Determination of the Lowest Coefficient for a One-Dimensional Parabolic Equation in a Domain with Free Boundary
We establish conditions for the unique solvability of the inverse problem of finding the lower coefficient with two unknown time-dependent parameters in a one-dimensional parabolic equation with integral overdetermination conditions in a domain with free boundary.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2532 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508442062487552 |
|---|---|
| author | Snitko, H. A. Снітко, Г. А. |
| author_facet | Snitko, H. A. Снітко, Г. А. |
| author_sort | Snitko, H. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:25:49Z |
| description | We establish conditions for the unique solvability of the inverse problem of finding the lower coefficient with two unknown time-dependent parameters in a one-dimensional parabolic equation with integral overdetermination conditions in a domain with free boundary. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
Г. А. Снiтко (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА ОДНОВИМIРНОГО
ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ В ОБЛАСТI З ВIЛЬНОЮ МЕЖЕЮ
The unique solvability conditions of the inverse problem of finding the minor coefficient with two unknown time-dependent
parameters in a one-dimensional parabolic equation with integral overdetermination conditions in a free boundary domain
are established.
Установлены условия однозначной разрешимости обратной задачи определения младшего коэффициента с двумя
неизвестными, зависящими от времени параметрами в одномерном параболическом уравнении с интегральными
условиями переопределения в области со свободной границей.
1. Вступ. Задача, яку розглянуто в роботi, поєднує два типи задач – коефiцiєнтну обернену
задачу та задачу з вiльною межею. Кожен iз цих типiв задач дослiджували ранiше. Зокрема,
в [1, 2] дослiджено обернену задачу визначення залежного вiд часу коефiцiєнта при першiй
похiднiй за просторовою змiнною невiдомої функцiї в одновимiрному параболiчному рiвняннi
з умовою перевизначення третього роду в областi з вiдомою межею. В [1] встановлено умови
глобального iснування розв’язку оберненої задачi, а в [2] отримано умови локального iснуван-
ня розв’язку задачi, а також умови, за яких задача не може мати глобального розв’язку. В
[3] знайдено умови локального за часом iснування, єдиностi та неперервної залежностi вiд
вихiдних даних розв’язку такої ж оберненої задачi з iнтегральною умовою перевизначення. В
[4, 5] встановлено умови однозначної розв’язностi обернених задач визначення коефiцiєнтiв
(a(t), b(t)) i (a0(t), a1(t)) у параболiчних рiвняннях
ut = a(t)uxx + b(t)ux + c(x, t)u+ f(x, t),
ut = (a0(t) + xa1(t))uxx + b(x, t)ux + c(x, t)u+ f(x, t), (x, t) ∈ (0, h)× (0, T ).
В [6, 7] знайдено умови iснування та єдиностi розв’язкiв обернених задач для одновимiрних
параболiчних рiвнянь з невiдомим, залежним вiд часу старшим коефiцiєнтом в областi, частина
або вся межа якої є невiдомою. У [8 – 10] дослiджено оберненi задачi визначення залежного
вiд часу коефiцiєнта при першiй похiднiй за просторовою змiнною невiдомої функцiї в одно-
вимiрному параболiчному рiвняннi в областi, частина або вся межа якої є невiдомою. Наша
мета — встановити умови однозначної розв’язностi оберненої задачi визначення молодшого
коефiцiєнта параболiчного рiвняння з двома невiдомими, залежними вiд часу параметрами в
областi з вiльною межею.
2. Формулювання задачi. В областi ΩT = {(x, t) : h1(t) < x < h2(t), 0 < t < T}, де
h1 = h1(t), h2 = h2(t) — невiдомi функцiї, розглядаємо обернену задачу визначення коефiцi-
єнтiв b1(t), b2(t) параболiчного рiвняння
ut = a(x, t)uxx + (b1(t)x+ b2(t))ux + c(x, t)u+ f(x, t), (x, t) ∈ ΩT , (1)
з початковою умовою
u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [h1(0), h2(0)], (2)
c© Г. А. СНIТКО, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1531
1532 Г. А. СНIТКО
крайовими умовами
u(h1(t), t) = µ1(t), u(h2(t), t) = µ2(t), t ∈ [0, T ], (3)
та умовами перевизначення
h2(t)∫
h1(t)
xi−3u(x, t)dx = µi(t), i = 3, 6, t ∈ [0, T ], (4)
де h1(0) = h01 — задане число.
Замiною змiнної y =
x− h1(t)
h2(t)− h1(t)
задачу (1) – (4) зводимо до оберненої задачi з невiдомими
(h1(t), h3(t), b1(t), b2(t), v(y, t)), де h3(t) = h2(t)−h1(t), v(y, t) = u(yh3(t)+h1(t), t), в областi
з вiдомою межею QT = {(y, t) : 0 < y < 1, 0 < t < T} :
vt =
a(yh3(t) + h1(t), t)
h23(t)
vyy +
b1(t)(yh3(t) + h1(t)) + b2(t) + h′1(t) + y h′3(t)
h3(t)
vy+
+c(yh3(t) + h1(t), t) v + f(yh3(t) + h1(t), t), (y, t) ∈ QT , (5)
v(y, 0) = ϕ(yh3(0) + h1(0)), y ∈ [0, 1], (6)
v(0, t) = µ1(t), v(1, t) = µ2(t), t ∈ [0, T ], (7)
h3(t)
1∫
0
v(y, t)dy = µ3(t), t ∈ [0, T ], (8)
h23(t)
1∫
0
yv(y, t)dy + h1(t)µ3(t) = µ4(t), t ∈ [0, T ], (9)
h33(t)
1∫
0
y2v(y, t)dy + 2h1(t)µ4(t)− h21(t)µ3(t) = µ5(t), t ∈ [0, T ], (10)
h43(t)
1∫
0
y3v(y, t)dy + 3h1(t)µ5(t)− 3h21(t)µ4(t) + h31(t)µ3(t) = µ6(t), t ∈ [0, T ], (11)
де h1(0) = h01 — задане число.
3. Iснування розв’язку задачi (5) – (11).
Теорема 1. Припустимо, що виконуються умови:
1) a, c, f ∈ C1,0(R× [0, T ]), ϕ ∈ C2[h01, h02], µi ∈ C1[0, T ], i = 1, 6;
2) 0 < a0 ≤ a(x, t) ≤ a1, c(x, t) ≤ 0, f(x, t) ≥ 0, (x, t) ∈ R × [0, T ], ϕ(x) ≥ ϕ0 > 0,
x ∈ [h01,∞), ϕ′(x) > 0, x ∈ [h01, h02], (h02 − x)ϕ′(h02 + h01 − x) − (x − h01)ϕ′(x) > 0,
ϕ′(x) − ϕ′(h02 + h01 − x) > 0, x ∈
[
h01,
h01 + h02
2
)
, µi(t) > 0, i = 1, 3, t ∈ [0, T ],
де h02 = h2(0) — розв’язок рiвняння
∫ h2(0)
h01
ϕ(x)dx = µ3(0);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА ОДНОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 1533
3) умови узгодження нульового та першого порядкiв.
Тодi можна вказати число T0, 0 < T0 ≤ T, яке визначається вихiдними даними, таке, що
iснує розв’язок (h1, h3, b1, b2, v) ∈ (C1[0, T0])
2×(C[0, T0])
2×C2,1(QT0), h3(t) > 0, t ∈ [0, T0],
задачi (5)− (11).
Доведення. Згiдно з умовами теореми iснує єдиний розв’язок h02 = h2(0) рiвняння∫ h2(0)
h01
ϕ(x)dx = µ3(0). Позначимо h03 = h02 − h01. Встановимо оцiнки функцiй h1(t), h3(t).
З умов (8), (9) отримуємо
h3(t) =
µ3(t)∫ 1
0
v(y, t)dy
, t ∈ [0, T ], (12)
h1(t) =
µ4(t)
µ3(t)
− h23(t)
µ3(t)
1∫
0
yv(y, t)dy, t ∈ [0, T ]. (13)
Використовуючи принцип максимуму [11] для розв’язку прямої задачi (5) – (7), одержуємо
v(y, t) ≥M0 > 0, (y, t) ∈ QT ,
де стала M0 визначається вихiдними даними. Тодi з (12), (13) отримуємо наступнi нерiвностi:
h3(t) ≤
1
M0
max
[0,T ]
µ3(t) ≡ H1 <∞, t ∈ [0, T ],
|h1(t)| ≤
|µ4(t)|
µ3(t)
+µ3(t)
( 1∫
0
v(y, t)dy
)−1
≤ max
[0,T ]
|µ4(t)|
µ3(t)
+
1
M0
max
[0,T ]
µ3(t) ≡ H2 <∞, t ∈ [0, T ].
