Nonergodic Quadratic Operators for a Two-Sex Population
We describe the structure of quadratic operators of a two-sex population that differs from the model studied by Lyubich and give an example of nonergodic quadratic operator for a two-sex population.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2498 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508398298071040 |
|---|---|
| author | Ganikhodzhaev, N. N. Zhamilov, U. U. Mukhitdinov, R. T. Ганиходжаев, Н. Н. Жамилов, У. У. Мухитдинов, Р. Т. Ганиходжаев, Н. Н. Жамилов, У. У. Мухитдинов, Р. Т. |
| author_facet | Ganikhodzhaev, N. N. Zhamilov, U. U. Mukhitdinov, R. T. Ганиходжаев, Н. Н. Жамилов, У. У. Мухитдинов, Р. Т. Ганиходжаев, Н. Н. Жамилов, У. У. Мухитдинов, Р. Т. |
| author_sort | Ganikhodzhaev, N. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:16:44Z |
| description | We describe the structure of quadratic operators of a two-sex population that differs from the model studied by Lyubich and give an example of nonergodic quadratic operator for a two-sex population. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.988.52
Н. Н. Ганиходжаев (Междунар. ислам. ун-т Малайзии),
У. У. Жамилов (Междунар. ислам. ун-т Малайзии, Куантан;
Ин-т математики при Нац. ун-те Узбекистана, Ташкент),
Р. Т. Мухитдинов (Бухар. инж.-техн. ин-т высших технологий, Узбекистан)
НЕЭРГОДИЧЕСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
ДВУПОЛОЙ ПОПУЛЯЦИИ
We describe the construction of quadratic operators of a two-sex population that differs from the model introduced by
Lyubich and give an example of a nonergodic quadratic operator of a two-sex population.
Описано конструкцiю квадратичних операторiв двополої популяцiї, що вiдмiнна вiд моделi, вивченої в роботах
Любича, та наведено приклад неергодичного квадратичного оператора двополої популяцiї.
1. Введение. Квадратичный стохастический оператор (КСО) (см. [2, 3]), отображающий симп-
лекс
SN−1 =
{
x = (x1, . . . , xN ) ∈ RN : xi ≥ 0,
N∑
i=1
xi = 1
}
(1)
в себя, имеет вид
V : x′k =
N∑
i,j=1
pij,kxixj , k = 1, . . . , N, (2)
где pij,k — коэффициенты наследственности и
pij,k ≥ 0, pij,k = pji,k,
N∑
k=1
pij,k = 1, i, j, k = 1, . . . , N. (3)
Такие операторы часто встречаются при изучении динамики свободной популяции, т. е. по-
пуляции, в которой не определяется пол [1]. Траектория {x(n)} КСО (2) с начальной точкой
x(0) ∈ SN−1 определяется как x(n+1) = V (x(n)), n = 0, 1, 2, . . . . Множество предельных точек
траектории {x(n), n = 0, 1, . . .} обозначим через ω(x0).
Одна из основных задач при рассмотрении таких операторов заключается в изучении пре-
дельного поведения их траекторий. Эта проблема в основном достаточно полно исследована в
классе так называемых вольтерровских КСО [4 – 6], которые определяются равенствами (2), (3)
и дополнительным условием
pij,k = 0 при k /∈ {i, j}, i, j, k = 1, . . . , N.
Приведем некоторые необходимые определения и обозначения из теории КСО.
Определение 1. Точка a ∈ SN−1 называется неподвижной точкой КСО (2), если V (a) =
= a.
Определение 2. КСО (2) называется регулярным, если для любой начальной точки x ∈
∈ SN−1 существует предел limn→∞ V (x(n)).
c© Н. Н. ГАНИХОДЖАЕВ, У. У. ЖАМИЛОВ, Р. Т. МУХИТДИНОВ, 2013
1152 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
НЕЭРГОДИЧЕСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДВУПОЛОЙ ПОПУЛЯЦИИ 1153
Заметим, что предельная точка траектории является неподвижной точкой оператора.
Определение 3. КСО (2) называется эргодическим, если для любой начальной точки
x ∈ SN−1 существует предел
lim
n→∞
1
n
n−1∑
k=0
V (x(k)).
На основе численных расчетов Улам [12] предположил, что любой КСО эргодичен. М. И. За-
харевич [10] доказал, что это предположение, вообще говоря, неверно, построив пример не-
эргодического КСО на двумерном симплексе. Далее в [11] было установлено необходимое и
достаточное условие неэргодичности вольтерровских КСО, определенных на двумерном симп-
лексе.
