Approximation of Periodic Functions of Many Variables in Metric Spaces by Piecewise-Constant Functions
We prove the direct and inverse Jackson- and Bernstein-type theorems for averaged approximations of periodic functions of many variables by piecewise-constant functions with uniform partition of the period torus in metric spaces with integral metric given by a function ψ of the type of modulus of co...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2510 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508417916928000 |
|---|---|
| author | Agoshkova, T. A. Агошкова, Т. А. Агошкова, Т. А. |
| author_facet | Agoshkova, T. A. Агошкова, Т. А. Агошкова, Т. А. |
| author_sort | Agoshkova, T. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:17:19Z |
| description | We prove the direct and inverse Jackson- and Bernstein-type theorems for averaged approximations of periodic functions of many variables by piecewise-constant functions with uniform partition of the period torus in metric spaces with integral metric given by a function ψ of the type of modulus of continuity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Т. А. АГОШКОВА, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10 1303
УДК 517.5
Т. А. Агошкова (Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. трансп.)
АППРОКСИМАЦИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
The direct and converse Jackson- and Bernstein-type theorems are proved for the mean approximations of periodic
functions of many variables by piecewise constant functions with uniform segmentation of the period torus in metric
spaces with integral metrics defined by a function ! of the type of continuity modulus.
Для метричних просторів з інтегральною метрикою, визначеною функцією ! типу модуля неперервності,
доведено в багатовимірному випадку пряму та обернену теореми типу Джексона та Бернштейна для усереднених
наближень періодичних функцій кусково-сталими функціями з рівномірним розбиттям тора періоду.
1. Введение. Рассмотрим пространство Rm точек x = (x1,… , xm ) , m ! 1 . Пусть f (x) —
действительнозначные функции, имеющие период 1 по каждой переменной; T m = [0, 1)m —
основной тор периодов; L0 ! L0 (T m ) — множество всех таких функций, которые почти всю-
ду на T m конечны и измеримы. С помощью функции ! y( ) = y
1+ y
, y !R+1 , в L0 вводит-
ся метрика
! ( f , g) := " f (x) # g(x)( ) dx
T m
$ , (1)
порождающая сходимость по мере.
Пусть теперь !(y) — функция типа модуля непрерывности, которая определена на R+1 ,
т. е. удовлетворяет условиям !(0) = 0 , !(y) > 0 для y > 0 ; !(y) непрерывна; !(y) не-
убывающая; !(x + y) " !(x) + !(y) для всех x , y !R+1 . В таком случае функционал ви-
да (1) удовлетворяет аксиомам метрики. Обозначим полученное метрическое пространство
следующим образом:
L! " L! (T m ) = f #L0(T m ) : f ! := ! f (x)( ) dx
T m
$ < %
&
'
(
)(
*
+
(
,(
.
Для f !L" и t !Rm положим
!t f (x) = ft (x) " f (x) , где ft (x) = f (x + t) .
1304 Т. А. АГОШКОВА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
Под модулем непрерывности функции f в пространстве L! будем понимать
! f , h( )" := sup
t # $ h
%t f " ,
где t !Rm , t ! := max1"i"m ti и h !R+1 .
На каждой из m координатных осей отрезок 0, 1[ ) разбиваем на отрезки равной длины
с помощью n равноотстоящих точек вида
s
n
, s = 0, 1,… , n ! 1 .
С их помощью получим разбиение основного тора T m на nm кубов
,i1,… , im ; n!
i j = 0, 1,… , n ! 1 , j = 1,… , m , вида
i1,… , im ; n! = x "T m :
i j
n
# x j <
i j + 1
n
, j = 1,… , m$
%
&
'
(
)
. (2)
Обозначим через Ln…n пространство 1-периодических кусочно-постоянных функций ln…n ,
определенных следующим образом:
ln…n (x) = bi1, i2 ,…, im
i1, i2 ,…, im = 0
n!1
" #
i1,…, im ; n$
(x) , (3)
где bi1, i2 ,…, im !R1 и
!
i1,…, im ; n"
(x) =
1, x # ,i1,… , im ; n"
0, x $ i1,… , im ; n" .
