Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums of the Classes of (ψ, β)-Differential Functions
We establish exact-order estimates for the best uniform approximations by trigonometric polynomials on the classes C ψ β, p of 2π-periodic continuous functions f defined by the convolutions of functions that belong to the unit balls in the spaces L p , 1 ≤ p
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2500 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508404502495232 |
|---|---|
| author | Hrabova, U. Z. Serdyuk, A. S. Грабова, У. З. Сердюк, А. С. |
| author_facet | Hrabova, U. Z. Serdyuk, A. S. Грабова, У. З. Сердюк, А. С. |
| author_sort | Hrabova, U. Z. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:17:02Z |
| description | We establish exact-order estimates for the best uniform approximations by trigonometric polynomials on the classes C ψ β, p of 2π-periodic continuous functions f defined by the convolutions of functions that belong to the unit balls in the spaces L p , 1 ≤ p |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
У. З. Грабова (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Л. Українки, Луцьк),
А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ
I НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є
КЛАСIВ (ψ, β)-ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ
We establish the exact-order estimations of the best uniform approximations by trigonometrical polynomials on the Cψβ,p
classes of 2π-periodic continuous functions f defined by the convolutions of functions, which belong to the unit ball in
the spaces Lp, 1 ≤ p <∞, with generating fixed kernels Ψβ ⊂ Lp′ ,
1
p
+
1
p′
= 1, whose Fourier coefficients decrease to
zero approximately as power functions. The exact-order estimations are also established in the Lp-metrics, 1 < p ≤ ∞, for
the classes Lψβ,1 of 2π-periodic functions f equivalent in terms of the Lebesgue measure to the convolutions of Ψβ ⊂ Lp
kernels with functions from the unit ball in the space L1. It is shown that, in the investigated cases, the orders of the best
approximations are realized by the Fourier sums.
Установлены точные по порядку оценки наилучших равномерных приближений тригонометрическими полиномами
на классах Cψβ,p 2π-периодических непрерывных функций f, представимых свертками функций, которые принад-
лежат единичным шарам пространств Lp, 1 ≤ p < ∞, с фиксированными производящими ядрами Ψβ ⊂ Lp′ ,
1
p
+
1
p′
= 1, коэффициенты Фурье которых убывают к нулю примерно как степенные функции. Точные по-
рядковые оценки наилучших приближений установлены также и в Lp-метрике, 1 < p ≤ ∞, для классов Lψβ,1
2π-периодических функций f, эквивалентных относительно меры Лебега сверткам ядер Ψβ ⊂ Lp с функциями
единичного шара пространства L1. Показано, что во всех рассматриваемых случаях порядки наилучших прибли-
жений реализуют суммы Фурье.
Нехай Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, — простiр 2π-перiодичних сумовних функцiй f зi скiнченною нормою
‖f‖p, де при p ∈ [1,∞) ‖f‖p =
(∫ 2π
0
|f(t)|pdt
)1/p
, а при p = ∞ ‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|,
C — простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй, у якому норма задається рiвнiстю ‖f‖C =
= max
t
|f(t)|.
Нехай, далi, Lψβ,p, β ∈ R, — клас 2π-перiодичних функцiй f(x), що майже для всiх x ∈ R
зображуються згортками
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
Ψβ(x− t)ϕ(t)dt, a0 ∈ R, ϕ ⊥ 1, (1)
де ‖ϕ‖p ≤ 1, 1 ≤ p ≤ ∞, Ψβ(t) — сумовна на (0, 2π) функцiя, ряд Фур’є якої має вигляд
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, ψ(k) > 0, β ∈ R. (2)
Функцiю ϕ в зображеннi (1), згiдно з О. I. Степанцем [1, с. 132 ], називають (ψ, β)-похiдною
функцiї f i позначають через fψβ .
При ψ(k) = k−r класи Lψβ,p перетворюються у вiдомi класи Вейля – Надя W r
β,p, а їх (ψ, β)-
похiднi fψβ майже скрiзь збiгаються з похiдними в сенсi Вейля – Надя f rβ , останнi при r = β,
r ∈ N, майже скрiзь збiгаються зi звичайними r-ми похiдними функцiї f.
c© У. З. ГРАБОВА, А. С. СЕРДЮК, 2013
1186 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ I НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є КЛАСIВ . . . 1187
Якщо твiрне ядро Ψβ класу Lψβ,p задовольняє включення Ψβ ∈ Lp′ ,
1
p
+
1
p′
= 1, то Lψβ,p ⊂
⊂ L∞, 1 ≤ p ≤ ∞, а згортки вигляду (1) є неперервними функцiями (див. твердження 3.8.1 iз
роботи [1, с. 137]). Тому клас усiх функцiй f вигляду (1), для яких ‖ϕ‖p ≤ 1, Ψβ ∈ Lp′ , будемо
позначати через Cψβ,p.
У випадку, коли Ψβ ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, має мiсце включення Lψβ,1 ⊂ Lp (див., наприклад, [2,
с. 71]).
