Derivations and Identities for Kravchuk Polynomials
We introduce the notion of Kravchuk derivations of the polynomial algebra. It is proved that any element of the kernel of a derivation of this kind gives a polynomial identity satisfied by the Kravchuk polynomials. In addition, we determine the explicit form of isomorphisms mapping the kernel of the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2539 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508447338921984 |
|---|---|
| author | Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. |
| author_facet | Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. |
| author_sort | Bedratyuk, L. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:26:06Z |
| description | We introduce the notion of Kravchuk derivations of the polynomial algebra. It is proved that any element of the kernel of a derivation of this kind gives a polynomial identity satisfied by the Kravchuk polynomials. In addition, we determine the explicit form of isomorphisms mapping the kernel of the basicWeitzenb¨ock derivation onto the kernels of Kravchuk derivations. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.745, 512.815.4, 519.114
Л. П. Бедратюк (Хмельниц. нац. ун-т)
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ КРАВЧУКА
We introduce the notions of Kravchuk derivations of the polynomial algebra. It is proved that any element of the kernel
of these derivations gives a polynomial identity satisfied by the Kravchuk polynomials. In addition, we prove that any
kernel element of basic Weitzenbök derivations yields a polynomial identity satisfied by the Kravchuk polynomials. The
corresponding intertwining maps are described.
Введены понятия дифференцирований Кравчука алгебры многочленов. Доказано, что произвольный элемент ядра
такого дифференцирования определяет некоторое полиномиальное тождество для многочленов Кравчука. Также
найдены в явном виде изоморфизмы, отображающие ядро базисного дифференцирования Вейтценбека в ядра
дифференцирований Кравчука.
1. Вступ. У роботi [6] Михайло Кравчук увiв систему ортогональних многочленiв
{
Kn(x, a), n =
= 0, 1, . . .
}
, якi визначаються формулою
Kn(x, a) :=
n∑
i=0
(−1)i
(
x
i
)(
a− x
n− i
)
i мають звичайну породжуючу функцiю
∞∑
i=0
Ki(x, a)z
i = (1 + z)a
(
1− z
1 + z
)x
.
Цi многочлени знайшли багато застосувань у рiзних областях математики i отримали назву
(бiнарних) многочленiв Кравчука [2, 3].
Мета цiєї роботи полягає в знаходженнi полiномiальних тотожностей для цих многочленiв,
тобто тотожностей спецiального вигляду
P
(
K0(x, a),K1(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
= ϕ1(a),
або
P
(
K0(x, a),K1(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
= ϕ2(x),
де P (x0, x1, . . . , xn) — многочлен вiд (n + 1)-ї змiнної, а ϕ1(a) та ϕ2(x) — деякi многочлени
вiд однiєї змiнної. Ми пропонуємо загальний метод для знаходження таких тотожностей, який
випливає iз наступного простого спостереження: якщо частинна похiдна по x дорiвнює нулевi:
d
dx
P
(
K0(x, a),K1(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
= 0,
то, очевидно, P (K0(x, a),K1(x, a), . . . ,Kn(x, a)) є функцiєю лише a, тобто є полiномiальною
тотожнiстю. Аналогiчно, якщо
d
da
P
(
K0(x, a),K1(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
= 0,
c© Л. П. БЕДРАТЮК, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12 1587
1588 Л. П. БЕДРАТЮК
то P
(
K0(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
є функцiєю лише однiєї змiнної x, тобто є полiномiальною тотож-
нiстю. З iншого боку, запишемо цю похiдну у виглядi
d
dx
P
(
K0(x, a),K1(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
=
=
∂
∂x0
P (x0, x1, . . . , xn)
∣∣∣
{xi=Ki(x,a)}
d
dx
K0(x, a) + . . .
. . .+
∂
∂xn
P (x0, . . . , xn)
∣∣∣
{xi=Ki(x,a)}
d
dx
Kn(x, a).
Припустимо, що ми виразили похiдну
d
dx
Ki(x, a) як многочлен вiд многочленiв Кравчука,
тобто нехай мають мiсце спiввiдношення
d
dx
Ki(x, a) = fi
(
K0(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
для деякої
системи многочленiв fi(x0, x1, . . . , xn) ∈ Q[x0, x1, . . . , xn], i = 0, 1, . . . , n. Тодi
d
dx
P
(
K0(x, a),K1(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
=
=
(
∂
∂x0
P (x0, x1, . . . , xn)DK1(x0) + . . .+
∂
∂xn
P (x0, x1, . . . , xn)DK1(xn)
) ∣∣∣
{xi=Ki(x,a)}
=
= DK1
(
P (x0, x1, . . . , xn)
)∣∣∣
{xi=Ki(x,a)}
,
де диференцiальний оператор DK1 означено на Q[x0, x1, . . . , xn] таким чином:
DK1(xi) := fi(x0, x1, . . . , xn), i = 0, 1, . . . , n.
Зрозумiло, що коли DK1
(
P (x0, x1, . . . , xn)
)
= 0, то виконується спiввiдношення
d
dx
P
(
K0(x, a),K1(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
= 0.
Тому довiльний нетривiальний многочлен P (x0, x1, . . . , xn), який належить ядру DK1 , тобто
многочлен, для якого виконується рiвнiсть DK1
(
P (x0, x1, . . . , xn)
)
= 0, визначає полiномiальну
тотожнiсть вигляду P
(
K0(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
= ϕ1(a) для деякого многочлена ϕ1.
