Parallel Affine Immersions ${M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ with Flat Connection
We present a classification of parallel affine immersions $f : M^n→{M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ with flat connection according to the rank of the Weingarten mapping.
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2509 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508414012030976 |
|---|---|
| author | Shugailo, E. A. Шугайло, Е. А. Шугайло, Е. А. |
| author_facet | Shugailo, E. A. Шугайло, Е. А. Шугайло, Е. А. |
| author_sort | Shugailo, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:17:02Z |
| description | We present a classification of parallel affine immersions $f : M^n→{M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ with flat connection according to the rank of the Weingarten mapping. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514.754
Е. А. Шугайло (Харьков. нац. ун-т им. В. Н. Каразина)
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПОГРУЖЕНИЯ Mn → Rn+2
С ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ
We give a classification of parallel affine immersions f : Mn → Rn+2 with flat connection according to the rank of the
Weingarten mapping.
Наведено класифiкацiю паралельних афiнних занурень f : Mn → Rn+2 з пласкою зв’язнiстю в залежностi вiд рангу
вiдображення Вейнгартена.
Введение. Пусть (Mn,∇) — аффинное n-мерное многообразие со связностью ∇, (Rn+2, D) —
стандартное (арифметическое) аффинное пространство с плоской связностью D. Обозначим
через X(Mn) множество гладких касательных векторных полей на Mn. В соответствии с [1]
погружение f : (Mn,∇) → (Rn+2, D) называется аффинным, если вдоль погружения опре-
делено двумерное трансверсальное дифференцируемое распределение Q : x ∈ Mn 7→ Qx
такое, что в каждой точке x ∈ Mn для любых X, Y ∈ X(Mn) справедливо разложение
(DXf∗(Y ))x = (f∗(∇XY ))x + hx(X, Y ), hx(X, Y ) ∈ Qx на касательную и трансверсальную
составляющие, которое определяет аффинную фундаментальную форму h(X,Y ).
Для произвольного трансверсального векторного поля ξ записывается также аналогичное
разложение DXξ = −f∗(SξX) +∇⊥Xξ, которое определяет оператор Вейнгартена Sξ относи-
тельно ξ и трансверсальную связность ∇⊥.
Определим отображение Вейнгартена
Sx : Qx × Tx(Mn)→ Tx(Mn),
действующее по правилу (ξ,X) 7→ SξX в каждой точке x ∈Mn.
Кубическая форма аффинного погружения определяется следующим образом:C(X, Y, Z) =
= ∇⊥Xh(Y, Z)− h(∇XY, Z)− h(Y, ∇XZ).
Пусть ξ1, ξ2 — базис трансверсального распределения Q. Тогда можно записать аффинные
аналоги разложений Гаусса и Вейнгартена для погруженного многообразия в виде
DXf∗(Y ) = f∗(∇XY ) + hα(X, Y )ξα, (1)
DXξα = −f∗(SαX) + τβα (X)ξβ, (2)
где hα — компоненты аффинной фундаментальной формы, Sα — операторы Вейнгартена, τβα —
формы трансверсальной связности относительно базиса ξ1, ξ2 трансверсального распределе-
ния. Относительно этого базиса компоненты кубической формы имеют вид
Cα(X, Y, Z) = (∇Xhα)(Y, Z) + ταβ (X)hβ(Y, Z). (3)
Аффинные погружения с кубической формой, тождественно равной нулю, называются па-
раллельными. В римановой геометрии такие погружения и их обобщения изучались многими
авторами, обзор можно найти в [2]. Общая классификация евклидовых параллельных подмно-
гообразий была получена Д. Ферусом [3].
c© Е. А. ШУГАЙЛО, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9 1283
1284 Е. А. ШУГАЙЛО
Аффинными невырожденными гиперповерхностями с нулевой кубической формой являют-
ся только гиперквадрики [1].
Полностью изучены линейно полные параллельные аффинные поверхности M2. Напом-
ним, что аффинное погружение f : M2 → Rm называется линейно полным, если f(U) не
содержится в аффинном подпространстве Rm меньшей размерности для каждой oкрестности
U каждой точки p ∈M2. Было доказано [4], что параллельное аффинное погружение линейно
полное, если Q = im h, следовательно, линейно полная аффинная поверхность содержится в
R2, R3, R4 или R5. В первом случае (m = 2) очевидно, чтоM2 является аффинной плоскостью.
В остальных случаях вводится метрика, связанная с аффинной фундаментальной формой (см.,
например, [5]), и определение невырожденности погружения, которое не зависит от выбора
трансверсального распределения.
Невырожденные параллельные аффиные поверхности в R3, R4 и R5 изучены соответ-
ственно в [6], [7] и [8]. Заметим, что линейно полные параллельные аффинные поверхности
в R5 всегда невырожденные. Вырожденные параллельные аффинные поверхности в R3 и R4
изучены соответственно в [9] и [5].
Данная работа посвящена классификации параллельных аффинных погружений коразмер-
ности 2 с плоской связностью.
Ранг отображения hx(X, Y ) : Tx(M)×Tx(M)→ Qx не зависит от выбора трансверсального
распределения и называется точечной коразмерностью аффинного погружения [10]. Точечная
коразмерность q аффинного погружения Mn → Rn+2 может принимать три значения: q =
= 0, 1, 2.
В случае q = 0 аффинная фундаментальная форма h ≡ 0 и данное погружение — это
аффинное подпространство Rn.
В случае q = 1, не нарушая общности, можно считать, что h2 ≡ 0.Из параллельности погру-
жения следует, что ξ1 параллелен в нормальной связности: C2(X, Y, Z) = τ21 (X)h1(Y, Z) ≡
≡ 0 ⇒ τ21 (X) ≡ 0, т. е. ∇⊥Xξ1 = τ11 (X)ξ1, а следовательно, по теореме о редукции кораз-
мерности Mn содержится в Rn+1. Аффинная гиперповерхность с нулевой кубической формой
является гиперквадрикой (см., например, [1]).
В первых двух случаях погружение не является линейно полным. В случае линейно пол-
ного погружения, т. е. погружения максимальной точечной коразмерности q = 2, проведена
классификация параллельных аффинных погружений с плоской связностью в зависимости от
ранга отображения Вейнгартена (теоремы 1 – 3).
1. Основные уравнения, выбор трансверсального распределения. Пусть дано аффинное
погружение f : (Mn,∇) → (Rn+2, D), тогда выполняются основные уравнения аффинных
погружений:
R(X, Y )Z = hα(Y, Z)SαX − hα(X, Z)SαY, (4)
(∇Xhα)(Y, Z) + ταβ (X)hβ(Y, Z) = (∇Y hα)(X, Z) + ταβ (Y )hβ(X, Z), (5)
(∇XSα)Y − τβα (X)SβY = (∇Y Sα)X − τβα (Y )SβX, (6)
hβ(X, SαY )− hβ(Y, SαX) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПОГРУЖЕНИЯ Mn → Rn+2 С ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 1285
= X(τβα (Y )) + τβγ (X)τγα(Y )− Y (τβα (X))− τβγ (Y )τγα(X)− τβα ([X, Y ]). (7)
Эти уравнения в несколько других обозначениях можно найти в [4, 6].
