Two-Phase Solitonlike Solutions of the Cauchy Problem for a Singularly Perturbed Korteweg-De-Vries Equation with Variable Coefficients
We describe a set of initial conditions for which the Cauchy problem for a singularly perturbed Korteweg–de-Vries equation with variable coefficients has an asymptotic two-phase solitonlike solution. The notion of the manifold of initial data of the Cauchy problem for which this solution exists is p...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2531 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508442641301504 |
|---|---|
| author | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. |
| author_facet | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. |
| author_sort | Samoilenko, V. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:25:49Z |
| description | We describe a set of initial conditions for which the Cauchy problem for a singularly perturbed Korteweg–de-Vries equation with variable coefficients has an asymptotic two-phase solitonlike solution. The notion of the manifold of initial data of the Cauchy problem for which this solution exists is proposed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. Г. Самойленко, Ю. I. Самойленко (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ДВОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI
ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО РIВНЯННЯ КОРТЕВЕГА – ДЕ ФРIЗА
ЗI ЗМIННИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
The paper deals with the Cauchy problem for singularly perturbed Korteweg – de-Vries equation with variable coefficients.
The notion of manifold of the initial data under which the problem possesses an asymptotic two-phase solitonlike solution
is proposed.
Описано множество начальных условий, при которых задача Коши для сингулярно возмущенного уравнения Кор-
тевега – де Фриза с переменными коэффициентами имеет асимптотическое двухфазное солитоноподобное решение.
Предложено понятие многообразия начальных значений для упомянутой задачи Коши, при которых такое решение
существует.
1. Вступ. Класичнi методи нелiнiйної механiки [1 – 3] є одним iз найбiльш ефективних пiдхо-
дiв до дослiдження нелiнiйних систем за наявностi збурень. Цi методи дозволяють отримати
наближенi (в певному сенсi) розв’язки дослiджуваних задач. Бiльш того, у багатьох випадках
такий пiдхiд є єдино можливим методом аналiзу розв’язкiв. Це також стосується i нелiнiй-
них диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними в сучаснiй теоретичнiй i математичнiй
фiзицi, яскравим прикладом яких є рiвняння Кортевега – де Фрiза.
Рiвняння Кортевега – де Фрiза вивчалося багатьма авторами (див., наприклад, монографiї
[4 – 8] та цитовану в них лiтературу). Значну увагу рiвнянню Кортевега – де Фрiза дослiдни-
ки почали придiляти пiсля появи праць [9, 10], з яких, власне, розпочався розвиток нового
ефективного методу побудови точних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з час-
тинними похiдними — методу оберненої задачi розсiювання (метод ОЗР) [4], за допомогою
якого було отримано важливий фiзично змiстовний клас розв’язкiв, так званих одно-, дво- та
багатосолiтоннi розв’язки, та iн.
У перiод iнтенсивного розвитку цього методу рiвняння, що iнтегруються методом ОЗР,
одночасно вивчалися i у випадку наявностi у них малого параметра при старших похiдних.
Зокрема, у [11 – 14] на нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними iнтегров-
ного типу було узагальнено класичний метод ВКБ, який свого часу був запропонований для
побудови наближених розв’язкiв звичайних лiнiйних сингулярно збурених диференцiальних
рiвнянь другого порядку зi змiнними коефiцiєнтами. Це узагальнення отримало назву „нелiнiй-
ний метод ВКБ” [13, с. 5].
У [15, 16] розглянуто задачу про модуляцiю нелiнiйних хвиль, зокрема тих, що описуються
рiвнянням Кортевега – де Фрiза. При цьому дослiджуванi рiвняння не мiстили явно малий
параметр ε, але наявнiсть параметра ε у формулах для розв’язкiв спецiального типу проявлялася
через малi деформацiї асоцiйованих з ними рiманових поверхонь.
У [17 – 22] проведено дослiдження дещо iншої проблеми, що стосується знаходження гра-
ницi при ε→ 0 розв’язку задачi Кошi для сингулярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза.
При цьому у [17 – 19] суттєво використовувалося припущення про те, що початкова функцiя
достатньо швидко прямує до нуля при |x| → +∞, є недодатною i має скiнченну кiлькiсть
критичних точок. Згодом клас початкових функцiй було розширено [20].
c© В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1515
1516 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
Використовуючи можливiсть зведення масштабним перетворенням дослiджуваного рiвнян-
ня до класичного рiвняння Кортевега – де Фрiза, в [17 – 19] за допомогою методу оберненої
задачi розсiювання отримано формули для розв’язкiв вихiдної задачi Кошi i знайдено слабку
границю цих розв’язкiв при ε → 0. При застосуваннi методу ОЗР в [17] для знаходження
власних функцiй сингулярно збуреного оператора Шредiнгера було використано класичний
метод ВКБ.
Згадана вище проблема про знаходження границi при ε→ 0 розв’язку задачi Кошi для син-
гулярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза також дослiджувалася чисельними методами
[21, 22].
У низцi праць розглядалося також рiвняння Кортевега – де Фрiза, яке залежить вiд малого
параметра регулярним чином. Зокрема, в [23] вивчалися солiтоннi розв’язки рiвняння вигляду
ut − 6uux + uxxx = εf [u] (1)
з початковою умовою
u(x, 0) = u0(x), (2)
де f [u] — деяка нескiнченно диференцiйовна функцiя, u0(x) — швидкоспадна функцiя.
Для випадку, коли f [u] є полiномом вигляду
f [u] =
q∑
k=0
ak
jk∏
s=0
(
∂su
∂xs
)psk
,
де ak ∈ R\{0}, psk ∈ N ∪ {0},
∏jk
s=0
psk 6= 0, k = 0, q, у [23] отримано асимптотичний
розв’язок рiвняння (1) у виглядi малого збурення солiтонного розв’язку класичного рiвняння
Кортевега – де Фрiза (ε = 0 в (1)), який має вигляд
u(x, t) =
∞∑
n=0
εnun(x̄), x̄ = x− (4κ2 − εaκ4) t− x0,
де κ, a — деякi дiйснi параметри, при цьому головний член асимптотики u0(x̄) = −2κ2ch−2κx̄.
В [24, 25] вивчено задачу Кошi для рiвняння вигляду (1) з початковою умовою
u(x, t, ε)
∣∣∣∣∣
t=0
= VN (x, t)
∣∣∣∣∣
t=0
+ εw(x, ε), (3)
де VN (x, t) — N -солiтонний розв’язок незбуреного (ε = 0) рiвняння; w(x, ε) — деяка гладка
функцiя, яка для всiх ε ∈ (0; ε0) задовольняє спiввiдношення w(x, ε) = O(x−2) при x→ ±∞.
Вiдомо, що N -солiтонний розв’язок класичного рiвняння Кортевега – де Фрiза, тобто функ-
цiя VN (x, t), залежить вiд 2N дiйсних параметрiв B0 = (β1, β2, . . . , βN ), S0 = (s1, s2, . . . , sN )
i при ξ = |x|+ t→∞ має асимптотику вигляду [4 – 7]
VN (x, t) =
N∑
j=1
2β2
j ch
−2
[
βjx− 4β3
j t+ sj
]
+O
(
e−δ(1+|x|+t)
)
, (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ДВОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО . . . 1517
де δ > 0 — деяка стала; величини βj , j = 1, N , задовольняють нерiвнiсть βj > βj+1 > 0,
j = 1, N − 1, sj , j = 1, N , — деякi (довiльнi) сталi.
