On Finite Groups with Permutable Generalized Subnormal Subgroups
We study the Kegel–Shemetkov problem of finding the classes of finite groups \( {\mathfrak F} \) such that, in any finite group, the product of permutable \( {\mathfrak F} \) -subnormal subgroups is a \( {\mathfrak F} \) -subnormal subgroup.
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2534 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508442071924736 |
|---|---|
| author | Velesnitskii, V. F. Semenchuk, V. N. Велесницкий, В. Ф. Семенчук, В. Н. Велесницкий, В. Ф. Семенчук, В. Н. |
| author_facet | Velesnitskii, V. F. Semenchuk, V. N. Велесницкий, В. Ф. Семенчук, В. Н. Велесницкий, В. Ф. Семенчук, В. Н. |
| author_sort | Velesnitskii, V. F. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:25:49Z |
| description | We study the Kegel–Shemetkov problem of finding the classes of finite groups \( {\mathfrak F} \) such that, in any finite group, the product of permutable \( {\mathfrak F} \) -subnormal subgroups is a \( {\mathfrak F} \) -subnormal subgroup. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 512.542
В. Ф. Велесницкий, В. Н. Семенчук (Гомел. гос. ун-т им. Ф. Скорины, Беларусь)
О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ПЕРЕСТАНОВОЧНЫМИ
ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ
We study the Kegel–Shemetkov problem of finding the classes of finite groups F such that, in any finite group, the product
of permutational F-subnormal groups is a F-subnormal subgroup.
Розглянуто проблему Кегеля – Шеметкова про знаходження класiв скiнченних груп F таких, що в будь-якiй скiнчен-
нiй групi добуток переставних F-субнормальних пiдгруп є F-субнормальною пiдгрупою.
Все рассматриваемые в статье группы конечны. Согласно классической теореме Виландта [1],
множество всех субнормальных подгрупп в любой конечной группе образует решетку. Развивая
этот результат, Кегель [2] установил, что множество всех F-достижимых подгрупп в любой ко-
нечной группе образует решетку, если F — наследственная формация, замкнутая относительно
расширения.
В теории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальности
является понятие F-субнормальности(F-достижимости). Напомним эти понятия.
Пусть F — непустая формация. Подгруппу H группы G называют F-субнормальной, если
либо H = G, либо существует максимальная цепь
G = H0 ⊃ H1 ⊃ . . . ⊃ Hn = H
такая, что (Hi−1)
F ⊆ Hi для всех i = 1, 2, . . . , n.
Несколько другое понятие F-субнормальности введено Кегелем в работе [2]. Фактически
оно объединяет понятие субнормальности и F-субнормальности.
ПодгруппуH называют F-субнормальной в смысле Кегеля или F-достижимой, если сущест-
вует цепь подгрупп
G = H0 ⊇ H1 ⊇ . . . ⊇ Hm = H
такая, что для любого i = 1, 2, . . . ,m либо подгруппаHi нормальна вHi−1, либо (Hi−1)
F ⊆ Hi.
В настоящее время F-субнормальные (F-достижимые) подгруппы называют обобщенно
субнормальными подгруппами.
В 1978 году Кегель и Шеметков поставили следующую проблему.
Проблема 1 [2, 3]. Найти классы групп F, обладающие тем свойством, что в любой ко-
нечной группе множество всех обобщенно субнормальных подгрупп образует решетку.
Полное решение проблемы 1 о нахождении наследственных насыщенных формаций F,
обладающих решеточным свойством для F-достижимых (F-субнормальных) подгрупп в клас-
се разрешимых групп, получили Баллестер-Болинше, Дерк и Перец-Рамош в работе [4], а в
произвольном случае Васильев, Каморников, Семенчук [5].
c© В. Ф. ВЕЛЕСНИЦКИЙ, В. Н. СЕМЕНЧУК, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1555
1556 В. Ф. ВЕЛЕСНИЦКИЙ, В. Н. СЕМЕНЧУК
Напомним, что формация F обладает решеточным свойством, если в любой группе G для
любых ее F-субнормальных подгрупп H и K подгруппы 〈H,K〉 и H ∩K F-субнормальны в G.