Заметим, что регулярный КСО является эргодическим, а обратное утверждение, вообще
говоря, неверно.
Пусть π — перестановка множества индексов {1, 2, . . . , N}. Тогда можно определить взаим-
но однозначное отображение Tπ : SN−1 → SN−1 следующим образом:
Tπ(x1, x2, . . . , xN ) =
(
xπ(1), xπ(2), . . . , xπ(N)
)
.
Очевидно что оператор T−1
π V Tπ является КСО и предельное поведение траекторий оператора
T−1
π V Tπ совпадает с предельным поведением траекторий оператора V [6].
В этой работе мы приведем конструкцию одного класса квадратичных операторов двупо-
лой популяции, отличную от операторов, изученных в работах Любича (см. [3]). Напомним
некоторые определения и понятия, необходимые для дальнейшего изложения [9].
Пусть (Λ, L) — конечный граф без петель и кратных ребер, где Λ — множество вершин
графа, а L — множество ребер и {Λi}, i = 1, . . . , n, — совокупность связных компонент графа,
где n ≥ 1. Пусть Φ — некоторое конечное множество, назовем его множеством аллелей.
Функцию σ : Λ→ Φ будем называть клеткой. Обозначим через Ω совокупность всех клеток.
Для произвольных двух клеток σ′, σ′′ ∈ Ω определим множество возможных их потомков
Ω(Λ, σ′, σ′′) =
{
σ ∈ Ω : σ|Λi = σ′|Λi или σ|Λi = σ′′|Λi , i = 1, 2, . . . , n
}
и коэффициенты наследственности pσ′σ′′,σ :
pσ′σ′′,σ =
≥ 0, если σ ∈ Ω(Λ, σ′, σ′′),
0 — в остальных случаях,
где
pσ′σ′′,σ = pσ′′σ′,σ и
∑
σ∈Ω
pσ′σ′′,σ = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1154 Н. Н. ГАНИХОДЖАЕВ, У. У. ЖАМИЛОВ, Р. Т. МУХИТДИНОВ
2. Конструкция операторов двуполой популяции. В дальнейшем будем полагать Λ0 =
= {x0}, т. е. связная компонента Λ0 состоит из единственной точки.
Пусть G = {f,m} — множество возможных значений пола.
Функция σ : Λ→ G ∪ Φ такая, что σ(x0) ∈ G и σ : Λ \ {x0} → Φ, называется клеткой, т. е.
клетка определяется полом и набором аллелей на Λ \ {x0}.
Обозначим через Ωf =
{
σ ∈ Ω: σ(x0) = f
}
множество клеток женского пола, а через
Ωm =
{
σ ∈ Ω: σ(x0) = m
}
множество клеток мужского пола. Очевидно, что
Ω = Ωf ∪ Ωm, Ωf ∩ Ωm = ∅.
Пусть S(Λ, G∪Φ) — множество всех вероятностных распределений, заданных на конечном
множестве Ω.
Вид пространства Φ возможных значений функции σ, как и в задачах статистической ме-
ханики, может существенно упростить или усложнить теорию. Ниже будем считать, что Φ —
конечное множество.
Пусть {Λi}, i = 1, . . . , n, — совокупность связных компонент графа (Λ, L).
Для произвольных двух клеток σ′, σ′′ ∈ Ω определим множество возможных их потомков
Ω(Λ, σ′, σ′′) =
∅, если σ′|Λ0 = σ′′|Λ0 ,
σ ∈ Ω : σ|Λi = σ′|Λi или σ|Λi = σ′′|Λi ,
если σ′|Λ0 6= σ′′|Λ0 .
i = 1, . . . , n, (4)
и коэффициенты наследственности:
pσ′σ′′,σ =
≥ 0, если σ ∈ Ω(Λ, σ′, σ′′),
0 — в остальных случаях,
(5)
где
pσ′σ′′,σ = pσ′′σ′,σ и
∑
σ∈Ω
pσ′σ′′,σ = 2.
Также предположим что pσ′σ′′,σ = pσ′σ′′,σ̃, еcли σ и σ̃ отличаются только полом.
