Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé Approximations for Some Humbert Series
By extending Dzyadyk’s method of generalized moment representations to the case of two-dimensional number sequences, we construct and study Padé approximants for some confluent Humbert hypergeometric series.
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2511 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508418173829120 |
|---|---|
| author | Holub, A. P. Chernetska, L. O. Голуб, А. П. Чернецька, Л. О. |
| author_facet | Holub, A. P. Chernetska, L. O. Голуб, А. П. Чернецька, Л. О. |
| author_sort | Holub, A. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:17:19Z |
| description | By extending Dzyadyk’s method of generalized moment representations to the case of two-dimensional number sequences, we construct and study Padé approximants for some confluent Humbert hypergeometric series. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53
А. П. Голуб, Л. О. Чернецька (Iн-т математики НАН України, Київ)
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ
ТА АПРОКСИМАЦIЇ ПАДЕ ДЕЯКИХ РЯДIВ ГУМБЕРТА
By means of the extension of Dzyadyk’s method of generalized moment representations to the case of two-dimensional
number sequences, we construct and investigate Padé approximants for some Humbert confluent hypergeometric series.
С помощью распространения метода обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка на случай двумер-
ных числовых последовательностей построены и исследованы аппроксиманты Паде для некоторых вырожденных
гипергеометрических рядов Гумберта.
Метод узагальнених моментних зображень, запропонований В. К. Дзядиком [1], можна поши-
рити на випадок двовимiрних числових послiдовностей [2].
Означення. Говоритимемо, що для двовимiрної числової послiдовностi {sk,m}∞k,m=0 справ-
джується узагальнене моментне зображення на добутку лiнiйних просторiв X та Y за
означеною на цьому добутку бiлiнiйною формою 〈., .〉 , якщо у просторi X вказано двовимiрну
послiдовнiсть елементiв {xk,m}∞k,m=0, а у просторi Y — двовимiрну послiдовнiсть елементiв
{yj,n}∞j,n=0 такi, що
sk+j,m+n = 〈xk,m, yj,n〉, k, j,m, n ∈ Z+. (1)
Такi зображення можуть бути використанi для побудови двовимiрних апроксимацiй Паде
формальних степеневих рядiв двох змiнних.
Теорема 1 [2]. Нехай формальний степеневий ряд двох змiнних має вигляд
f(z, w) =
∞∑
k,m=0
sk,mz
kwm (2)
i для двовимiрної послiдовностi {sk,m}∞k,m=0 справджується узагальнене моментне зображен-
ня вигляду (1). Тодi якщо для деяких N1, N2 ∈ N iснує нетривiальний узагальнений многочлен
YN1,N2 =
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
j,n yj,n
такий, що виконуються умови бiортогональностi
〈xk,m, YN1,N2〉 = 0
при (k,m) ∈H , де область H ⊂ Z2
+ обмежена графiком деякої функцiї ρ = ρ(ϕ), ϕ ∈ [0, π/2],
мiстить рiвно (N1 + 1) (N2 + 1)− 1 точку i при цьому c(N1,N2)
N1,N2
6= 0, то рацiональна функцiя
[N /D ]f (z, w) =
1
QN1,N2(z, w)
N1−1∑
k=0
N2−1∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,N2−nsk−j,m−n+
c© А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10 1315
1316 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
+zN1
N2−1∑
m=0
y(m)−N1∑
k=0
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
j,N2−n sk+j,m−n+
+ wN2
N1−1∑
k=0
x(k)−N2∑
m=0
zkwm
k∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,n sk−j,m+n
, (3)
де
QN1,N2(z, w) =
N1∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,N2−nz
jwn,
а x(k), y(m) — деякi функцiї з Z+ в Z+ такi, що x(k) > N2, y(m) > N1 для всiх значень k та
m, матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами
ряду (2) для всiх
(k,m) ∈ E = ([0, N1 − 1] × [0, N2 − 1]) ∪ {(k,m) : k ∈ [0, N1 − 1],m ∈ [N2, x(k)]}∪
∪{(k,m) : m ∈ [0, N2 − 1], k ∈ [N1, y(m)]}∪
∪{(k,m) : k > N1,m > N2, (k −N1,m−N2) ∈H }.
Тобто рацiональна функцiя (3) буде апроксимантою Паде ряду (2) зi знаменником, коефiцi-
єнти якого мають iндекси з областi
D = [0, N1] × [0, N2],
а коефiцiєнти чисельника — з областi
N = ([0, N1 − 1] × [0, N2 − 1]) ∪ {(k,m) : k ∈ [0, N1 − 1],m ∈ [N2, x(k)]}∪
∪{(k,m) : m ∈ [0, N2 − 1], k ∈ [N1, y(m)]}.
Для побудови зображень вигляду (1) зручно використати той факт, що задачу про двовимiрнi
узагальненi моментнi зображення, як i задачу про одновимiрнi узагальненi моментнi зображен-
ня, можна сформулювати в операторному виглядi. А саме, припустимо, що простори X та Y
є нормованими, i у просторi X iснують комутуючi мiж собою обмеженi лiнiйнi оператори A,
B : X →X такi, що
Axk,m = xk+1,m,
Bxk,m = xk,m+1
при всiх k,m ∈ Z+. Нехай також у просторi Y iснують обмеженi лiнiйнi оператори A?,
B? : Y → Y , спряженi до операторiв A та B вiдносно бiлiнiйної форми 〈., .〉 в тому розумiннi,
що для будь-яких x ∈X , y ∈ Y
〈Ax, y〉 = 〈x,A?y〉,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ПАДЕ . . . 1317
〈Bx, y〉 = 〈x,B?y〉.