Аналогiчно, припустимо, що
d
da
Ki(x, a) = gi
(
K0(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
, gi ∈ Q[x0, x1, . . . , xn],
i визначимо диференцiальний оператор DK2 таким чином:
DK2(xi) := gi(x0, x1, . . . , xn), i = 0, 1, . . . , n.
Тодi довiльний нетривiальний многочлен P (x0, x1, . . . , xn), який належить ядру DK2 , визначає
полiномiальну тотожнiсть вигляду P
(
K0(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
= ϕ2(x) для деякого многочле-
на ϕ2.
Розглянемо приклад. Безпосереднiми обчисленнями легко перевiрити, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ КРАВЧУКА 1589
d
dx
K0(x, a) = 0,
d
da
K0(x, a) = 0,
d
dx
K1(x, a) = −2K0(x, a),
d
da
K1(x, a) = K0(x, a),
d
dx
K2(x, a) = −2K1(x, a),
d
da
K2(x, a) = −
1
2
K0(x, a) +K1(x, a).
Тому для невеликих iндексiв визначимо диференцiальнi оператори DK1 , DK2 таким чином:
DK1(x0) = 0, DK2(x0) = 0,
DK1(x1) = x0, DK2(x1) = x0,
DK1(x2) = x1, DK2(x2) = −
1
2
x0 + x1.
Розглянемо многочлен P (x0, x1, x2) = x1
2 − 2x2x0. Маємо DK1
(
P (x0, x1, x2)
)
= 0. Отже,
вираз
K1(x, a)
2 − 2K2(x, a)K0(x, a)
повинен бути функцiєю лише однiєї змiнної a. Пiдставляючи замiсть x0, x1, x2 вiдповiдно
K0(x, a), K1(x, a), K2(x, a), пiсля спрощення отримуємо
ϕ1(a) = K1(x, a)
2 − 2K2(x, a)K0(x, a) = a.
Аналогiчно, легко перевiрити, що многочлен P (x0, x1, x2) = x0x1 − x12 + 2x2x0 належить
ядру оператора DK2 . Тому вираз K0(x, a)K1(x, a) − K1(x, a)
2 + 2K2(x, a)K0(x, a) залежить
лише вiд змiнної x. Справдi, пiсля спрощення маємо
ϕ2(x) = K0(x, a)K1(x, a)−K1(x, a)
2 + 2K2(x, a)K0(x, a) =
= −2x− (−2x+ a)2 + 4x2 − 4 ax+ a2 = −2x.
Таким чином, деякий клас полiномiальних тотожностей для многочленiв Кравчука можна от-
римати, використавши ядра диференцiальних операторiв DK1 та DK2 . В загальнiй постановцi
задача знаходження ядер диференцiювань є досить складною, але для деяких типiв диференцiю-
вань отримано задовiльнi описи їхнiх ядер, i ми використаємо цi результати для знаходження
полiномiальних тотожностей для многочленiв Кравчука.
Схожу задачу знаходження полiномiальних тотожностей для многочленiв Аппеля i много-
членiв Фiбоначчi та Люка розв’язано автором у роботах [4, 5]. Зокрема, доведено, що кожен
нетривiальний елемент ядра диференцiального оператора
D = x0
∂
∂x1
+ 2x1
∂
∂x2
+ . . .+ nxn−1
∂
∂xn
визначає деяку полiномiальну тотожнiсть для многочленiв Аппеля. Нагадаємо, що многочлени{
An(x)
}
називаються многочленами Аппеля, якщо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1590 Л. П. БЕДРАТЮК
A′n(x) = nAn−1(x), n = 0, 1, 2, . . . .
Многочленами Аппеля, зокрема, є вiдомi многочлени Ейлера, Бернуллi та Ермiта. Дифе-
ренцiальний оператор D(xi) = nxi−1, визначений на алгебрi рацiональних многочленiв
Q[x0, x1, . . . , xn], називається базисним диференцiюванням Вейтценбека. Ядро цього дифе-
ренцiювання добре вивчено, воно iзоморфне до деякої алгебри SL2-iнварiантiв.
З iншого боку, ядро базисного диференцiювання Вейтценбека iзоморфне ядру кожного iз
диференцiювань Кравчука DK1 та DK2 . В роботi знайдено явний вигляд цих iзоморфiзмiв.
Мультиплiкативне лiнiйне вiдображення
ψAK1 : Q[x0, x1, . . . , xn]→ Q[x0, x1, . . . , xn]
називається (D,DK1)-переставним вiдображенням, якщо виконуються такi умови: ψAK1D =
= DK1ψAK1 . Довiльне таке вiдображення iндукує iзоморфiзм з kerD до kerDK1 .