У данiй роботi розглядається задача про знаходження точних порядкових оцiнок наближень
функцiональних класiв Lψβ,p та Lψβ,1 сумами Фур’є Sn−1(t) порядку n− 1 у метриках L∞ та Lp
вiдповiдно
En(Lψβ,p)L∞ = sup
f∈Lψβ,p
‖f(·)− Sn−1(f ; ·)‖∞, 1 ≤ p <∞, (3)
En(Lψβ,1)Lp = sup
f∈Lψβ,1
‖f(·)− Sn−1(f ; ·)‖p, 1 < p ≤ ∞, (4)
а також задача про знаходження точних порядкових оцiнок найкращих наближень класiв Lψβ,p
та Lψβ,1 у метриках L∞ та Lp вiдповiдно
En(Lψβ,p)L∞ = sup
f∈Lψβ,p
inf
tn−1∈T2n−1
‖f(·)− tn−1(·)‖∞, 1 ≤ p <∞, (5)
En(Lψβ,1)Lp = sup
f∈Lψβ,1
inf
tn−1∈T2n−1
‖f(·)− tn−1(·)‖p, 1 < p ≤ ∞, (6)
де T2n−1 — пiдпростiр усiх тригонометричних полiномiв tn−1 порядку не вищого за n− 1.
Зрозумiло, що у випадку класiв Cψβ,p норму ‖ · ‖∞ у (3) i (5) слiд замiнити на ‖ · ‖C i при
цьому En(Cψβ,p)C = En(Lψβ,p)L∞ , En(Cψβ,p)C = En(Lψβ,p)L∞ .
Для класiв Вейля – Надя W r
β,p, β ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞, точнi порядковi оцiнки величин
(3) – (6) вiдомi i мають вигляд (див., наприклад, [3, с. 47 – 49])
En(W r
β,p)∞ � n−r+1/p, 1 ≤ p <∞, r >
1
p
, (7)
En(W r
β,p)∞ � n−r+1/p, 1 ≤ p ≤ ∞, r >
1
p
, (8)
En(W r
β,1)p � n−r+1/p′ , 1 < p ≤ ∞, r >
1
p′
,
1
p
+
1
p′
= 1, (9)
En(W r
β,1)p � n−r+1/p′ , 1 ≤ p ≤ ∞, r >
1
p′
,
1
p
+
1
p′
= 1, (10)
En(W r
β,p)p � n−r lnn, p = 1,∞, r > 0, n ∈ N \ {1}. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1188 У. З. ГРАБОВА, А. С. СЕРДЮК
У формулах (7) – (11) i далi пiд записом An � Bn будемо розумiти iснування додатних сталих
K1 i K2 таких, що K1Bn ≤ An ≤ K2Bn, n ∈ N.
Зауважимо, що у випадку p = 1,∞ у роботах А. М. Колмогорова [4], В. Т. Пiнкевича [5],
С. М. Нiкольського [6, 7], А. В. Єфiмова [8] та С. О. Теляковського [9] для величин En(W r
β,∞)∞
та En(W r
β,1)1 при r > 0, β ∈ R отримано асимптотичнi рiвностi при n→∞.
Що ж стосується найкращих наближень En(W r
β,∞)∞ та En(W r
β,1)1, то завдяки роботам
Ж. Фавара [10, 11], В. К. Дзядика [12, 13], С. Б. Стєчкiна [14] та Сунь Юн-шена [15] встановлено
точнi значення цих величин при усiх n ∈ N, r > 0 i β ∈ R. Точнi значення величин En(W r
β,p)∞
отримано також у випадку p = 2 [16].
На класах Lψβ,p точнi порядковi оцiнки величин En(Lψβ,p)s та En(Lψβ,p)s у випадку, коли
ψ(k)k1/p−1/s монотонно не зростають i
ψ(k)
ψ(2k)
≤ K < ∞, k ∈ N, встановлено у роботi
О. I. Степанця та О. К. Кушпеля [17] при довiльних 1 < p, s <∞.
Крiм того, О. I. Степанець (див., наприклад, [18, с. 60]) одержав точнi порядковi оцiнки
величин En(Lψβ,p)s та En(Lψβ,p)s при довiльних 1 < p, s < ∞ за умови, що ψ(k) спадають до
нуля швидше за довiльну степеневу функцiю, але не швидше за деяку геометричну прогресiю.
Згодом В. С. Романюк [19] доповнив зазначенi результати О. I. Степанця, встановивши точнi
порядки величин En(Lψβ,p)s при 1 < p < ∞ i s = ∞. У випадку, коли послiдовностi ψ(k)
спадають до нуля швидше за будь-яку геометричну прогресiю, у роботi О. I. Степанця [20,
с. 226, 227] встановлено порядковi оцiнки величин En(Lψβ,p)s та En(Lψβ,p)s при довiльних 1 ≤ p,
s ≤ ∞. Зазначимо також, що при p = 2 точнi значення величин En(Cψβ,p)C для всiх n ∈ N,
β ∈ R за умови збiжностi ряду
∑∞
k=1 ψ
2(k) знайдено у роботi А. С. Сердюка та I. В. Соколенка
[21]. Задачу про точнi значення величин En(Lψβ,2)2 та En(Lψβ,2)2 повнiстю розв’язано у роботi
О. I. Степанця та О. К. Кушпеля [17].
При p = 1,∞ результати, що мiстять асимптотично точнi оцiнки величин En(Lψβ,p)p, а
також точнi порядковi оцiнки величин En(Lψβ,p)p в залежностi вiд швидкостi прямування до
нуля послiдовностi ψ(k) при k →∞, найбiльш повно викладено у монографiях [1, 18].