Для оцiнки знизу h3(t) оцiнимо v(y, t) зверху. Iз принципу максимуму маємо
v(y, t) ≤M1 <∞, (y, t) ∈ QT ,
деM1 визначається вихiдними даними. Тодi для розв’язкiв рiвняння (12) виконується нерiвнiсть
h3(t) ≥
1
M1
min
[0,T ]
µ3(t) ≡ H0 > 0, t ∈ [0, T ].
Таким чином,
M0 ≤ v(y, t) ≤M1, (y, t) ∈ QT , |h1(t)| ≤ H2, H0 ≤ h3(t) ≤ H1, t ∈ [0, T ]. (14)
Доведення iснування розв’язку задачi (5) – (11) базується на застосуваннi теореми Шаудера
про нерухому точку. Зведемо задачу до системи рiвнянь. Введемо нову функцiю
ṽ(y, t) = v(y, t)− ϕ(yh03 + h01)− y(µ2(t)− µ2(0)) + (y − 1)(µ1(t)− µ1(0)).
Для функцiї ṽ(y, t) одержуємо задачу
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1534 Г. А. СНIТКО
ṽt =
a(yh3(t) + h1(t), t)
h23(t)
ṽyy +
b1(t)(yh3(t) + h1(t)) + b2(t) + h′1(t) + y h′3(t)
h3(t)
(ṽy + d(y, t))+
+c(yh3(t) + h1(t), t)ṽ + F (y, t), (y, t) ∈ QT , (15)
ṽ(y, 0) = 0, y ∈ [0, 1],
ṽ(0, t) = ṽ(1, t) = 0, t ∈ [0, T ],
де
d(y, t) = h03ϕ
′(yh03 + h01) + µ2(t)− µ2(0)− µ1(t) + µ1(0),
F (y, t) = h203
a(yh3(t) + h1(t), t)
h23(t)
ϕ′′(yh03 + h01) + c(yh3(t) + h1(t), t)×
×
(
ϕ(yh03 + h01) + y(µ2(t)− µ2(0)) + (1− y)(µ1(t)− µ1(0))
)
+
+f(yh3(t) + h1(t), t)− yµ′2(t) + µ′1(t)(y − 1).
За допомогою функцiї Грiна G1(y, t, η, τ) першої крайової задачi для рiвняння
ṽt =
a(yh3(t) + h1(t), t)
h23(t)
ṽyy + c(yh3(t) + h1(t), t) ṽ
задачу (15) зводимо до рiвняння
ṽ(y, t) =
t∫
0
1∫
0
G1(y, t, η, τ)
(
b1(τ)(ηh3(τ) + h1(τ)) + b2(τ) + h′1(τ) + ηh′3(τ)
h3(τ)
(ṽη(η, τ)+
+d(η, τ)) + F (η, τ)
)
dηdτ, (y, t) ∈ QT . (16)
Позначимо w(y, t) = vy(y, t), p(t) = h′1(t), r(t) = h′3(t). Запишемо (16) у виглядi
v(y, t) = ϕ(yh03 + h01) + y(µ2(t)− µ2(0)) + (1− y)(µ1(t)− µ1(0)) +
t∫
0
1∫
0
G1(y, t, η, τ)×
×
(
b1(τ)(ηh3(τ) + h1(τ)) + b2(τ) + p(τ) + ηr(τ)
h3(τ)
w(η, τ) + F (η, τ)
)
dηdτ, (y, t) ∈ QT . (17)
Здиференцiювавши (17) за змiнною y, отримаємо
w(y, t) = h03ϕ
′(yh03 + h01) + µ2(t)− µ2(0)− µ1(t) + µ1(0) +
t∫
0
1∫
0
G1y(y, t, η, τ)×
×
(
b1(τ)(ηh3(τ) + h1(τ)) + b2(τ) + p(τ) + ηr(τ)
h3(τ)
w(η, τ) + F (η, τ)
)
dηdτ, (y, t) ∈ QT . (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА ОДНОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 1535
Здиференцiювавши (8) – (11) за змiнною t i використавши (5), одержимо
b1(t) =
[
h3(t)
1∫
0
(
(6h1(t)µ4(t)− 3µ5(t)− 3h21(t)µ3(t) + 2h3(t)µ4(t)− 2h1(t)h3(t)µ3(t))×
×(w(y, t)(h3(t)yax(yh3(t) + h1(t), t) + a(yh3(t) + h1(t), t))− h23(t)y(f(yh3(t) + h1(t), t)+
+v(y, t)c(yh3(t) + h1(t), t))) + y(3µ5(t)− h23(t)µ3(t)− 6h1(t)µ4(t) + 3h21(t)µ3(t))×
×((yax(yh3(t) + h1(t), t)h3(t) + 2a(yh3(t) + h1(t), t))w(y, t)− h23(t)y(c(yh3(t) + h1(t), t)×
×v(y, t) + f(yh3(t) + h1(t), t))) + h3(t)y
2(h3(t)µ3(t)− 2µ4(t) + 2h1(t)µ3(t))×
×((h3(t)yax(yh3(t) + h1(t), t) + 3a(yh3(t) + h1(t), t))w(y, t)− h23(t)y(c(yh3(t) + h1(t), t)×
×v(y, t) + f(yh3(t) + h1(t), t)))
)
dy + µ′6(t)(h3(t)µ3(t)− 2µ4(t) + 2h1(t)µ3(t))+
+µ′5(t)(3µ5(t)− h23(t)µ3(t)− 3h1(t)h3(t)µ3(t)− 3h21(t)µ3(t)) + µ′4(t)(6h
2
1(t)µ4(t)−
−6h1(t)µ5(t)− 3h3(t)µ5(t) + 6h1(t)h3(t)µ4(t) + 2h23(t)µ4(t)) + µ′3(t)h1(t)(3h1(t)µ5(t)+
+h31(t)µ3(t)− 4h21(t)µ4(t) + 3h3(t)µ5(t)− 6h1(t)h3(t)µ4(t) + 2h21(t)h3(t)µ3(t)−
−2h23(t)µ4(t) + h1(t)h
2
3(t)µ3(t))
]
∆−1(t), t ∈ [0, T ], (19)
b2(t) =
[
h3(t)
1∫
0
(
(4h1(t)h3(t)µ4(t)− 9h1(t)µ5(t) + 6h21(t)µ4(t)− 3h3(t)µ5(t)−
−h31(t)µ3(t) + 4µ6(t)− h21(t)h3(t)µ3(t))(w(y, t)(h3(t)yax(yh3(t) + h1(t), t) + a(yh3(t)+
+h1(t), t))− h23(t)y(v(y, t)c(yh3(t) + h1(t), t) + f(yh3(t) + h1(t), t))) + y(2h23(t)µ4(t)−
−4µ6(t)− 6h21(t)µ4(t) + 9h1(t)µ5(t) + h31(t)µ3(t)− h1(t)h23(t)µ3(t))(w(y, t)×
×(h3(t)yax(yh3(t) + h1(t), t) + 2a(yh3(t) + h1(t), t))− h23(t)y(v(y, t)c(yh3(t) + h1(t), t)+
+f(yh3(t) + h1(t), t))) + h3(t)y
2(h1(t)h3(t)µ3(t)− 2h3(t)µ4(t) + 3µ5(t)−
−4h1(t)µ4(t) + h21(t)µ3(t))(w(y, t)(h3(t)yax(yh3(t) + h1(t), t) + 3a(yh3(t) + h1(t), t))−
−h23(t)y(v(y, t)c(yh3(t) + h1(t), t) + f(yh3(t) + h1(t), t)))
)
dy + µ′6(t)(h1(t)h3(t)µ3(t)−
−2h3(t)µ4(t) + 3µ5(t)− 4h1(t)µ4(t) + h21(t)µ3(t)) + µ′5(t)(2h
2
3(t)µ4(t)− 4µ6(t)−
−h1(t)h23(t)µ3(t)− 2h31(t)µ3(t) + 6h21(t)µ4(t) + 6h1(t)h3(t)µ4(t)− 3h21(t)h3(t)µ3(t))+
+µ′4(t)(h
4
1(t)µ3(t) + 8h1(t)µ6(t) + 4h3(t)µ6(t)− 9h21(t)µ5(t)− 3h23(t)µ5(t)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1536 Г. А. СНIТКО
