Approximation by Finite Potentials
We consider an infinite system of point particles whose interaction is described by a stable two-body interaction potential ϕ of infinite range. A sequence of finite interaction potentials ϕ R pointwise convergent to ϕ as R → ∞ is introduced. It is shown that the corresponding sequence of correlat...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2513 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508417381105664 |
|---|---|
| author | Malyshev, P. V. Малишев, П. В. |
| author_facet | Malyshev, P. V. Малишев, П. В. |
| author_sort | Malyshev, P. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:17:19Z |
| description | We consider an infinite system of point particles whose interaction is described by a stable two-body interaction potential ϕ of infinite range. A sequence of finite interaction potentials ϕ R pointwise convergent to ϕ as R → ∞ is introduced. It is shown that the corresponding sequence of correlation functions ρ R converges to ρ in the norm of the Ruelle space E ξ. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
П. В. Малишев, О. Л. Ребенко (Iн-т математики НАН України, Київ)
АПРОКСИМАЦIЯ ФIНIТНИМИ ПОТЕНЦIАЛАМИ
We consider infinite systems of point particles whose interaction is described by a stable two-body interaction potential φ
with infinite range. A sequence of finite interaction potentials φR pointwise convergent to φ as R→∞ is introduced. It is
shown that the corresponding sequence of correlation functions ρR converges to ρ in the norm of the Ruelle space Eξ.
Рассматриваются бесконечные системы точечных частиц, взаимодействие в которых определяется устойчивым двух-
точечным потенциалом с бесконечным радиусом действия φ. Введена последовательность финитных потенциалов
взаимодействия φR, поточечно сходящаяся к φ при R → ∞. Доказано, что соответствующая последовательность
корреляционных функций ρR сходится к ρ по норме пространства Рюэлля Eξ.
1. Вступ. Проблема апроксимацiї кореляцiйних функцiй нескiнченних систем, взаємодiя в
яких визначається потенцiалом з нескiнченним радiусом дiї, кореляцiйними функцiями, що
вiдповiдають фiнiтним потенцiалам, є технiчною. Дуже часто вона допомагає значно спростити
доведення деяких важливих результатiв. Для обмежених систем, що знаходяться в деякому
контейнерi Λ, збiжнiсть кореляцiйних функцiй ρΛ
R до функцiй ρΛ є наслiдком поточкової збiж-
ностi послiдовностi потенцiалiв {φR} до потенцiалу φ i умови стiйкостi взаємодiї. В той же час
для граничних (Λ ↑ Rd) функцiй ρR i ρ така збiжнiсть не є очевидною. Ситуацiя трохи спрощу-
ється в областi регулярностi термодинамiчних параметрiв: активностi z i оберненої температури
β. У цьому випадку кореляцiйнi функцiї задовольняють рiвняння Кiрквуда – Зальцбурга, але
послiдовнiсть операторiв Кiрквуда – Зальцбурга KR не задовольняє умови, що забезпечують
рiвномiрну збiжнiсть до вiдповiдного оператора K. Тому проблема збiжностi послiдовностi
кореляцiйних функцiй ρR, якi побудованi за потенцiалами φR, до функцiй ρ є нетривiальною.
В данiй роботi наведено просте розв’язання цiєї проблеми в областi регулярностi термоди-
намiчних параметрiв z i β.
2. Позначення i опис системи. Розглянемо d-мiрний евклiдiв простiр Rd. Локально обме-
жена множина у просторi Rd визначається як будь-яка множина положень однакових частинок
{xi}i∈N в цьому просторi. Набiр всiх можливих множин такого типу утворює так званий кон-
фiгурацiйний простiр
Γ = ΓRd :=
{
γ ⊂ Rd
∣∣∣ |γ ∩ Λ| <∞ для всiх Λ ∈ Bc(Rd)
}
,
де |A| — число елементiв множини A, а Bc(Rd) — система всiх можливих борелiвських множин
з компактним замиканням в Rd. Нам також необхiдно визначити простiр скiнченних конфiгура-
цiй Γ0:
Γ0 =
⊔
n∈N0
Γ(n), Γ(n) := {η ⊂ Rd | |η| = n}, N0 = N ∪ {0}.