У данiй роботi встановлено точнi порядковi оцiнки величин (3) – (6) при довiльних β ∈
∈ R у випадку, коли послiдовнiсть ψ(k) спадає до нуля не повiльнiше i не швидше за деякi
степеневi функцiї. Тим самим доповнено основнi результати роботи [17] по вiдшуканню слабкої
асимптотики величин En(Lψβ,p)s та En(Lψβ,p)s у випадках p = 1 i s =∞.
Перейдемо до точних формулювань. Вважаючи, що послiдовнiсть ψ(k), що визначає клас
Cψβ,p, є слiдом на множинi N деякої неперервної функцiї ψ(t) неперервного аргументу t ≥ 1, по-
значимо через Θp, 1 ≤ p <∞, множину монотонно незростаючих функцiй ψ(t), для яких iснує
стала α >
1
p
така, що функцiя tαψ(t) майже спадає, тобто знайдеться додатна стала K така, що
tα1ψ(t1) ≤ Ktα2ψ(t2) для будь-яких t1 > t2 ≥ 1. Через B позначимо множину монотонно не
зростаючих при t ≥ 1 додатних функцiй ψ(t), для кожної з яких можна вказати додатну сталу
K таку, що
ψ(t)
ψ(2t)
≤ K ∀t ≥ 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ I НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є КЛАСIВ . . . 1189
Далi скрiзь будемо вважати, що ψ ∈ B ∩ Θp, 1 ≤ p < ∞. Умова ψ ∈ Θp, 1 ≤ p < ∞,
як неважко переконатись, гарантує справедливiсть включення Ψβ ∈ Lp′ ,
1
p
+
1
p′
= 1 (див.,
наприклад, [22, с. 657]). Як випливає з [1, с. 165, 175], якщо ψ ∈ B ∩M, де M — множина
всiх опуклих донизу на [1,∞) функцiй ψ(t) таких, що limt→∞ ψ(t) = 0, то можна вказати таке
r > 0, що при всiх t ≥ 1 буде виконуватись нерiвнiсть ψ(t) ≥ Kt−r.
Прикладами функцiй ψ, що задовольняють умову ψ ∈ B ∩Θp, є, зокрема, функцiї вигляду
ψ(t) =
1
tr
, r >
1
p
; ψ(t) =
1
tr lnα(t+ c)
, α ≥ 0, c > 0, r >
1
p
, t ≥ 1; ψ(t) =
lnα(t+ c)
tr
,
α ≥ 0, c > e
2α
r−1/p − 1, r >
1
p
, t ≥ 1.
Має мiсце наступне твердження.
Теорема 1. Нехай 1 < p <∞, β ∈ R, ψ ∈ B ∩Θp. Тодi iснують додатнi величини K(1)
ψ,p,
K
(2)
ψ,p, що можуть залежати лише вiд ψ i p, такi, що для довiльних n ∈ N
K
(2)
ψ,pψ(n)n1/p ≤ En
(
Cψβ,p
)
C
≤ En
(
Cψβ,p
)
C
≤ K(1)
ψ,pψ(n)n1/p. (12)
Доведення. Для довiльної функцiї f ∈ Cψβ,p, згiдно з iнтегральним зображенням (1),
одержимо
f(x)− Sn−1(f ;x) =
1
π
π∫
−π
Ψβ,n(x− t)ϕ(t)dt, (13)
де
Ψβ,n(t) =
∞∑
k=n
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
. (14)
Застосовуючи нерiвнiсть Гельдера, з рiвностi (13) маємо
En
(
Cψβ,p
)
C
≤ 1
π
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
p′
‖ϕ(·)‖p ≤
1
π
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
p′
, (15)
де
1
p
+
1
p′
= 1, 1 ≤ p <∞.
Перетворивши функцiю Ψβ,n(t) за допомогою перетворення Абеля, при довiльному n ∈ N
одержимо
Ψβ,n(t) =
∞∑
k=n
∆ψ(k)Dk,β(t)− ψ(n)Dn−1,β(t), (16)
де ∆ψ(k)
df
=ψ(k)− ψ(k + 1), а
Dk,β(t) =
1
2
cos
βπ
2
+
k∑
ν=1
cos
(
νt− βπ
2
)
=
= cos
βπ
2
sin
2k + 1
2
t
2 sin
t
2
+ sin
βπ
2
cos
t
2
− cos
2k + 1
2
t
2 sin
t
2
. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1190 У. З. ГРАБОВА, А. С. СЕРДЮК
Оскiльки (див., наприклад, [23, с. 13])
|Dk,β(t)| ≤ 1
2
+ k, |Dk,β(t)| ≤ (1 + π)
(
1
|t|
)
, 0 < |t| ≤ π, (18)
то для будь-яких k ∈ N i 1 < p′ <∞ маємо
π∫
−π
|Dk,β(t)|p′dt ≤
∫
0≤|t|≤ 1
k
(
1
2
+ k
)p′
dt+
∫
1
k
≤|t|≤π
(1 + π)p
′ dt
|t|p′
≤ Kp′k
p′−1, (19)
де Kp′ — стала, що залежить вiд p′. З (18) та оцiнки (19) отримаємо
‖Dk,β(t)‖p′ ≤ Kp,1k
1/p, k ∈ N, 1 ≤ p <∞, 1
p
+
1
p′
= 1, β ∈ R, (20)
де Kp,1 — стала, що залежить вiд p. Iз (16) та (20) випливає нерiвнiсть
‖Ψβ,n(t)‖p′ ≤ Kp,1
( ∞∑
k=n
∆ψ(k)k1/p + ψ(n)n1/p
)
, 1 ≤ p <∞. (21)
Для оцiнки суми
∑∞
k=n ∆ψ(k)k1/p буде корисним наступне твердження.