Для прикладу дискримiнант многочлена ( вiд змiнних X,Y )
x0X
3 + 3x1X
2Y + 3x2XY
2 + x3Y
3
дорiвнює∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 3x1 3x2 x3 0
0 x0 3x1 3x2 x3
3x0 6x1 3x2 0 0
0 3x0 6x1 3x2 0
0 0 3x0 6x1 3x2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 27(6x0x3x2x1 + 3x1
2x2
2 − 4x1
3x3 − 4x2
3x0 − x02x32)
i належить ядру оператора D. Це вiдомий результат iз класичної теорiї iнварiантiв. Неважко
перевiрити, що лiнiйне вiдображення, визначене таким чином:
ψAK1(x0) = x0, ψAK1(x1) = x1,
ψAK1(x2) = 2x2, ψAK1(x3) = −2x1 + 6x3,
комутує з операторами D та DK1 . Тому елемент∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ψAK1(x0) 3ψAK1(x1) 3ψAK1(x2) ψAK1(x3) 0
0 ψAK1(x0) 3ψAK1(x1) 3ψAK1(x2) ψAK1(x3)
3ψAK1(x0) 6ψAK1(x1) 3ψAK1(x2) 0 0
0 3ψAK1(x0) 6ψAK1(x1) 3ψAK1(x2) 0
0 0 3ψAK1(x0) 6ψAK1(x1) 3ψAK1(x2)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 3x1 6x2 −2x1 + 6x3 0
0 x0 3x1 6x2 −2x1 + 6x3
3x0 6x1 6x2 0 0
0 3x0 6x1 6x2 0
0 0 3x0 6x1 6x2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ КРАВЧУКА 1591
належить ядру оператора DK1 i визначає таку тотожнiсть для многочленiв Кравчука:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
K0(x, a) 3K1(x, a) 6K2(x, a) −2K1(x, a) + 6K3(x, a) 0
0 K0(x, a) 3K1(x, a) 6K2(x, a) −2K1(x, a) + 6K3(x, a)
3K0(x, a) 6K1(x, a) 6K2(x, a) 0 0
0 3K0(x, a) 6K1(x, a) 6K2(x, a) 0
0 0 3K0(x, a) 6K1(x, a) 6K2(x, a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
= 108a3.
У статтi ми застосовуємо методи теорiї локально нiльпотентних диференцiювань для зна-
ходження полiномiальних тотожностей для многочленiв Кравчука.
У п. 2 наведено основнi факти з теорiї локально нiльпотентних диференцiювань, введено
поняття першого та другого диференцiювань Кравчука, описано їхнi ядра та сформульовано
двi гiпотези щодо полiномiальних тотожностей для многочленiв Кравчука. У п. 3 з викорис-
танням комбiнаторної технiки знайдено в явному виглядi (D,DK1)-переставне вiдображення
та (D,DK2)-переставне вiдображення i доведено, що вони є iзоморфiзмами вiдповiдних ядер
диференцiювань.
2. Локально нiльпотентнi диференцiювання та диференцiювання Kравчука. Розгляне-
мо алгебру рацiональних многочленiв Q[x0, x1, . . . , xn] вiд (n+1)-ї змiнної x0, x1, x2, . . . , xn над
полем рацiональних чисел Q. Нагадаємо, що диференцiюванням алгебри Q[x0, x1, x2, . . . , xn]
називається лiнiйне вiдображення в Q[x0, x1, x2, . . . , xn], яке задовольняє правило Лейбнiца:
D(f g) = D(f)g + fD(g) для всiх f, g ∈ Q[x0, x1, x2, . . . , xn].
Диференцiювання D називається локально нiльпотентним, якщо для довiльного f ∈ Q[x0, x1,
x2, . . . , xn] iснує σ(f) ∈ N таке, що Dσ(f)(f) = 0. Довiльне диференцiювання D повнiстю
визначено елементами D(xi). Диференцiювання D називається лiнiйним, якщо D(xi) є лiнiй-
ною формою. Лiнiйне локально нiльпотентне диференцiювання називається диференцiюванням
Вейтценбека. Диференцiювання D називається триангулярним, якщо D(xi) ∈ Q[x0, . . . , xi−1].
Будь-яке триангулярне диференцiювання є локально нiльпотентним.
Пiдалгебра
kerD :=
{
f ∈ Q[x0, x1, x2, . . . , xn] | D(f) = 0
}
називається ядром диференцiювання D.
Для довiльного локально нiльпотентного диференцiювання D має мiсце наступне твер-
дження.
Теорема 1. Припустимо, що iснує многочлен h такий, що D(h) 6= 0, але D2(h) = 0. Тодi
kerD = Q
[
σ(x0), σ(x1), . . . , σ(xn)
][
D(h)−1
]
∩Q[x0, x1, . . . , xn],
де σ позначає вiдображення Дiксм’є:
σ(xi) =
∞∑
k=0
Dk(xi)
λk
k!
, λ = − h
D(h)
, D(λ) = −1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1592 Л. П. БЕДРАТЮК
Доведення цього факту можна знайти в [9, с. 65].
Введемо два диференцiювання, якi вiдповiдають частинним похiдним многочленiв Кравчука
по змiнних x та a. Звичайна породжуюча функцiя для многочленiв Кравчука
{
Kn(x, a)
}
має
вигляд
∞∑
i=0
Ki(x, a)z
i = (1 + z)a
(
1− z
1 + z
)x
.
Диференцiюючи лiву i праву частини по змiннiй x, отримуємо звичайну породжуючу функ-
цiю для похiдної
d
dx
Ki(x, a) :
∞∑
i=0
d
dx
Ki(x, a)z
i = (1 + z)a
(
1− z
1 + z
)x
ln
(
1− z
1 + z
)
=
( ∞∑
i=0
Ki(x, a)z
i
)
ln
(
1− z
1 + z
)
.
Враховуючи, що
ln
(
1− z
1 + z
)
= ln(1− z)− ln(1 + z) = −
∞∑
i=1
zi
i
+
∞∑
i=1
(−1)i z
i
i
=
=
∞∑
i=1
(
− 2
2i− 1
)
z2i−1 = −2
∞∑
i=1
1− (−1)i
2i
zi,
знаходимо
d
dx
Kn(x, a) = [zn]
( ∞∑
i=0
Ki(x, a)z
i
)(
−2
∞∑
i=1
1− (−1)i
2i
zi
)
=
= −2
n∑
i=1
1− (−1)i
2i
Kn−i(x, a).
