Estimates for Growth of Derivatives of Analytic Functions Along the Radius
We study the radial boundary behavior of functions analytic in a unit disk of the complex plane.
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2519 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508424795586560 |
|---|---|
| author | Piddubnyi, O. M. Піддубний, О. М. |
| author_facet | Piddubnyi, O. M. Піддубний, О. М. |
| author_sort | Piddubnyi, O. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:17:19Z |
| description | We study the radial boundary behavior of functions analytic in a unit disk of the complex plane. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
О. М. Пiддубний (Схiдноєвроп. нац. ун-т iм. Лесi Українки)
ОЦIНКИ ЗРОСТАННЯ ВЗДОВЖ РАДIУСА ПОХIДНИХ
АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ
We study the radial boundary behavior of functions analytic in a unit disk of the complex plane.
Исследуется радиальное граничное поведение функций, аналитических в единичном круге комплексной плоскости.
1. Класична теорема Гардi – Лiттлвуда [1] описує зв’язок мiж гладкiстю граничних значень
аналiтичної функцiї на межi круга аналiтичностi та швидкiстю зростання модуля її похiдних
вищих порядкiв. Ця теорема стала ефективним знаряддям у розв’язаннi багатьох задач тео-
рiї функцiй i теорiї тригонометричних рядiв. Але досить часто виникає потреба оцiнювати
похiднi вищих порядкiв аналiтичної функцiї, використовуючи iнформацiю лише про модуль
неперервностi граничних значень її дiйсної частини.
У данiй роботi ми розглянемо таке питання.
Нехай функцiя f є аналiтичною в крузi D := {z ∈ C : |z| < 1}, а функцiя u := Re f —
неперервною в D. Вiдомо, що при даному n ∈ Z+ функцiю t 7→ u(eit) можна зобразити у
виглядi
u(eit) =
n+k−1∑
j=0
ajt
j +Rn+k(t), k ∈ N, (1)
де aj — дiйснi числа, а Rn+k — деяка функцiя, визначена на [−π, π], що задовольняє певнi
умови. Якими при цьому будуть швидкостi зростання величин
∣∣f (n+k)(z)∣∣, k ∈ N, коли точка z
наближається до точки 1 вздовж радiуса [0, 1]?
Це питання мотивоване таким твердженням, доведеним у [2].
Нехай виконується (1) при k = 1 i при цьому функцiя Rn+k задовольняє умову
Rn+k(t) = O
(
|t|nλ
(
|t|
))
, (2)
де λ : R+ → R+ — неперервна зростаюча функцiя. Якщо t = O
(
λ(|t|)
)
, то iснує стала M,
залежна тiльки вiд n, чисел {aj} i сталої у спiввiдношеннi (2), така, що
∣∣f (n+1)(%)
∣∣ ≤M π∫
1−%
λ(t)
t2
dt,
1
2
≤ % < 1. (3)
Подiбнi задачi дослiджувалися також у [3].
Наша мета полягає в тому, щоб поширити останнє твердження на випадок довiльних нату-
ральних k.
Теорема 1. Нехай f — функцiя, аналiтична в крузi D, а функцiя u = Re f є неперервною
в D. Якщо для деякого n ∈ Z+ i k ∈ N функцiю t 7→ u(eit) можна подати у виглядi (1), в
якому Rn+k задовольняє умову (2), де λ : R+ → R+ — неперервна зростаюча функцiя, для якої
c© О. М. ПIДДУБНИЙ, 2013
1420 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ОЦIНКИ ЗРОСТАННЯ ВЗДОВЖ РАДIУСА ПОХIДНИХ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ 1421
|t|k = O
(
λ
(
|t|
))
, то iснує стала M > 0, яка залежить тiльки вiд n, чисел {aj}n+k−1j=0 i сталої
у спiввiдношеннi (2), така, що виконується нерiвнiсть
∣∣∣f (n+k)(%)∣∣∣ ≤M π∫
1−%
λ(t)
tk+1
dt ∀ % ∈ [1/2, 1). (4)
Доведення теореми 1 спирається на таке твердження, не позбавлене й самостiйного iнтересу.
Лема 1. Нехай функцiя f є аналiтичною в крузi D, а функцiя u = Re f — неперервною в D
i θ ∈ [0, 2π]. Якщо для деякого n ∈ Z+ виконується нерiвнiсть∣∣∣u(ei(t+θ))− u(eiθ)∣∣∣ ≤ A|t|nλθ(|t|), |t| ≤ π,
де A = A(θ) > 0, λθ : R+ → R+ — неперервна зростаюча функцiя, то для будь-якого k ∈ N i
% ∈ [1/2, 1)
∣∣∣f (n+k)(%eiθ)∣∣∣ ≤M π∫
1−%
λθ(t)
tk+1
dt, (5)
де M =M(θ, n, k,A) > 0 — величина, залежна тiльки вiд вказаних параметрiв.
