Conditions for the Existence of Local Solutions of Set-Valued Differential Equations with Generalized Derivative
We consider a generalized set-valued differential equation with generalized derivative and prove the theorems on existence and uniqueness of its solution for the cases of interval-valued and set-valued mappings.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2514 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508419633446912 |
|---|---|
| author | Plotnikov, A. V. Skripnik, N. V. Плотніков, А. В. Скрипник, Н. В. |
| author_facet | Plotnikov, A. V. Skripnik, N. V. Плотніков, А. В. Скрипник, Н. В. |
| author_sort | Plotnikov, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:17:19Z |
| description | We consider a generalized set-valued differential equation with generalized derivative and prove the theorems on existence and uniqueness of its solution for the cases of interval-valued and set-valued mappings. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.911
А. В. Плотников (Одес. гос. акад. стр-ва и архитектуры, Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова),
Н. В. Скрипник (Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова)
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
МНОГОЗНАЧНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
С ОБОБЩЕННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
We consider generalized set-valued differential equations with generalized derivative and prove the existence and uniqueness
theorems for cases of interval-valued and set-valued mappings.
Розглянуто узагальнене багатозначне диференцiальне рiвняння i доведено теореми iснування та єдиностi розв’язку
для iнтервального та багатозначного випадкiв.
1. Введение. Развитие теории многозначных отображений привело к вопросу, что понимать
под производной от многозначного отображения. Основной причиной, по которой возникают
трудности при введении данного понятия, является нелинейность пространства comp(Rn), что
влечет за собой отсутствие операции вычитания.
M. Hukuhara [1] ввел интеграл и производную для многозначных отображений и рассмотрел
как они связаны между собой. Затем T. F. Bridgland [2] ввели Huygens-производную, Ю. Н. Тю-
рин [3] и H. T. Banks, M. Q. Jacobs [4] ввели π-производную, которая использует теорему
вложения Радстрема [5], А. В. Плотников ввел T -производную [6, 7], А. Н. Витюк — дроб-
ную производную для многозначных отображений [8], B. Bede, S. G. Gal ввели обобщенную
производную для интервальных отображений [9], а А. В. Плотников и Н. В. Скрипник [10]
— обобщенную производную для многозначных отображений. В дальнейшем свойства этих
производных рассматривались в работах [7, 11 – 18].
В 1969 г. F. S. de Blasi и F. Iervolino рассмотрели дифференциальные уравнения с произ-
водной Хукухары [11]. В дальнейшем многие авторы изучали свойства решений таких урав-
нений [7, 15, 18 – 23], интегро-дифференциальные уравнения [24, 25], уравнения высших по-
рядков [26], импульсные [15, 18] и управляемые [27 – 29] уравнения, а также дифференциаль-
ные включения [7, 30]. Впоследствии рассматривались также дифференциальные уравнения
с π-производной [12, 18, 31] и T -производной [6, 7], интервальные уравнения с обобщенной
производной [16, 17] и многозначные уравнения с обобщенной производной [10, 32, 33].
Многозначные уравнения в последнее время не только изучаются в рамках самостоятельной
теории — многозначных дифференциальных уравнений, но и широко применяются при иссле-
довании обычных дифференциальных включений и нечетких дифференциальных уравнений и
включений [15, 18, 21, 22, 34, 35].
В данной работе мы введем понятие обобщенной производной для многозначных отображе-
ний (подробнее см. [10]), рассмотрим обобщенное дифференциальное уравнение с обобщенной
производной и докажем теоремы существования и единственности для интервального и мно-
гозначного случаев.
2. Обобщенная производная. Пусть conv(Rn) — пространство непустых выпуклых ком-
пактных подмножеств пространства Rn с метрикой Хаусдорфа
h(A,B) = min
{
r ≥ 0: A ⊂ B + Sr(0), B ⊂ A+ Sr(0)
}
,
c© А. В. ПЛОТНИКОВ, Н. В. СКРИПНИК, 2013
1350 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ . . . 1351
где A,B ∈ conv(Rn), Sr(c) =
{
x ∈ Rn : ‖x− c‖ ≤ r
}
.
Теорема 1 [37]. Пространство conv(Rn) является полулинейным полным локально ком-
пактным метрическим пространством.
Определение 1 [1]. Пусть X,Y ∈ conv(Rn). Множество Z ∈ conv(Rn) такое, что X =
= Y + Z, называется разностью Хукухары множеств X и Y и обозначается X
h
Y.
Замечание 1. Разность Хукухары является частным случаем разности Минковского [37],
когда Y полностью выметает множество X, и если разность Хукухары существует, то опреде-
ляется единственным образом. Условия существования разности Хукухары подробно рассмот-
рены в [37].
Определение 2 [1]. Многозначное отображение X(·) : R1 → conv(Rn) дифференцируемо
по Хукухаре в точке t0 ∈ R1, если существует DHX(t0) ∈ conv(Rn) такое, что пределы
lim
∆→0+
∆−1
(
X(t0 + ∆)
h
X(t0)
)
, lim
∆→0+
∆−1
(
X(t0)
h
X(t0 −∆)
)
(1)
существуют и равны DHX(t0).
Известно, что если отображение X(·) дифференцируемо по Хукухаре на сегменте [a, b], то
функция t→ diam
(
X(t)
)
, t ∈ [a, b], не убывает на этом сегменте.
Замечание 2. Свойства производной Хукухары подробно рассмотрены в [1, 15, 18].