Двуполый КСО, действующий на симплексе S(Λ, G ∪ Φ) и задаваемый коэффициентами
наследственности (5), определяется следующим образом: для произвольной меры λ ∈ S(Λ, G∪
∪ Φ) мера V (λ) = λ′ ∈ S(Λ, G ∪ Φ) определяется равенством
λ′(σ) =
∑
σ′,σ′′∈Ω
pσ′σ′′,σλ(σ′)λ(σ′′) (6)
для любой клетки σ ∈ Ω.
Множество вероятностных распределений S̃ =
{
λ ∈ S(Λ, G ∪ Φ): λ(Ωf ) = λ(Ωm) =
1
2
}
назовем гиперсимплексом. Предположим, что доли женских и мужских клеток не меняются
в следующих поколениях, т. е. гиперсимплекс S̃ является инвариантным подмножеством опе-
ратора (6). Двуполый КСО назовем вольтерровским, если граф (Λ, L) состоит только из двух
связных компонент Λ0 и Λ1. Если Λ1 также состоит из единственной точки, т. е. клетка опре-
деляется полом и только одной аллелью, такую клетку назовем простейшей. В данной статье
изучается случай, когда граф (Λ, L) состоит из двух точек Λ0 = {x0}, Λ1 = {x1}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
НЕЭРГОДИЧЕСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДВУПОЛОЙ ПОПУЛЯЦИИ 1155
3. Крайние вольтерровские операторы двуполой популяции. Пусть граф (Λ, L) состоит
из двух точек Λ0 = {x0}, Λ1 = {x1} и множествa аллелей Φ = {1, . . . , N}. Двуполый воль-
терровский КСО назовем крайним, если pσ′σ′′,σ′ = 1 или 0, где σ′(x0) 6= σ′′(x0). Поскольку
p(m,i)(f,j),(m,k) = p(f,i)(m,j),(f,k), для данного двуполого крайнего вольтерровского КСО на мно-
жестве аллелей Φ = {1, . . . , N} определим следующее бинарное отношение.
Определение 4. Будем говорить, что аллель i доминирует над аллелью j, и обозначать
i � j, если p(m,i)(f,j),(.,i) = p(f,i)(m,j),(.,i) = 1.
Применяя это бинарное отношение, множество аллелей Φ = {1, . . . , N} можно снабдить
структурой ориентированного графа. Поскольку любые две вершины соединены ребром, граф
полон, т. е. является турниром. Тогда двуполый крайний вольтерровский КСО задает набор
циклов соответствующего турнира, где максимальный цикл называется гамильтоновым. В этой
статье мы ограничимся случаямиN = 1, 2, 3 и докажем, что двуполый крайний вольтерровский
КСО не эргодичен, если соответствующий граф содержит гамильтонов цикл.
3.1. Случай |Φ| = 1. Пусть Φ = {1}. Тогда множество всех конфигураций имеет вид
Ω = {σ1 = {f, 1}, σ2 = {m, 1}}.
Положим λi = λ(σi), i = 1, 2, тогда легко проверить, что гиперсимплекс S̃ =
{
λ1 = λ2 =
1
2
}
и соответствующий оператор (6) принимает вид
λ′(σ1) = 2λ1λ2 =
1
2
,
λ′(σ2) = 2λ1λ2 =
1
2
.
3.2. Случай |Φ| = 2. Пусть Φ = {1, 2}. Множество всех конфигураций имеет вид
Ω = {σ1 =
{
f, 1}, σ2 = {f, 2}, σ3 = {m, 1}, σ4 = {m, 2}
}
.
Ясно, что
Ωf = {σ1, σ2}, Ωm = {σ3, σ4}.
Определим для произвольных σ′, σ′′ ∈ Ω множества Ω(Λ, σ′, σ′′), как в (4).
Положим λi = λ(σi), i = 1, 2, 3, 4. Тогда гиперсимплекс
S̃(Λ, G ∪ Φ) =
{
λ ∈ S(Λ, G ∪ Φ): λ1 + λ2 = λ3 + λ4 =
1
2
}
.
В силу (5) оператор (6) принимает вид
W :
λ′1 = 2λ1λ3 + 2αλ1λ4 + 2βλ2λ3,
λ′2 = 2λ2λ4 + 2(1− α)λ1λ4 + 2(1− β)λ2λ3,
λ′3 = 2λ1λ3 + 2αλ1λ4 + 2βλ2λ3,
λ′4 = 2λ2λ4 + 2(1− α)λ1λ4 + 2(1− β)λ2λ3,
(7)
где α, β ∈ {0, 1}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1156 Н. Н. ГАНИХОДЖАЕВ, У. У. ЖАМИЛОВ, Р. Т. МУХИТДИНОВ
Поскольку λ1 = λ3, λ2 = λ4, полагая 2λi = xi, 2λ
′
i = x′i, i = 1, 2, оператор (6) сводим к
виду
V :
x
′
1 = x2
1 + (α+ β)x1x2,
x′2 = x2
2 +
(
2− (α+ β)
)
x1x2,
где α, β ∈ {0, 1}.