Асимптотичний розв’язок рiвняння вигляду (1) побудовано у [24] за допомогою узагальнен-
ня методу Крилова – Боголюбова, а саме, у виглядi
U(x, t, ε) = U0(x, t; τ, ε) + εU1(x, t; τ, ε) + ε2U2(x, t; τ, ε) + . . . , τ = εt. (5)
При цьому головний член асимптотики (5) має структуру N -солiтонного розв’язку класичного
рiвняння Кортевега – де Фрiза при ξ = |x| + t → +∞, тобто аналогiчно (4) зображується
формулою
U0(x, t; τ, ε) = V (σ;B,S) + V0(x, t;B,S), (6)
де
V (σ;B,S) =
N∑
j=1
2β2
j ch
−2(βjσj + sj), V0(x, t;B,S) = O
(
e−δ(1+|x|+t)
)
, (7)
δ > 0 — деяка стала, а вектор-функцiї B = (β1, β2, . . . , βN ), S = (s1, s2, . . . , sN ) мають асимп-
тотичне зображення вигляду
B = B(τ, ε) = B0(τ) + εB1(τ) + ε2B2(τ) + . . . ,
S = S(τ, ε) = S0(τ) + εS1(τ) + ε2S2(τ) + . . . , τ = εt.
У формулi (6) величини βj , j = 1, N , є функцiями повiльного часу τ = εt i малого параметра
ε; швидкi змiннi σj , j = 1, N , визначаються спiввiдношеннями
σj = x− 4
ε
t∫
0
β2
j (τ, ε)dτ, j = 1, N.
У розвиток iдей праць [24, 25] у [26 – 28] розглянуто рiвняння (1) у випадку, коли права час-
тина в (1) має вигляд ε2f(εx) cos
(
S(ε2x, ε2t)/ε2
)
. При цьому розв’язок вiдповiдного рiвняння
Кортевега – де Фрiза зi збуренням будувався за допомогою нелiнiйного методу ВКБ [12 – 14].
У всiх згаданих вище працях суттєво використовувалося те, що у випадку сингулярних
збурень дослiджуване рiвняння було рiвнянням Кортевега – де Фрiза [11, 15, 17 – 20] або ж ма-
ло спецiальний вигляд [13, 14, 29], а у випадку регулярних збурень породжуюче (при ε = 0)
рiвняння було рiвнянням Кортевега – де Фрiза (зi сталими коефiцiєнтами), широкий клас точ-
них розв’язкiв якого побудовано методом оберненої задачi розсiювання. Оскiльки iснуючi в
даний час методи дослiдження нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними у
випадку наявностi змiнних коефiцiєнтiв, як правило, не дають можливостi знайти їх розв’язки
в явному виглядi, то при наявностi малих збурень у таких рiвнянь практично єдиним мето-
дом для отримання наближених (аналiтичних) розв’язкiв є асимптотичнi методи. Зауважимо,
що побудова асимптотичних розв’язкiв сингулярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза
зi змiнними коефiцiєнтами на вiдмiну вiд задач, що дослiдженi в [11– 29], потребує iнших
пiдходiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1518 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
У данiй статтi розглядається задача Кошi для сингулярно збуреного рiвняння Кортевега – де
Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами вигляду
ε2uxxx = a(x, t, ε)ut + b(x, t, ε)uux, (8)
u(x, 0, ε) = f(x, ε), (9)
де
a(x, t, ε) =
∞∑
k=0
ak(x, t)ε
k, b(x, t, ε) =
∞∑
k=0
bk(x, t)ε
k, (10)
функцiї ak(x, t), bk(x, t) ∈ C∞(R× [0;T ]), k ≥ 0.
Дослiдженню задач Кошi для рiвняння Кортевега – де Фрiза i його узагальнень присвяче-
но значну кiлькiсть праць, зокрема у [30] розглянуто питання про iснування i єдинiсть його
розв’язку. У низцi праць (див. посилання в [5 – 8, 16]) отримано розв’язок задачi Кошi у випадку
швидкоспадних початкових умов, у [31 – 33] вивчено задачу Кошi з початковими умовами типу
сходинки. Крiм того, у [34, 35] розглянуто питання про iснування розв’язку задачi Кошi для
узагальнених рiвнянь Кортевега – де Фрiза, зокрема для рiвняння вигляду
ut + uxxx + a(u, ux) = F (x, t), x ∈ R,
доведено iснування його розв’язку у просторi швидкоспадних функцiй [34], а для рiвняння
вигляду
ut + uxxx + a(u)ux = 0, x ∈ R,
де a(u) — деяка нескiнченно диференцiйовна функцiя, що задовольняє певнi умови, у випадку,
коли початкова функцiя належить простору Соболєва Hs для деякого s >
3
2
, показано [34], що
задача Кошi має єдиний розв’язок у просторi C([0, T );Hs) ∩ C1([0, T );Hs−3), де значення T
залежить вiд ||ϕ||Hs . Всi цi розв’язки в основному є регулярними, тобто гладкими i такими,
що мають певну (скiнченну) асимптотику при |x| → +∞, або ж належать спецiальному класу
функцiй.
З iншого боку, рiвняння Кортевега – де Фрiза має розв’язки й iншої природи, зокрема такi,
що мають певну особливiсть на однiй або кiлькох просторових кривих. Такi розв’язки назива-
ються сингулярними i вивчалися, зокрема, в [36 – 38].
У [37, 38] розглянуто сингулярнi розв’язки рiвняння Кортевега – де Фрiза як у випадку
задачi Кошi, так i у випадку так званих бiжучих хвиль. При цьому для задачi Кошi
ut = uux − uxxx, (t, x) ∈ R+ ×R,
u
∣∣∣∣∣
t=0
= u0(x), x ∈ R,
вказано умови, за яких її розв’язок може iснувати лише на скiнченному (часовому) iнтерва-
лi (див. також [35]) i „руйнується” (за скiнченний час, при вiдповiдному виборi початкової
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ДВОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО . . . 1519
функцiї в умовi Кошi), причому таке руйнування може мати або „грубий” характер, тобто коли
|u(t, x)| → +∞ при (t, x)→ (t∗, x∗) ∈ R2, або ж бiльш „м’який” характер типу градiєнтної ка-
тастрофи, тобто коли |ux(t, x)| → +∞ при (t, x)→ (t∗, x∗) ∈ R2, де (t∗, x∗) — деяка скiнченна
точка.
Питання про iснування розв’язку задачi Кошi для рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними
коефiцiєнтами вивчалося в [39 – 41], де отримано умови iснування узагальнених розв’язкiв даної
задачi Кошi i умови, при яких ця задача має розв’язок у просторi швидкоспадних функцiй.
Зокрема, в [39] доведено наступну теорему про iснування розв’язку задачi Кошi вигляду
ut + uxxx = g(t, x, u)ux + f(t, x, u), (11)
u(0, x) = u0(x). (12)
Теорема [39]. Припустимо, що для деякого T > 0 виконуються умови:
1) для довiльного r > 0 функцiї g(t, x, u), f(t, x, u) ∈ C∞([0;T ]×R× [−r; r]);
2) iснують такi сталi β ≥ 0, 0 ≤ p < 4, що при всiх (t, x, u) ∈ (0;T )×R×R виконуються
умови
|g(t, x, u)| ≤ β (1 + |u|p) , |gt(t, x, u)| ≤ β
(
u4 + 1
)
,
|gx(t, x, u)| ≤ β, |gxx(t, x, u)| ≤ β
(
u2 + 1
)
,
|fu(t, x, u)| ≤ β, |fxu(t, x, u)| ≤ β
(
u2 + 1
)
;
3) функцiя u0(x) ∈ S, f(t, x, 0) ∈ C∞(0, T ;S), де S — простiр швидкоспадних функцiй.
Тодi задача Кошi (11), (12) має єдиний розв’язок у просторi C∞(0, T ;S).
У данiй статтi з використанням наведеної вище теореми розглядається питання про побудову
асимптотичного двофазового солiтоноподiбного розв’язку [42] задачi Кошi (8), (9).