Введем понятие обобщенной производной для многозначных отображений. Пусть
(t0 −∆, t0 + ∆) — ∆-окрестность точки t0 ∈ R1, ∆ > 0.
Для произвольного t ∈ (t0 −∆, t0 + ∆) рассмотрим следующие разности Хукухары:
X(t)
h
X(t0), t ≥ t0, (2)
X(t0)
h
X(t), t ≥ t0, (3)
X(t0)
h
X(t), t ≤ t0, (4)
X(t)
h
X(t0), t ≤ t0, (5)
если эти разности существуют.
Определение 3. Разности (2) и (3) ((4) и (5)) будем называть правыми (левыми) разнос-
тями.
Замечание 3. Из свойств разности Хукухары следует, что обе односторонние разности
существуют тогда и только тогда, когда X(t) = A +
{
f(t)
}
для t > t0 или t < t0. Если
существуют все разности, то X(t) = A +
{
f(t)
}
во всей ∆-окрестности точки t0, где A ∈
∈ conv(Rn), f : R1 → Rn.
Если для всех t ∈ (t0 −∆, t0)
(
t ∈ (t0, t0 + ∆)
)
существует только одна из односторонних
разностей, то из свойств разности Хукухары следует, что отображение diam
(
X(·)
)
: (t0−∆, t0+
+ ∆)→ R1
+ в ∆-окрестности точки t0 может быть одним из следующих:
1) неубывающим на (t0 −∆, t0 + ∆);
2) невозрастающим на (t0 −∆, t0 + ∆);
3) неубывающим на (t0 −∆, t0) и невозрастающим на (t0, t0 + ∆);
4) невозрастающим на (t0 −∆, t0) и неубывающим на (t0, t0 + ∆).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1352 А. В. ПЛОТНИКОВ, Н. В. СКРИПНИК
Следовательно, для каждого из перечисленных случаев возможна только одна из комбина-
ций разностей: 1) (2) и (4); 2) (3) и (5); 3) (4) и (3); 4) (5) и (2).
Предположение 1. В случае, когда существуют две односторонние разности, будем рас-
сматривать лишь ту из них, которая соответствует комбинации с меньшим порядковым
номером.
Теперь рассмотрим четыре типа пределов, каждый из которых соответствует одному из
типов разностей:
lim
t→t0+
(t− t0)−1
(
X(t)
h
X(t0)
)
, (6)
lim
t→t0+
(t− t0)−1
(
X(t0)
h
X(t)
)
, (7)
lim
t→t0−
(t0 − t)−1
(
X(t0)
h
X(t)
)
, (8)
lim
t→t0−
(t0 − t)−1
(
X(t)
h
X(t0)
)
. (9)
Учитывая сделанное предположение, можно говорить, что в точке t0 могут существовать
не более двух пределов, так как мы предполагали, что существуют только две из четырех
используемых в пределах разностей Хукухары.
Замечание 4. Учитывая все изложенное выше, получаем, что могут существовать только
следующие комбинации пределов: 1) (6) и (8); 2) (7) и (9); 3) (8) и (7); 4) (9) и (6).
Определение 4 [10]. Если соответствующие два предела существуют и равны между
собой, то будем говорить, что отображение X(·) обобщенно дифференцируемо в точке t0 и
обобщенная производная равна DX(t0).
Определение 5 [10]. Будем говорить, что многозначное отображение X(·) : R1 →
→ conv(Rn) обобщенно дифференцируемо на интервале (t1, t2), если оно обобщенно диф-
ференцируемо в каждой точке этого интервала.
Лемма 1 [10]. Если многозначное отображение X(·) : R1 → conv(Rn) обобщенно диф-
ференцируемо и diam
(
X(·)
)
— неубывающая функция на R1, то многозначное отображение
X(·) также дифференцируемо по Хукухаре и DHX(·) = DX(·).
Лемма 2 [10]. Если многозначное отображение X(·) : R1 → conv(Rn) дифференцируемо
по Хукухаре, то оно обобщенно дифференцируемо и DX(·) = DHX(·).
Определение 6 [10]. Многозначное отображение X(·) : [t0, T ] → conv(Rn) называется
абсолютно непрерывным на [t0, T ], если существуют измеримое многозначное отображение
G(·) : [t0, T ]→ conv(Rn) и система отрезков [ti, ti+1], i = 0,m, tm+1 = T такие, что для всех
t ∈ [ti, ti+1], i = 0,m,
X(t) = X(ti)
h
t∫
ti
G(s)ds или X(t) = X(ti) +
t∫
ti
G(s)ds.
Теорема 2 [10]. Пусть многозначное отображение X(·) : [t0, T ] → conv(Rn) абсолютно
непрерывно на [t0, T ]. Тогда X(·) обобщенно дифференцируемо почти всюду на отрезке [t0, T ]
и DX(t) = G(t) для почти всех t ∈ [t0, T ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ . . . 1353
Замечание 5. Более подробно свойства обобщенной производной рассмотрены в [10].
3. Дифференциальные уравнения с обобщенной производной. Рассмотрим дифферен-
циальное уравнение с обобщенной производной, аналогичное дифференциальному уравнению
с производной Хукухары
DX = F (t,X), X(t0) = X0, (10)
где t ∈ [t0, T ], X(·) : [t0, T ] → conv(Rn), F (·, ·) : [t0, T ] × conv(Rn) → conv(Rn), X0 ∈
∈ conv(Rn).