Так как α, β ∈ {0, 1}, получаем три типа операторов:
V1 :
x
′
1 = x2
1,
x′2 = x2
2 + 2x1x2,
V2 :
x
′
1 = x2
1 + x1x2,
x′2 = x2
2 + x1x2,
V3 :
x
′
1 = x2
1 + 2x1x2,
x′2 = x2
2.
Ясно, что оператор V2 — единичный, операторы V1, V3 имеют неподвижные точки M1 =
= (1, 0), M2 = (0, 1) и любая траектория оператора V1 (соответственно оператора V3 ) сходится
к точке M2 = (0, 1)
(
соответственно к точке M1 = (1, 0)
)
, т. е. операторы V1, V3 регуляр-
ны. Следовательно, операторы (7) двуполой популяции, редуцированные к операторам V1, V3,
являются регулярными, а редуцированные к V2 — единичными операторами.
3.3. Случай |Φ| = 3. Множество всех конфигураций таково:
Ω =
{
σ1 = {f, 1}, σ2 = {f, 2}, σ3 = {f, 3}, σ4 = {m, 1}, σ5 = {m, 2}, σ6 = {m, 3}
}
,
где
Ωf = {σ1, σ2, σ3}, Ωm = {σ4, σ5, σ6}.
Определим множество Ω(Λ, σ′, σ′′) для произвольных σ′, σ′′ ∈ Ω по формуле (4).
Положим λi = λ(σi), i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, где гиперсимплекс имеет вид
S̃(Λ, G ∪ Φ) =
{
λ ∈ S(Λ, G ∪ Φ): λ1 + λ2 + λ3 = λ4 + λ5 + λ6 =
1
2
}
.
В силу (5) оператор (6) принимает вид
W :
λ′1 = 2λ1λ4 + 2αλ1λ5 + 2βλ1λ6 + 2γλ2λ4 + 2δλ3λ4,
λ′2 = 2λ2λ5 + 2(1− α)λ1λ5 + 2(1− γ)λ2λ4 + 2ωλ2λ6 + 2θλ3λ5,
λ′3 = 2λ3λ6 + 2(1− δ)λ3λ4 + 2(1− θ)λ3λ5 + 2(1− β)λ1λ6 + 2(1− ω)λ2λ6,
λ′4 = 2λ1λ4 + 2αλ1λ5 + 2βλ1λ6 + 2γλ2λ4 + 2δλ3λ4,
λ′5 = 2λ2λ5 + 2(1− α)λ1λ5 + 2(1− γ)λ2λ4 + 2ωλ2λ6 + 2θλ3λ5,
λ′6 = 2λ3λ6 + 2(1− δ)λ3λ4 + 2(1− θ)λ3λ5 + 2(1− β)λ1λ6 + 2(1− ω)λ2λ6,
(8)
где α, β, γ, δ, ω, θ ∈ {0, 1}.