−9h1(t)h3(t)µ5(t) + h21(t)h
2
3(t)µ3(t) + 2h31(t)h3(t)µ3(t)) + µ′3(t)(6h
2
1(t)µ5(t)−
−4h1(t)µ6(t)− 2h31(t)µ4(t) + 3h23(t)µ5(t)− 2h1(t)h
2
3(t)µ4(t) + 9h1(t)h3(t)µ5(t)−
−4h3(t)µ6(t)− 4h21(t)h3(t)µ4(t))h1(t)
]
∆−1(t), t ∈ [0, T ], (20)
p(t) =
[ 1∫
0
(
h3(t)∆(t)(h3(t)(f(yh3(t) + h1(t), t) + c(yh3(t) + h1(t), t)v(y, t))−
−ax(yh3(t) + h1(t), t)w(y, t)) + (3h23(t)µ3(t)µ5(t)− 9µ25(t) + 12h1(t)µ4(t)µ5(t)−
−12h21(t)µ
2
4(t) + 4h31(t)µ3(t)µ4(t)− h41(t)µ23(t) + 8µ4(t)µ6(t)− 8h1(t)µ3(t)µ6(t)+
+6h21(t)µ3(t)µ5(t)− 6h1(t)h
2
3(t)µ3(t)µ4(t)− 12h21(t) h
2
3(t)µ1(t)µ4(t)+
+3h21(t)h
2
3(t)µ
2
3(t) + 4h31(t)h
2
3(t)µ1(t)µ3(t)− 2h33(t)µ3(t)µ4(t)− 6h1(t)h
3
3(t)µ1(t)µ4(t)+
+2h1(t)h
3
3(t)µ
2
3(t) + 3h21(t)h
3
3(t)µ1(t)µ3(t) + 12h1(t)h
2
3(t)µ1(t)µ5(t) + 3h33(t)µ1(t)µ5(t)−
−4h23(t)µ1(t)µ6(t))(w(y, t)(yh3(t)ax(yh3(t) + h1(t), t) + a(yh3(t) + h1(t), t))−
−h23(t)y(v(y, t)c(yh3(t) + h1(t), t) + f(yh3(t) + h1(t), t))) + h3(t)y(4h3(t)µ1(t)µ6(t)−
−4µ3(t)µ6(t)− 2h33(t)µ1(t)µ4(t) + 12h21(t)h3(t)µ1(t)µ4(t)− 12h1(t)h3(t)µ1(t)µ5(t)+
+6h1(t)µ3(t)µ5(t)− 4h31(t)h3(t)µ1(t)µ3(t) + 2h1(t)h
3
3(t)µ1(t)µ3(t) + h33(t)µ
2
3(t)−
−3h3(t)µ3(t)µ5(t) + 6µ4(t)µ5(t) + 6h1(t)h3(t)µ3(t)µ4(t)− 12h1(t)µ
2
4(t)−
−3h21(t)h3(t)µ
2
3(t) + 6h21(t)µ3(t)µ4(t)− 2h31(t)µ
2
3(t))((yax(yh3(t) + h1(t), t)h3(t)+
+2a(yh3(t) + h1(t), t))w(y, t)− h23(t)y(v(y, t)c(yh3(t) + h1(t), t) + f(yh3(t) + h1(t), t)))+
+h23(t)y
2(2h3(t)µ3(t)µ4(t) + 6h1(t)h3(t)µ1(t)µ4(t)− 4µ24(t) + 2h1(t)µ3(t)µ4(t)−
−h23(t)µ23(t)− 2h1(t)h
2
3(t)µ1(t)µ3(t)− 2h1(t)h3(t)µ
2
3(t)− 3h21(t)h3(t)µ1(t)µ3(t)−
−2h21(t)µ
2
3(t) + 2h23(t)µ1(t)µ4(t)− 3h3(t)µ1(t)µ5(t) + 3µ3(t)µ5(t) + h21(t)µ
2
3(t))×
×(w(y, t)(h3(t)yax(yh3(t) + h1(t), t) + 3a(yh3(t) + h1(t), t))−
−yh23(t)(f(yh3(t) + h1(t), t) + c(yh3(t) + h1(t), t)v(y, t)))
)
dy − a(h1(t), t)×
×∆(t)w(0, t) + µ′6(t)((h3(t) + h1(t))µ3(t)(2µ4(t)− (h3(t) + h1(t))µ3(t))+
+h3(t)µ1(t)(2µ4(t)(3h1(t) + h3(t))− h1(t)µ3(t)(3h1(t) + 2h3(t))) + 3µ5(t)(µ3(t)−
−h3(t)µ1(t))) + µ′5(t)(h1(t)h3(t)µ1(t)µ3(t)(2h
2
3(t) + 5h21(t) + 6h1(t)h3(t))+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА ОДНОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 1537
+h3(t)µ1(t)(4µ6(t)− 3h1(t)µ5(t))− 4µ3(t)µ6(t) + 2µ4(t)(3µ5(t)− h33(t)µ3(t))+
+(h1(t) + h3(t))(µ3(t)((h1(t) + h3(t))
2µ3(t)− 3µ5(t))− 6h1(t)h3(t)µ1(t)µ4(t)))+
+µ′4(t)((h1(t) + h3(t))
2(3µ3(t)µ5(t)− h21(t)h3(t)µ1(t)µ3(t)− 2µ3(t)µ4(t)(h1(t) + h3(t)))+
+3h3(t)µ1(t)µ5(t)(5h
2
1(t) + h23(t) + 4h1(t)h3(t))− 4h3(t)µ1(t)µ6(t)(2h1(t) + h3(t))−
−2h1(t)h3(t)µ1(t)µ4(t)(3h
2
1(t) + h23(t) + 3h1(t)h3(t))− 9µ25(t) + 8µ4(t)µ6(t))+
+µ′3(t)((h1(t) + h3(t))(4h1(t)h3(t)µ1(t)µ6(t) + 9µ25(t)− 8µ4(t)µ6(t) + (h1(t)+
+h3(t))(4µ3(t)µ6(t)− 6µ4(t)µ5(t)− h31(t)h3(t)µ1(t)µ3(t) + (h1(t) + h3(t))×
×(4µ24(t)− 3µ3(t)µ5(t)))) + h1(t)h3(t)µ1(t)(2h1(t)µ4(t)(2h
2
3(t) + 5h1(t)h3(t) + 3h21(t))−
−3µ5(t)(h
2
3(t) + 4h1(t)h3(t) + 3h21(t))))
](
h3(t)µ1(t)∆(t)
)−1
, t ∈ [0, T ], (21)
r(t) =
[ 1∫
0
(
h3(t)µ2(t)(ax(yh3(t) + h1(t), t)w(y, t)− h3(t)(f(yh3(t) + h1(t), t)+
+c(yh3(t) + h1(t), t)v(y, t)))∆(t) + ((µ2(t)− µ1(t))(9µ25(t)− 3h23(t)µ3(t)µ5(t)−
−12h1(t)µ4(t)µ5(t)− 12h21(t)µ
2
4(t)− 4h31(t)µ3(t)µ4(t) + h41(t)µ
2
3(t)− 8µ4(t)µ6(t)+
+8h1(t)µ3(t)µ6(t)− 6h21(t)µ3(t)µ5(t)) + 6h1(t)h
2
3(t)µ2(t)µ3(t)µ4(t)+
+6h21(t)h
2
3(t)µ1(t)µ2(t)µ4(t)− 3h21(t)h
2
3(t)µ2(t)µ
2
3(t) + 2h23(t)µ2(t)µ3(t)µ4(t)−
−2h1(t)h
3
3(t)µ2(t)µ
2
3(t) + 3h33(t)µ1(t)µ2(t)µ5(t)− 3h23(t)µ1(t)µ3(t)µ5(t)−
−6h1(t)h
3
3(t)µ1(t)µ2(t)µ4(t) + 6h21(t)h
2
3(t)µ1(t)µ2(t)µ4(t) + 3h21(t)h
3
3(t)µ1(t)µ2(t)µ3(t)−
−2h43(t)µ1(t)µ2(t)µ4(t) + 2h1(t)h
4
3(t)µ1(t)µ2(t)µ3(t))(w(y, t)(yh3(t)ax(yh3(t) + h1(t), t)×
×a(h1(t) + yh3(t), t))− h23(t)y(v(y, t)c(yh3(t) + h1(t), t) + f(yh3(t) + h1(t), t)))+
+h3(t)y((4µ3(t)µ6(t)− 6h1(t)µ3(t)µ5(t)− 6µ4(t)µ5(t) + 12h1(t)µ
2
4(t)− 6h21(t)µ3(t)µ4(t)+
+2h31(t)µ
2
3(t))(µ2(t)− µ1(t))− h33(t)µ2(t)µ23(t) + 3h3(t)µ2(t)µ3(t)µ5(t)−
−6h1(t)h3(t)µ2(t)µ3(t)µ4(t) + 3h21(t)h3(t)µ2(t)µ
2
3(t) + h43(t)µ1(t)µ2(t)µ3(t)− 3h23(t)×
×µ1(t)µ2(t)µ5(t) + 6h1(t)h
2
3(t)µ1(t)µ2(t)µ4(t)− 3h21(t)h
2
3(t)µ1(t)µ2(t)µ3(t))(w(y, t)(h3(t)y×
×ax(yh3(t) + h1(t), t) + 2a(yh3(t) + h1(t), t))− y(c(yh3(t) + h1(t), t)v(y, t)+
+f(yh3(t) + h1(t), t))h
2
3(t)) + h23(t)y