Лема 1. Нехай r ∈ (0, 1], а ψ(k) > 0, монотонно не зростає i для неї знайдеться ε > 0
таке, що послiдовнiсть kr+εψ(k) майже спадає. Тодi iснує стала K, залежна вiд ψ i r, така,
що для довiльних n ∈ N
ψ(n)nr ≤
∞∑
k=n
∆ψ(k)kr ≤ Kψ(n)nr. (22)
Доведення. Оскiльки ψ(k) монотонно не зростає, то для будь-якого r > 0
∞∑
k=n
∆ψ(k)kr ≥ nr
∞∑
k=n
∆ψ(k) = nrψ(n). (23)
Залишилося показати, що за виконання умов леми 1 виконується нерiвнiсть
∞∑
k=n
∆ψ(k)kr ≤ Kψ(n)nr. (24)
Застосування перетворення Абеля дозволяє для будь-яких натуральних n ≤M i довiльного
r ∈ (0, 1] записати рiвнiсть
M∑
k=n
ψ(k)kr−1 =
M∑
k=n
∆ψ(k)
k∑
ν=1
1
ν1−r
− ψ(n)
n−1∑
ν=1
1
ν1−r
+ ψ(M + 1)
M∑
ν=1
1
ν1−r
. (25)
На пiдставi простих геометричних мiркувань неважко переконатись, що для довiльних m ∈ N
i r ∈ (0, 1]
1
r
(mr − 1) <
m∑
ν=1
1
ν1−r
≤ 1
r
mr. (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ I НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є КЛАСIВ . . . 1191
Тому згiдно з (25) i (26)
M∑
k=n
ψ(k)kr−1 >
1
r
( M∑
k=n
∆ψ(k)(kr − 1)− ψ(n)(n− 1)r
)
>
>
1
r
( M∑
k=n
∆ψ(k)kr − ψ(n)
(
(n− 1)r + 1
))
. (27)
При M →∞ iз (27) одержуємо
∞∑
k=n
∆ψ(k)kr ≤ r
∞∑
k=n
ψ(k)kr−1 + ψ(n)
(
(n− 1)r + 1
)
. (28)
Оскiльки за умовою леми iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть kr+εψ(k) майже спадає, то
знайдеться стала K1 така, що
ψ(k)kr+ε ≤ K1ψ(n)nr+ε, k = n, n+ 1, . . . , (29)
тому
∞∑
k=n
ψ(k)kr−1 =
∞∑
k=n
ψ(k)kr+ε
k1+ε
≤ K1ψ(n)nr+ε
∞∑
k=n
1
k1+ε
≤ K2ψ(n)nr. (30)
Iз (28) i (30) випливає (22).
Лему доведено.
Оскiльки ψ ∈ Θp, то, застосувавши лему 1, при r = 1/p iз (15) та (21) отримуємо нерiвнiсть
En
(
Cψβ,p
)
C
≤ En
(
Cψβ,p
)
C
≤ K(1)
ψ,pψ(n)n
1
p , 1 ≤ p <∞, (31)
K
(1)
ψ,p — величина, що залежить вiд ψ i p.
Для того щоб одержати оцiнку знизу, розглянемо при заданому n ∈ N функцiю
f∗n,α =
αψ(n)
n1−1/p
(
V2n(t)− Vn(t)
)
, α > 0, n ∈ N,
де Vm(t) — ядра методу Валле Пуссена,
Vm(t) =
1
m
2m−1∑
k=m
Dk(t), m ∈ N, (32)
Dk(t) — ядра Дiрiхле,
Dk(t) =
1
2
+
k∑
ν=1
cos νt =
sin
(
k + 1/2
)
t
2 sin t
2
, k ∈ N.
