Asymptotic Behavior of a Counting Process in the Maximum scheme
We determine the exact asymptotic behavior of the logarithm of a counting process in the maximum scheme.
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2537 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508446769545216 |
|---|---|
| author | Matsak, I. K. Мацак, І. К. |
| author_facet | Matsak, I. K. Мацак, І. К. |
| author_sort | Matsak, I. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:25:49Z |
| description | We determine the exact asymptotic behavior of the logarithm of a counting process in the maximum scheme. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
I. K. Mацак (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЛIЧИЛЬНОГО ПРОЦЕСУ
У СХЕМI МАКСИМУМУ
We establish the exact asymptotic behavior of the logarithm of counting process in the max-scheme.
Получена точная асимптотика логарифма считающего процесса в схеме максимума.
Розглянемо послiдовнiсть (ξn), n ≥ 1, незалежних однаково розподiлених випадкових величин
(н. о. р. в. в.) з функцiєю розподiлу F (x) = P(ξn < x). Нехай
zn = max
1≤i≤n
ξi, N(t) = min(n ≥ 1: zn ≥ t).
За аналогiєю з теорiєю вiдновлення процес N(t) будемо називати лiчильним процесом для
послiдовностi (zn). Неважко зрозумiти, що процес N(t) має в кожнiй точцi геометричний
розподiл
P
(
N(t) = k
)
= q(1− q)k−1, k = 1, 2, . . . , q = 1− F (t).
Вiдомо, що вiн має незалежнi прирости. Цей процес вивчався у роботах [1 – 3], де можна знайти
деякi iншi властивостi лiчильного процесу у схемi максимуму.
Досить повний огляд результатiв та методiв дослiдження узагальнених лiчильних процесiв
( чи узагальнених процесiв вiдновлення) наведено у монографiї [4].
У данiй роботi встановлено одне твердження типу закону повторного логарифма (ЗПЛ) для
лiчильного процесу у схемi максимуму. Зрозумiло, що цей результат тiсно пов’язаний iз ЗПЛ
для схеми максимуму.
ЗПЛ для сум незалежних випадкових величин (н. в. в.) Бернуллi вперше встановлений Хiн-
чиним [5]. У подальшому ЗПЛ для сум довiльних н. в. в. iнтенсивно дослiджувався (див., на-
приклад, [6]).
Для схеми максимуму ЗПЛ вивчався у роботах [7 – 11]. Наведемо один iз основних резуль-
татiв по цiй тематицi (див. [9]).
Нехай F має додатну похiдну F ′(x) для всiх достатньо великих x i функцiї f(x) та g(x)
визначено рiвностями
f(x) =
1− F (x)
F ′(x)
, g(x) = f(x) ln ln
{
1
1− F (x)
}
.
Якщо
lim
t→∞
g′(t) = 0, (1)
то виконується наступний ЗПЛ для схеми максимуму: майже напевно (м. н.)
lim sup
n→∞
zn − an
f(an) ln lnn
= 1, (2)
c© I. K. MАЦАК, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11 1575
1576 I. K. MАЦАК
lim inf
n→∞
zn − an
f(an) ln lnn
= 0, (3)
де
an = F−1
(
1− 1
n
)
, F−1(y) = inf {x : F (x) ≥ y} — функцiя, обернена до F (x).
Покладемемо
R(x) = − ln
(
1− F (x)
)
або F (x) = 1− exp
(
−R(x)
)
.
Нещодавно у роботi [11] при умовi, що хоча б одна iз функцiй f(x) та h(x) = f
(
R−1(x)
)
правильно змiнюється, рiвнiсть (3) було посилено таким чином:
lim inf
n→∞
zn − an
f(an) ln ln lnn
= −1. (4)
Наша мета полягає в тому, щоб, ґрунтуючись на рiвностях типу (2) – (4), дослiдити асимптотич-
ну поведiнку лiчильного процесу.
Сформулюємо основний результат даної роботи.
Теорема. Нехай функцiя розподiлу F (x) є неперервною, строго монотонно зростаючою i
для всiх x ∈ R F (x) < 1 . Тодi м. н.
lim sup
t→∞
lnN(t)−R(t)
ln lnR(t)
= 1, (5)
lim inf
t→∞
lnN(t)−R(t)
lnR(t)
= −1. (6)
Доведення. Спочатку розглянемо випадок F (x) = 1− exp(−x), x > 0. Для цього випадку
рiвностi (5), (6) запишуться так: м. н.
lim sup
t→∞
lnN(t)− t
ln ln t
= 1, (7)
lim inf
t→∞
lnN(t)− t
ln t
= −1. (8)
При доведеннi рiвностей (7), (8) нам знадобиться допомiжне твердження, встановлене в робо-
тi [11].
Лема. Нехай (ξi) — послiдовнiсть н. в. в. з функцiєю розподiлу F (x) = 1− exp(−x), x > 0.
