своїх змiнних, то має сенс
наближати її симетричними агрегатами. Отже, обмежимось випадкомN1 = N2 = N. Для знахо-
дження апроксиманти Паде для f(z, w) вигляду (6) за теоремами 1, 1′ нам потрiбно побудувати
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА РАЦIОНАЛЬНI АПРОКСИМАЦIЇ . . . 1045
14
N 2N − 1 2N 3N − 1 4N − 13N
N − 1
N
2N − 1
2N
3N − 1
4N − 1
!
!
!
"
!
!
!
!#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
Нехай функцiя f(z, w) має вигляд (6). Тодi
YN,N(t) = P2N(t),
де P2N(t) — многочлен степеня 2N , ортогональний на [0, 1] за мiрою dµ(t).
Запишемо його у виглядi:
P2N(t) =
2N∑
j=0
p
(2N)
j tj.
Отже, маємо
N∑
k=0
N∑
m=0
c
(N,N)
k,m tk+m =
2N∑
j=0
p
(2N)
j tj.
З цiєї рiвностi коефiцiєнти c
(N,N)
k,m , k, m = 0, N можна визначити безлiччю
способiв. Оскiльки функцiя f(z, w) симетрична, нас будуть цiкавити тiльки
Рис. 4
узагальнений полiном вигляду (4), для якого виконуються умови бiортогональностi (5). Оскiль-
ки YN,N (t) в даному випадку буде алгебраїчним многочленом степеня 2N, який ортогональний
до многочленiв степеня 6 2N − 1, то вiн збiгатиметься з точнiстю до сталого множника з мно-
гочленом, ортонормованим на [0, 1] за мiрою dµ(t), а у випадку мiри (8) — з ортонормованим
зсунутим на [0, 1] многочленом Якобi (див. [14, c. 268]).
Зауважимо, що полiном YN,N (t) = P2N (t) при цьому буде ортогональним не лише до
xk,m(t), (k,m) ∈ ([0, N ]× [0, N ]) \ {(N,N)} , але i до xk,m(t) при (k,m) ∈
{
(k,m) ∈ Z+, k +
+m 6 2N − 1
}
. Тому при побудовi апроксиманти Паде функцiй вигляду (6) має сенс вибирати
коефiцiєнти чисельника не з множини
N = ([0, 2N ]× [0, 2N ]) \ ([N, 2N ]× [N, 2N ]) ,
як пропонується в теоремi 1, а з множини (див. рис. 4)
N1 =
{
(k,m) : k +m 6 4N − 1}\{(k,m) : k,m > N
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1046 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
Нехай функцiя f(z, w) має вигляд (6). Тодi
YN,N (t) = P2N (t),
де P2N (t) — многочлен степеня 2N, ортогональний на [0, 1] за мiрою dµ(t).
Запишемо його у виглядi
P2N (t) =
2N∑
j=0
p
(2N)
j tj .
Отже, маємо
N∑
k=0
N∑
m=0
c
(N,N)
k,m tk+m =
2N∑
j=0
p
(2N)
j tj .
З цiєї рiвностi коефiцiєнти c
(N,N)
k,m , k,m = 0, N, можна визначити багатьма способами.
Оскiльки функцiя f(z, w) симетрична, нас будуть цiкавити тiльки симетричнi розв’язки. Ви-
окремимо з них наступнi три:
Спосiб (a). Будемо вибирати коефiцiєнти c
(N,N)
k,m таким чином, щоб при k +m = k1 +m1
виконувались рiвностi
c
(N,N)
k,m = c
(N,N)
k1,m1
.
У цьому випадку ортогональний многочлен P2N (t) можна розкласти таким чином:
P2N (t) =
2N∑
j=0
p
(2N)
j tj =
N∑
k=0
N∑
m=0
c
(N,N)
k,m tk+m =
=
N∑
k=0
N−k∑
m=0
c
(N,N)
k,m tk+m +
N∑
k=1
N∑
m=N−k+1
c
(N,N)
k,m tk+m =
=
N∑
m=0
tm
m∑
k=0
c
(N,N)
k,m−k + tN+1
N−1∑
m=0
tm
N−m−1∑
k=0
c
(N,N)
N−k,m+k+1.