Формы трансверсальной связности, компоненты аффинной фундаментальной формы и опе-
раторы Вейнгартена не инвариантны относительно выбора трансверсального распределения и
выбора базиса в нем. В работе [10] доказано, что если Mn — подмногообразие в Rn+2 с
трансверсальным распределением Q = span{ξ1, ξ2} и Q̄ = span{ξ̄1, ξ̄2} — преобразование
трансверсального распределения
ξ̄α = Φβ
αξβ + Zα, (8)
где Zα — касательные векторные поля на Mn, Φ = [Φβ
α]2×2 — невырожденная матрица из
гладких функций, то
h̄α(X, Y ) = [Φ−1]αβh
β(X, Y ), (9)
∇̄XY = ∇XY − [Φ−1]αβh
β(X, Y )Zα, (10)
S̄αX = Φβ
αSβX −∇XZα + τ̄βα (X)Zβ, (11)
τ̄βα (X) = [Φ−1]βγ{τ
γ
δ (X)Φδ
α + hγ(X, Zα) +X(Φγ
α)}. (12)
Пусть {e1, e2, . . . , en} — базисные касательные векторные поля на Mn. Введем в рассмот-
рение матрицу
H(X) =
(
h1(X, e1) h1(X, e2) . . . h1(X, en)
h2(X, e1) h2(X, e2) . . . h2(X, en)
)
. (13)
Из формулы (9) получаем формулу преобразования матрицы H(X) при изменении трансвер-
сального распределения (8): H̄(X) = Φ−1H(X). В [10] доказано, что для аффинного по-
гружения максимальной точечной коразмерности трансверсальное распределение определено
однозначно.
2. Аффинные погружения с параллельным нулевым распределением. Нулевое про-
странство в точке x ∈ Mn аффинного погружения f : (Mn, ∇) → (Rn+k, D) определяется
следующим образом:
N(x) = kerhx = {X ∈ Tx(Mn) : hαx(X, Y ) = 0 ∀Y ∈ Tx(Mn) ∀α = 1, k}.
Из (9) следует, что нулевое пространство в точке x не зависит от выбора трансверсального
распределения. Обозначим dim kerhx = µx. Распределение нулевых пространств N : x 7→
7→ N(x) называется нулевым распределением.
В работе [10] доказаны следующие свойства нулевого распределения: 1) распределение
N : x 7→ N(x) является интегрируемым и вполне геодезичным слоением на Rn+k; 2) еслиMn —
полное многообразие, то каждый лист L слоения FN полный.
Напомним [1, 11], что распределение N называется параллельным относительно ∇, если
для любой кривой из точки x в точку y параллельное перенесение вдоль кривой относительно
∇ отображает N(x) в N(y). Это происходит тогда и только тогда, когда ∇XY ∈ N для
любого векторного поля X и любого векторного поля Y ∈ N . Из уравнения (10) следует,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1286 Е. А. ШУГАЙЛО
что это условие не зависит от выбора трансверсального распределения и сохраняется для
любой индуцированной связности. Таким образом, можно говорить о параллельности нулевого
распределения аффинного погружения.
Аффинные гиперповерхности с параллельным нулевым распределением были изучены
К. Nomizu, B. Opozda в [11]. Ими была доказана теорема о глобальном цилиндрическом пред-
ставлении такой гиперповерхности. В случае аффинного погружения большей коразмерности
имеет место аналогичная теорема. Доказательство почти дословно повторяет доказательство в
случае гиперповерхности.
Запишем компоненты кубической формы
Cα(X, Y, Z) = X(hα(Y, Z))− hα(∇XY, Z)− hα(Y, ∇XZ) + ταβ (X)hβ(Y, Z).
Определим ядро кубической формы
kerCx = {X ∈ Tx(Mn) : Cαx (X,Y, Z) = 0 ∀ Y,Z ∈ Tx(Mn) ∀α = 1, k}.
Если Y ∈ N , то Cα(X,Y, Z) = −hα(∇XY, Z) ∀X, Z ∈ X(Mn). Если kerh ⊂ kerC, то
∇XY ∈ N , обратное также верно. Тем самым доказана следующая лемма.
Лемма 1. Нулевое распределение параллельно тогда и только тогда, когда оно содержит-
ся в ядре кубической формы.
В рассматриваемом случае (C ≡ 0) нулевое распределение параллельно, и если dimN =
= µ = const 6= 0, то аффинное подмногообразие является цилиндром с µ-мерной образующей
над (n− µ)-мерной базой.
3. Общие свойства аффинных погружений Mn → Rn+2 с плоской связностью. Рас-
смотрим линейно полные аффинные погружения, т. е. погружения точечной коразмерности
q = 2. Для аффинного погружения f : (Mn,∇) → (Rn+k, D) ядро и образ отображения Вейн-
гартена определяются следующим образом: kerS =
⋂k
α=1 kerSα, im S =
⋃k
α=1 im Sα. Будем
говорить, что отображение Вейнгартена p-мерно, если rankS := dim imS = p. В работе [10]
доказано, что для аффинного погружения f : (Mn,∇) → (Rn+k, D) (при k < n) с максималь-
ной точечной коразмерностью и плоской связностью ∇ выполняются следующие соотноше-
ния: 1) dim kerS ≥ n − k; 2) kerh ⊆ kerS; 3) dim im S ≤ k; 4) если dim im S = k, то
dim kerS = n− k и kerh = kerS.
Следовательно, в случае аффинного погружения f : Mn → Rn+2 максимальной точечной
коразмерности dim im S ≤ 2. При этом если dim im S = 2, то kerh = kerS, dim kerh = n− 2.
Из условия максимальности точечной коразмерности следует, что dim kerh ≤ n − 2. Случай
dim kerh < n− 2 возможен только тогда, когда dim im S < 2.
Итак, рассмотрим три различных случая.
A. S ≡ 0. Аффинное погружение с нулевым отображением Вейнгартена [10] аффинно
эквивалентно погружению графика некоторого гладкого отображения F : Mn → R2, т. е.
f : (u1, . . . , un) 7→ (u1, . . . , un, f1(u1, . . . , un), f2(u1, . . . , un)).
B. dim im S = 1 и dim kerh < n− 2. Изучим общие свойства таких погружений.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПОГРУЖЕНИЯ Mn → Rn+2 С ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 1287
Лемма 2. Пусть f : (Mn,∇) → (Rn+2, D) — аффинное погружение точечной коразмер-
ности 2 с плоской связностью ∇, dim im S = 1 и dim kerh < n − 2. Tогда существуют
параметризация погружения и базис трансверсального распределения такие, что
1) Γkij = 0 ∀k 6= 1, Γ1
11 = 0, Γ1
1j = 0;
2) h1 =
1 0 . . . 0
0 0 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 0
, h2 =
0 h212 . . . h21n
h212 h222 . . . h22n
...