Тодi зображення (1) можна записати у виглядi
sk,m =
〈
AkBmx0,0, y0,0
〉
, k,m ∈ Z+,
i ряд (2) буде збiжним в околi початку координат до аналiтичної функцiї, що має зображення
f(z, w) =
〈
R̂z(A)R̂w(B)x0,0, y0,0
〉
, (4)
де резольвентна функцiя R̂z(A) визначається рiвнiстю R̂z(A) = (I − zA)−1.
За умов теореми 1 справджуватиметься така формула для похибки апроксимацiї:
f(z, w)− [N /D ]f (z, w) =
1
QN1,N2(z, w)
zN1wN2
〈
R̂z(A)R̂w(B)x0,0, YN1,N2
〉
+
+zN1
N2−1∑
m=0
∞∑
k=y(m)−N1+1
zkwm
N1∑
j=0
m∑
n=0
c
(N1,N2)
j,N2−n sk+j,m−n+
+ wN2
N1−1∑
k=0
∞∑
m=x(k)−N2+1
zkwm
k∑
j=0
N2∑
n=0
c
(N1,N2)
N1−j,n sk−j,m+n
.
Нехай X = L [0, 1/2] ∩ C [1/2, 1] — простiр функцiй, заданих на [0, 1], iнтегровних на
[0, 1/2] та неперервних на [1/2, 1] з нормою
‖ · ‖X = ‖ · ‖L[0,1/2] + ‖ · ‖C[1/2,1].
Крiм того, нехай Y = C [0, 1/2] ∩ L [1/2, 1] — простiр функцiй, заданих на [0, 1], неперервних
на [0, 1/2] та iнтегровних на [1/2, 1] з нормою
‖ · ‖Y = ‖ · ‖C[0,1/2] + ‖ · ‖L[1/2,1].
Очевидно, на добутку цих просторiв можна задати бiлiнiйну форму
〈x, y〉 =
1∫
0
x(τ)y(τ)dτ,
що буде роздiльно неперервною (див. [3, с. 63]).
Розглянемо у просторi X лiнiйнi обмеженi оператори
(Aϕ)(t) = (Bϕ)(t) =
t∫
0
ϕ(τ)dτ. (5)
Нескладно встановити (див. [4, с. 36]), що резольвентнi функцiї цих операторiв можна
зобразити у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1318 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
(
R̂z(A)ϕ
)
(t) = ϕ(t) + z
t∫
0
ϕ(τ)ez(t−τ)dτ,
(
R̂w(B)ϕ
)
(t) = ϕ(t) + w
t∫
0
ϕ(τ)ew(t−τ)dτ.
Якщо покласти x0,0(t) = y0,0(t) ≡ 1, то
(R̂z(A)x0,0)(t) = ezt,
(R̂w(B)R̂z(A)x0,0)(t) =
zezt − wewt
z − w
,
f(z, w) =
1∫
0
zezt − wewt
z − w
dt =
ez − ew
z − w
.
При цьому
xk,m(t) = (AkBmx0,0)(t) =
tk+m
(k +m)!
,
i, отже,
sk,m =
1∫
0
xk,m(t)y0,0(t)dt =
1
(k +m+ 1)!
.
Якщо ж
x0,0(t) =
tν
Γ(ν + 1)
, ν > −1, y0,0(t) =
(1− t)σ
Γ(σ + 1)
, σ > −1, (6)
то
xk,m(t) =
(
AkBmx0,0
)
(t) =
tk+m+ν
Γ(k +m+ ν + 1)
,
sk,m =
1∫
0
tk+m+ν
Γ(k +m+ ν + 1)
(1− t)σ
Γ(σ + 1)
dt =
1
Γ(k +m+ ν + σ + 2)
,
i, отже, функцiя
f(z, w) =
∞∑
k,m=0
zkwm
Γ(k +m+ ν + σ + 2)
з точнiстю до сталого множника збiгатиметься з частинним випадком виродженого гiпергеомет-
ричного ряду Гумберта [5]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ПАДЕ . . . 1319
Φ2(α, β, γ, z, w) =
∞∑
k,m=0
(α)k(β)m
(γ)k+mk!m!
zkwm
при α = β = 1 i γ = ν + σ + 2.
Неважко побачити, що кожного разу, коли оператори A та B збiгаються мiж собою, зобра-
ження (4) можна записати у виглядi
f(z, w) =
〈
R̂z(A)R̂w(A)x0,0, y0,0
〉
=
〈(
z
z − w
R̂z(A) +
w
w − z
R̂w(A)
)
x0,0, y0,0
〉
=
=
z
z − w
〈
R̂z(A)x0,0, y0,0
〉
+
w
w − z
〈
R̂w(A)x0,0, y0,0
〉
.
У випадку оператора (5) i початкових функцiй (6)
f(z, w) =
z 1F1(1; ν + σ + 2; z)− w 1F1(1; ν + σ + 2;w)
z − w
, (7)
де 1F1(a; b; z) — вироджена гiпергеометрична функцiя Куммера [6, с. 237].
Використаємо наведенi вище мiркування для побудови рацiональних апроксимацiй функцiї
(7). Оскiльки функцiя (7) є симетричною вiдносно своїх змiнних, наближувати її має сенс
лише симетричними рацiональними функцiями. Тому вiдразу покладемо N1 = N2 = N. Щоб
застосувати теорему 1, нам потрiбно побудувати нетривiальний узагальнений многочлен
YN,N =
N∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
j,n yj,n
такий, що виконуються умови бiортогональностi
〈xk,m, YN,N 〉 = 0
при (k,m) ∈ ([0, N ]× [0, N ]) \ {(N,N)}.
У розглядуваному випадку
xk,m(t) =
tk+m+ν
Γ(k +m+ ν + 1)
, yj,n(t) =
(1− t)j+n+σ
Γ(j + n+ σ + 1)
.
