Solvability of the First Boundary-Value Problem for the Heat-Conduction Equation with Nonlinear Sources and Strong Power Singularities
By using the Schauder principle and the principle of contracting mappings, we study the character of point power singularities for the solution of the generalized first boundary-value problem for the heat-conduction equation with nonlinear boundary conditions. We establish sufficient conditions for...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2516 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508421896273920 |
|---|---|
| author | Chmyr, O. Yu. Чмир, О. Ю. |
| author_facet | Chmyr, O. Yu. Чмир, О. Ю. |
| author_sort | Chmyr, O. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:17:19Z |
| description | By using the Schauder principle and the principle of contracting mappings, we study the character of point power singularities for the solution of the generalized first boundary-value problem for the heat-conduction equation with nonlinear boundary conditions. We establish sufficient conditions for the solvability of the analyzed problem. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:24:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
О. Ю. Чмир (Львiв. держ. ун-т безпеки життєдiяльностi)
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ
ТЕПЛОПРОВIДНОСТI З НЕЛIНIЙНИМИ ДЖЕРЕЛАМИ
I СИЛЬНИМИ СТЕПЕНЕВИМИ ОСОБЛИВОСТЯМИ
By using the Schauder principle and the principle of contracting mappings, we study the character of point power singularities
of the solution of the first generalized boundary-value problem for the heat-conduction equation with nonlinear boundary
conditions. We establish sufficient conditions for the solvability of the analyzed problem.
С помощью принципа Шаудера и принципа сжатых отображений исследован характер точечных степенных особен-
ностей решения первой обобщенной краевой задачи для уравнения теплопроводности с нелинейными краевыми
условиями. Установлены достаточные условия разрешимости этой задачи.
Вступ. Iснує багато праць, в яких наведено результати про iснування та поведiнку розв’язкiв
лiнiйних та напiвлiнiйних елiптичних та параболiчних рiвнянь на межi областi та в окремих
її точках з узагальненими функцiями на межi областi (див., наприклад, [1] та наведену там
бiблiографiю, а також [2, 3]).
У статтi [4] дослiджувались нелiнiйнi елiптичнi крайовi задачi при заданих на межi функцiях
iз сильними степеневими особливостями. Використовуючи данi цих дослiджень, продовжено
вивчення нелiнiйних крайових задач для рiвняння теплопровiдностi в узагальнених функцiях.
Так, у статтi [5] встановлено достатнi умови розв’язностi нелiнiйної першої узагальненої крайо-
вої задачi для рiвняння теплопровiдностi у просторi функцiй з точковими особливостями, а у
[6] дослiджено характер точкових степеневих особливостей розв’язку такої задачi.
Постає питання: чи можна розглядати такi задачi з нелiнiйними крайовими умовами? У
статтях [7 – 11] дослiджувались крайовi задачi для рiвняння теплопровiдностi з нелiнiйними
крайовими умовами. Так, в [11] одержано коректну розв’язнiсть крайової задачi для рiвняння
теплопровiдностi з нелiнiйними крайовими умовами та початковими даними – мiрами.
У працях [12, 13] розглянуто задачу Кошi для нелiнiйного параболiчного рiвняння, де
встановлено глобальне iснування та вибух в обмежений час розв’язкiв такої задачi. Знайдено
критичний показник нелiнiйностi, який вiдокремлює областi iснування та неiснування глобаль-
ного додатного розв’язку задачi Кошi. Подiбнi дослiдження проводились багатьма науковцями
для рiзних типiв рiвнянь (лiнiйних та квазiлiнiйних) з лiнiйними та нелiнiйними крайовими
умовами (див., наприклад, [9, 10, 14]). Показано, що в деяких випадках вибух може вiдбувати-
ся в окремих точках або тiльки на межi областi. Вiдомо, що критичний показник залежить вiд
класу функцiй, у яких шукають розв’язок.
У данiй статтi дослiджується перша крайова задача для рiвняння теплопровiдностi в обме-
женiй цилiндричнiй областi при наявностi нелiнiйних точкових джерел. Доведено iснування
її розв’язку у певному класi функцiй iз сильними степеневими особливостями, залежному вiд
показникiв нелiнiйностi у рiвняннi та крайовiй умовi, зокрема, охоплено випадок „критичного
показника” Х. Фуджiти. Для доведення розв’язностi використано метод зведення такої задачi
до iнтегрального рiвняння у певному ваговому функцiйному просторi, а також застосовано
теорему Шаудера про нерухому точку та принцип стискаючих вiдображень.
c© О. Ю. ЧМИР, 2013
1388 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 1389
1. Основнi позначення та формулювання задачi. Нехай n ∈ N, Ω — обмежена область в
Rn з межею S = ∂Ω класу C∞, Q = Ω× (0, T ], Σ = S × (0, T ], 0 < T < +∞.
Використовуватимемо позначення: ‖x− y‖ =
√∑n
i=1
|xi − yi|2 — евклiдова вiдстань в Rn,
P = (x, t), M = (y, τ), P̂ = (x̂, t̂), d(P,M) = |PM | = d(x, t; y, τ) =
√
‖x− y‖2 + |t− τ |—
параболiчна вiдстань в Rn+1; η — мультиiндекс з компонентами (η1, . . . , ηn), ηi ∈ Z+, i = 1, n,
|η| = η1 + . . .+ ηn — довжина мультиiндексу η, Dη ≡ Dη
x =
∂|η|
∂xη11 . . . ∂xηnn
.
Нехай ε0 > 0 — таке задане число, що паралельна до S поверхня Sε0 є класу C∞; далi
вважатимемо, що ε0 ≤ 1. Через %̃(σ) позначатимемо нескiнченно диференцiйовну невiд’єм-
ну функцiю, яка має порядок σ при σ → 0. При довiльнiй фiксованiй точцi P̂ ∈ Q введемо
функцiю %0 точки P ∈ Q таку, що 0 < %0(P, P̂ ) ≤ 1 та
%0(P, P̂ ) =
%̃
(
|PP̂ |
)
, |PP̂ | < ε0
2
,
1, |PP̂ | ≥ ε0.
Нехай
D(Q) = C∞(Q), D(Σ) = C∞(Σ), D(Ω) = C∞(Ω),
D0(Q) =
{
ϕ ∈ D(Q) :
∂k
∂tk
ϕ | t=T = 0, k = 0, 1, . . .
}
,
D0(Σ) =
{
ϕ ∈ D(Σ):
∂k
∂tk
ϕ | t=T = 0, k = 0, 1, . . .
}
,
D0(Ω) =
{
ϕ ∈ D(Ω): ϕ|S = 0
}
,
ν — орт внутрiшньої нормалi до S.
Далi позначатимемо через
(
D0(Σ)
)′
,
(
D0(Ω)
)′
простори лiнiйних неперервних функцiо-
налiв вiдповiдно на просторах функцiй D0(Σ), D0(Ω), через (ϕ, F )1 значення узагальненої
функцiї F ∈
(
D0(Σ)
)′ на основнiй функцiї ϕ ∈ D0(Σ), через (ϕ, F )2 значення F ∈
(
D0(Ω)
)′
на ϕ ∈ D0(Ω).
Припущення 1. Нехай (x̂, t̂ ) ∈ Σ та
1) функцiя f0(x, t, v) визначена в Q× (−∞,+∞), f1(x, t, v) — в Σ× (−∞,+∞),
2) F1(x, t) =
∑
|l|≤p1
∑p2
m=0
ClmD
l
xδ(x− x̂)δ(m)(t− t̂ ),
3) F2(x) =
∑
|r|≤p3
CrD
r
xδ(x− x̂),
де Clm, Cr — сталi, p1, p2, p3 — невiд’ємнi цiлi числа.
Розглянемо нелiнiйну першу узагальнену крайову задачу
Lu(x, t) ≡ ∂u(x, t)
∂t
−4u(x, t) = f0
(
x, t, u(x, t)
)
, (x, t) ∈ Q, (1)
u |Σ = F1(x, t) + f1
(
x, t, u(x, t)
)
, (x, t) ∈ Σ, (2)
u | t=0 = F2(x), x ∈ Ω. (3)
При k ∈ R введемо функцiйнi простори:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1390 О. Ю. ЧМИР
Mk(Q, P̂ ) =
=
v : ‖v; P̂‖k = max
{∫
Q
%k0
(
x, t, x̂, t̂
)∣∣v(x, t)
∣∣ dxdt; ∫
Σ
%k0
(
x, t, x̂, t̂
)∣∣v(x, t)
∣∣ dSdt} < +∞
,
Xk(Q, P̂ ) =
{
ψ ∈ D0(Q) : ψ(·, 0) ∈ D0(Ω), ψ |Σ = 0,
L∗ψ(x, t) = O
(
%k0(x, t, x̂, t̂ )
)
, %0(x, t, x̂, t̂ )→ 0
}
,
де L∗ — оператор, формально спряжений до L, L∗v = −
(
∂v
∂t
+4∗v
)
.
