On Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups
We present the description of locally finite groups containing at least one non-Abelian Sylow subgroup in which all non-Abelian subgroups are complemented.
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2524 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508435464847360 |
|---|---|
| author | Baryshovets, P. P. Барышовец, П. П. Барышовец, П. П. |
| author_facet | Baryshovets, P. P. Барышовец, П. П. Барышовец, П. П. |
| author_sort | Baryshovets, P. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:25:49Z |
| description | We present the description of locally finite groups containing at least one non-Abelian Sylow subgroup in which all non-Abelian subgroups are complemented. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
© П. П. БАРЫШОВЕЦ, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1443
УДК 519. 41/47
П. П. Барышовец (Нац. авиац. ун-т, Киев)
О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ
С ДОПОЛНЯЕМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ
We obtain a description locally finite groups containing at least one non-Abelian Sylov-subgroup in which complemented
all non-Abelian subgroups.
Наведено опис локально скінченних груп, що містять принаймні одну неабелеву силовську підгрупу, в яких всі
неабелеві підгрупи є доповнюваними.
1. Введение. Подгруппа A группы G называется дополняемой в G , если в G существу-
ет такая подгруппа B , что G = AB и AB = 1 . Ф. Холл [1] изучал конечные группы с до-
полняемыми подгруппами еще в 1937 г. Полное oписание произвольных (как конечных, так и
бесконечных) групп с таким свойством, получивших название вполне факторизуемых, было
получено позже, в 1953 г., Н. В. Баевой [2] (см. также [3, 4]). В работах С. Н. Черникова [5] и
Ю. М. Горчакова [6] было показано, что произвольные вполне факторизуемые группы совпа-
дают с группами, в которых дополняемы все абелевы подгруппы. Таким образом, выяснилось,
что сужение системы дополняемых подгрупп от всех подгрупп группы до системы абелевых
подгрупп не приводит к расширению класса вполне факторизуемых групп. Естественно в [7]
возник вопрос об изучении неабелевых групп с дополняемыми неабелевыми подгруппами.
Исследования, связанные с понятием дополняемости (в более широком смысле разложи-
мости или, иначе, факторизации) занимают важное место как в самой теории групп, так и в
других разделах алгебры, позволяя изучать свойства группы по свойствам ее подгрупп (см., на-
пример, [8 – 12]). Более подробно отметим лишь классический результат Ф. Холла, показав-
шего еще в 30-х годах прошлого века в [8], что конечные разрешимые группы — это те конеч-
ные группы, в которых дополняема каждая силовская подгруппа.
В разные годы рассматривалось влияние дополняемости систем подгрупп, близких к систе-
ме неабелевых подгрупп, на строение группы, прежде всего нециклических [13] и непримар-
ных [14, 15]. Невзирая на зачастую большие различия в строении групп указанных классов,
некоторые общие подходы в сходных проблемных ситуациях для этих групп сохранялись.
В работах автора [16 – 19] изучались конечные группы с дополняемыми неабелевыми под-
группами. Оказалось, в частности, что они разрешимы и их ступень разрешимости не превы-
шает числа 3. В настоящей работе рассматриваются бесконечные неабелевы локально конеч-
ные группы, содержащие по крайней мере одну неабелеву силовскую подгруппу, в которых
дополняемы все неабелевы подгруппы. Ее цель — доказательство двух теорем, описывающих
строение соответственно нильпотентных и ненильпотентных локально конечных групп такого
рода.
Перспективным в плане дальнейшего исследования влияния дополняемости систем под-
групп на строение группы, на взгляд автора, могло бы быть изучение групп с дополняемыми
неметациклическими подгруппами.
1444 П. П. БАРЫШОВЕЦ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. 2013, т. 65, № 11
2. Предварительные результаты. Пусть G — произвольная неабелева группа, имею-
щая свойство: любая неабелева подгруппа из G дополняема в G . Тогда все неабелевы
подгруппы и неабелевы фактор-группы группы G , а также все прямые произведения вида
G ! H , где H — абелева вполне факторизуемая группа, имеют то же свойство. Кроме того,
фактор-группа группы G по ее неабелевому нормальному делителю вполне факторизуема.
Следуя Ф. Холлу и Тонту, локально конечные разрешимые группы с абелевыми силов-
скими подгруппами будем называть A -группами (как и в конечном случае).
Лемма 1. В A -группе пересечение центра с коммутантом тривиально.
Следует из аналогичного утверждения для конечных групп (Тонт [20]).
Лемма 2. Если в неабелевой бесконечной бинарно конечной группе G с дополняемыми
неабелевыми подгруппами коммутант конечен, то G = H ! B , где H — конечная группа с
дополняемыми неабелевыми подгруппами, а B — бесконечная вполне факторизуемая абеле-
ва группа.
Доказательство. Пусть !G — конечная группа и A1 — произвольная неабелева конеч-
ная подгруппа группы G . Пусть A2 = !G A1 . Тогда G = A2 ! L , где L — вполне фактори-
зуемая абелева подгруппа конечного индекса в G . Поскольку группа автоморфизмов конеч-
ной группы конечна, то G : CG (A2 ) < ! и B = L !CG (A2 ) — подгруппа конечного индекса
из G , содержащаяся в Z(G) . Так как подгруппа H = A2 ! K , где K — дополнение к B
в L , дополняет B в G , причем H ! G , B ! G , то G = H ! B .
Лемма доказана.
Лемма 3. Локально конечная неабелева группа G с дополняемыми неабелевыми под-
группами не более чем трехступенно разрешима. В частности, если G нильпотентна, то
!!G = 1 .