Тому
YN,N (t) =
N∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
j,n
(1− t)j+n+σ
Γ(j + n+ σ + 1)
= γNP
(ν,σ)∗
2N (t)(1− t)σ,
де P (ν,σ)∗
2N (t) — зсунутий ортонормований на [0, 1] з вагою tν(1− t)σ многочлен Якобi степеня
2N (див. [7, с. 580]), а γN — деяка стала, яку ми можемо, не обмежуючи загальностi, покласти
рiвною 1. Тодi
N∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
j,n
tj+n
Γ(j + n+ σ + 1)
= P
(ν,σ)∗
2N (1− t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1320 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
Враховуючи явний вираз для коефiцiєнтiв ортогональних многочленiв Якобi (див. [7, с. 581]),
маємо (сталу для зручностi знову покладемо рiвною 1)
P
(ν,σ)∗
2N (1− t) = P
(σ,ν)∗
2N (t) =
2N∑
m=0
(−1)m
(
2N
m
)
Γ(2N + σ + ν + 1 +m)
Γ(σ + 1 +m)
tm.
Отже, нам потрiбно вибрати коефiцiєнти {c(N,N)
j,n }Nj,n=0 так, щоб виконувались рiвностi
N∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
j,n
tj+n
Γ(j + n+ σ + 1)
=
2N∑
m=0
(−1)mtm
(
2N
m
)
Γ(2N + σ + ν + 1 +m)
Γ(σ + 1 +m)
,
або ж ∑
06j,n6N
j+n=m
c
(N,N)
j,n = (−1)m
(
2N
m
)
Γ(2N + σ + ν + 1 +m).
Виберемо вказанi коефiцiєнти таким чином:
c
(N,N)
j,n =
(−1)j+nΓ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
2j+n
(
j + n
j
)(
2N
j + n
)
при 0 6 j + n 6 N,
c
(N,N)
j,n =
(−1)j+nΓ(2N+σ+ν+1+j+n)
22N−j−n
(
2N − j − n
N − j
)(
2N
j + n
)
при N + 1 6 j + n 6 2N.
Це дає можливiсть застосувати теорему 1 до побудови апроксимант Паде функцiї (7) зi знамен-
ником QN,N (z, w), iндекси коефiцiєнтiв якого належать множинi [0, N ]2 ⊂ Z2
+. Оскiльки полi-
ном YN,N , як легко бачити, буде ортогональним до xk,m не лише при (k,m) ∈ [0, N ]2\{(N,N)},
але i при (k,m) ∈ {k,m ∈ Z+, k+m 6 2N − 1}, то в теоремi 1 покладемо x(k) = 4N − 1− k,
y(m) = 4N − 1−m. Отримаємо наступний результат.
Теорема 2. Для виродженого гiпергеометричного ряду Гумберта
f(z, w) = Φ2(1, 1, γ, z, w) =
∞∑
k,m=0
zkwm
(γ)k+m
=
z 1F1(1; γ; z)− w 1F1(1; γ;w)
z − w
при γ = ν + σ + 2, ν, σ > −1, для будь-якого N ∈ N рацiональна функцiя
[N /D ]f (z, w) =
PN (z, w)
QN,N (z, w)
,
де
QN,N (z, w) =
N∑
m=0
(−1)m
(
2N
m
)
Γ(2N + σ + ν + 1 +m)zN−mwN−m
(
z + w
2
)m
+
+
2N∑
m=N+1
(−1)m
(
2N
m
)
Γ(2N + σ + ν + 1 +m)
(
z + w
2
)2N−m
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ПАДЕ . . . 1321
PN (z, w) =
N−1∑
m=0
N−1∑
k=N−m
zkwm
N∑
j=N−k
N−j∑
n=N−m
(−1)j+nΓ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
2j+n
×
×
(
j + n
j
)(
2N
j + n
)
1
Γ(k +m+ j + n− 2N + ν + σ + 2)
+
+
N−1∑
k=1
N−1∑
m=0
zkwm
N−1∑
j=N−k
N∑
n=N−j+1
(−1)j+nΓ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
22N−j−n
×
×
(
2N−j−n
N−j
)(
2N
j + n
)
1
Γ(k +m+ j + n− 2N + ν + σ + 2)
+
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
N∑
j=0
N−j∑
n=N−m
(−1)j+nΓ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
2j+n
×
×
(
j + n
j
)(
2N
j + n
)
1
Γ(k +m+ j + n−N + ν + σ + 2)
+
+zN
N−1∑
m=0
3N−1−m∑
k=0
zkwm
N−1∑
j=0
N∑
n=N−j+1
(−1)j+nΓ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
22N−j−n
×
×
(
2N−j−n
N−j
)(
2N
j + n
)
1
Γ(k +m+ j + n−N + ν + σ + 2)
+
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
k∑
n=0
N−n∑
j=N−k
(−1)j+nΓ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
2j+n
×
×
(
j + n
j
)(
2N
j + n
)
1
Γ(k +m+ j + n−N + ν + σ + 2)
+
+wN
N−1∑
k=0
3N−1−k∑
m=0
zkwm
N−1∑
n=0
N∑
j=N−n+1
(−1)j+nΓ(2N + σ + ν + 1 + j + n)
22N−j−n
×
×
(
2N−j−n
N−j
)(
2N
j + n
)
1
Γ(k +m+ j + n−N + ν + σ + 2)
,
матиме розвинення у степеневий ряд, коефiцiєнти якого збiгатимуться з коефiцiєнтами ряду
(2) для функцiї (7) для всiх (j, n) ∈ E = {(j, n) ∈ Z2
+ : j + n 6 4N − 1}.
На основi теореми 2 можна встановити наступний результат про збiжнiсть апроксимант
Паде для вироджених гiпергеометричних рядiв Гумберта.