Тут [zn] позначає оператор взяття коефiцiєнта при zn.
У роботi [6] дано iнше доведення цiєї формули, а в роботi [7] наведено iнший вираз для
d
dx
Kn(x, a).
Диференцiюючи породжуючу функцiю для многочленiв Кравчука по змiннiй a, отримуємо
∞∑
i=0
d
da
Ki(x, a)z
i = (1 + z)a
(
1− z
1 + z
)x
ln(1 + z) =
( ∞∑
i=1
Ki(x, a)z
i
)( ∞∑
i=1
(−1)i+1 z
i
i
)
.
Аналогiчно, використовуючи спiввiдношення
∞∑
i=0
d
da
Ki(x, a)z
i =
( ∞∑
i=0
Ki(x, a)z
i
)
ln (1 + z) ,
знаходимо явний вираз для похiдної по a :
d
da
Kn(x, a) =
n−1∑
i=0
(−1)n+1+i
n− i
Ki(x, a).
Загальний вигляд виразiв для
d
dx
Kn(x, a) та
d
da
Kn(x, a) мотивує наступне означення.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ КРАВЧУКА 1593
Означення 1. ДиференцiюванняDK1 таDK2 алгебри многочленiв Q[x0, x1, x2, . . . , xn],що
визначенi таким чином:
DK1(x0) = 0, DK(xn) =
n∑
i=1
1− (−1)i
2i
xn−i,
DK2(x0) = 0, DK2(xn) =
n−1∑
i=0
(−1)n+1+i
n− i
xi, n = 1, 2, . . . , n, . . . ,
будемо називати першим та другим диференцiюваннями Кравчука вiдповiдно.
Маємо
DK1(x0) = 0, DK2(x0) = 0, DK1(x1) = x0, DK2(x1) = x0,
DK1(x2) = x1, DK2(x2) = −
1
2
x0 + x1,
DK1(x3) =
1
3
x0 + x2, DK2(x3) =
1
3
x0 −
1
2
x1 + x2,
DK1(x4) =
1
3
x1 + x3, DK2(x4) = −
1
4
x0 +
1
3
x1 −
1
2
x2 + x3,
DK1(x5) =
1
5
x0 +
1
3
x2 + x4, DK2(x5) =
1
5
x0 −
1
4
x1 +
1
3
x2 −
1
2
x3 + x4,
DK1(x6) =
1
5
x1 +
1
3
x3 + x5, DK2(x6) = −
1
6
x0 +
1
5
x1 −
1
4
x2 +
1
3
x3 −
1
2
x4 + x5.
Визначимо пiдставний гомоморфiзм ϕK : Q[x0, x1, . . . , xn]→ Q[x] таким способом: ϕK(xi) =
= Ki(x, a). Покладемо
kerϕK1 :=
{
P (x0, x1, . . . , xn) ∈ Q[x0, x1, . . . , xn] | ϕK
(
P (x0, x1, . . . , xn)
)
∈ Q[a]
}
,
kerϕK2 :=
{
P (x0, x1, . . . , xn) ∈ Q[x0, x1, . . . , xn] | ϕK
(
P (x0, x1, . . . , xn)
)
∈ Q[x]
}
.
З означення зрозумiло, що довiльний елемент з kerϕK1 та kerϕK2 визначає деяку полiномiальну
тотожнiсть. Покладемо
kerDK1 :=
{
S ∈ Q[x0, x1, . . . , xn] | DK1(S) = 0
}
,
kerDK2 :=
{
S ∈ Q[x0, x1, . . . , xn] | DK2(S) = 0
}
.
Легко бачити, що ϕKDK1 =
d
dx
ϕK i ϕKDK2 =
d
da
ϕK. Звiдси випливає, що ϕK(kerDK1) ⊂
⊂ kerϕK1 i ϕK(kerDK2) ⊂ kerϕK2 .
Отже, справедлива така теорема.
Теорема 2. Нехай P (x0, x1, . . . , xn) — деякий многочлен. Тодi:
1) якщо DK1
(
P (x0, x1, . . . , xn)
)
= 0, то P
(
K0(x, a),K1(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
∈ Q[a];
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1594 Л. П. БЕДРАТЮК
2) якщо DK2
(
P (x0, x1, . . . , xn)
)
= 0, то P
(
K0(x, a),K1(x, a), . . . ,Kn(x, a)
)
∈ Q[x].
Зауважимо, що ϕK(kerDK1) 6= kerϕK i ϕK(kerDK2) 6= kerϕK. Справдi, маємо
ϕK(x3x1
2 − 2x2x3x0 − x1x4x0 − 3x3x0
2 + 5x5x0
2) = 0,
але x3x12 − 2x2x3x0 − x1x4x0 − 3x3x0
2 + 5x5x0
2 /∈ kerDK1,2 .
Очевидно, що обидва диференцiювання Кравчука є триангулярними i тому вони локально
нiльпотентнi. Тому для того, що знайти їхнi ядра, можна скористатися теоремою 1.
Сконструюємо вiдображення Дiксм’є для першого диференцiювання Кравчука. Для цього
спочатку отримаємо замкнений вираз для степенiв Dk
K1
(xn). Беручи до уваги спiввiдношення
∞∑
i=1
d
dx
Ki(x, a)z
i =
( ∞∑
i=0
Ki(x, a)z
i
)
ln
(
1− z
1 + z
)
,
знаходимо
∞∑
i=k
dk
dxk
Ki(x, a)z
i =
( ∞∑
i=0
Ki(x, a)z
i
)(
ln
(
1 + z
1− z
))k
.