Если условия порождения F-субнормальных подгрупп заменить более слабым условием —
произведением перестановочных F-субнормальных подгрупп, а также опустить условие насы-
щенности формаций F, то проблема 1 обобщается следующим образом.
Проблема 2. Найти классы групп F такие, что для любой группы G и для любых ее
перестановочных F-субнормальных (F-достижимых) подгруппH иK подгруппаHK F-субнор-
мальна (F-достижима) в G.
В настоящей статье найдены непустые наследственные формации F, удовлетворяющие
условиям, сформулированным в проблеме 2. Доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть F — непустая наследственная сверхрадикальная формация. Тогда для
любой группы G и любых ее перестановочных F-субнормальных подгрупп H и K подгруппа
HK F-субнормальна в G.
В дальнейшем нам потребуются следующие определения и обозначения.
Пусть π — некоторое множество простых чисел, Gπ — класс всех π-групп, S — класс всех
разрешимых групп. Через π′ обозначим дополнение к π во множестве всех простых чисел;
если π = {p}, то вместо π′ будем писать p′.
Если F — класс групп и G — группа, то корадикал GF — пересечение всех нормальных
подгрупп N из G таких, что G/N ∈ F.
Формация — класс групп, замкнутый относительно фактор-групп и подпрямых произве-
дений.
Обозначим через π(F) множество всех простых чисел p, для которых в F имеется нееди-
ничная p-группа.
Формация F называется X-сверхрадикальной, если любая группаG ∈ X такая, чтоG = AB,
где A,B ∈ F и F-субнормальны в G, принадлежит F.
Если X — класс всех групп, то X-сверхрадикальная формация называется сверхрадикальной.
Пусть F и X — непустые формации конечных групп. Напомним, что произведением форма-
ций называется FX = {G | GX ∈ F}.
Если F — класс групп, то группа G называется минимальной не F-группой, если она не
принадлежит F, а любая ее собственная подгруппа принадлежит F. Множество всех таких
минимальных не F-групп обозначается через M(F).
Приведем известные свойства F-субнормальных подгрупп.
Лемма 1. Пусть F — непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие
утверждения:
1) если H — подгруппа группы G и GF ⊆ H, то H — F-субнормальная подгруппа группы G;
2) если H — F-субнормальная подгруппа группы G, то H∩K — F-субнормальная подгруппа
K для любой подгруппы K группы G.
Лемма 2. Пусть F — непустая формация, H и N — подгруппы группы G, причем N
нормальна в G. Тогда:
1) если H F-субнормальна в G, то HN F-субнормальна в G и HN/N F-субнормальна в
G/N ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ПЕРЕСТАНОВОЧНЫМИ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫМИ . . . 1557
2) еслиN ⊆ H,тоH F-субнормальна вGтогда и только тогда, когдаH/N F-субнормальна
в G/N.
Лемма 3 [7]. ПустьW = Zpn−1 oZp иB — база сплетения, p ∈ P, n ∈ N. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1) W содержит субнормальную подгруппу, изоморфную Zpn ;
2) если M = [B,Zp], N =MZp и ω ∈ N \M, то ωp = 1;
3) W = BN, где B и N — нормальные подгруппы W экспоненты pn−1, n ≥ 2.
Лемма 4. Пусть F — непустая наследственная S-сверхрадикальная формация. Тогда
Nπ(F) ⊆ F.
Доказательство. Вначале докажем, что любая примарная минимальная не F-группа явля-
ется циклической. Пусть G ∈ M(F) и G — p-группа. Если G не циклическая, то в G найдутся
две различные максимальные подгруппы M1 и M2. Ясно, что они нормальны в G и G/Mi ∈ F,
Mi ∈ F, i = 1, 2. Отсюда следует, что GF ⊆Mi. Согласно лемме 1 M1, M2 — F-субнормальные
подгруппы группы G. Поскольку G = M1M2 и F — S-сверхрадикальная формация, то G ∈ F,
что невозможно.