Теорема 3. Побудованi в теоремi 2 рацiональнi апроксиманти функцiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1322 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
f(z, w) = Φ2(1, 1, γ, z, w) =
∞∑
k,m=0
zkwm
(γ)k+m
=
z 1F1(1; γ; z)− w 1F1(1; γ;w)
z − w
при γ = ν+σ+2, ν, σ > −1, на кожному компактi з C2 рiвномiрно збiгатимуться до функцiї
f при N →∞. При цьому для знаменникiв апроксимант справджуватиметься асимптотична
формула
QN,N (z, w) = Γ(4N + σ + ν + 1)
(
exp
(
−z + w
4
)
+ o(1)
)
,
а для чисельника — формула
PN (z, w) = Γ(4N + σ + ν + 1)
(
exp
(
z + w
4
)
f(z, w) + o(1)
)
,
де величина o(1)→ 0 при N →∞ на кожному компактi з C2.
Доведення. Спочатку розглянемо знаменник
1
Γ(4N + σ + ν + 1)
QN,N (z, w) =
=
N∑
m=0
(−1)m
(
2N
m
)
Γ(2N +σ +ν +1 +m)
Γ(4N + σ + ν + 1)
zN−mwN−m
(
z + w
2
)m
+
+
N−1∑
m=0
(−1)m
(
2N
m
)
Γ(4N + σ + ν + 1−m)
Γ(4N + σ + ν + 1)
(
z + w
2
)m
.
Для першого доданка справджується оцiнка∣∣∣∣∣
N∑
m=0
(−1)m
(
2N
m
)
Γ(2N +σ +ν +1 +m)
Γ(4N + σ + ν + 1)
zN−mwN−m
(
z + w
2
)m∣∣∣∣∣ 6
6
N∑
m=0
(
2N
m
) |z|N−m|w|N−m
∣∣∣∣z + w
2
∣∣∣∣m
(3N + σ + ν + 1)(3N + σ + ν + 2) . . . (4N + σ + ν)
6
6
1
(3N − 1)N
2N∑
m=0
(
2N
m
)
|z|N−m|w|N−m
∣∣∣∣z + w
2
∣∣∣∣m 6
(
| z || w | +
∣∣∣∣z + w
2
∣∣∣∣)2N
(3N − 1)N
.
При | z |6 R i | w |6 R це не перевищуватиме величину
(R2 +R)2N
(3N − 1)N
,
що при фiксованому R > 0 i N →∞ буде прямувати до нуля.
Другий доданок при деякому 0 < M < N − 1 розiб’ємо на два:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ПАДЕ . . . 1323
N−1∑
m=0
(−1)m
(
2N
m
)
Γ(4N + σ + ν + 1−m)
Γ(4N + σ + ν + 1)
(
z + w
2
)m
=
=
M∑
m=0
(−1)m
(
2N
m
)
Γ(4N + σ + ν + 1−m)
Γ(4N + σ + ν + 1)
(
z + w
2
)m
+
+
N−1∑
m=M+1
(−1)m
(
2N
m
)
Γ(4N + σ + ν + 1−m)
Γ(4N + σ + ν + 1)
(
z + w
2
)m
.
Оцiнимо другу з отриманих сум:∣∣∣∣∣
N−1∑
m=M+1
(−1)m
(
2N
m
)
Γ(4N + σ + ν + 1−m)
Γ(4N + σ + ν + 1)
(
z + w
2
)m∣∣∣∣∣ 6
6
N−1∑
m=M+1
(2N −m+ 1) . . . (2N)
m!
1
(4N + σ + ν + 1−m) . . . (4N + σ + ν)
×
×
∣∣∣∣z + w
2
∣∣∣∣m =
N−1∑
m=M+1
∣∣∣∣z + w
2
∣∣∣∣m
m!
m−1∑
p=0
2N − p
4N + σ + ν − p
=
=
N−1∑
m=M+1
∣∣∣∣z + w
2
∣∣∣∣m
m!
m−1∑
p=0
1
2 +
σ + ν + p
2N − p
=
N−1∑
m=M+1
∣∣∣∣z + w
2
∣∣∣∣m
m!
1
2m
m−1∑
p=0
1
1 +
σ + ν + p
2(2N − p)
6
6 C
N−1∑
m=M+1
∣∣∣∣z + w
4
∣∣∣∣m
m!
6 C
∞∑
m=M+1
∣∣∣∣z + w
4
∣∣∣∣m
m!
6 C
(R/2)M+1
(M + 1)!
,
де C — деяка стала.
Тепер вiднiмемо вiд першої суми розвинення у степеневий ряд функцiї e
−
z + w
4 i оцiнимо
отриману рiзницю:∣∣∣∣∣
M∑
m=0
(−1)m
(
2N
m
)
Γ(4N + σ + ν + 1−m)
Γ(4N + σ + ν + 1)
(
z + w
2
)m
− exp
(
−z + w
4
)∣∣∣∣∣ 6
6
∣∣∣∣∣
M∑
m=0
(−1)m
m!
(
z + w
2
)m [ (2N −m+ 1) . . . (2N)
(4N + σ + ν + 1−m) . . . (4N + σ + ν)
− 1
2m
]
+
+
∞∑
m=M+1
(−1)m
m!
(
z + w
4
)m∣∣∣∣∣ 6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1324 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
6
M∑
m=0
∣∣∣∣z + w
2
∣∣∣∣m
m!
∣∣∣∣∣∣∣
1(
2 +
σ + ν +m− 1
2N −m+ 1
)
. . .
(
2 +
σ + ν
2N
) − 1
2m
∣∣∣∣∣∣∣+
∞∑
m=M+1
1
m!
∣∣∣∣z + w
4
∣∣∣∣m 6
6 εN
M∑
m=0
1
m!
∣∣∣∣z + w
4
∣∣∣∣m +
∞∑
m=M+1
1
m!
∣∣∣∣z + w
4
∣∣∣∣m 6 εN exp
(
R
2
)
+
1
(M + 1)!