%
&
'
('
Пусть
En…n f( )! = infln…n"Ln…n f # ln…n ! — наилучшее приближение на периоде в
метрике L! функции f элементами подпространства Ln…n .
Под усредненным приближением будем понимать
En…n f( )! = inf
ln…n" Ln…n
ft # ln…n ! dt
T m
$ .
Корректность определения см. в [1].
Пусть E0 f( )! = inf f " c ! ; c #R
1{ } — наилучшее приближение на периоде в
метрике L! функции f константой.
В работах [1, 2] исследовалась аппроксимация кусочно-постоянными функциями в
АППРОКСИМАЦИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ … 1305
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
L! (T 1) и были получены следующие результаты:
sup
f ! L"
E0 f( )"
# f , 1 / 2( )"
= 1 , sup
f ! L"
inf
t
En ft( )"
# f , 1 / n( )"
= 1 ,
(4)
! f , 1
2n
"
#$
%
&' (
)
1
2n*2
2k E2k f( )(
k=1
n
+ .
В настоящей работе доказаны аналогичные результаты для приближений периодических
функций многих переменных.
2. Прямая теорема Джексона с точной константой.
Теорема 1. Для любой функции f !L" и n = 1, 2,… имеют место следующие ра-
венства:
sup
f !L"
inf
t
En...n ft( )"
# f , 1
n
$
%&
'
() "
= sup
f !L"
En...n f( )"
# f , 1
n
$
%&
'
() "
= 1 , (5)
sup
f !L"
E0 f( )"
# f , 1
2
$
%&
'
() "
= 1 . (6)
Доказательство. Докажем сначала равенство (6).
Для оценки сверху учтем, что при вычислении достаточно ограничиться плотным в L!
множеством непрерывных функций. Для непрерывной функции f получаем
E0 ( f )! " f (x) # f (t)dt
T m
$
!
" f (%) # f (t) !
T m
$ dt = ! f (x) # f (t)( )
T m
$
T m
$ dxdt =
= ! f (x + t) " f (t)( )
T m
#
T m
# dxdt = $t f !
T m
# dt = $t f ! dt
"
1
2
,
1
2
%
&' )m
# ( ) f , t( ) dt
"
1
2
,
1
2
%
&' )m
# =
= 2m ! f , t( ) dt
0,
1
2
"
#$ )m
% & ! f , 1
2
'
()
*
+, -
.
Установим оценку снизу. Для каждой i -й переменной соответствующий отрезок 0,1[ )
1306 Т. А. АГОШКОВА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ее изменения разобьем равноотстоящими точками xi; j =
j
q ! 1
, j = 0, 1, ..., q ! 1 , где q —
простое число. Использовав функции fq y( ) , y !R1 , построенные В. А. Юдиным (см. [3]),
определим многомерный аналог этих функций. Пусть Fq (x) = fq (xi )i=1
m! , где fq (xi ) =
= 1
2m
j
q
!
"#
$
%&
при xi ! xi; j"1; xi; j#$ ) . Под
j
q
!
"#
$
%&
, j = 1, ..., q ! 1 , будем понимать символ Ле-
жандра [4, с. 69],
j
q
!
"#
$
%&
!
"#
= 1, если существует решение уравнения x2 ! j mod q( ) ,
j
q
!
"#
$
%&
=
= – 1 в противном случае
!
"#
.
Вычислим E0 Fq( )! . Для любой константы c !R1 , так как число вычетов равно числу
невычетов, имеем
Fq ! c "
= " Fq (x) ! c( )
T m
# dx = ...
0
1
#
0
1
#
m!1
!
" fq (xi ) ! c
i=1
m
$
%
&
'
(
)
* dx1
x1; j!1
x1; j
#
j=1
q!1
+
%
&
'
'
(
)
*
*
dx2…dxm =
=
…
0
1
!