Як вiдомо, задача Кошi для рiвняння Кортевега – де Фрiза зi сталими коефiцiєнтами має
двофазовий солiтонний розв’язок при вiдповiдному виборi початкових умов. Цiлком природно
виникає питання: за яких умов на функцiю f(x, ε) у початковiй умовi (9) задача Кошi (8), (9)
має асимптотичний двофазовий солiтоноподiбний розв’язок?
З огляду на iдеї нелiнiйного методу ВКБ у цiй статтi описано множину початкових умов,
за яких згадана вище задача Кошi для сингулярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза зi
змiнними коефiцiєнтами має асимптотичний двофазовий солiтоноподiбний розв’язок. Запропо-
новано поняття многовиду початкових значень для даної задачi Кошi, за яких такий розв’язок
iснує. Отримано у явному виглядi головний член асимптотичного розв’язку, знайдено дифе-
ренцiальнi рiвняння для старших членiв цього розв’язку i показано їх розв’язнiсть у просто-
рi швидкоспадних за швидкоосцилюючими змiнними функцiй, доведено теореми про оцiнку
рiзницi мiж точним розв’язком задачi (8), (9) i побудованим асимптотичним розв’язком. Ана-
логiчну задачу для випадку асимптотичного однофазового солiтоноподiбного розв’язку задачi
Кошi (8), (9) розглянуто в [43].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1520 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
2. Основнi припущення i позначення. Нагадаємо, що простiр швидкоспадних функцiй
S = S(R) — це простiр таких нескiнченно диференцiйовних на множинi R функцiй, що для
довiльних цiлих чисел m,n ≥ 0 виконується умова [44]
sup
x∈R
∣∣∣∣xm d n
dx n
u(x)
∣∣∣∣ < +∞.
Через C∞(0, T ;S) позначимо простiр нескiнченно диференцiйовних на множинi R× [0;T ]
функцiй u(x, t), для яких при довiльних цiлих m, k > 0 виконується умова
+∞∫
−∞
(
Dm
x D
k
t u
)2
dx+
+∞∫
−∞
(
1 + x2
)m (
Dk
t u
)2
dx <∞.
Аналогiчно [14, 29] позначимо через G1 = G1(R × [0;T ] × R) лiнiйний простiр таких
нескiнченно диференцiйовних функцiй f = f(x, t, τ), (x, t, τ) ∈ R× [0;T ]×R, що для довiль-
них невiд’ємних цiлих чисел n, m, q, p рiвномiрно щодо (x, t) на кожнiй компактнiй множинi
K ⊂ R× [0;T ] виконуються такi двi умови:
1) справджується спiввiдношення
lim
τ→+∞
τn
∂m
∂τm
∂q
∂tq
∂p
∂xp
f(x, t, τ) = 0, (x, t) ∈ K;
2) iснує така нескiнченно диференцiйовна функцiя f−(x, t), що
lim
τ→−∞
τn
∂m
∂τm
∂q
∂tq
∂α
∂xα
(
f(x, t, τ)− f−(x, t)
)
= 0, (x, t) ∈ K.
Нехай G0
1 = G0
1(R× [0;T ]×R) — лiнiйний пiдпростiр простору G1 = G1(R× [0;T ]×R)
таких нескiнченно диференцiйовних функцiй f = f(x, t, τ), (x, t, τ) ∈ R × [0;T ] × R, що
рiвномiрно щодо змiнних (x, t) на кожному компактi K ⊂ R× [0;T ] виконується умова
lim
τ→−∞
f(x, t, τ) = 0.
Позначимо за допомогою G0
2 = G0
2(R × [0;T ] × R × R) лiнiйний простiр нескiнченно
диференцiйовних функцiй f = f(x, t, τ1, τ2), (x, t, τ1, τ2) ∈ R × [0;T ] × R × R, для яких
iснують такi функцiї f±1 = f±1 (x, t, τ2), f±2 = f±2 (x, t, τ1) ∈ G0
1, що для довiльних невiд’ємних
цiлих чисел α, q, p1, p2, β1, β2 мають мiсце спiввiдношення
lim
τ1→±∞
τp11
∂β1
∂τβ11
∂β2
∂τβ22
∂α
∂xα
∂q
∂tq
(
f(x, t, τ1, τ2)− f±1 (x, t, τ2)
)
= 0, (x, t) ∈ K,
lim
τ2→±∞
τp12
∂β1
∂τβ11
∂β2
∂τβ22
∂α
∂xα
∂q
∂tq
(
f(x, t, τ1, τ2)− f±2 (x, t, τ1)
)
= 0, (x, t) ∈ K.
Нехай G2 = G2(R × [0;T ] × R × R) — лiнiйний простiр таких нескiнченно диференцi-
йовних функцiй f = f(x, t, τ1, τ2), (x, t, τ1, τ2) ∈ R × [0;T ] × R × R, що iснують функцiї
f±1 = f±1 (x, t, τ2), f±2 = f±2 (x, t, τ1) ∈ G1 та такi нескiнченно диференцiйовнi функцiї u±1 (x, t)
та u±2 (x, t), що для довiльних невiд’ємних цiлих чисел α, q, p1, p2, β1, β2 мають мiсце спiввiд-
ношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ДВОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО . . . 1521
lim
τk→±∞
τpkk
∂β1
∂τβ11
∂β2
∂τβ22
∂α
∂xα
∂q
∂tq
(
f(x, t, τ1, τ2)− f±k (x, t, τ2)− u±k (x, t)
)
= 0,
(x, t) ∈ K, k = 1, 2.
Означення 1 [42]. Функцiя u(x, t, ε) називається двофазовою солiтоноподiбною, якщо для
довiльного цiлого числа N ≥ 0 вона має вигляд
u(x, t, ε) = YN
(
x, t,
S1(x, t)
ε
,
S2(x, t)
ε
, ε
)
+O(εN+1), (13)
де
YN (x, t, τ1, τ2, ε) =
N∑
j=0
εj (uj(x, t) + Vj(x, t, τ1, τ2)) , τ1 =
S1(x, t)
ε
, τ2 =
S2(x, t)
ε
;
функцiї Sk = Sk(x, t) ∈ C∞ (R× [0;T ]) , причому
∂Sk
∂x
∣∣∣
Γk
6= 0; Γk = {(x, t) ∈ R × [0;T ],
Sk(x, t) = 0}, k = 1, 2; uj(x, t), j = 1, N,— нескiнченно диференцiйовнi функцiї; V0(x, t, τ1, τ2) ∈
∈ G0
2, Vj(x, t, τ1, τ2) ∈ G2.
3. Основний результат. Для отримання умов на початкову функцiю в початковiй умовi
(9) задачi Кошi (8), (9) скористаємося загальним виглядом [42] асимптотичного двофазового
солiтоноподiбного розв’язку рiвняння (8)
u(x, t, ε) = YN (x, t, ε) +O(εN+1), (14)
де
YN (x, t, ε) =
N∑
j=0
εj (uj(x, t) + Vj(x, t, τ1, τ2)) , τ1 =
x− ϕ1(t)
ε
, τ2 =
x− ϕ2(t)
ε
,
x = ϕs(t), t ∈ [0;T ], s = 1, 2, — деякi функцiї.
Регулярна частина UN (x, t, ε) =
∑N
j=0
εjuj(x, t) асимптотики (14) визначається iз системи
диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними першого порядку вигляду
a0(x, t)
∂u0
∂t
+ b0(x, t)u0
∂u0
∂x
= 0, (15)
a0(x, t)
∂uj
∂t
+ b0(x, t)uj
∂u0
∂x
+ b0(x, t)u0
∂uj
∂x
= Fj(x, t), j = 1, N, (16)
де функцiї Fj(x, t), j = 1, N , знаходяться рекурентним чином за функцiями u0(x, t), u1(x, t), . . .
. . . , uj−1(x, t).
Питання про iснування розв’язку системи (15), (16) i алгоритм її розв’язування детально
розглянуто в [45 – 47].