Зауваження. Оцiнка (5), взагалi кажучи, є непокращуваною. Наприклад, якщо n = θ = 0,
λ(t) = tα, 0 < α ≤ 1, i k = 1, то за теоремою 1 справджується iмплiкацiя∣∣∣u(ei(t+θ))− u(eiθ)∣∣∣ ≤ Atα =⇒
=⇒
∣∣f ′(%)∣∣ ≤M π∫
1−%
tα−2dt ≤ C
(1− %)α−1, 0 < α < 1,
− ln(1− %), α = 1,
∀% ∈ [1/2, 1).
Якщо ж n = θ = 0, λ(t) = tα, 0 < α ≤ 1, i k = 2, то∣∣∣u(ei(t+θ))− u(eiθ)∣∣ ≤ Atα =⇒
=⇒
∣∣f ′′(%)∣∣ ≤M π∫
1−%
tα−2dt ≤ C
(1− %)α−1, 0 < α < 1,
(1− %)−1, α = 1,
∀% ∈ [1/2, 1).
Нескладно показати, що для функцiї
f(z) = Li2(z) =
∞∑
k=1
zk
k2
виконується спiввiдношення∣∣u(eit)− u(1)∣∣
|t|
=
1
|t|
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
cos kt− 1
k2
∣∣∣∣∣ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1422 О. М. ПIДДУБНИЙ
=
1
|t|
∣∣∣∣∣∣∣
|t|∫
0
∞∑
k=1
sin kx
k
dx
∣∣∣∣∣∣∣ =
1
|t|
|t|∫
0
π − x
2
dx =
π
2
− |t|
4
<
π
2
.
Таким чином, функцiя u задовольняє умови теореми 1 при n = 0 i λ(t) = t.
З iншого боку,
f ′(z) =
∞∑
k=1
zk−1
k
=
1
z
ln
1
1− z
i ∣∣f ′′(z)∣∣ = 1
z(1− z)
− 1
z2
ln
1
1− z
.
Отже,
ln
1
1− %
≤
∣∣f ′(%)∣∣ ≤ 2 ln
1
1− %
∀ % ∈ [1/2, 1)
i
c
1− %
≤
∣∣f ′′(%)∣∣ ≤ 2
1− %
∀ % ∈ [1/2, 1),
де
c = min
%∈[1/2,1)
(
1
%
− 1− %
%2
ln
1
1− %
)
= 2− 2 ln 2.
Доведення леми. Не втрачаючи загальностi будемо вважати, що θ = 0, а u(1) = 0.
За iнтегральною формулою Шварца
f(z) =
1
π
π∫
−π
u(eit)
1− e−itz
dt+ i Im f(0) ∀z ∈ D.
Отже,
f (n+k)(z)
(n+ k)!
=
1
π
π∫
−π
(
u(eit)− u(ei0)
)
e−i(n+k)t
(1− e−itz)n+k+1
dt. (6)
Використовуючи вiдомi спiввiдношення∣∣1− %e−it∣∣ =√1− 2% cos t+ %2,
1− 2% cos t+ %2 = (1− %)2 + 4% sin2
t
2
i
sinα ≥ 2
π
α, 0 ≤ α ≤ π
2
,
з рiвностi (6) одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ОЦIНКИ ЗРОСТАННЯ ВЗДОВЖ РАДIУСА ПОХIДНИХ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ 1423∣∣∣f (n+k)(r)∣∣∣
(n+ k)!
≤ 1
π
π∫
0
2Atnλ0(t)dt
(1− 2% cos t+ %2)(n+k+1)/2
≤
≤ 2A
π
1−%∫
0
tnλ0(t)
(1− %)n+k+1
dt+
π∫
1−%
tnλ0(t)dt(
4%t2
π2
)(n+k+1)/2
≤
≤ 2A
π
λ0(1− %)
(1− %)n+k+1
1−%∫
0
tndt+
(
π2
4%
)(n+k+1)/2 π∫
1−%
λ0(t)
tk+1
dt
≤
≤ A1
λ0(1− %)
(1− %)k
+B1
π∫
1−%
λ0(t)
tk+1
dt, (7)
де
A1 :=
2A(n+ k)!
π(n+ 1)
, B1 :=
(
π2
2
)(n+k+1)/2
— сталi, якi не залежать вiд %.
Порiвняємо доданки в нерiвностi (7), врахувавши, що за умовою 1/2 ≤ % < 1.
Внаслiдок монотонностi функцiї λ0 маємо
π∫
1−%
λ0(t)
tk+1
dt ≥ λ0(1− %)
π∫
1−%
dt
tk+1
=
1
k
(
1
(1− %)k
− 1
πk
)
λ0(1− %) (8)
для всiх % ∈ [1/2, 1).