(
R
2
)M+1
,
де εN → 0 при N →∞.
Отже, в результатi отримаємо∣∣∣∣ 1
Γ(4N + σ + ν + 1)
QN,N (z, w)− exp
(
−z + w
4
)∣∣∣∣ 6
6
(R2 +R)2N
(3N − 1)N
+ C
(R/2)M+1
(M + 1)!
+ εNe
R/2 +
(R/2)M+1
(M + 1)!
.
Очевидно, при N →∞ ця величина буде прямувати до величини
(C + 1)
(R/2)M+1
(M + 1)!
,
що при M→∞ прямує до нуля. Таким чином, на кожному полiкрузi {(z, w) : |z| 6 R, |w| 6 R}
будемо мати
1
Γ(4N + σ + ν + 1)
QN,N (z, w)⇒ exp
(
−z + w
4
)
.
Згiдно з теоремою Руше (див. [8, с. 425]), на кожному компактi з C2, починаючи з де-
якого N ∈ Z+, знаменники QN,N (z, w) не матимуть нулiв. Крiм цього, це дозволяє записати
знаменники у виглядi
QN,N (z, w) = Γ(4N + σ + ν + 1)
(
exp
(
−z + w
4
)
+ o(1)
)
,
де величина o(1)→ 0 при N →∞ на кожному компактi з C2.
Оцiнимо похибку наближення
|f(z, w)− [N /D ]f (z, w)| = 1
|QN,N (z, w)|
∣∣∣∣∣∣zNwN
1∫
0
(
R̂z(A)R̂w(B)x0,0
)
(t)YN,N (t)dt +
+zN
N−1∑
m=0
∞∑
k=3N−m
zkwm
N∑
j=0
m∑
n=0
c
(N,N)
j,N−nsk+j,m−n+
+ wN
N−1∑
k=0
∞∑
m=3N−k
zkwm
k∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
N−j,nsk−j,m+n
∣∣∣∣∣∣ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ПАДЕ . . . 1325
Розглянемо перший доданок
1∫
0
(
R̂z(A)R̂w(B)x0,0
)
(t)YN,N (t)dt =
1∫
0
∞∑
k=0
∞∑
m=0
tk+m+νzkwm
Γ(k +m+ ν + 1)
YN,N (t)dt =
=
1∫
0
∑
k+m>2N
tk+m+νzkwm
Γ(k +m+ ν + 1)
YN,N (t)dt =
=
1∫
0
∞∑
p=2N
tp
Γ(p+ ν + 1)
p∑
k=0
zkwp−kYN,N (t)tνdt =
=
∞∑
p=2N
1
Γ(p+ ν + 1)
p∑
k=0
zkwp−k
1∫
0
tpP
(ν,σ)∗
2N (t)tν(1− t)σdt. (8)
Функцiю tp можна розкласти в лiнiйну комбiнацiю ортогональних зсунутих многочленiв
Якобi P (ν,σ)∗
m (t) :
tp =
p∑
m=0
α(p)
m P (ν,σ)∗
m (t). (9)
Нехай
−→
Pp — вектор вигляду
−→
Pp =
(
P
(ν,σ)∗
0 (t), P
(ν,σ)∗
1 (t), . . . , P (ν,σ)∗
p (t)
)T
,
а
−→
dp — вектор вигляду
−→
dp = (1, t, . . . , tp)T .
Тодi зображення (9) можна записати у виглядi
−→
dp = Ap
−→
Pp, (10)
де нижня трикутна матриця Ap має вигляд
Ap =
α
(0)
0 0 0 . . . 0
α
(1)
0 α
(1)
1 0 . . . 0
α
(2)
0 α
(2)
1 α
(2)
2 . . . 0
...
...
...
. . . 0
α
(p)
0 α
(p)
1 α
(p)
2 . . . α
(p)
p
.
Ранiше було зазначено, що справджується зображення
P
(ν,σ)∗
k (t) =
k∑
m=0
(−1)m
(
k
m
)
Γ(k + σ + ν + 1 +m)
Γ(ν + 1 +m)
tm,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1326 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
або у векторному записi
−→
Pp = Bp
−→
dp, (11)
де нижня трикутна матриця Bp має вигляд
Bp =
β
(0)
0 0 0 . . . 0
β
(1)
0 β
(1)
1 0 . . . 0
β
(2)
0 β
(2)
1 β
(2)
2 . . . 0
...
...
...
. . . 0
β
(p)
0 β
(p)
1 β
(p)
2 . . . β
(p)
p
,
а її елементи дорiвнюють
β(k)m = (−1)m
(
k
m
)
Γ(k + σ + ν + 1 +m)
Γ(ν + 1 +m)
, m = 0, 1, . . . , k.
З (10) та (11) випливає, що
Ap = B−1p або ApBp = I, (12)
де I — одинична матриця розмiрностi (p + 1) × (p + 1). З (12) отримаємо систему лiнiйних
алгебраїчних рiвнянь для знаходження коефiцiєнтiв α(p)
m , m = 0, 1, . . . , p :
β
(0)
0 α
(p)
0 +β
(1)
0 α
(p)
1 + · · ·+ β
(p)
0 α
(p)
p = 0,
β
(1)
1 α
(p)
1 + · · ·+ β
(p)
1 α
(p)
p = 0,
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
β
(p)
p α
(p)
p = 1.
Визначник цiєї системи
Hp = β
(0)
0 β
(1)
1 . . . β(p)p 6= 0.
За формулами Крамера розв’язок системи має вигляд
α
(p)
j =
1
Hp
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
β
(0)
0 β
(1)
0 . . . β
(j−1)
0 0 β
(j+1)
0 . . . β
(p)
0
0 β
(1)
1 . . . β
(j−1)
1 0 β
(j+1)
1 . . . β
(p)
1
...
...
. . .
...
...
...
. . .
...