Визначимо також простiр конфiгурацiй, що знаходяться в обмеженому об’ємi Λ ⊂ Rd:
ΓΛ := {η ∈ Γ0 | η ⊂ Λ} .
c© П. В. МАЛИШЕВ, О. Л. РЕБЕНКО, 2013
1342 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
АПРОКСИМАЦIЯ ФIНIТНИМИ ПОТЕНЦIАЛАМИ 1343
Позначимо σ-алгебри Γ, Γ0 та ΓΛ через B(Γ), B(Γ0) та B(ΓΛ) вiдповiдно. Для заданої мiри
iнтенсивностi σ (в даному випадку σ — мiра Лебега на B(Rd)) i будь-якого n ∈ N добуток мiр
σ⊗n розглядається як мiра на множинах
(̃Rd)n =
{
(x1, . . . , xn) ∈ (Rd)n
∣∣∣ xk 6= xl, якщо k 6= l
}
i, вiдповiдно, σ(n) — як мiра у просторi Γ(n), що будується за допомогою вiдображення
symn : (̃Rd)n 3 (x1, ..., xn) 7→ {x1, ..., xn} ∈ Γ(n).
Мiра Лебега – Пуассона λzσ на B(Γ0) визначається формулою
λzσ :=
∑
n≥0
zn
n!
σ(n).
Звуження λzσ на B(ΓΛ) також позначимо λzσ. Бiльш детальний опис конфiгурацiйних про-
сторiв Γ, Γ0 та ΓΛ можна знайти, наприклад, у роботах [1 – 3].
(A) Припущення щодо потенцiалу взаємодiї. В данiй статтi ми розглядаємо двочас-
тинковi потенцiали загального вигляду φ, неперервнi на R+ \ {0} i такi, що iснують сталi
r0 > 0, B ≥ 0, R0 > 0, ϕ0 > 0 та ε0 > 0, для яких
φ(|x|) ≡ φ+(|x|) для |x| ≤ r0, (2.1)
φ(|x|) ≡ −φ−(|x|) ≥ − φ0
|x|d+ε0
для |x| ≥ R0, (2.2)
де
φ+(|x|) := max{0, φ(|x|)}, φ−(|x|) := −min{0, φ(|x|)},
а енергiя взаємодiї частинок конфiгурацiї γ задовольняє умову стiйкостi
U(γ) =
∑
x,y∈γ
φ(|x− y|) ≥ −B|γ|, γ ∈ Γ0.
У молекулярнiй фiзицi має безпосереднє застосування потенцiал Ленарда – Джонса
φ(|x|) =
C
|x|12
− D
|x|6
,
де C > 0, D > 0 — деякi сталi. В подальшому ми будемо розглядати потенцiали типу Ленарда –
Джонса. Поведiнку потенцiалiв такого типу зображено на рисунку.
3. Кореляцiйнi функцiї i рiвняння Кiрквуда – Зальцбурга. Кореляцiйнi функцiї є (в пев-
ному сенсi) моментами мiри Гiббса, за якими розраховують середнi значення спостережуваних
величин, а статистична сума вiдiграє важливу роль у побудовi термодинамiчних функцiй, вiль-
ної енергiї та тиску в системi (див., наприклад, [4 – 6]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1344 П. В. МАЛИШЕВ, О. Л. РЕБЕНКО
Запишемо вирази для статистичної суми та вiдповiдного набору кореляцiйних функцiй з
допомогою iнтегралiв за мiрою λzσ по всiх можливих конфiгурацiях в об’ємi Λ ∈ Bc(Rd) у
випадку великого канонiчного ансамблю:
ZΛ(z, β) :=
∫
ΓΛ
e−βU(γ)λzσ(dγ),
ρΛ(η; z, β) :=
1
ZΛ(z, β)
∫
ΓΛ
e−βU(η∪γ)λzσ(dγ), η ∈ ΓΛ.
Для малих значень активностi z iснує єдина термодинамiчна границя (при Λ ↑ Rd). Гра-
ничнi функцiї ρ(η; z, β) є розв’язками нескiнченної системи рiвнянь Кiрквуда – Зальцбурга в
банаховому просторi Eξ (див., наприклад, [4 – 6]).
Систему рiвнянь Кiрквуда – Зальцбурга для функцiй ρ(η; z, β) можна записати у виглядi
єдиного операторного рiвняння (див. [4])
ρ = zK̃ρ+ zδ, (3.1)
де оператор K̃ дiє на довiльну функцiю ϕ ∈ Eξ у вiдповiдностi з правилом
(K̃ϕ)({x1}) =
∞∑
k=1
1
k!
∫
Rd
. . .