Доказательство. Поскольку длина ряда коммутантов локально конечной локально
разрешимой группы совпадает с максимальной длиной ряда коммутантов ее конечных
подгрупп [21], а у конечных неабелевых групп с дополняемыми неабелевыми подгруппами
!!!G = 1 (см. [19]), то и второй коммутант !!G произвольной локально конечной неабелевой
группы G с дополняемыми неабелевыми подгруппами абелев. Осталось заметить, что у
конечных нильпотентных групп такого рода !!G = 1 .
Лемма доказана.
3. Нильпотентные группы с дополняемыми неабелевыми подгруппами.
Лемма 4. Неабелева нильпотентная группа G с дополняемыми неабелевыми подгруп-
пами локально конечна.
Доказательство. Пусть G — неабелева нильпотентная группа, в которой дополняемы
все неабелевы подгруппы.
1. Покажем, что класс нильпотентности группы G равен 2. Действительно, если
1 = A0 ! A1 ! A2 ! … ! An = G
— верхний центральный ряд группы G , причем n > 2, то A2 — неабелев нормальный
делитель группы G и потому G = A2 ! L , где L ! G/A2 — абелева вполне факторизуемая
группа. Фактор-группа G/A1 будет группой класса нильпотентности 2, причем подгруппа
О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ 1445
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2013, т. 65, № 11
A2 /A1 содержится в центре группы G/A1 и дополняема в ней. Таким образом, группа
G/A1 абелева. Из полученного противоречия следует, что G — группа класса нильпотент-
ности 2 и !G " Z(G) .
2. Покажем, что G содержит неединичные элементы конечного порядка. Действитель-
но, предположим, что G — группа без кручения. Тогда она является R -группой [22, с. 413].
Если x и y — неперестановочные элементы группы G , то у подгруппы H = !x, y" , по-
рожденной элементами x и y , класс нильпотентности равен 2. Если z = x, y[ ] , то, оче-
видно, !z" = #H . Так как центр Z1(G) группы G изолирован в G [22, с. 412], элементы
x и z независимы. Если y! = x"z# , где ! , ! и ! — целые числа, то, трансформируя
это равенство элементом y и выполняя необходимые сокращения, получаем z! = 1 , поэто-
му ! = 0 . Значит, и элемент y не зависит от элементов x и z . Но тогда подгруппа
S = [!xn " # !zn "]!y" , где n — некоторое натуральное число, является собственной неабеле-
вой подгруппой конечного индекса из H . Значит, подгруппа S дополняема в H , поэтому
H , а значит и G , содержат конечную неединичную подгруппу. Таким образом, G не
может быть группой без кручения.
3. Предположим теперь, что группа G содержит элементы бесконечного порядка.
Покажем, что коммутант !G содержит неединичные элементы конечного порядка.
Действительно, предположим, что !G — абелева группа без кручения. Пусть, далее, x ,
y — неперестановочные элементы группы G . Если x, y[ ] = z , то z = x, y ! , и так как
[xn , y] = zn ! 1 для любого целого n , то x и y — элементы бесконечного порядка. Но
тогда все элементы конечного порядка группы G содержатся в ее центре Z(G) и потому
составляют нормальную подгруппу F — периодическую часть группы G . Тогда в силу
соотношения F ! !G = 1 G/F — неабелева группа без кручения, что невозможно, как
показано в пункте 2 доказательства данной леммы. Значит, коммутант !G содержит нееди-
ничные элементы конечного порядка.
Если периодическая часть F1 коммутанта !G отлична от единицы и от !G , то в
группе G / F1 коммутант !G / F1 является абелевой группой без кручения, что противоречит
доказанному выше. Значит, !G — периодическая группа. Тогда, очевидно, элементы
конечного порядка группы G составляют подгруппу — периодическую часть F группы G ,
нормальную в G . Поскольку по предположению G содержит элементы бесконечного
порядка, то F — абелева группа. Следовательно, в группе G существует такой элемент a
бесконечного порядка, что [F, a] ! 1 . Тогда в силу включения !G " F подгруппа F!a"
нормальна в G и потому G/F!a" — абелева вполне факторизуемая группа. Значит,
G = F!a" . Но подгруппы F!a2 " и F!a3 " недополняемы в группе G и, значит, абелевы.
Тогда элементы a2 и a3 , а значит и a = a3 ! a"2 , принадлежат Z(G) . Противоречие.
Значит, G — периодическая группа и потому локально конечна.
Лемма доказана.
1446 П. П. БАРЫШОВЕЦ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. 2013, т. 65, № 11
Замечание. Другоe доказательство леммы 4 следует из результатов [23].
