ON the Openness of Functors of k-Nonexpanding and Weakly Additive Functionals
We study the property of openness of the functors for k -nonexpanding and weakly additive functionals. In particular, it is shown that these functors preserve the openness of mappings between finite compact sets but they are not open.
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2536 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508447330533376 |
|---|---|
| author | Karchevs’ka, L. I. Карчевська, Л. І . |
| author_facet | Karchevs’ka, L. I. Карчевська, Л. І . |
| author_sort | Karchevs’ka, L. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:25:49Z |
| description | We study the property of openness of the functors for k -nonexpanding and weakly additive functionals. In particular, it is shown that these functors preserve the openness of mappings between finite compact sets but they are not open. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 515.12
Л. I. Карчевська (Львiв. нац. ун-т iм. Iв. Франка)
ПРО ВIДКРИТIСТЬ ФУНКТОРIВ k-НЕРОЗТЯГУЮЧИХ
ТА СЛАБКОАДИТИВНИХ ФУНКЦIОНАЛIВ
We investigate the property of openness of the functors of k-nonexpanding and weakly additive functionals. In particular,
it is shown that these functors preserve the openness of mappings between finite compact sets, but they are not open.
Исследована открытость функторов k-нерастягивающих и слабоаддитивных функционалов. В частности, установ-
лено, что данные функторы сохраняют открытость отображений между конечными компактами, однако они не
являются открытыми.
Вступ. У рамках загальної теорiї функторiв у категорiї компактiв упродовж останнiх десятилiть
досить детально вивчаються топологiчнi властивостi рiзних функторiв. Зокрема, дослiджуються
питання щодо таких властивостей просторiв вигляду FX, де X ∈ Comp i F — деякий функтор
у категорiї Comp, як бути абсолютним ретрактом, чи бути гомеоморфним тихоновському кубу,
який є одним iз основних об’єктiв у топологiї неметризовних компактiв. Основою дослiдження
згаданих задач є вивчення спектральних властивостей просторiв FX, при якому необхiдними
є як хорошi категорнi властивостi функтора (зазвичай дослiджуванi функтори є близькими
до нормального в сенсi [1]), так i така властивiсть функтора, як збереження ним вiдкритих
вiдображень (вiдкритiсть функтора).
Питання вiдкритостi дослiджувалось для випадку таких вiдомих функторiв, як функтор iмо-
вiрнiсних мiр P, функтори гiперпростору exp, гiперпростору компактних опуклих пiдмножин
cc, гiперпросторiв включення G, функтори, що зберiгають порядок функцiоналiв O, та iнших
(див., наприклад, [2, 4, 6]). Iснують також деякi загальнi результати, що стосуються вiдкритостi
нормальних функторiв [6], випадок слабконормальних функторiв менш вивчений.
У цiй роботi ми дослiджуватимемо вiдкритiсть функторiв слабкоадитивних (EA) та k-
нерозтягуючих (Ek) функцiоналiв, якi мiстять згаданi вище функтори як пiдфунктори, i уза-
гальнимо результат, отриманий у роботi [5].
Означення та основнi факти. Нагадаємо, що Comp позначає категорiю компактних хаус-
дорфових просторiв (компактiв) та неперервних вiдображень мiж ними.
Для довiльного простору X ∈ Comp через C(X) позначимо тихоновський простiр усiх
неперервних дiйснозначних функцiй, надiлений стандартною нормою ‖ϕ‖ = sup
{
|ϕ(x)| | x ∈
∈ X
}
. Ця норма породжує метрику на C(X) : d(ϕ,ψ) = sup ‖ϕ−ψ‖. Також через cX позначимо
сталу функцiю, яка набуває значення c ∈ R у всiх точках простору X.
У цiй роботi ми розглядатимемо функтори k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функцiо-
налiв, якi ми зараз визначимо.