Определим решение для дифференциального уравнения (10) аналогично тому, как это было
сделано для дифференциальных уравнений с производной Хукухары.
Определение 7. Многозначное отображение X(·) : [t0, T ]→ conv(Rn) называется реше-
нием дифференциального уравнения (10), если оно абсолютно непрерывно и удовлетворяет
(10) почти всюду на [t0, T ].
Но в отличие от дифференциальных уравнений с производной Хукухары в данном случае
невозможно обеспечить единственность решения.
Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение с обобщенной производной
DX = S1(0), X(0) = S2(0). (11)
Легко проверить, что все следующие многозначные отображения являются решениями урав-
нения (11):
X1(t) = S2+t(0), t ∈ [0, 1], X2(t) = S2−t(0), t ∈ [0, 1],
X3(t) =
S2+t(0), t ∈ [0; 0, 5],
S3−t(0), t ∈ [0, 5; 1],
X4(t) =
S2−t(0), t ∈ [0; 0, 25],
S1,5+t(0), t ∈ [0, 25; 0, 5],
S2,5−t(0), t ∈ [0, 5; 1].
Очевидно, что эту последовательность решений можно продолжить. Но только X1(·) является
решением аналогичного уравнения с производной Хукухары:
DHX = S1(0), X(0) = S2(0).
Поэтому рассмотрим дифференциальное уравнение несколько другого вида
DX
h
Φ
(
− φ(t)
)
F1(t,X) = Φ
(
φ(t)
)
F2(t,X), X(t0) = X0, (12)
где t ∈ [t0, T ], X0 ∈ conv(Rn), X(·) : [t0, T ] → conv(Rn), F1, F2(·, ·) : [t0, T ] × conv(Rn) →
→ conv(Rn) — многозначные отображения, φ(·) : [t0, T ]→ R1 — непрерывная функция, Φ(φ) =
=
{
1, φ > 0,
0, φ ≤ 0.
Определение 8. Многозначное отображение X(·) : [t0, T ]→ conv(Rn) называется реше-
нием дифференциального уравнения (12), если оно непрерывно и на любом отрезке [τi, τi+1] ⊂
⊂ [t0, T ], где функция φ(·) на интервале (ti, ti+1) имеет постоянный знак, удовлетворяет
интегральному уравнению
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1354 А. В. ПЛОТНИКОВ, Н. В. СКРИПНИК
X(t) +
t∫
τi
Φ
(
− φ(s)
)
F1
(
s,X(s)
)
ds = X(τi) +
t∫
τi
Φ
(
φ(s)
)
F2
(
s,X(s)
)
ds. (13)
Если на интервале (τi, τi+1) функция φ(t) > 0, то X(·) удовлетворяет интегральному урав-
нению
X(t) = X(τi) +
t∫
τi
F2(s,X(s))ds
для t ∈ [τi, τi+1] и diam
(
X(t)
)
является возрастающей функцией.
Если на интервале (τi, τi+1) функция φ(t) < 0, то X(·) удовлетворяет интегральному урав-
нению
X(τi) = X(t) +
t∫
τi
F1(s,X(s))ds,
т. е.
X(t) = X(τi)
h
t∫
τi
F1(s,X(s))ds
для t ∈ [τi, τi+1] и diam
(
X(t)
)
является убывающей функцией.
Если на отрезке [τi, τi+1] функция φ(t) = 0, то X(t) = X(τi) для t ∈ [τi, τi+1] и diam
(
X(t)
)
является постоянной функцией.
Так же введем другое эквивалентное определение решения уравнения (11).
Определение 9. Многозначное отображение X(·) : [t0, T ]→ conv(Rn) называется реше-
нием дифференциального уравнения (12), если оно абсолютно непрерывно, удовлетворяет (12)
почти всюду на [t0, T ] и
diamX(t) =
возрастает, если φ(t) > 0,
постоянный, если φ(t) = 0,
убывает, если φ(t) < 0.
Замечание 6. В уравнении (12) многозначные отображения F1(t,X) и F2(t,X) определяют
скорость изменения („сжатия” и „расширения”) многозначного отображения X(t) и как оно
видоизменяется в пространстве conv(Rn), а функция φ(t) определяет, когда диаметр X(t)
возрастает, убывает или является постоянным.
Замечание 7. В уравнении (12) рассматриваются два различных многозначных отображе-
ния F1(t,X) и F2(t,X) потому, что законы „сжатия” и „расширения” могут быть различными.
Пример 2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
DX
h
Φ
(
− φ(t)
)
S3
(
0
1
)
= Φ
(
φ(t)
)
S1
(
0
2
)
, X(0) = S1
(
0
3
)
, (14)
где φ(t) =
t− 1/4, t ∈ [0, 1/4) ,
0, t ∈ [1/4, 2] ,
t− 2, t ∈ (2, 3].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ . . . 1355
Поскольку φ(t) < 0 при t ∈
[
0,
1
4
)
, то X(t) = S1
(
0
3
)
h
∫ t
0
S3
(
0
1
)
= S1−3t
(
0
3− t
)
, а
так как φ(t) = 0 при t ∈
[
1
4
, 2
]
, то X(t) = S1/4
(
0
11
4
)
. Так как φ(t) > 0 при t ∈ [2, 3], то
X(t) = S1/4
(
0
11
4
)
+
∫ t
2
S1
(
0
2
)
= St−7/4
(
0
2t− 5
4
)
. Следовательно,
X(t) =
S1−3t
(
0
3− t
)
, t ∈
[
0,
1
4
)
,
S1/4
0
11
4
, t ∈
[
1
4
, 2
]
,
St−7/4
0
2t− 5
4
, t ∈ [2, 3].