0 0 . . . β
(j−1)
j−1 0 β
(j+1)
j−1 . . . β
(p)
j−1
...
...
. . .
...
...
...
. . .
...
0 0 . . . 0 1 0 . . . β
(p)
p
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
=
(−1)p−j
β
(j)
j . . . β
(p)
p
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
β
(j+1)
j β
(j+2)
j . . . β
(p−1)
j β
(p)
j
β
(j+1)
j+1 β
(j+2)
j+1 . . . β
(p−1)
j+1 β
(p)
j+1
0 β
(j+2)
j+2 . . . β
(p−1)
j+2 β
(p)
j+2
...
...
. . .
...
...
0 0 . . . β
(p−1)
p−1 β
(p)
p−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ПАДЕ . . . 1327
Звiдси можемо отримати формулу
α
(p)
p−k = (−1)p−k
(
p
p− k
)
Γ(p+ ν + 1)(2p+ σ + ν − 2k + 1)
Γ(2p+ σ + ν + 2− k)
. (13)
Зауваження. Формулу (13) можна також вивести з вiдповiдних формул для незсунутих
ортогональних многочленiв Якобi (див. [9, с. 471]).
З урахуванням (9) вираз (8) можна записати у виглядi
∞∑
p=2N
(
p∑
k=0
zkwp−k
)
α
(p)
2N
Γ(p+ ν + 1)
1∫
0
[
P
(ν,σ)∗
2N (t)
]2
tν(1− t)σdt.
Оскiльки старший коефiцiєнт многочлена P (ν,σ)∗
2N дорiвнює
Γ(4N + σ + ν + 1)
Γ(2N + σ + 1)
, а квадрат
норми зсунутого ортогонального многочлена Якобi з одиничним старшим коефiцiєнтом дорiв-
нює (див. [7, с. 580])
h2N =
(2N)!Γ(2N + ν + 1)Γ(2N + σ + ν + 1)Γ(2N + σ + 1)
(4N + σ + ν + 1)Γ2(4N + σ + ν + 1)
,
то ∥∥∥P (ν,σ)∗
2N
∥∥∥2
L2([0,1],tν(1−t)σ)
=
1∫
0
[
P
(ν,σ)∗
2N (t)
]2
tν(1− t)σdt =
=
(2N)!Γ(2N + σ + ν + 1)Γ(2N + ν + 1)
(4N + σ + ν + 1)Γ(2N + σ + 1)
. (14)
Отже, з урахуванням (13) i (14) для першого доданка при |z|, |w| 6 R отримаємо∣∣∣∣∣∣
1∫
0
(
R̂z(A)R̂w(B)x0,0
)
(t)YN,N (t)dt
∣∣∣∣∣∣ 6
∥∥∥P (ν,σ)∗
2N
∥∥∥2 ∞∑
p=2N
(
p∑
k=0
|z|k|w|p−k
) ∣∣∣α(p)
2N
∣∣∣
Γ(p+ ν + 1)
=
=
(2N)!Γ(2N + σ + ν + 1)Γ(2N + ν + 1)
Γ(2N + σ + 1)(4N + σ + ν + 1)
×
×
∞∑
p=2N
(
p∑
k=0
|z|k|w|p−k
)(
p
2N
)
Γ(p+ ν + 1)(4N + σ + ν + 1)
Γ(p+ ν + 1)Γ(p+ 2N + σ + ν + 2)
=
=
Γ(2N + σ + ν + 1)Γ(2N + ν + 1)
Γ(2N + σ + 1)
×
×
∞∑
p=2N
(
p∑
k=0
|z|k|w|p−k
)
p(p− 1) . . . (p− 2N + 1)
Γ(p+ 2N + σ + ν + 2)
6
6
Γ(2N + σ + ν + 1)Γ(2N + ν + 1)
Γ(2N + σ + 1)
∞∑
p=2N
(p+ 1)p(p− 1) . . . (p− 2N + 1)Rp
Γ(p+ 2N + σ + ν + 2)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1328 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
=
Γ(2N + σ + ν + 1)Γ(2N + ν + 1)
Γ(2N + σ + 1)
R2N
∞∑
p=0
(p+ 2N + 1)!Rp
p!Γ(p+ 4N + σ + ν + 2)
.
Позначимо
IN =
∞∑
p=0
(p+ 2N + 1)!Rp
p!Γ(p+ 4N + σ + ν + 2)
=
(2N + 1)!
Γ(4N + σ + ν + 2)
×
×
∞∑
p=0
(2N + 2)(2N + 3) . . . (2N + p+ 1)
(4N + σ + ν + 2)(4N + σ + ν + 3) . . . (4N + σ + ν + p+ 1)
Rp
p!
6
6 C
(2N + 1)!
Γ(4N + σ + ν + 2)
,
де C — деяка стала, що залежить вiд R.
Отже, для першого доданка виконуватиметься
∣∣∣∣∣∣
1∫
0
(
R̂z(A)R̂w(B)x0,0
)
(t)YN,N (t)dt
∣∣∣∣∣∣ 6 C
Γ(2N + σ + ν + 1)Γ(2N + ν + 1)R2N (2N + 1)!
Γ(2N + σ + 1)Γ(4N + σ + ν + 2)
.
Використавши формулу Стiрлiнга (див. [7, с. 83]), оцiнимо цю величину виразом
C
(2N + 2)1/2+σ−ν
24N
R2N .
Оцiнимо другий доданок:∣∣∣∣∣∣wN
N−1∑
k=0
zk
∞∑
m=3N−k
wm
k∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
N−j,nsk−j,m+n
∣∣∣∣∣∣ 6
6 RN
N−1∑
k=0
|z|k
∞∑
m=3N−k
|w|ms0,m
N∑
j=0
N∑
n=0
∣∣∣c(N,N)
j,n
∣∣∣ .