Нехай Mk,C(Q, P̂ ) =
{
v ∈ Mk(Q, P̂ ) : ‖v; P̂‖k ≤ C
}
— куля радiуса C у просторi
Mk(Q, P̂ ).
Означення 1. Розв’язком задачi (1) – (3) називається функцiя u ∈Mk(Q, P̂ ) така, що∫
Q
L∗ψudxdt =
∫
Q
ψ(x, t)f0
(
x, t, u(x, t)
)
dxdt+
(
∂ψ(x, t)
∂ν
, F1(x, t)
)
1
+
+
∫
Σ
∂ψ(x, t)
∂ν
f1
(
x, t, u(x, t)
)
dSdt+
(
ψ(·, 0), F2(·)
)
2
для довiльної ψ ∈ Xk(Q, P̂ ).
Позначимо через G(x, t; y, τ) функцiю Грiна першої крайової задачi для рiвняння тепло-
провiдностi, яка визначена у точках (x, t; y, τ) ∈ Q×Q при (x, t) 6= (y, τ). Iснування її та ряд
властивостей одержуємо iз [15, 16]. З цих результатiв випливає, що
1) G(x, t; y, τ) = 0 при t < τ ;
2) для будь-яких мультиiндексiв η, η0∣∣∣∣ ∂η0∂tη0
Dη
xG(x, t; y, τ)
∣∣∣∣ ≤ Ĉη, η0 [d(x, t; y, τ)
]−n−|η|−2η0
,
де Ĉη, η0 — додатнi сталi.
Подiбно до результатiв [2, 17, 18] доводимо таку властивiсть функцiї G.
Лема 1. Нехай (x̂, t̂ ) ∈ Q, |η| ≤ 1. Тодi∫
Q
%r0(x, t, x̂, t̂ )
∣∣Dη
yG(x, t; y, τ)
∣∣ dxdt ≤ L1, η max
{[
%0(y, τ, x̂, t̂)
]r+2−|η|
, 1
}
∀(y, τ) ∈ Q
при r > −n− 2; ∫
Σ
%r10 (x, t, x̂, t̂ )|t− t̂ |r2
∣∣Dη
yG(x, t; y, τ)
∣∣ dSxdt ≤
≤ L2, η max
{[
%0(y, τ, x̂, t̂ )
]r1+2r2+1−|η|
, 1
}
∀(y, τ) ∈ Q
при r1 > −n− 1, r2 > −1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 1391
Зауваження 1. Аналогiчно доведенню теореми 2 [3] встановимо, що розв’язок задачi (1) –
(3) є розв’язком у просторiMk(Q, P̂ ) iнтегрального рiвняння
u(x, t) =
t∫
0
dτ
∫
Ω
G(x, t; y, τ)f0
(
y, τ, u(y, τ)
)
dy +
(
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
, F1(y, τ)
)
1
+
+
∫
Σ
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
f1
(
y, τ, u(y, τ)
)
dSydτ +
(
G(x, t; y, 0), F2(y)
)
2
(4)
i навпаки.
Позначимо
(Hv)(x, t) =
t∫
0
dτ
∫
Ω
G(x, t; y, τ)f0
(
y, τ, v(y, τ)
)
dy +
∫
Σ
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
f1
(
y, τ, v(y, τ)
)
dSydτ,
h(x, t) = g1(x, t) + g2(x, t) =
(
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
, F1(y, τ)
)
1
+
(
G(x, t; y, 0), F2(y)
)
2
,
(H1v)(x, t) = (Hv)(x, t) + h(x, t).
Рiвняння (4) набере вигляду u(x, t) = (Hu)(x, t) + h(x, t).
З огляду на теорему Шаудера [19, с. 291] у [5] показано iснування сталої C > 0 такої, що
оператор H1 вiдображає Mk,C(Q, P̂ ) в себе, є неперервним оператором на Mk,C(Q, P̂ ), та
доведено наступну теорему.
Теорема 1. Нехай k > k0 = max{p1 + 2p2, p3− 1} та виконуються припущення 1, функцiї
f0, f1 задовольняють умови:
1) iснує стала M0 > 0 така, що для довiльної сталої C > M0 та для довiльної v ∈
∈Mk,C(Q, P̂ ) ∫
Q
∣∣f0
(
y, τ, v(y, τ)
)∣∣ dydτ ≤ ϕ1(C), (5)
∫
Σ
∣∣f1
(
y, τ, v(y, τ)
)∣∣ dSdτ ≤ ϕ2(C), (6)
де ϕ1(z), ϕ2(z), z ∈ [0,+∞), — неперервнi, монотонно неспаднi, додатнi на (0,+∞) функцiї,
ϕi(z)
z
→ 0 при z → +∞, i = 1, 2;
2) iснують неперервнi, монотонно неспаднi, додатнi на (0,+∞) функцiї ψ1
C(z), ψ2
C(z),
z ∈ [0,+∞), такi, що ψ1
C(0) = 0, ψ2
C(0) = 0 та для довiльних v, w ∈Mk,C(Q, P̂ )∫
Q
∣∣∣f0
(
y, τ, v(y, τ)
)
− f0
(
y, τ, w(y, τ)
)∣∣∣ dydτ ≤ ψ1
C
(
‖v − w; P̂‖k
)
, (7)
∫
Σ
∣∣∣f1
(
y, τ, v(y, τ)
)
− f1
(
y, τ, w(y, τ)
)∣∣∣ dSdτ ≤ ψ2
C
(
‖v − w; P̂‖k
)
. (8)
Тодi iснує розв’язок задачi (1) – (3) у просторiMk(Q, P̂ ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1392 О. Ю. ЧМИР
Наслiдок 1. Нехай виконуються припущення 1, k > max{p1 + 2p2, p3 − 1}, f0(x, t, v) =
= |v|β0 та f1(x, t, v) = |v|β1 |t − t̂|γ . Тодi для всiх β0 ∈
(
0,
n+ 2
k + n+ 2
)
, β1 ∈
(
0,
n+ 1
k + n+ 1
)
,
γ ∈
(
− (1− β1), 0
)
iснує розв’язок задачi (1) – (3) у просторiMk(Q, P̂ ).
Доведення. Покажемо, що функцiї f0(x, t, v) = |v|β0 та f1(x, t, v) = |v|β1 |t− t̂|γ задоволь-
няють умови теореми 1.
У [5] доведено виконання умов (5) та (7) при β0 ∈
(
0,
n+ 2
k + n+ 2
)
.
Подiбним чином, застосовуючи нерiвнiсть Гельдера, маємо∫
Σ
∣∣v(y, τ)
∣∣β1∣∣τ − t̂ ∣∣γ dSdτ ≤
∫
Σ
%k0(y, τ, x̂, t̂ )
∣∣v(y, τ)
∣∣ dSdτ
β1
×
×
∫
Σ
[
%0(y, τ, x̂, t̂ )
]− kβ1
1−β1 |τ − t̂ |
γ
1−β1 dSdτ
1−β1
≤
≤
(
‖v; P̂‖k
)β1∫
Σ
[
%0(y, τ, x̂, t̂ )
]− kβ1
1−β1
∣∣τ − t̂ ∣∣ γ
1−β1 dSdτ
1−β1
.
Виконаємо замiну змiнних yi = x̂i+ξi
ε0
2
, τ = t̂+ξn+1
(ε0
2
)2
, i = 1, n, де ξ = (ξ1, . . . , ξn, ξn+1),
|ξ| =
√
‖ξ‖2 + ξn+1, dSdτ =
(ε0
2
)n+1
dξ. Тодi∫
Σ
[
%0(y, τ, x̂, t̂ )
]− kβ1
1−β1
∣∣τ − t̂ ∣∣ γ
1−β1 dSdτ =
=
∫
{
(y,τ)∈Σ: |MP̂ |<ε02
}
[
%0(y, τ, x̂, t̂ )
]− kβ1
1−β1
∣∣τ − t̂ ∣∣ γ
1−β1 dSdτ+
+
∫
{
(y,τ)∈Σ: |MP̂ |≥ ε02
}
[
%0(y, τ, x̂, t̂ )
]− kβ1
1−β1
∣∣τ − t̂∣∣ γ
1−β1 dSdτ ≤
≤ C1
∫
{
ξ∈Σ: |ξ|<1
} | ξ |−
kβ1
1−β1 ξ
γ
1−β1
n+1 dξ + C2
∫
{
ξ∈Σ: |ξ|≥1
} ξ
γ
1−β1
n+1 dξ,
де C1, C2 — довiльнi сталi. Iнтеграли в останнiй рiвностi збiгаються при − kβ1
1− β1
> −n − 1,
γ
1− β1
> −1, а отже, при всiх β1 ∈
(
0,
n+ 1
k + n+ 1
)
, γ ∈
(
−(1−β1), 0
)
функцiя f1 задовольняє
умову (6).