∫
Rd
k∏
i=1
(
e−βφ(|yi−x1|) − 1
)
×
× ϕ({y1, . . . , yk})dy1 . . . dyk, якщо |η| = 1 (η = {x1}), (3.2)
(K̃ϕ)(η) =
∑
x∈η
π̃(x; η \ {x})e−βW (x;η\{x})
[
ϕ(η \ {x})+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
АПРОКСИМАЦIЯ ФIНIТНИМИ ПОТЕНЦIАЛАМИ 1345
+
∞∑
k=1
1
k!
∫
Rd
. . .
∫
Rd
k∏
i=1
(
e−βφ(|yi−x|) − 1
)
×
× ϕ(η \ {x} ∪ {y1, . . . , yk})dy1 . . . dyk
]
, якщо |η| ≥ 2, (3.3)
де
π̃(x; η \ {x}) =
πW (x; η \ {x})∑
y∈η
πW (y; η \ {y})
, (3.4)
πW (x; η \ {x}) =
{
1, якщо W (x; η \ {x}) ≥ −2B,
0 — у рештi випадкiв,
(3.5)
ρ := {ρ(η; z, β)}η∈Γ0\∅, (3.6)
δ(η) =
{
1, якщо |η| = 1,
0 — у рештi випадкiв.
(3.7)
Зауваження 3.1. Оператор K̃ = ΠK (у позначеннях Рюелля [4]), а (3.4), (3.5) — реалiза-
цiя оператора Π, тобто симетризацiя правої частини нескiнченної системи рiвнянь Кiрквуда –
Зальцбурга. При цьому оператор K : Eξ → Ee2βBξ, а оператор K̃ : Eξ → Eξ.
Оператор K̃ є обмеженим оператором у банаховому просторi Eξ з нормою
‖ϕ‖ξ := sup
η∈Γ0\∅
|ϕ(η)|ξ−|η|.
Розв’язок рiвняння (3.1) можна подати у формi збiжних у просторi Eξ (та точково збiжних
для будь-якої фiксованої конфiгурацiї η ∈ Γ0 ) рядiв
ρ(η; z, β) =
∞∑
n=0
zn+1(K̃nδ)(η; z, β), (3.8)
якщо взаємодiя задовольняє умову (A), а значення хiмiчної активностi z належать кругу:
|z| ≤ e−2βBξe−ξC(β). (3.9)
Оптимальним значенням параметра ξ є ξ = C(β)−1, де
C(β) =
∫
Rd
∣∣∣e−βφ(|x|) − 1
∣∣∣ dx. (3.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1346 П. В. МАЛИШЕВ, О. Л. РЕБЕНКО
4. Наближення скiнченного радiуса дiї. У цьому пунктi ми покажемо, що кореляцiйнi
функцiї ρ(· ; z, β), якi вiдповiдають нескiнченнiй системi частинок, що взаємодiють на як зав-
годно великих вiдстанях, можна апроксимувати кореляцiйними функцiями, що побудованi на
потенцiалах фiнiтної дiї. Запишемо потенцiал взаємодiї φ у виглядi
φ = φR + ∆φR,
де
φR(|x|) =
{
φ(|x|) для |x| ≤ R,
0 для |x| > R,
∆φR(|x|) =
{
φ(|x|) для |x| ≥ R,
0 для |x| < R.
Нехай R ≥ R0. Тодi
∆φR ≤ 0.
Кореляцiйнi функцiї, що вiдповiдають потенцiалу φR, позначимо ρR(· ; z, β). Очевидно, що
вони задовольняють такi самi рiвняння Кiрквуда – Зальцбурга з оператором K̃R, який дiє за
формулами (3.2), (3.3) з потенцiалом φR замiсть φ:
ρR = zK̃RρR + zδ. (4.1)
Розв’язки цього рiвняння можна зобразити у виглядi ряду
ρR(·; z, β) =
∞∑
n=0
zn+1
((
K̃R
)n
δ
)
(·; z, β). (4.2)
Норма оператора K̃R в Eξ задовольняє таку ж оцiнку, як i норма оператора K̃ з CR(β) замiсть
C(β):
‖K̃R‖ξ ≤ e2βBξ−1eξCR(β), (4.3)
CR(β) =
∫
|x|≤R
∣∣∣e−βφ(|x|) − 1
∣∣∣ dx =
∫
Rd
∣∣∣e−βφR(|x|) − 1
∣∣∣ dx. (4.4)
Очевидно, що
C(β) = CR(β) + ∆CR(β), (4.5)
∆CR(β) =
∫
|x|>R
∣∣∣e−βφ(|x|) − 1
∣∣∣ dx =
∫
Rd
∣∣∣e−β∆φR(|x|) − 1
∣∣∣ dx, (4.6)
а
lim
R→∞
∆CR(β) = 0.