4. Теорема существования и единственности решения. В данном пункте мы сформули-
руем условия существования и единственности решения для двух случаев n = 1 и n ≥ 2.
4.1. Случай n = 1. В данном случае справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1. Пусть A,B ∈ conv(R1). Для того чтобы AhB существовало, необходи-
мо и достаточно, чтобы diam(A) ≥ diam(B), причем diam(AhB) = diam(A)− diam(B).
Теорема 3. Пусть интервальнозначные отображения F1(t,X) и F2(t,X) в области Q =
=
{
(t,X) ∈ R1×conv(R1) : t ∈ [t0, t0+a], h(X,X0) ≤ b
}
удовлетворяют следующим условиям:
1) для любого фиксированного X интервальнозначные отображения F1(t,X), F2(t,X)
измеримы по t;
2) для любого фиксированного t интервальнозначные отображения F1(t,X), F2(t,X) удов-
летворяют условию Липшица с постоянными L1 и L2 по X;
3) существуют суммируемые на [t0, t0 + a] функции m1(t), m2(t) такие, что
h
(
F1(t,X), {0}
)
≤ m1(t), h
(
F2(t,X), {0}
)
≤ m2(t);
4) функция φ(t) непрерывна и имеет конечное число сегментов, где φ(t) = 0;
5) θ = diam(X0) > 0.
Тогда на сегменте [t0, t0 + d] существует единственное решение системы (12), где d удовле-
творяет условиям:
a) d ≤ a;
b) ξi(t0 + d) ≤ b, где ξi(t) =
∫ t
t0
mi(s)ds, i = 1, 2;
c)
∫
µ[t0,t0+d ]
m1(s)ds ≤ θ
2
, где µ[t0, t0 + d ] ⊂ [t0, t0 + d ] : φ(t) < 0 для t ∈ µ[t0, t0 + d ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1356 А. В. ПЛОТНИКОВ, Н. В. СКРИПНИК
Доказательство. Рассмотрим функцию φ(t) на сегменте [t0, t0 +a]. Из условия 4 теоремы
следует, что существует конечное число точек t1, . . . , tm ∈ [t0, t0 + d ] таких, что t0 < t1 < . . .
. . . < tm < t0 + d и на каждом частичном интервале (ti, ti+1), i = 0,m, tm+1 = t0 + d, функция
φ(t) либо имеет постоянный знак, либо равна нулю. Предположим, что решение системы
(12) существует на отрезке [t0, tk], k ≤ m. Рассмотрим уравнение (12) на сегменте [tk, tk+1].
Возможны три случая:
1) φ(t) > 0 для t ∈ (tk, tk+1). Пусть X(t) =
[
x1(t), x2(t)
]
и F2(t,X) =
[
f21(t, x1, x2),
f22(t, x1, x2)
]
. В силу определения 8 интервальнозначное отображение X(t) =
[
x1(t), x2(t)
]
удовлетворяет интегральному уравнению
[
x1(t), x2(t)
]
=
[
x1(tk), x2(tk)
]
+
t∫
tk
[
f21
(
s, x1(s), x2(s)
)
, f22
(
s, x1(s), x2(s)
)]
ds, (15)
т. е.
x1(t) = x1(tk) +
t∫
tk
f21
(
s, x1(s), x2(s)
)
ds,
x2(t) = x2(tk) +
t∫
tk
f22
(
s, x1(s), x2(s)
)
ds.
Следовательно, x1(t) и x2(t) удовлетворяют системе уравнений
ẋ1(t) = f21
(
t, x1(t), x2(t)
)
, x1(tk) = x1(tk − 0),
ẋ2(t) = f22
(
t, x1(t), x2(t)
)
, x2(tk) = x2(tk − 0).
(16)
В силу [36] система (16) имеет единственное решение x1(t) и x2(t) на отрезке [tk, tk+1]. Из (15)
следует, что diam
(
X(t)
)
на отрезке [tk, tk+1] не убывает. Следовательно, существует единст-
венное решение системы (12) на отрезке [tk, tk+1].
2) φ(t) < 0 для t ∈ (tk, tk+1). Пусть X(t) = [x1(t), x2(t)] и F1(t,X) =
[
f11(t, x1, x2),
f12(t, x1, x2)
]
. В силу определения 8 интервальнозначное отображение X(t) =
[
x1(t), x2(t)
]
удовлетворяет интегральному уравнению
[x1(tk), x2(tk)] =
[
x1(t), x2(t)
]
+
t∫
tk
[
f11
(
s, x1(s), x2(s)
)
, f12
(
s, x1(s), x2(s)
)]
ds,
т. е.
x1(tk) = x1(t) +
t∫
tk
f11
(
s, x1(s), x2(s)
)
ds,
x2(tk) = x2(t) +
t∫
tk
f12
(
s, x1(s), x2(s)
)
ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ . . . 1357
Следовательно, x1(t) и x2(t) должны удовлетворять системе уравнений
ẋ1(t) = −f11
(
t, x1(t), x2(t)
)
, x1(tk) = x1(tk − 0),
ẋ2(t) = −f12
(
t, x1(t), x2(t)
)
, x2(tk) = x2(tk − 0).