Теорема 1. В неабелевой нильпотентной группе G тогда и только тогда дополняемы
все неабелевы подгруппы, когда G = H ! B и B — абелева вполне факторизуемая, а H —
неабелева примарная (по числу p ) группа одного из следующих типов:
1) H = A1!b" , где A1 — нормальная элементарная абелева подгруппа и b p !Z G( ) ;
2) H — конечная p-группа Миллера – Морено;
3) H — прямое произведение с объединенным центром двух групп диэдра порядка 8;
4) H — прямое произведение с объединенным центром двух неабелевых групп порядка
p3 и экспоненты p ;
5) H = !a0 " # !a1" # !a2 " # !a3"( )! b1( )! !b2 " , где ai
p = bj
p = 1 , [b1, b2 ] = a0 , [a3, bj ] =
= a j , [ai , bj ] = 1 , если i < 3 (i = 0,1, 2, 3; j = 1, 2) ;
6) H = ! a " # ! b "( )! ! c " , где a4 = b2 = c2 = 1 , [b, c] = a2 , [a, c] = 1 ;
7) H = ! a " # ! b "( )! ! c " , где a4 = b4 = c2 = 1 , [b, c] = b2 , [a, c] = a2 ;
8) H = ! a " # ! b " # ! c "( )! ! d " , где a4 = b2 = c2 = d2 = 1 , [a, d] = a2 , [b, d] = c ,
[c, d] = 1 ;
9) H = ! a "! ! b " , где a8 = b2 = 1 , [a, b] = a!2 ;
10) H = ! a1 " # ! a2 "( )! ! b " , где a19 = a23 = b3 = 1 , [a1, b] = a2 , [a2, b] = a16 ;
11) H = ! a1 " # ! a2 " # ! b " # ! c "( )! ! d " # ! f "( ) , где a1
p = a2
p = b p = c p = d p = f p = 1 ,
[b, d] = a1 , [c, d] = a2 , [b, f ] = 1 , [c, f ] = a1 , [ai , f ] = [ai , d] = 1 , i = 1, 2 , p > 2 ;
12) H = ! a1 " # ! a2 " # ! b " # ! c "( )! ! d " # ! f "( ) , где a1
p = a2
p = b p = c p = d p = f p = 1 ,
[b, d] = a1 , [c, d] = a2 , [b, f ] = a2 , [c, f ] = a1ma2n , m ! 0 (mod p) , n ! 0 (mod p) ,
[ai , f ] = [ai , d] = 1 , i = 1, 2 ;
13) H = ! a1 " # ! a2 " # ! a "( )! ! b1 " # ! b "( ) , где a1
p = a2
p = a p = b1
p = b p = 1 , [a, b] = a2 ,
[a2, b] = a1 , [a, b1] = a1 , [a1, b1] = [a2, b1] = [a1, b] = 1 , p > 2 ;
14) H = !a1" # !a2 "( )! !b1" # !b"( ) , где a19 = a23 = b13 = b3 = 1 , [a1, b] = a2 , [a2, b] = a16 ,
[a1, b1] = a13 , [a2, b1] = 1 ;
15) H = !a1" # !a2 " # !a3"( )! !a"( )! !b" , где a1
p = a2
p = a3
p = a p = b p =1 , [ai, a] =
= [ai, b] = 1, i = 1, 2 , [a3, a] = a1 , [a3, b] = a2 , [a, b] = a3 .
Доказательство. Необходимость. В силу лемм 3 и 4 коммутант !G произвольной
неабелевой нильпотентной группы G с дополняемыми неабелевыми подгруппами абелев.
Поскольку коммутаторы в группе G перестановочны, в случае непримарности комму-
танта !G существуют коммутаторы x = [a, b] и y = [c, d] примарных порядков по разным
простым числам p и q . Но тогда ! a, b, c, d " — конечная неабелева нильпотентная группа
с дополняемыми неабелевыми подгруппами и непримарным коммутантом. Так как последнее
невозможно, из полученного противоречия следует примарность коммутанта !G .
О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ 1447
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2013, т. 65, № 11
Пусть !G — p -группа. Тогда силовская p -подгруппа P группы G является не-
абелевым прямым множителем группы G , а дополнение P в G — абелева вполне факто-
ризуемая группа. Итак, не теряя общности, можем считать, что G = P . Если коммутант !G
группы G конечен, то из леммы 2 и описания в работах автора [16 – 19] конечных неабе-
левых групп с дополняемыми неабелевыми подгруппами следует, что G = H ! B и B —
абелева вполне факторизуемая, а H — неабелева примарная (по числу p ) группа одного
из типов теоремы 1.
Покажем, что если коммутант !G группы G бесконечен, то G — группа типа 1
теоремы 1. Поскольку каждый элемент коммутанта является произведением конечного числа
коммутаторов (если точнее, то их степеней), в G можно выделить конечную подгруппу T
с !T " p4 . Если K — нормальный делитель группы G , совпадающий с пересечением всех
подгрупп, сопряженных с дополнением подгруппы T в G , то TK /K ! T . При неабелевой
группе K фактор-группа TK /K вполне факторизуема и, значит, элементарная абелева.
Это противоречит неабелевости группы T , следовательно, K — абелев нормальный
делитель конечного индекса в группе G . Заметим, что K ! Z G( ) , иначе !G — конечная
группа, что противоречит условию.