В результатi отримаємо спiввiдношення
c
(N,N)
k,m =
1
k +m+ 1
p
(2N)
k+m при k +m 6 N,
1
2N − k −m+ 1
p
(2N)
k+m при k +m > N.
Спосiб (b). Будемо вибирати коефiцiєнти c(N,N)
k,m таким чином, щоб коефiцiєнти з номерами,
що знаходяться строго всерединi квадрата [0, N ]× [0, N ], були нульовими, тобто
2N∑
j=0
p
(2N)
j tj =
N−1∑
k=0
c
(N,N)
k,0 tk + tN
N∑
m=0
c
(N,N)
N,m tm +
N−1∑
m=1
c
(N,N)
0,m tm + tN
N−1∑
k=0
c
(N,N)
k,N tk,
так що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА РАЦIОНАЛЬНI АПРОКСИМАЦIЇ . . . 1047
c
(N,N)
0,0 = p
(2N)
0 , c
(N,N)
N,N = p
(2N)
2N ,
а для решти коефiцiєнтiв
c
(N,N)
k,0 =
1
2
p
(2N)
k , k = 1, N − 1,
c
(N,N)
N,m =
1
2
p
(2N)
N+m, m = 0, N − 1,
c
(N,N)
0,m =
1
2
p(2N)
m , m = 1, N − 1,
c
(N,N)
k,N =
1
2
p
(2N)
k+N , k = 0, N − 1.
Спосiб (c). Цей спосiб вiдрiзняється вiд способу (a) тим, що на вiдрiзках k + m = p,
що лежать у квадратi [0, N ] × [0, N ], будемо вважати коефiцiєнти не рiвними мiж собою, а
пропорцiональними бiномiальним коефiцiєнтам, так що
c
(N,N)
k,m =
1
2k+m
(
k +m
k
)
p
(2N)
k+m при k +m 6 N,
1
22N−k−m
(
2N − k −m
N − k
)
p
(2N)
k+m при k +m > N.
Побудуємо апроксиманти вказаних типiв для функцiй вигляду (6). Зазначимо, що для ви-
браної конфiгурацiї областi N1 в теоремi 1′ ми повиннi покласти x(k) = 4N − 1− k, y(m) =
= 4N − 1−m.
Для випадку (a) отримаємо
QN,N (z, w) =
N∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
N−j,N−nz
jwn =
=
N∑
j=0
N∑
n=N−j
1
2N − j − n+ 1
p
(2N)
2N−j−nz
jwn +
N−1∑
j=0
N−j−1∑
n=0
1
j + n+ 1
p
(2N)
2N−j−nz
jwn =
=
N∑
m=0
1
m+ 1
p(2N)
m
m∑
j=0
zN−jwN−(m−j) +
N−1∑
m=0
1
m+ 1
p
(2N)
2N−m
m∑
j=0
zjwm−j .
Пiдрахуємо чисельник:
PN1(z, w) =
N−1∑
k=0
N−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
m∑
n=0
c
(N,N)
N−j,N−nsk−j,m−n+
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
N∑
j=0
m∑
n=0
c
(N,N)
j,N−nsk+j,m−n+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1048 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
N−j,nsk−j,m+n =
=
N−1∑
m=0
N−1∑
k=N−m
zkwm
N∑
j=N−k
N−j∑
n=N−m
p
(2N)
j+n
j + n+ 1
sk+j−N,m+n−N+
+
N−1∑
k=1
N−1∑
m=0
zkwm
N−1∑
j=N−k
N∑
n=N−j+1
p
(2N)
j+n
2N − j − n+ 1
sk+j−N,m+n−N+
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
N∑
j=0
N−j∑
n=N−m
p
(2N)
j+n
j + n+ 1
sk+j,m+n−N+
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
N−1∑
j=0
N∑
n=N−j+1
p
(2N)
j+n
2N − j − n+ 1
sk+j,m+n−N+
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
k∑
n=0
N−n∑
j=N−k
p
(2N)
j+n
j + n+ 1
sk+j−N,m+n+
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
N−1∑
n=0
N∑
j=N−n+1
p
(2N)
j+n
2N − j − n+ 1
sk+j−N,m+n.