...
. . .
...
h21n h22n . . . h2nn
;
3) S1e1 = U, S1ej = 0, j = 2, n, S2 ≡ 0;
4) τ12 (ei) = τ22 (ei) = 0 при i = 2, n.
Доказательство. Пусть {e1, . . . , en} — координатные векторные поля на Mn такие, что
Γkij = 0. Выбором базиса {ξ1, ξ2} в трансверсальном распределении можно добиться того, что
матрица (13) при X = e1 имеет вид
H(e1) =
(
1 0 h1(e1, e3) . . . h1(e1, en)
0 1 h2(e1, e3) . . . h2(e1, en)
)
. (14)
Поскольку образ отображения Вейнгартена одномерен, то S1ei = λiU, S2ei = µiU, где
U — некоторое ненулевое касательное векторное поле, λi, µi — некоторые функции. Рассмотрим
уравнение Гаусса на базисных векторах:
0 = R(ei, ej)ek = hα(ej , ek)Sαei − hα(ei, ek)Sαej .
Следовательно,
h1jkλi + h2jkµi = h1ikλj + h2ikµj . (15)
Рассмотрим данные уравнения при различных i, j, k :
λi = h11iλ1 + h21iµ1, k = 1, j = 1, i = 3, n,
µi = h11iλ2 + h21iµ2, k = 1, j = 2, i = 3, n,
λ2 = µ1, k = 1, j = 1, i = 2,
µ2 = h122λ1 + h222µ1, k = 2, j = 1, i = 2.
(16)
Подставим полученные соотношения в уравнения (15) при j = 1 и j = 2 :
h11k(h
1
1iλ1 + h21iλ2) + h21k(h
1
1iλ2 + h21iµ2) = h1ikλ1 + h2ikλ2,
h12k(h
1
1iλ1 + h21iλ2) + h22k(h
1
1iλ2 + h21iµ2) = h1ikλ2 + h2ikµ2.
Таким образом,
h1ik(λ1µ2 − (λ2)
2) =
= (h11kµ2 − h12kλ2)(h11iλ1 + h21iλ2) + (h21kµ2 − h22kλ2)(h11iλ2 + h21iµ2), (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1288 Е. А. ШУГАЙЛО
h2ik((λ2)
2 − λ1µ2) =
= (h11kλ2 − h12kλ1)(h11iλ1 + h21iλ2) + (h21kλ2 − h22kλ1)(h11iλ2 + h21iµ2). (18)
Рассмотрим данную систему при k = 2 :
h1i2(λ1µ2 − (λ2)
2) = −h122λ2(h11iλ1 + h21iλ2) + (µ2 − h222λ2)(h11iλ2 + h21iµ2),
h2i2((λ2)
2 − λ1µ2) = −h122λ1(h11iλ1 + h21iλ2) + (λ2 − h222λ1)(h11iλ2 + h21iµ2).
Поскольку µ2 = h122λ1 + h222λ2, получаем
h1i2(λ1µ2 − (λ2)
2) = −h122λ2(h11iλ1 + h21iλ2) + h122λ1(h
1
1iλ2 + h21iµ2),
h2i2((λ2)
2 − λ1µ2) = (h222λ2 − µ2)(h11iλ1 + h21iλ2) + (λ2 − h222λ1)(h11iλ2 + h21iµ2).
Окончательно находим
h1i2(λ1µ2 − (λ2)
2) = h122h
2
1i(λ1µ2 − (λ2)
2),
h2i2((λ2)
2 − λ1µ2) = (h11i + h222h
2
1i)((λ2)
2 − λ1µ2).
Данная система имеет два решения:
1) λ1µ2 − (λ2)
2 6= 0, h1i2 = h122h
2
1i, h
2
i2 = h11i + h222h
2
1i;
2) λ1µ2 − (λ2)
2 = 0.
Рассмотрим каждый случай подробно.
1. Подставим h12k = h122h
2
1k, h
2
2k = h11k + h222h
2
1k в (17) :
h1ik(λ1µ2 − (λ2)
2) = (h11kµ2 − h122h21kλ2)(h11iλ1 + h21iλ2)+
+(h21kµ2 − (h11k + h222h
2
1k)λ2)(h
1
1iλ2 + h21iµ2) =
= h11i(h
1
1kµ2λ1 − h122h21kλ2λ1 + h21kµ2λ2 − (h11k + h222h
2
1k)(λ2)
2)+
+h21i(h
1
1kµ2λ2 − h122h21k(λ2)2 + h21k(µ2)
2 − (h11k + h222h
2
1k)λ2µ2) =
= (h11ih
1
1k + h21ih
1
22h
2
1k)(λ1µ2 − (λ2)
2).
Подставим эти же соотношения в (18) :
h2ik((λ2)
2 − λ1µ2) = (h11kλ2 − h122h21kλ1)(h11iλ1 + h21iλ2)+
+(h21kλ2 − (h11k + h222h
2
1k)λ1)(h
1
1iλ2 + h21iµ2) =
= h11i(h
1
1kλ2λ1 − h122h21k(λ1)2 + h21k(λ2)
2 − (h11k + h222h
2
1k)λ1λ2)+
+h21i(h
1
1k(λ2)
2 − h122h21kλ1λ2 + h21kλ2µ2 − (h11k + h222h
2
1k)λ1µ2) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПОГРУЖЕНИЯ Mn → Rn+2 С ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 1289
= (h11ih
2
1k + h21i(h
1
1k + h222h
2
1k)((λ2)
2 − λ1µ2).
Таким образом, учитывая (16), получаем
h1ik = h11ih
1
1k + h21ih
1
22h
2
1k = h11ih
1
1k + h21ih
1
2k,
h2ik = h11ih
2
1k + h21i(h
1
1k + h222h
2
1k) = h11ih
2
1k + h21ih
2
2k.
В данном случае линейно независимые векторы ẽi = −h11ie1 − h21ie2 + ei, i = 3, n, принадле-
жат ядру аффинной фундаментальной формы. Следовательно, dim kerh = n − 2, погружение
является погружением ранга два.
2. Поскольку dim kerS = 1, λ1, λ2 не могут одновременно быть нулевыми функциями.
Таким образом, из условия λ1µ2−(λ2)
2 = 0 следует, что λ1 6= 0.Поскольку λi = h11iλ1+h21iµ1 =
= h11iλ1 + h21iλ2, то µi = h11iλ2 + h21iµ2, в данном случае λ1µi = λ2λi, т. е. λ1S2 = λ2S1.