Покажем, что !G K — абелева группа. Действительно, если !G K — неабелева группа и
B — ее дополнение в группе G , то G = !G KB( ) и вследствие нильпотентности группы G
G = K ! B . Поскольку подгруппа B , очевидно, абелева, то !G " K . Последнее
невозможно, так как 1 ! "T # K . Следовательно, !G K — абелева группа. Пусть !G K = D
и U — такая конечная подгруппа группы G , что G = DU . Не теряя общности можно
считать, что U ! T . Но тогда U — группа типа 1 и, значит, U = N ! x " , где N — нор-
мальная в U элементарная абелева подгруппа и x p !Z U( ) . Тогда G = !G K( ) N " x #( ) =
= !G K N " x #( )( ) . Отсюда вследствие нильпотентности группы G G = K N ! x "( ) . Предпо-
ложим, что K , N[ ] ! 1 и a !N , a = p , K , a[ ] ! 1 . Тогда a !K . Подгруппа K ! a "
дополняема в группе G . Если I — дополнение K ! a " в G , то KI дополняет ! a " в
группе G . Следовательно, ! a " дополняема в группе U и поэтому вследствие нильпотент-
ности группы U a ! "U . Значит, K , !U[ ] = 1 . Тогда K !U — абелев нормальный делитель
группы G , содержащий ее коммутант !G . Подгруппа !U , очевидно, нормальна в группе
G . Не теряя общности можно считать, что K ! !U = 1 . Действительно, если
K ! !U = K1 " 1 , то вместо G достаточно рассмотреть фактор-группу G/K1 . Итак,
a !K "U , K ! !U " a #( ) = 1 и подгруппа K !U " a # — неабелев нормальный делитель группы
G . Если R — дополнение подгруппы K !U " a # в группе G , то R — элементарная
абелева группа и погруппа KR дополняет подгруппу !U " a # в группе G . Если
J = (KR)!U , то U = !U , a, J = !U " # a $( )! J и G = K ! "U( )! # a $( )! J . Пусть
A = N !x p " — максимальная абелева подгруппа (индекса p ) группы U . Поскольку
!U " a # $ A , то J ! A , но J = J1 ! " y # , где J1 ! A , а y p = 1 . Значит, U = A! y " ,
1448 П. П. БАРЫШОВЕЦ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. 2013, т. 65, № 11
A = !U " # a $ " J1 , y p = 1 и Z(U ) ! A . Поскольку !U " p4 , то в силу леммы 8 [16]
отсюда следует, что A : Z(U ) ! p2 . Подгруппа M = UK /K в фактор-группе G/K в силу
соотношения U ! K = 1 изоморфна группе U . Пусть L = Z(M )! a " , где ! a " — образ
подгруппы ! a " в фактор-группе G/K . Так как прообраз L подгруппы L в G
неабелев, он дополняем в G , а подгруппа L дополняема в фактор-группе G/K . Тем
самым мы показали, что подгруппа Z(U ), a дополняема в U . Предположим, что
a !Z(U ) . Тогда U = U1 ! " a # и K ! a " — неабелев нормальный делитель группы G и
фактор-группа G/K ! a " элементарная абелева. Из полученного противоречия следует, что
a !Z(U ) . Если S — дополнение подгруппы Z(U ) ! " a # в группе U , то S ! A , и
поэтому U = AS . Но тогда S ! A . Поскольку, U < A ! S , то A ! S =W ! 1 . Если
S — абелева группа, то W ! Z(U ) , что невозможно. Если S — неабелева группа, то
!S " A и 1 ! "S ! Z(S) # Z(U ) , что снова невозможно. Из полученного противоречия
следует, что KN — абелева группа. Нетрудно убедиться, что G — группа типа 1.
Доказательство достаточности несложно, и мы его опускаем. Отметим только, что до-
полняемость неабелевых подгрупп в группе типа 1 доказывается аналогично доказательству
леммы 10 [16].
Теорема доказана.
4. Бесконечные ненильпотентные группы, содержащие, по крайней мере, одну неабе-
леву силовскую подгруппу, в которых дополняемы все неабелевы подгруппы. Строение
локально конечных групп такого рода описывает следующая теорема.
Теорема 2. В локально конечной ненильпотентной группе G , содержащей, по крайней
мере, одну неабелеву силовскую подгруппу, тогда и только тогда дополняемы все неабелевы
подгруппы, когда G = H ! B , где B — вполне факторизуемая абелева группа, а H —
группа одного из типов:
1) H — конечная ненильпотентная группа с дополняемыми неабелевыми подгруппами,
содержащая, по крайней мере, одну неабелеву силовскую подгруппу;
2) H = K ! c " , K — абелева нормальная вполне факторизуемая группа, c = qm , cq !
!Z(H ) , K : CK ! c "( ) = # , q — простое число, m — натуральное и элемент c дейст-
вует нетождественно на силовской q -подгруппе группы K ;
3) H = L! P , L разлагается в прямое произведение нормальных в H подгрупп прос-
тых порядков L! , a P либо неабелева группа порядка p3 и экспоненты p , либо груп-
па диэдра порядка 8, в обоих случаях 1 ! CP (L) ! P и !(P) "!(L) .
Для доказательства теоремы 2 нам потребуются следующие леммы.
Лемма 5. Если в бесконечной неабелевой локально вполне факторизуемой группе G
дополняемы все неабелевы подгруппы, то она вполне факторизуема.
Доказательство. Из двуступенной разрешимости вполне факторизуемых групп [4] в
силу результатов работы С. Н. Черникова [21] следует, что группа G двуступенно разреши-
ма (т. е. коммутант ее абелев), а также что все ее силовские подгруппы являются элементар-
ными абелевыми.
О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ 1449
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2013, т. 65, № 11
Пусть D — подгруппа Миллера – Морено из G . Вследствие выбора G порядок под-
группы D равен pq , где p и q — различные простые числа. Пусть порядок коммутанта
!D равен p . Предположим сначала, что !G — p -группа и P — силовская p -подгруппа
группы G , содержащая !G . Тогда подгруппа P нормальна в G и G/P — абелева вполне
факторизуемая группа.
Покажем, что подгруппа P дополняема в G . Пусть x — элемент простого порядка q
из D . Тогда подгруппа P! x неабелева и, значит, дополняема в G . Пусть G =
= P! ! x "( )K , P! ! x "( )! K = 1 . Тогда, очевидно, P! K( ) ! " x # = G , P! K( )! ! x " = 1 .
Поскольку индекс q подгруппы P! K взаимно прост с порядками элементов подгруппы
P , то по теореме Диксона [24, 25] получаем, что подгруппа P дополняема в G : G =
= P! H , где H — абелева вполне факторизуемая группа.
Не теряя общности группу G можно считать прямо неразложимой. Это значит, что
центр Z(G) = 1 , а в силу леммы 2 коммутант !G бесконечен. Докажем теперь, что под-
группа P разложима в прямое произведение подгрупп порядка p , нормальных в группе G .