Для випадку (b) одержимо
QN,N (z, w) =
N∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
N−j,N−nz
jwn =
N∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
j,n zN−jwN−n =
= c
(N,N)
0,0 zNwN + c
(N,N)
N,N + zN
N∑
n=1
c
(N,N)
0,n wN−n + wN
N∑
j=1
c
(N,N)
j,0 zN−j+
+
N−1∑
n=0
c
(N,N)
N,n wN−n +
N−1∑
j=0
c
(N,N)
j,N zN−j =
= p
(2N)
0 zNwN + p
(2N)
2N +
1
2
zN
N∑
n=1
p(2N)
n wN−n +
1
2
wN
N∑
j=1
p
(2N)
j zN−j+
+
1
2
N−1∑
n=0
p
(2N)
N+nw
N−n +
1
2
N−1∑
j=0
p
(2N)
N+jz
N−j .
Обчислимо чисельник:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА РАЦIОНАЛЬНI АПРОКСИМАЦIЇ . . . 1049
PN1(z, w) =
N−1∑
k=0
N−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
m∑
n=0
c
(N,N)
N−j,N−nsk−j,m−n+
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
N−j,nsk−j,m+n+
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
N∑
j=0
m∑
n=0
c
(N,N)
j,N−nsk+j,m−n =
= p
(2N)
2N
(
N−1∑
k=0
N−1∑
m=0
zkwmsk,m + wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwmsk,m+N +
+ zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwmsk+N,m
)
+
+
1
2
{
N−1∑
k=0
N−1∑
m=0
zkwm
m∑
n=1
p
(2N)
2N−nsk,m−n + zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
m∑
n=1
p
(2N)
2N−nsk+N,m−n +
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
N−1∑
n=1
p
(2N)
N+nsk,m+n +
N−1∑
k=0
N−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=1
p
(2N)
2N−jsk−j,m+
+ zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
N∑
j=1
p
(2N)
j+N sk+j,m + wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
k∑
j=1
p
(2N)
2N−jsk−j,m+N
.
Для випадку (c), як i у випадку (a), отримаємо
QN,N (z, w) =
N∑
j=0
N∑
n=N−j
1
22N−j−n
(
2N − j − n
N − n
)
p
(2N)
2N−j−nz
jwn+
+
N−1∑
j=0
N−j−1∑
n=0
1
2j+n
(
j + n
n
)
p
(2N)
2N−j−nz
jwn,
PN1(z, w) =
N−1∑
m=0
N−1∑
k=N−m
zkwm
m∑
j=N−k
N−j∑
n=N−m
1
2j+n
(
j + n
n
)
p
(2N)
j+n sk+j−N,m+n−N+
+
N−1∑
k=1
N−1∑
m=0
zkwm
N−1∑
j=N−k
N∑
n=N−j+1
1
22N−j−n
(
2N − j − n
N − n
)
p
(2N)
j+n sk+j−N,m+n−N+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1050 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
m∑
j=0
N−j∑
n=N−m
1
2j+n
(
j + n
n
)
p
(2N)
j+n sk+j,m+n−N+
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
N−1∑
j=0
N∑
n=N−j+1
1
22N−j−n
(
2N − j − n
N − n
)
p
(2N)
j+n sk+j,m+n−N+
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
k∑
n=0
N−n∑
j=N−k
1
2j+n
(
j + n
n
)
p
(2N)
j+n sk+j−N,m+n+
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
N−1∑
n=0
N∑
j=N−n+1
1
22N−j−n
(
2N − j − n
N − n
)
p
(2N)
j+n sk+j−N,m+n.
Таким чином, встановлено наступний результат.