2((µ2(t)− µ1(t))(4µ24(t)− 2h1(t)µ3(t)µ4(t)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1538 Г. А. СНIТКО
+2h21(t)µ
2
3(t)− 3µ3(t)µ5(t)− h21(t)µ23(t))− 2h3(t)µ2(t)µ3(t)µ4(t) + h23(t)µ2(t)µ
2
3(t)+
+2h1(t)h3(t)µ2(t)µ
2
3(t) + 2h23(t)µ1(t)µ2(t)µ4(t)− h33(t)µ1(t)µ2(t)µ3(t)−
−2h1(t)h
2
3(t)µ1(t)µ2(t)µ3(t))(w(y, t)(h3(t)yax(yh3(t) + h1(t), t) + 3a(yh3(t) + h1(t), t))−
−yh23(t)(f(yh3(t) + h1(t), t) + c(yh3(t) + h1(t), t)v(y, t)))
)
dy + ∆(t)(w(0, t)×
×a(h1(t), t)µ2(t)− a(h1(t) + h3(t), t)µ1(t)w(1, t)) + µ′6(t)((µ2(t)− µ1(t))(4µ24(t)−
−3µ3(t)µ5(t)− 2h1(t)µ3(t)µ4(t) + h21(t)µ
2
3(t)) + µ2(t)(h
2
3(t)µ
2
3(t)− 2h3(t)µ3(t)µ4(t)+
+2h1(t)h3(t)µ
2
3(t)− h33(t)µ1(t)µ3(t) + 2h23(t)µ1(t)µ4(t)− 2h1(t)h
2
3(t)µ1(t)µ3(t)))+
+((µ2(t)− µ1(t))(4µ3(t)µ6(t)− 6µ4(t)µ5(t) + 3h1(t)µ3(t)µ5(t) + 2h33(t)µ3(t)µ4(t)−
−h31(t)µ23(t)− 2h23(t)µ1(t)µ4(t)) + µ2(t)(3h3(t)µ3(t)µ5(t)− h33(t)µ23(t)− 3h1(t)h
2
3(t)µ
2
3(t)−
−3h21(t)h3(t)µ
2
3(t)− 3h23(t)µ1(t)µ5(t) + h43(t)µ1(t)µ3(t) + 3h1(t)h
3
3(t)µ1(t)µ3(t)+
+3h21(t)h
2
3(t)µ1(t)µ3(t)))µ
′
5(t) + µ′4(t)((µ2(t)− µ1(t))(2h31(t)µ3(t)µ4(t)− 3h21(t)µ3(t)µ5(t)+
+9µ25(t)− 8µ4(t)µ6(t)) + µ2(t)(6h
2
1(t)h3(t)µ3(t)µ4(t) + 6h1(t)h
2
3(t)µ3(t)µ4(t)+
+2h33(t)µ3(t)µ4(t)− 3h23(t)µ3(t)µ5(t)− 6h1(t)h3(t)µ3(t)µ5(t)− 6h21(t)h
2
3(t)µ1(t)µ4(t)+
+6h1(t)h
2
3(t)µ1(t)µ5(t) + 3h33(t)µ1(t)µ5(t)− 6h1(t)h
3
3(t)µ1(t)µ4(t)− 2h43(t)µ1(t)µ4(t))+
+((µ2(t)− µ1(t))(3h31(t)µ3(t)µ5(t)− 9h1(t)µ
2
5(t) + 6h21(t)µ4(t)µ5(t)− 4h31(t)µ
2
4(t)+
+8h1(t)µ4(t)µ6(t)− 4h21(t)µ3(t)µ6(t)) + µ2(t)(9h
2
1(t)h3(t)µ3(t)µ5(t)+
+9h1(t)h
2
3(t)µ3(t)µ4(t) + 6h23(t)µ4(t)µ5(t)− 12h1(t)h
2
3(t)µ
2
4(t) + 3h33(t)µ3(t)µ5(t)−
−9h3(t)µ
2
5(t) + 12h1(t)h3(t)µ4(t)µ5(t)− 12h21(t)h3(t)µ
2
4(t)− 4h33(t)µ
2
4(t)−
−4h23(t)µ3(t)µ6(t) + 8h3(t)µ4(t)µ6(t)− 8h1(t)h3(t)µ3(t)µ6(t) + µ1(t)(4h
3
1(t)h
2
3(t)µ4(t)−
−3h21(t)h
2
3(t)µ5(t)− h41(t)h23(t)µ3(t)− 3h1(t)h
3
3(t)µ5(t) + 6h21(t)h
3
3(t)µ4(t)−
−2h31(t)h
3
3(t)µ3(t) + 2h1(t)h
4
3(t)µ4(t)− h21(t)h43(t)µ3(t))))µ′3(t)
]
×
×
(
h3(t)µ1(t)µ2(t)∆(t)
)−1
, t ∈ [0, T ], (22)
де
∆(t) = 6h3(t)µ4(t)µ5(t)− 12h1(t)h3(t)µ
2
4(t) + 6h21(t)h3(t)µ3(t)µ4(t)− 2h31(t)h3(t)µ
2
3(t)+
+3h23(t)µ3(t)µ5(t)− 9µ25(t) + 12h1(t)µ4(t)µ5(t) + 2h1(t)h
2
3(t)µ3(t)µ4(t) + 4h31(t)µ3(t)µ4(t)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА ОДНОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 1539
−12h21(t)µ
2
4(t)− h41(t)µ23(t)− 4h23(t)µ
2
4(t)− h21(t)h23(t)µ23(t)− 4h3(t)µ3(t)µ6(t)−
−8h1(t)µ3(t)µ6(t) + 8µ4(t)µ6(t) + 6h1(t)h3(t)µ3(t)µ5(t) + 6h21(t)µ3(t)µ5(t).
Отже, задачу (5) – (11) зведено до системи iнтегральних рiвнянь (12), (13), (17) – (22) вiднос-
но невiдомих (h3(t), h1(t), v(y, t), w(y, t), b1(t), b2(t), p(t), r(t)). Задача (5) – (11) i вказана систе-
ма рiвнянь еквiвалентнi в такому сенсi: якщо (h1, h3, b1, b2, v) ∈ (C1[0, T ])2 ×
×(C[0, T ])2 × C2,1(QT ) є розв’язком задачi (5) – (11), то (h3, h1, v, w, b1, b2, p, r) ∈ (C[0, T ])2 ×
×(C(QT ))2 × (C[0, T ])4 є розв’язком системи рiвнянь (12), (13), (17) – (22), i навпаки.
Запишемо ∆(t) у виглядi
∆(t) =
h63(t)
2
[ 1∫
0
y(1− y)w(y, t)dy
1∫
0
y2(1− y)(2y − 1)w(y, t)dy+
+
1∫
0
y2(1− y)w(y, t)dy
1∫
0
y(1− y)(1− 2y)w(y, t)dy
]
.
Згiдно з припущеннями теореми з (18) можемо зробити висновок про iснування такого числа
t1, 0 < t1 ≤ T, що
w(y, t) ≥ h03
2
min
[0,1]
ϕ′(yh03 + h01) > 0, (y, t) ∈ Qt1 .
Тодi
1∫
0
y(1− y)w(y, t)dy > 0,
1∫
0
y2(1− y)w(y, t)dy > 0, t ∈ [0, t1].
Подамо вирази
∫ 1
0
y(1− y)(1− 2y)w(y, t)dy,
∫ 1
0
y2(1− y)(2y − 1)w(y, t)dy у виглядi
1∫
0
y(1− y)(1− 2y)w(y, t)dy =
1/2∫
0
y(1− y)(1− 2y)(w(y, t)− w(1− y, t))dy, (23)
1∫
0
y2(1− y)(2y − 1)w(y, t)dy =
1/2∫
0
y(1− y)(1− 2y)((1− y)w(1− y, t)− yw(y, t))dy. (24)
Пiдставимо (18) у (23). Всi доданки, крiм першого, при t→ 0 прямують до нуля. Тодi можемо
вважати, що iснує таке число t2, 0 < t2 ≤ T, що
1∫
0
y(1− y)(1− 2y)w(y, t)dy ≥ h03
2
1/2∫
0
y(1− y)(1− 2y)×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1540 Г. А. СНIТКО
×(ϕ′(yh03 + h01)− ϕ′(h03(1− y) + h01))dy > 0, t ∈ [0, t2].
Пiдставивши (18) у (24), можемо зробити висновок про iснування такого числа t3,
0 < t3 ≤ T, що
1∫
0
y2(1− y)(2y − 1)w(y, t)dy ≥ h03
2
1/2∫
0
y(1− y)(1− 2y)×
×((1− y)ϕ′(h03(1− y) + h01)− yϕ′(yh03 + h01))dy > 0, t ∈ [0, t3].