Покажемо спочатку, що при певному виборi значення параметра α виконується нерiвнiсть∥∥∥(f∗n,α(·)
)ψ
β
∥∥∥
p
≤ 1, 1 < p <∞. (33)
Для цього скористаємось наступним твердженням iз роботи [18, с. 117], в якiй встановлено
нерiвностi Бернштейна для (ψ, β)-похiдних в Lp- метриках для полiномiв, тобто нерiвностi мiж
‖(tm)ψβ‖p та ‖tm‖p, де tm — тригонометричнi полiноми порядку m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1192 У. З. ГРАБОВА, А. С. СЕРДЮК
Твердження 1. Нехай 1 < p < ∞, β ∈ R, ψ(k) — довiльна незростаюча послiдов-
нiсть невiд’ємних чисел. Тодi для довiльного тригонометричного полiнома tm(·) порядку m
знайдеться величина Cψ,p, що може залежати тiльки вiд функцiї ψ(·) та числа p, така, що∥∥(tm(·)
)ψ
β
∥∥
p
≤ Cψ,p(ψ(m))−1‖tm(·)‖p. (34)
Оскiльки f∗n,α є тригонометричним полiномом порядку 4n− 1, то на пiдставi твердження 1
отримаємо ∥∥∥(f∗n,α(t)
)ψ
β
∥∥∥
p
≤
αCψ,p
n1−1/p
ψ(n)
ψ(4n− 1)
‖V2n(t)− Vn(t)‖p. (35)
Знайдемо оцiнку ‖V2n(t)− Vn(t)‖p. Враховуючи, що
Vm(t) = 2F2m−1(t)− Fm−1(t), (36)
де Fk(t) — ядра Фейєра,
Fk(t) =
1
k + 1
k∑
ν=0
Dν(t) =
1
k + 1
k∑
ν=0
sin
(
ν + 1/2
)
t
2 sin t
2
, k ∈ N,
i вiдомi оцiнки для ядер Фейєра (див., наприклад, [23, с. 148 – 151])
0 < Fk(t) < k + 1, Fk(t) ≤
A1
(k + 1)t2
, 0 < t ≤ π,
одержуємо оцiнки для Vm(t):
|Vm(t)| < A2m, |Vm(t)| ≤ A3
mt2
, 0 < t ≤ π,
Ai — абсолютнi сталi. Тодi при 1 ≤ p <∞
‖V2n(t)− Vn(t)‖p ≤ A4
∫
0≤|t|≤ 1
n
npdt+
∫
1
n
≤|t|≤π
1
(nt2)p
dt
1/p
≤ A5n
1−1/p. (37)
Зауважимо, що при p = 1 з нерiвностi (37) випливає оцiнка
‖V2n(t)− Vn(t)‖1 ≤ A5. (38)
Далi, враховуючи включення ψ ∈ B та нерiвнiсть (37), з (35) отримуємо∥∥∥(f∗n,α(t)
)ψ
β
∥∥∥
p
≤
αC̃p,ψ
n1−1/p
n1−1/p = αC̃p,ψ, (39)
C̃p,ψ — величина, що залежить вiд ψ i p. При α = α∗ = (C̃p,ψ)−1 з (39) випливає нерiвнiсть
(33), а отже, i включення f∗n,α∗ ∈ C
ψ
β,p.
Знайдемо коефiцiєнти Фур’є функцiї V2n(t)−Vn(t). Згiдно з формулою (3.3.5) iз роботи [1,
с. 31] для ядер Vm(t) виконується рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ I НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є КЛАСIВ . . . 1193
Vm(t) = Dm(t) + 2
2m−1∑
k=m+1
(
1− k
2m
)
cos kt, m ∈ N. (40)
Застосовуючи (40) при m = n i m = 2n, одержуємо
V2n(t)− Vn(t) =
= D2n(t)−Dn(t)− 2
2n−1∑
k=n+1
(
1− k
2n
)
cos kt+ 2
4n−1∑
k=2n+1
(
1− k
4n
)
cos kt =
= −
2n∑
k=n+1
(
1− k
n
)
cos kt+ 2
4n−1∑
k=2n+1
(
1− k
4n
)
cos kt. (41)
Згiдно з рiвнiстю Парсеваля
‖V2n(t)− Vn(t)‖22 = π
(
2n∑
k=n+1
(
1− k
n
)2
+ 4
4n−1∑
k=2n+1
(
1− k
4n
)2)
=
=
π
n2
(
2n∑
k=n+1
(n− k)2 +
1
4
4n−1∑
k=2n+1
(4n− k)2
)
=
π
n2
(
n∑
k=1
k2 +
1
4
2n−1∑
k=1
k2
)
=
=
π
n2
(
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
+
(2n− 1)2n(4n− 1)
24
)
= π
(
n+
1
4n
)
. (42)
Iз (41) випливає, що (V2n − Vn) ⊥ tn−1 для будь-якого полiнома tn−1 ∈ T2n−1. Тому
π∫
−π
(
f∗n,α∗(t)− tn−1(t)
)(
V2n(t)− Vn(t)
)
dt =
π∫
−π
f∗n,α∗(t)
(
V2n(t)− Vn(t)
)
dt−
−
π∫
−π
tn−1(t)
(
V2n(t)− Vn(t)
)
dt =
π∫
−π
f∗n,α∗(t)
(
V2n(t)− Vn(t)
)
dt =
=
α∗ψ(n)
n1−1/p
‖V2n(t)− Vn(t)‖22. (43)
З iншого боку, використовуючи нерiвнiсть Гельдера та враховуючи (38), отримуємо
π∫
−π
(
f∗n,α∗(t)− tn−1(t)
)(
V2n(t)− Vn(t)
)
dt ≤
≤ ‖f∗n,α∗(t)− tn−1(t)‖∞‖V2n(t)− Vn(t)‖1 ≤ A5‖f∗n,α∗(t)− tn−1(t)‖∞. (44)
Iз (42) – (44) одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1194 У. З. ГРАБОВА, А. С. СЕРДЮК
‖f∗n,α∗(t)− tn−1(t)‖∞ ≥
α∗ψ(n)
A5n1−1/p
‖V2n(t)− Vn(t)‖22 ≥
K
(2)
ψ,pψ(n)
n1−1/p
n = K
(2)
ψ,pψ(n)n1/p. (45)
З (31) та (45) випливає (12).