Покажем, что Nπ(F) ⊆ F. Предположим противное и пусть G — группа наименьшего по-
рядка из Nπ(F) \ F. Так как Nπ(F) — наследственная формация, то G — минимальная не F-
группа. Покажем, что G — примарная группа. Пусть
∣∣π(G)∣∣ > 1. Поскольку G нильпотентна,
тоG = A×B. Очевидно, чтоG/A ∈ F иG/B ∈ F. Так как F — формация, тоG ' G/A∩B ∈ F,
что невозможно. Итак, G — p-группа. Выше было показано, что G — циклическая p-группа.
Пусть |G| = pn, где n — некоторое фиксированное натуральное число.
Если n = 1, то G — группа простого порядка p. Поскольку G ∈ Nπ(F), где π(F) — характе-
ристика формации F, то G ∈ F, что невозможно.
Пусть n > 1. Рассмотрим группу W = Zpn−1 oZp. Тогда W = BZp, где B — база сплетения.
По лемме 3W содержит подгруппу P, изоморфнуюG. Так как P ∈M(F) и F — наследственная
формация, то W не принадлежит F.
Согласно лемме 3 W = BN, где B и N — нормальные подгруппы группы W экспоненты
pn−1. Заметим, что B ∈ F и N ∈ F. Отсюда следует, что W/B ∈ F и W/N ∈ F. А это значит,
что W F ⊆ B ∩N. Согласно лемме 1 B и N — F-субнормальные подгруппы группы W. Так как
F — S-сверхрадикальная формация, то W ∈ F. Получили противоречие.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1 проведем индукцией по порядку группы G. Пусть A и B —
перестановочные F-субнормальные подгруппы группы G. Обозначим T = AB. Пусть N —
минимальная нормальная подгруппа группы G. Учитывая лемму 2, по индукции получаем,
что TN/N — F-субнормальная подгруппа G/N. По лемме 2 TN — F-субнормальная подгруппа
группы G. Если TN 6= G, то по индукции T — F-субнормальная подгруппа из TN, а это значит,
что T F-субнормальна в G.
Пусть теперь TN = G для любой нормальной подгруппы N группы G. Очевидно, что
TG = 1. Если AF 6= 1, то в силу леммы 1 подгруппа AF F-субнормальна в G. Но тогда по
теореме 7.10 из [3]
1 6= (AF)G = (AF)TN ⊆ T.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1558 В. Ф. ВЕЛЕСНИЦКИЙ, В. Н. СЕМЕНЧУК
А это значит, что TG 6= 1. Получили противоречие. Значит, AF = 1. Аналогичным образом
доказывается, что BF = 1.
Покажем, что AN ∈ F, BN ∈ F. Рассмотрим следующие два случая:
1. Пусть N — абелева подгруппа. Так как N — минимальная нормальная подгруппа группы
G, то N — p-группа. Покажем, что p ∈ π(F). Поскольку AN/N ' A/A ∩ N и A ∈ F, то
AN/N ∈ F. Отсюда (AN)F ⊆ N.
Пусть (AN)F = N. Поскольку A — F-субнормальная подгруппа группы G, то по лемме 1
A — F-субнормальная подгруппа в AN. Так как A ∈ F, то, очевидно, что A — собственная
подгруппа AN. Тогда A ⊆ M, где M — максимальная F-нормальная подгруппа в AN. Ясно,
что (AN)F ⊆ M. Тогда A(AN)F = AN ⊂ M, что невозможно. Итак, (AN)F ⊂ N. Теперь
из того факта, что AN/(AN)F ∈ F и p ∈ π
(
AN/(AN)F
)
, следует, что p ∈ π(F). По лемме 4
Nπ(F) ⊆ F. Отсюда следует, что N ∈ F. Согласно лемме 1 N — F-субнормальная подгруппа
AN. Так как F — сверхрадикальная формация, то AN ∈ F. Аналогичным образом получаем,
что BN ∈ F.