Сингулярна частина VN (x, t, ε) =
∑N
j=0
εjVj(x, t, τ1, τ2) асимптотики (14) визначається з
системи диференцiальниих рiвнянь з частинними похiдними вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1522 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
∂3V0
∂τ3
1
+ 3
∂3V0
∂τ2
1∂τ2
+ 3
∂3V0
∂τ1∂τ2
2
+
∂3V0
∂τ3
2
+
[
ϕ′1(t)a0(x, t)− b0(x, t)u0(x, t)
] ∂V0
∂τ1
+
+
[
ϕ′2(t)a0(x, t)− b0(x, t)u0(x, t)
] ∂V0
∂τ2
− b0(x, t)V0
[
∂V0
∂τ1
+
∂V0
∂τ2
]
= 0, (17)
∂3Vj
∂τ3
1
+ 3
∂3Vj
∂τ2
1∂τ2
+ 3
∂3Vj
∂τ1∂τ2
2
+
∂3Vj
∂τ3
2
+
+
[
ϕ′1(t)a0(x, t)− b0(x, t)u0(x, t)
] ∂Vj
∂τ1
+
[
ϕ′2(t)a0(x, t)− b0(x, t)u0(x, t)
] ∂Vj
∂τ2
−
−b0(x, t)
[
Vj
∂V0
∂τ1
+ Vj
∂V0
∂τ2
+ V0
∂Vj
∂τ1
+ V0
∂Vj
∂τ2
]
= Fj(x, t, τ1, τ2), (18)
де функцiї Fj(x, t, τ1, τ2), j = 1, N , визначаються рекурентним чином пiсля знаходження функ-
цiй V0(x, t, τ1, τ2), V1(x, t, τ1, τ2), . . . , Vj−1(x, t, τ1, τ2).
Рiвняння (17) є квазiлiнiйним однорiдним диференцiальним рiвнянням з частинними по-
хiдними третього порядку щодо змiнних τ1, τ2, яке мiстить t в якостi параметра. Аналогiчно,
рiвняння (18) є лiнiйним неоднорiдним диференцiальним рiвнянням з частинними похiдними
щодо τ1, τ2. Алгоритм розв’язування системи (17), (18) детально описано в [42]. Зауважимо,
що якщо розв’язок рiвняння (17) належить простору G0
2, то розв’язок кожного з рiвнянь (18)
належить простору G2 (див. означення 1).
При виконаннi умов узгодженостi [42]
a0(ϕ1(t), t) = a0(ϕ2(t), t) =: a0(t), b0(ϕ1(t), t) = b0(ϕ2(t), t) =: b0(t), (19)
u0(ϕ1(t), t) = u0(ϕ2(t), t) =: u0(t)
та
Fk1(t, τ1, τ2) = Fk2(t, τ1, τ2), k = 1, N, (20)
де кривi x = ϕ1(t), x = ϕ2(t) задовольняють умову ϕ1(0) = ϕ2(0) = 0, функцiї V0(x, t, τ1, τ2),
Vj(x, t, τ1, τ2), j = 1, N , можна визначити на кривих x = ϕs(t), s = 1, 2, як розв’язки вiдповiдно
диференцiальних рiвнянь вигляду
∂3V0s
∂τ3
1
+ 3
∂3V0s
∂τ2
1∂τ2
+ 3
∂3V0s
∂τ1∂τ2
2
+
∂3V0s
∂τ3
2
+
[
ϕ′1(t)a0(t)− b0(t)u0(t)
] ∂V0s
∂τ1
+
+
[
ϕ′2(t)a0(t)− b0(t)u0(t)
] ∂V0s
∂τ2
− b0(t)V0s
[
∂V0s
∂τ1
+
∂V0s
∂τ2
]
= 0, (21)
∂3Vjs
∂τ3
1
+ 3
∂3Vjs
∂τ2
1∂τ2
+ 3
∂3Vjs
∂τ1∂τ2
2
+
∂3Vjs
∂τ3
2
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ДВОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО . . . 1523
+
[
ϕ′1(t)a0(t)− b0(t)u0(t)
] ∂Vjs
∂τ1
+
[
ϕ′2(t)a0(t)− b0(t)u0(t)
] ∂Vjs
∂τ2
−
−b0(t)
[
Vjs
∂V0s
∂τ1
+ Vjs
∂V0s
∂τ2
+ V0s
∂Vjs
∂τ1
+ V0s
∂Vjs
∂τ2
]
= Fj(t, τ1, τ2), (22)
де V0s(t, τ1, τ2) = V0(ϕs(t), t, τ1, τ2), Vjs(t, τ1, τ2) = Vj(ϕs(t), t, τ1, τ2), j = 1, N , s = 1, 2;
функцiї Fjs(t, τ1, τ2), j = 1, N , s = 1, 2, визначаються пiсля знаходження функцiй V0s(t, τ1, τ2),
V1s(t, τ1, τ2), . . . , Vj−1,s(t, τ1, τ2), j = 1, N , s = 1, 2. Зокрема, при j = 1 маємо
F1s(t, τ1, τ2) = b0(ϕs(t), t)V
s
0 u0x(ϕs(t), t) + a0(ϕs(t), t)
∂V s
0
∂t
+
+
[
τsb0x(ϕs(t), t)V
s
0 + b1(ϕs(t), t)V
s
0 + τsb
′
0(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t)+
+b1(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t) + τsb0(ϕs(t), t)u0x(ϕs(t), t)+
+b0(ϕs(t), t)u1(ϕs(t), t) + a0x(ϕs(t), t)τs(−ϕ′1(t)) + a1(ϕs(t), t)(−ϕ′1(t))
] ∂V s
0
∂τ1
+
+ [τsb0x(ϕs(t), t)V
s
0 + b1(ϕs(t), t)V
s
0 + τsb0x(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t)+
+b1(ϕs(t), t)u0(ϕs(t), t) + τsb0(ϕs(t), t)u0x(ϕs(t), t) + b0(ϕs(t), t)u1(ϕs(t), t)+
+a0x(ϕs(t), t)τs(−ϕ′2(t)) + a1(ϕs(t), t)(−ϕ′2(t))
] ∂V s
0
∂τ2
, s = 1, 2. (23)
Зауважимо, що умова узгодженостi (20) при j = 1 виконується, наприклад, у випадку,
коли [42]
a0x(ϕ1(t), t) = a0x(ϕ2(t), t) = 0, a1(ϕ1(t), t) = a1(ϕ2(t), t),
b0x(ϕ1(t), t) = b0x(ϕ2(t), t) = 0, b1(ϕ1(t), t) = b1(ϕ2(t), t),
u0x(ϕ1(t), t) = u0x(ϕ2(t), t) = 0, t ∈ [0;T ].
При виконаннi умов узгодженостi (19), (20) справджується рiвнiсть Vj1(t, τ1, τ2) = Vj2(t, τ1, τ2),
j = 1, N , а двосолiтонний розв’язок рiвняння (21) має вигляд
V0(t, τ1, τ2) = V̄0(ξ, η) = −2
[
2κ1c
2
1e
−2κ1ξ + 2κ2c
2
2e
−2κ2ξ−
−2c2
1c
2
2
(κ1 − κ2)2
κ1κ2
e−2(κ1+κ2)ξ − c4
1c
2
2(κ1 − κ2)2κ2
2κ2
1(κ1 + κ2)2
e(−4κ1−2κ2)ξ−
− c2
1c
4
2(κ1 − κ2)2κ1
2κ2
2(κ1 + κ2)2
e(−2κ1−4κ2)ξ
]
×
×
[
1 +
c2
1
2κ1
e−2κ1ξ +
c2
2
2κ2
e−2κ2ξ +
c2
1c
2
2(κ1 − κ2)2
4κ1κ2(κ1 + κ2)2
e−2(κ1+κ2)ξ
]−2
, (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1524 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
де
ξ =
(
1
6
b0(t)
) 1
2 γ2(t)τ1 − γ1(t)τ2
γ2(t)− γ1(t)
, η =
(
1
6
b0(t)
) 3
2 τ1 − τ2
γ2(t)− γ1(t)
. (25)
Тут κs(t) =
(
1
6
b0(t)
)−1/2√
γs(t), γs(t) = −ϕ′s(t)a0(t) + b0(t)u0(t), s = 1, 2; cs(η) =
= cs(0) exp (κ3
s(t)η), де cs(0), s = 1, 2, — довiльнi додатнi сталi, b0(t) > 0, γs(t) > 0,
t ∈ [0;T ], s = 1, 2.