(17)
В силу [36] система (17) имеет единственное решение x1(t) и x2(t) на [tk, tk+1]. Посколь-
ку diam
(
X(t)
)
> diam
(
X(tk)
)
− 2
∫
[tk,t]
m1(s)ds ≥ diam(X0) − 2
∫
µ[t0,t]
m1(s)ds ≥ 0, то
diam
(
X(t)
)
= x2(t) − x1(t) ≥ 0 для всех t ∈ [tk, tk+1]. Следовательно, решение системы (12)
существует на отрезке [tk, tk+1].
3) φ(t) ≡ 0 для t ∈ [tk, tk+1]. ТогдаX(t) ≡ X(tk) для t ∈ [tk, tk+1]. Следовательно, решение
системы (12) существует на отрезке [tk, tk+1].
Теорема доказана.
4.2. Случай n ≥ 2. Пусть A,B ∈ conv(Rn). Как известно, в данном случае разность
Хукухары AhB не всегда существует даже при локальном вложении множества B в множество
A, т. е. если существует c ∈ Rn такое, что B + c ⊂ A [37].
Обозначим через CC(Rn), n ≥ 2, объединение пространства непустых сильно выпуклых
компактных подмножеств из Rn [37] с элементами пространства Rn.
Утверждение 2 [37]. Пусть A,B ∈ CC(Rn). Для того чтобы AhB существовало, необ-
ходимо и достаточно, чтобы множество B было локально вложимо в множество A.
Теорема 4. Пусть многозначные отображения F1, F2(·, ·) : R1 × CC(Rn) → CC(Rn) в
области Q =
{
(t,X) ∈ R1×CC(Rn) : t ∈ [t0, t0 +a], h(X,X0) ≤ b
}
удовлетворяют условиям:
1) для любого фиксированного X многозначные отображения F1(t,X), F2(t,X) измеримы
по t;
2) для любого фиксированного t многозначные отображения F1(t,X), F2(t,X) удовлетво-
ряют условию Липшица с постоянными L1 и L2 по X;
3) существуют суммируемые на [t0, t0 + a] функции m1(t), m2(t) такие, что
h
(
F1(t,X), {0}
)
≤ m1(t), h
(
F2(t,X), {0}
)
≤ m2(t);
4) функция φ(t) непрерывна и имеет конечное число сегментов, где φ(t) = 0;
5) intX0 6= ∅.
Тогда на сегменте [t0, t0 +d ] существует единственное решение системы (12), где d удовлет-
воряет условиям:
a) d ≤ a;
b) ξi(t0 + d) ≤ b, где ξi(t) =
∫ t
t0
mi(s)ds, i = 1, 2;
c)
∫
µ[t0,t0+d]
m1(s)ds ≤ θ
2
, где θ = min‖ψ‖=1
∣∣C(X0, ψ) + C(X0,−ψ)
∣∣, C(X,ψ) =
= maxx∈X(x1ψ1 + . . .+ xnψn), µ[t0, t0 + d ] ⊂ [t0, t0 + d ] : φ(t) < 0 для t ∈ µ[t0, t0 + d ].
Доказательство. Рассмотрим следующие случаи:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1358 А. В. ПЛОТНИКОВ, Н. В. СКРИПНИК
1. Если φ(t) > 0 для t ∈ [t0, t0 + a], то из леммы 1 получаем, что дифференциальное
уравнение (12) является дифференциальным уравнением с производной Хукухары
DHX = F2(t,X), X(t0) = X0. (18)
В силу [15, 20] на отрезке [t0, t0 + d ] существует единственное решение системы (18), где
d = min{a, d2},
∫ t0+d2
t0
m2(s)ds ≤ b.
2. Если φ(t) = 0 для t ∈ [t0, t0 + a], то из леммы 1 получаем, что дифференциальное
уравнение (12) является дифференциальным уравнением с производной Хукухары DHX =
= {0}, X(t0) = X0. Очевидно на отрезке [t0, t0 + a] единственным решением этого уравнения
является X(t) ≡ X0.
3. Если φ(t) < 0 для t ∈ [t0, t0 + a], то дифференциальное уравнение (12) является диффе-
ренциальным уравнением с обобщенной производной
DX
h
F1(t,X) = {0}, X(t0) = X0. (19)
В силу определения 8 рассмотрим эквивалентное интегральное уравнение
X(t) = X0
h
t∫
t0
F1
(
s,X(s)
)
ds (20)
на отрезке [t0, t0 + a] и докажем, что оно имеет решение на сегменте [t0, t0 + d ].
a) Из условия 3 теоремы имеем F1(t,X) ⊂ Sm1(t)(0) для всех (t,X) ∈ Q. Следовательно,
t∫
t0
F1(s,X)ds ⊂ S∫ t
t0
m1(s)ds(0).
Обозначим S(t) = S∫ t
t0
m1(s)ds(0). Очевидно, что если t0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ t0 + a, то S(t0) ⊂
⊂ S(t1) ⊂ S(t2) ⊂ S(t0 + a), т. е. многозначное отображение S(t) монотонно расширяется с
течением времени, причем S(t0) = {0}. Поскольку X0 ∈ CC(Rn) и intX0 6= ∅, существует
d1 > 0 такое, что множества S(t) вложимы в X0 для всех t ∈ [t0, t0 + d1] и не вложимы для
t > t0 + d1. Следовательно, d1 определяется из условия
∫ t0+d1
t0
m1(s)ds ≤ θ
2
.