Якщо знову вибрати ξ = C(β)−1, то
‖K̃R‖ξ ≤ e2βB+1C(β)e
−CR(β)
C(β) ≤ ‖K̃‖ξ. (4.7)
Нескладно довести таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
АПРОКСИМАЦIЯ ФIНIТНИМИ ПОТЕНЦIАЛАМИ 1347
Лема 4.1. Для будь-якого скiнченного ϕ ∈ Eξ, де першi N елементiв вiдмiннi вiд нуля i
ϕn ≡ 0 для всiх n > N та R > R0 (див. (2.2)), виконується нерiвнiсть
‖(K̃ − K̃R)ϕ‖ξ ≤ ((N − 1)εR(β) + ∆CR(β)) ‖K̃‖ξ‖ϕ‖ξ, (4.8)
де
εR(β) = 1− e−β
φ0
Rd+ε0 .
Доведення. З визначення операторiв K̃ i K̃R (див. (3.2), (3.3)) отримуємо(
(K̃ − K̃R)ϕ
)
({x}) =
=
∞∑
k=1
1
k!
∫
Rkd
[
k∏
i=1
(
e−βφ(|x−yi|) − 1
)
−
k∏
i=1
(
e−βφR(|x−yi|) − 1
)]
ϕ({y}k)(dy)k. (4.9)
Водночас для η з |η| ≥ 2 можна записати(
(K̃ − K̃R)ϕ
)
(η) =
∑
x∈η
π̃(x; η \ {x})
[
e−βW (x;η\{x}) − e−βWR(x;η\{x})
]
×
×
∞∑
k=1
1
k!
∫
Rkd
k∏
i=1
(
e−βφ(|x−yi|) − 1
)
ϕ(η \ {x} ∪ {y1, ..., yk})(dy)k+
+
∑
x∈η
π̃(x; η \ {x})e−βWR(x;η\{x})
∞∑
k=1
1
k!
∫
Rkd
[ k∏
i=1
(
e−βφ(|x−yi|) − 1
)
−
−
k∏
i=1
(
e−βφR(|x−yi|) − 1
) ]
ϕ(η \ {x} ∪ {y1, . . . , yk})(dy)k. (4.10)
У першому рядку (4.10) ми використовуємо нерiвнiсть∣∣∣e−βW (x;η\{x}) − e−βWR(x;η\{x})
∣∣∣ =
= e−βW (x;η\{x})
∣∣∣∣∣1− e+β
∑
y∈η\{x}
∆φR(|x−y|)
∣∣∣∣∣ ≤ (|η| − 1)εR(β)e2βB,
яка випливає з нерiвностi
e−βW (x;η\{x}) ≤ e2βB
внаслiдок означень (3.4), (3.5) та тотожностi
k∏
i=1
ai −
k∏
i=1
bi =
k∑
i=1
(ai − bi)a1 · · · ai−1bi+1 · · · bk (4.11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1348 П. В. МАЛИШЕВ, О. Л. РЕБЕНКО
з ai = 1, bi = eβ∆φR(|x−yi|), k = |η \ {xi}| = |η| − 1.
У рiвняннi (4.9) та третьому i четвертому рядках (4.10) знову використано тотожнiсть (4.11)
з ai = e−βφ(|x−yi|) − 1 та bi = e−βφR(|x−yi|) − 1. Далi, використовуючи визначення (3.10),
(4.4), (4.5) та (4.6), оцiнки (4.3) i (4.7) та властивостi оператора π̃(x; η \ {x}) (див. (3.4), (3.5)),
отримуємо нерiвнiсть (4.8).
Лему 4.1 доведено.
На завершення сформулюємо основний результат роботи у виглядi теореми.
Теорема 4.1. Припустимо, що потецiал взаємодiї φ є неперервним на R+ \ {0} i задо-
вольняє припущення (A). Тодi для достатньо малих значень параметра z, що задовольняє
нерiвнiсть (3.9), розв’язок рiвняння Кiрквуда – Зальцбурга (4.1) для ρR прямує до розв’язку рiв-
няння (3.1) за нормою простору Eξ :
lim
R→∞
‖ρ − ρR‖ξ = 0.
Доведення. З (3.8), (4.2) (враховуючи позначення (3.6)) отримуємо
ρ − ρR =
∞∑
n=0
zn+1(K̃n − K̃n
R)δ.
Для оператора K̃n − K̃n
R ми використаємо таку тотожнiсть:
K̃n − K̃n
R =
n∑
i=0
K̃i−1(K̃ − K̃R)K̃n−i
R .