Теорема 2. Для аналiтичної функцiї f(z, w), що має iнтегральне зображення (7), при
довiльному N ∈ N рацiональнi функцiї
πN1,D(z, w) =
PN1(z, w)
QN,N (z, w)
такi, що
QN,N (z, w) =
N∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
N−j,N−nz
jwn,
PN1(z, w) =
N−1∑
k=0
N−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
m∑
n=0
c
(N,N)
N−j,N−nsk−j,m−n+
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
N∑
j=0
m∑
n=0
c
(N,N)
j,N−nsk+j,m−n+
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
N−j,nsk−j,m+n,
а коефiцiєнти c(N,N)
k,m , k,m = 0, N, задовольняють рiвностi
N∑
k=0
N∑
m=0
c
(N,N)
k,m tk+m =
2N∑
j=0
p
(2N)
j tj ,
де p(2N)
j — коефiцiєнти алгебраїчного многочлена P2N (t), ортогонального на [0, 1] з вагою
dµ(t), матимуть розклади в степеневi ряди, коефiцiєнти яких збiгатимуться з коефiцiєнтами
ряду (3) для функцiї (6) для всiх (j, n) ∈ E =
{
(j, n) ∈ Z2
+, j + n 6 4N − 1
}
. Зокрема, це
справедливо для наступних рацiональних функцiй:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА РАЦIОНАЛЬНI АПРОКСИМАЦIЇ . . . 1051
π
(a)
N1,D
(z, w) =
P
(a)
N1
(z, w)
Q
(a)
N,N (z, w)
,
де
Q
(a)
N,N (z, w) =
=
N−1∑
j=0
N−j−1∑
n=0
1
j + n+ 1
p
(2N)
2N−j−nz
jwn +
N∑
j=0
N∑
n=N−j
1
2N − j − n+ 1
p
(2N)
2N−j−nz
jwn,
P
(a)
N1
(z, w) =
N−1∑
m=0
N−1∑
k=N−m
zkwm
m∑
j=N−k
N−j∑
n=N−m
p
(2N)
j+n
j + n+ 1
sk+j−N,m+n−N+
+
N−1∑
k=1
N−1∑
m=0
zkwm
N−1∑
j=N−k
N∑
n=N−j+1
p
(2N)
j+n
2N − j − n+ 1
sk+j−N,m+n−N+
+zN
N−1∑
m=0
3N−m−1∑
k=0
zkwm
m∑
j=0
N−j∑
n=N−m
p
(2N)
j+n
j + n+ 1
sk+j,m+n−N+
+zN
N−1∑
m=0
3N−m−1∑
k=0
zkwm
N−1∑
j=0
N∑
n=N−j+1
p
(2N)
j+n
2N − j − n+ 1
sk+j,m+n−N+
+wN
N−1∑
k=0
3N−k−1∑
m=0
zkwm
k∑
n=0
N−n∑
j=N−k
p
(2N)
j+n
j + n+ 1
sk+j−N,m+n+
+wN
N−1∑
k=0
3N−k−1∑
m=0
zkwm
N−1∑
n=0
N∑
j=N−n+1
p
(2N)
j+n
2N − j − n+ 1
sk+j−N,m+n,
π
(b)
N1,D
(z, w) =
P
(b)
N1
(z, w)
Q
(b)
N,N (z, w)
.
Тут у свою чергу
Q
(b)
N,N (z, w) =
1
2
N∑
n=0
(zn + wn)
(
p(2N)
n zN−nwN−n + p
(2N)
2N−n
)
,
P
(b)
N1
(z, w) = p
(2N)
2N
(
N−1∑
k=0
N−1∑
m=0
zkwmsk,m + wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwmsk,m+N +
+ zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwmsk+N,m
)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1052 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
+
1
2
{
N−1∑
k=0
N−1∑
m=0
zkwm
m∑
n=1
p
(2N)
2N−nsk,m−n + zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
m∑
n=1
p
(2N)
2N−nsk+N,m−n +
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
N−1∑
n=1
p
(2N)
N+nsk,m+n +
N−1∑
k=0
N−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=1
p
(2N)
2N−jsk−j,m+
+ zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
N∑
j=1
p
(2N)
j+N sk+j,m + wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
k∑
j=1
p
(2N)
2N−jsk−j,m+N
,
π
(c)
N1,D
(z, w) =
P
(c)
N1
(z, w)
Q
(c)
N,N (z, w)
,
де
Q
(c)
N,N (z, w) =
N∑
j=0
N∑
n=N−j
1
22N−j−n
(
2N − j − n
N − n
)
p
(2N)
2N−j−nz
jwn+
+
N−1∑
j=0
N−j−1∑
n=0
1
2j+n
(
j + n
n
)
p
(2N)
2N−j−nz
jwn,
P
(c)
N1
(z, w) =
N−1∑
m=0
N−1∑
k=N−m
zkwm
m∑
j=N−k
N−j∑
n=N−m
1
2j+n
(
j + n
n
)
p
(2N)
j+n sk+j−N,m+n−N+
+
N−1∑
k=1
N−1∑
m=0
zkwm
N−1∑
j=N−k
N∑
n=N−j+1
1
22N−j−n
(
2N − j − n
N − n
)
p
(2N)
j+n sk+j−N,m+n−N+
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
m∑
j=0
N−j∑
n=N−m
1
2j+n
(
j + n
n
)
p
(2N)
j+n sk+j,m+n−N+
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
N−1∑
j=0
N∑
n=N−j+1
1
22N−j−n
(
2N − j − n
N − n
)
p
(2N)
j+n sk+j,m+n−N+
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
k∑
n=0
N−n∑
j=N−k
1
2j+n
(
j + n
n
)
p
(2N)
j+n sk+j−N,m+n+
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
N−1∑
n=0
N∑
j=N−n+1
1
22N−j−n
(
2N − j − n
N − n
)
p
(2N)
j+n sk+j−N,m+n.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА РАЦIОНАЛЬНI АПРОКСИМАЦIЇ . . . 1053
Зауваження 2. Для отриманих апроксимацiй будемо мати
dim D (a) = dim D (c) = (N + 1)2,
dim D (b) = 4N,
dim N1 =
2N(6N + 1)
2
,
dim E =
4N(4N + 1)
2
.