Використовуючи формулу |aµ−bµ| ≤ |a−b|µ при a, b > 0, µ ∈ (0, 1) та нерiвнiсть Гельдера,
оцiнюємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 1393∫
Σ
∥∥v(y, τ)
∣∣β1 − ∣∣w(y, τ)
∣∣β1∣∣ |τ − t̂ |γ dSdτ ≤ (∥∥v − w; P̂
∥∥
k
)β1
×
×
∫
Σ
[
%0(y, τ, x̂, t̂ )
]− kβ1
1−β1 |τ − t̂ |
γ
1−β1 dSdτ
1−β1
,
де iнтеграл збiгається при β1 ∈
(
0,
n+ 1
k + n+ 1
)
, γ ∈ (−(1 − β1), 0). Отже, виконуються умо-
ви (6), (8).
Наслiдок 1 доведено.
Якщо β0, β1 та γ вiдомi, то можна отримати просториMk(Q, P̂ ), для яких iснує розв’язок
u ∈Mk(Q, P̂ ) задачi (1) – (3).
Зауваження 2. Нехай виконуються припущення 1 та β0, β1 ∈ (0, 1), γ ∈ (−1, 0),
p1 + 2p2 < min
{
(n+ 2)
(
1
β0
− 1
)
; (n+ 1)
(
1
β1
− 1
)}
,
p3 < 1 + min
{
(n+ 2)
(
1
β0
− 1
)
; (n+ 1)
(
1
β1
− 1
)}
.
Тодi iснує розв’язок u ∈Mk(Q, P̂ ) задачi (1) – (3) при k > k0 > 0.
2. Характер точкових степеневих особливостей розв’язку першої узагальненої крайо-
вої задачi для рiвняння теплопровiдностi з нелiнiйними крайовими умовами. Для довiль-
ної фiксованої точки P̂ = (x̂, t̂) ∈ Σ та α ∈ R− ∪ {0} введемо функцiйний простiр
M̃α(Q, P̂ ) =
{
v ∈ C
(
Q \ {P̂}
)
: %−α0 (y, τ, x̂, t̂ )v(y, τ) ∈ C(Q)(‖v; P̂‖ ′α =
= sup
(y,τ)∈Q
%−α0 (y, τ, x̂, t̂ )
∣∣v(y, τ)
∣∣ < +∞)
}
.
Оскiльки при v ∈ M̃α(Q, P̂ ) та k + α > −n− 1 виконується
‖v; P̂‖k = max
∫
Q
%k0(M, P̂ )
∣∣v(y, τ)
∣∣ dydτ ;
∫
Σ
%k0(M, P̂ )
∣∣v(y, τ)
∣∣ dSdτ
≤
≤ max
Ĉ
∫
Q
%k0(M, P̂ )
[
%0(M, P̂ )
]α
dydτ ; Ĉ
∫
Σ
%k0(M, P̂ )
[
%0(M, P̂ )
]α
dSdτ
≤
≤ max
Ĉ
∫
{M : |MP̂ |<ε0}
[
%0(M, P̂ )
]k+α
dydτ+
+Ĉ
∫
{M : |MP̂ |≥ε0}
dydτ ; Ĉ
∫
{M : |MP̂ |<ε0}
[
%0(M, P̂ )
]k+α
dSdτ + Ĉ
∫
{M : |MP̂ |≥ε0}
dSdτ
< +∞,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1394 О. Ю. ЧМИР
то M̃α(Q, P̂ ) ⊂Mk(Q, P̂ ) при k > −α− n− 1, де Ĉ — додатна стала.
Нехай M̃
α, C̃
(Q, P̂ ) = {v ∈ M̃α(Q, P̂ ) : ‖v; P̂‖ ′α ≤ C̃} — замкнена куля радiуса C̃ у
просторi M̃α(Q, P̂ ).
У [6] доведено таку лему.
Лема 2. Нехай виконуються припущення 1 на функцiї F1, F2 та α ≤ min
{
− (1 + p1 +
+ 2p2); −p3
}
− n. Тодi h ∈ M̃α(Q, P̂ ), а саме, iснує додатна стала K̂0 така, що ‖h; P̂ ‖ ′α ≤
≤ K̂0 < +∞.
Розглянемо нелiнiйну першу узагальнену крайову задачу
∂u(x, t)
∂t
−4u(x, t) = |u(x, t)|β0 , (x, t) ∈ Q, (9)
u|Σ = F1(x, t) +
∣∣u(x, t)
∣∣β1 |t− t̂ |γ , (x, t) ∈ Σ, (10)
u| t=0 = F2(x), x ∈ Ω, (11)
при β0, β1 ∈ (0, 1) та γ ∈ (−1, 0).
Лема 3. Нехай виконуються припущення 1. Якщо β0, β1 ∈ (0, 1),
max
{
−(n+ 2)(1− β1)
2β0
; −(n+ 1)(1− β1)
2β1
; −1
}
< γ < 0,
max
{
−n+ 2
β0
; −n+ 1
β1
}
< α ≤ min
{
min
{
− (1 + p1 + 2p2); −p3
}
− n;
2γ
1− β1
}
,
то iснує стала K̃0 > 0 така, що при всiх C̃ > K̃0 оператор H1 вiдображає M̃
α, C̃
(Q, P̂ )
в себе.
Доведення. При v ∈ M̃
α, C̃
(Q, P̂ ), де C̃ — довiльна додатна стала, розглянемо
∥∥H1v; P̂
∥∥′
α
≤ sup
(x,t)∈Q
%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
t∫
0
dτ
∫
Ω
∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣ ∣∣v(y, τ)
∣∣β0 dy+
+
∫
Σ
∣∣∣∣∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ ∣∣v(y, τ)
∣∣β1 |τ − t̂ |γ dSydτ
+ ‖h; P̂‖′α.
Використовуючи лему 1 при αβ0 > −n − 2, αβ1 > −n − 1, γ > −1 i лему 2 при α ≤
≤ min
{
− (1 + p1 + 2p2); −p3
}
− n, маємо∥∥H1v; P̂
∥∥′
α
≤ L̂1, 0C̃
β0 sup
(x,t)∈Q
{
max
{[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]α(β0−1)+2
,
[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]−α}}
+
+L̂2, 1C̃
β1 sup
(x,t)∈Q
{
max
{[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]α(β1−1)+2γ
,
[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]−α}}
+ K̂0.
При виконаннi умов αβ0 > −n− 2, αβ1 > −n− 1, α(β0 − 1) + 2 ≥ 0, α(β1 − 1) + 2γ ≥ 0,
−α ≥ 0 знаходимо ‖H1v; P̂‖ ′α ≤ C̃
′
при v ∈ M̃
α, C̃
(Q, P̂ ), де C̃
′
= L̂1, 0C̃
β0 + L̂2, 1C̃
β1 + K̂0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 1395
Зауважимо, що при β0, β1 ∈ (0, 1) iснує стала K̃0 > 0 така, що C̃
′ ≤ C̃ при C̃ > K̃0. Отже,
за умов леми одержуємо iснування додатної сталої K̃0 такої, що при всiх C̃ > K̃0 оператор H1
вiдображає M̃
α, C̃
(Q, P̂ ) в себе.
Лему 3 доведено.
Доведення наступної леми аналогiчне доведенню леми 4 [6].
Лема 4. Нехай β0, β1 ∈ (0, 1), max
{
−1− β1
β0
; −(n+ 1)(1− β1)
2β1
; −1
}
< γ < 0,
max
{
− 2
β0
; −n+ 1
β1
}
< α <
2γ
1− β1
. Тодi для довiльного ε > 0 iснує σ = σ(ε) > 0 таке,
що для довiльної пiдобластi V ⊂ Q, мiра якої m(V ) менша за σ, та для довiльних (x, t) ∈ Q
виконується [
%0(x, t, x̂, t̂ )
]−α ∫
V ∩Q
[
%0(y, τ, x̂, t̂ )
]αβ0∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣ dydτ < ε,
[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]−α ∫
V ∩Σ
[
%0(y, τ, x̂, t̂ )
]αβ1 |τ − t̂ |γ ∣∣∣∣∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ dSydτ < ε.
Теорема 2. Нехай виконуються припущення 1 на функцiї F1, F2, β0, β1 ∈ (0, 1),
max
{
−1− β1
β0
; −(n+ 1)(1− β1)
2β1
; −1
}
< γ < 0,
max
{
− 2
β0
; −n+ 1
β1
}
< α < min
{
min
{
− (1 + p1 + 2p2); −p3
}
− n;
2γ
1− β1
}
.