Величини κs(t), s = 1, 2, належать множинi власних значень оператора Штурма – Лiувiлля,
що асоцiйований iз рiвнянням Кортевега – де Фрiза [4]. Припускається, що γ1(t) 6= γ2(t), t ∈
∈ [0;T ], тобто замiна змiнних (25) є невиродженою.
Для задачi про побудову головного члена асимптотики (14) задачi Кошi (8), (9) формули
(24), (25) дозволяють отримати достатнi умови для функцiї в початковiй умовi (9) задачi Кошi
(8), (9). Дiйсно, поклавши t = 0, τ1 = x/ε, τ2 = x/ε в (24), отримаємо, що функцiя
u(x, 0, ε) = f(x, ε) повинна належати множинi
M0
ϕ1,ϕ2
(ε) =
{
− 2
[
2κ0
1C1e
−2κ01α0
x
ε + 2κ0
2C2e
−2κ02α0
x
ε−
−2C1C2
(κ0
1 − κ0
2)2
κ0
1κ
0
2
e−2(κ01+κ02)α0
x
ε − C2
1C2(κ0
1 − κ0
2)2κ0
2
2(κ0
1)2(κ0
1 + κ0
2)2
e(−4κ01−2κ02)α0
x
ε−
−C1C
2
2 (κ0
1 − κ0
2)2κ0
1
2(κ0
2)2(κ0
1 + κ0
2)2
e(−2κ01−4κ02)α0
x
ε
]
×
[
1 +
C1
2κ0
1
e−2κ01α0
x
ε +
C2
2κ0
2
e−2κ2α0
x
ε +
+
C1C2(κ0
1 − κ0
2)2
4κ0
1κ
0
2(κ0
1 + κ0
2)2
e−2(κ01+κ02)α0
x
ε
]−2
, C1, C2 > 0, C1 6= C2
}
, (26)
де α0 =
(
1
6
b0(0)
)1/2
, κ0
s = κs(0), s = 1, 2, а функцiї x = ϕ1(t), x = ϕ2(t), t ∈ [0;T ], такi,
що виконуються умови (19).
МножинуM0
ϕ1,ϕ2
(ε) можна назвати многовидом початкових умов для задачi про побудову
головного члена асимптотичного двофазового солiтоноподiбного розв’язку задачi Кошi (8), (9).
Наведенi вище мiркування та метод побудови [42] асимптотичного двофазового солiтоно-
подiбного розв’язку задачi Кошi (8), (9) дозволяють сформулювати наступнi твердження.
Теорема 1. Нехай виконуються умови:
1) функцiї a0(x, t), b0(x, t) ∈ C∞(R×[0;T ]) i такi, що a0(x, t)b0(x, t) 6= 0, (x, t) ∈ R×[0;T ],
а функцiї x = ϕs(t) ∈ C∞([0;T ]), s = 1, 2, i такi, що ϕ1(0) = ϕ2(0) = 0;
2) задача Кошi для квазiлiнiйного рiвняння (15) з початковою умовою u0(x, 0) = g0(x),
x ∈ R, де функцiя g0(x) ∈ C∞(R), має розв’язок u0(x, t) ∈ C∞(R× [0;T ]);
3) виконуються умови узгодженостi (19), де b0(t) > 0, t ∈ [0;T ]; γs(t) > 0, t ∈ [0;T ],
s = 1, 2;
4) в умовi (9) початкова функцiя f(x, ε) = g0(x) + f0(x, ε), де f0(x, ε) ∈M0
ϕ1,ϕ2
(ε).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ДВОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО . . . 1525
Тодi головний член асимптотичного двофазового солiтоноподiбного розв’язку задачi Кошi
(8), (9) має вигляд (14) i задовольняє задачу Кошi (8), (9) з точнiстю O(1).
Теорема 2. Нехай виконуються умови:
1) справджуються умови теореми 1;
2) функцiї a(x, t, ε), b(x, t, ε) мають вигляд a(x, t, ε) = a(x, ε), b(x, t, ε) = b(t, ε) i функцiя
a(x, ε) задовольняє умову c1 ≤ a(x, ε) ≤ c2, x ∈ R, де сталi c1 та c2 такi, що c1c2 > 0;
3) розв’язок задачi Кошi для рiвняння (15) з початковою умовою u0(x, 0) = g0(x), x ∈ R,
де функцiя g0(x) ∈ S(R), належить простору C∞(0, T ;S).
Тодi для точного та наближеного розв’язкiв задачi Кошi (8), (9) має мiсце оцiнка вигляду
+∞∫
−∞
|u(x, t, ε)− Y0(x, t, ε)|2 dx ≤
+∞∫
−∞
h2(x, ε)dx, t ∈ [0; εT2], (27)
де h(x, ε) — деяка така швидкоспадна функцiя, що h(x, ε) = O(ε), T2 — деяке додатне число.
Доведення. Не втрачаючи загальностi розглянемо випадок, коли a(x, ε) > 0, i доведемо
оцiнку (27). З цiєю метою розглянемо рiзницю ω(x, t, ε) = u(x, t, ε) − Y0(x, t, ε), пiдстави-
мо u(x, t, ε) = ω(x, t, ε) + Y0(x, t, ε) у рiвняння (8), домножимо отримане спiввiдношення на
ω(x, t, ε) та зiнтегруємо його в межах вiд −∞ до +∞. Отримаємо
1
2
+∞∫
−∞
∂
∂t
(
a(x, ε)ω2(x, t, ε)
)
dx+
1
2
b(t, ε)
+∞∫
−∞
∂Y0
∂x
ω2(x, t, ε)dx+
+
+∞∫
−∞
g(x, t, ε)ω(x, t, ε)dx = 0, (28)
де
g(x, t, ε) = b(t, ε)Y0
∂Y0
∂x
+ a(x, ε)
∂Y0
∂t
− ε2∂
3Y0
∂x3
.
Очевидно, що функцiя g(x, t, ε) належить простору C∞(0, T ;S) i при цьому задовольняє
асимптотичне спiввiдношення g(x, t, ε) = O(1) при ε→ 0.
З рiвностi (28), використовуючи нерiвнiсть Гельдера [48], отримуємо
∂
∂t
||
√
a(x, ε)ω(x, t, ε)||2 ≤ C1||
√
a(x, ε)ω(x, t, ε)||2 + C2||
√
a(x, ε)ω(x, t, ε)||, (29)
де позначено || · ||2 =
∫ +∞
−∞
| · |2dx i
C1 = max
t∈[0;T ]
(
|b(t, ε)| max
x∈R
∣∣∣∣ 1
a(x, ε)
∂Y0
∂x
∣∣∣∣) , C2 = 2 max
t∈[0;T ]
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ g(x, t, ε)√
a(x, ε)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ .
Очевидно, що згiдно з побудовою функцiї Y0(x, t, ε) для сталих C1, C2 мають мiсце асимп-
тотичнi спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1526 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
C1 = O
(
1
ε
)
, C2 = O(1), ε→ 0.
Нерiвнiсть (29) еквiвалентна нерiвностi
dy
dt
≤ 1
2
C1y +
1
2
C2, y(0) = 0, (30)
де y = y(t, ε) = ||
√
a(x, ε)ω(x, t, ε)||.