Використаємо вiдомий розклад(
ln
(
1 + z
1− z
))k
=
∞∑
i=k
S(k)(i)zi,
де
S(k)(n) =
n∑
m=k
(
n− 1
m− 1
)
2mk!
m!
s (m, k)
i s(m, k) — числа Стiрлiнга першого роду. Тодi
∞∑
i=k
dk
dxk
Ki(x, a)z
i =
∞∑
n=k
(
n−k∑
i=0
Ki(x, a)S
(k)(n− i)
)
zn.
Отже,
DkK1
(xn) =
n−k∑
i=0
xiS
(k)(n− i).
Тепер ми можемо знайти вiдображення Дiксм’є:
σ(xn) =
n∑
k=0
Dk
K1
(xn)
λk
k!
=
n∑
k=0
λk
k!
n−k∑
i=0
xiS
(k)(n− i) =
n∑
i=0
xi
n−i∑
k=0
λk
k!
S(k)(n− i).
Замiнивши λ на −x1
x0
, пiсля спрощення отримаємо
σ(xn) =
n∑
i=0
xi
n−i∑
k=0
(−1)k
k!
(
x1
x0
)k
S(k)(n− i) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ КРАВЧУКА 1595
= x0
(−1)n
n!
(
x1
x0
)n
+ x1
(−1)n−1
(n− 1)!
(
x1
x0
)n−1
+
1∑
i=0
xi
n−i−1∑
k=0
(−1)k
k!
(
x1
x0
)k
S(k)(n− i)+
+
n∑
i=2
xi
n−i∑
k=0
(−1)k
k!
(
x1
x0
)k
S(k)(n− i) =
=
(−1)n−1
n(n− 2)!
xn1
xn−10
+
1∑
i=0
xi
n−i−1∑
k=0
(−1)k
k!
(
x1
x0
)k
S(k)(n− i)+
+
n∑
i=2
xi
n−i∑
k=0
(−1)k
k!
(
x1
x0
)k
S(k)(n− i).
Многочлени
Cn := n(n− 2)!xn−10 σ(xn) =
= (−1)n−1xn1 + n(n− 2)!
1∑
i=0
xi
n−i−1∑
k=0
(−1)k
k!
xn−1−k0 xk1S
(k)(n− i)+
+n(n− 2)!
n∑
i=2
xi
n−i∑
k=0
(−1)k
k!
xn−1−k0 xk1S
(k)(n− i), n > 1,
за побудовою належать ядру kerDK1 . Назвемо їх многочленами Келлi локально нiльпотентного
диференцiювання DK1 . Запишемо кiлька перших многочленiв Келлi:
C2 = 2x2x0 − x21,
C3 = 3x3x0
2 − x1x02 − 3x1x0x2 + x1
3,
C4 = 8x4x0
3 − 8x1x0
2x3 + 4x1
2x0x2 − x14,
C5 = 30x5x0
4 − 30x1x0
3x4 − 10x1x0
3x2 − 6x1x0
4 + 5x1
3x0
2+
+15x1
2x0
2x3 − 5x1
3x0x2 + x1
5,
C6 = 144x6x0
5 + 8x1
2x0
4 − 48x1x0
4x3 − 144x1x0
4x5 + 48x1
2x0
3x2+
+72x1
2x0
3x4 − 16x1
4x0
2 −−24x13x02x3 + 6x1
4x0x2 − x16.
Iз теореми 1 випливає таке твердження.
Теорема 3. Має мiсце спiввiдношення
kerDK1 = Q[x0, x1, C2, C3, . . . , Cn]
[
x−11
]
∩Q[x0, x1, . . . , xn].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1596 Л. П. БЕДРАТЮК
Отже, ми отримали опис ядра першого диференцiювання Кравчука.
Для того щоб знайти тотожнiсть для многочленiв Кравчука, нам потрiбно обчислити ϕK(Cn).
Маємо
ϕK(Cn) = ϕK(σ(xn)) =
n∑
i=0
Ki
n−i∑
k=0
(−1)k
k!
Kk
1S
(k)(n− i).
За теоремою 2 права частина є функцiєю a. Безпосереднiми обчисленнями знаходимо
ϕK(C2) = −a, ϕK(C3) = 0,
ϕK(C4) = a (a− 2) , ϕK(C5) = 0,
ϕK(C6) = −3 a (a− 2) (a− 4) .
Для загального випадку запропонуємо таку гiпотезу.
Гiпотеза 1. Для n > 0 має мiсце тотожнiсть
n∑
i=0
Ki(x, a)
n−i∑
k=0
(−1)k
k!
K1(x, a)
kS(k)(n− i) =
=
0, якщо n непарне,
(−1)m(2m− 1)!! a(a− 2)(a− 4) . . .
(
a− 2(m− 1)
)
, якщо n = 2m,
де
S(k)(n) =
n∑
m=k
(
n− 1
m− 1
)
2mk!
m!
s (m, k) .
Аналогiчно, для того щоб отримати замкнений вираз для степенiв Dk
K2
(xn) другого дифе-
ренцiювання Кравчука, використаємо вiдому експоненцiальну породжуючу функцiю для чисел
Стiрлiнга першого роду s(n, k) :
∞∑
n=k
s(n, k)
zi
n!
=
(
ln(1 + z)
)k
k!
.