Тодi iснує розв’язок u ∈ M̃α(Q, P̂ ) крайової задачi (9) – (11) i при k > −α − n − 1 цей
розв’язок належить просторуMk(Q, P̂ ).
Доведення. Використаємо теорему Шаудера. З доведення леми 3 випливає, що H1 вiдобра-
жає M̃
α, C̃
(Q, P̂ ) в себе.
Покажемо, що H1 — цiлком неперервний оператор у просторi M̃
α, C̃
(Q, P̂ ).
При v, w ∈ M̃
α, C̃
(Q, P̂ )∥∥H1v −H1w; P̂
∥∥ ′
α
≤ sup
(x,t)∈Q
%−α0 (x, t, x̂, t̂)
t∫
0
dτ
∫
Ω
∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣ ∥∥v(y, τ)
∣∣β0−
−
∣∣w(y, τ)
∣∣β0 | dy+ sup
(x,t)∈Q
%−α0 (x, t, x̂, t̂)
∫
Σ
∣∣∣∣∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ ∥∥v(y, τ)
∣∣β1−∣∣w(y, τ)
∣∣β1∣∣∣∣τ− t̂∣∣γ dSydτ.
Використовуючи формулу |aµ − bµ| ≤ |a− b|µ при a, b > 0, µ ∈ (0, 1), маємо
t∫
0
dτ
∫
Ω
∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣ ∣∣∣∣∣v(y, τ)|β0 −
∣∣w(y, τ)
∣∣β0∣∣∣ dy ≤
≤
t∫
0
dτ
∫
Ω
%αβ00 (y, τ, x̂, t̂ )
∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣( sup
(y,τ)∈Q
%−α0
(
y, τ, x̂, t̂
)∣∣v(y, τ)− w(y, τ)
∣∣)β0 dy ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1396 О. Ю. ЧМИР
≤
(
‖v − w; P̂‖ ′α
)β0 t∫
0
dτ
∫
Ω
%αβ00
(
y, τ, x̂, t̂ )
∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣dy,
∫
Σ
∣∣∣∣∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ ∥∥v(y, τ)
∣∣β1 − ∣∣w(y, τ)
∣∣β1∣∣∣∣τ − t̂∣∣γ dSydτ ≤
≤
(
‖v − w; P̂ ‖ ′α
)β1 ∫
Σ
%αβ10
(
y, τ, x̂, t̂
) ∣∣∣∣∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ |τ − t̂ |γ dSydτ.
Використовуючи лему 1 при αβ0 > −n− 2, αβ1 > −n− 1, γ > −1 одержуємо∥∥H1v −H1w; P̂
∥∥ ′
α
≤
≤ L̂1, 0
(
‖v − w; P̂‖ ′α
)β0 sup
(x,t)∈Q
{
max
{[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]α(β0−1)+2
,
[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]−α}}
+
+L̂2, 1
(
‖v − w; P̂‖ ′α
)β1 sup
(x,t)∈Q
{
max
{[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]α(β1−1)+2γ
,
[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]−α}}
.
Звiдси, а також з умов на α випливає, що H1 — неперервний оператор в M̃
α, C̃
(Q, P̂ ).
Покажемо компактнiсть оператора H1 на M̃
α, C̃
(Q, P̂ ). З доведення леми 3 випливає, що
множина
{
%−α0 H1v : v ∈ M̃
α, C̃
(Q, P̂ )
}
є рiвномiрно обмеженою. Доведемо, що ця множина
одностайно неперервна, тобто для довiльного ε > 0 iснує δ = δ(ε) > 0 таке, що для довiльних
(z, z0) ∈ Rn+1, ‖z‖ < δ, |z0| < δ та довiльних v ∈ M̃
α, C̃
(Q, P̂ )
sup
(x,t)∈Q
∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )(H1v)(x+ z, t+ z0)− %−α0 (x, t, x̂, t̂ )(H1v)(x, t)
∣∣ ≤
≤ sup
(x,t)∈Q
∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )(Hv)(x+ z, t+ z0)− %−α0 (x, t, x̂, t̂ )(Hv)(x, t)
∣∣+
+ sup
(x,t)∈Q
∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )h(x+ z, t+ z0)− %−α0 (x, t, x̂, t̂ )h(x, t)
∣∣ < ε.
Вважаємо
%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ ) = 0, %−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )G(x+ z, t+ z0; y, τ) = 0,
%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
= 0,
%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )(Hv)(x+ z, t+ z0) = 0, %−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )h(x+ z, t+ z0) = 0,
якщо (x+ z, t+ z0) /∈ Q.
Зафiксуємо ε > 0. Оскiльки за лемою 2 h ∈ M̃α(Q, P̂ ), то %−α0 h ∈ C(Q). Тому iснує
δ̂1 = δ̂1(ε) > 0 таке, що для довiльних (z, z0) ∈ Rn+1, ‖z‖ < δ̂1, |z0| < δ̂1 виконується
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 1397
sup
(x,t)∈Q
∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )h(x+ z, t+ z0)− %−α0 (x, t, x̂, t̂ )h(x, t)
∣∣ < ε
2
.
Розглянемо для довiльних (x, t) ∈ Q
I(x, t, x̂, t̂; z, z0) =
∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )(Hv)(x+ z, t+ z0)− %−α0 (x, t, x̂, t̂ )(Hv)(x, t)
∣∣ ≤
≤
t∫
0
dτ
∫
Ω
∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )G(x+ z, t+ z0; y, τ)− %−α0 (x, t, x̂, t̂ )G(x, t; y, τ)
∣∣×
×|v(y, τ)|β0 dy + %−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
t+z0∫
t
dτ
∫
Ω
∣∣∣G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∣∣∣ ∣∣∣v(y, τ)
∣∣∣β0 dy+
+
∫
Σ
∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
− %−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣×
×
∣∣v(y, τ)
∣∣β1 |τ − t̂ |γ dSydτ = I 1(x, t, x̂, t̂; z, z0) + I 2(x, t, x̂, t̂; z, z0) + I 3(x, t, x̂, t̂; z, z0).
З доведення теореми 1 [20] випливає iснування δ̃1 = δ̃1(ε) > 0 такого, що для довiльних (z, z0) ∈
∈ Rn+1, ‖z‖<δ̃1, |z0|<δ̃1 виконується sup(x,t)∈Q
(
I 1(x, t, x̂, t̂; z, z0) + I 2(x, t, x̂, t̂; z, z0)
)
<ε/3.
Нехай η1 > 0 — досить мале i довiльне число, Ση1 ⊂ Σ така, що dist(x, x̂) ≥ η1, dist(t, t̂) ≥
≥ η2
1. Тодi для довiльних v ∈ M̃
α, C̃
(Q, P̂ ) та (x, t) ∈ Q матимемо
I 3(x, t, x̂, t̂; z, z0) ≤ C̃β1
∫
Σ
∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
−
−%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ %αβ10 (y, τ, x̂, t̂ )|τ − t̂ |γ dSydτ =
= C̃β1
∫
Σ\Ση1
∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
− %−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣×
×%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ )|τ − t̂ |γ dSydτ + C̃β1
∫
Ση1
∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂)
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
−
−%−α0 (x, t, x̂, t̂)
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ %αβ10 (y, τ, x̂, t̂ )|τ − t̂ |γ dSydτ =
= I 31(x, t, x̂, t̂; z, z0) + I 32(x, t, x̂, t̂; z, z0).
Нехай δ0 > 0 — фiксоване число. За заданим δ0 вибираємо число η1 <
ε0
2
таке, що
m(Σ \ Ση1) ≤ δ0 та η1 <
(
ε
12C̃β1C̃0
) 1
α(β1−1)+2γ
. За лемою 4 iснують δ0 = δ0(ε) > 0 та вiдпо-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1398 О. Ю. ЧМИР
вiдне η1 > 0 такi, що для довiльних (x, t) ∈ Q та (z, z0) ∈ Rn+1 таких, що (x+ z, t+ z0) ∈ Q,∫
Σ\Ση1
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ )|τ − t̂ |γ
∣∣∣∣%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ dSydτ < ε
24C̃β1
, (12)
∫
Σ\Ση1
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ )|τ − t̂ |γ
∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ dSydτ < ε
24C̃β1
.
(13)
Тодi з (12), (13) при (x, t) ∈ Q
I 31(x, t, x̂, t̂; z, z0) ≤ C̃β1
∫
Σ\Ση1
( ∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ ) %αβ10 (y, τ, x̂, t̂ ) |τ − t̂ |γ dSydτ < C̃β1
(
ε
24C̃β1
+
ε
24C̃β1
)
=
ε
12
,
а отже, sup(x,t)∈Q I 31(x, t, x̂, t̂; z, z0) < ε/12.