Если U — подгруппа простого порядка из P , то U дополняема в группе G . Пусть G =
= U !W и U !W = 1 . Тогда пересечение W ! P = R нормально в группе W , а значит, и в
группе G = PW .
Предложение 1. Если R ! G и R ! P , то в подгруппе H есть такой элемент y
порядка q ! p , что R ! " y # — неабелева группа.
Действительно, иначе R !H была бы абелевой группой, R ! Z(H ) и, значит, R = 1 ,
что противоречит бесконечности коммутанта !G .
Пусть y — произвольный элемент из подгруппы H порядка q ! p такой, что
R ! " y # — неабелева группа. Тогда подгруппа R ! " y # дополняема в группе G . Если
G = R! ! y "( ) # S и R! ! y "( )! S = 1 ,
то
G = R! S( ) ! " y # и R! S( )! ! y " = 1 . (1)
В силу той же теоремы Диксона из соотношений (1) следует, что подгруппа R дополняе-
ма в группе G . Пусть T — ее дополнение в группе G . Поскольку подгруппа R имеет
индекс p в P , пересечение R1 = P ! T является подгруппой порядка p , нормальной в
T , а значит, и в G . Повторив рассуждения из [14, c. 127], покажем, что группа G вполне
факторизуема.
Предположим, что коммутант !G группы G непримарен. Пусть P — силовская p -
подгруппа коммутанта !G по наименьшему простому числу p !" #G( ) , а x — такой
элемент из G , что P, x[ ] ! 1 . Тогда если M — подгруппа Миллера – Морено из группы
P! x " , то вследствие локальной вполне факторизуемости группы G можно считать, что
M = pq , где x = q — простое число, делящее число p ! 1 и, значит, меньшее p . Это
1450 П. П. БАРЫШОВЕЦ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. 2013, т. 65, № 11
значит, что силовских q -подгрупп в коммутанте !G нет. Подгруппа !G "x# неабелева и,
значит, дополняема в группе G . Пусть
G = !G "x# $ L , !G "x# ! L = 1 .
Тогда G = !G ! L( ) "x# , !G ! L( )! "x# = 1 . Отсюда по теореме Диксона следует дополняе-
мость коммутанта !G в группе G . Пусть G = !G ! N . Если коммутант !G группы G
непримарен, то все его силовские подгруппы нормальны в G . Предположим, что V —
любая силовская подгруппа коммутанта !G (или сам коммутант !G , если !(G) —
простое число). Тогда по доказанному выше группа V ! N вполне факторизуема и, значит,
V разлагается в прямое произведение подгрупп простых порядков, нормальных в V ! N , а
значит, и в группе G .
Лемма доказана.
Лемма 6. Локально конечная ненильпотентная прямо неразложимая не вполне факто-
ризуемая группа G с бесконечным коммутантом и дополняемыми неабелевыми подгруп-
пами содержит бесконечную максимальную абелеву нормальную подгруппу конечного ин-
декса.
Доказательство. Действительно, в силу леммы 5 G содержит конечную неабелеву не
вполне факторизуемую подгруппу T . Если F — дополнение подгруппы T в G , то пусть
X — пересечение всех подгрупп, сопряженных в G с F . Подгруппа X нормальна в G .
Предположим, что X — неабелева группа. Тогда фактор-группа G/X вполне факторизуе-
ма, что противоречит соотношению X ! T = 1 . Значит, X — абелев нормальный делитель
конечного индекса группы G . Не теряя общности можно считать, что X — максимальный
абелев нормальный делитель конечного индекса группы G .
Лемма доказана.
Лемма 7. Пусть H — локально конечная ненильпотентная прямо неразложимая не
вполне факторизуемая группа с бесконечным коммутантом и дополняемыми неабелевыми
подгруппами. Если H содержит, по крайней мере, одну неабелеву силовскую подгруппу, то
H — группа типа 2 или 3 из теоремы 2.
Доказательство. 1. Предположим, что группа H содержит неабелевы силовские под-
группы P и Q по различным простым числам p и q . Тогда если P1 и Q1 — конечные
подгруппы Миллера – Морено из этих силовских подгрупп, то у конечной неабелевой
подгруппы R = P1, Q1 дополняемы все неабелевы подгруппы, причем R содержит неабеле-
вы силовские подгруппы по различным простым числам p и q . Получили противоречие с
описанием групп такого рода [19]. Итак, группа H содержит неабелевы силовские под-
группы лишь по одному простому числу, например по p . Пусть P — такая силовская
подгруппа.
2. Покажем, что
H = L! P , (2)
где L — вполне факторизуемая абелева !p -группа.
О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ 1451
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2013, т. 65, № 11
Предположим, что группа H содержит конечную недисперсивную подгруппу H1 . По-
скольку коммутант !H бесконечен, существует коммутатор k = k1, k2[ ]! H1( )" . Тогда
конечная подгруппа k1, k2, H1 тоже недисперсивна, а порядок коммутанта больше, чем
H1( )! , что противоречит [19]. Значит, группа H локально дисперсивна.
Пусть P1 — конечная неабелева подгруппа из P , а H2 — конечная неабелева под-
группа, у которой порядок коммутанта является произведением не менее четырех простых
чисел, одинаковых или различных. Рассуждая, как и при доказательстве леммы 6, находим
такую абелевую нормальную подгруппу K1 конечного индекса в H , что K1 ! H 3 = 1 , где
H 3 = P1, H2 . Рассмотрим фактор-группу H /K1 . Она либо недисперсивна, либо ее
неабелева силовская подгруппа нормальна в H /K1 , либо нормально дополняема в ней [19].