0
1
!
m"1
!"#
1
q " 1
q " 1
2
#
1
2m
fq (xi )
i=2
m
$ " c
%
&
'
(
)
*
%
&
'
%
&
' +
+
q ! 1
2
"
1
2m
fq (xi )
i=2
m
# + c
$
%
&
'
(
)
'
(
)
'
(
) dx2…dxm =
=
1
2
…
0
1
!
0
1
!
m"1
!"#
#
1
2m
fq (xi )
i=2
m
$ " c
%
&
'
(
)
*
%
&
' + #
1
2m
fq (xi )
i=2
m
$ + c
%
&
'
(
)
*
(
)
* dx2…dxm = …
… =
1
2m
2m!1"
1
2
! c#
$%
&
'(
+ 2m!1"
1
2
+ c#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
=
1
2
"
1
2
! c#
$%
&
'(
+ "
1
2
+ c#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
.
В результате Fq ! c "
=
1
2
"
1
2
! c#
$%
&
'(
+ "
1
2
+ c#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
и, следовательно,
Fq ! c "
= Fq + c "
. (7)
Поэтому, учитывая (7), получаем
АППРОКСИМАЦИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ … 1307
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
2 Fq ! c "
= Fq ! c "
+ Fq + c "
# Fq ! c + Fq + c "
= 2Fq "
=
= ! 2 1
2m
"
#$
%
&'
m"
#
$
$
%
&
'
'
T m
( dx1 … dxm = !(1) .
Значит, Fq ! c "
#
1
2
"(1) . Далее,
Fq ±
1
2 !
=
1
2
!
1
2
"
1
2
#
$%
&
'(
+ !
1
2
+
1
2
#
$%
&
'(
#
$%
&
'(
=
1
2
!(0) + !(1)( ) =
1
2
!(1) .
Поэтому
E0 Fq( )! =
c
inf Fq " c !
= Fq ±
1
2 !
=
1
2
! 1( ) . (8)
Вычислим ! Fq ,
1
2
"
#$
%
&' (
. Поскольку !tFq "
— кусочно-линейная функция по каждой
переменной ti , i = 1,… , m , с узлами в точках разбиения, то
! Fq ,
1
2
"
#$
%
&' (
=
t ) * 1
2
sup +t Fq (
=
tk
sup +tk Fq (
, (9)
где tk = t1; k1 , t2; k2 ,… , tm; km( ) , ti;ki =
ki
q ! 1
, ki = 0, 1,… , q ! 1, i = 1,… , m .
Если a = ±1 или 0, то ! a( ) = !(1) a2 , поэтому
!tk Fq "
= !t1; k1 ,…, tm; km Fq "
= "(1) fq (xi + ti; ki )
i=1
m
# $ fq (xi )
i=1
m
#
2
T m
% dx1…dxm =
= !(1) fq (xi + ti; ki )
i=1
m
"
T m
#
2
dx1…dxm $ 2 fq (xi + ti; ki )
i=1
m
" fq (xi )
T m
# dx1…dxm +
%
&
'
'
+ fq (xi )
i=1
m
!
T m
"
2
dx1…dxm
#
$
%
%
=
1308 Т. А. АГОШКОВА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
= 2!(1) 1
2m
"
#$
%
&'
m"
#
$
$
%
&
'
'
2
( fq (xi + ti; ki )
i=1
m
) fq (xi )
T m
* dx1…dxm
"
#
$
$
%
&
'
'
=
= 2!(1) 1
4
" fq (xi + ti; ki )
i=1
m
# fq (xi )
T m
$ dx1…dxm
%
&
''
(
)
**
= : 2!(1) 1
4
" I%
&'
(
)* . (10)
Для вычисления интеграла I в (10) используем свойства символов Лежандра [4, с. 82]
j + p
q
!
"#
$
%&
j
q
!
"#
$
%&j=0
q'1
( = '1 , p = 1, ..., q ! 1 .
Тогда
I =
1
2m
!