Кажемо, що функцiонал ν : C(X)→ R
зберiгає константи, якщо для довiльного c ∈ R виконується умова ν(cX) = c;
є k-лiпшицевим для деякого k ∈ [1,∞), якщо для двох довiльних функцiй ϕ,ψ ∈ C(X)
виконується умова
∣∣ν(ϕ)− ν(ψ)
∣∣ ≤ k · d(ϕ,ψ);
є слабкоадитивним, якщо для довiльного c ∈ R та довiльної функцiї ϕ ∈ C(X) виконується
умова ν(ϕ+ cX) = ν(ϕ) + c.
c© Л. I. КАРЧЕВСЬКА, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1567
1568 Л. I. КАРЧЕВСЬКА
Нехай X ∈ Comp — довiльний простiр. Тодi для кожного k ∈ [1,∞) через EkX позначимо
множину всiх зберiгаючих константи k-лiпшицевих функцiоналiв (далi просто k-нерозтягуючi
функцiонали), через EAX — множину всiх 1-лiпшицевих (або просто нерозтягуючих) слаб-
коадитивних зберiгаючих константи функцiоналiв (надалi просто слабкоадитивнi функцiона-
ли). Цi множини розглядаємо з топологiєю пiдпростору, iндукованою топологiєю добутку на∏
ϕ∈C(X)
[minϕ,maxϕ]. Можна перевiрити, що утворенi таким чином простори є компактами
для довiльного компакта X.
Нехай F ∈ {Ek,EA}. Розглянемо довiльне вiдображення f : X → Y. Визначимо вiдобра-
ження Ff таким чином. Для довiльних функцiонала ν ∈ FX i функцiї ϕ ∈ C(Y ) покладемо
Ff(ν)(ϕ) = ν(ϕ ◦ f). Визначена таким чином конструкцiя F утворює коварiантний функтор у
категорiї Comp. Бiльш того, отриманий функтор є слабконормальним.
Введемо деякi позначення. Кажемо, що множина B ⊂ C(X) є
C-пiдмножиною в C(X), якщо вона мiстить всi сталi функцiї;
CA-пiдмножиною в C(X), якщо для довiльної функцiї ϕ ∈ B вона мiстить всi функцiї
вигляду ϕ+ cX , де c ∈ R.
Наступнi леми стосуються продовження k-нерозтягуючих та слабкоадитивних функцiоналiв
та є незначним узагальненням аналогiчного твердження для випадку нерозтягуючих функцiо-
налiв, яке було доведено в [3].
Лема 1. Нехай A — C-пiдмножина в C(X), k ∈ [1,∞) — довiльне число i µ0 : A → R —
k-нерозтягуючий функцiонал на A. Тодi iснує k-нерозтягуючий функцiонал µ : C(X) → R
такий, що µ|A = µ0.
Лема 2. Нехай A — CA-пiдмножина в C(X) i µ0 : A → R — слабкоадитивний нероз-
тягуючий функцiонал на A. Iснує слабкоадитивний нерозтягуючий функцiонал µ : C(X) → R
такий, що µ|A = µ0.
Дотримуючись позначень iз [6], через π2(X) для довiльного простору X позначатимемо
дiаграму
X4
pr13
//
pr12
��
X2
pr1
��
X2
pr1
// X
.
Кажемо, що дiаграма
X ′1
g1
//
q1
��
X ′2
q2
��
X ′3
g2
// X ′4
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ПРО ВIДКРИТIСТЬ ФУНКТОРIВ k-НЕРОЗТЯГУЮЧИХ ТА СЛАБКО . . . 1569
є ретрактом дiаграми
X1
f1
//
p1
��
X2
p2
��
X3
f2
// X4
,
якщо для довiльного i = 1, 4 простiр X ′i є ретрактом простору Xi i дiаграми
Xj
fj
//
rj
��
Xj+1
rj+1
��
X ′j
gj
// X ′j+1
Xj
fj
// Xj+1
X ′j
ij
OO
gj
// X ′j+1
ij+1
OO
та
Xj
rj
//
pj
��
X ′j
qj
��
Xj+2
rj+2
// X ′j+2
Xj
pj
��
X ′j
ij
oo
qj
��
Xj+2 X ′j+2
ij+2
oo
,
де j = 1, 2, комутативнi. Через rj : Xj → X ′j позначимо вiдповiднi ретракцiї, через ij : X ′j →
→ Xj , j = 1, 4, — вкладення.