Первые два случая невозможны в силу теоремы [19] и выбора группы H 3 . Значит, в фактор-
группе H /K1 неабелева силовская подгруппа нормально дополняема. Такое же строение
будут иметь и конечные ненильпотентные подгруппы группы H , содержащие неабелеву
силовскую подгруппу.
В силу леммы 6 группа H содержит бесконечную максимальную абелеву нормальную
подгруппу K конечного индекса в H . Поскольку H /K — вполне факторизуемая группа, то
!P " P ! K # 1 . С другой стороны, так как K — абелева, а P — неабелева группа, то
P ! K .
Покажем, что [H : K ] = p! , ! "N . Действительно, пусть q !" [H : K ]( ) , q ! p .
Если D — такая конечная подгруппа из H , что H = KD , то, как отмечалось выше,
D = D !p ! Dp . Предположим, что x !K , [x, D !p ] " 1 . Пусть T = x, D, P1 . Тогда
T = T !p !Tp , где T !p — вполне факторизуемая абелева, а Tp — неабелева p -группа. Если
x — !p -элемент, то x и D !p содержатся в абелевой группе T !p и, значит, x, D !p"# $% =1.
Если x — p -элемент, то x ! K ! T( ) = T1 " T . Поскольку T1 — абелева группа, силовская
p -подгруппа I из T1 нормальна в T . Значит, I , T !p[ ] = 1 , I , D !p[ ] = 1 . Следовательно,
D !p " K , [H : K ] = p! , ! "N .
Так как H /K — вполне факторизуемая примарная группа, H /K — элементарная
абелева группа. Значит, !H " K , !H — абелева группа. Поскольку силовские подгруппы
конечных ненильпотентных подгрупп группы H по всем числам q ! p элементарные
абелевы, то нетрудно убедиться, что у самой группы H силовские подгруппы по всем числам
q ! p элементарные абелевы.
Силовская подгруппа группы H по любому числу q ! p содержится в K и вследствие
абелевости K единственна и в K , и в H . Значит, силовские подгруппы по всем числам
q ! p группы H нормальны в H . Обозначим их произведение через L . Подгруппа P
неабелева и, значит, дополняема в H . Пусть H = P !U , P !U = 1 . Так как U ! L = L , то
(2) доказано.
Покажем, что L ! Z H( ) = 1 . При доказательстве этого утверждения L можно считать
1452 П. П. БАРЫШОВЕЦ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. 2013, т. 65, № 11
силовской q -подгруппой группы H . Пусть 1 ! Z1 = L ! Z H( ) . Тогда H : L = p! ,
! Z1( ) = q{ } . Подгруппа Z1 дополняема в L , p ! q. В силу теоремы Диксона [24, 25]
подгруппа Z1 дополняема в группе H : H = Z1 !H2 , Z1 ! H2 = 1 . Поскольку
Z1 ! Z H( ) , то Z1 — прямой множитель группы H , а так как группа H предполагалась
прямо неразложимой, то L ! Z H( ) = 1 .
Предположим, что P = P2 ! P3 , где P2 — неабелева группа, а P3 — абелева группа.
Если L, P3[ ] ! 1 , то LP3 — неабелев нормальный делитель группы H и H /LP3 ! P2 —
вполне факторизуемая абелева группа. Из полученного противоречия следует, что
L, P3[ ] = 1 и P3 — прямой множитель группы H . Так как группа H предполагалась
прямо неразложимой, то и группа P прямо неразложима, т. е. P3 = 1.
Покажем, что L, Z(P)[ ] = 1 . Действительно, иначе подгруппа LZ(P) дополняема в
группе H и, значит, подгруппа Z(P) дополняема в группе H , а значит, и в P. Если
P = Z(P)!Y , то P = Z(P) ! Y , т. е. подгруппа P прямо разложима, что невозможно.
Значит, L, Z(P)[ ] = 1 .
Поскольку у конечных ненильпотентных групп с дополняемыми неабелевыми подгруппа-
ми, содержащих неабелеву силовскую подгруппу, централизатор подгруппы Фиттинга абелев
(см. теорему в [19]), нетрудно убедиться, что CP (L) — абелева группа. Подгруппа CP (L) , а
значит и J = L ! CP (L) , нормальна в H . Пусть B = KJ . Поскольку обе подгруппы ( K и
J ) абелевы и нормальны в группе H , то !B " K ! J и !B " Z(B) . Так как B , очевидно,
A -группа, то Z(B) = 1 и, значит, !B = 1 , т. е. B — абелева группа, J ! K . Тогда
K = L ! Kp , где Kp = CP (L) — абелева нормальная подгруппа конечного индекса груп-
пы P .
Предположим, что P — бесконечная группа. Отсюда в силу леммы 2 и доказанной выше
прямой неразложимости группы P следует, что ее коммутант !P бесконечен. Тогда в силу
теоремы 1 P = S! b " , где S — нормальная элементарная абелева подгруппа и b p !Z(P) .
Пусть L, S[ ] ! 1 . Тогда группа P содержит абелевы нормальные подгруппы Kp и S!b p "
индекса p! , ! "N , и p соответственно, причем Kp ! S"b p # . Следовательно, P =
= Kp ! (S!b p ") и подгруппа конечного индекса Kp ! (S!b p ") группы P содержится в ее
центре. Отсюда следует, что коммутант !P группы P конечен. Так как выше было показано
обратное, то из полученного противоречия получаем, что L, S[ ] = 1, а H — группа типа 2
из теоремы 2.