"#
$
%&x1; j'1
x1; j
(
j=1
q'1
)
2
j + k1
q
!
"#
$
%&
j
q
!
"#
$
%&
dx1
!
"
#
#
#
$
%
&
&
&
fq (xi + ti; ki ) fq (xi )
i=2
m
* dx2…
T m-1
( dxm =
=
1
2
!
"#
$
%&
2/m
'1( ) 1
q ' 1
fq (xi + ti; ki ) fq (xi )
i=2
m
( dx2…
T m'1
) dxm = …
… = 1
2
!
"#
$
%&
2/m
'1( ) 1
q ' 1
!
"
#
$
%
&
m
= !1( )m
4 q ! 1( )m
.
Пусть Rm — пространство нечетной размерности, тогда интеграл I в (10)
I =
!1
4 q ! 1( )m
.
В результате имеем
!t Fq "
=
1
2
"(1) 1+ 1
q # 1( )m
$
%&
'
()
. (11)
Учитывая (8) – (11), для пространств нечетной размерности получаем
E0 Fq( )!
" Fq ,
1
2
#
$%
&
'( !
= 1) 1
1+ q ) 1( )m
*
q*+
1 .
АППРОКСИМАЦИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ … 1309
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
Для пространства четной размерности Rm интеграл I в (10)
I =
1
4 q ! 1( )m
и
!tk Fq "
=
1
2
"(1) 1# 1
q # 1( )m
$
%&
'
()
. (12)
Пусть tk = t1; k1 , t2; k2 ,… , tm; km( ) такое, что 2p ! 1 , p = 1, 2,…,m/2 , — количество
ti;ki , не равных нулю. Тогда
I =
1
2
!
"#
$
%&
2/m
('1) 1
q ' 1
!
"
#
$
%
&
2 p'1
1
2
!
"#
$
%&
(2/m)(m'2 p+1)
=
'1
4 q ' 1( )2 p'1
,
!tk Fq "
= 2"(1) 1
4
+
1
4 q # 1( )2 p#1
$
%&
'
()
=
"(1)
2
1+ 1
q # 1( )2 p#1
$
%&
'
()
. (13)
Учитывая (9), (12), (13), получаем
! Fq ,
1
2
"
#$
%
&' (
=
((1)
2
1+ 1
q ) 1
"
#$
%
&'
.
Следовательно, для пространств четной размерности
E0 Fq( )!
" Fq ,
1
2
#
$%
&
'( !
= 1) 1
1+ q ) 1( ) *
q*+
1 .
Таким образом, соотношение (6) доказано.
Докажем равенства (5). Поскольку
inf
t
En…n ft( )! = inf
t
inf
ln…n" Ln…n
ft # ln…n ! $ inf
ln…n " Ln…n
ft # ln…n ! dt
T m
% = En…n f( )! ,
! f , 1
n
"
#$
%
&' (
= sup
t ) * 1
n
+t f ( , nm +u f ( du
0; 1
n
-
./
%
&'
m
0 ,
то
sup
f !L"
inf
t
En…n ft( )"
# f , 1
n
$
%&
'
() "
* sup
f ! L"
En…n f( )"
nm +u f " du
0;1/n[ )m
,
. (14)
1310 Т. А. АГОШКОВА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
Для оценки сверху правой части (14) достаточно ограничиться всюду плотным в L!
множеством непрерывных функций. В качестве аппроксимирующей функции выберем опре-
деленную функцию ln…n f , x( ) из Ln…n следующим образом:
ln…n f , x( ) = f
i1
n
, … , im
n
!
"#
$
%&i1, i2 ,…, im = 0
n'1
( )*i1, i2 ,…, im ; n
(x) ,
En…n f( )! = inf
ln…n"Ln…n
ft # ln…n ! dt
T m
$ % ft # ln…n ft( ) ! dt
T m
$ =
= ! ft (x) " ln…n ft , x( )( )
T m
# dxdt
T m
# =
= … ! ft x1, ... , xm( ) " ft
i1
n
, ... , im
n
#
$%
&
'(
&
'(
#
$%im
n
im +1
n
) dx1…dxmdt =
i1
n
i1+1
n
)
i1, i2 , ..., im = 0
n"1
*
T m
)
= ... !