Поскольку λ1 = λ4, λ2 = λ5, λ3 = λ6, полагая 2λi = xi, 2λ
′
i = x′i, i = 1, 2, 3, оператор (8)
сводим к виду
V{α,β,γ,δ,ω,θ} :
x′1 = x2
1 + (α+ γ)x1x2 + (β + δ)x1x3,
x′2 = x2
2 +
(
2− (α+ γ)
)
x1x2 + (ω + θ)x2x3,
x′3 = x2
3 +
(
2− (β + δ)
)
x1x3 +
(
2− (ω + θ)
)
x2x3,
(9)
где α, β, γ, δ, ω, θ ∈ {0, 1}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
НЕЭРГОДИЧЕСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДВУПОЛОЙ ПОПУЛЯЦИИ 1157
Ясно, что существуют 64 крайних оператора, и легко проверить, что это множество разби-
вается на следующие классы смежности oтносительно группы перестановок:
a)
{
V{0,0,1,1,0,1} = V{0,0,1,1,1,0} = V{0,1,1,0,0,1} = V{0,1,1,0,1,0} = V{1,0,0,1,0,1} = V{1,0,0,1,1,0} =
= V{1,1,0,0,0,1} = V{1,1,0,0,1,0}
}
;
b1)
{
V{0,0,0,0,0,0}, V{0,0,0,0,1,1}, V{0,1,0,1,1,1}, V{1,0,1,0,0,0}, V{1,1,1,1,0,0}, V{1,1,1,1,1,1}
}
;
b2)
{
V{0,0,0,0,0,1} = V{0,0,0,0,1,0}, V{0,1,1,1,1,1} = V{1,1,0,1,1,1}, V{1,0,1,1,0,0} = V{1,1,1,0,0,0}
}
;
b3)
{
V{0,0,0,1,0,0} = V{0,1,0,0,0,0}, V{0,0,1,0,1,1} = V{1,0,0,0,1,1}, V{0,1,0,1,0,1} = V{0,1,0,1,1,0},
V{0,1,1,1,0,0} = V{1,1,0,1,0,0}, V{1,0,1,0,0,1} = V{1,0,1,0,1,0}, V{1,0,1,1,1,1} = V{1,1,1,0,1,1}
}
;
b4)
{
V{0,0,0,1,0,1} = V{0,0,0,1,1,0} = V{0,1,0,0,0,1} = V{0,1,0,0,1,0}, V{0,0,1,0,0,1} = V{0,0,1,0,1,0} =
= V{1,0,0,0,0,1} = V{1,0,0,0,1,0}, V{0,0,1,1,0,0} = V{0,1,1,0,0,0} = V{1,0,0,1,0,0} = V{1,1,0,0,0,0},
V{0,0,1,1,1,1} = V{0,1,1,0,1,1} = V{1,0,0,1,1,1} = V{1,1,0,0,1,1}, V{0,1,1,1,0,1} = V{0,1,1,1,1,0} =
= V {1,1,0,1,0,1} = V{1,1,0,1,1,0}, V{1,0,1,1,0,1} = V{1,0,1,1,1,0} = V{1,1,1,0,0,1} = V{1,1,1,0,1,0}
}
;
b5)
{
V{0,0,0,1,1,1} = V{0,1,0,0,1,1}, V{0,0,1,0,0,0} = V{1,0,0,0,0,0}, V{1,1,1,1,0,1} = V{1,1,1,1,1,0}
}
;
c)
{
V{1,0,1,0,1,1}, V{0,1,0,1,0,0}
}
.
Заметим, что для операторов из класса c) существует гамильтонов цикл 1 � 2 � 3 � 1, а
для операторов из остальных классов — нет.
Пусть α ⊂ {1, 2, 3}, Γα = {x ∈ S2 : xi = 0, i /∈ α} — грань двумерного симплекса,
int S2 = {x ∈ S2 : x1x2x3 > 0} — относительная внутренность симплекса и e1 = (1, 0, 0),
e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) — вершины двумерного симплекса.
Теорема 1. Для КСО (9) выполняются следующие утверждения:
1) КСО из класса a) является единичным оператором;
2) КСО из класса b) регулярен;
3) КСО из класса c) не эргодичен.
Доказательство: 1. Очевидно.
2. b1) Пусть α = β = γ = δ = ω = θ = 0, тогда КСО (9) имеет вид
x′1 = x2
1,
x′2 = x2
2 + 2x1x2,
x′3 = x2
3 + 2x1x3 + 2x2x3.
(10)
Легко проверить, что множество неподвижных точек оператора (10) состоит из вершин
симплекса e1, e2, e3.
Положим x3 = x и изучим поведение третьей координаты x
(n)
3 . Из (10) очевидно, что
траектория x(n)
3 задается одномерной динамической системой ψ(x) = x(2 − x). Заметим, что
ψ(x) имеет две неподвижные точки x∗ = 0, x∗∗ = 1 и ψ′(0) > 1, ψ′(1) < 1, следовательно,
x∗ — отталкивающая, а x∗∗ — притягивающая неподвижные точки для ψ(x). Поскольку ψ(x) —
возрастающая функция на [0, 1] и x∗∗ — неподвижная точка, имеем limn→∞ ψ
n(x) = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1158 Н. Н. ГАНИХОДЖАЕВ, У. У. ЖАМИЛОВ, Р. Т. МУХИТДИНОВ
Следовательно, если x0
3 6= 0, то траектория оператора (10) сходится к вершине симплекса
e3 = (0, 0, 1). Аналогично проверяется, что если x ∈ Γ12 \ {e1}, то траектория оператора (10)
сходится к вершине симплекса e2 = (0, 1, 0).
b2) Пусть α = β = γ = δ = ω = 0, θ = 1, тогда КСО (9) принимает вид
x′1 = x2
1,
x′2 = x2
2 + 2x1x2 + x2x3,
x′3 = x2
3 + 2x1x3 + x2x3.