Вектор K̃n−i
R δ є фiнiтним i має рiвно n − i + 1 вiдмiнних вiд нуля компонент. Тодi за
лемою 4.1
‖(K̃ − K̃R)K̃n−i
R δ‖ξ ≤ ((n− i)εR(β) + ∆CR(β)) ‖K̃‖ξ‖K̃n−i
R δ‖ξ.
Отже,
‖(K̃n − K̃n
R)δ‖ξ ≤
n∑
i=1
‖K̃‖i−1
ξ ‖K̃‖ξ ((n− i)εR(β) + ∆CR(β)) ‖K̃n−i
R δ‖ξ.
Враховуючи (4.7) i те, що ‖δ‖ = 1, отримуємо нерiвнiсть
‖ρ − ρR‖ξ ≤
∞∑
n=0
zn+1‖K̃‖nξ
n∑
i=1
((n− i)εR(β) + ∆CR(β)) ≤
≤ 1
2
zεR(β)
∞∑
n=0
zn‖K̃‖nξn(n+ 1),
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
АПРОКСИМАЦIЯ ФIНIТНИМИ ПОТЕНЦIАЛАМИ 1349
εR(β) := max{εR(β),∆CR(β)}.
Теорему 4.1 доведено.
Насамкiнець зазначимо, що доведення аналогiчного результату для кореляцiйних функцiй
ρ(·; z, β) при довiльних значеннях параметрiв β, z є вiдкритою математичною проблемою.
1. Добрушин Р. Л., Синай Я. Г., Сухов Ю. М. Динамические системы статистической механики // Итоги науки и
техники. Сер. Совр. пробл. математики. Фундам. направления / ВИНИТИ. – 1985. – 2. – С. 235 – 284.
2. Kerstan J., Mattes K., Mekke J. Infinitely divisible point processes. – M: Nauka, 1982. – 392 p.
3. Albeverio S., Kondratiev Yu. G., Röckner M. Analysis and geometry on configuration spaces // J. Funct. Anal. – 1998. –
154, № 2. – P. 444 – 500.
4. Ruelle D. Statistical mechanics, rigorous results. – New York; Amsterdam: Benjamin, 1969.
5. Петрина Д. Я., Герасименко В. И., Малышев П. В. Математические основы классической статистической
механики. – Киев: Наук. думка, 1985.
6. Petrina D. Ya., Gerasimenko V. I., Malyshev P. V. Mathematical foundations of classical statistical mechanics.
Continuous systems. – 2nd ed. – New York; London: Taylor and Francis, 2002. – 336 p.
Одержано 27.07.12,
пiсля доопрацювання — 02.04.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2513 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:53Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/44/1a32c6b2aa6a10fef796028843587244.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25132020-03-18T19:17:19Z Approximation by Finite Potentials Апроксимація фінітними потенціалами Malyshev, P. V. Малишев, П. В. We consider an infinite system of point particles whose interaction is described by a stable two-body interaction potential ϕ of infinite range. A sequence of finite interaction potentials ϕ R pointwise convergent to ϕ as R → ∞ is introduced. It is shown that the corresponding sequence of correlation functions ρ R converges to ρ in the norm of the Ruelle space E ξ. Рассматриваются бесконечные системы точечных частиц, взаимодействие в которых определяется устойчивым двухточечным потенциалом с бесконечным радиусом действия ϕ. Введена последовательность финитных потенциалов взаимодействия фд, поточечно сходящаяся к ϕ при R → ∞. Доказано, что соответствующая последовательность корреляционных функций ρ R сходится к ρ по норме пространства Рюэлля E ξ. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2513 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 10 (2013); 1342–1349 Український математичний журнал; Том 65 № 10 (2013); 1342–1349 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2513/1791 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2513/1792 Copyright (c) 2013 Malyshev P. V. |
| spellingShingle | Malyshev, P. V. Малишев, П. В. Approximation by Finite Potentials |
| title | Approximation by Finite Potentials |
| title_alt | Апроксимація фінітними потенціалами |
| title_full | Approximation by Finite Potentials |
| title_fullStr | Approximation by Finite Potentials |
| title_full_unstemmed | Approximation by Finite Potentials |
| title_short | Approximation by Finite Potentials |
| title_sort | approximation by finite potentials |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2513 |
| work_keys_str_mv | AT malyshevpv approximationbyfinitepotentials AT mališevpv approximationbyfinitepotentials AT malyshevpv aproksimacíâfínítnimipotencíalami AT mališevpv aproksimacíâfínítnimipotencíalami |