T m
"
#
$
%%im
n
im +1
n
" f t1 + x1 &
i1
n
,… , tm + xm &
im
n
#
$%
'
() &#
$%i1
n
i1+1
n
"
i1, i2 ,…, im = 0
n&1
*
! f t1, ..., tm( ) "
#$
dt
"
#
$ dx1…dxm =
= ! fx (t) " f (t)( ) dt
T m
#
$
%
&&
'
(
))
0; 1
n
*
+,
'
()
m
#
i1, i2 ,…, im = 0
n"1
- dx = nm . x f ! dx
0; 1
n
*
+,
'
()
m
# .
Необходимая оценка сверху для правой части (14) установлена.
Для оценки левой части (14) снизу используем введенную выше функцию Fq и произ-
вольную ln…n !Ln…n , определенную в (3).
Для произвольного t , учитывая (8), для функции Fq nx( ) получаем оценку приближе-
ния снизу:
Fq, t (nx) ! ln…n (x) "
= … " fq, t j ,k nx j( )
j=1
m
# ! bi1, i2 ,…, im
$
%
&
'
(
) dx1…dxm
im
n
im +1
n
*
i1
n
i1+1
n
*
i1, i2 ,…, im = 0
n!1
+ =
АППРОКСИМАЦИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ … 1311
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
=
1
nm
… ! fq,t j ,k x j( )
j=1
m
" # bi1, i2 ,…, im
$
%
&
'
(
) dx1…dxm
im
im +1
*
i1
i1+1
*
i1, i2 ,…, im = 0
n#1
+ =
=
1
nm
! Fq, t (x) " bi1, i2 ,…, im( ) dx
0;1[ )m
#
i1, i2 ,…, im = 0
n"1
$ %
1
nm
nmE0 Fq, t( )! =
1
2
!(1) .
Следовательно,
En…n Fq, t n !( )( )" = Fq, t n !( ) ± 1
2 "
=
"(1)
2
,
и для m -мерного пространства четной размерности при q! " получаем
inf
t
En…n Fq, t n !( )( )"
# Fq n !( ) , 1/n( )"
=
"(1)/2
("(1)/2) 1 + 1/(q $ 1)m( ) =
(q $ 1)m ± 1
(q $ 1)m + 1
= 1$ 1
1+ (q $ 1)m
% 1 .
Для m -мерного пространства нечетной размерности при q! " имеем
inf
t
En…n Fq, t n !( )( )"
# Fq n !( ) , 1/n( )"
=
"(1)/2
("(1)/2) 1 + 1/(q $ 1)( ) = 1$ 1
q
% 1 .
Теорема 1 доказана.
3. Обратная теорема Джексона. Докажем аналог обратной теоремы Джексона (4) для
усредненных приближений функций многих переменных.
Теорема 2. Для m > 1 , любой функции f !L" и всех n = 1, 2,… выполняются нера-
венства
! f , 1
2n
"
#$
%
&' (
)
Cm
2n*2
2k E2k…2k f( )(
k=1
n
+ , (15)
где константа Cm зависит только от m .
При доказательстве использован стандартный метод получения таких неравенств, основан-
ный на неравенствах типа С. Н. Бернштейна для аппроксимирующих функций.
Лемма 1. Для любой функции ln…n из Ln…n при h ! 0, 1
n
"
#$
%
&'
и для t ! " h выполня-
ется неравенство
!t ln…n " # Cmnh ln…n " .