Таким чином,
∆(t) ≥ C0 > 0, t ∈ [0, t4], t4 = min{t1, t2, t3}. (25)
Встановимо оцiнки розв’язкiв системи рiвнянь (12), (13), (17) – (22). Позначимо W (t) =
max
y∈[0,1]
|w(y, t)|. З (19) – (22), враховуючи (14), (25), одержуємо
|b1(t)| ≤ C1 + C2W (t), |b2(t)| ≤ C3 + C4W (t), |p(t)| ≤ C5 + C6W (t),
|r(t)| ≤ C7 + C8W (t), t ∈ [0, t4].
(26)
Використовуючи (14), (26) та оцiнки функцiї Грiна [11], з (18) отримуємо
W (t) ≤ C9 + C10
t∫
0
W (τ) +W 2(τ)√
t− τ
dτ, t ∈ [0, t4].
Метод розв’язування останньої нерiвностi наведено у [12]. Звiдси отримуємо оцiнку
W (t) ≤M2 <∞, t ∈ [0, t5],
де t5, 0 < t5 ≤ t4, визначається сталими C9, C10. Тодi
|b1(t)| ≤ B1 <∞, |b2(t)| ≤ B2 <∞, |p(t)| ≤ B3 <∞, |r(t)| ≤ B4 <∞, t ∈ [0, t5].
Запишемо систему рiвнянь (12), (13), (17) – (22) у виглядi операторного рiвняння
ω = Pω,
де ω = (h3(t), h1(t), v(y, t), w(y, t), b1(t), b2(t), p(t), r(t)), а оператор P визначається правими
частинами рiвнянь (12), (13), (17) – (22).
Вiзьмемо довiльнi (h3, h1, v, w, b1, b2, p, r), для яких справджуються встановленi вище оцiн-
ки. Оцiнимо праву частину рiвняння (18):
|P4w| ≤ C11 + C12
√
t.
Вибираючи число t6, 0 < t6 ≤ T, так, щоб виконувалась нерiвнiсть C11 + C12
√
t6 ≤ M2,
отримуємо
|P4w| ≤M2, (y, t) ∈ [0, 1]× [0, t6].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА ОДНОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 1541
Позначимо N = {(h3, h1, v, w, b1, b2, p, r) ∈ (C[0, T0])
2 × (C(QT0))2 × (C[0, T0])
4 : H0 ≤
≤ h3(t) ≤ H1, |h1(t)| ≤ H2, M0 ≤ v(y, t) ≤M1, |w(y, t)| ≤M2, |b1(t)| ≤ B1, |b2(t)| ≤ B2,
|p(t)| ≤ B3, |r(t)| ≤ B4}, де T0 = min{t5, t6}. Очевидно, що множина N задовольняє умови
теореми Шаудера, а оператор P переводить N в себе. Те, що оператор P цiлком неперервний
на N, доводиться, як у [8].
Отже, за теоремою Шаудера про нерухому точку цiлком неперервного оператора iснує
розв’язок системи рiвнянь (12), (13), (17) – (22) i, вiдповiдно, розв’язок задачi (5) – (11) при
(y, t) ∈ QT0 .
Теорему 1 доведено.
4. Єдинiсть розв’язку задачi (5) – (11).
Теорема 2. Нехай виконуються умови:
a ∈ C2,0(R× [0, T ]), c, f ∈ C1,0(R× [0, T ]), a(x, t) > 0, (x, t) ∈ R× [0, T ], ϕ(x) ≥ ϕ0 > 0,
x ∈ [h01,∞), ϕ′(x) > 0, x ∈ [h01, h02], (h02 − x)ϕ′(h02 + h01 − x)− (x− h01)ϕ′(x) > 0,
ϕ′(x)− ϕ′(h02 + h01 − x) > 0, x ∈
[
h01,
h01 + h02
2
)
, µi(t) > 0, i = 1, 3, t ∈ [0, T ].
Тодi можна вказати число t4, 0 < t4 ≤ T, яке визначається вихiдними даними, таке,
що задача (5) − (11) не може мати двох рiзних розв’язкiв (h3, h1, b1, b2, v) ∈ (C1[0, t4])
2 ×
× (C[0, t4])
2 × C2,1(Qt4), h3(t) > 0, t ∈ [0, t4].
Доведення. Припустимо, що (h1i(t), h3i(t), b1i(t), b2i(t), vi(y, t)), i = 1, 2, — два розв’язки
задачi (5) – (11). Позначимо
b1i(t)
h3i(t)
= ri(t),
b2i(t)
h3i(t)
= qi(t),
h′1i(t)
h3i(t)
= si(t),
h′3i(t)
h3i(t)
= pi(t), i = 1, 2, r(t) = r1(t)− r2(t),
q(t) = q1(t)− q2(t), s(t) = s1(t)− s2(t), p(t) = p1(t)− p2(t), v(y, t) = v1(y, t)− v2(y, t).
Функцiї r(t), q(t), s(t), p(t), v(y, t) задовольняють рiвняння
vt =
a(yh31(t) + h11(t), t)
h231(t)
vyy + (r1(t)(yh31(t) + h11(t)) + q1(t) + s1(t) + yp1(t))vy+
+c(yh31(t) + h11(t), t)v+
(
a(yh31(t) + h11(t), t)
h231(t)
− a(yh32(t) + h12(t), t)
h232(t)
)
v2yy+
+(r2(t)(y(h31(t)− h32(t)) + h11(t)− h12(t)) + r(t)(yh31(t) + h11(t)) + q(t) + s(t)+
+yp(t))v2y + (c(yh31(t) + h11(t), t) + c(yh32(t) + h12(t), t))v2+
+f(yh31(t) + h11(t), t)− f(yh32(t) + h12(t), t), (y, t) ∈ QT , (27)
та умови
v(y, 0) = 0, y ∈ [0, 1], (28)
v(0, t) = v(1, t) = 0, t ∈ [0, T ], (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1542 Г. А. СНIТКО
1∫
0
v(y, t)dy = µ3(t)
(
1
h31(t)
− 1
h32(t)
)
,
1∫
0
yv(y, t)dy = (µ4(t)− h11(t)µ3(t))
(
1
h231(t)
− 1
h232(t)
)
− (h11(t)− h12(t))
µ3(t)
h232(t)
,
1∫
0
y2v(y, t)dy = (µ5(t)− 2h11(t)µ4(t) + h211(t)µ3(t))
(
1
h331(t)
− 1
h332(t)
)
+
+(µ3(t)(h
2
11(t)− h212(t))− 2µ4(t)(h11(t)− h12(t)))
1
h332(t)
, (30)
1∫
0
y3v(y, t)dy = (µ6(t)− 3h11(t)µ5(t) + 3h211(t)µ4(t)− h311(t)µ3(t))
(
1
h431(t)
− 1
h432(t)
)
−
−(µ3(t)(h
3
11(t)− h312(t))− 3µ4(t)(h
2
11(t)− h212(t)) + 3µ5(t)(h11(t)− h12(t)))
1
h432(t)
,
t ∈ [0, T ].