Отсюда для всех (t,X) ∈ Q1 =
{
(t,X) ∈ R1 × CC(Rn) : t ∈ [t0, t0 + d1], h(X,X0) ≤ b
}
множество
∫ t
t0
F1(s,X)ds вложимо в множество X0.
б) Поскольку F1(t,X) ∈ CC(Rn) для всех (t,X) ∈ Q, из [37] следует, что
∫ t
t0
F1(s,X)ds ∈
∈ CC(Rn) для всех (t,X) ∈ Q. Тогда из пункта а) и [37] следует, что разность Хукухары
X0
h
∫ t
t0
F1(s,X)ds существует для всех (t,X) ∈ Q1.
в) Обозначим d = min{a, d1, d3}, где d3 > 0 такое, что
∫ t0+d3
t0
m1(s)ds ≤ b.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ . . . 1359
г) Построим последовательность многозначных отображений
X0(t) ≡ X0, Xk(t) = X0
h
t∫
t0
F1
(
s,Xk−1(s)
)
ds для всех t ∈ [t0, t0 + d ]. (21)
Из пункта б) следует, что Xk(t) существует и Xk(t) ∈ CC(Rn) для всех t ∈ [t0, t0 + d ] и
любого k ∈ N.
Из условий 1 и 2 теоремы имеем, что Xk(t) непрерывно для всех t ∈ [t0, t0 + d] и любого
k ∈ N.
Очевидно, что
h
(
Xk(t), X0
)
= h
X0
h
t∫
t0
F1
(
s,Xk−1(s)
)
ds,X0
≤ h
t∫
t0
F1
(
s,Xk−1(s)
)
ds, {0}
≤
≤
t∫
t0
h
(
F1
(
s,Xk−1(s)
)
, {0}
)
ds ≤
t∫
t0
m1(s)ds ≤ ξ(t0 + d) ≤ b.
Следовательно, последовательность многозначных отображений
{
Xk(t)
}∞
k=0
равномерно
ограничена, т. е. h
(
Xk(t), {0}
)
≤ h
(
X0, {0}
)
+ b для всех k ∈ N и t ∈ [t0, t0 + d ].
Теперь выберем произвольные m, p ∈ N. Оценим
h
(
Xp+m(t), Xp(t)
)
≤ h
t∫
t0
F1
(
s,Xp+m−1(s)
)
ds,
t∫
t0
F1
(
s,Xp−1(s)
)
ds
≤
≤
t∫
t0
h
(
F1
(
s,Xp+m−1(s)
)
, F1
(
s,Xp−1(s)
))
ds ≤ L1
t∫
t0
h
(
Xp+m−1(s), Xp−1(s)
)
ds.
Отсюда
h
(
Xp+m(t), Xp(t)
)
≤ Ln1
t∫
t0
. . .
tp−1∫
t0
h
(
Xm(tp), X0
)
dtp . . . dt1 ≤
bLp1(t− t0)p
(p)!
≤ bLp1d
p
(p)!
.
Следовательно, данная последовательность многозначных отображений
{
Xk(t)
}∞
k=0
явля-
ется фундаментальной и, значит, сходится. Непрерывное многозначное отображение, являю-
щееся пределом этой последовательности, обозначим через X(t). Очевидно, X(t) является
решением (20) и тем самым уравнения (19) на сегменте [t0, t0 + d ].
Докажем теперь, что решение уравнения (19) единственно. Предположим противное. Пусть
уравнение (19) имеет, по крайней мере, два решения X(t) и Y (t) таких, что
ω = max
t∈[t0,t0+d]
h
(
X(t), Y (t)
)
> 0,
где [t0, t0 + d ] — общий промежуток существования решений X(t) и Y (t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1360 А. В. ПЛОТНИКОВ, Н. В. СКРИПНИК
В силу эквивалентности уравнений (19) и (20) имеем
X(t) ≡ X0
h
t∫
t0
F1
(
s,X(s)
)
ds, Y (t) ≡ X0
h
t∫
t0
F1
(
s, Y (s)
)
ds,
откуда, используя условие Липшица и свойства расстояния по Хаусдорфу, получаем
h
(
X(t), Y (t)
)
= h
X0
h
t∫
t0
F1
(
s,X(s)
)
ds, X0
h
t∫
t0
F1
(
s, Y (s)
)
ds
=
= h
t∫
t0
F1
(
s,X(s)
)
ds,
t∫
t0
F1
(
s, Y (s)
)
ds
≤ t∫
t0
h
(
F1
(
s,X(s)
)
, F1
(
s, Y (s)
))
ds ≤
≤ L
t∫
t0
h
(
X(s), Y (s)
)
ds.
Таким образом, получаем последовательность оценок
h
(
X(t), Y (t)
)
≤ L
t∫
t0
ωds = Lω(t− t0) ≤ Lωd,
h(X(t), Y (t)) ≤ L
t∫
t0
Lω(s− t0)ds = L2ω
(t− t0)2
2
≤ L2ω
d2
2
. . . .
Используя метод полной математической индукции, убеждаемся, что для любого натураль-
ного m на отрезке [t0, t0 + d ] имеет место неравенство h
(
X(t), Y (t)
)
≤ Lmωd
m
m!
.