Маємо
∞∑
i=k
dk
dak
Ki(x, a)z
i =
( ∞∑
i=0
Ki(x, a)z
i
)(
ln (1 + z)
)k
=
=
( ∞∑
i=0
Ki(x, a)z
i
)( ∞∑
i=k
k!
n!
s(n, k)zi
)
=
∞∑
n=k
(
n−k∑
i=0
Ki(x, a)
k!
(n− i)!
s(n− i, k)
)
zn.
Отже,
DkK2
(xn) =
n−k∑
i=0
xi
k!
(n− i)!
s(n, k).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ КРАВЧУКА 1597
Оскiльки DK2
(
−x1
x0
)
= −1, покладемо λ = −x1
x0
. Тепер ми можемо обчислити вiдображення
Дiксм’є:
σ(xn) =
n∑
k=0
Dk
K2
(xn)
λk
k!
=
=
n∑
k=0
λk
k!
n−k∑
i=0
xi
k!
(n− i)!
s(n− i, k) =
n∑
i=0
xi
n−i∑
k=0
λk
(n− i)!
s(n− i, k).
Замiнивши λ на −x1
x0
, отримаємо
σ(xn) =
n∑
i=0
xi
n−i∑
k=0
(−1)k
(n− i)!
xk1
xk0
s(n− i, k).
Першi кiлька елементiв мають вигляд
σ(x2) =
1
2
x1x0 − x12 + 2x2x0
x0
,
σ(x3) = −
1
3
x1x0
2 − x13 + 3x2x1x0 − 3x3x0
2
x02
,
σ(x4) =
1
8
2x1x0
3 + x1
2x0
2 − 2x1
3x0 − x14 + 4x2x1x0
2 + 4x2x1
2x0 − 8x3x1x0
2 + 8x4x0
3
x03
.
Застосувавши пiдставний гомоморфiзм ϕK, одержимо
ϕK
(
σ(x2)
)
=
1
2
(
K1(x, a)K0(x, a)−K1(x, a)
2 + 2K2(x, a)K0(x, a)
)
= −x,
ϕK
(
σ(x3)
)
= −1
3
(
K1(x, a)K0(x, a)
2 −K1(x, a)
3 + 3K2(x, a)K1(x, a)K0(x, a)−
−3K3(x, a)K0(x, a)
2
)
= 0,
ϕK
(
σ(x4)
)
=
1
8
(
2K1(x, a)K0(x, a)
3 +K1(x, a)
2K0(x, a)
2 − 2K1(x, a)
3K0(x, a)−
−K1(x, a)
4 + 4K2(x, a)K1(x, a)K0(x, a)
2 + 4K2(x, a)K1(x, a)
2K0(x, a)−
−8K3(x, a)K1(x, a)K0(x, a)
2 + 8K4(x, a)K0(x, a)
3
)
=
1
2
(x− 1)x,
ϕK
(
σ(x5)
)
= 0, ϕK
(
σ(x6)
)
= −1
6
x (x− 1) (x− 2).
Для загального випадку ми пропонуємо наступну гiпотезу.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1598 Л. П. БЕДРАТЮК
Гiпотеза 2.
n∑
i=0
Ki(x, a)
n−i∑
k=0
(−1)k
(n− i)!
K1(x, a)
ks(n− i, k) =
0, якщо n непарне,
(−1)m
(
x
m
)
, якщо n = 2m.
3. Переставнi вiдображення для диференцiювань Вейтценбека та Кравчука. Нага-
даємо означення переставного вiдображення. Нехай D1, D2 — два диференцiювання кiльця
Q[x0, x1, . . . , xn] i ψ — лiнiйне вiдображення векторного простору Q[x0, x1, . . . , xn], яке муль-
типлiкативно дiє на добуток многочленiв:
ψ(f · g) = ψ(f) · ψ(g).
Означення 2. Ендоморфiзм ψ називається (D1, D2)-переставним вiдображенням, якщо
виконується умова ψD1 = D2ψ.
Довiльне таке вiдображення iндукує вiдображення з kerD1 в kerD2.
Спочатку знайдемо переставне вiдображення для першого диференцiювання Кравчука.
Нехай ψDK1 — деяке (D,DK1)-переставне вiдображення. Будемо шукати його у виглядi
ψDK1(x0) = x0, ψDK1(xn) =
n∑
i=1
T (n, i)xi.
Пiсля нескладних обчислень, задовольняючи умову ψDK1D = DK1ψDK1 , знаходимо
ψDK1(x0) = x0, ψDK1(x1) = x1, ψDK1(x2) = 2x2,
ψDK1(x3) = −2x1 + 6x3, ψDK1(x4) = −16x2 + 24x4,
ψDK1(x5) = 16x1 − 120x3 + 120x5, ψDK1(x6) = 272x2 − 960x4 + 720x6.
Отже, T (0, 0) = 1, T (1, 1) = 0, T (2, 1) = 0, T (2, 2) = 2.
Доведемо наступне твердження.
Теорема 4. Числа T (n, i) мають такий явний вигляд:
T (n, i) =
n∑
j=i
(−1)j−i2n−jj!S(n, j)
(
j − 1
i− 1
)
,
де S(n, j) — числа Стiрлiнга другого роду.
Доведення. Безпосереднiми обчисленнями знаходимо T (0, 0) = 1, T (1, 1) = 0, T (2, 1) = 0,
T (2, 2) = 2, тобто початковi умови виконуються. Легко перевiрити, що справджується наступна
загальна формула пiдсумовування:
n∑
i=1
ai
i∑
j=1
bjci−j =
n−1∑
i=0
ci
n∑
j=i+1
ajbj−i.