Рассмотрим преобразование базиса трансверсального распределения с матрицей Φ :
Φ =
(
1 −λ2/λ1
0 1
)
, Φ−1 =
(
1 λ2/λ1
0 1
)
.
Напомним, что при таком преобразовании h̄αij = [Φ−1]αβh
β
ij , S̄α = Φβ
αSβ. Следовательно, S̄1 =
= S1, S̄2 ≡ 0, h̄1 = h1 +
λ2
λ1
h2, h̄2 = h2, h̄111 = 1.
Установим свойства аффинной фундаментальной формы и операторов Вейнгартена в новом
базисе трансверсального распределения. Уравнение Гаусса на базисных векторах принимает
вид
h1jkλi = h1ikλj . (19)
Подставив в это уравнение j = k = 1, получим λi = h1i1λ1. При j = 1 имеем h11kλi = h1ikλ1,
следовательно, h1ik = h11kh
1
1i. Это означает, что векторы ẽk = ek − h11ke1 ∈ kerh1, ẽk ∈ kerS1,
k = 2, n.
Найдем [ẽj , ẽk] с учетом того, что в выбранной системе координат все символы Кристоф-
феля нулевые:
[ẽj , ẽk] = ∇
ej − h11je1
(ek − h11ke1)−∇ek − h11ke1
(ej − h11je1) =
= −
∂h11k
∂uj
e1 + h11j
∂h11k
∂u1
e1 +
∂h11j
∂uk
e1 − h11k
∂h11j
∂u1
e1. (20)
Рассмотрим уравнения Кодацци для h при α = 1 на базисных векторах:
(∇eih1)(ej , ek) + τ1β(ei)h
β(ej , ek) = (∇ejh1)(ei, ek) + τ1β(ej)h
β(ei, ek).
В рассматриваемом случае при k = 1 имеем
∂h11j
∂ui
+ τ11 (ei)h
1
1j + τ12 (ei)h
2
1j =
∂h11i
∂uj
+ τ11 (ej)h
1
1i + τ12 (ej)h
2
1i. (21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1290 Е. А. ШУГАЙЛО
Поскольку h111 = 1, h211 = 0, при i = 1 получаем
∂h11j
∂u1
+ τ11 (e1)h
1
1j + τ12 (e1)h
2
1j = τ11 (ej). (22)
Запишем уравнения Кодацци для S при α = 2 на базисных векторах:
τ12 (ei)S1ej = τ12 (ej)S1ei.
Поскольку S1ej = h11jλ1U, следовательно,
τ12 (ei)h
1
1j = τ12 (ej)h
1
1i, τ
1
2 (e1)h
1
1j = τ12 (ej).
Учитывая данные равенства при подстановке (22) в уравнения (21), получаем
∂h11j
∂ui
+ h11j
∂h11i
∂u1
+ τ11 (e1)h
1
1ih
1
1j + τ12 (e1)h
2
1ih
1
1j + τ12 (ei)h
2
1j =
=
∂h11i
∂uj
+ h11i
∂h11j
∂u1
+ τ11 (e1)h
1
1ih
1
1j + τ12 (e1)h
2
1jh
1
1i + τ12 (ej)h
2
1i.
Таким образом,
∂h11j
∂ui
+ h11j
∂h11i
∂u1
=
∂h11i
∂uj
+ h11i
∂h11j
∂u1
.
На основании полученного равенства и выражения (20) заключаем, что [ẽj , ẽk] = 0.
Следовательно, распределение Kx = {ẽj ∈ TxM
n, j = 2, n} интегрируемо. Пусть ui =
= ϕi(v2, . . . , vn), i = 1, n, — параметрическое уравнение интегральной поверхности. Выполним
следующее преобразование координат r̃ = r̄(u(v)) :
u1 = v1 + ϕ1(v2, . . . , vn),
uj = ϕj(v2, . . . , vn), j = 2, n.
При этом r̃1 = r̄1, при k = 2, n векторы r̃k = r̄i
∂ϕi
∂vk
принадлежат ядру h1. Матрицы h1, h2 и
операторы Вейнгартена в данной системе координат принимают вид
h1 =
1 0 . . . 0
0 0 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 0
, h2 =
0 h̃212 . . . h̃21n
h̃212 h̃222 . . . h̃22n
...
...
. . .
...
h̃21n h̃22n . . . h̃2nn
, (23)
S1ẽ1 = Ũ , S1ẽj = 0, j = 2, n, S2 ≡ 0. (24)
Поскольку Γkij = 0, символы Кристоффеля при этом преобразуются так:
∂uk
∂vγ
Γ̃γαβ =
∂2uk
∂vα∂vβ
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПОГРУЖЕНИЯ Mn → Rn+2 С ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 1291
Далее, так как ∂uk
∂v1
= const, то ∂2uk
∂v1∂vβ
= 0 для всех k, β. Из ∂u
k
∂vγ
Γ̃γ1β = 0 следует, что
Γ̃γ1β = 0 для всех β, γ.
Выберем теперь такую параметризацию r̂ = r̃(v(w)), чтобы Γ̂kij = 0 при i, j, k = 2, n :
v1 = w1,
vi = ψi(w2, . . . , wn), i = 2, n.
Заметим, что при таком преобразовании координат вид аффинной фундаментальной формы
(23) и вид операторов Вейнгартена (24) не изменятся:
∂vk
∂wγ
Γ̂γαβ = Γ̃kij
∂vi
∂wα
∂vj
∂wβ
+
∂2vk
∂wα∂wβ
.
При α = 1 ∂vk
∂wγ
Γ̂γ1β = Γ̃k1j
∂vj
∂wβ
.
Поскольку Γ̃k1j = 0 для всех j, k, Γ̂γ1β = 0 для всех β, γ. Следовательно, в данной системе
координат ненулевыми могут быть только символы Кристоффеля Γ̂1
jk, j, k 6= 1. Первый пункт
леммы доказан.
Рассмотрим уравнения Кодацци для S при α = 2 :
τ12 (êi)S1ê1 = τ12 (ê1)S1êi, i = 2, n.
Учитывая (24), получаем
τ12 (êi) = 0, i = 2, n. (25)
Рассмотрим преобразование базиса трансверсального распределения ξ̃α = Φβ
αξβ с матрицей
Φ =
(
1 0
0 Φ2
2
)
, где Φ2
2 6= 0. При таком преобразовании базиса трансверсального распре-
деления вид аффинной фундаментальной формы (23) и вид операторов Вейнгартена (24) не
изменятся. Формы трансверсальной связности при этом преобразуются следующим образом:
τ̃βα (X) = [Φ−1]βγ{τ
γ
δ (X)Φδ
α +X(Φγ
α)}.
В данном случае τ̃12 (X) = τ12 (X), τ̃22 (X) = (Φ2
2)
−1{τ22 (X)Φ2
2 +X(Φ2
2)}. Найдем такую функ-
цию Φ2
2, чтобы
τ̃22 (êi) = 0, i = 2, n. (26)
Получаем систему уравнений
∂Φ2
2
∂wi
= −τ22 (êi)Φ
2
2.