Тогда ω = maxt∈[t0,t0+d ] h
(
X(t), Y (t)
)
≤ Lmω
dm
m!
, откуда в силу положительности ω сле-
дует, что для любого натурального m
1 ≤ (Ld)m
m!
. (22)
По признаку Даламбера ряд
∑∞
m=1
(Ld)m
m!
сходится, и поэтому в силу необходимого усло-
вия limm→∞
(Ld)m
m!
= 0. Это означает, что для ε =
1
2
существуетm ∈ N такое, что
(Ld)m
m!
<
1
2
.
Тогда в силу (22) получаем, что 1 <
1
2
. Полученное противоречие возникло в результате невер-
ного предположения, следовательно, уравнение (19) имеет единственное решение.
4. В случае, когда функция φ(t) меняет знак на отрезке [t0, t0 +a], существование решения
доказывается комбинацией случаев 1 – 3.
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ . . . 1361
Замечание 8. В предположениях теоремы 4 пространство сильно выпуклых компактных
множеств можно заменить на пространство M -сильно выпуклых компактных множеств [37].
Замечание 9. Утверждения теоремы 4 останутся справедливыми, если предположить, что
F2 : (·, ·) : R1 × CC(Rn)→ conv(Rn).
1. Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe // Funk. ekvacioj. –
1967. – № 10. – P. 205 – 223.
2. Bridgland T. F. Trajectory integrals of set valued functions // Pacif. J. Math. – 1970. – 33, № 1. – P. 43 – 68.
3. Тюрин Ю. Н. Математическая формулировка упрощенной модели производственного планирования // Эконом.
и мат. методы. – 1965. – 1, № 3. – C. 391 – 409.
4. Banks H. T., Jacobs M. Q. A differential calculus for multifunctions // J. Math. Anal. and Appl. – 1970. – № 29. –
P. 246 – 272.
5. Radstrom H. An embedding theorem for spaces of convex sets // Proc. Amer. Math. Soc. – 1952. – № 3. – P. 165 – 169.
6. Плотников А. В. Дифференцирование многозначных отображений. T -производная // Укр. мат. журн. – 2000. –
52, № 8. – C. 1119 – 1126.
7. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью.
Асимптотические методы. – Одесса: АстроПринт, 1999. – 354 с.
8. Витюк А. Н. Дробное дифференцирование многозначных отображений // Доп. НАН України. – 2003. – № 10. –
C. 75 – 78.
9. Bede B., Stefanini L. Generalized Hukuhara differentiability of interval-valued functions and interval differential
equations // Working Paper Ser. in Economics. Math. and Statist. Univ. Urbino “Carlo Bo”. – 2008.
10. Plotnikov A. V., Skripnik N. V. Set-valued differential equations with generalized derivative // J. Adv. Res. Pure
Math. – 2011. – 3, № 1. – P. 144 – 160.
11. de Blasi F. S., Iervolino F. Equazioni differentiali con soluzioni a valore compatto convesso // Boll. Unione mat.
ital. – 1969. – 2, № 4 – 5. – P. 491 – 501.
12. Chalco-Cano Y., Romin-Flores H., Jiminez-Gamero M. D. Generalized derivative and π-derivative for set-valued
functions // Inf. Sci. – 2011. – 181, № 1. – P. 2177 – 2188.
13. Lasota A., Strauss A. Asymptotic behavior for differential equations which cannot be locally linearized // J. Different.
Equat. – 1971. – 3, № 10. – P. 152 – 172.
14. Martelli M., Vignoli A. On differentiability of multi-valued maps // Boll. Unione mat. ital. – 1974. – 4, № 10. –
P. 701 – 712.
15. Плотников А. В., Скрипник Н. В. Дифференциальные уравнения с четкой и нечеткой многозначной правой
частью. Асимптотические методы. – Одесса: АстроПринт, 2009.
16. Bede B., Gal S. G. Generalizations of the differentiability of fuzzy-number-valued functions with applications to
fuzzy differential equations // Fuzzy Sets Syst. – 2005. – № 151. – P. 581 – 599.
17. Stefanini L., Bede B. Generalized Hukuhara differentiability of interval-valued functions and interval differential
equations // Nonlinear Anal., Theory, Methods, Appl., Ser. A. – 2009. – 71, № 3 – 4. – P. 1311 – 1328.
18. Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник Н. В. Импульсные дифференциальные урав-
нения с многозначной и разрывной правой частью. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2007.
19. de Blasi F. S., Iervolino F. Euler method for differential equations with set-valued solutions // Boll. Unione mat.
ital. – 1971. – 4, № 4. – P. 941 – 949.
20. Brandao Lopes Pinto A. J., de Blasi F. S., Iervolino F. Uniqueness and existence theorems for differential equations
with compact convex valued solutions // Boll. Unione mat. ital. – 1970. – № 4. – P. 534 – 538.
21. Lakshmikantham V., Granna Bhaskar T., Vasundhara Devi J. Theory of set differential equations in metric spaces. –
Cambridge Sci. Publ., 2006.
22. Lakshmikantham V., Mohapatra R. N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions. – London: Taylor &
Francis, 2003.
23. Комлева Т. А., Плотников А. В., Скрипник Н. В. Дифференциальные уравнения с многозначными решения-
ми // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 10. – C. 1326 – 1337.