Нагадаємо, що комутативна дiаграма
X
p
//
q
��
Y
f
��
Z
g
// T
називається бiкомутативною, якщо її характеристичне вiдображення χ : X → Y ×T Z =
=
{
(y, z) ∈ Y × Z |f(y) = g(z)
}
, що дiє за правилом χ(x) =
(
p(x), q(x)
)
, є сюр’єктивним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1570 Л. I. КАРЧЕВСЬКА
Лема 3 [5]. Ретракт бiкомутативної дiаграми є бiкомутативним.
Нарештi, нагадаємо, що функтор називається (скiнченно) вiдкритим, якщо вiн зберiгає
вiдкритi вiдображення (мiж скiнченними просторами).
Бiкомутативнiсть та вiдкритiсть функторiв Ek та EA. Наступне твердження можна до-
вести за допомогою тих самих мiркувань, що i у випадку вiдповiдного твердження з роботи [5].
Теорема 1. Функтори Ek та EA скiнченно вiдкритi.
Далi ми використовуватимемо ту ж саму схему, що i в роботi [5]. Ми покажемо, що функ-
тори, якi ми розглядаємо, не зберiгають бiкомутативнiсть певних дiаграм, i використаємо цей
факт, щоб довести, що вони не вiдкритi.
Почнемо з випадку функторiв Ek.
Лема 4. Функцiонал λ : C(X)→ R, де X ∈ Comp, заданий умовами
λ(ϕ) =
minϕ(X), ϕ(X) ≥ 0,
maxϕ(X), ϕ(X) ≤ 0,
0, 0 ∈ [minϕ, maxϕ],
де ϕ ∈ C(X) — довiльна функцiя, є 1-нерозтягуючим.
Доведення. Легко бачити, що функцiонал λ задано коректно.
Покажемо тепер, що λ є 1-нерозтягуючим функцiоналом. Розглянемо наступнi випадки:
1. Функцiї f, g ∈ C(X) такi, що f ≥ 0 i g ≥ 0. Тодi згiдно з означенням функцiонала λ∣∣λ(f)−λ(g)
∣∣ = |min f−min g|.Нехай min f = f(xf ),min g = g(xg), xf , xg ∈ X.Не зменшуючи
загальностi припустимо, що f(xf ) ≥ g(xg). Тодi маємо
∣∣λ(f) − λ(g)
∣∣ = f(xf ) − g(xg) ≤
≤ f(xg)− g(xg) ≤ d(f, g).
Випадок функцiй f, g таких, що f ≤ 0, g ≤ 0, аналогiчний розглянутому.
2. Функцiї f, g ∈ C(X) такi, що 0 ∈ [min f,max f ]∩ [min g,max g]. В цьому випадку маємо∣∣λ(f)− λ(g)
∣∣ = 0 ≤ d(f, g).
3. Функцiї f, g ∈ C(X) такi, що f ≤ 0, g ≥ 0. Тодi виконується умова
∣∣λ(f) − λ(g)
∣∣ =
= |max f −min g| ≤
∣∣f(x)− g(x)
∣∣ для довiльної точки x ∈ X i тому
∣∣λ(f)− λ(g)
∣∣ ≤ d(f, g).
4. Функцiї f, g ∈ C(X) такi, що f ≤ 0 i 0 ∈ [min g,max g]. Припустимо, що max f = f(x0),
x0 ∈ X. Виберемо точку x ∈ X таку, що g(x) ≥ 0. Тодi маємо
∣∣λ(f) − λ(g)
∣∣ =
∣∣f(x0)
∣∣ ≤
≤
∣∣f(x)− g(x)
∣∣ ≤ d(f, g).