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай β ∈ R, ψ ∈ B ∩Θ1 i виконується одна з умов
∆2
(
1/ψ(k)
)
≥ 0, k ∈ N, (46)
або
∆2
(
1/ψ(k)
)
≤ 0, k ∈ N, (47)
де
∆2
(
1
ψ(k)
)
df
=
1
ψ(k)
− 2
ψ(k + 1)
+
1
ψ(k + 2)
.
Тодi iснують додатнi величини K(1)
ψ i K(2)
ψ , що можуть залежати лише вiд ψ, такi, що
для довiльних n ∈ N
K
(2)
ψ ψ(n)n ≤ En
(
Cψβ,1
)
C
≤ En
(
Cψβ,1)C ≤ K
(1)
ψ ψ(n)n. (48)
Доведення. Застосовуючи нерiвнiсть (31) при p = 1, маємо
En
(
Cψβ,1
)
C
≤ En
(
Cψβ,1
)
C
≤ K(1)
ψ ψ(n)n, (49)
де K(1)
ψ — величина, що залежить лише вiд ψ.
Для того щоб одержати оцiнку знизу, розглянемо функцiю
f (1)n,α(t) = αψ(n)
(
V2n(t)− Vn(t)
)
, α > 0, n ∈ N,
де Vm(t) — ядра Валле Пуссена вигляду (32). Покажемо, що при певному виборi параметра
α > 0 f
(1)
n,α ∈ Cψβ,1. Для цього нам буде корисним твердження з роботи [18, с. 120], в якому
встановлено нерiвностi Бернштейна для (ψ, β)-похiдних в L1-метрицi для полiномiв tm ∈
∈ T2m+1.
Твердження 2. Нехай ψ(k) — довiльна незростаюча послiдовнiсть невiд’ємних чисел, для
яких виконується одна з умов (46) або (47) i, крiм того,
∣∣∣ sin βπ
2
∣∣∣ n−1∑
k=1
ψ(n)
(
kψ(k)
)−1
= O(1), (50)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по n. Тодi для довiльного тригонометричного по-
лiнома tm(·) порядку m знайдеться стала Cψ, що може залежати тiльки вiд функцiї ψ(·),
така, що ∥∥(tm(·)
)ψ
β
∥∥
1
≤ Cψ
(
ψ(m)
)−1‖tm(·)‖1. (51)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ I НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є КЛАСIВ . . . 1195
Зауважимо, що при ψ ∈ Θp, 1 ≤ p <∞, умова (50) завжди виконується, оскiльки в цьому
випадку iснує число α > 1/p таке, що послiдовнiсть ϕ(n) = nαψ(n) монотонно спадає, а
n−1∑
k=1
ψ(n)
kψ(k)
=
n−1∑
k=1
ϕ(n)kα
nαϕ(k)k
≤ K1
nα
n−1∑
k=1
kα
k
≤ K2 <∞. (52)
Зокрема, якщо ψ ∈ Θ1, то умова (50) виконується при будь-яких β ∈ R. З огляду на це, оскiльки
f
(1)
n,α(t) — тригонометричний полiном порядку 4n−1, на пiдставi (51) з урахуванням включення
ψ ∈ B ∩Θ1 при виконаннi однiєї з умов (46) або (47) одержимо∥∥∥(f (1)n,α(t)
)ψ
β
∥∥∥
1
= αψ(n)‖
(
V2n(t)− Vn(t)
)ψ
β
‖1 ≤
≤ αCψ
ψ(n)
ψ(4n− 1)
‖V2n(t)− Vn(t)‖1 ≤ αC̃ψ, (53)
де C̃ψ — величина, що залежить вiд ψ. При α = α1 = (C̃ψ)−1 з (53) випливає, що∥∥∥(f (1)n,α1
(t)
)ψ
β
∥∥∥
1
≤ 1.
Провiвши тi ж мiркування, якi використовувались для знаходження оцiнки (45), для функцiї
f
(1)
n,α(t) одержимо нерiвнiсть
‖f (1)n,α1
(t)− tn−1(t)‖∞ ≥ K(2)
ψ ψ(n)n, (54)
де K(2)
ψ — величина, що залежить вiд ψ. Iз (49) та (54) випливає оцiнка (48).
Теорему 2 доведено.
Теорема 3. Нехай 1 < p ≤ ∞, β ∈ R, ψ ∈ B ∩Θp′ ,
1
p
+
1
p′
= 1, i виконується одна з умов
(46) або (47). Тодi iснують додатнi величини K(3)
ψ,p i K(4)
ψ,p, що можуть залежати лише вiд ψ i
p, такi, що для довiльних n ∈ N
K
(4)
ψ,pψ(n)n1/p
′ ≤ En
(
Lψβ,1
)
p
≤ En
(
Lψβ,1)p ≤ K
(3)
ψ,pψ(n)n1/p
′
. (55)
Доведення. Зауважимо, що за виконання умови ψ ∈ Θp′ , 1 ≤ p′ < ∞, твiрне ядро Ψβ
класу Lψβ,1 задовольняє включення Ψβ ∈ Lp, 1 < p ≤ ∞. Тодi Lψβ,1 ⊂ Lp i з урахуванням
нерiвностi Юнга (див., наприклад, [1, с. 293]) та iнтегрального зображення (1) маємо
En
(
Lψβ,1
)
p
≤ 1
π
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
p
‖ϕ(·)‖1 ≤
1
π
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
p
. (56)
На пiдставi (21)
∥∥Ψβ,n(·)
∥∥
p
≤ Kp′,1
( ∞∑
k=n
∆ψ(k)k1/p
′
+ ψ(n)n1/p
′)
, 1 < p ≤ ∞, 1
p
+
1
p′
= 1, (57)
Kp,1 — стала, що залежить вiд p. Тодi, застосувавши до суми
∑∞
k=n ∆ψ(k)k1/p
′
лему 1, iз (56)
та (21) одержимо
En
(
Lψβ,1
)
p
≤ En
(
Lψβ,1
)
p
≤ K(3)
ψ,pψ(n)n1/p
′
. (58)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1196 У. З. ГРАБОВА, А. С. СЕРДЮК
Щоб одержати оцiнку знизу величини En
(
Lψβ,1
)
p
, 1 < p ≤ ∞, розглянемо функцiю
f (1)n,α(t) = αψ(n)
(
V2n(t)− Vn(t)
)
, α > 0, n ∈ N.