24. Плотников А. В., Тумбрукаки А. В. Интегро-дифференциальные уравнения с многозначными траектория-
ми // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 3. – C. 359 – 367.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1362 А. В. ПЛОТНИКОВ, Н. В. СКРИПНИК
25. Plotnikov A. V., Komleva T. A. Averaging of set integrodifferential equations // Appl. Math. – 2011. – 1, № 2. –
P. 99 – 105.
26. Piszczek M. On a multivalued second order differential problem with Hukuhara derivative // Opusc. math. – 2008. –
28, № 2. – P. 151 – 161.
27. Арсирий А. В., Плотников А. В. Системы управления многозначными траекториями с многозначным критерием
качества // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 8. – C. 1142 – 1147.
28. Plotnikov A. V., Arsirii A. V. Piecewise constant control set systems // Amer. J. Comput. and Appl. Math. – 2011. –
1, № 2. – P. 89 – 92.
29. Плотников В. А., Кичмаренко О. Д. Усреднение управляемых уравнений с производной Хукухары // Нелiнiйнi
коливання. – 2006. – 9, № 3. – C. 376 – 385.
30. de Blasi F. S., Lakshmikantham V., Gnana Bhaskar T. An existence theorem for set differential inclusions in a
semilinear metric space // Control Cybernet. – 2007. – 36, № 3. – P. 571 – 582.
31. Плотникова Н. В. Системы линейных дифференциальных уравнений с π-производной и линейные дифферен-
циальные включения // Мат. сб. – 2005. – 196, № 11. – C. 127 – 140.
32. Plotnikov A., Skripnik N. Existence and uniqueness theorems for generalized set differential equations // Int. J. Control
Sci. Eng. – 2012. – 2, № 1. – P. 1 – 6.
33. Skripnik N. Interval-valued differential equations with generalized derivative // Appl. Math. – 2012. – 2, № 4. –
P. 116 – 120.
34. Плотникова Н. В. Аппроксимация пучка решений линейных дифференциальных включений // Нелiнiйнi
коливання. – 2006. – 9, № 3. – C. 386 – 400.
35. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. – Новосибирск: Наука, 1986. –
296 с.
36. Filippov A. F. Differential equations with discontinuous righthand sides. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. Group,
1988.
37. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. – М.: Физматлит, 2004. –
416 с.
Получено 24.04.12,
после доработки — 18.09.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2514 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:55Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b0/9ca95f42dd724b3fe55b580106bd11b0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25142020-03-18T19:17:19Z Conditions for the Existence of Local Solutions of Set-Valued Differential Equations with Generalized Derivative Условия существования локального решения многозначного дифференциального уравнения с обобщенной производной Plotnikov, A. V. Skripnik, N. V. Плотніков, А. В. Скрипник, Н. В. We consider a generalized set-valued differential equation with generalized derivative and prove the theorems on existence and uniqueness of its solution for the cases of interval-valued and set-valued mappings. Розглянуто узагальнене багатозначне диференціальне рiвняння i доведено теореми існування та единості розв'язку для інтервального та багатозначного випадків. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2514 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 10 (2013); 1350–1362 Український математичний журнал; Том 65 № 10 (2013); 1350–1362 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2514/1793 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2514/1794 Copyright (c) 2013 Plotnikov A. V.; Skripnik N. V. |
| spellingShingle | Plotnikov, A. V. Skripnik, N. V. Плотніков, А. В. Скрипник, Н. В. Conditions for the Existence of Local Solutions of Set-Valued Differential Equations with Generalized Derivative |
| title | Conditions for the Existence of Local Solutions of Set-Valued Differential Equations with Generalized Derivative |
| title_alt | Условия существования локального решения многозначного дифференциального уравнения с обобщенной производной |
| title_full | Conditions for the Existence of Local Solutions of Set-Valued Differential Equations with Generalized Derivative |
| title_fullStr | Conditions for the Existence of Local Solutions of Set-Valued Differential Equations with Generalized Derivative |
| title_full_unstemmed | Conditions for the Existence of Local Solutions of Set-Valued Differential Equations with Generalized Derivative |
| title_short | Conditions for the Existence of Local Solutions of Set-Valued Differential Equations with Generalized Derivative |
| title_sort | conditions for the existence of local solutions of set-valued differential equations with generalized derivative |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2514 |
| work_keys_str_mv | AT plotnikovav conditionsfortheexistenceoflocalsolutionsofsetvalueddifferentialequationswithgeneralizedderivative AT skripniknv conditionsfortheexistenceoflocalsolutionsofsetvalueddifferentialequationswithgeneralizedderivative AT plotníkovav conditionsfortheexistenceoflocalsolutionsofsetvalueddifferentialequationswithgeneralizedderivative AT skripniknv conditionsfortheexistenceoflocalsolutionsofsetvalueddifferentialequationswithgeneralizedderivative AT plotnikovav usloviâsuŝestvovaniâlokalʹnogorešeniâmnogoznačnogodifferencialʹnogouravneniâsobobŝennojproizvodnoj AT skripniknv usloviâsuŝestvovaniâlokalʹnogorešeniâmnogoznačnogodifferencialʹnogouravneniâsobobŝennojproizvodnoj AT plotníkovav usloviâsuŝestvovaniâlokalʹnogorešeniâmnogoznačnogodifferencialʹnogouravneniâsobobŝennojproizvodnoj AT skripniknv usloviâsuŝestvovaniâlokalʹnogorešeniâmnogoznačnogodifferencialʹnogouravneniâsobobŝennojproizvodnoj |