Виберемо 0 < η2 <
η1
2
. Для довiльної (x, t) ∈ Qη1
2
та числа η2 визначимо множини
Uη2(x, t)
df
=
{
(y, τ) ∈ Ση1 : ‖x− y‖ ≤ η2, |t− τ | ≤ η2
2
}
. Обчислимо
m
(
Uη2(x, t)
)
=
∫
Uη2 (x,t)
dydτ =
∫
‖x−y‖≤η2
dy
∫
|t−τ |≤η22
dτ = 2σnη
n+2
2 ,
де σn — площа поверхнi сфери одиничного радiуса в Rn. Якщо вибрати η2 < min
{
η1
2
;
( δ0
2σn
) 1
n+2
}
, тоm
(
Uη2(x, t)
)
< δ0. Тодi з (12) та (13) для довiльних (x, t) ∈ Q та (z, z0) ∈ Rn+1
таких, що (x+ z, t+ z0) ∈ Q,∫
Uη2 (x,t)
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ ) |τ − t̂|γ
∣∣∣∣%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ dSydτ < ε
36C̃β1
, (14)
∫
Uη2 (x,t)
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ ) |τ − t̂| γ
∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ dSydτ < ε
36C̃β1
.
(15)
Виберемо δ1 < min
{
δ0;
η2
2
}
.При (x, t) ∈ Qη1
2
, (z, z0) ∈ Rn+1 таких, що ‖z‖ ≤ δ1
(
<
1
4
η1
)
,
|z0| ≤ δ1
(
<
1
4
η1
)
, маємо (x + z, t + z0) ∈ Qη1
4
. При (x, t) ∈ Qη1
4
, (y, τ) ∈ Ση1 \ Uη2(x, t),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 1399
‖x − y‖ ≥ η2, |t − τ | ≥ η2
2, а отже, (x, t) 6= (y, τ). Тому функцiя %−α0 (x, t, x̂, t̂)
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
рiвномiрно неперервна в областi V =
{
(x, t; y, τ) : (x, t) ∈ Qη1
4
, (y, τ) ∈ Ση1 \ Uη2(x, t)
}
. Тодi
iснує δ2 = δ2(ε) ∈ (0; δ1] таке, що для довiльних (z, z0) ∈ Rn+1, ‖z‖ < δ2, |z0| < δ2, (x, t) ∈
∈ Qη1
2
⊂ Qη1
4
, (y, τ) ∈ Ση1 \ Uη2(x, t) при αβ1 > −n− 1, γ > −1 виконується∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
− %−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ < ε
36AC̃β1
,
де A =
∫
Ση1\Uη2 (x,t)
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ ) |τ − t̂|γ dSydτ, а отже,
∫
Ση1\Uη2 (x,t)
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ ) |τ − t̂|γ
∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
−
−%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ dSydτ <
<
ε
36AC̃β1
∫
Ση1\Uη2 (x,t)
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ )|τ − t̂ |γ dSydτ <
ε
36C̃β1
. (16)
Таким чином, при (x, t) ∈ Qη1
2
iз (14) – (16) випливає iснування δ2 = δ2(ε) > 0 такого, що
для довiльних (z, z0) ∈ Rn+1, ‖z‖ < δ2, |z0| < δ2
I 32(x, t, x̂, t̂; z, z0) = C̃β1
∫
Ση1
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ )
∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
−
−%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ |τ − t̂ |γ dSydτ ≤
≤ C̃β1
∫
Uη2 (x,t)
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ )
∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣×
×|τ − t̂ |γ dSydτ + C̃β1
∫
Uη2 (x,t)
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ )×
×
∣∣∣∣%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ |τ − t̂ |γ dSydτ + C̃β1
∫
Ση1\Uη2 (x,t)
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ )×
×
∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
− %−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣×
×|τ − t̂|γ dSydτ <
ε
36
+
ε
36
+
ε
36
=
ε
12
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1400 О. Ю. ЧМИР
а отже, sup(x,t)∈Qη1
2
I 32(x, t, x̂, t̂; z, z0) < ε/12.
При (x, t) ∈ Q \Qη1
2
, (z, z0) ∈ Rn+1, ‖z‖ < δ1
(
<
η1
4
)
, |z0| < δ1
(
<
η1
4
)
буде (x +
+ z, x + z0) ∈ Q \Q3η1
4
⊂ Q або (x + z, t + z0) /∈ Q. За рiвномiрною неперервнiстю функцiї
%−α0 (x, t, x̂, t̂)
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
на замкненiй множинi V1 = (Q \Q3η1
4
) × Qη1 , враховуючи, що
−α ≥ 0, %−α0 (x, t, x̂, t̂ ) ≤ 1, переконуємося, що iснує δ3 = δ3(ε) ∈ (0, δ1] таке, що для довiльних
(x, t) ∈ Q \Qη1
2
⊂ Q \Q3η1
4
, (y, τ) ∈ Ση1 , (z, z0) ∈ Rn+1, ‖z‖ < δ3, |z0| < δ3, виконується
∣∣∣∣%−α0 (x+ z, t+ z0, x̂, t̂ )
∂G(x+ z, t+ z0; y, τ)
∂νy
− %−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ < ε
12BC̃β1
,
де B =
∫
Ση1
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ ) |τ − t̂|γ dSydτ, звiдки
sup
(x,t)∈Q\Qη1
2
(x+z,t+z0)∈Q
I 32(x, t, x̂, t̂; z, z0) ≤ C̃β1 ε
12BC̃β1
∫
Ση1
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ ) |τ − t̂|γ dSydτ =
ε
12
.
Для тих точок (x, t) ∈ Q \Qη1
2
, (y, τ) ∈ Ση1 , (z, z0) ∈ Rn+1, ‖z‖ < δ1, |z0| < δ1, для яких
(x+ z, t+ z0) /∈ Q, маємо
sup
(x,t)∈Q\Qη1
2
(x+z,t+z0)/∈Q
I 32(x, t, x̂, t̂; z, z0) ≤
≤ sup
(x,t)∈Q\Qη1
2
(x+z,t+z0)/∈Q
C̃β1
∫
Ση1
%αβ10 (y, τ, x̂, t̂ ) |τ − t̂|γ
∣∣∣∣%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ dSydτ ≤
≤ sup
(x,t)∈Q\Qη1
2
(x+z,t+z0)/∈Q
C̃β1
∫
Ση1
ηαβ1+2γ
1
∣∣∣∣%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ dSydτ ≤
≤ sup
(x,t)∈Q\Qη1
2
(x+z,t+z0)/∈Q
C̃β1ηαβ1+2γ
1 η−α1
∫
Ση1
∣∣∣∣∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ dSydτ ≤ C̃β1C̃0η
α(β1−1)+2γ
1 <
ε
12
,
де остання нерiвнiсть виконується згiдно з вибором η1. Зауважимо, що при β1 ∈ (0, 1) та
γ > −1 повинна виконуватись умова α(β1 − 1) + 2γ > 0.
Показано, що iснує δ̃2 = min{δ1, δ2, δ3} > 0 таке, що для довiльних (z, z0) ∈ Rn+1, ‖z‖ < δ̃2,
|z0| < δ̃2 sup(x,t)∈Q I 3(x, t, x̂, t̂; z, z0) < ε/6.
Отже, iснує δ̂2 = min{δ̃1, δ̃2} > 0 таке, що для довiльних (z, z0) ∈ Rn+1, ‖z‖ < δ̂2, |z0| < δ̂2,
виконується sup(x,t)∈Q I(x, t, x̂, t̂; z, z0) < ε/2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 1401
Таким чином, множина
{
H1v : v ∈ M̃
α, C̃
(Q, P̂ )
}
є одностайно неперервною. За теоре-
мою Шаудера та за умов лем 2 – 4 крайова задача (9) – (11) має розв’язок u ∈ M̃α(Q, P̂ ).
Теорему 2 доведено.
З умов теореми 2, якi накладенi на γ та α, випливає таке зауваження.