(11)
Легко проверить, что множество неподвижных точек оператора (11) имеет вид {e1}∪{x1 =
= 0}.
Пусть x(0) ∈ intS2 — начальная точка, тогда из x(0)
1 ≥ x
(1)
1 ≥ . . . ≥ x
(n)
1 ≥ . . . ≥ 0 следует,
что существует предел x∗1. Из x(0)
2 ≤ x(1)
2 ≤ . . . ≤ x(n)
2 ≤ . . . ≤ 1 следует, что существует предел
x∗2 и, следовательно, существует предел x∗3. Предположим, что x∗1 6= 0, тогда
1 = lim
n→∞
x
(n+1)
1
x
(n)
1
= lim
n→∞
(
x
(n)
1
)2
x
(n)
1
= lim
n→∞
x
(n)
1 ,
что противоречит x(0) 6= e1, т. е. x∗1 = 0. Из (11) получаем
x′2
x′3
=
x2
2 + 2x1x2 + x2x3
x2
3 + 2x1x3 + x2x3
=
x2(1 + x1)
x3(1 + x1)
=
x2
x3
.
Следовательно,
x∗2
x∗3
= lim
n→∞
x
(n)
2
x
(n)
3
=
x
(0)
2
x
(0)
3
.
Значит, траектория оператора сходится к точке
(
0,
x
(0)
2
x
(0)
2 + x
(0)
3
,
x
(0)
3
x
(0)
2 + x
(0)
3
)
. Аналогично по-
казывается, что если x(0) ∈ int Γ12, то e2 — предельная точка, а если x(0) ∈ int Γ13, то e3 —
предельная точка.
b3) Пусть α = β = γ = ω = θ = 0, δ = 1, тогда КСО (9) принимает вид
x′1 = x2
1 + x1x3,
x′2 = x2
2 + 2x1x2,
x′3 = x2
3 + x1x3 + 2x2x3.
(12)
Легко проверить, что множество неподвижных точек оператора (12) имеет вид {e2}∪{x2 =
= 0}.
Пусть x(0) ∈ intS2 — начальная точка, тогда из x(0)
1 ≥ x
(1)
1 ≥ . . . ≥ x
(n)
1 ≥ . . . ≥ 0 следует,
что существует предел x∗1. Из 0 < x
(0)
3 ≤ x
(1)
3 ≤ . . . ≤ x
(n)
3 ≤ . . . ≤ 1 следует, что существует
предел x∗3, а из x∗2 = 1− x∗1 − x∗3 следует, что существует предел x∗2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
НЕЭРГОДИЧЕСКИЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДВУПОЛОЙ ПОПУЛЯЦИИ 1159
Предположим, что x∗2 6= 0, тогда
1 = lim
n→∞
x
(n+1)
2
x
(n)
2
= lim
n→∞
x
(n)
2
(
1 + x
(n)
1 − x(n)
3
)
x
(n)
2
= 1 + lim
n→∞
(x
(n)
1 − x(n)
3 ),
откуда x∗1 = x∗3 > 0. Поскольку V (x∗) = x∗, из (12) получаем равенство x∗1 = 2(x∗1)2. Первое
решение этого уравнения x∗1 = 0 противоречит x∗1 = x∗3 > 0, а второе решение x∗1 = x∗3 = 0,5
противоречит предположению x∗2 6= 0.
Следовательно, траектория КСО (12) сходится к точке (x∗1, 0, 1− x∗1).
Аналогично показывается, что если x(0) ∈ int Γ12, то e2 — предельная точка, а если x(0) ∈
∈ int Γ23, то e3 — предельная точка.
b4) Пусть α = β = γ = ω = 0, δ = θ = 1, тогда КСО (9) принимает вид
x′1 = x2
1 + x1x3,
x′2 = x2
2 + 2x1x2 + x2x3,
x′3 = x2
3 + x1x3 + x2x3.
(13)
Для удобства запишем КСО (13) в виде
x′1 = x1(1− x2),
x′2 = x2(1 + x1),
x′3 = x3.