Тодi м. н.
lim sup
n→∞
zn − lnn
ln lnn
= 1, (9)
lim inf
n→∞
zn − lnn
ln ln lnn
= −1. (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЛIЧИЛЬНОГО ПРОЦЕСУ У СХЕМI МАКСИМУМУ 1577
Почнемо iз доведення рiвностi (8). Вона буде встановлена, якщо покажемо, що для будь-
якого досить малого ε > 0
P
(
lim inf
t→∞
lnN(t)− t
ln t
≤ −1 + ε
)
= 1, (11)
P
(
lim inf
t→∞
lnN(t)− t
ln t
≤ −1− ε
)
= 0. (12)
Введемо позначення {
g1(t) ≤ g2(t), н. ч. р., t ↑ ∞
}
,
яке означає, що iснує послiдовнiсть (tn), tn ↑ ∞, для якої g1(tn) ≤ g2(tn) ∀ n ≥ 1.
Покладемо
A(c) =
{
lnN(t)− t
ln t
≤ c, н. ч. р., t ↑ ∞
}
.
Нехай δ > 0. Тодi
A(c− δ) ⊂
{
lim inf
t→∞
lnN(t)− t
ln t
≤ c
}
⊂ A(c+ δ).
Тому рiвностi (11), (12) виконуються для будь-якого ε > 0 тодi i тiльки тодi, коли
P
(
A(−1 + ε)
)
= 1 ∀ε > 0, (13)
P
(
A(−1− ε)
)
= 0 ∀ε > 0. (14)
Зрозумiло, що
A(−1 + ε) =
{
lnN(t) ≤ t+ (−1 + ε) ln t, н. ч. р., t ↑ ∞
}
=
=
{
N(t) ≤ r̂(t), н. ч. р., t ↑ ∞
}
,
де r̂(t) = exp
(
t+ (−1 + ε) ln t
)
.
Нехай r = r(t) =
[
r̂(t)
]
— цiла частина числа r̂(t). Оскiльки{
N(t) ≤ r̂(t)
}
=
{
N(t) ≤ r(t)
}
,
а для цiлого r {
N(t) ≤ r
}
= {Zr ≥ t},
то
A(−1 + ε) =
{
N(t) ≤ r(t), н. ч. р., t ↑ ∞
}
=
=
{
Zr(t) ≥ t, н. ч. р., t ↑ ∞
}
=
=
{
Zr(t) − ln r(t)
ln ln r(t)
≥ t− ln r(t)
ln ln r(t)
, н. ч. р., t ↑ ∞
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
1578 I. K. MАЦАК
Неважко бачити, що при t→∞
ln r(t) = t+ (−1 + ε) ln t+ o(1),
ln ln r(t) = ln t+ o(1).
Тому
t− ln r(t)
ln ln r(t)
= 1− ε+ o(1), t→∞,
а отже,
A(−1 + ε) =
{
Zr(t) − ln r(t)
ln ln r(t)
≥ 1− ε+ o(1), н. ч. р., t ↑ ∞
}
.
Якщо t змiнюється вiд 1 до ∞, то r(t) пробiгає всi натуральнi числа бiльшi за 1. Звiдси та з
рiвностi (9) випливає (13).
Застосовуючи подiбнi мiркування до подiї A(−1− ε), одержуємо
A(−1− ε) =
{
Zr(t) − ln r(t)
ln ln r(t)
≥ 1 + ε+ o(1), н. ч. р., t ↑ ∞
}
.
Так само, як i вище, звiдси та з (9) маємо рiвнiсть (14).
Перейдемо до доведення рiвностi (7). За аналогiєю з A(c) введемо подiю
B(c) =
{
lnN(t)− t
ln ln t
> c, н. ч. р., t ↑ ∞
}
.
Тодi для 1 > ε > 0 маємо
B(1− ε) =
{
N(t) > m̂(t), н. ч. р., t ↑ ∞
}
,
де m̂(t) = exp
(
t+ (1− ε) ln ln t
)
.
Нехай m = m(t) =
[
m̂(t)
]
. Далi, скориставшись рiвностями{
N(t) > m̂(t)
}
=
{
N(t) > m(t)
}
та
{N(t) > m} = {Zm < t},
запишемо подiю B(1− ε) таким чином:
B(1− ε) =
{
N(t) > m(t), н. ч. р., t ↑ ∞
}
=
= {Zm(t) < t, н. ч. р., t ↑ ∞} =
=
{
Zm(t) − lnm(t)
ln ln lnm(t)
<
t− lnm(t)
ln ln lnm(t)
, н. ч. р., t ↑ ∞
}
. (15)
Оскiльки при t→∞
lnm(t) = t+ (1− ε) ln ln t+ o(1),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДIНКА ЛIЧИЛЬНОГО ПРОЦЕСУ У СХЕМI МАКСИМУМУ 1579
ln ln lnm(t) = ln ln t+ o(1),
то
t− lnm(t)
ln ln lnm(t)
= −1 + ε+ o(1).
Звiдси та з рiвностей (15) маємо
B(1− ε) =
{
Zm(t) − lnm(t)
ln ln lnm(t)
< −1 + ε+ o(1), н. ч. р., t ↑ ∞
}
.