Випадок f, g ∈ C(X) таких, що f ≥ 0 i 0 ∈ [min g,max g], аналогiчний розглянутому.
Лему доведено.
Через X = {a, b, c, d} позначимо дискретний чотириточковий простiр.
Теорема 2. Дiаграма Ek
(
π2(X)
)
, k ∈ [1,∞), не бiкомутативна.
Доведення. Введемо позначення
T =
{
f ◦ pr1 | f ∈ C(X)
}
i виберемо функцiї ϕ,ψ ∈ C(X2) \ T, визначенi таким чином:
ϕ
(
{a} × {a, c}
)
= {−k}, ϕ
(
{a} × {b, d}
)
= {−k + 2}, ϕ
(
{b} ×X
)
= {−k + 1},
ϕ
(
{c} × {a, c}
)
= {k}, ϕ
(
{c} × {b, d}
)
= {k − 2}, ϕ
(
{d} ×X
)
= {k − 1}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ПРО ВIДКРИТIСТЬ ФУНКТОРIВ k-НЕРОЗТЯГУЮЧИХ ТА СЛАБКО . . . 1571
i
ψ
(
{a} ×X
)
= {−k + 1}, ψ
(
{b} × {a, c}
)
= {−k}, ψ
(
{b} × {b, d}
)
= {−k + 2},
ψ
(
{c} ×X
)
= {k − 1}, ψ
(
{d} × {a, c}
)
= {k}, ψ
(
{d} × {b, d}
)
= {k − 2}.
Для вибраних функцiй виконується рiвнiсть
d(ϕ ◦ pr12, ψ ◦ pr13) = 1.
Нехай λ ∈ E1(X) — функцiонал з леми 4.
Позначимо Tµ = {ϕ} ∪ T, Tν = {ψ} ∪ T. Визначимо функцiонали µ : Tµ → R та ν : Tν → R
наступними умовами: для довiльної функцiї φ = f ◦ pr1 ∈ T покладемо
µ(φ) = ν(φ) = λ(f)
та
µ(ϕ) = k, ν(ψ) = −k.
Тодi функцiонали µ та ν є k-нерозтягуючими на вiдповiдних множинах Tµ та Tν .
Справдi, перевiримо це твердження для функцiонала µ. Розглянемо довiльну функцiю f ∈
∈ C(X). Маємо
d(ϕ, f ◦ pr1) =
= max
{∣∣f(a) + k
∣∣, ∣∣f(a) + k − 2
∣∣, ∣∣f(b) + k − 1
∣∣, ∣∣f(c)− k
∣∣, ∣∣f(c)− k + 2
∣∣, ∣∣f(d)− k + 1
∣∣}.
Нехай виконується умова f ≥ 0. Тодi∣∣µ(ϕ)− µ(f ◦ pr1)
∣∣ =
∣∣k − λ(f)
∣∣ ≤ ∣∣f(a) + k
∣∣ ≤ d(ϕ, f ◦ pr1).
Подiбним чином можна показати правильнiсть твердження при умовi f ≤ 0. Розглянемо нареш-
тi останнiй випадок, коли 0 ∈ [min f,max f ]. Маємо∣∣µ(ϕ)− µ(f ◦ pr1)
∣∣ = |k − 0| = k,
але d(ϕ, f ◦ pr1) ≥ 1, отже,∣∣µ(ϕ)− µ(f ◦ pr1)
∣∣ = k ≤ k · d(ϕ, f ◦ pr1).
Так само перевiряється i той факт, що ν є k-нерозтягуючим функцiоналом.
Тепер продовжимо побудованi функцiонали до k-нерозтягуючих функцiоналiв µ0, ν0 на
всьому просторi C(X2) (це можна зробити вiдповiдно до леми 1). Легко бачити, що не iснує
функцiонала V ∈ Ek(X
4) з властивостями Ek(pr12)(V ) = µ0, Ek(pr13)(V ) = ν0, оскiльки
виконується умова ∣∣µ0(ϕ)− ν0(ψ)
∣∣ = 2k > k = k · d(ϕ ◦ pr12, ψ ◦ pr13).