(14)
Легко проверить, что множество неподвижных точек оператора (14) имеет вид {x1 = 0} ∪
∪ {x2 = 0}.
Пусть x(0) ∈ intS2 — начальная точка, тогда из x(0)
1 ≥ x
(1)
1 ≥ . . . ≥ x
(n)
1 ≥ . . . ≥ 0 следует,
что существует предел x∗1. Из 0 < x
(0)
2 ≤ x
(1)
2 ≤ . . . ≤ x
(n)
2 ≤ . . . ≤ 1 следует, что существует
предел 0 < x∗2.
Предположим, что x∗1 6= 0, тогда
1 = lim
n→∞
x
(n+1)
1
x
(n)
1
= lim
n→∞
x
(n)
1
(
1− x(n)
2
)
x
(n)
1
= 1− lim
n→∞
x
(n)
2 ,
что противоречит предположению x∗2 > 0, т. е. x∗1 = 0. Следовательно, получим предельную
точку вида (0, 1 − x(0)
3 , x
(0)
3 ). Аналогично показывается, что если x(0) ∈ int Γ12, то e2 — пре-
дельная точка.
b5) Пусть α = β = γ = 0, δ = ω = θ = 1, тогда КСО (9) принимает вид
x′1 = x2
1 + x1x3,
x′2 = x2
2 + 2x1x2 + 2x2x3,
x′3 = x2
3 + x1x3.
(15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
1160 Н. Н. ГАНИХОДЖАЕВ, У. У. ЖАМИЛОВ, Р. Т. МУХИТДИНОВ
Легко проверить, что множество неподвижных точек оператора (15) имеет вид {e2}∪{x2 =
= 0}.
Как и для КСО (10), с помощью свойства функции ψ(x) показывается, что если x0
2 6= 0, то
траектория оператора (15) сходится к вершине симплекса e2 = (0, 1, 0).
3. Пусть β = δ = 0, α = γ = ω = θ = 1, тогда КСО (9) принимает вид
x′1 = x2
1 + 2x1x2,
x′2 = x2
2 + 2x2x3,
x′3 = x2
3 + 2x1x3.
(16)
М. И. Захаревич [10] доказал, что эргодическая теорема не имеет места для оператора (16).
Теорема доказана.
4. Заключение. В статье рассматриваются нелинейные динамические системы, возникаю-
щие при изучении моделей наследования в двуполых популяциях. Формулируется условие, при
выполнении которого динамическая система не эргодична, и устанавливается необходимость
этого условия для малых размерностей. Доказательство для любых размерностей является до-
статочно сложной проблемой и будет предметом будущих публикаций.
У. У. Жамилов выражает благодарность Международному исламскому университету Ма-
лайзии за приглашение и поддержку во время пребывания в нем.
1. Bernstein S. N. The solution of a mathematical problem related to the theory of heredity // Uchen. Zapiski. NI Kaf.
Ukr. Otd. Mat. – 1924. – № 1. – P. 83 – 115 (in Russian).
2. Kesten H. Quadratic transformations: a model for population growth. I, II // Adv. Appl. Probab. – 1970. – № 2. –
P. 1 – 82, 179 – 228.
3. Lyubich Yu. I. Mathematical structures in population genetics // Biomathematics. – 1992. – 22.
4. Ганиходжаев Р. Н. Квадратичные стохастические операторы, функция Ляпунова и турниры // Мат. сб. –
1992. – 83, № 8. – C. 121 – 140.
5. Ганиходжаев Р. Н. Карта неподвижных точек и функции Ляпунова для одного класса дискретных динамиче-
ских систем // Мат. заметки. – 1994. – 56. – C. 1125 – 1131.
6. Ганиходжаев Р. Н., Эшмаматова Д. Б. Квадратичные автоморфизмы симплекса и асимптотическое поведение
их траекторий // Владикавказ. мат. журн. – 2006. – 8. – C. 12 – 28.
7. Розиков У. А., Жамилов У. У. F -квадратичные стохастические операторы // Мат. заметки. – 2008. – 83, № 4. –
C. 606 – 612.
8. Розиков У. А., Жамилов У. У. О динамике строго невольтерровских квадратичных стохастических операторов
на двумерном симплексе // Мат. сб. – 2009. – 200, № 9. – C. 81 – 94.
9. Ганиходжаев Н. Н. Об одном приложении теории гиббсовских распределений в математической генетике //
Докл. АН РАН. – 2000. – 372, № 1. – C. 13 – 16.