Из уравнения Риччи (7) при α = 2, β = 2, X = êi, Y = êj
êi(τ
2
2 (êj)) + τ2γ (êi)τ
γ
2 (êj)− êj(τ22 (êi))− τ2γ (êj)τ
γ
2 (êi) = 0,
используя равенства (25), получаем ∂
∂wi
τ22 (êj) = ∂
∂wj
τ22 (êi). Следовательно,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1292 Е. А. ШУГАЙЛО
Φ2
2 = exp
(
−
∫
τ22 (ê2)dw
2
)
.
Таким образом, получаем равенства (23) – (26).
Лемма доказана.
C. dim kerh = n − 2. В данном случае аффинное погружение (вне зависимости от ранга
отображения Вейнгартена) является погружением ранга два. Как известно, в зависимости от
аффинной фундаментальной формы эти погружения делятся на три класса: эллиптический,
гиперболический и параболический. Классификация таких погружений дана в [12].
4. Параллельные аффинные погружения с нулевым отображением Вейнгартена.
Теорема 1. Параллельное аффинное погружение f : Mn → Rn+2 максимальной точечной
коразмерности с нулевым отображением Вейнгартена аффинно эквивалентно погружению
графика отображения, радиус-вектор которого может быть задан следующим образом:
~r(u1, . . . , un) =
{
u1, . . . , un, h1jku
juk, h2jku
juk
}
.
Доказательство. Рассмотрим аффинное погружение (Mn,∇)→ (Rn+2, D) с плоской связ-
ностью ∇ и нулевым отображением Вейнгартена. Такое погружение аффинно эквивалентно
погружению графика некоторого гладкого отображения, т. е.
~r
(
u1, . . . , un
)
=
{
u1, . . . , un, f1
(
u1, . . . , un
)
, f2
(
u1, . . . , un
)}
,
∂~r
∂ui
=
{
0, . . . , 1, . . . , 0,
∂f1
∂ui
,
∂f2
∂ui
}
,
∂2~r
∂ui∂uj
=
{
0, . . . , 0,
∂2f1
∂ui∂uj
,
∂2f2
∂ui∂uj
}
,
ξ1 = {0, . . . , 0, 1, 0}, ξ2 = {0, . . . , 0, 0, 1}.
В данном случае S ≡ 0, τ ij(ek) ≡ 0, Γijk ≡ 0, hαij =
∂2fα
∂ui∂uj
. Следовательно, координаты
кубической формы (3) вычисляются по формулам Cαijk =
∂hαjk
∂ui
. А поскольку кубическая форма
нулевая, то hαjk = const. Следовательно, с учетом аффинного преобразования fα(u1, . . . , un) =
= hαjku
juk. Итак,
~r(u1, . . . , un) = {u1, . . . , un, h1jkujuk, h2jkujuk}.
В данном случае мы получаем результат, аналогичный невырожденной гиперповерхности.
5. Параллельные аффинные погружения с одномерным отображением Вейнгартена.
Рассмотрим аффинное погружение (Mn,∇)→ (Rn+2, D) с плоской связностью ∇ максималь-
ной точечной коразмерности, у которого dim im S = 1 и dim kerh < n − 2. Выберем пара-
метризацию погружения и базис в трансверсальном распределении, которые гарантированы
леммой 2. Запишем координаты кубической формы:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПОГРУЖЕНИЯ Mn → Rn+2 С ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 1293
C1
ijk = −h1(∇eiej , ek)− h
1(ej , ∇eiek) + τ1β(ei)h
β
jk = 0.
В частности,
C1
i11 = −Γ1
i1 + τ11 (ei)h
1
11 + τ12 (ei)h
2
11 = τ11 (ei) = 0,
C1
i1k = −Γ1
ik + τ11 (ei)h
1
1k + τ12 (ei)h
2
1k = −Γ1
ik = 0, i 6= 1,
C1
1jk = τ11 (e1)h
1
jk + τ12 (e1)h
2
jk = τ12 (e1)h
2
jk, j, k 6= 1.
Поскольку dim kerh < n − 2, следовательно, не все h2jk нулевые и, значит, τ12 (e1) = 0.
Таким образом, получаем
Γijk = 0, τ11 (ei) = 0, τ12 (ei) = 0 при всех i, j, k. (27)
Поскольку все символы Кристоффеля нулевые,
C2
ijk =
∂h2jk
∂ui
+ τ21 (ei)h
1
jk + τ22 (ei)h
2
jk = 0.
В частности,
C2
i11 = τ21 (ei) = 0; C2
ijk =
∂h2jk
∂ui
= 0, i 6= 1; C2
1jk =
∂h2jk
∂u1
+ τ22 (e1)h
2
jk = 0.
Итак, все формы трансверсальной связности, кроме, возможно, τ22 (e1), нулевые. Из уравнения
Риччи (7) при α = 2, β = 2, X = ei, i 6= 1, Y = e1 следует, что
∂
∂ui
τ22 (e1) = 0 для всех i 6= 1.
Осуществив преобразование базиса трансверсального распределения ξ̃α = Φβ
αξβ с матрицей
Φ =
(
1 0
0 Φ2
2
)
, где Φ2
2(u
1) = exp
(
−
∫
τ22 (e1)du
1
)
,
получаем, что в новом базисе τβα (ei) = 0 для всех α, β, i. Таким образом, мы получаем
условие на коэффициенты аффинной фундаментальной формы
∂h2jk
∂ui
= 0, следовательно,
h2jk = const. Преобразуем базис касательного пространства с помощью постоянной матри-
цы
(
1 0
0 C(n−1)×(n−1)
)
так, чтобы в новом базисе h̃2ij = δji bj , i 6= 1, где δji — символ
Кронекера, bj = const. Обозначим h̃21j = aj = const. В выбранной системе координат имеем
h1 =
1 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
, h2 =
0 a2 a3 . . . an
a2 b2 0 . . . 0
a3 0 b3 . . . 0
...
...
...
. . .
...
an 0 0 . . . bn
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1294 Е. А. ШУГАЙЛО
Γijk = 0; S1(e1) = siei, S1(ej) = 0, j 6= 1, S2 ≡ 0; τβα (ei) = 0.
Из уравнений Кодацци (6) для S1 при X = e1, Y = ei, i 6= 1, следует, что ∇ei(S1e1) = 0,
т. е.
∂sk
∂ui
= 0, i 6= 1, ∀k. Значит, sk = sk(u1). Используя уравнение Риччи (7) при α = 1, β =
= 2, X = e1, Y = ei, i 6= 1, получаем h2(ei, S1e1) = 0. Таким образом, имеем следующие
условия на функции sk :
ais
1(u1) + bis
i(u1) = 0, i = 2, n. (28)
Используя разложение Вейнгартена (2), для ξ1, ξ2 получаем
~ξ1 = ~ξ1(u
1), ~ξ2 =
−−−→
const.