Доказательство. Пусть ln…n !Ln…n . Тогда
1312 Т. А. АГОШКОВА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ln…n (x) ! = … ! bi1, i2 ,…, im( )
im
n
im +1
n
"
i1
n
i1+1
n
"
i1, i2 ,…, im = 0
n#1
$ dx1…dxm =
=
1
nm
! bi1, i2 ,…, im( )
i1, i2 ,…, im = 0
n"1
# . (16)
Поскольку h ! 1/n , то
!t ln...n (x) " = " ln...n (x + t) # ln...n (x)( ) dx
T m
$ %
! " bi1, i2 ,…, im( )
i1, i2 ,…, im = 0
n#1
$ µ %i1+nt1...tm +ntm ;n /%i1,i2 ,...,im ;n( ) ,
где µ(A) — m -мерная мера Лебега множества A .
Из определения равномерного разбиения (2) получаем
µ !i1, i2 ,…, im ; n( ) =
1
nm
.
Тогда
µ !i1+nt1…im + ntm ; n /!i1, i2 ,…, im ; n( ) =
1
nm
"
1
n
" t j
#
$%
&
'(j=1
m
) =
1
nm
1" 1" nt j( )
j=1
m
)
#
$
%
&
'
( *
!
1
nm
1" 1" nh( )m( ) !
1
nm
Cmnh . (17)
Из (16) и (17) следует
!t ln…n (x) " #
1
nm
Cmnh " bi1, i2 ,…, im( )
i1, i2 ,…, im = 0
n$1
% = Cmnh ln…n (x) " .
Лемма 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Зафиксируем n . Из леммы 1 для k ! n имеем
! l2k…2k " l2k-1…2k-1 ,
1
2n
#
$%
&
'( )
* Cm2k
1
2n
l2k…2k " l2k-1…2k-1 )
= Cm2k-n l2k…2k " l2k-1…2k-1 )
.
Для заданной f и произвольного ! > 0 выберем l2k…2k , k = 1,…, n , удовлетворяющие
условиям
ft ! l2k…2k "
dt
T m
# < E2k…2k f( )" + $ .
АППРОКСИМАЦИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ … 1313
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
Тогда
! f , 1
2n
"
#$
%
&' (
= ! ft ,
1
2n
"
#$
%
&' (
dt
T m
) * ! ft + l2n…2n ,
1
2n
"
#$
%
&' (
dt
T m
) + ! l2n…2n ,
1
2n
"
#$
%
&' (
=
= ! ft " l2n…2n ,
1
2n
#
$%
&
'( )
dt
T m
* + ! l1...1 + l2k…2k " l2k-1…2k-1( )
k=1
n
+ , 1
2n
#
$%
&
'( )
,
! 2 E2n…2n f( )" + #( ) + $ l2k…2k % l2k-1…2k-1 ,
1
2n
&
'(
)
*+ "k=1
n
, !
! 2E2n…2n f( )" + 2# + Cm
2n
2k l2k…2k $ ft( ) + ft $ l2k-1…2k-1( ) "
T m
%
k=1
n
& dt !
! 2" + 2Cm
1
2n
2k2 E2k…2k f( )# + "( )
k=1
n
$ !
! 4Cm
1
2n
2k E2k…2k f( )" + 2 4Cm + 1( ) #
k=1
n
$ ,
и в силу произвольности ! отсюда следует (15).
Теорема 2 доказана.
В терминах усредненных приближений для функций многих переменных можно получить
конструктивную характеристику классов Липшица.
Следствие. Для любой функции f !L" и любого ! " 0,1( ) имеет место
эквивалентность
f !"#
$ % E2k…2k f( )# & A 1
2k
'
()
*
+,
$
, k = 1, 2,… ,
где
!"
# = f $L" : %K , & f , h( )" ' Kh# , h $ 0,1/2( ){ } ,
A , K — константы, не зависящие от k , f .
Доказательство. Необходимость. Согласно прямой теореме Джексона получаем
E2k…2k f( )! " # f , 1
2k
$
%&
'
() !
" K 1
2k
$
%&
'
()
*
, k = 1, 2,… .