Теорему доведено.
Позначимо через D = {0, 1} двоточковий дискретний простiр.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1572 Л. I. КАРЧЕВСЬКА
Теорема 3. Дiаграма EA
(
π2(D)
)
не бiкомутативна.
Доведення. Визначимо функцiонал λ ∈ EA(D) умовою
λ(f) = min
{
f(0), f(1)
}
,
де f ∈ C(D). Позначимо
A =
{
f ◦ pr1 | f ∈ C(D)
}
⊂ C(D2).
Визначимо функцiї ϕ, ψ ∈ C(D2) таким чином:
ϕ : (0, 0) 7→ 2, (0, 1) 7→ 2, (1, 0) 7→ −2, (1, 1) 7→ 0
i
ψ : (0, 0) 7→ 0, (0, 1) 7→ 2, (1, 0) 7→ −2, (1, 1) 7→ −2.
Зрозумiло, що функцiї ϕ та ψ не мiстяться у множинi A.
Визначимо функцiонали ν, µ на множинах A ∪ {ϕ} та A ∪ {ψ} вiдповiдно наступними
умовами:
ν(f ◦ pr1) = µ(f ◦ pr1) = λ(f), ν(ϕ) = 2, µ(ψ) = −2.
Покажемо, що введенi функцiонали є нерозтягуючими.
Розглянемо функцiонал ν на множинi A∪{ϕ}. Вiзьмемо довiльну функцiю f ∈ C(D). Тодi
вiдстань мiж функцiями f ◦ pr1 та ϕ обчислюється за формулою
d(f ◦ pr1, ϕ) = max
{
|2− f(0)|, |2 + f(1)|, |f(1)|
}
.
Позначимо
a =
∣∣ν(f ◦ pr1)− ν(ϕ)
∣∣ =
∣∣2−min{f(0), f(1)}
∣∣.
Припустимо, що min
{
f(0), f(1)
}
= f(0). Тодi нерiвнiсть a ≤ d(f ◦ pr1, ϕ) є очевидною.
Припустимо, що виконується умова min
{
f(0), f(1)
}
= f(1). Тут потрiбно розглянути два
випадки. По-перше, якщо має мiсце нерiвнiсть f(1) < 0, то виконується i нерiвнiсть
∣∣f(1)
∣∣ ≥ a,
i в цьому випадку нерiвнiсть a ≤ d(f ◦ pr1, ϕ) справджується. У випадку, коли виконується
умова f(1) ≥ 0, маємо
∣∣f(1)+2
∣∣ ≥ ∣∣f(1)−2
∣∣, i нерiвнiсть a ≤ d(f ◦pr1, ϕ) знову справджується.
Тепер покажемо, що функцiонал µ є нерозтягуючим на A∪{ψ}. Вiзьмемо довiльну функцiю
f ∈ C(D). Тодi
d(f ◦ pr1, ψ) = max
{
|f(0)|, |2− f(0)|, |f(1) + 2|
}
.
Введемо позначення
b =
∣∣µ(f ◦ pr1)− µ(ψ)
∣∣ =
∣∣2 + min
{
f(0), f(1)
}∣∣.
Спочатку припустимо, що виконується умова min
{
f(0), f(1)
}
= f(0). Тодi у випадку f(0) ≥ 0
маємо нерiвнiсть f(1) ≥ 0, i тому∣∣f(1) + 2
∣∣ ≥ ∣∣2 + f(0)
∣∣ = b.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
ПРО ВIДКРИТIСТЬ ФУНКТОРIВ k-НЕРОЗТЯГУЮЧИХ ТА СЛАБКО . . . 1573
Якщо виконується умова f(0) < 0, то∣∣2− f(0)
∣∣ ≥ ∣∣2 + f(0)
∣∣ = b.