Запишем разложения Гаусса:
~r11 = ~ξ1(u
1), ~r1i = ai~ξ2, ~rji = δji bj
~ξ2.
Интегрируя, получаем
~r1 =
n∑
i=2
aiu
i~ξ2 +
∫
~ξ1(u
1)du1, ~rj = (aju
1 + bju
j)~ξ2 + ~cj ,
~r =
∫∫
~ξ1(u
1)du1du1 +
n∑
i=2
(aiu
1ui +
bi
2
(ui)2)~ξ2 +
n∑
i=2
~ciu
i,
где ~ξ1(u1) — вектор-функция, удовлетворяющая условию
~ξ′1(u
1) = −s1(u1)
∫
~ξ1(u
1)du1 −
n∑
i=2
si(u1)aiu
1~ξ2 −
n∑
i=2
si(u1)~ci,
и, кроме того,
∣∣∣∣∫ ~ξ1(u
1)du1, ~c2, . . . , ~cn, ~ξ1(u
1), ~ξ2
∣∣∣∣ 6= 0 ∀u1.
Обозначим
∫∫
~ξ1(u
1)du1du1 = ~ϕ(u1) и направим оси координат в пространстве Rn+2,
начиная с третьей, по направлениям ~c2, . . . ,~cn, ~ξ2. Тогда получим следующие условия на коор-
динатные функции ϕi(u1) :
(ϕ1)′′′ = −s1(u1)(ϕ1)′,
(ϕ2)′′′ = −s1(u1)(ϕ2)′,
(ϕi)′′′ = −s1(u1)(ϕi)′ − si−1(u1), i = 3, n+ 1,
(ϕn+2)′′′ = −s1(u1)(ϕn+2)′ −
n∑
i=2
aiu
1si(u1)
(29)
и, кроме того, ∣∣∣∣ (ϕ1)′ (ϕ1)′′
(ϕ2)′ (ϕ2)′′
∣∣∣∣ 6= 0 ∀u1. (30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПОГРУЖЕНИЯ Mn → Rn+2 С ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 1295
Следовательно, радиус-вектор подмногообразия
~r = ~ϕ(u1) +
{
0, 0, u2, . . . , un,
n∑
i=2
(
aiu
1ui +
bi
2
(ui)2
)}
.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 2. Произвольное параллельное аффинное погружение f : Mn → Rn+2 максималь-
ной точечной коразмерности с плоской связностью и одномерным отображением Вейнгартена
может быть локально параметризовано следующим образом:
~r = ~ϕ(u1) +
{
0, 0, u2, . . . , un,
n∑
i=2
(
aiu
1ui +
bi
2
(ui)2
)}
(31)
c трансверсальным распределением Q = span{~ξ1, ~ξ2}, ~ξ1 = ~ϕ′′(u1), ~ξ2 = {0, 0, . . . , 0, 1}, где
выполнены условия (28), (29), (30).
6. Параллельные аффинные погружения с двумерным отображением Вейнгартена.
Лемма 3. Произвольное параллельное аффинное погружение f : Mn → Rn+2 с плоской
связностью и двумерным отображением Вейнгартена представляет собой цилиндр с (n− 2)-
мерной образующей, базой цилиндра является двумерная поверхность в R4 с плоской связно-
стью, плоской нормальной связностью и постоянными коэффициентами аффинной фундамен-
тальной формы.
Доказательство. Поскольку образ отображения Вейнгартена двумерен, dim kerh = n −
− 2. Так как кубическая форма нулевая, ядро аффинной фундаментальной формы параллельно
(лемма 1). Значит, в данном случае подмногообразие является цилиндром с (n − 2)-мерной
образующей над двумерной базой.
Пусть kerh = {e3, . . . , en}. Как показано в [12], радиус-вектор такого подмногообразия
можно задать следующим образом:
~r(u1, . . . , un) = ~ρ(u1, u2) +
n∑
i=3
ui~ai,
т. е.
~r(u1, . . . , un) = {ρ1(u1, u2), ρ2(u1, u2), ρ3(u1, u2), ρ4(u1, u2), u3, . . . , un}. (32)
Поскольку индуцированная связность плоская, можно выбрать параметризацию поверхности ρ
таким образом, что все символы Кристоффеля будут нулевыми. Трансверсальное распределение
выберем следующим образом:
∂2~ρ
∂u1∂u1
= ξ1,
∂2~ρ
∂u1∂u2
= ξ2,
∂2~ρ
∂u2∂u2
= qξ1 + pξ2.
В выбранной системе координат
h1 =
1 0 0 . . . 0
0 q 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
, h2 =
0 1 0 . . . 0
1 p 0 . . . 0
0 0 0 . . . 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 . . . 0
, hj = On×n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1296 Е. А. ШУГАЙЛО
Γijk = 0 при всех i, j, k, τβα (ei) = 0, i = 3, n при всех α, β.
Запишем координаты кубической формы:
Cαijk =
∂
∂ui
hαjk + τα1 (ei)h
1
jk + τα2 (ei)h
2
jk = 0.
В частности,
Cα111 = τα1 (e1) = 0,
Cα211 = τα1 (e2) = 0,
Cα112 = τα2 (e1) = 0,
Cα212 = τα2 (e2) = 0,
Cαi22 =
∂
∂ui
hα22 = 0,
следовательно, q = const, p = const. Итак,
Γijk = 0; τβα (ei) = 0; hαij = const, i, j ≤ 2; hαij = 0, i, j > 2. (33)
Таким образом, база цилиндра (32) — двумерная поверхность в R4 с плоской связностью,
плоской нормальной связностью и постоянными коэффициентами аффинной фундаментальной
формы.
Лемма доказана.
В [13] дана классификация невырожденных двумерных поверхностей в R4 с плоской связ-
ностью и плоской нормальной связностью. Выберем из них поверхности с постоянными ко-
эффициентами аффинной фундаментальной формы и двумерным отображением Вейнгартена.
Поверхностями с данными свойствами являются комплексные кривые (эллиптический класс) и
произведения двух плоских кривых (гиперболический класс). Вырожденными двумерными по-
верхностями в R4 с заданными свойствами являются линейчатые поверхности (параболический
класс). Рассмотрим каждый случай отдельно.
Погружения гиперболического класса. Поскольку погружение M2 → R4 с заданными
свойствами является произведением двух плоских кривых, радиус-вектор ~ρ задается следую-
щим образом:
~ρ(u1, u2) = ~ϕ(u1) + ~ψ(u2), (34)
где
~ϕ(u1) = {ϕ1(u1), ϕ2(u1), 0, 0, 0, . . . , 0},
~ψ(u2) = {0, 0, ψ1(u2), ψ2(u2), 0, . . . , 0}.