Враховуючи формули для коефiцiєнтiв зсунутих ортонормованих многочленiв Якобi, отримує-
мо
N∑
n=0
∣∣∣c(N,N)
j,n
∣∣∣ =
2N∑
k=0
∣∣∣p(2N)
k
∣∣∣ =
2N∑
k=0
(
2N
k
)
Γ(2N + σ + ν + 1 + k)
Γ(σ + 1 + k)
6 CΓ(4N + σ + ν + 1)24N .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ПАДЕ . . . 1329
Отже, для другого доданка справджується оцiнка
∣∣∣∣∣∣wN
N−1∑
k=0
zk
∞∑
m=3N−k
wm
k∑
j=0
N∑
n=0
c
(N,N)
N−j,nsk−j,m+n
∣∣∣∣∣∣ 6
6 CRN24NΓ(4N + σ + ν + 1)
N−1∑
k=0
Rk
∞∑
m=3N−k
Rm
Γ(m+ ν + σ + 2)
6
6 C
R2N−124NNΓ(4N + σ + ν + 1)
Γ(2N + ν + σ + 2)
.
Аналогiчна оцiнка матиме мiсце i для третього доданка.
Враховуючи встановленi оцiнки, для похибки апроксимацiї отримуємо
|f(z, w)− [N /D ]f (z, w)| 6 C
Γ(4N + σ + ν + 1)
×
×
(
(2N + 2)1/2+σ−ν
24N
R2N +
R2N−124NNΓ(4N + σ + ν + 1)
Γ(2N + ν + σ + 2)
)
→ 0
при N →∞, звiдки i випливає твердження теореми.
Теорему доведено.
Щоб проiлюструвати теорему 2, розглянемо частинний випадок ν = σ = 0. Тодi, як було
зазначено ранiше, функцiя f(z, w) матиме вигляд
f(z, w) =
ew − ez
w − z
. (15)
Покладемо спочатку N = 1. За теоремою 2 отримаємо рацiональну апроксимацiю
PN (z, w)
Q1,1(z, w)
=
24 + w2 + z2 + 6z + 6w
2zw − 6z − 6w + 24
.
Порiвняємо значення функцiї, що наближується f(z, w) =
ew − ez
w − z
, частинної суми степе-
невого ряду
P3(z, w) = 1 +
1
2
(z + w) +
1
6
(z2 + zw + w2) +
1
24
(z3 + z2w + zw2 + w3)
та побудованої нами апроксимацiї в точках квадрата [1, 0]× [1, 0] (див. табл. 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1330 А. П. ГОЛУБ, Л. О. ЧЕРНЕЦЬКА
Таблиця 1
w z
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 1.107013790 1.229561745 1.370198000 1.531926160 1.718281828
0.0 1 1.107000000 1.229333334 1.369000000 1.528000000 1.708333333
1 1.107017544 1.229629630 1.370588235 1.533333333 1.722222222
1.107013790 1.221402758 1.352109700 1.501790105 1.673563617 1.871098837
0.2 1.107000000 1.221333333 1.351666667 1.500000000 1.668333333 1.858666667
1.107017544 1.221402214 1.352140078 1.502057613 1.674672489 1.874418605
1.229561745 1.352109700 1.491824698 1.651470510 1.834290575 2.044095217
0.4 1.229333334 1.351666667 1.490666669 1.648333334 1.826666667 2.027666669
1.229629630 1.352140078 1.491803279 1.651515152 1.834862385 2.046341463
1.370198000 1.501790105 1.651470510 1.822118800 2.017110640 2.240407570
0.6 1.369000000 1.500000000 1.648333334 1.816000000 2.005000000 2.217333334
1.370588235 1.502057613 1.651515152 1.821917808 2.016908213 2.241025641
1.531926160 1.673563617 1.834290575 2.017110640 2.225540928 2.46370450
0.8 1.528000000 1.668333333 1.826666667 2.005000000 2.205333333 2.429666667
1.533333333 1.674672489 1.834862385 2.016908213 2.224489796 2.462162162
1.718281828 1.871098837 2.044095217 2.240407570 2.46370450 2.718281828
1 1.708333333 1.858666667 2.027666669 2.217333334 2.429666667 2.666666667
1.722222222 1.874418605 2.046341463 2.241025641 2.462162162 2.714285714
Вiзьмемо тепер N = 2. Отримаємо рацiональну функцiю
PN (z, w)
Q2,2(z, w)
= (40320 + 10080z + 10080w + 2760z2 + 2760w2 − 1200zw+
+540z3 + 540w3 − 300z2w − 300zw2 + 96z4 + 96w4 − 84z3w − 84zw3−
−17zw4 − 17zw4 + 17w5 + 17z5 − 3zw5 − 3z5w + 3w6 + 3z6 +
1
2
z7 +
1
2
w7 − 1
2
z6w − 1
2
zw6)×
×(24z2w2 − 240zw2 − 240z2w + 1080z2 + 1080w2 + 2160zw − 10080z − 10080w + 40320)−1.
Значення функцiї, що наближується, частинної суми степеневого ряду
P7(z, w) = 1 +
1
2!
(z + w) +
1
3!
(z2 + zw + w2)+
+
1
4!
(z3 + z2w + zw2 + w3) +
1
5!
(z4 + z3w + z2w2 + zw3 + w4)+
+
1
6!
(z5 + z4w + z3w2 + z2w3 + zw4 + w5) +
1
7!
(z6 + z5w + z4w2 + z3w3 + z2w4 + zw5+
+w6) +
1
8!