Легко бачити, що для будь-якого % ∈ [1/2, 1)
1
k
(
1
(1− %)k
− 1
πk
)
> C
1
(1− %)k
,
де
C = min
%∈[1/2,1)
1
k
(
1− (1− %)k
πk
)
=
(2π)k − 1
k(2π)k
.
Таким чином, з (8) випливає оцiнка
π∫
1−%
λ0(t)
tk+1
dt ≥ Cλ0(1− %)
(1− %)k
.
Об’єднавши це спiввiдношення з (7), одержимо нерiвнiсть (5).
Лему доведено.
Нехай
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1424 О. М. ПIДДУБНИЙ
ω(u, δ) := sup
|t|≤δ
∥∥u(eit·)− u(·)∥∥, δ > 0,
— модуль неперервностi функцiї u в просторi неперервних функцiй на колi T :=
{
z : |z| = 1
}
,
надiленому нормою ‖u‖ = maxx∈[−π,π]
∣∣u(eix)∣∣.
Наслiдок. Нехай λ : R+ → R+ — неперервна зростаюча функцiя, λ(0) = 0, а f — функцiя,
така, як у лемi 1. Якщо для деякого n ∈ Z+ виконується нерiвнiсть
ω(u, δ) ≤ Aδnλ(δ), 0 < δ ≤ π,
де A = const > 0, то для будь-якого k ∈ N
∣∣∣f (n+k)(z)∣∣∣ ≤M π∫
1−|z|
λ(t)
tk+1
dt, 1/2 ≤ |z| < 1, (9)
де M =M(n, k,A) = const — стала, залежна тiльки вiд вказаних параметрiв.
Доведення теореми 1. Покладемо
pm(t) := Re
(eit − 1)m
im
= Re
(
imtm
im
+
m
2
im+1tm+1
im
+ . . .
)
=
=
n+k−1∑
j=m
aj,mt
j +O
(
|t|n+k
)
,
де am,m = 1, 0 ≤ m ≤ n+ k − 1.
Розглянемо рiвнiсть
n+k−1∑
m=0
xmpm(t) =
n+k−1∑
m=0
xm
n+k−1∑
j=m
aj,mt
j +O
(
|t|n+k
),
де xm, m = 0, 1, . . . , n+ k − 1, — дiйснi числа, якi вибираємо так, щоб виконувалась рiвнiсть
n+k−1∑
m=0
xm
n+k−1∑
j=m
aj,mt
j
=
n+k−1∑
j=0
ajt
j .
Отже, числа xm можуть бути знайденi як розв’язок системи рiвнянь (при вiдомих aj,m, aj):
a0,0 0 . . . 0
a1,0 a1,1 . . . 0
...
...
...
an+k−1,0 an+k−1,1 . . . an+k−1,n+k−1
x0
x1
...
xn+k−1
=
a0
a1
...
an+k−1
.
Покладемо
p(z) =
n+k−1∑
m=0
xm
(z − 1)m
im
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
ОЦIНКИ ЗРОСТАННЯ ВЗДОВЖ РАДIУСА ПОХIДНИХ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ 1425
i розглянемо функцiю g = f − p− u(1) + x0.
Зрозумiло, що функцiя g є аналiтичною в крузi D, неперервною в D i
g(n+k)(z) = f (n+k)(z) ∀ z ∈ D. (10)
Крiм того, справджується спiввiдношення∣∣Re g(eit)− Re g(1)
∣∣ = ∣∣u(eit)− Re p(eit)
∣∣ =
=
∣∣∣∣∣u(eit)−
n+k−1∑
m=0
xmpm(t)
∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
n+k−1∑
j=0
ajt
j +O
(
|t|nλ
(
|t|
))
−
n+k−1∑
j=0
ajt
j −O
(
|t|n+k
)∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ O
(
|t|nλ
(
|t|
))
+O
(
|t|n+k
)
.
Якщо тепер врахувати умову |t|k = O
(
λ(|t|)
)
, то одержимо оцiнку∣∣Re g(eit)− Re g(1)
∣∣ ≤ O(|t|nλ(|t|)). (11)
Отже, функцiя g задовольняє умови леми 1 при θ = 0, згiдно з якою на пiдставi (10)
справджується (4).
Як видно з наведеного доведення, стала M > 0 в (4) залежить вiд n, послiдовностi (aj) i
сталої в залишковому членi O
(
|t|nλ
(
|t|
))
.
Теорему доведено.
2. У цьому пунктi ми розглянемо умови iснування граничних радiальних значень функцiї
f, яка є аналiтичною в одиничному крузi D, а її похiднi вищих порядкiв задовольняють умову
типу (9), в якiй λ є функцiєю типу модуля неперервностi.