Нарештi, у випадку min
{
f(0), f(1)
}
= f(1) нерiвнiсть b ≤ d(f ◦ pr1, ψ) є очевидною.
Ми можемо продовжити функцiонали ν та µ на весь простiр C(D2) до слабкоадитивних
функцiоналiв ν0, µ0 згiдно з лемою 2. Тодi
∣∣ν0(ϕ) − µ0(ψ)
∣∣ = 4, в той час як d(ϕ ◦ pr12, ψ ◦
◦ pr13) = 2, отже, не iснує функцiонала Θ ∈ EA(D4), який має властивiсть EA(pr12)(Θ) = ν0 i
EA(pr13)(Θ) = µ0.
Теорему доведено.
Нагадаємо, що функтор F називаеється бiкомутативним, якщо вiн зберiгає бiкомутативнi
дiаграми.
Наслiдок 1. Функтори Ek, k ∈ [1,∞), та EA не бiкомутативнi.
Вiдомо, що у випадку нормального функтора з його вiдкритостi випливає бiкомутативнiсть
[6]. У випадку слабконормального функтора має мiсце наступна слабша умова.
Теорема 4. Якщо слабконормальний функтор F вiдкритий, то для довiльного метричного
компакта X дiаграма F
(
π2(X)
)
є бiкомутативною.
Доведення. Нехай A — множина всiх граничних ординалiв потужностi ω. Для кожного
α ∈ A позначимо через Aα множину ординалiв, менших за α.
Розглянемо σ-спектр S = {XAα ,prαβ ;α > β, α, β ∈ A}. Через prαβ позначимо природне
проектування XAα → XAβ . Зауважимо, що в даному випадку воно гомеоморфне проек-
туванню Xω × Xω → Xω. Границею цього спектра є простiр Xω1 . Розглянемо морфiзм
Ψ =
(
idA, {pα1 }α∈A
)
мiж спектрами S × S =
{
XAα × XAα ,prαβ × prαβ ;α, β ∈ A
}
та S (тут
pα1 : XAα × XAα → XAα позначає проекцiю на перший спiвмножник). Його границею є вiд-
крите вiдображення проектування pr1 : Xω1 × Xω1 → Xω1 . Квадратнi дiаграми, паралельнi
граничному вiдображенню цього морфiзму, мають вигляд
XAα ×XAα
prαβ×pr
α
β
//
pα1
��
XAβ ×XAβ
pβ1
��
XAα
prαβ
// XAβ
або
XAβ ×XAα\Aβ ×XAβ ×XAα\Aβ
pr13
//
pr12
��
XAβ ×XAβ
pr1
��
XAβ ×XAα\Aβ
pr1
// XAβ
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1574 Л. I. КАРЧЕВСЬКА
Остання дiаграма гомеоморфна дiаграмi π2(Xω).
Оскiльки функтор F вiдкритий, вiдображення Fpr1 теж вiдкрите, i тому (див. [1], теорема 17)
морфiзм FΨ =
(
idA, {F (pα1 )}α∈A
)
мiж спектрами F (S × S) та F (S) мiстить бiкомутативний
пiдморфiзм, при цьому його квадратнi дiаграми, паралельнi граничному вiдображенню, гомео-
морфнi дiаграмi F
(
π2(Xω)
)
. Тому дiаграма F
(
π2(Xω)
)
бiкомутативна.
Дiаграма F(π2(X)) є ретрактом дiаграми F(π2(Xω)). Справдi, таку властивiсть щодо дiагра-
ми π2(Xω) має дiаграма π2(X), при цьому ретракцiї вiдповiдних просторiв — це вiдображення
проектування pr1 : Xω → X на перший спiвмножник та вiдповiднi степенi цього вiдображення(
(pr1)
4 : (Xω)4 → X4 i (pr1)
2 : (Xω)2 → X2
)
. Вiдповiднi вкладення реалiзуються вiдображен-
ням i : X ↪→ Xω, i(x) = (x, x0, x0, . . .) та його вiдповiдними степенями, де x0 ∈ X — фiксована
точка. Також F, будучи слабконормальним, зберiгає тотожнi вiдображення i вкладення, тому
вiн зберiгає властивiсть дiаграми бути ретрактом iншої дiаграми.