Як випливає з нерiвностi (53), при певному виборi параметра α = α1, залежного вiд ψ, вико-
нуватиметься нерiвнiсть
∥∥∥(f (1)n,α1(t)
)ψ
β
∥∥∥
1
≤ 1 i, отже, f (1)n,α1 ∈ L
ψ
β,1.
Оскiльки (V2n − Vn) ⊥ tn−1 для будь-якого полiнома tn−1 ∈ T2n−1, то має мiсце рiвнiсть
π∫
−π
(
f (1)n,α1
(t)− tn−1(t)
)(
V2n(t)− Vn(t)
)
dt = α1ψ(n)‖V2n(t)− Vn(t)‖22. (59)
З iншого боку, на пiдставi (37)
‖V2n(t)− Vn(t)‖p′ ≤ A5n
1/p, 1 < p ≤ ∞,
i тому, застосовуючи нерiвностi (3.8.1) та (3.8.3) роботи [1, с. 137, 138], маємо
π∫
−π
(
f (1)n,α1
(t)− tn−1(t)
)(
V2n(t)− Vn(t)
)
dt ≤
≤ ‖f (1)n,α1
(t)− tn−1(t)‖p‖V2n(t)− Vn(t)‖p′ ≤ A5n
1/p‖f (1)n,α1
(t)− tn−1(t)‖p. (60)
Iз (59) та (60), враховуючи спiввiдношення (42), отримуємо
‖f (1)n,α1
(t)− tn−1(t)‖p ≥
α1ψ(n)
A5n1/p
‖V2n(t)− Vn(t)‖22 =
K
(4)
ψ,pψ(n)
n1/p
n = K
(4)
ψ,pψ(n)n1/p
′
. (61)
З (58) та (61) випливає (55).
Теорему 3 доведено.
Зауважимо, що в теоремах 2 i 3 вимоги виконання однiєї з умов (46) та (47) можна замiнити
бiльш загальною (але менш прозорою): щоб для β ∈ R i для послiдовностi ψ ∈ B ∩Θ1 (у
випадку теореми 2) або ψ ∈ B ∩Θp′ (у випадку теореми 3) виконувалась нерiвнiсть (51).
Для функцiй ψ(t) =
lnα(t+ c)
tr
, α ≥ 1, c > e2α/(r−ρ) − 1, t ≥ 1, та ψ(t) =
1
tr lnα(t+ c)
,
α ≥ 0, c > 0, t ≥ 1, виконуються всi умови теорем 2 (при r > 1/p, ρ = 1/p) та 3 (при
r > 1 − 1/p, ρ = 1 − 1/p) i, отже, для величин En(Cψβ,1)C та En(Lψβ,1)p, 1 < p ≤ ∞, мають
мiсце спiввiдношення (48) та (55) вiдповiдно.
1. Степанец А. И. Методы теории приближений. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – 40. – Ч. I. –
427 с.
2. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
3. Temlyakov V. N. Approximation of periodic function. – Nova Sci. Publ., 1993. – 419 p.
4. Kolmogoroff A. Zur Grössennordnung des Restgliedes Fourierschen Reihen differenzierbarer Funktionen // Ann.
Math. – 1935. – 36, № 2. – S. 521 – 526.
5. Пинкевич В. Т. О порядке остаточного члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Вейля // Изв.
АН СССР. Сер. мат. – 1940. – 4, № 6. – С. 521 – 528.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПОРЯДКОВI ОЦIНКИ НАЙКРАЩИХ НАБЛИЖЕНЬ I НАБЛИЖЕНЬ СУМАМИ ФУР’Є КЛАСIВ . . . 1197
6. Никольский С. М. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами // Труды Мaт.
ин-та АН СССР. – 1945. – 15. – С. 1 – 76.
7. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Cер.
мат. – 1946. – 10, № 3. – С. 207 – 256.
8. Ефимов А. В. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Изв. АН СССР Сер. мат. –
1960. – 24, № 2. – С. 243 – 296.
9. Теляковский С. А. О нормах тригонометрических полиномов и приближении дифференцируемых функций
линейными средними их рядов Фурье // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 62. – С. 61 – 97.
10. Favard J. Sur l’approximation des fonctions périodiques par des polynomes trigonométriques // C. r. Acad. Sci. –
1936. – 203. – P. 1122 – 1124.