(z7 + z6w + z5w2 + z4w3 + z3w4 + z2w5 + zw6 + w7)
та побудованої апроксимацiї наведено в табл. 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ДВОВИМIРНI УЗАГАЛЬНЕНI МОМЕНТНI ЗОБРАЖЕННЯ ТА АПРОКСИМАЦIЇ ПАДЕ . . . 1331
Таблиця 2
w z
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 1.107013790 1.229561745 1.370198000 1.531926160 1.718281828
0.0 1 1.107013790 1.229561743 1.370197951 1.531925658 1.718278770
1 1.107013791 1.229561743 1.370197961 1.531925731 1.718279055
1.107013790 1.221402758 1.352109700 1.501790105 1.673563617 1.871098837
0.2 1.107013790 1.221402753 1.352109694 1.501790031 1.673562944 1.871095015
1.107013791 1.221402758 1.352109708 1.501790219 1.673564121 1.871099899
1.229561745 1.352109700 1.491824698 1.651470510 1.834290575 2.044095217
0.4 1.229561743 1.352109694 1.491824685 1.651470370 1.834289575 2.044090124
1.229561743 1.352109708 1.491824698 1.651470760 1.834292060 2.044100453
1.370198000 1.501790105 1.651470510 1.822118800 2.017110640 2.240407570
0.6 1.370197951 1.501790031 1.651470370 1.822118351 2.017108779 2.240399999
1.370197961 1.501790219 1.651470760 1.822118800 2.017108406 2.240416710
1.531926160 1.673563617 1.834290575 2.017110640 2.225540928 2.46370450
0.8 1.531925658 1.673562944 1.834289575 2.017108779 2.225536363 2.463691216
1.531925731 1.673564121 1.834292060 2.017108406 2.225540917 2.463714564
1.718281828 1.871098837 2.044095217 2.240407570 2.46370450 2.718281828
1 1.718278770 1.871095015 2.044090124 2.240399999 2.463691216 2.718253968
1.718279055 1.871099899 2.044100453 2.240416710 2.463714564 2.718281718
Наведенi приклади показують, що побудованi на основi теореми 2 рацiональнi апроксиманти
наближають функцiю (15) краще за частинну суму степеневого ряду з такою ж кiлькiстю
вiльних коефiцiєнтiв.
Зауважимо, що у книзi А. Кейт [10] наведено чисельнi приклади, пов’язанi з обчисленням
рацiональних апроксимацiй, що є певними двовимiрними узагальненнями апроксимацiй Паде
для функцiї
f(z, w) =
wew − zez
w − z
.
Ця функцiя також є частинним випадком функцiї (7) при ν + σ = −1.
1. Дзядик В. К. Про узагальнення проблеми моментiв // Доп. АН УРСР. – 1981. – 6. – С. 8 – 12.
2. Голуб А.П., Чернецька Л.О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зображення та рацiональнi апроксимацiї функцiй
двох змiнних // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 8. – C. 1035 – 1058.
3. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. – 444 c.
4. Голуб А. П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. – Київ: Iн-т математики НАН України,
2002. – 222 c.
5. Humbert P. Sur les fonctions hypercylindriques // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des
sciences. – 1920. – 171. – S. 490 – 492.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежанд-
ра. – М.: Наука, 1973. – 296 c.
7. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. – М.: Наука, 1979. – 832 c.
8. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. – М.: Наука, 1967. – Т. 1. – 488 c.
9. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. – М.: Мир, 1980. – 608 c.
10. Cuyt A. Padé approximants for operators: theory and applications. – Berlin: Springer-Verlag, 1984. – 138 p.
Одержано 24.12.12,
пiсля доопрацювання — 20.05.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2511 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:53Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0f/265cf27b31a4cddbd0af3868a1e9510f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25112020-03-18T19:17:19Z Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé Approximations for Some Humbert Series Двовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації Паде деяких рядів Гумберта Holub, A. P. Chernetska, L. O. Голуб, А. П. Чернецька, Л. О. By extending Dzyadyk’s method of generalized moment representations to the case of two-dimensional number sequences, we construct and study Padé approximants for some confluent Humbert hypergeometric series. С помощью распространения метода обобщенных моментных представлений В. К. Дзядыка на случай двумерных числовых последовательностей построены и исследованы аппроксиманты Паде для некоторых вырожденных гипергеометрических рядов Гумберта. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2511 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 10 (2013); 1315–1331 Український математичний журнал; Том 65 № 10 (2013); 1315–1331 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2511/1787 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2511/1788 Copyright (c) 2013 Holub A. P.; Chernetska L. O. |
| spellingShingle | Holub, A. P. Chernetska, L. O. Голуб, А. П. Чернецька, Л. О. Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé Approximations for Some Humbert Series |
| title | Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé Approximations for Some Humbert Series |
| title_alt | Двовимірні узагальнені моментні зображення та апроксимації Паде деяких рядів Гумберта |
| title_full | Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé Approximations for Some Humbert Series |
| title_fullStr | Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé Approximations for Some Humbert Series |
| title_full_unstemmed | Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé Approximations for Some Humbert Series |
| title_short | Two-Dimensional Generalized Moment Representations and Padé Approximations for Some Humbert Series |
| title_sort | two-dimensional generalized moment representations and padé approximations for some humbert series |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2511 |
| work_keys_str_mv | AT holubap twodimensionalgeneralizedmomentrepresentationsandpadeapproximationsforsomehumbertseries AT chernetskalo twodimensionalgeneralizedmomentrepresentationsandpadeapproximationsforsomehumbertseries AT golubap twodimensionalgeneralizedmomentrepresentationsandpadeapproximationsforsomehumbertseries AT černecʹkalo twodimensionalgeneralizedmomentrepresentationsandpadeapproximationsforsomehumbertseries AT holubap dvovimírníuzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimacíípadedeâkihrâdívgumberta AT chernetskalo dvovimírníuzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimacíípadedeâkihrâdívgumberta AT golubap dvovimírníuzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimacíípadedeâkihrâdívgumberta AT černecʹkalo dvovimírníuzagalʹnenímomentnízobražennâtaaproksimacíípadedeâkihrâdívgumberta |