Зауваження 3. У випадках:
1) 0 < β0 < 2(n − 1)/(n + 1)2 та (n + 1)β0/2 < β1 < (n − 1)/(n + 1), −1 < γ < 0,
0 ≤ p1 + 2p2 < (n+ 1)
(
1/β1 − 1
)
i
якщо 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то −n+ 1
β1
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
n+ 1
β1
− n, то −n+ 1
β1
< α < −(p3 + n);
n− 1
n+ 1
≤ β1 <
n+ 1
n+ 3
, −1 < γ < −n+ 1
2
(1− β1),
або
n+ 1
n+ 3
≤ β1 < 1, −n+ 1
2β1
(1− β1) < γ < −n+ 1
2
(1− β1)
i якщо 0 ≤ p1+2p2 < −
2γ
1− β1
−(n+1), 0 ≤ p3 < −
2γ
1− β1
−n, то −n+ 1
β1
< α <
2γ
1− β1
,
якщо 0 ≤ p1 + 2p2 < −
2γ
1− β1
− (n+ 1),− 2γ
1− β1
−n ≤ p3 <
n+ 1
β1
−n, то −n+ 1
β1
<
< α < −(p3 + n);
якщо − 2γ
1− β1
− (n + 1) ≤ p1 + 2p2 < (n + 1)
(
1
β1
− 1
)
, 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то
−n+ 1
β1
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо − 2γ
1− β1
− (n+ 1) ≤ p1 + 2p2 < (n+ 1)
(
1
β1
− 1
)
, 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
n+ 1
β1
−n,
то −n+ 1
β1
< α < −(p3 + n);
n− 1
n+ 1
≤ β1 < 1, −n+ 1
2
(1− β1) ≤ γ < 0, 0 ≤ p1 + 2p2 < (n+ 1)
(
1
β1
− 1
)
i якщо 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то −n+ 1
β1
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
n+ 1
β1
− n, то −n+ 1
β1
< α < −(p3 + n);
2)
2(n− 1)
(n+ 1)2
≤ β0 <
2
n+ 3
та
(n+ 1)β0
2
< β1 <
n+ 1
n+ 3
, −1 < γ < −n+ 1
2
(1− β1), або
n+ 1
n+ 3
≤ β1 < 1, −n+ 1
2β1
(1− β1) < γ < −n+ 1
2
(1− β1)
i якщо 0 ≤ p1+2p2 < −
2γ
1− β1
−(n+1), 0 ≤ p3 < −
2γ
1− β1
−n, то −n+ 1
β1
< α <
2γ
1− β1
,
якщо 0 ≤ p1+2p2 < −
2γ
1− β1
−(n+1), − 2γ
1− β1
−n ≤ p3 <
n+ 1
β1
−n, то −n+ 1
β1
<
< α < −(p3 + n);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1402 О. Ю. ЧМИР
якщо − 2γ
1− β1
− (n + 1) ≤ p1 + 2p2 < (n + 1)
(
1
β1
− 1
)
, 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то
−n+ 1
β1
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо − 2γ
1− β1
− (n+ 1) ≤ p1 + 2p2 < (n+ 1)
(
1
β1
− 1
)
, 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
n+ 1
β1
−n,
то −n+ 1
β1
< α < −(p3 + n);
(n+ 1)β0
2
< β1 < 1, −n+ 1
2
(1− β1) ≤ γ < 0, 0 ≤ p1 + 2p2 < (n+ 1)
(
1
β1
− 1
)
i якщо 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то −n+ 1
β1
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
n+ 1
β1
− n, то −n+ 1
β1
< α < −(p3 + n);
3)
2
n+ 3
≤ β0 <
2
n+ 1
,
(n+ 1)β0
2
< β1 < 1, −n+ 1
2β1
(1− β1) < γ < −n+ 1
2
(1− β1) i
якщо 0 ≤ p1 +2p2 < −
2γ
1− β1
−(n+1), 0 ≤ p3 < −
2γ
1− β1
−n, то −n+ 1
β1
< α <
2γ
1− β1
,
якщо 0 ≤ p1+2p2 < −
2γ
1− β1
−(n+1), − 2γ
1− β1
−n ≤ p3 <
n+ 1
β1
−n, то −n+ 1
β1
<
< α < −(p3 + n);
якщо − 2γ
1− β1
− (n + 1) ≤ p1 + 2p2 < (n + 1)
(
1
β1
− 1
)
, 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то
−n+ 1
β1
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо − 2γ
1− β1
− (n+ 1) ≤ p1 + 2p2 < (n+ 1)
(
1
β1
− 1
)
, 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
n+ 1
β1
−n,
то −n+ 1
β1
< α < −(p3 + n);
(n+ 1)β0
2
< β1 < 1, −n+ 1
2
(1− β1) ≤ γ < 0, 0 ≤ p1 + 2p2 < (n+ 1)
(
1
β1
− 1
)
i якщо 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то −n+ 1
β1
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
n+ 1
β1
− n, то −n+ 1
β1
< α < −(p3 + n);
умови теореми 2 виконуються.
Зауваження 4. У випадках:
1) 0 < β0 <
2(n− 1)
(n+ 1)2
та 0 < β1 <
n+ 1
2
β0, −1 < γ < 0, 0 ≤ p1 + 2p2 <
2
β0
− (n+ 1) i
якщо 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то − 2
β0
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
2
β0
− n, то − 2
β0
< α < −(p3 + n);
2)
2(n− 1)
(n+ 1)2
≤ β0 <
2
n+ 3
, 0 < β1 <
n− 1
n+ 1
, −1 < γ < 0, 0 ≤ p1 + 2p2 <
2
β0
− (n+ 1) i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 1403
якщо 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то − 2
β0
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
2
β0
− n, то − 2
β0
< α < −(p3 + n);
n− 1
n+ 1
≤ β1 <
(n+ 1)β0
2
, −1 < γ < −n+ 1
2
(1− β1)
i якщо 0 ≤ p1 + 2p2 < −
2γ
1− β1
− (n+ 1), 0 ≤ p3 < −
2γ
1− β1
− n, то − 2
β0
< α <
2γ
1− β1
,
якщо 0 ≤ p1 + 2p2 < −
2γ
1− β1
− (n + 1), − 2γ
1− β1
− n ≤ p3 <
2
β0
− n, то − 2
β0
< α <
−(p3 + n);
якщо − 2γ
1− β1
− (n + 1) ≤ p1 + 2p2 <
2
β0
− (n + 1), 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то
− 2
β0
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо − 2γ
1− β1
− (n + 1) ≤ p1 + 2p2 <
2
β0
− (n + 1), 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
2
β0
− n, то
− 2
β0
< α < −(p3 + n);
n− 1
n+ 1
≤ β1 <
(n+ 1)β0
2
, −n+ 1
2
(1− β1) ≤ γ < 0, 0 ≤ p1 + 2p2 <
2
β0
− (n+ 1)
i якщо 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то − 2
β0
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 ≤
2
β0
− n, то − 2
β0
< α < −(p3 + n);
3)
2
n+ 3
≤ β0 <
2
n+ 1
, 0 < β1 <
n− 1
n+ 1
, −1 < γ < 0, 0 ≤ p1 + 2p2 <
2
β0
− (n+ 1) i
якщо 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то − 2
β0
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
2
β0
− n, то − 2
β0
< α < −(p3 + n);
n− 1
n+ 1
≤ β1 < 1 − β0, −1 < γ < −n+ 1
2
(1 − β1), або 1 − β0 ≤ β1 <
(n+ 1)β0
2
,
−1− β1
β0
< γ < −n+ 1
2
(1− β1)
i якщо 0 ≤ p1 + 2p2 < −
2γ
1− β1
− (n+ 1), 0 ≤ p3 < −
2γ
1− β1
−n, то − 2
β0
< α <
2γ
1− β1
,
якщо 0 ≤ p1 + 2p2 < −
2γ
1− β1
− (n+ 1), − 2γ
1− β1
−n ≤ p3 <
2
β0
−n, то − 2
β0
< α <
< −(p3 + n);
якщо − 2γ
1− β1
− (n + 1) ≤ p1 + 2p2 <
2
β0
− (n + 1), 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то
− 2
β0
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо − 2γ
1− β1
− (n + 1) ≤ p1 + 2p2 <
2
β0
− (n + 1), 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
2
β0
− n, то
− 2
β0
< α < −(p3 + n);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1404 О. Ю. ЧМИР
n− 1
n+ 1
≤ β1 <
(n+ 1)β0
2
, −n+ 1
2
(1− β1) ≤ γ < 0, 0 ≤ p1 + 2p2 <
2
β0
− (n+ 1)
i якщо 0 ≤ p3 < 1 + p1 + 2p2, то − 2
β0
< α < −(1 + p1 + 2p2 + n),
якщо 1 + p1 + 2p2 ≤ p3 <
2
β0
− n, то − 2
β0
< α < −(p3 + n);
умови теореми 2 виконуються.
Розглянемо нелiнiйну першу узагальнену крайову задачу
∂u(x, t)
∂t
−4u(x, t) = κ0(x, t)
∣∣u(x, t)
∣∣β0 , (x, t) ∈ Q, (17)
u |Σ = F1(x, t) + κ1(x, t)
∣∣u(x, t)
∣∣β1 |τ − t̂ |γ , (x, t) ∈ Σ, (18)
u | t=0 = F2(x), x ∈ Ω, (19)
при β0, β1 ∈ (1,+∞), γ ∈ (0,+∞), κ0 ∈ L∞(Q), κ1 ∈ L∞(Σ), sup(x,t)∈Q |κ0(x, t)| = κ̂0,
sup(x,t)∈Σ |κ1(x, t)| = κ̂1, F1 — довiльна регулярна функцiя, F2(x) = C0δ(x− x̂).