Як i при доведеннi леми Гронуолла – Беллмана [49], домножимо обидвi частини нерiвностi
(30) на e−C1t/2 i зiнтегруємо в межах вiд 0 до t. В результатi отримаємо
t∫
0
d
dt
(
ye−C1t/2
)
dt ≤ −C2
C1
(
e−C1t/2 − 1
)
,
звiдки знаходимо
y(t) ≤ C2
C1
(
eC1t/2 − 1
)
.
Отже, має мiсце нерiвнiсть
||
√
a(x, ε)ω|| ≤ 2εC0
(
eC1t/2 − 1
) ∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ g(x, t, ε)√
a(x, ε)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ ,
де C0 — деяка стала, звiдки й випливає нерiвнiсть (27).
Теорему 2 доведено.
Зауваження 1. У теоремi 2 апрiорi припускається iснування розв’язку задачi Кошi (8), (9)
у просторi C∞(0, T ;S), де T > 0 — деяке число. Достатнi умови iснування такого розв’язку
отримано в [39].
4. Старшi члени асимптотичного розв’язку для задачi Кошi (8), (9). Старшi члени
для асимптотичного двофазового солiтоноподiбного розв’язку задачi Кошi (8), (9) визнача-
ються з системи рiвнянь (22), яку потрiбно доповнити вiдповiдними початковими умовами. За
допомогою замiни змiнних (25) кожне з рiвнянь (22) зводимо до рiвняння вигляду [42]
∂3V̄j
∂ξ3
− b0(t)
(
∂V̄0
∂ξ
V̄j +
∂V̄j
∂ξ
V̄0
)
+
∂V̄j
∂η
= F̄j(t, ξ, η), j = 1, N, (31)
де функцiї V̄j(t, ξ, η), j = 0, N , F̄j(t, ξ, η), j = 1, N , отримано з Vj(t, τ1, τ2), j = 0, N ,
Fj(t, τ1, τ2), j = 1, N , в результатi замiни змiнних (25). Якщо функцiя F̄j(t, ξ, η), j = 1, N ,
при кожному η ≥ 0 належить простору швидкоспадних щодо ξ функцiй, то рiвняння (31) має
розв’язок V̄j(t, ξ, η), (ξ, η) ∈ R × [0;T1], j = 1, N , де T1 > 0 — деяке число, який належить
простору швидкоспадних щодо змiнної ξ функцiй [39].
Розв’язок рiвняння (31) належить простору швидкоспадних щодо ξ функцiй, якщо початкова
умова для рiвняння (31) має властивiсть
V̄j(t, ξ, 0) = f(ξ) ∈ S(R). (32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ДВОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО . . . 1527
Звiдси випливає, що асимптотичний двофазовий солiтоноподiбний розв’язок задачi Кошi (8),
(9) iснує, наприклад, у випадку, коли початкова функцiя в (9) має вигляд
f(x, ε) = f0(x, ε) +
m∑
k=1
εkfk(x, ε), (33)
де f0(x, ε) ∈M0
ϕ1,ϕ2
(ε), fk(x, ε) = fk
(
x
ε
)
, fk(η) ∈ S, k = 1,m.
Враховуючи замiну (25), вiд розв’язку задачi (31), (32) — функцiї V̄j(t, ξ, η), j = 1, N ,
повернемося до вiдповiдного розв’язку рiвняння (22). Такий розв’язок — функцiя Vj(t, τ1, τ2),
j = 1, N , записується у виглядi
Vj(t, τ1, τ2) = V̄j
((
1
6
b0(t)
)1/2 γ2(t)τ1 − γ1(t)τ2
γ2(t)− γ1(t)
,
(
1
6
b0(t)
)3/2 τ1 − τ2
γ2(t)− γ1(t)
)
, (34)
де функцiя у правiй частинi (34), тобто функцiя V̄j(t, ξ, η), j = 1, N , є розв’язком рiвняння (31).
Оскiльки V̄j(t, ξ, η), j = 1, N , при кожному η ∈ [0;T1), де T1 згадано вище (див. також
[39, с. 62]), належить простору швидкоспадних щодо ξ функцiй, то при γ2(t)τ1 − γ1(t)τ2 6= 0,
t ∈ [0;T ], маємо
lim
τ1→±∞
τn1 Vj(t, τ1, τ2) = 0, lim
τ2→±∞
τn2 Vj(t, τ1, τ2) = 0, n ∈ N ∪ {0}.
Тут додатково припускається, що для всiх t ∈ [0;T ] виконується умова
0 ≤
(
1
6
b0(t)
)3/2 τ1 − τ2
γ2(t)− γ1(t)
< T1.
Враховуючи позначення для τ1, τ2, останню нерiвнiсть записуємо у виглядi
0 ≤
(
1
6
b0(t)
)3/2 ϕ2(t)− ϕ1(t)
εa0(t)(ϕ′1(t)− ϕ′2(t))
< T1. (35)
Очевидно, що iснують такi функцiї x = ϕs(t), t ∈ [0;T ], s = 1, 2, що виконуються умови
узгодженостi (19), i таке T2 > 0, що нерiвнiсть (35) має мiсце для всiх t ∈ [0;T2]. Слiд зауважити,
що, взагалi кажучи, T2 = O(ε).
Отже, має мiсце така теорема.
Теорема 3. Нехай виконуються умови:
1) справджуються умови теореми 1, а функцiї ϕ1(t), ϕ2(t) задовольняють умову (35) при
(x, t) ∈ R× [0;T2];
2) задача Кошi для рiвняння (15) з початковою умовою u0(x, 0) = g0(x), x ∈ R, та
задача Кошi для рiвняння (16) з початковою умовою uj(x, 0) = gj(x), x ∈ R, де функцiя
gj(x) ∈ C∞(R), j = 0, N, мають розв’язки uj(x, t) ∈ C∞(R× [0;T ]), j = 0, N ;
3) функцiї F̄j(t, ξ, η), j = 1, N, у рiвняннi (31) для довiльного t ∈ [0;T ] задовольняють
умову F̄j(t, ξ, η) ∈ C∞(0,Θ;S), j = 1, N, для деякого Θ > 0;
4) початкова функцiя f(x, ε) в умовi (9) має вигляд f(x, ε) =
∑m
k=0
εkgk(x)+
∑m
j=0
εkfk(x,
ε), де f0(x, ε) ∈M0
ϕ1,ϕ2
(ε), fk(x, ε) = fk
(x
ε
)
, fk(η)∈S(R), k=1,m, m≥0 — деяке цiле число.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1528 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
Тодi задача Кошi (8), (9) має асимптотичний двофазовий солiтоноподiбний розв’язок ви-
гляду (14).
Теорема 4. Нехай виконуються умови:
1) мають мiсце умови теореми 3;
2) задача Кошi для рiвняння (15) з початковою умовою u0(x, 0) = g0(x), x ∈ R, та задача
Кошi для рiвняння (16) з початковою умовою uj(x, 0) = gj(x), x ∈ R, де функцiя gj(x) ∈ S(R),
j = 1, N, мають розв’язки uj(x, t) ∈ C∞(0, T ;S), j = 0, N.
Тодi для точного i наближеного розв’язкiв задачi Кошi (8), (9) має мiсце оцiнка вигляду
+∞∫
−∞
[u(x, t, ε)− YN (x, t, ε)]2 dx ≤
+∞∫
−∞
h2
N (x, ε)dx, t ∈ [0;T2],
де hN (x, ε) — швидкоспадна функцiя, причому hN (x, ε) = O(εN+1), ε→ 0.