Пусть теперь группа P конечная. Покажем, что группа L разлагается в прямое
произведение минимальных нормальных делителей группы H .
Предложение 2. Если X ! H , X ! L, то XP( )! = X " !P .
Доказательство. Если X, P[ ] = 1, то X ! Z H( )! L, что, как показано выше,
невозможно. Пусть X, P[ ] ! 1. Ясно, что (XP !) " X # !P . Предположим, что (XP !) ≠
О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ 1453
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2013, т. 65, № 11
≠ X ! "P . Если x1 !! X, P[ ] , x2 !X , x2 !(XP ") , то в центре конечной группы x1, x2, P
содержится подгруппа Z1 из X . Эта подгруппа Z1 содержится и в пересечении центра
группы H с L . По доказанному ранее последнее тривиально. Значит, (XP !) = X " !P .
Следствие. В частности, (LP !) = L " !P .
Пусть X! — произвольное конечное множество элементов из L . Подгруппа U! =
= X! , P конечна, U! ! L = C! " H и, значит, в силу предложения 2 C! = U!( )" .
Рассмотрим подгруппу
B = C!
!
! , порожденную всеми подгруппами C! . Она, очевидно,
нормальна в H и содержится в L . Поскольку любой элемент из L содержится, по
крайней мере, в одном множестве X! , то L ! B . Значит,
L = C!
!
! . Отсюда с помощью
трансфинитной индукции и предложения 2 нетрудно получить разложение
L = C!
!
" (3)
подгруппы L в прямое произведение конечных минимальных нормальных делителей груп-
пы H .
Пусть теперь L1 — один из множителей этого разложения подгруппы L .
Возможны следующие случаи.
1. P/CP (L) = p . Применим к группе L1P лемму 7 [19]. Предположим сначала, что
L1P — группа типа 1 указанной леммы. Тогда L1P = B ! a " , где B — абелева нормальная
вполне факторизуемая подгруппа, a = p! и a p !Z L1P( ) . Если L, B[ ] = 1 , то H —
группа типа 3 теоремы 2. Пусть L, B[ ] ! 1 . Тогда P = B !Kp и подгруппа Kp ! B индек-
са p2 группы P содержится в ее центре. Отсюда следует, что коммутант !P группы P
имеет порядок p . Не теряя общности можно считать, что !P — подгруппа ! x " порядка
p из B . Пусть ! y " — такая подгруппа того же порядка из B , что L, y[ ] ! 1 . Тогда
H = LP = L!x, y"( )! J , где J — элементарная абелева группа. Поскольку P — неабелева
группа, для некоторой подгруппы ! z " порядка p из J произведение
M1 = ! x " # ! y "( )! ! z " будет группой Миллера – Морено порядка p3 из P . Так как
Z(P) ! B и, значит, Z(P) — элементарная абелева группа, из прямой неразложимости груп-
пы P и равенства P = M1 ! Z(P) следует, что P = M1 .
2. P/CP L( ) ! p2 . Тогда L1P — группа типа 2 из леммы 7 или типа 1 или 2 из
леммы 8 (см. [19]). Если C! — любой из множителей разложения (3), то C!P — конечная
неабелева группа с неабелевой силовской подгруппой и дополняемыми неабелевыми под-
группами. Применяя ко всем таким подгруппам теорему из [19], получаем, что LP — группа
типа 3 из теоремы 2.
Лемма доказана.
1454 П. П. БАРЫШОВЕЦ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. 2013, т. 65, № 11
Доказательство теоремы 2. Необходимость следует из лемм 5 и 7. Докажем доста-
точность. Пусть группа G удовлетворяет условию теоремы 2. Так как G = H ! B , где B
— вполне факторизуемая абелева группа, то достаточно доказать дополняемость неабелевых
подгрупп из группы H . Действительно, если F — подгруппа группы G , то
FB = F F ! B( )K( ) = FK = F ! K ,
где K — дополнение подгруппы F ! B в B . С другой стороны, по свойству прямого
произведения (см. [25, c. 104]) FB = H ! FB( ) ! B . Следовательно, если подгруппа H ! FB
дополняема в H , то FB , а значит и F , дополняема в группе G . Осталось заметить, что
группы H ! FB и F одновременно абелевы или неабелевы.
Случай конечной неабелевой группы H рассмотрен в [19]. Дополняемость неабелевых
подгрупп в группе H типа 2 доказывается аналогично лемме 10 [16].
Пусть H — группа типа 3 и R — ее неабелева подгруппа. Тогда RL = L! RL ! P( ) по
лемме Черникова (лемма 3.7 [9]). Пусть D = RL ! P . Единственной недополняемой под-
группой в группе P является ее коммутант !P . Так как CP (L) ! P , 1 ! CP (L) ! P , то
!P " CP (L) . Следовательно, подгруппа RL абелева в случае D = !P и этот случай
невозможен. Таким образом, подгруппа D дополняема в группе P . Пусть P = D ! N ,
D ! N = 1 .
Тогда H = LP = L DN( ) = LD( )N = LR( )N , LR ! N = 1 . Но
RL = R R ! L( )( ) L = R R ! L( ) L( ) = R R ! L( )T( ) = R R ! L( )( )T = RT = T ! R ,
где T — дополнение к подгруппе R ! L в L , составленное из множителей некоторого раз-
ложения подгруппы L в прямое произведение нормальных в H подгрупп простых поряд-
ков. Отсюда следует, что подгруппа TN дополняет подгруппу R в группе H . Достаточ-
ность доказана.
1. Hall Ph. Complemented groups // J. London Math. Soc. – 1937. – 12. – P. 201 – 204.
2. Баева Н. В. Вполне факторизуемые группы // Докл. АН CCCP. – 1953. – 92, № 5. – С. 877 – 880.