Очевидно,
dim E − (dim N1 + dim D (a) − 1) = N(N − 1),
dim E − (dim N1 + dim D (b) − 1) = 2(N − 1)
(
N − 1
2
)
.
Цi величини при N > 1 будуть строго бiльшi за 0. Це, вочевидь, викликано тiєю обставиною,
що функцiї вигляду (6) зображаються у виглядi лiнiйних комбiнацiй функцiй однiєї змiнної
(див., наприклад, [15]).
Перейдемо тепер до розгляду наближення функцiї f(z, w) вигляду (6) для випадку ваги
dµ(t) = (1− t)σtνdt, δ, ν > −1.
У цьому випадку ортогональний многочлен, що фiгурує в формулюваннi теореми 2, як вже
зазначалося, буде збiгатися з точнiстю до сталого множника з ортонормованим зсунутим на
[0, 1] многочленом Якобi степеня 2N. Коефiцiєнти цього многочлена можна записати в явному
виглядi (див. [16, с. 581]). Будемо мати
P2N (t;σ, ν) = CN
2N∑
m=0
(−1)mtm
(
2N
m
)
Γ(2N + σ + ν + 1 +m)
Γ(σ + 1 +m)
.
Отже, отримаємо
p
(2N)
k = (−1)k
(
2N
k
)
Γ(2N + σ + ν + 1 + k)
Γ(σ + 1 + k)
.
Це дозволяє на основi теореми 2 ефективно будувати рацiональнi апроксиманти описаного
ранiше вигляду для рядiв Аппеля (9), а саме, має мiсце наступний результат (наведемо його
лише щодо апроксимант, що отримуються за варiантом (c)).
Теорема 3. Для гiпергеометричного ряду Аппеля (9) при будь-якому N ∈ N рацiональна
функцiя
π
(c)
N1,D
(z, w) =
P
(c)
N1
(z, w)
Q
(c)
N,N (z, w)
,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1054 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
Q
(c)
N,N (z, w) =
N∑
j=0
N∑
n=N−j
(−1)j+n
1
22N−j−n
(
2N − j − n
N − n
)(
2N
2N − j − n
)
×
×Γ(4N + σ + ν + 1− j − n)
Γ(2N + σ + 1− j − n)
zjwn+
+
N−1∑
j=0
N−j−1∑
n=0
(−1)j+n
1
2j+n
(
j + n
n
)(
2N
2N − j − n
)
Γ(4N + σ + ν + 1− j − n)
Γ(2N + σ + 1− j − n)
zjwn,
P
(c)
N1
(z, w) =
N−1∑
m=0
N−1∑
k=N−m
zkwm
m∑
j=N−k
N−j∑
n=N−m
(−1)j+n
1
2j+n
(
j + n
n
)(
2N
j + n
)
×
×Γ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
Γ(σ + 1 + j + n)
Γ(k + j +m+ n− 2N + ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(k + j +m+ n− 2N + ν + σ + 2)
+
+
N−1∑
k=1
N−1∑
m=0
zkwm
N−1∑
j=N−k
N∑
n=N−j+1
(−1)j+n
1
22N−j−n
(
2N − j − n
N − n
)(
2N
j + n
)
×
×Γ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
Γ(σ + 1 + j + n)
Γ(k + j +m+ n− 2N + ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(k + j +m+ n− 2N + ν + σ + 2)
+
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
m∑
j=0
N−j∑
n=N−m
(−1)j+n
1
2j+n
(
j + n
n
)(
2N
j + n
)
×
×Γ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
Γ(σ + 1 + j + n)