За допомогою функцiї Грiна G∗1(y, t, η, τ) першої крайової задачi для рiвняння
vt =
a(yh31(t) + h11(t), t)
h231(t)
vyy + (r1(t)(yh31(t) + h11(t)) + q1(t) + s1(t)+
+yp1(t))vy + c(yh31(t) + h11(t), t)v
з урахуванням умов (28), (29) функцiю v(y, t) запишемо у виглядi
v(y, t) =
t∫
0
1∫
0
G∗1(y, t, η, τ)
[
v2ηη(η, τ)
(
a(ηh31(τ) + h11(τ), τ)
h231(τ)
− a(ηh32(τ) + h12(τ), τ)
h232(τ)
)
+
+
(
r(τ)(ηh31(τ) + h11(τ)) + r2(τ)(η(h31(τ)− h32(τ)) + h11(τ)− h12(τ)) + q(τ)+
+s(τ) + ηp(τ)
)
v2η(η, τ) + v2(η, τ)
(
c(ηh31(τ) + h11(τ), τ)− c(ηh32(τ) + h12(τ), τ)
)
+
+f(ηh31(τ) + h11(τ), τ)− f(ηh32(τ) + h12(τ), τ)
]
dηdτ, (y, t) ∈ QT . (31)
Здиференцiювавши (31) за змiнною y, одержимо
vy(y, t) =
t∫
0
1∫
0
G∗1y(y, t, η, τ)
[
v2ηη(η, τ)
(
a(ηh31(τ) + h11(τ), τ)
h231(τ)
− a(ηh32(τ) + h12(τ), τ)
h232(τ)
)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА ОДНОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 1543
+
(
r(τ)(ηh31(τ) + h11(τ)) + r2(τ)
(
η(h31(τ)− h32(τ)) + h11(τ)− h12(τ)
)
+ q(τ)+
+s(τ) + ηp(τ)
)
v2η(η, τ) + v2(η, τ)
(
c(ηh31(τ) + h11(τ), τ)− c(ηh32(τ) + h12(τ), τ)
)
+
+f(ηh31(τ) + h11(τ), τ)− f(ηh32(τ) + h12(τ), τ)
]
dηdτ, (y, t) ∈ QT . (32)
Оскiльки для h′1i, h
′
3i, b1i(t), b2i(t), i = 1, 2, справджуються рiвностi, аналогiчнi (19) – (22),
то звiдси отримуємо
p(t)µ2(t) + (q(t) + s(t))(µ2(t)− µ1(t)) + r(t)(h31(t)µ2(t)− µ3(t) + h11(t)(µ2(t)− µ1(t))) =
=
vy(0, t)a(h11(t), t)− vy(1, t)a(h11(t) + h31(t), t)
h231(t)
+ (h−231 (t)− h−232 (t))(v2y(0, t)a(h11(t), t)−
−v2y(1, t)a(h11(t) + h31(t), t)) +
1
h232(t)
(v2y(0, t)(a(h11(t), t)− a(h12(t), t))− (a(h11(t)+
+h31(t), t)− a(h12(t) + h32(t), t))v2y(1, t)) + h−132 (t)
1∫
0
(ax(yh31(t) + h11(t), t)vy(y, t)+
+(ax(yh31(t) + h11(t), t)− ax(yh32(t) + h12(t), t))v2y(y, t))dy+
+(h−131 (t)− h−132 (t))
( 1∫
0
ax(yh32(t) + h12(t), t)v2y(y, t)dy + µ′3(t)
)
−
−
1∫
0
(v(y, t)c(yh31(t) + h11(t), t) + (c(yh31(t) + h11(t), t)− c(yh32(t) + h12(t), t))v2(y, t)+
+f(yh31(t) + h11(t), t)− f(yh32(t) + h12(t), t))dy − r2(t)(µ2(t)(h31(t)− h32(t))+
+(µ2(t)− µ1(t))(h11(t)− h12(t))), t ∈ [0, T ], (33)
h31(t)s(t)µ1(t) + q(t)(h31(t)µ1(t)− µ3(t)) + r(t)(h31(t)µ3(t) + h11(t)h31(t)µ1(t)+
+h11(t)µ3(t)− 2µ4(t)) =
= −vy(0, t)a(h11(t), t)
h31(t)
− v2y(0, t)
h31(t)
(a(h11(t), t)− a(h12(t), t))−
1
h31(t)
1∫
0
((h31(t)(1− y)×
×ax(yh31(t) + h11(t), t)− a(yh31(t) + h11(t), t))vy(y, t)+
+(h31(t)(1− y)(ax(yh31(t) + h11(t), t)− ax(yh32(t) + h12(t), t))+
+(1− y)(h31(t)− h32(t))ax(yh32(t) + h12(t), t)− a(yh31(t) + h11(t), t)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1544 Г. А. СНIТКО
+a(yh32(t) + h12(t), t))v2y(y, t))dy + (h−131 (t)− h−132 (t))
(
µ′4(t)− h11(t)µ′3(t)−
−a(h12(t), t)v2y(0, t)−
1∫
0
(h32(t)(1− y)ax(yh32(t) + h12(t), t)−
−a(yh32(t) + h12(t), t))v2y(y, t)dy
)
+ h31(t)
1∫
0
(1− y)(v(y, t)c(yh31(t) + h11(t), t)+
+f(yh31(t) + h11(t), t)− f(yh32(t) + h12(t), t) + (c(yh31(t) + h11(t), t)−
−c(yh32(t) + h12(t), t))v2(y, t))dy + (h31(t)− h32(t))
( 1∫
0
(1− y)(f(yh32(t) + h12(t), t)+
+v2(y, t)c(yh32(t) + h12(t), t))dy − µ1(t)(s2(t) + q2(t))− r2(t)(µ3(t) + h11(t)µ1(t))
)
−
−(h11(t)− h12(t))(r2(t)(µ3(t) + h32(t)µ1(t)) + µ′3(t)h
−1
32 (t)), t ∈ [0, T ], (34)
q(t)
(
h31(t)µ3(t)− 2µ4(t) + 2h11(t)µ3(t)
)
+ r(t)
(
2h31(t)µ4(t)− h11(t)h31(t)µ3(t)−
−3µ5(t) + 4h11(t)µ4(t)− h211(t)µ3(t)
)
=
=
1∫
0
(
(h31(t)(y
2 − y)ax(yh31(t) + h11(t), t) + (2y − 1)a(yh31(t) + h11(t), t)
)
vy(y, t)+
+v2y(y, t)
(
(y2 − y)
(
h31(t)
(
ax(yh31(t) + h11(t), t)− ax(yh32(t) + h12(t), t)
)
+ (h31(t)−
−h32(t))ax(yh32(t)+h12(t), t)) + (2y−1)
(
a(yh31(t)+h11(t), t)− a(yh32(t)+h12(t), t))
))
dy+
+(h−131 (t)− h−132 (t))(µ′5(t)− 2h11(t)µ
′
4(t) + h211(t)µ
′
3(t)) + h231(t)×
×
1∫
0
(y − y2)
(
c(yh31(t) + h11(t), t)v(y, t) + f(yh31(t) + h11(t), t)− f(yh32(t) + h12(t), t)+
+v2(y, t)(c(yh31(t) + h11(t), t)− c(yh32(t) + h12(t), t))
)
dy+
+(h231(t)− h232(t))
1∫
0
(y − y2)
(
f(yh32(t) + h12(t), t) + v2(y, t)c(yh32(t) + h12(t), t)
)
dy+
+(h31(t)− h32(t))
(
r2(t)(h11(t)µ3(t)− 2µ4(t))− q2(t)µ3(t)
)
+ (h11(t)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА ОДНОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 1545
−h12(t))
(
r2(t)(h32(t)µ3(t)− 4µ4(t))− 2q2(t)µ3(t)− 2µ′4(t)h
−1
32 (t) + µ′3(t)
)
+
+
(
h211(t)− h212(t)
)(
r2(t)µ3(t) + µ′3(t)h
−1
32 (t)
)
, t ∈ [0, T ], (35)
r(t) =
[ 1∫
0
((
6h11(t)µ4(t)− 3µ5(t)− 3h211(t)µ3(t) + 2h31(t)µ4(t)− 2h11(t)h31(t)µ3(t)
)
×
(v1y(y, t)(h31(t)yax(yh31(t) + h11(t), t) + a(yh31(t) + h11(t), t))− h231(t)y(f(yh31(t)+
+h11(t), t) + v1(y, t)c(yh31(t) + h11(t), t))) + y(3µ5(t)− h231(t)µ3(t)− 6h11(t)µ4(t)+
+3h211(t)µ3(t))(v1y(y, t)(yh31(t)ax(yh31(t) + h11(t), t) + 2a(yh31(t) + h11(t), t))−
−h231(t)y(f(yh31(t) + h11(t), t) + v1(y, t)c(yh31(t) + h11(t), t))) + h31(t)y
2(h31(t)µ3(t)−
−2µ4(t) + 2h11(t)µ3(t))((3a(yh31(t) + h11(t), t) + h31(t)yax(yh31(t) + h11(t), t))v1y(y, t)−
−h231(t)y(f(yh31(t) + h11(t), t) + c(yh31(t) + h11(t), t)v1(y, t)))
)
dy + µ′6(t)(µ3(t)+
+2(µ3(t)h11(t)− µ4(t))h−131 (t)) + µ′5(t)(3(µ5(t)− µ3(t)h211(t))h−131 (t)− µ3(t)(h31(t)+
+3h11(t))) + µ′4(t)(6h11(t)h
−1