Разложения Гаусса для подмногообразия (32) с заданной вектор-функцией (34) таковы:
∂2~r
∂u1∂u1
= ~ϕ′′(u1) = ξ1(u
1),
∂2~r
∂u2∂u2
= ~ψ′′(u2) = ξ2(u
2),
∂2~r
∂ui∂uj
= 0.
Из разложения Вейнгартена (2) и условия на формы трансверсальной связности (33) получаем
условия на ~ϕ(u1), ~ψ(u2) :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПОГРУЖЕНИЯ Mn → Rn+2 С ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 1297
~ϕ ′′′ = −s1(u1)~ϕ ′,
~ψ′′′ = −s2(u2)~ψ′,
(35)
где S1e1 = s1(u1)e1, S2e2 = s2(u2)e2 и, кроме того,
dim Span(~ϕ′(u1), ~ϕ′′(u1), ~ψ′(u2), ~ψ′′(u2)) = 4 ∀u1, u2, (36)
Span означает линейную оболочку соответствующих векторов. Следовательно, существует си-
стема координат, в которой радиус-вектор подмногообразия гиперболического класса с плоской
связностью и нулевой кубической формой имеет вид
~r(u1, . . . , un) = {ϕ1(u1), ϕ2(u1), ψ1(u2), ψ2(u2), u3, . . . , un}
с условиями (35), (36).
Погружения эллиптического класса. Поскольку погружение M2 → R4 с заданными
свойствами является комплексной кривой, радиус-вектор ~ρ задается следующим образом:
~ρ(u1, u2) = {f1(u1, u2), f2(u1, u2), g1(u1, u2), g2(u1, u2), 0, . . . , 0}, (37)
где fk(u1, u2) = Re F k(z), gk(u1, u2) = Im F k(z), u1 + iu2 = z.
Разложения Гаусса для подмногообразия (32) с заданной вектор-функцией ~ρ(u1, u2) таковы:
∂2~r
∂u1∂u1
= ξ1,
∂2~r
∂u1∂u2
= ξ2,
∂2~r
∂u2∂u2
= −ξ1,
∂2~r
∂ui∂uj
= 0.
Из уравнений Коши – Римана
∂fk
∂u1
=
∂gk
∂u2
,
∂fk
∂u2
= −∂g
k
∂u1
получаем условия на операторы
Вейнгартена
S2e1 = S1e2, S2e2 = −S1e1.
Пусть S1e1 = λe1 + µe2, тогда из уравнений Риччи (7) при β = 1, X = e1, Y = e2 и (33)
получаем hα(e1, S1e2) = hα(e2, S1e1). Поскольку h111 = −h122 = 1, h112 = 0, h211 = h222 =
= 0, h212 = 1, имеем
S1e1 = λe1 + µe2, S1e2 = −µe1 + λe2.
Из уравнений Кодацци (6) для S при X = e1, Y = e2 следует, что ∇e1(S1e2) = ∇e2(S1e1),
∇e2(S1e2) = −∇e1(S1e1), т. е.
∂λ
∂u1
=
∂µ
∂u2
,
∂λ
∂u2
= − ∂µ
∂u1
.
Таким образом, функции λ(u1, u2) и µ(u1, u2) являются действительной и мнимой частями
некоторой функции ζ(z) комплексной переменной. Поскольку формы трансверсальной связ-
ности нулевые, из разложений Вейнгартена (2) получаем следующие условия на функции
F k(z) : F 1(z), F 2(z) принадлежат фундаментальной системе решений (за исключением по-
стоянного решения) дифференциального уравнения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1298 Е. А. ШУГАЙЛО
d3F
dz3
= −ζ(z)
dF
dz
. (38)
Следовательно, существует система координат, в которой радиус-вектор подмногообразия эл-
липтического класса с плоской связностью и нулевой кубической формой имеет вид
~r =
{
f1(u1, u2), f2(u1, u2), g1(u1, u2), g2(u1, u2), u3, . . . , un
}
.
Здесь функции f1, f2, g1 и g2 удовлетворяют условиям (37) и (38).
Погружения параболического класса. Поскольку коэффициенты аффинной фундаменталь-
ной формы постоянные, то существуют параметризация погружения и базис трансверсального
распределения такие, что h111 = 1, h112 = h122 = 0, h211 = h222 = 0, h212 = 1. Радиус-вектор
~ρ(u1, u2) задается следующим образом:
~ρ(u1, u2) = ~ϕ(u1) + u2 ~ψ(u1). (39)
Базисные касательные векторы подмногообразия (32) имеют вид
∂~r
∂u1
= ~ϕ′(u1) + u2 ~ψ′(u1),
∂~r
∂u2
= ~ψ(u1),
∂~r
∂ui
= ~ai, i = 3, n.
Разложения Гаусса запишутся в виде
∂2~r
∂u1∂u1
= ~ϕ′′(u1) + u2 ~ψ′′(u1) = ξ1,
∂2~r
∂u1∂u2
= ~ψ′(u1) = ξ2,
∂2~r
∂ui∂uj
= 0.
Очевидно, что в данном случае операторы Вейнгартена имеют следующие свойства:
S2e1 = S1e2, S2e2 = 0.
Пусть S1e1 = s11e1 + s21e2, S1e2 = s12e1 + s22e2. Тогда из уравнений Риччи (7) при β = 1, X =
= e1, Y = e2 с учетом (33) получаем
h1(e1, S1e2)− h1(e2, S1e1) = s12 = 0, h2(e1, S1e2)− h2(e2, S1e1) = s22 − s11 = 0,
S1e1 = s11e1 + s21e2, S1e2 = s11e2.
Из уравнений Кодацци (6) для S1 при X = e1, Y = e2 следует, что ∇e1(S1e2) = ∇e2(S1e1),
т. е.
∂s11
∂u1
=
∂s21
∂u2
,
∂s11
∂u2
= 0.
Следовательно, s11 = λ(u1), s21 = λ′(u1)u2 + µ(u1). Таким образом, разложения Вейнгартена
(2) дают условия на вектор-функции ~ϕ(u1), ~ψ(u1) :
~ϕ ′′′ + u2 ~ψ ′′′ = −λ(~ϕ′ + u2 ~ψ′)− (λ′u2 + µ)~ψ,
~ψ ′′ = −λ~ψ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АФФИННЫЕ ПОГРУЖЕНИЯ Mn → Rn+2 С ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТЬЮ 1299
Продифференцировав второе уравнение и подставив в первое, получим
~ϕ ′′′ = −λ ~ϕ ′ − µ~ψ,
~ψ ′′ = −λ~ψ.