Γ(k + j +m+ n−N + ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(k + j +m+ n−N + ν + σ + 2)
+
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
N−1∑
j=0
N∑
n=N−j+1
(−1)j+n
1
22N−j−n
(
2N − j − n
N − n
)(
2N
j + n
)
×
×Γ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
Γ(σ + 1 + j + n)
Γ(k + j +m+ n−N + ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(k + j +m+ n−N + ν + σ + 2)
+
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
k∑
n=0
N−n∑
j=N−k
(−1)j+n
1
2j+n
(
j + n
n
)(
2N
j + n
)
×
×Γ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
Γ(σ + 1 + j + n)
Γ(k + j +m+ n−N + ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(k + j +m+ n−N + ν + σ + 2)
+
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
N−1∑
n=0
N∑
j=N−n+1
(−1)j+n
1
22N−j−n
(
2N − j − n
N − n
)(
2N
j + n
)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА РАЦIОНАЛЬНI АПРОКСИМАЦIЇ . . . 1055
25
та графiк
Вiзьмемо тепер N = 2. Отримаємо рацiональну функцiю
PN1
(z, w)
Q2,2(z, w)
= (60z7 + 60w7 − 48z6w − 48zw6 + 68z6 + 68w6 − 56z5w − 56zw5+
+79z5 +79w5−67z4w−67zw4 +96z4 +96w4−84z3w−84zw3 +130z3 +130w3−
−130z2w − 130zw2 + 260z2 + 260w2 − 40zw − 840z − 840w + 1680)·
·(24z2w2−240zw2−240z2w+540z2+540w2+1080zw−1680z−1680w+1680)−1.
Наведемо таблицю значень наближуваної функцiї (10), частинної суми сте-
пеневого ряду
P7(z, w) = 1 +
1
2
(z + w) +
1
3
(z2 + zw + w2)+
+
1
4
(z3 + z2w + zw2 + w3) +
1
5
(z4 + z3w + z2w2 + zw3 + w4)+
+
1
6
(z5+z4w+z3w2+z2w3+zw4+w5)+
1
7
(z6+z5w+z4w2+z3w3+z2w4+zw5+w6)+
+
1
8
(z7 + z6w + z5w2 + z4w3 + z3w4 + z2w5 + zw6 + w7) =
=
7∑
k=0
1
k + 1
k∑
m=0
zmwk−m
та побудованої апроксимацiї
Рис. 5
×Γ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
Γ(σ + 1 + j + n)
Γ(k + j +m+ n−N + ν + 1)Γ(σ + 1)
Γ(k + j +m+ n−N + ν + σ + 2)
,
матиме розклад у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами ряду (9)
для всiх (j, n) ∈ E =
{
(j, n) ∈ Z2
+, j + n 6 4N − 1
}
.
Щоб проiлюструвати цей результат, розглянемо частинний випадок ν = σ = 0 i варiант
апроксимацiї (c). Тодi, як було зазначено ранiше, функцiя f(z, w) матиме вигляд
f(z, w) =
ln
1− z
1− w
w − z . (10)
Покладемо спочатку N = 1. Отримаємо рацiональну апроксимацiю
PN1(z, w)
Q1,1(z, w)
=
w3 + z3 + w2 + z2 + 12
2zw − 6z − 6w + 12
.
Порiвняємо значення наближуваної функцiї (10), частинної суми степеневого ряду
P3(z, w) = 1 +
1
2
(z + w) +
1
3
(z2 + zw + w2) +
1
4
(z3 + z2w + +zw2 + w3)
та побудованої нами апроксимацiї в точках квадрата [0.8]× [0.8] (див. табл. 1 та рис. 5).