Застосувавши її, отримаємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ КРАВЧУКА 1599
DK1
(
ψDK1(xn)
)
=
n∑
i=1
T (n, i)DK1(xi) =
n∑
i=1
T (n, i)
i∑
j=1
1− (−1)j
2j
xi−j =
=
n−1∑
i=0
xi
n∑
j=i+1
1− (−1)j−i
2(j − i)
T (n, j).
З iншого боку,
DK1
(
ψDK1(xn)
)
= ψDK1
(
D(xn)
)
= nψDK1(xn−1) = n
n−1∑
i=1
T (n− 1, i)xi.
Прирiвнявши вiдповiднi коефiцiєнти, одержимо рекурентнi спiввiдношення для чисел T (n, i):
n∑
j=i+1
1− (−1)j−i
2(j − i)
T (n, j) = nT (n− 1, i), i = 0, 1, . . . , n− 1.
Для того щоб довести теорему, нам буде потрiбна наступна важлива лема, яка має i самостiйний
комбiнаторний iнтерес.
Лема 1. Припустимо, що числовi послiдовностi an та A(n, k), де A(n, k) = 0 при k > n,
мають породжуючi функцiї
∞∑
n=k
A(n, k)
zn
n!
=
(
f(z)
)k
,
∞∑
n=0
anz
k = g(z),
причому виконується g
(
f(z)
)
= z.
Тодi
n∑
j=i+1
aj−iA(n, j) =
n−i∑
k=1
anA(n, k + i) = nA(n− 1, i), i = 0, 1, . . . , n− 1.
Доведення. Домножимо лiву частину цiєї рiвностi на
zn
n!
i пiдсумуємо по n вiд i до∞ :
∞∑
n=i
n∑
j=i+1
aj−iA(n, j)
zn
n!
=
∞∑
j=i+1
aj−i
∞∑
n=i
A(n, j)zn =
∞∑
j=i+1
aj−i
(
f(z)
)j
=
=
∞∑
k=1
ak
(
f(z)
)i+k
=
(
f(z)
)i∑
k=1
ak
(
f(z)
)k
=
(
f(z)
)i
g
(
f(z)
)
=
= z
(
f(z)
)i
= z
∞∑
n=0
A(n, i)
zn
n!
=
∞∑
n=1
nA(n− 1, i)
zn
n!
.
Оскiльки
∞∑
n=0
n∑
j=i+1
aj−iA(n, j)
zn
n!
=
∞∑
n=0
(
n∑
j=i+1
aj−iA(n, j)
)
zn
n!
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1600 Л. П. БЕДРАТЮК
то, прирiвнявши вiдповiднi коефiцiєнти, отримаємо тотожностi
n∑
j=i+1
aj−iA(n, j) =
n−i∑
k=1
anA(n, k + i) = nA(n− 1, i), i = 0, 1, . . . , n− 1,
що i завершує доведення.
Щоб скористатися доведеною лемою, потрiбно знайти експоненцiальну породжуючу функ-
цiю для чисел
T (n, i) =
n∑
j=i
(−1)j−i2n−jj!S(n, j)
(
j − 1
i− 1
)
.
Домножимо лiву i праву частини на
zn
n!
i пiдсумуємо по n вiд i до∞. Врахувавши, що
∞∑
n=i
S(n, j)
(z)n
n!
=
(ez − 1)j
j!
,
будемо мати
∞∑
n=i
T (n, i)
zn
n!
=
∞∑
n=i
∞∑
j=i
(−1)j−i2n−jj!
(
j − 1
i− 1
)
S(n, j)
zn
n!
=
=
∞∑
j=i
(−1)j−i
2j
j!
(
j − 1
i− 1
) ∞∑
n=i
S(n, j)
(2z)n
n!
=
∞∑
j=i
(−1)j−i
2j
(
j − 1
i− 1
)
(e2z − 1)j .
Використавши розклад
∞∑
j=i
(−1)j−i
2j
(
j − 1
i− 1
)
zj =
(
z
z + 2
)i
,
знайдемо
∞∑
n=i
T (n, i)
zn
n!
=
(
e2z − 1
e2z + 1
)i
.
Розглянемо послiдовнiсть
an =
1− (−1)n
2n
.
Як неважко переконатися, звичайна породжуюча функцiя для цiєї послiдовностi має вигляд
g(z) =
∞∑
n=1
anz
k =
1
2
ln
(
1 + z
1− z
)
.
Покладемо f(z) =
e2z − 1
e2z + 1
. Легко бачити, що тодi g
(
f(z)
)
= z. Отже, згiдно з лемою 1, числа
T (n, i) є розв’язками системи рекурентних рiвнянь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ КРАВЧУКА 1601
n∑
j=i+1
1− (−1)j−i
2(j − i)
T (n, j) = nT (n− 1, i), i = 0, 1, . . . , n− 1,
що i слiд було довести.
Матриця вiдображення ψDK1 , очевидно, є верхньо-трикутною матрицею, на головнiй дiаго-
налi якої знаходяться вiдмiннi вiд нуля елементи T (n, n). Тому ця матриця є невиродженою. Iз
комутацiйного спiввiдношення DK1ψDK1 = ψDK1D випливає, що ψDK1 є iзоморфiзмом алгебр
kerD та kerDK1 .
Розглянемо тепер друге диференцiювання Кравчука DK2 . Нехай ψDK2 є (D,DK2)-перестав-
ним вiдображенням, яке будемо шукати у виглядi
ψDK2(x0) = x0, ψDK2(xn) =
n∑
i=1
B(n, i)xi, n > 0.