Отже, дiаграма F
(
π2(X)
)
повинна бути бiкомутативною.
Теорему доведено.
Iз теорем 2 i 3, а також теореми 4 випливає наступне твердження.
Наслiдок 2. Функтори Ek, де k ∈ [1,∞), та EA не вiдкритi.
1. Щепин Е. В. Функторы и несчетные степени компактов // Успехи мат. наук. – 1981. – 36. – C. 3 – 62.
2. Bazylevych L., Repovš D., Zarichnyi M. Hyperspace of convex compacta of nonmetrizable compact convex subspaces
of locally convex spaces // Topology and its Appl. – 2008. – 155. – P. 764 – 772.
3. Camargo J. The functor of nonexpanding functionals // Rev. Integr. Temas Mat. – 2002. – 20. – P. 1 – 12.
4. Ditor S., Eifler L. Some open mapping theorems for measures // Trans. Amer. Math. Soc. – 1972. – 164. – P. 287 – 293.
5. Karchevska L., Radul T. Some properties of the functor of non-expanding functionals // Mat. Stud. – 2009. – 31. –
P. 135 – 141.
6. Teleiko A., Zarichnyi M. Categorical topology of compact Hausdorff spaces. – Lviv: VNTL Publ., 1999.
Одержано 18.05.12,
пiсля доопрацювання — 08.07.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2536 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:21Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c6/05ff5c87ea6dbb3f4f86b4af6cf0cdc6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25362020-03-18T19:25:49Z ON the Openness of Functors of k-Nonexpanding and Weakly Additive Functionals Про відкритість функторів k -нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів Karchevs’ka, L. I. Карчевська, Л. І . We study the property of openness of the functors for k -nonexpanding and weakly additive functionals. In particular, it is shown that these functors preserve the openness of mappings between finite compact sets but they are not open. Исследована открытость функторов k-нерастягивающих и слабоаддитивных функционалов. В частности, установлено, что данные функторы сохраняют открытость отображений между конечными компактами, однако они не являются открытыми. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2536 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 11 (2013); 1567–1574 Український математичний журнал; Том 65 № 11 (2013); 1567–1574 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2536/1832 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2536/1833 Copyright (c) 2013 Karchevs’ka L. I. |
| spellingShingle | Karchevs’ka, L. I. Карчевська, Л. І . ON the Openness of Functors of k-Nonexpanding and Weakly Additive Functionals |
| title | ON the Openness of Functors of k-Nonexpanding and Weakly Additive Functionals |
| title_alt | Про відкритість функторів k -нерозтягуючих та слабкоадитивних функціоналів |
| title_full | ON the Openness of Functors of k-Nonexpanding and Weakly Additive Functionals |
| title_fullStr | ON the Openness of Functors of k-Nonexpanding and Weakly Additive Functionals |
| title_full_unstemmed | ON the Openness of Functors of k-Nonexpanding and Weakly Additive Functionals |
| title_short | ON the Openness of Functors of k-Nonexpanding and Weakly Additive Functionals |
| title_sort | on the openness of functors of k-nonexpanding and weakly additive functionals |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2536 |
| work_keys_str_mv | AT karchevskali ontheopennessoffunctorsofknonexpandingandweaklyadditivefunctionals AT karčevsʹkalí ontheopennessoffunctorsofknonexpandingandweaklyadditivefunctionals AT karchevskali provídkritístʹfunktorívkneroztâguûčihtaslabkoaditivnihfunkcíonalív AT karčevsʹkalí provídkritístʹfunktorívkneroztâguûčihtaslabkoaditivnihfunkcíonalív |