Вiзьмемо тепер N = 2. Отримаємо рацiональну функцiю
PN1(z, w)
Q2,2(z, w)
= (60z7 + 60w7 − 48z6w − 48zw6 + 68z6 + 68w6 − 56z5w − 56zw5+
+79z5 + 79w5 − 67z4w − 67zw4 + 96z4 + 96w4 − 84z3w − 84zw3 + 130z3 + 130w3−
−130z2w − 130zw2 + 260z2 + 260w2 − 40zw − 840z − 840w + 1680)×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1056 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
Таблиця 1
w z
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.115717756 1.277064060 1.527151220 2.011797390
0.0 1 1.115333333 1.269333333 1.474000000 1.741333333
1.000000000 1.115555556 1.273333333 1.497142857 1.826666667
1.115717756 1.25 1.438410362 1.732867952 2.310490602
0.2 1.115333333 1.247999999 1.423333333 1.653333333 1.949999999
1.115555556 1.249586777 1.433644860 1.696774194 2.088607595
1.277064060 1.438410362 1.666666667 2.027325540 2.746530722
0.4 1.269333333 1.423333333 1.623999999 1.883333333 2.213333333
1.273333333 1.433644860 1.655319149 1.975308642 2.458823529
1.527151220 1.732867952 2.027325540 2.5 3.465735903
0.6 1.474000000 1.653333333 1.883333333 2.176000000 2.543333333
1.497142857 1.696774194 1.975308642 2.382608696 3.010526316
2.011797390 2.310490602 2.746530722 3.465735903 5
0.8 1.741333333 1.949999999 2.213333333 2.543333333 2.951999999
1.826666667 2.088607595 2.458823529 3.010526316 3.886956522
×(24z2w2 − 240zw2 − 240z2w + 540z2 + 540w2 + 1080zw − 1680z − 1680w + 1680)−1.
Значення наближуваної функцiї (10), частинної суми степеневого ряду
P7(z, w) = 1 +
1
2
(z + w) +
1
3
(z2 + zw + w2)+
+
1
4
(z3 + z2w + zw2 + w3) +
1
5
(z4 + z3w + z2w2 + zw3 + w4)+
+
1
6
(z5 + z4w + z3w2 + z2w3 + zw4 + w5) +
1
7
(z6 + z5w + z4w2 + z3w3 + z2w4 + zw5 + w6)+
+
1
8
(z7 + z6w + z5w2 + z4w3 + z3w4 + z2w5 + zw6 + w7) =
=
7∑
k=0
1
k + 1
k∑
m=0
zmwk−m
та побудованої апроксимацiї наведено в табл. 2 та на рис. 6.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА РАЦIОНАЛЬНI АПРОКСИМАЦIЇ . . . 1057
Таблиця 2
w z
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.115717756 1.277064060 1.527151220 2.011797390
0.0 1 1.115717409 1.276949943 1.523044343 1.941530209
1.000000000 1.115717633 1.277013333 1.524834792 1.960940469
1.115717756 1.25 1.438410362 1.732867952 2.310490602
0.2 1.115717409 1.249996798 1.438182476 1.726707809 2.216801140
1.115717633 1.249999930 1.438370451 1.730591604 2.254184731
1.277064060 1.438410362 1.666666667 2.027325540 2.746530722
0.4 1.276949943 1.438182476 1.665574402 2.015233143 2.606110476
1.277013333 1.438370451 1.666626430 2.025280391 2.684240361
1.527151220 1.732867952 2.027325540 2.5 3.465735903
0.6 1.523044343 1.726707809 2.015233143 2.458009601 3.196987809
1.524834792 1.730591604 2.025280391 2.497044927 3.397215406
2.011797390 2.310490602 2.746530722 3.465735903 5
0.8 1.941530209 2.216801140 2.606110476 3.196987809 4.161139198
1.960940469 2.254184731 2.684240361 3.397215406 4.854606766
Рис. 6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1058 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
1. Дзядик В.К. Про узагальнення проблеми моментiв // Доп. АН УРСР. – 1981. – 6. – С. 8 – 12.
2. Голуб А. П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. – Київ: Iн-т математики НАН України,
2002. – 222 c.
3. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Р. Аппроксимации Паде. – М.: Мир, 1986. – 502 c.