1314 Т. А. АГОШКОВА
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
Достаточность. Из обратной теоремы Джексона следует
! f , 1
2n
"
#$
%
&' (
)
Cm
2n-2
2k E2k...2k f( )(
k=1
n
* )
CmA
4
1
2n
2k 1
2k
"
#$
%
&'k=1
n
*
+
=
=
CmA
4
1
2n
21!"( )
k=1
n
#
k
$
CmA
4
1
2n
2n 1!"( ) =
CmA
4
1
2n
%
&'
(
)*
"
.
Автор выражает благодарность С. А. Пичугову, под руководством которого выполнена
эта работа.
1. Пичугов С. А. Аппроксимация измеримых периодических функций по мере кусочно-постоянными функциями
// Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 5. – С. 711 – 715.
2. Пичугов С. А. Приближение константой периодических функций в метрических пространствах ! L( ) // Укр.
мат. журн. – 1994. – 46, № 8. – С. 1095 – 1098.
3. Пичугов С. А. Константа Юнга пространства Lp // Мат. заметки. – 1988. – 43, № 5. – С. 604 – 614.
4. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1981. – 176 с.
Получено 25.09.12,
после доработки — 24.02.13
|
| id | umjimathkievua-article-2510 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:53Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2b/45d5773ae3011128cba91405de051b2b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25102020-03-18T19:17:19Z Approximation of Periodic Functions of Many Variables in Metric Spaces by Piecewise-Constant Functions Аппроксимация в метрических пространствах периодических функций многих переменных кусочно-постоянными функциями Agoshkova, T. A. Агошкова, Т. А. Агошкова, Т. А. We prove the direct and inverse Jackson- and Bernstein-type theorems for averaged approximations of periodic functions of many variables by piecewise-constant functions with uniform partition of the period torus in metric spaces with integral metric given by a function ψ of the type of modulus of continuity. Для метричних просторів з інтегральною метрикою, визначеною функцією ψ типу модуля неперервності, доведено в багатовимірному випадку пряму та обернену теореми типу Джексона та Бернштейна для усереднених наближень періодичних функцій кусково-сталими функціями з рівномірним розбиттям тора періоду. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2510 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 10 (2013); 1303–1314 Український математичний журнал; Том 65 № 10 (2013); 1303–1314 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2510/1785 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2510/1786 Copyright (c) 2013 Agoshkova T. A. |
| spellingShingle | Agoshkova, T. A. Агошкова, Т. А. Агошкова, Т. А. Approximation of Periodic Functions of Many Variables in Metric Spaces by Piecewise-Constant Functions |
| title | Approximation of Periodic Functions of Many Variables in Metric Spaces by Piecewise-Constant Functions |
| title_alt | Аппроксимация в метрических пространствах периодических функций многих переменных кусочно-постоянными функциями |
| title_full | Approximation of Periodic Functions of Many Variables in Metric Spaces by Piecewise-Constant Functions |
| title_fullStr | Approximation of Periodic Functions of Many Variables in Metric Spaces by Piecewise-Constant Functions |
| title_full_unstemmed | Approximation of Periodic Functions of Many Variables in Metric Spaces by Piecewise-Constant Functions |
| title_short | Approximation of Periodic Functions of Many Variables in Metric Spaces by Piecewise-Constant Functions |
| title_sort | approximation of periodic functions of many variables in metric spaces by piecewise-constant functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2510 |
| work_keys_str_mv | AT agoshkovata approximationofperiodicfunctionsofmanyvariablesinmetricspacesbypiecewiseconstantfunctions AT agoškovata approximationofperiodicfunctionsofmanyvariablesinmetricspacesbypiecewiseconstantfunctions AT agoškovata approximationofperiodicfunctionsofmanyvariablesinmetricspacesbypiecewiseconstantfunctions AT agoshkovata approksimaciâvmetričeskihprostranstvahperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyhkusočnopostoânnymifunkciâmi AT agoškovata approksimaciâvmetričeskihprostranstvahperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyhkusočnopostoânnymifunkciâmi AT agoškovata approksimaciâvmetričeskihprostranstvahperiodičeskihfunkcijmnogihperemennyhkusočnopostoânnymifunkciâmi |