Теорема 3. Нехай β0 ∈
(
1; 1 +
2
n
)
, β1 ∈
(
1; 1 +
1
n
)
, γ ∈
[
n(β1 − 1)
2
; +∞
)
, − 2γ
β1 − 1
≤
≤ α ≤ −n та α > max
{
− n+ 2
β0
; −n+ 1
β1
}
. Тодi iснують додатнi сталi κi такi, що при
κ̂i < κi, i = 0, 1, задача (17) – (19) має розв’язок у просторi M̃α(Q, P̂ ) i при k > −α− n− 1
цей розв’язок належитьMk(Q, P̂ ).
Зауважимо, що стала κ0 залежить вiд сталих β0, C̃ та L̂1,0, а стала κ1 — вiд β1, C̃ та L̂2,1.
Для доведення теореми 3 використаємо принцип стискаючих вiдображень: покажемо iсну-
вання сталої C̃ такої, що задача (17) – (19) однозначно розв’язна у M̃
α, C̃
(Q, P̂ ). Тодi при
k > −α− n− 1 цей розв’язок належатимеMk(Q, P̂ ). Використаємо наступну лему.
Лема 5. За умов теореми 3 iснують додатнi сталi C̃, κi такi, що при κ̂i ≤ κi, i = 0, 1,
оператор H1 вiдображає M̃
α, C̃
(Q, P̂ ) в себе.
Доведення. При v ∈ M̃
α, C̃
(Q, P̂ ), де C̃ — довiльна додатна стала, розглянемо
‖H1v; P̂‖′α ≤ sup
(x,t)∈Q
%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
κ̂0
t∫
0
dτ
∫
Ω
∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣ ∣∣v(y, τ)
∣∣β0 dy+
+κ̂1
∫
Σ
∣∣∣∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣∣v(y, τ)
∣∣β1 |τ − t̂ |γ dSydτ
+ ‖h; P̂‖′α.
Використовуючи лему 1 при αβ0 > −n−2, αβ1 > −n−1, γ > 0 i те, що при h ∈ M̃α(Q, P̂ )
iснує додатна стала K̂0 така, що ‖h; P̂‖′α ≤ K̂0 (лема 2), маємо
‖H1v; P̂‖′α ≤ κ̂0L̂1,0C̃
β0 sup
(x,t)∈Q
{
max
{[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]α(β0−1)+2
,
[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]−α}}
+
+κ̂1L̂2,1C̃
β1 sup
(x,t)∈Q
{
max
{[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]α(β1−1)+2γ
,
[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]−α}}
+ K̂0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 1405
Звiдси випливає, що за умов
αβ0 > −n− 2, αβ1 > −n− 1, α(β0 − 1) + 2 ≥ 0, α(β1 − 1) + 2γ ≥ 0, −α ≥ 0 (20)
при v ∈ M̃
α, C̃
(Q, P̂ ), C̃
′
= C̃
′
(β0; β1) = κ̂0L̂1,0C̃
β0 + κ̂1L̂2,1C̃
β1 + K̂0
‖H1v; P̂‖ ′α ≤ C̃
′
. (21)
Розглянемо нерiвнiсть
BiC̃βi +
K̂0
2
≤ C̃
2
, де Bi =
{
κ̂0L̂1,0, i = 0,
κ̂1L̂2,1, i = 1.
(22)
Згiдно з [21, с. 320], при a > 0, b > 0, α > 1 та умовi min0≤s<+∞(bsα − s) ≤ −a iснує r > 0,
яке задовольняє нерiвнiсть a+ brα ≤ r.
Розглянемо функцiю F(s) = Bisβi −
s
2
i знайдемо min0≤s<+∞F(s). Маємо F ′(s) =
= Biβisβi−1 − 1
2
, F ′(s) = 0 ⇔ s0 = (2Biβi)
− 1
βi−1 ; s0 — точка локального та абсолютного
мiнiмуму функцiї F(s). Тодi F(s0) = Bi(2Biβi)
− βi
βi−1 − (2Biβi)
− 1
βi−1
2
= − 1
2(2Biβi)
1
βi−1
βi − 1
βi
;
(22)⇔ min0≤s<+∞F(s) ≤ −K̂0
2
⇔ − 1
2(2Biβi)
1
βi−1
βi − 1
βi
≤ −K̂0
2
⇔ κ̂0 ≤
(β0 − 1)β0−1
2L̂1,0K̂
β0−1
0 ββ00
,
κ̂1 ≤
(β1 − 1)β1−1
2L̂2,1K̂
β1−1
0 ββ11
. Тому при таких κ̂i, i = 0, 1, та за умов (2) iз (21) одержуємо iснування
додатної сталої C̃ такої, що оператор H1 вiдображає M̃
α, C̃
(Q, P̂ ) в себе.
Лему 5 доведено.
Доведення теореми 3. Використаємо принцип стискаючих вiдображень.
За лемою 5 iснують додатнi сталi C̃, κ0 = κ0(L̂1,0, h, β0), κ1 = κ1(L̂2,1, h, β1) такi, що при
κ̂i ≤ κi, i = 0, 1, оператор H1 дiє iз простору M̃
α, C̃
(Q, P̂ ) в себе.
Для довiльних v, w ∈ M̃
α, C̃
(Q, P̂ ) розглянемо
‖H1v −H1w; P̂‖′α = sup
(x,t)∈Q
%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∣∣(H1v)(x, t)− (H1w)(x, t)
∣∣ ≤
≤ κ̂0 sup
(x,t)∈Q
%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
t∫
0
dτ
∫
Ω
∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣ ∣∣|v(y, τ)|β0 − |w(y, τ)|β0
∣∣ dy+
+κ̂1 sup
(x,t)∈Q
%−α0 (x, t, x̂, t̂ )
∫
Σ
∣∣∣∣∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣v(y, τ)|β1 − |w(y, τ)|β1
∣∣∣ ∣∣τ − t̂∣∣γ dSydτ.
Враховуючи, що при a > 0, b > 0, λ > 1 виконується нерiвнiсть aλ−bλ ≤ R(λ)(a−b)(a+b)λ−1,
деR(λ) — додатна стала [22, с. 133], при a =
∣∣v(y, τ)
∣∣, b =
∣∣w(y, τ)
∣∣, λ = βi, i = 0, 1, одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1406 О. Ю. ЧМИР
∥∥v(y, τ)
∣∣βi−∣∣w(y, τ)
∣∣βi∣∣ ≤ R(βi)
∥∥v(y, τ)
∣∣−∣∣w(y, τ)
∥∥(∣∣v(y, τ)
∣∣+∣∣w(y, τ)
∣∣)βi−1
, i = 0, 1, а отже,
t∫
0
dτ
∫
Ω
∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣ ∥∥v(y, τ)
∣∣β0 − ∣∣w(y, τ)
∣∣β0 | dy ≤
≤ R(β0)
t∫
0
dτ
∫
Ω
∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣(∣∣v(y, τ)
∣∣+
∣∣w(y, τ)
∣∣)β0−1∣∣v(y, τ)− w(y, τ)
∣∣ dy ≤
≤ 2R(β0)C̃β0−1
t∫
0
dτ
∫
Ω
∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣[%0(y, τ, x̂, t̂ )
]α(β0−1)∣∣v(y, τ)− w(y, τ)
∣∣ dy ≤
≤ 2R(β0)C̃β0−1
t∫
0
dτ
∫
Ω
∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣[%0(y, τ, x̂, t̂ )
]αβ0 sup
(y,τ)∈Q
[
%0(y, τ, x̂, t̂ )
]−α×
×
∣∣v(y, τ)− w(y, τ)
∣∣ dy ≤ 2R(β0)C̃β0−1‖v − w; P̂‖′α
t∫
0
dτ
∫
Ω
∣∣G(x, t; y, τ)
∣∣[%0(y, τ, x̂, t̂ )
]αβ0 dy,
∫
Σ
∣∣∣∣∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ ∥∥v(y, τ)
∣∣β1 − ∣∣w(y, τ)|β1
∣∣ ∣∣τ − t̂ ∣∣γ dSydτ ≤
≤ 2R(β1)C̃β1−1
∫
Σ
∣∣∣∣∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ [%0(y, τ, x̂, t̂ )
]αβ1 ∣∣τ − t̂∣∣γ sup
(y,τ)∈Q
[
%0(y, τ, x̂, t̂ )
]−α×
×
∣∣v(y, τ)− w(y, τ)
∣∣ dSydτ ≤ 2R(β1)C̃β1−1
∥∥v − w; P̂
∥∥′
α
×
×
∫
Σ
∣∣∣∣∂G(x, t; y, τ)
∂νy
∣∣∣∣ [%0(y, τ, x̂, t̂ )
]αβ1 ∣∣τ − t̂ ∣∣γ dSydτ.