Зауваження 2. Цi твердження можна переформулювати на мовi асимптотики для много-
видiв для початкових функцiй в умовi (9) задачi Кошi (8), (9). У випадку задачi про побудову
N -го наближення асимптотичного двофазового солiтоноподiбного розв’язку задачi Кошi (8), (9)
з формули для такого наближеного розв’язку можна отримати умови на множину MN
ϕ1,ϕ2
(ε),
якiй має належати початкова функцiя в умовi (9) i яку аналогiчно випадку N = 0 (випадок
головного члена асимптотики) можна назвати многовидом початкових умов для задачi про
побудову N -го наближення асимптотичного двофазового солiтоноподiбного розв’язку задачi
Кошi (8), (9). Точками многовиду MN
ϕ1,ϕ2
(ε) є функцiї fN (x, ε), асимптотичнi (при |x| → ∞
чи при ε → 0) властивостi яких можна описати таким чином: оскiльки f0(x, ε) ∈ S(R) i
fN (x, ε) − f0(x, ε) ∈ S(R), N = 0, 1, 2, . . . , то як при |x| → ∞, так i при ε → 0, маємо
fN (x, ε) → 0, N = 0, 1, 2, . . . . При цьому fN (x, ε) − fN−1(x, ε) = O(εN ) при ε → 0, де
fN−1 ∈MN−1
ϕ1,ϕ2
(ε), fN ∈MN
ϕ1,ϕ2
(ε), N = 1, 2, . . . .
Зауваження 3. В [46, 47] детально описано процедуру розв’язування рiвнянь (15), (16) за
допомогою методу характеристик. Цей метод можна використати також для отримання розв’яз-
ку задачi Кошi для рiвнянь (15) та (16) в аналiтичному виглядi.
Зауваження 4. Хоча у загальному випадку задача Кошi (8), (9) може мати глобальний
розв’язок, проте у данiй статтi, як i в [39], асимптотичний розв’язок цiєї задачi Кошi роз-
глядається локально, бо при побудовi такого розв’язку у виглядi (14) його регулярна частина
визначається з системи диференцiальних рiвнянь (15), (16), кожне з яких, з огляду на належнiсть
початкової функцiї простору C∞(0, T ;S) (див. теореми 2, 4), має розв’язок лише на скiнчен-
ному iнтервалi. Ця особливiсть побудованого розв’язку узгоджується зi специфiкою загальної
теорiї асимптотичних розв’язкiв та її застосуваннями.
З iншого боку, у випадку сталих коефiцiєнтiв, наприклад, коли a(x, t) = 1, b(x, t) = 1, за
спецiальних початкових умов як розв’язок задачi Кошi (8), (9), так i її асимптотичний розв’язок,
що побудований за описаним вище алгоритмом, визначенi для всiх (x, t) ∈ R2. В якостi таких
початкових умов можна розглянути функцiю вигляду f(x, ε) = f0(x, ε) ∈M0
ϕ1,ϕ2
, де многовид
M0
ϕ1,ϕ2
визначено формулою (26). При цьому незбурене рiвняння (8), рiвняння переносу (15),
має глобальний розв’язок, а асимптотичний двофазовий солiтоноподiбний розв’язок задачi Кошi
(8), (9) мiстить лише головний член сингулярної частини i збiгається з точним двосолiтонним
розв’язком рiвняння Кортевега – де Фрiза, що узгоджується з результатами праць [17 – 19].
Висновки. Описано множину початкових умов, для яких задача Кошi для сингулярно збуре-
ного рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами має асимптотичний двофазовий
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ДВОФАЗОВI СОЛIТОНОПОДIБНI РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО . . . 1529
солiтоноподiбний розв’язок. Запропоновано поняття многовиду початкових значень для задачi
Кошi, при яких такий розв’язок iснує.
1. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.:
Наука, 1963. – 407 с.
2. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нелинейной
механике. – Киев: Наук. думка, 1969. – 244 с.
3. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний: Инвариантные торы. – М.:
Наука, 1987. – 302 с.
4. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. –
М.: Наука, 1980. – 320 с.
5. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. – М.: Мир, 1988. –
696 с.
6. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. – М.: Мир, 1983. – 294 с.
7. Солитоны / Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. – М.: Мир, 1983. – 408 с.
8. Blacmore D., Prykarpatsky A. K., Samoylenko V. Hr. Nonlinear dynamical systems of mathematical physics. Spectral
and integrability analysis. – Singapore: World Sci., 2011. – 564 p.
9. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and recurrence of initial states // Phys.
Rev. Lett. – 1965. – 15. – P. 240 – 243.
10. Gardner C. S., Green J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg – de Vries equation //
Phys. Rev. Lett. – 1967. – 19. – P. 1095 – 1097.
11. Miura R. M., Kruskal M. D. Application of nonlinear WKB-method to the Korteweg – de Vries equation // SIAM
Appl. Math. – 1974. – 26, № 2. – P. 376 – 395.
12. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. – М.: Наука, 1977. – 384 с.
13. Доброхотов С. Ю., Маслов В. П. Конечнозонные почти периодические решения в ВКБ-приближениях //
Современные проблемы математики. – М.: ВИНИТИ, 1980. – 15. – С. 3 – 94.
14. Маслов В. П., Омельянов Г. А. Асимптотические солитонообразные решения уравнений с малой дисперсией
// Успехи мат. наук. – 1981. – 36, вып. 3 (219). – С. 63 – 124.
15. Flaschka H., Forest M. G., McLaughlin D. W. Multiphase averaging and the inverse spectral solution of the
Korteweg – de Vries equation // Communs Pure and Appl. Math. – 1980. – 33, № 6. – P. 739 – 784.
16. Митропольский Ю. А., Боголюбов Н. Н.(мл.), Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Интегрируемые дина-
мические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты. – Киев: Наук. думка, 1987. –
296 с.
17. Lax P. D., Levermore C. D. The small dispersion limit of the Korteweg – de Vries equation. I // Communs Pure and
Appl. Math. – 1983. – 36, № 3. – P. 253 – 290.
18. Lax P. D., Levermore C. D. The small dispersion limit of the Korteweg – de Vries equation. II // Communs Pure and
Appl. Math. – 1983. – 36, № 5. – P. 571 – 593.
19. Lax P. D., Levermore C. D. The small dispersion limit of the Korteweg – de Vries equation. III // Communs Pure and
Appl. Math. – 1983. – 36, № 6. – P. 809 – 829.
20. Venakides S. The Korteweg – de Vries equation with small dispersion: higher order Lax – Levermore theory //
Communs Pure and Appl. Math. – 1990. – 43, № 3. – P. 335 – 361.
21. McLaughlin D. W., Strain J. A. Computing the weak limit of KdV // Communs Pure and Appl. Math. – 1994. – 47,
№ 10. – P. 1319 – 1364.
22. Grava T., Klein C. Numerical solution of the small dispersion limit of Korteweg – de Vries and Whitham equations
// Communs Pure and Appl. Math. – 2007. – 60, № 11. – P. 1623 – 1664.
23. de Kerf F. Asymptotic analysis of a class of perturbed Korteweg – de Vries initial value problems. – Amsterdam:
Centrum voor Wiskunde en Informatica, 1988. – 50. – 180 p.
24. Калякин Л.А. Возмущение солитона Кортевега – де Фриза // Теор. и мат. физика. – 1992. – 92, № 1. – C. 62 – 76.
25. Ильин А. М., Калякин Л. А. Возмущение конечносолитонных решений уравнения Кортевега – де Фриса // Докл.
Академии наук. – 1994. – 336, № 5. – C. 595 – 598.
26. Glebov S. G., Kiselev O. M., Lazarev V. A. Birth of solitons during passage through local resonance // Proc. Steklov
Inst. Math. Suppl. – 2003. – 1. – P. 84 – 90.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1530 В. Г. САМОЙЛЕНКО, Ю. I. САМОЙЛЕНКО
27. Glebov S. G., Kiselev O. M., Lazarev V. A. Slow passage through resonance for a weakly nonlinear dispersive wave
// SIAM J. Appl. Math. – 2005. – 65, № 6. – P. 2158 – 2177.