3. Черникова Н. В. Группы с дополняемыми подгруппами // Мат. сб. – 1956. – 39. – С. 273 – 292.
4. Черникова Н. В. К основной теореме о вполне факторизуемых группах // Группы с системами дополняемых
подгрупп. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1972. – С. 49 – 58.
5. Черников С. Н. Группы с системами дополняемых подгрупп // Мат. сб. – 1954. – 35. – С. 93 – 128.
6. Горчаков Ю. М. Примитивно факторизуемые группы // Учен. зап. Перм. ун-та. – 1960. – 17, вып. 2. – С. 15 –
31.
7. Черников С. Н. Исследование групп с заданными свойствами подгрупп // Укр. мат. журн. – 1969. – 21, № 2. –
С. 193 – 209.
8. Hall Ph. A characteristic property of soluble groups // J. London Math. Soc. – 1937. – 12. – P. 198 – 200.
9. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
10. Зайцев Д. И. О прямых разложениях бесконечных абелевых групп с операторами // Укр. мат. журн. – 1988. –
40, № 3. – С. 303 – 309.
11. Сысак Я. П. Произведения бесконечных групп. – Киев, 1982. – 36 с. – (Препринт / АН УССР, Ин-т математи-
ки; 82. 53).
12. Черников Н. С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. – Киев: Наук. думка, 1987. –
206 с.
13. 3уб О. Н. Группы, нециклические подгруппы которых дополняемы // Группы с ограничениями для подгрупп. –
Киев: Наук. думка, 1971. – С. 134 – 159.
О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ДОПОЛНЯЕМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ 1455
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн. , 2013, т. 65, № 11
14. Алексеева Э. С. Бесконечные непримарно факторизуемые группы // Некоторые вопросы теории групп. – Киев:
Ин-т математики АН УССР, 1975. – С. 123 – 140.
15. Сучков Н. М. О некоторых линейных группах с дополняемыми подгруппами // Алгебра и логика. – 1977. – 16,
№ 5. – С. 603 – 620.
16. Барышовец П. П. Конечные неабелевы 2-группы с дополняемыми неабелевыми подгруппами // Теоретико-
групповые исследования. – Киев: Наук. думка, 1978. – С. 34 – 50.
17. Барышовец П. П. О конечных неабелевых p-группах с дополняемыми неабелевыми подгруппами // Строение
групп и свойства их подгрупп. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1978. – С. 39 – 62.
18. Барышовец П. П. О конечных неабелевых группах с дополняемыми неабелевыми подгруппами // Укр. мат.
журн. – 1977. – 29, № 6. – С. 733 – 737.
19. Барышовец П. П. Конечные ненильпотентные группы, в которых все неабелевы подгруппы дополняемы //
Укр. мат. журн. – 1981. – 33, № 2. – С. 147 – 153.
20. Taunt D. On A-groups // Proc. Cambridge Phil. Soc. – 1949. – 45, № 1. – P. 24 – 42.
21. Черников С. Н. Бесконечные локально разрешимые группы // Мат. сб. – 1940. – 49, № 7. – С. 35 – 64.
22. Курош А. Г. Теория групп. – 3-е изд. – М.: Наука, 1967. – 648 с.
23. Мищенко Б. И. Локально ступенчатые группы с дополняемыми бесконечными неабелевыми подгруппами //
Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № 7-8. – С. 1098 – 1100.
24. Dixon J. Complements of normal subgroups in infinite groups // Proc. London Math. Soc. – 1967. – 17. – P. 431 –
446.
25. Dixon J. Corrigenda. Complements of normal subgroups in infinite groups // Proc. London Math. Soc. – 1968. – 18. –
P. 768.
Получено 21.11.12
|
| id | umjimathkievua-article-2524 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:10Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/44/46b31a13dc4aa89ff1a6dec59527e344.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25242020-03-18T19:25:49Z On Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups О бесконечных группах с дополняемыми неабелевыми подгруппами Baryshovets, P. P. Барышовец, П. П. Барышовец, П. П. We present the description of locally finite groups containing at least one non-Abelian Sylow subgroup in which all non-Abelian subgroups are complemented. Наведено опис локально скінченних груп, що містять принаймні одну неабелеву силовську підгрупу, в яких всі неабелеві підгрупи є доповнюваними. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2524 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 11 (2013); 1443–1455 Український математичний журнал; Том 65 № 11 (2013); 1443–1455 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2524/1809 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2524/1810 Copyright (c) 2013 Baryshovets P. P. |
| spellingShingle | Baryshovets, P. P. Барышовец, П. П. Барышовец, П. П. On Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups |
| title | On Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups |
| title_alt | О бесконечных группах с дополняемыми неабелевыми подгруппами |
| title_full | On Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups |
| title_fullStr | On Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups |
| title_full_unstemmed | On Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups |
| title_short | On Infinite Groups with Complemented Non-Abelian Subgroups |
| title_sort | on infinite groups with complemented non-abelian subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2524 |
| work_keys_str_mv | AT baryshovetspp oninfinitegroupswithcomplementednonabeliansubgroups AT baryšovecpp oninfinitegroupswithcomplementednonabeliansubgroups AT baryšovecpp oninfinitegroupswithcomplementednonabeliansubgroups AT baryshovetspp obeskonečnyhgruppahsdopolnâemymineabelevymipodgruppami AT baryšovecpp obeskonečnyhgruppahsdopolnâemymineabelevymipodgruppami AT baryšovecpp obeskonečnyhgruppahsdopolnâemymineabelevymipodgruppami |