(40)
Кроме того, для регулярности погружения необходимо выполнение условия
dim Span( ~ϕ ′(u1), ~ϕ ′′(u1), ~ψ(u1), ~ψ ′(u1)) = 4 ∀u1. (41)
Следовательно, существует система координат, в которой радиус-вектор подмногообразия па-
раболического класса с плоской связностью и нулевой кубической формой имеет вид
~r (u1, . . . , un) = {ϕ1(u1) + u2ψ1(u1), . . . , ϕ4(u1) + u2ψ4(u1), u3, . . . , un},
и выполнены условия (40), (41).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 3. Произвольное параллельное аффинное погружение f : Mn → Rn+2 максималь-
ной точечной коразмерности с плоской связностью и двумерным отображением Вейнгартена
представляет собой цилиндр с (n−2)-мерной образующей, базой цилиндра является двумерная
поверхность в R4 одного из трех типов:
1) произведение двух плоских кривых (34) с условиями (35), (36);
2) комплексная кривая (37) с условием (38);
3) линейчатая поверхность (39) с условиями (40), (41).
Подмногообразие эллиптического класса не может иметь одномерного отображения Вейн-
гартена. Если подмногообразие гиперболического или параболического классов имеет одномер-
ное отображение Вейнгартена, то оно может быть параметризовано радиусом-вектором (31).
7. Пример. Погружение R3 → R5 с одномерным отображением Вейнгартена и триви-
альным ядром аффинной фундаментальной формы
~r (x, y, z) =
{
x,
1
2
x2,
1
6
x3 + y, z,
1
24
x4 + xy +
1
2
z2
}
.
Касательные векторы:
~r ′x =
{
1, x,
1
2
x2, 0,
1
6
x3 + y
}
, ~r ′y = {0, 0, 1, 0, x}, ~r ′z = {0, 0, 0, 1, z}.
Разложения Гаусса:
~r ′′xx =
{
0, 1, x, 0,
1
2
x2
}
= ξ1, ~r ′′xy = {0, 0, 0, 0, 1} = ξ2, ~r ′′yy = 0, ~r ′′xz = 0,
~r ′′yz = 0, ~r ′′zz = {0, 0, 0, 0, 1} = ξ2.
Разложения Вейнгартена:
(ξ1)
′
x = {0, 0, 1, 0, x} = ~r ′y, (ξ1)
′
y = (ξ2)
′
x = (ξ2)
′
y = (ξ1)
′
z = (ξ2)
′
z = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
1300 Е. А. ШУГАЙЛО
Таким образом, для данного погружения:
символы Кристоффеля Γkij = 0;
компоненты аффинной фундаментальной формы
h1 =
1 0 0
0 0 0
0 0 0
, h2 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
;
операторы Вейнгартена S1e1 = −e2, S1e2 = S1e3 = 0, S2 ≡ 0;
формы трансверсальной связности τβα (ei) = 0.
Очевидно, что в данном случае кубическая форма является нулевой.
1. Nomizu K., Sasaki T. Affine differential geometry. – Cambridge Univ. Press, 1994. – 264 p.
2. Lumiste U. Submanifolds with parallel fundamental form // Handb. Different. Geometry. – Amsterdam: Elsevier,
2000. – Vol. I. – P. 779 – 864.
3. Ferus D. Immersion with parallel second fundamental form // Math. Z. – 1974. – 140. – S. 87 – 93.
4. Vrancken L. Parallel affine immersions with maximal codimention// Tohoku Math. J. – 2001. – 53. – P. 511 – 531.
5. Scharlach C., Vrancken L. Parallel surfaces in affine 4-space// Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. – 2003. – 73. –
P. 167 – 179.
6. Nomizu K., Pinkall U. On the geometry of affine immersions // Math. Z. – 1987. – 195. – S. 165 – 178.
7. Nomizu K., Vrancken L. A new equiaffine theory for surfaces in R4 // Int. J. Math. – 1993. – 4. – P. 127 – 165.
8. Magid M., Vrancken L. Affine surfaces in R5 with zero cubic form // Different. Geom. Appl. – 2001. – 14(2). –
P. 125 – 136.
9. Dillen F., Vrancken L. Parallel hypersurfaces of affine spaces// Sem. mat. Messina Ser. – 1993. – 2(16). – P. 71 – 80.
10. Shugailo O. O. On affine immersions with flat connections // J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2012. – 8, № 1. –
P. 90 – 105.
11. Nomizu K., Opozda B. On affine hypersurfaces with parallel nullity // J. Math. Soc. Jap. – 1992. – 44, № 4. –
P. 693 – 699.
12. Shugailo O. O. Affine submanifolds of rank two // J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2013. – 9, № 2. – P. 227 – 238.
13. Magid M., Vrancken L. Flat affine surfaces in R4 with flat normal connection // Geom. dedic. – 2000. – 81. – P. 19 – 31.
Получено 22.06.12,
после доработки — 02.01.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-2509 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:49Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/01/5f590dae6208b77a590c9f26994ffc01.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25092020-03-18T19:17:02Z Parallel Affine Immersions ${M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ with Flat Connection Параллельные аффинные погружения ${M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ с плоской связностью Shugailo, E. A. Шугайло, Е. А. Шугайло, Е. А. We present a classification of parallel affine immersions $f : M^n→{M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ with flat connection according to the rank of the Weingarten mapping. Наведено класифікацію паралельних афiнних занурень $f : M^n→{M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ з пласкою зв'язнiстю в залежностi вiд рангу відображення Вейнгартена. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2509 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 9 (2013); 1283–1300 Український математичний журнал; Том 65 № 9 (2013); 1283–1300 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2509/1783 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2509/1784 Copyright (c) 2013 Shugailo E. A. |
| spellingShingle | Shugailo, E. A. Шугайло, Е. А. Шугайло, Е. А. Parallel Affine Immersions ${M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ with Flat Connection |
| title | Parallel Affine Immersions ${M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ with Flat Connection |
| title_alt | Параллельные аффинные погружения ${M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ с плоской связностью |
| title_full | Parallel Affine Immersions ${M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ with Flat Connection |
| title_fullStr | Parallel Affine Immersions ${M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ with Flat Connection |
| title_full_unstemmed | Parallel Affine Immersions ${M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ with Flat Connection |
| title_short | Parallel Affine Immersions ${M^n}\to {{\mathbb{R}}^{n+2 }}$ with Flat Connection |
| title_sort | parallel affine immersions ${m^n}\to {{\mathbb{r}}^{n+2 }}$ with flat connection |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2509 |
| work_keys_str_mv | AT shugailoea parallelaffineimmersionsmntomathbbrn2withflatconnection AT šugajloea parallelaffineimmersionsmntomathbbrn2withflatconnection AT šugajloea parallelaffineimmersionsmntomathbbrn2withflatconnection AT shugailoea parallelʹnyeaffinnyepogruženiâmntomathbbrn2sploskojsvâznostʹû AT šugajloea parallelʹnyeaffinnyepogruženiâmntomathbbrn2sploskojsvâznostʹû AT šugajloea parallelʹnyeaffinnyepogruženiâmntomathbbrn2sploskojsvâznostʹû |