2. Пусть N — неабелева подгруппа. Тогда
N = N1 ×N2 × . . .×Nt
— прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп. Поскольку A ∈ F, то AN/N ∈
∈ F. Отсюда (AN)F ⊆ N. Если (AN)F = N, то AN = (AN)FA. Если A — собственная
подгруппа AN, то A ⊆ M, где M — максимальная F-нормальная подгруппа в AN. Так как
(AN)F ⊆M, то M = AN, что невозможно. Итак, A = AN и AN ∈ F. Пусть теперь (AN)F ⊂
⊂ N. Если (AN)F 6= 1, то
(AN)F = Ni1 ×Ni2 × . . .×Nin .
Так как F — наследственная формация, то N/(AN)F ∈ F. Но тогда нетрудно заметить, что
N ∈ F. Согласно лемме 1 N — F-субнормальная подгруппа AN. Так как F‘— сверхрадикальная
формация, то AN ∈ F. Аналогичным образом получаем, что BN ∈ F. По лемме 2 AN и BN —
F-субнормальные подгруппы группы G. Поскольку F‘— сверхрадикальная формация, то G ∈ F.
Так как F — наследственная формация, то T — F-субнормальная подгруппа группы G.
Теорема доказана.
Обозначим через I некоторое подмножество из N×N. Пусть πi, πj — некоторые множества
простых чисел, а Gπi , Gπj — классы всех πi-групп и πj-групп соответственно. В дальнейшем
мы рассматриваем формации вида
F =
⋂
(i,j)∈I
GπiGπj .
Напомним, что группа G называется p-замкнутой (p-нильпотентной), если ее силовская p-
подгруппа (силовское p-дополнение) нормальна в G. Группа G называется p-разложимой, если
она одновременно p-замкнута и p-нильпотентна. Тогда Gp′Gp — класс всех p-нильпотентных
групп, GpGp′ — класс всех p-замкнутых групп, Gp′Gp
⋂
GpGp′ — класс всех p-разложимых
групп, N =
⋂
Gp′Gp — класс всех нильпотентных групп, где p пробегает все простые числа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ПЕРЕСТАНОВОЧНЫМИ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫМИ . . . 1559
Группа G называется π-нильпотентной (π-разложимой), если она p-нильпотентна (p-раз-
ложима) для любого простого числа p из π. Классы всех π-нильпотентных (π-разложимых)
групп можно записать в виде ⋂
p∈π
Gp′Gp
⋂
p∈π
(
Gp′Gp
⋂
GpGp′
)
.
Группа G называется π-замкнутой, если она имеет нормальную π-холлову подгруппу. Тогда
GπGπ′ — класс всех π-замкнутых групп.
В работе [8] доказано, что формации вида F =
⋂
(i,j)∈I GπiGπj являются сверхрадикаль-
ными.
Таким образом, учитывая теорему 1, получаем следующий результат.
Теорема 2. Пусть F — либо класс всех p-замкнутых групп, либо класс всех p-нильпотент-
ных групп, либо класс всех p-разложимых групп, либо класс всех π-нильпотентных групп, либо
класс всех π-разложимых групп, либо класс всех π-замкнутых групп. Тогда для любой группы
G и для любых ее перестановочных F-субнормальных подгрупп H и K подгруппа HK F-
субнормальна в G.
Нетрудно показать, что полученные результаты также справедливы, если понятие F-субнор-
мальности заменить понятием F-достижимости.
1. Wielandt H. Über den Normalisator der subnormalen Untergruppen // Math. Z. – 1958. – 69, № 8. – S. 463 – 465.
2. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten // Arch. Math. –
1978. – 30, № 3. – S. 225 – 228.
3. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. – М.: Наука, 1978. – 272 с.
4. Ballester-Bolinches A., Döerk К., Perez-Ramos M. D. On the lattice of F-subnormal subgroups // J. Algebra. –
1992. – 148, № 2. – P. 42 – 52.