11. Favard J. Sur les meilleurs procédes d’approximations de certains classes de fontions par des polynomes
trigonométriques // Bull. Sci. Math. – 1937. – 61. – P. 209 – 224, 243 – 256.
12. Дзядык В. К. О наилучшем приближении на классе периодических функций, имеющих ограниченную s-ю
производную (0 < s < 1) // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1953. – 17. – С. 135 – 162.
13. Дзядык В. К. О наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от
линейной комбинации абсолютно монотонных ядер // Мат. заметки. – 1974. – 16, № 5. – С. 691 – 701.
14. Стечкин С. Б. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими
полиномами // Изв. АН СССР. Cер. мат. – 1956. – 20. – С. 643 – 648.
15. Сунь Юн-шен. О наилучшем приближении периодических дифференцируемых функций тригонометрическими
полиномами // Изв. АН СССР. Cер. мат. – 1959. – 23, № 1. – С. 67 – 92.
16. Бабенко В. Ф., Пичугов С. А. О наилучшем линейном приближении некоторых классов дифференцируемых
периодических функций // Мат. заметки. – 1980. – 27, № 5. – С. 683 – 689.
17. Степанец А. И., Кушпель А. К. Скорость сходимости рядов Фурье и наилучшие приближения в пространстве
Lp // Укр. мат. журн. – 1987. – 39, № 4. – С. 483 – 492.
18. Степанец А. И. Методы теории приближений. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – 40. – Ч. II. –
468 с.
19. Романюк В. С. Дополнения к оценкам приближения суммами Фурье классов бесконечно дифференцируемых
функций // Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Працi Iн-ту математики НАН України. –
2003. – 46. – С. 131 – 135.
20. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 268 c.
21. Сердюк А. С., Соколенко I. В. Рiвномiрнi наближення класiв (ψ, β)-диференцiйовних функцiй лiнiйними мето-
дами // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2011. – 8,
№ 1. – С. 181 – 189.
22. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. – М.: Физматгиз, 1961. – 936 с.
23. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 с.
Одержано 12.07.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2500 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:40Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/83/12ce791f0819a1cae92f1e2f9a495383.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25002020-03-18T19:17:02Z Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums of the Classes of (ψ, β)-Differential Functions Порядкові оцінки найкращих наближень і наближень сумами Фур’є класів (ψ, β)-диференційовних функцій Hrabova, U. Z. Serdyuk, A. S. Грабова, У. З. Сердюк, А. С. We establish exact-order estimates for the best uniform approximations by trigonometric polynomials on the classes C ψ β, p of 2π-periodic continuous functions f defined by the convolutions of functions that belong to the unit balls in the spaces L p , 1 ≤ p Установлены точные по порядку оценки наилучших равномерных приближений тригонометрическими полиномами на классах $C^{ψ}_{β, p}$ $2\pi$-периодических непрерывных функций $f$, представимых свертками функций, которые принадлежат единичным шарам пространств $L_p,\; 1 ≤ p Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2500 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 9 (2013); 1186–1197 Український математичний журнал; Том 65 № 9 (2013); 1186–1197 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2500/1765 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2500/1766 Copyright (c) 2013 Hrabova U. Z.; Serdyuk A. S. |
| spellingShingle | Hrabova, U. Z. Serdyuk, A. S. Грабова, У. З. Сердюк, А. С. Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums of the Classes of (ψ, β)-Differential Functions |
| title | Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums of the Classes of (ψ, β)-Differential Functions |
| title_alt | Порядкові оцінки найкращих наближень і наближень сумами
Фур’є класів (ψ, β)-диференційовних функцій |
| title_full | Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums of the Classes of (ψ, β)-Differential Functions |
| title_fullStr | Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums of the Classes of (ψ, β)-Differential Functions |
| title_full_unstemmed | Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums of the Classes of (ψ, β)-Differential Functions |
| title_short | Order Estimates for the Best Approximations and Approximations by Fourier Sums of the Classes of (ψ, β)-Differential Functions |
| title_sort | order estimates for the best approximations and approximations by fourier sums of the classes of (ψ, β)-differential functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2500 |
| work_keys_str_mv | AT hrabovauz orderestimatesforthebestapproximationsandapproximationsbyfouriersumsoftheclassesofpsbdifferentialfunctions AT serdyukas orderestimatesforthebestapproximationsandapproximationsbyfouriersumsoftheclassesofpsbdifferentialfunctions AT grabovauz orderestimatesforthebestapproximationsandapproximationsbyfouriersumsoftheclassesofpsbdifferentialfunctions AT serdûkas orderestimatesforthebestapproximationsandapproximationsbyfouriersumsoftheclassesofpsbdifferentialfunctions AT hrabovauz porâdkovíocínkinajkraŝihnabliženʹínabliženʹsumamifurêklasívpsbdiferencíjovnihfunkcíj AT serdyukas porâdkovíocínkinajkraŝihnabliženʹínabliženʹsumamifurêklasívpsbdiferencíjovnihfunkcíj AT grabovauz porâdkovíocínkinajkraŝihnabliženʹínabliženʹsumamifurêklasívpsbdiferencíjovnihfunkcíj AT serdûkas porâdkovíocínkinajkraŝihnabliženʹínabliženʹsumamifurêklasívpsbdiferencíjovnihfunkcíj |