Використовуючи властивостi функцiї Грiна G, при умовах теореми щодо α та αβ0 > −n − 2,
αβ1 > −n− 1, γ > 0 знаходимо
‖H1v −H1w; P̂‖′α ≤ 2κ̂0L̂1,0R(β0)C̃β0−1‖v − w; P̂‖′α×
× sup
(x,t)∈Q
{
max
{[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]α(β0−1)+2
,
[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]−α}}
+
+2κ̂1L̂2,1R(β1)C̃β1−1‖v − w; P̂‖′α×
× sup
(x,t)∈Q
{
max
{[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]α(β1−1)+2γ
,
[
%0(x, t, x̂, t̂ )
]−α}} ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПЕРШОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 1407
≤ 2 max
{
κ̂0L̂1,0R(β0)C̃β0−1; κ̂1L̂2,1R(β1)C̃β1−1
}
‖v − w; P̂‖′α.
За умов κ̂0L̂1,0K2(β0, C̃) <
1
2
, κ̂1L̂2,1K2(β1, C̃) <
1
2
одержуємо, що оператор H1 є стисним у
M̃
α, C̃
(Q, P̂ ).
Лему 3 доведено.
Висновки. У статтi знайдено достатнi умови iснування та дослiджено характер точкових
степеневих особливостей розв’язку першої узагальненої крайової задачi для рiвняння тепло-
провiдностi з нелiнiйними крайовими умовами.
1. Лопушанська Г. П. Крайовi задачi у просторi узагальнених функцiй D′. – Львiв: Вид-во Львiв. нац. ун-
ту iм. I. Франка, 2002. – 285 с.
2. Лопушанська Г. П. Про розв’язок параболiчної граничної задачi iз сильними степеневими особливостями в
правих частинах // Мат. студ. – 2001. – 15, № 2. – C. 179 – 190.
3. Чмир О. Ю. Про формулювання узагальненої крайової задачi для пiвлiнiйного параболiчного рiвняння // Вiсн.
Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2003. – Вип. 62. – C. 134 – 143.
4. Lopushanska H. Solutions with strong power singularities to nonlinear elliptic boundary value problems // Мат. вiсн.
НТШ. – 2006. – 3. – C. 247 – 260.
5. Чмир О. Ю., Меньшикова О. В. Про розв’язок нелiнiйної першої крайової задачi для рiвняння теплопровiдностi
в узагальнених функцiях // Вiсн. Нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. – 2009. – Вип. 660. – C. 14 – 19.
6. Чмир О. Ю. Характер точкових степеневих особливостей розв’язку нелiнiйної першої узагальненої крайової
задачi для рiвняння теплопровiдностi // Вiсн. Львiв. ун-ту. Серiя мех.-мат. – 2011. – Вип. 74. – C. 191 – 206.
7. Galaktionov V., Livine H. A. On critical Fujita exponents for heat equations with a nonlinear condition on the
boundary // Isr. J. Math. – 1996. – 94. – P. 125 – 146.
8. Hu B., Yin H. M. On critical exponents for the heat equation with a mixed nonlinear Dirichlet – Newmann nonlinear
boundary condition // J. Math. Anal. Appl. – 1997. – 209. – P. 683 – 711.
9. Gomez J. L., Marquez V., Wolanski N. Blow-up results and localization of blow-up points for the heat equation with
a nonlinear boundary condition // J. Different. Equat. – 1991. – 92. – P. 384 – 401.
10. Lin Z. G., Wang M. X. The blow-up properties of solutions to semilinear heat equation with nonlinear boundary
conditions // Z. angew. Math. und Phys. – 1999. – 50. – S. 361 – 374.
11. Arrieta J. M., Carvalho A. N., Rodrigues-Bernal A. Parabolic problems with nonlinear boundary conditions and
critical nonlinearities // J. Different. Equat. – 1999. – 156. – P. 376 – 406.
12. Fujita H. On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for ut = 4u+ u1+σ // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. –
1966. – 13. – P. 109 – 124.
13. Fujita H. On some nonexistence and non-uniqueness theorems for nonlinear parabolic equations // Proc. Sympos.
Pure Math. – 1970. – 18. – P. 105 – 113.
14. Ryuichi Suzuki. Existence and nonexistence of global solutions of quasilinear parabolic equations // J. Math. Soc.
Jap. – 2002. – 54, № 4. – P. 747 – 792.
15. Ивасишен С. Д. Матрицы Грина параболических граничных задач.– Киев: Вища шк., 1990. – 200 с.
16. Эйдельман С. Д. Параболические системы. – М.: Наука, 1964. – 443 с.
17. Ивасишен С. Д. О композиции параболических ядер // Укр. мат. журн. – 1980. – 32, № 1. – C. 35 – 45.
18. Лопушанська Г. П., Чмир О. Ю. Про деякi властивостi спряжених операторiв Ґрiна параболiчної крайової
задачi // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2004. – Вип. 191 – 192. – C. 82 – 88.
19. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1965. – 520 с.
20. Чмир О. Ю. Точковi особливостi розв’язку нелiнiйного iнтегрального рiвняння Вольтерри // Вiсн. Львiв. ун-ту.
Сер. мех.-мат. – 2009. – Вип. 71. – C. 220 – 234.
21. Крейн В. С. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
22. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. – М.: Наука,
1989. – 254 с.
Одержано 18.09.12,
пiсля доопрацювання — 13.05.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2516 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:24:57Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7d/502930b45e0fa6f8d1db6cde2033a57d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25162020-03-18T19:17:19Z Solvability of the First Boundary-Value Problem for the Heat-Conduction Equation with Nonlinear Sources and Strong Power Singularities Розв’язність першої крайової задачі для рівняння теплопровідності з нелінійними джерелами і сильними степеневими особливостями Chmyr, O. Yu. Чмир, О. Ю. By using the Schauder principle and the principle of contracting mappings, we study the character of point power singularities for the solution of the generalized first boundary-value problem for the heat-conduction equation with nonlinear boundary conditions. We establish sufficient conditions for the solvability of the analyzed problem. С помощью принципа Шаудера и принципа сжатых отображений исследован характер точечных степенных особенностей решения первой обобщенной краевой задачи для уравнения теплопроводности с нелинейными краевыми условиями. Установлены достаточные условия разрешимости этой задачи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2516 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 10 (2013); 1388–1407 Український математичний журнал; Том 65 № 10 (2013); 1388–1407 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2516/1797 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2516/1798 Copyright (c) 2013 Chmyr O. Yu. |
| spellingShingle | Chmyr, O. Yu. Чмир, О. Ю. Solvability of the First Boundary-Value Problem for the Heat-Conduction Equation with Nonlinear Sources and Strong Power Singularities |
| title | Solvability of the First Boundary-Value Problem for the Heat-Conduction Equation with Nonlinear Sources and Strong Power Singularities |
| title_alt | Розв’язність першої крайової задачі для рівняння теплопровідності з нелінійними джерелами і сильними степеневими особливостями |
| title_full | Solvability of the First Boundary-Value Problem for the Heat-Conduction Equation with Nonlinear Sources and Strong Power Singularities |
| title_fullStr | Solvability of the First Boundary-Value Problem for the Heat-Conduction Equation with Nonlinear Sources and Strong Power Singularities |
| title_full_unstemmed | Solvability of the First Boundary-Value Problem for the Heat-Conduction Equation with Nonlinear Sources and Strong Power Singularities |
| title_short | Solvability of the First Boundary-Value Problem for the Heat-Conduction Equation with Nonlinear Sources and Strong Power Singularities |
| title_sort | solvability of the first boundary-value problem for the heat-conduction equation with nonlinear sources and strong power singularities |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2516 |
| work_keys_str_mv | AT chmyroyu solvabilityofthefirstboundaryvalueproblemfortheheatconductionequationwithnonlinearsourcesandstrongpowersingularities AT čmiroû solvabilityofthefirstboundaryvalueproblemfortheheatconductionequationwithnonlinearsourcesandstrongpowersingularities AT chmyroyu rozvâznístʹperšoíkrajovoízadačídlârívnânnâteploprovídnostíznelíníjnimidžerelamiísilʹnimistepenevimiosoblivostâmi AT čmiroû rozvâznístʹperšoíkrajovoízadačídlârívnânnâteploprovídnostíznelíníjnimidžerelamiísilʹnimistepenevimiosoblivostâmi |