31 (t)(µ4(t)h11(t)−µ5(t))−3µ5(t) + 2µ4(t)(3h11(t) + h31(t)))+
+µ′3(t)h11(t)h
−1
31 (t)(3(h11(t) + h31(t))µ5(t) + h211(t)µ3(t)(h11(t) + 2h31(t))−
−2h11(t)µ4(t)(2h11(t)− 3h31(t)) + h231(t)(h11(t)µ3(t)− 2µ4(t)))
](
2(h31(t)−
−h32(t))(3µ4(t)µ5(t)− 6h11(t)µ
2
4(t) + 3h211(t)µ3(t)µ4(t)− h311(t)µ23(t)− 2µ3(t)µ6(t)+
+3h11(t)µ3(t)µ5(t)) + (h231(t)− h232(t))(3µ3(t)µ5(t)− 4µ24(t) + 2h11(t)µ3(t)µ4(t)−
−h211(t)µ23(t)) + 2(h11(t)− h12(t))(6µ4(t)µ5(t)− 6h32(t)µ
2
4(t) + h232(t)µ3(t)µ4(t)−
−4µ3(t)µ6(t) + 3h32(t)µ3(t)µ5(t)) + (h211(t)− h212(t))(6h32(t)µ3(t)µ4(t)− 12µ24(t)−
−h232(t)µ23(t) + 6µ3(t)µ5(t)) + 2µ3(t)(h
3
11(t)− h312(t))(2µ4(t)− h32(t)µ3(t))−
−µ23(t)(h411(t)− h412(t))
)(
(6h31(t)µ4(t)µ5(t)− 12h11(t)h31(t)µ
2
4(t)+
+6h211(t)h31(t)µ3(t)µ4(t)− 2h311(t)h31(t)µ
2
3(t) + 3h231(t)µ3(t)µ5(t)− 9µ25(t)+
+12h11(t)µ4(t)µ5(t) + 2h11(t)h
2
31(t)µ3(t)µ4(t) + 4h311(t)µ3(t)µ4(t)−
−12h211(t)µ
2
4(t)− h411(t)µ23(t)− 4h231(t)µ
2
4(t)− h211(t)h231(t)µ23(t)− 4h31(t)µ3(t)µ6(t)−
−8h11(t)µ3(t)µ6(t) + 8µ4(t)µ6(t) + 6h11(t)h31(t)µ3(t)µ5(t)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1546 Г. А. СНIТКО
+6h211(t)µ3(t)µ5(t))(6h32(t)µ4(t)µ5(t)− 12h12(t)h32(t)µ
2
4(t) + 6h212(t)h32(t)µ3(t)µ4(t)−
−2h312(t)h32(t)µ
2
3(t) + 3h232(t)µ3(t)µ5(t)− 9µ25(t) + 12h12(t)µ4(t)µ5(t)+
+2h12(t)h
2
32(t)µ3(t)µ4(t) + 4h312(t)µ3(t)µ4(t)− 12h212(t)µ
2
4(t)− h412(t)µ23(t)− 4h232(t)×
×µ24(t)− h212(t)h232(t)µ23(t)− 4h32(t)µ3(t)µ6(t)− 8h12(t)µ3(t)µ6(t) + 8µ4(t)µ6(t)+
+6h12(t)h32(t)µ3(t)µ5(t) + 6h212(t)µ3(t)µ5(t))
)−1
+
[ 1∫
0
(
(6h11(t)µ4(t)− 3µ5(t)−
−3h211(t)µ3(t) + 2h31(t)µ4(t)− 2h11(t)h31(t)µ3(t))((h31(t)yax(yh31(t) + h11(t), t)+
+a(yh31(t) + h11(t), t))vy(y, t) + v2y(y, t)(a(yh31(t) + h11(t), t)− a(yh32(t) + h12(t), t)+
+y(ax(yh31(t) + h11(t), t)− ax(yh32(t) + h12(t), t))h31(t) + yax(yh32(t)+
+h12(t), t)(h31(t)− h32(t)))− y(f(yh31(t) + h11(t), t)− f(yh32(t) + h12(t), t)+
+c(yh31(t) + h11(t), t)v(y, t) + v2(y, t)(c(yh31(t) + h11(t), t)− c(yh32(t) + h12(t), t)))h
2
31(t)−
−(h231(t)− h232(t))y(c(yh32(t) + h12(t), t)v2(y, t) + f(yh32(t) + h12(t), t)))+
+y(3µ5(t)− h231(t)µ3(t)− 6h11(t)µ4(t) + 3h211(t)µ3(t))((h31(t)yax(yh31(t) + h11(t), t)+
+2a(yh31(t) + h11(t), t))vy(y, t) + v2y(y, t)(2(a(yh31(t) + h11(t), t)− a(yh32(t) + h12(t), t))+
+(ax(yh31(t) + h11(t), t)− ax(yh32(t) + h12(t), t))yh31(t) + yax(yh32(t)+
+h12(t), t)(h31(t)− h32(t)))− y(f(yh31(t) + h11(t), t)− f(yh32(t) + h12(t), t)+
+c(yh31(t) + h11(t), t)v(y, t) + v2(y, t)(c(yh31(t) + h11(t), t)− c(yh32(t) + h12(t), t)))h
2
31(t)−
−(h231(t)− h232(t))y(c(yh32(t) + h12(t), t)v2(y, t) + f(yh32(t) + h12(t), t)))+
+h31(t)y
2(h31(t)µ3(t)− 2µ4(t) + 2h11(t)µ3(t))((h31(t)yax(yh31(t) + h11(t), t)+
+3a(yh31(t) + h11(t), t))vy(y, t) + v2y(y, t)(yh31(t)(ax(yh31(t) + h11(t), t)−
−ax(yh32(t) + h12(t), t)) + 3(a(yh31(t) + h11(t), t)− a(yh32(t) + h12(t), t))+
+yax(yh32(t) + h12(t), t)(h31(t)− h32(t)))− y(f(yh31(t)+h11(t), t)− f(yh32(t)+h12(t), t)+
+v(y, t)c(yh31(t) + h11(t), t) + v2(y, t)(c(yh31(t) + h11(t), t)− c(yh32(t) + h12(t), t)))h
2
31(t)−
−y(h231(t)− h232(t))(c(yh32(t) + h12(t), t)v2(y, t) + f(yh32(t) + h12(t), t)))+
+(h31(t)− h32(t))((1− y2)(yh32(t)ax(yh32(t) + h12(t), t)v2y(y, t)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА ОДНОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 1547
−h232(t)y(c(yh32(t) + h12(t), t)v2(y, t) + f(yh32(t) + h12(t), t)))+
+(1− 3y2)a(yh32(t) + h12(t), t)v2y(y, t))− yµ3(t)(h231(t)− h232(t))((1− y)(yax(yh32(t)+
+h12(t), t)h32(t)v2y(y, t)− h232(t)y(c(yh32(t) + h12(t), t)v2(y, t) + f(yh32(t) + h12(t), t)))+
+(2− 3y)v2y(y, t)a(yh32(t) + h12(t), t)) + 2(h211(t)− h212(t))((3µ4(t)(1− y)−
−h32(t)µ3(t)(1− y2))(yh32(t)v2y(y, t)ax(yh32(t) + h12(t), t)− h232(t)y(c(yh32(t)+
+h12(t), t)v2(y, t) + f(yh32(t) + h12(t), t))) + (3µ4(t)(1− 2y)−
−h32(t)µ3(t)(1− 3y2))v2y(y, t)a(yh32(t) + h12(t), t))− 3µ3(t)(h
2
11(t)− h212(t))×
×((1− y)(yh32(t)ax(yh32(t) + h12(t), t)v2y(y, t)− y(c(yh32(t) + h12(t), t)v2(y, t)+
+f(yh32(t) + h12(t), t))h
2
32(t)) + (1− 2y)v2y(y, t)a(yh32(t) + h12(t), t))
)
dy + (h−131 (t)−
−h−132 (t))(2µ′6(t)(µ3(t)h11(t)− µ4(t)) + 3µ′5(t)(µ5(t)− µ3(t)h211(t))+
+6h11(t)µ
′
4(t)(µ4(t)h11(t)− µ5(t)) + h211(t)µ
′
3(t)(3µ5(t)− 4µ4(t)h11(t) + µ3(t)h
2
11(t)))+
+(h31(t)− h32(t))(2µ4(t)µ′4(t)− µ3(t)µ′5(t) + h11(t)µ
′
3(t)(µ3(t)h11(t)−
−2µ4(t))) + (h11(t)− h12(t))(2h−132 (t)(µ3(t)µ
′
6(t)− 3µ5(t)µ
′
4(t))− 3µ3(t)µ
′
5(t) + 6µ4(t)µ
′
4(t)+
+µ′3(t)(3µ5(t)− 2µ4(t)h32(t))) + (h211(t)− h212(t))(3h−132 (t)(2µ4(t)µ
′
4(t)− µ3(t)µ′5(t)+
+µ5(t)µ
′
3(t))− µ′3(t)(6µ4(t)− µ3(t)h32(t))) + 2µ′3(t)(h
3
11(t)− h312(t))(µ3(t)− 4µ4(t)h
−1
32 (t))+
+µ3(t)µ
′
3(t)h
−1
32 (t)(h411(t)− h412(t))
](
6h32(t)µ4(t)µ5(t)− 12h12(t)h32(t)µ
2
4(t)+
+6h212(t)h32(t)µ3(t)µ4(t)− 2h312(t)h32(t)µ
2
3(t) + 3h232(t)µ3(t)µ5(t)− 9µ25(t)+
+12h12(t)µ4(t)µ5(t) + 2h12(t)h
2
32(t)µ3(t)µ4(t) + 4h312(t)µ3(t)µ4(t)−
−12h212(t)µ
2
4(t)− h412(t)µ23(t)− 4h232(t)µ
2
4(t)− h212(t)h232(t)µ23(t)− 4h32(t)µ3(t)µ6(t)−
−8h12(t)µ3(t)µ6(t) + 8µ4(t)µ6(t) + 6h12(t)h32(t)µ3(t)µ5(t) + 6h212(t)µ3(t)µ5(t)
)−1
, (36)
t ∈ [0, T ].