28. Glebov S. G., Kiselev O. M. The stimulated scattering of solitons on a resonance // J. Nonlinear Math. Phys. – 2005. –
12, № 3. – P. 330 – 341.
29. Maslov V. P., Omel’yanov G. A. Geometric asymptotics for PDE. I. – Providence: Amer. Math. Soc., 2001. – 243 p.
30. Sjoberg A. On the Korteweg – de Vries equation: existence and uniqueness // J. Math. Anal. and Appl. – 1970. – 29,
№ 3. – P. 569 – 579.
31. Хруслов Е. Я. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Кортевега – де Фриза с начальными данными
типа ступеньки // Мат. сб. – 1976. – 99(141), № 2. – C. 261 – 281.
32. Egorova I., Grunert K., Teschl G. On Cauchy problem for the Korteweg – de Vriea equation with step-like finite gap
initial data I. Schwartz-type perturbations // Nonlinearity. – 2009. – 22. – P. 1431 – 1457.
33. Баранецкий В. Б., Котляров В. П. Асимптотическое поведение в области заднего фронта решения уравнения
КдФ с начальным условием “типа ступеньки” // Теор. и мат. физика. – 2001. – 126, № 2. – C. 214 – 227.
34. Kato T. On the Korteweg – de Vries equation // Manuscr. math. – 1979. – 28. – P. 89 – 99.
35. Якупов В. М. О задаче Коши для уравнения Кортевега – де Фриса // Дифференц. уравнения. – 1976. – 11, № 3. –
С. 556 – 561.
36. Аркадьев В. А., Погребков А. К., Поливанов М. К. Сингулярные решения уравнения КдВ и метод обратной
задачи // Дифференц. геометрия, группы Ли и механика. IV: Зап. научн. сем. ЛОМИ. – 1984. – 133. – С. 17 – 37.
37. Похожаев С. И. О сингулярных решениях уравнения Кортевега – де Фриза // Мат. заметки. – 2010. – 88, вып. 5. –
C. 770 – 777.
38. Похожаев С. И. Об отсутствии глобальных решений уравнения Кортевега – де Фриза // Совр. математика.
Фундам. направления. – 2011. – 39. – С. 141 – 150.
39. Фаминский А. В. Задача Коши для уравнения Кортевега – де Фриза и его обобщений // Тр. сем. им. И. Г. Пет-
ровского. – 1988. – Вып.13. – С. 56 – 105.
40. Кружков С. Н., Фаминский А. В. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Кортевега – де Фриза //
Мат. сб. – 1983. – 120, № 3. – C. 396 – 425.
41. Faminskii A. V., Bashlykova I. Yu. Weak solutions to one initial-boundary value problem with three boundary
conditions for quasilinear evolution equations of the third order // Ukr. Math. Bull. – 2008. – 5, № 1. – P. 83 – 98.
42. Самойленко В. Г., Самойленко Ю. I. Асимптотичнi двофазовi солiтоноподiбнi розв’язки сингулярно збуреного
рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 3. – C. 378 – 387.
43. Самойленко Ю. I. Однофазовi солiтоноподiбнi розв’язки задачi Кошi для сингулярно збуреного рiвняння
Кортевега – де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами (випадок спецiальних початкових умов) // Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2012. – 9, № 2. – C. 327 – 340.
44. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. – М.: Наука, 1978. – 280 с.
45. Самойленко Ю. I. Асимптотичнi розв’язки сингулярно збуреного рiвняння Кортевега – де Фрiза зi змiнними
коефiцiєнтами (загальний випадок) // Мат. вiсн. НТШ. – 2010. – 7. – С. 227 – 242.
46. Самойленко Ю. I. Iснування розв’язку задачi Кошi для рiвняння Хопфа зi змiнними коефiцiєнтами у просторi
швидко спадних функцiй // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2012. – 9, № 1. – C. 293 – 300.
47. Самойленко Ю. I. Iснування розв’язку задачi Кошi для лiнiйного рiвняння з частинними похiдними першого
порядку зi змiнними коефiцiєнтами у просторi швидко спадних функцiй // Буковин. мат. журн. – 2013. – 1,
№ 1-2. – C. 118 – 122.
48. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. – Київ: Вища шк., 1990. – 600 с.
49. Головатий Ю. Д., Кирилич В. М., Лавренюк С. П. Диференцiальнi рiвняння. – Львiв: Львiв. нац. ун-т iм. Франка,
2011. – 470 с.
Одержано 01.11.12,
пiсля доопрацювання — 25.08.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2531 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:17Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e7/041ba644681d6783787cec97be498ae7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25312020-03-18T19:25:49Z Two-Phase Solitonlike Solutions of the Cauchy Problem for a Singularly Perturbed Korteweg-De-Vries Equation with Variable Coefficients Двофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для сингулярно збуреного рівняння Кортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. We describe a set of initial conditions for which the Cauchy problem for a singularly perturbed Korteweg–de-Vries equation with variable coefficients has an asymptotic two-phase solitonlike solution. The notion of the manifold of initial data of the Cauchy problem for which this solution exists is proposed. Описано множество начальных условий, при которых задача Коши для сингулярно возмущенного уравнения Кор-тевега-де Фриза с переменными коэффициентами имеет асимптотическое двухфазное солитоноподобное решение. Предложено понятие многообразия начальных значений для упомянутой задачи Коши, при которых такое решение существует. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2531 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 11 (2013); 1515–1530 Український математичний журнал; Том 65 № 11 (2013); 1515–1530 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2531/1823 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2531/1824 Copyright (c) 2013 Samoilenko V. G.; Samoilenko Yu. I. |
| spellingShingle | Samoilenko, V. G. Samoilenko, Yu. I. Самойленко, В. Г. Самойленко, Юл. І. Two-Phase Solitonlike Solutions of the Cauchy Problem for a Singularly Perturbed Korteweg-De-Vries Equation with Variable Coefficients |
| title | Two-Phase Solitonlike Solutions of the Cauchy Problem for a Singularly Perturbed Korteweg-De-Vries Equation with Variable Coefficients |
| title_alt | Двофазові солітоноподібні розв’язки задачі Коші для
сингулярно збуреного рівняння Кортевега – де Фріза зі змінними коефіцієнтами |
| title_full | Two-Phase Solitonlike Solutions of the Cauchy Problem for a Singularly Perturbed Korteweg-De-Vries Equation with Variable Coefficients |
| title_fullStr | Two-Phase Solitonlike Solutions of the Cauchy Problem for a Singularly Perturbed Korteweg-De-Vries Equation with Variable Coefficients |
| title_full_unstemmed | Two-Phase Solitonlike Solutions of the Cauchy Problem for a Singularly Perturbed Korteweg-De-Vries Equation with Variable Coefficients |
| title_short | Two-Phase Solitonlike Solutions of the Cauchy Problem for a Singularly Perturbed Korteweg-De-Vries Equation with Variable Coefficients |
| title_sort | two-phase solitonlike solutions of the cauchy problem for a singularly perturbed korteweg-de-vries equation with variable coefficients |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2531 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkovg twophasesolitonlikesolutionsofthecauchyproblemforasingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samoilenkoyui twophasesolitonlikesolutionsofthecauchyproblemforasingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samojlenkovg twophasesolitonlikesolutionsofthecauchyproblemforasingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samojlenkoûlí twophasesolitonlikesolutionsofthecauchyproblemforasingularlyperturbedkortewegdevriesequationwithvariablecoefficients AT samoilenkovg dvofazovísolítonopodíbnírozvâzkizadačíkošídlâsingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samoilenkoyui dvofazovísolítonopodíbnírozvâzkizadačíkošídlâsingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samojlenkovg dvofazovísolítonopodíbnírozvâzkizadačíkošídlâsingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntami AT samojlenkoûlí dvofazovísolítonopodíbnírozvâzkizadačíkošídlâsingulârnozburenogorívnânnâkortevegadefrízazízmínnimikoefícíêntami |