10. Захаревич М. И. О поведении траекторий и эргодической гипотезе для квадратичных отображений симплек-
са // Успехи мат. наук. – 1978. – 33, № 6. – C. 207 – 208.
11. Ganikhodzhaev N. N., Zanin D. V. On necessary condition for the ergodicity of quadratic operators defined on the
two-dimensional simplex // Commun. Math. Soc. – 2004. – P. 571 – 572.
12. Ulam S. M. A collections of mathematical problems. – New Mexico: Los Alamos Sci. Labor., 1967.
Получено 16.03.12,
после доработки — 06.10.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-2498 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:34Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7d/93d75319fd03edf25ea87c36f6adeb7d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-24982020-03-18T19:16:44Z Nonergodic Quadratic Operators for a Two-Sex Population Неэргодические квадратичные операторы двуполой популяции Ganikhodzhaev, N. N. Zhamilov, U. U. Mukhitdinov, R. T. Ганиходжаев, Н. Н. Жамилов, У. У. Мухитдинов, Р. Т. Ганиходжаев, Н. Н. Жамилов, У. У. Мухитдинов, Р. Т. We describe the structure of quadratic operators of a two-sex population that differs from the model studied by Lyubich and give an example of nonergodic quadratic operator for a two-sex population. Описано конструкцію квадратичних операторiв двополої популяції, що відмінна від модєлі, вивченої в роботах Любича, та наведено приклад неергодичного квадратичного оператора двополої популяції. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2498 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 8 (2013); 1152–1160 Український математичний журнал; Том 65 № 8 (2013); 1152–1160 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2498/1761 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2498/1762 Copyright (c) 2013 Ganikhodzhaev N. N.; Zhamilov U. U.; Mukhitdinov R. T. |
| spellingShingle | Ganikhodzhaev, N. N. Zhamilov, U. U. Mukhitdinov, R. T. Ганиходжаев, Н. Н. Жамилов, У. У. Мухитдинов, Р. Т. Ганиходжаев, Н. Н. Жамилов, У. У. Мухитдинов, Р. Т. Nonergodic Quadratic Operators for a Two-Sex Population |
| title | Nonergodic Quadratic Operators for a Two-Sex Population |
| title_alt | Неэргодические квадратичные операторы двуполой популяции |
| title_full | Nonergodic Quadratic Operators for a Two-Sex Population |
| title_fullStr | Nonergodic Quadratic Operators for a Two-Sex Population |
| title_full_unstemmed | Nonergodic Quadratic Operators for a Two-Sex Population |
| title_short | Nonergodic Quadratic Operators for a Two-Sex Population |
| title_sort | nonergodic quadratic operators for a two-sex population |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2498 |
| work_keys_str_mv | AT ganikhodzhaevnn nonergodicquadraticoperatorsforatwosexpopulation AT zhamilovuu nonergodicquadraticoperatorsforatwosexpopulation AT mukhitdinovrt nonergodicquadraticoperatorsforatwosexpopulation AT ganihodžaevnn nonergodicquadraticoperatorsforatwosexpopulation AT žamilovuu nonergodicquadraticoperatorsforatwosexpopulation AT muhitdinovrt nonergodicquadraticoperatorsforatwosexpopulation AT ganihodžaevnn nonergodicquadraticoperatorsforatwosexpopulation AT žamilovuu nonergodicquadraticoperatorsforatwosexpopulation AT muhitdinovrt nonergodicquadraticoperatorsforatwosexpopulation AT ganikhodzhaevnn neérgodičeskiekvadratičnyeoperatorydvupolojpopulâcii AT zhamilovuu neérgodičeskiekvadratičnyeoperatorydvupolojpopulâcii AT mukhitdinovrt neérgodičeskiekvadratičnyeoperatorydvupolojpopulâcii AT ganihodžaevnn neérgodičeskiekvadratičnyeoperatorydvupolojpopulâcii AT žamilovuu neérgodičeskiekvadratičnyeoperatorydvupolojpopulâcii AT muhitdinovrt neérgodičeskiekvadratičnyeoperatorydvupolojpopulâcii AT ganihodžaevnn neérgodičeskiekvadratičnyeoperatorydvupolojpopulâcii AT žamilovuu neérgodičeskiekvadratičnyeoperatorydvupolojpopulâcii AT muhitdinovrt neérgodičeskiekvadratičnyeoperatorydvupolojpopulâcii |