Теорема 2. Нехай f — функцiя, аналiтична в крузi D. Якщо для даного n ∈ N виконується
умова ∣∣∣f (n)(%eiθ)∣∣∣ ≤M π∫
1−%
λ(t)
tn+1
dt, M = const > 0, (12)
для всiх θ ∈ [−π, π] i всiх % ∈ [0, 1), де λ — функцiя типу модуля неперервностi, яка задовольняє
умову Дiнi
π∫
0
λ(t)
t
dt <∞,
то iснує скiнченна границя
lim
%→1−
f(%eiθ) = f(eiθ) ∀θ ∈ [−π, π]. (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
1426 О. М. ПIДДУБНИЙ
Доведення. В лемi 3 роботи [2] доведено, що аналiтична в D функцiя f, яка задовольняє
умову
∣∣f ′(z)∣∣ ≤M π∫
1−r
λ(t)
t2
dt, |z| = r < 1, (14)
є неперервною в замкненому крузi D та iснує границя (13).
Покажемо, що з умови (12) при довiльному n ∈ N випливає умова (14). Цим самим ми
покажемо, що за наших умов спiввiдношення (13) випливає з результату Ф. Леслi [2].
Справдi, оскiльки для довiльного n ∈ N справджується рiвнiсть
f (n−1)(z) =
z∫
0
f (n)(w)dw + f (n−1)(0), |z| < 1,
то, покладаючи w = ρeiθ i розглядаючи iнтегрування по вiдрiзку, що з’єднує точки 0 та z,
одержуємо спiввiдношення
∣∣∣f (n−1)(reiθ)∣∣∣ ≤ r∫
0
∣∣∣f (n)(ρeiθ)∣∣∣dρ+ ∣∣∣f (n−1)(0)∣∣∣ ≤
≤
r∫
0
M
π∫
1−ρ
λ(t)
tn+1
dtdρ+
∣∣∣f (n−1)(0)∣∣∣ ≤
≤M
1∫
1−r
λ(t)
tn+1
r∫
1−t
dρdt+Mλ(π)(π − 1) +
∣∣∣f (n−1)(0)∣∣∣ ≤
≤M
1∫
1−r
λ(t)
tn
dt+A,
де A = const > 0. Понижуючи далi порядок диференцiювання, отримуємо при r, близьких до
1, оцiнку (14).
Теорему доведено.
1. Hardy G., Littlewood J. E. Some properties of fractional integrals. II // Math. Z. – 1931. – 34. – S. 403 – 439.
2. Lesley F. D. Differentiability of minimal surfaces at the boundary // Pacif. J. Math. – 1971. – 37, № 1. – P. 123 – 139.
3. Warschawski S. Boundary derivatives of minimal surfaces // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1970. – 38. – P. 241 –
256.
Одержано 14.02.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-2519 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:00Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ca/77e3e5269021b3af35da274fea7be1ca.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25192020-03-18T19:17:19Z Estimates for Growth of Derivatives of Analytic Functions Along the Radius Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій Piddubnyi, O. M. Піддубний, О. М. We study the radial boundary behavior of functions analytic in a unit disk of the complex plane. Исследуется радиальное граничное поведение функций, аналитических в единичном круге комплексной плоскости. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2519 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 10 (2013); 1420–1426 Український математичний журнал; Том 65 № 10 (2013); 1420–1426 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2519/1802 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2519/1803 Copyright (c) 2013 Piddubnyi O. M. |
| spellingShingle | Piddubnyi, O. M. Піддубний, О. М. Estimates for Growth of Derivatives of Analytic Functions Along the Radius |
| title | Estimates for Growth of Derivatives of Analytic Functions Along the Radius |
| title_alt | Оцінки зростання вздовж радіуса похідних аналітичних функцій |
| title_full | Estimates for Growth of Derivatives of Analytic Functions Along the Radius |
| title_fullStr | Estimates for Growth of Derivatives of Analytic Functions Along the Radius |
| title_full_unstemmed | Estimates for Growth of Derivatives of Analytic Functions Along the Radius |
| title_short | Estimates for Growth of Derivatives of Analytic Functions Along the Radius |
| title_sort | estimates for growth of derivatives of analytic functions along the radius |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2519 |
| work_keys_str_mv | AT piddubnyiom estimatesforgrowthofderivativesofanalyticfunctionsalongtheradius AT píddubnijom estimatesforgrowthofderivativesofanalyticfunctionsalongtheradius AT piddubnyiom ocínkizrostannâvzdovžradíusapohídnihanalítičnihfunkcíj AT píddubnijom ocínkizrostannâvzdovžradíusapohídnihanalítičnihfunkcíj |