5. Васильев А. Ф., Каморников С. Ф., Семенчук В. Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные
группы и примыкающие алгебраические системы. – Киев, 1993. – С. 27 – 54.
6. Семенчук В. Н. Разрешимые F-радикальные формации // Мат. заметки. – 1996. – 59, № 2. – С. 261 – 266.
7. Döerk K., Hаwkes T. Finite soluble groups. – Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992. – 891 p.
8. Семенчук В. Н., Шеметков Л. А. Сверхрадикальные формации // Докл. НАН Беларуси. – 2000. – 44, № 5. –
С. 24 – 26.
Получено 20.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2534 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:16Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/13/751ff911e92ec7bdf5127b1bc6054813.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25342020-03-18T19:25:49Z On Finite Groups with Permutable Generalized Subnormal Subgroups О конечных группах с перестановочными обобщенно субнормальными подгруппами Velesnitskii, V. F. Semenchuk, V. N. Велесницкий, В. Ф. Семенчук, В. Н. Велесницкий, В. Ф. Семенчук, В. Н. We study the Kegel–Shemetkov problem of finding the classes of finite groups \( {\mathfrak F} \) such that, in any finite group, the product of permutable \( {\mathfrak F} \) -subnormal subgroups is a \( {\mathfrak F} \) -subnormal subgroup. Розглянуто проблему Кегеля - Шеметкова про знаходження клаив скшченних груп \( {\mathfrak F} \) таких, що в будь-якій скінченнiй групi добуток переставних \( {\mathfrak F} \) -субнормальних пiцгруп є \( {\mathfrak F} \) -субнормальною підгрупою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2534 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 11 (2013); 1555–1559 Український математичний журнал; Том 65 № 11 (2013); 1555–1559 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2534/1828 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2534/1829 Copyright (c) 2013 Velesnitskii V. F.; Semenchuk V. N. |
| spellingShingle | Velesnitskii, V. F. Semenchuk, V. N. Велесницкий, В. Ф. Семенчук, В. Н. Велесницкий, В. Ф. Семенчук, В. Н. On Finite Groups with Permutable Generalized Subnormal Subgroups |
| title | On Finite Groups with Permutable Generalized Subnormal Subgroups |
| title_alt | О конечных группах с перестановочными обобщенно
субнормальными подгруппами |
| title_full | On Finite Groups with Permutable Generalized Subnormal Subgroups |
| title_fullStr | On Finite Groups with Permutable Generalized Subnormal Subgroups |
| title_full_unstemmed | On Finite Groups with Permutable Generalized Subnormal Subgroups |
| title_short | On Finite Groups with Permutable Generalized Subnormal Subgroups |
| title_sort | on finite groups with permutable generalized subnormal subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2534 |
| work_keys_str_mv | AT velesnitskiivf onfinitegroupswithpermutablegeneralizedsubnormalsubgroups AT semenchukvn onfinitegroupswithpermutablegeneralizedsubnormalsubgroups AT velesnickijvf onfinitegroupswithpermutablegeneralizedsubnormalsubgroups AT semenčukvn onfinitegroupswithpermutablegeneralizedsubnormalsubgroups AT velesnickijvf onfinitegroupswithpermutablegeneralizedsubnormalsubgroups AT semenčukvn onfinitegroupswithpermutablegeneralizedsubnormalsubgroups AT velesnitskiivf okonečnyhgruppahsperestanovočnymiobobŝennosubnormalʹnymipodgruppami AT semenchukvn okonečnyhgruppahsperestanovočnymiobobŝennosubnormalʹnymipodgruppami AT velesnickijvf okonečnyhgruppahsperestanovočnymiobobŝennosubnormalʹnymipodgruppami AT semenčukvn okonečnyhgruppahsperestanovočnymiobobŝennosubnormalʹnymipodgruppami AT velesnickijvf okonečnyhgruppahsperestanovočnymiobobŝennosubnormalʹnymipodgruppami AT semenčukvn okonečnyhgruppahsperestanovočnymiobobŝennosubnormalʹnymipodgruppami |