Iз останнього зображення та спiввiдношення (10) отримуємо
P
(
B(1− ε)
)
= 1 ∀ε > 0,
а отже,
P
(
lim sup
t→∞
lnN(t)− t
ln ln t
> 1− ε
)
= 1 ∀ε > 0. (16)
Так само, ґрунтуючись на спiввiдношеннi (10), доводимо рiвностi
P
(
lim sup
t→∞
lnN(t)− t
ln ln t
> 1 + ε
)
= P
(
B(1 + ε)
)
= 0 ∀ε > 0. (17)
Iз (16), (17) одержуємо (7).
Перехiд вiд рiвностей (7), (8) до загального випадку зробити неважко. Дiйсно, вiдомо (див.,
наприклад, [9]), що в умовах теореми 1 в. в. τ ei = R(ξi), i ≥ 1, мають стандартний експонен-
цiальний розподiл, P(τ ei < x) = 1− exp(−x) . Нехай
zen = max
1≤i≤n
τ ei , N e(t) = min(n ≥ 1: zen ≥ t).
Тодi
N(t) = min(n ≥ 1: zn ≥ t) = min
(
n ≥ 1: R(zn) ≥ R(t)
)
=
= min
(
n ≥ 1: zen ≥ R(t)
)
= N e
(
R(t)
)
.
Звiдси та з (7), (8) вже безпосередньо випливають рiвностi (5), (6).
Терему доведено.
1. Resnick S. I. Invers of extremal processes // Adv. Appl. Probab. – 1974. – 6, № 2. – P. 392 – 406.
2. Shorrock R. V. On discrete time extremal processes // Adv. Appl. Probab. – 1974. – 6, № 3. – P. 580 – 592.
3. Resnick S. I. Extreme values, regular variation and point processes. – Berlin: Springer, 1987. – 320 p.
4. Булдигiн В. В., Iндлекофер К. Х., Клесов О. I., Штайнебах Й. Г. Псевдорегулярнi функцiї та узагальненi
процеси вiдновлення. – Київ: ТВiМС, 2012. – 441 с.
5. Khintchin A. Uber einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Fund. math. – 1924. – 6, № 1. – P. 9 – 12.
6. Петров B. B. Суммы независимых случайных величин. – М.: Наука, 1972. – 416 с.
7. Pickands J. Sample sequences of maxima // Ann. Math. Statist. – 1967. – 38, № 5. – P. 1570 – 1574.
8. Pickands J. An iterated logarithm law for the maximum in a stationary Gaussian sequence // Z. Wahrscheinlich-
keitstheor. und verw. Geb. – 1969. – 12, № 3. – S. 344 – 355.
9. De Haan L., Hordijk A. The rate of growth of sample maxima // Ann. Math. Statist. – 1972. – 43. – P. 1185 – 1196.
10. de Haan L., Ferreira A. Extreme values theory: an introduction. – Berlin: Springer, 2006.
11. Акбаш К. С., Мацак I. К. Одне уточнення закону повторного логарифма для схеми максимуму // Укр. мат.
журн. – 2012. – 64, № 8. – C. 1132 – 1137.
Одержано 22.11.12,
пiсля доопрацювання — 18.03.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-2537 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:21Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/82/e4198bc84756c2935139d1c7ff0dd382.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25372020-03-18T19:25:49Z Asymptotic Behavior of a Counting Process in the Maximum scheme Асимптотична поведінка лічильного процесу у схемі максимуму Matsak, I. K. Мацак, І. К. We determine the exact asymptotic behavior of the logarithm of a counting process in the maximum scheme. Получена точная асимптотика логарифма считающего процесса в схеме максимума. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2537 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 11 (2013); 1575–1579 Український математичний журнал; Том 65 № 11 (2013); 1575–1579 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2537/1834 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2537/1835 Copyright (c) 2013 Matsak I. K. |
| spellingShingle | Matsak, I. K. Мацак, І. К. Asymptotic Behavior of a Counting Process in the Maximum scheme |
| title | Asymptotic Behavior of a Counting Process in the Maximum scheme |
| title_alt | Асимптотична поведінка лічильного процесу у схемі максимуму |
| title_full | Asymptotic Behavior of a Counting Process in the Maximum scheme |
| title_fullStr | Asymptotic Behavior of a Counting Process in the Maximum scheme |
| title_full_unstemmed | Asymptotic Behavior of a Counting Process in the Maximum scheme |
| title_short | Asymptotic Behavior of a Counting Process in the Maximum scheme |
| title_sort | asymptotic behavior of a counting process in the maximum scheme |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2537 |
| work_keys_str_mv | AT matsakik asymptoticbehaviorofacountingprocessinthemaximumscheme AT macakík asymptoticbehaviorofacountingprocessinthemaximumscheme AT matsakik asimptotičnapovedínkalíčilʹnogoprocesuushemímaksimumu AT macakík asimptotičnapovedínkalíčilʹnogoprocesuushemímaksimumu |