Зауважимо, що
6h3i(t)µ4(t)µ5(t)− 12h1i(t)h3i(t)µ
2
4(t) + 6h21i(t)h3i(t)µ3(t)µ4(t)− 2h31i(t)h3i(t)µ
2
3(t)+
+3h23i(t)µ3(t)µ5(t)− 9µ25(t) + 12h1i(t)µ4(t)µ5(t) + 2h1i(t)h
2
3i(t)µ3(t)µ4(t)+
+4h31i(t)µ3(t)µ4(t)− 12h21i(t)µ
2
4(t)− h41i(t)µ23(t)− 4h23i(t)µ
2
4(t)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1548 Г. А. СНIТКО
−h21i(t)h23i(t)µ23(t)− 4h3i(t)µ3(t)µ6(t)− 8h1i(t)µ3(t)µ6(t) + 8µ4(t)µ6(t)+
+6h1i(t)h3i(t)µ3(t)µ5(t) + 6h21i(t)µ3(t)µ5(t) ≥ C0 > 0, i = 1, 2, t ∈ [0, t4].
Згiдно з припущеннями теореми правильною є наступна рiвнiсть:
f(yh31(t) + h11(t), t)− f(yh32(t) + h12(t), t) = (h11(t)− h12(t) + y(h31(t)− h32(t)))×
×
1∫
0
fx(yh32(t) + h12(t) + σ(y(h31(t)− h32(t)) + h11(t)− h12(t)), t)dσ, (37)
яка справедлива i для функцiй c(yh3i(t)+h1i(t), t), a(yh3i(t)+h1i(t), t) та ax(yh3i(t)+h1i(t), t),
i = 1, 2.
Виразимо h3i(t), h1i(t) через pi(t), si(t):
h3i(t) = h3i(0) exp
t∫
0
pi(τ)dτ
, h1i(t) = h1i(0) + h3i(0)
t∫
0
si(τ) exp
τ∫
0
pi(σ)dσ
dτ,
i = 1, 2, h31(0) = h32(0) = h03, h11(0) = h12(0) = h01.
Враховуючи рiвнiсть
ex − ey = (x− y)
1∫
0
ey+τ(x−y)dτ,
одержуємо
1
h31(t)
− 1
h32(t)
= − 1
h03
t∫
0
p(τ)dτ
1∫
0
exp
(
−
t∫
0
(σp(τ) + p2(τ))dτ
)
dσ, (38)
h11(t)− h12(t) = h03
( t∫
0
s(τ) exp
( τ∫
0
p1(σ)dσ
)
dτ+
+
t∫
0
s2(τ)
τ∫
0
p(η)dη exp
( τ∫
0
(p2(ρ) + σp(ρ))dρ
)
dσdτ
)
. (39)
Аналогiчно (38), (39) використаємо для зображення рiзниць h31(t)−h32(t), h231(t)−h232(t),
h−231 (t)− h−232 (t), h211(t)− h212(t), h311(t)− h312(t), h411(t)− h412(t).
Використавши (37) – (39) i пiдставивши (31), (32) в (33) – (36), одержимо систему однорiдних
iнтегральних рiвнянь Вольтерра другого роду вiдносно невiдомих q(t), s(t), p(t), r(t). З єди-
ностi розв’язкiв таких систем випливає, що q(t) = 0, s(t) = 0, p(t) = 0, r(t) = 0, t ∈ [0, t4].
Звiдси отримаємо q1(t) = q2(t), s1(t) = s2(t), p1(t) = p2(t), r1(t) = r2(t), t ∈ [0, t4], а отже,
h31(t) = h32(t), h11(t) = h12(t), b11(t) = b12(t), b21(t) = b22(t), t ∈ [0, t4]. Використовуючи
це в задачi (27) – (29), знаходимо v1(y, t) = v2(y, t), (y, t) ∈ Qt4 .
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ВИЗНАЧЕННЯ МОЛОДШОГО КОЕФIЦIЄНТА ОДНОВИМIРНОГО ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 1549
1. Hong-Ming Yin. Global solvability for some parabolic inverse problems // J. Math. Anal. and Appl. – 1991. –
P. 392 – 403.
2. Trong D. D., Ang D. D. Coefficient identification for a parabolic equation // Inverse Problems. – 1994. – 10, № 3. –
P. 733 – 752.
3. Cannon J., Perez-Esteva S. Determination of the coefficient of ux in a linear parabolic equation // Inverse Problems. –
1994. – 10, № 3. – P. 521 – 531.
4. Iванчов М. I., Пабирiвська Н. В. Однозначне визначення двох коефiцiєнтiв у параболiчному рiвняннi у випадку
нелокальних та iнтегральних умов // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 5. – С. 589 – 596.
5. Пабирiвська Н. В. Тепловi моменти в обернених задачах для параболiчних рiвнянь // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер.
мех.-мат. – 2000. – Вип. 56. – С. 142 – 149.
6. Iванчов М. I. Обернена задача з вiльною межею для рiвняння теплопровiдностi // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№ 7. – С. 901 – 910.
7. Баранська I. Визначення старшого коефiцiєнта у параболiчному рiвняннi в областi з невiдомими межами //
Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 20 – 38.
8. Снiтко Г. А. Обернена задача для параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею // Мат. методи та фiз.-мех.
поля. – 2007. – 50, № 4. – С. 7 – 18.
9. Снiтко Г. А. Обернена задача визначення молодшого коефiцiєнта в параболiчному рiвняннi в областi з вiльною
межею // Вiсн. нац. ун-ту „Львiв. полiтехнiка”. Фiз.-мат. науки. – 2009. – Вип. 643. – С. 45 – 52.
10. Снiтко Г. А. Kоефiцiєнтна обернена задача для параболiчного рiвняння в областi з вiльною межею // Мат.
методи та фiз.-мех. поля. – 2008. – 51, № 4. – С. 37 – 47.
11. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
12. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. – Lviv: VNTL Publ., 2003. – 238 p. – (Math. Stud.:
Monogr. Ser. – Vol. 10.)
Одержано 01.10.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2532 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:16Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/32/39a4cc6eb768d24a679c85de00f64532.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25322020-03-18T19:25:49Z Determination of the Lowest Coefficient for a One-Dimensional Parabolic Equation in a Domain with Free Boundary Визначення молодшого коефіцієнта одновимірного параболічного рівняння в області з вільною межею Snitko, H. A. Снітко, Г. А. We establish conditions for the unique solvability of the inverse problem of finding the lower coefficient with two unknown time-dependent parameters in a one-dimensional parabolic equation with integral overdetermination conditions in a domain with free boundary. Установлены условия однозначной разрешимости обратной задачи определения младшего коэффициента с двумя неизвестными, зависящими от времени параметрами в одномерном параболическом уравнении с интегральными условиями переопределения в области со свободной границей. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2532 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 11 (2013); 1531–1549 Український математичний журнал; Том 65 № 11 (2013); 1531–1549 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2532/1825 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2532/1826 Copyright (c) 2013 Snitko H. A. |
| spellingShingle | Snitko, H. A. Снітко, Г. А. Determination of the Lowest Coefficient for a One-Dimensional Parabolic Equation in a Domain with Free Boundary |
| title | Determination of the Lowest Coefficient for a One-Dimensional Parabolic Equation in a Domain with Free Boundary |
| title_alt | Визначення молодшого коефіцієнта одновимірного параболічного рівняння в області з вільною межею |
| title_full | Determination of the Lowest Coefficient for a One-Dimensional Parabolic Equation in a Domain with Free Boundary |
| title_fullStr | Determination of the Lowest Coefficient for a One-Dimensional Parabolic Equation in a Domain with Free Boundary |
| title_full_unstemmed | Determination of the Lowest Coefficient for a One-Dimensional Parabolic Equation in a Domain with Free Boundary |
| title_short | Determination of the Lowest Coefficient for a One-Dimensional Parabolic Equation in a Domain with Free Boundary |
| title_sort | determination of the lowest coefficient for a one-dimensional parabolic equation in a domain with free boundary |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2532 |
| work_keys_str_mv | AT snitkoha determinationofthelowestcoefficientforaonedimensionalparabolicequationinadomainwithfreeboundary AT snítkoga determinationofthelowestcoefficientforaonedimensionalparabolicequationinadomainwithfreeboundary AT snitkoha viznačennâmolodšogokoefícíêntaodnovimírnogoparabolíčnogorívnânnâvoblastízvílʹnoûmežeû AT snítkoga viznačennâmolodšogokoefícíêntaodnovimírnogoparabolíčnogorívnânnâvoblastízvílʹnoûmežeû |