4. Alabiso C., Butera P. N-variable rational approximants and method of moments // J. Math. Phys. – 1975. – 16, № 4. –
P. 840 – 845.
5. Chisholm J. S. Rational approximants defined from double power series // Math. Comput. – 1973. – 27. – P. 841 – 848.
6. Graves-Morris P. R., Hughes Jones R. An analysis of two variable rational approximants // J. Comput. and Appl.
Math. – 1976. – 2, № 1. – P. 41 – 48.
7. Cuyt A. How well can the concept of Padé approximant be generalized to the multivariate case? // J. Comput. and
Appl. Math. – 1999. – 105, № 1-2. – P. 25 – 50.
8. Cuyt A., Driver K., Tan J., Verdonk B. Exploring multivariate Padé approximants for multiple hypergeometric series //
Adv. Comput. Math. – 1999. – 10, № 1. – P. 29 – 49.
9. Hughes Jones R. General rational approximants in N variables // J. Approxim. Theory. – 1976. – 16. – P. 201 – 233.
10. Lutterodt C. A two-dimensional analogue of Padé approximant theory // J. Phys. A.: Math. – 1974. – 7. – P. 1027 –
1037.
11. Zhou P. Explicit construction for multivariate Padé approximants // J. Comput. and Appl. Math. – 1997. – 79. –
P. 1 – 17.
12. Кучмiнська Х. Й. Двовимiрнi неперервнi дроби. – Львiв: Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН
України, 2010. – 217 c.
13. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежанд-
ра. – М.: Наука, 1973. – 296 c.
14. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1979. – 416 c.
15. Cuyt A., Tan J., Zhou P. General order multivariate Padé approximants for pseudo-multivariate functions // Math.
Comput. – 2006. – 75, № 254. – P. 727 – 741.
16. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 c.
Одержано 25.06.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2489 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:26Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fd/ffee9af8d587fcb7f79eee916b4094fd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24892020-03-18T19:16:44Z Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Rational Approximations of Functions of Two Variables Двовимірні узагальнені моментні зображення та раціональні апроксимації функцій двох змінних Holub, A. P. Chernetska, L. O. Голуб, А. П. Чернецька, Л. О. The Dzyadyk method of generalized moment representations is extended to the case of two-dimensional sequences and used to construct Padé approximants for functions of two variables. Метод обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка распространен на случай двумерных последовательностей и применен к построению аппроксимаций Паде функций двух переменных. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2489 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 8 (2013); 1035–1058 Український математичний журнал; Том 65 № 8 (2013); 1035–1058 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2489/1744 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2489/1745 Copyright (c) 2013 Holub A. P.; Chernetska L. O. |
| spellingShingle | Holub, A. P. Chernetska, L. O. Голуб, А. П. Чернецька, Л. О. Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Rational Approximations of Functions of Two Variables |
| title | Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Rational Approximations of Functions of Two Variables |
| title_alt | Двовимірні узагальнені моментні зображення та раціональні апроксимації функцій двох змінних |
| title_full | Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Rational Approximations of Functions of Two Variables |
| title_fullStr | Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Rational Approximations of Functions of Two Variables |
| title_full_unstemmed | Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Rational Approximations of Functions of Two Variables |
| title_short | Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Rational Approximations of Functions of Two Variables |
| title_sort | two-dimensional generalized moment representations and rational approximations of functions of two variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2489 |
| work_keys_str_mv | AT holubap twodimensionalgeneralizedmomentrepresentationsandrationalapproximationsoffunctionsoftwovariables AT chernetskalo twodimensionalgeneralizedmomentrepresentationsandrationalapproximationsoffunctionsoftwovariables AT golubap twodimensionalgeneralizedmomentrepresentationsandrationalapproximationsoffunctionsoftwovariables AT černecʹkalo twodimensionalgeneralizedmomentrepresentationsandrationalapproximationsoffunctionsoftwovariables AT holubap dvovimírníuzagalʹnenímomentnízobražennâtaracíonalʹníaproksimacíífunkcíjdvohzmínnih AT chernetskalo dvovimírníuzagalʹnenímomentnízobražennâtaracíonalʹníaproksimacíífunkcíjdvohzmínnih AT golubap dvovimírníuzagalʹnenímomentnízobražennâtaracíonalʹníaproksimacíífunkcíjdvohzmínnih AT černecʹkalo dvovimírníuzagalʹnenímomentnízobražennâtaracíonalʹníaproksimacíífunkcíjdvohzmínnih |