Безпосереднiми обчисленнями знаходимо
ψDK2(x0) = x0, ψDK2(x1) = x1, ψDK2(x2) = x1 + 2x2,
ψDK2(x3) = x1 + 6x2 + 6x3, ψDK2(x4) = x1 + 14x2 + 36x3 + 24x4,
ψDK2(x5) = x1 + 30x2 + 150x3 + 240x4 + 120x5,
ψDK2(x6) = x1 + 62x2 + 540x3 + 1560x4 + 1800x5 + 720x6.
Отже, B(1, 1) = 0, B(2, 1) = 1, B(2, 2) = 2.
Доведемо наступне твердження.
Лема 2. Числа B(n, k) мають явний вигляд
B(n, k) = k!S(n, k).
Доведення. Безпосереднiми обчисленнями перевiряємо виконання початкових умов:B(0, 0) =
= 1, B(1, 1) = 0, B(2, 1) = 1, B(2, 2) = 2. Використавши формулу пiдсумовування
n∑
i=1
ai
i−1∑
j=0
bi,jcj =
n−1∑
i=0
ci
n∑
j=i+1
ajbj,i,
отримаємо
DK2
(
ψDK2(xn)
)
= DK2
(
n∑
i=1
B(n, i)xi
)
=
n∑
i=1
B(n, i)
i−1∑
i=0
(−1)i+1−j
i− j
xj =
=
n−1∑
i=0
xi
n∑
j=i+1
(−1)j+1−i
j − i
B(n, j).
З iншого боку,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1602 Л. П. БЕДРАТЮК
DK2
(
ψDK2(xn)
)
= ψDK2
(
D(xn)
)
= nψDK2(xn−1) = n
n−1∑
i=1
B(n− 1, i)xi.
Прирiвнявши вiдповiднi коефiцiєнти, переконаємося, що числа B(n, k) задовoльняють систему
рекурентних рiвнянь
n∑
j=i+1
(−1)j+1−i
j − i
B(n, j) = nB(n− 1, i), i = 0, 1, . . . , n− 1.
Для того щоб довести, що числа B(n, k) = k!S(n, k) є розв’язками цiєї системи, скористає-
мося лемою 1. У позначеннях цiєї леми покладемо
ai =
(−1)i+1
i
, A(n, i) = B(n, i).
Тодi
g(x) =
∞∑
i=1
aiz
n =
∞∑
i=1
(−1)i+1
i
zn = ln(1 + z).
Також використаємо вiдому експоненцiальну породжуючу функцiю для чисел Стiрлiнга другого
роду
∞∑
n=1
j!S(n, j)
xn
n!
= (ex − 1)j .
Звiдси випливає, що можна покласти f(z) = ex−1. Оскiльки, як легко перевiрити, виконується
спiввiдношення g
(
f(z)
)
= z, то всi умови леми 1 виконано. Тому числа B(n, i) є розв’язками
системи рекурентних рiвнянь
n∑
j=i+1
(−1)j+1−i
j − i
B(n, j) = nB(n− 1, i), i = 0, 1, . . . , n− 1.
Лему 2 доведено.
Аналогiчно доводиться, що ψDK2 є iзоморфiзмом алгебр kerD та kerDK2 .
Маючи явний вигляд переставних вiдображень, можемо спiвставити кожному елементу з
ядра базисного диференцiювання Вейтценбека D деяку тотожнiсть для многочленiв Кравчука.
Список таких елементiв ядра невеликих степенiв наведено в роботi [4]. Наприклад, вiдомо, що
визначник матрицi Ганкеля
Hn := det(xi+j−2) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x1 x2 · · · xn
x1 x2 x3 · · · xn+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn−1 xn xn−1 · · · x2n−1
xn xn+1 xn+2 · · · x2n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
належить ядру диференцiювання D. Тодi визначники ψDK1(Hn) та ψDK2(Hn) належать ядрам
диференцiювань DK1 та DK2 . Згiдно з теоремою 2, застосувавши пiдстановочний гомоморфiзм
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ТА ТОТОЖНОСТI ДЛЯ МНОГОЧЛЕНIВ КРАВЧУКА 1603
ϕK(xi) = Ki(x, a), отримаємо двi полiномiальнi тотожностi:
ϕK
(
ψDK1(Hn)
)
= ϕ1(a), ϕK
(
ψDK2(Hn)
)
= ϕ1(x).
Для функцiй ϕ1(a), ϕ2(x) ми формулюємо наступну гiпотезу щодо їхнього явного вигляду.
Гiпотеза 3.
ϕ1(a) = (−1)
n(n+1)
2
n−1∏
i=0
i!
n−2∏
i=0
(a+ i)n−1−i,
ϕ2(x) = (−1)
n(n+1)
2
n∏
i=0
2ii!
n−2∏
i=0
(x− i)n−1−i.
1. Krawtchouk M. Sur une generalisation des polynomes d’Hermite // C. r. Acad. sci. – 1929. – 189, № 17. – P. 620 – 622.
2. Nikiforov A. F., Suslov S. K., Uvarov V. B. Classical orthogonal polynomials of a discrete variable. — Berlin:
Springer-Verlag, 1991. – 374 p.
3. Pryzva G. Y. Kravchuk orthogonal polynomials // Ukr. Math. J. – 1992. – 44, № 7. – P. 792 – 800.
4. Bedratyuk L. Semi-invariants of binary forms and identities for Bernoulli, Euler and Hermite polynomials // Acta
arithm. – 2012. – 151. – P. 361 – 376.
5. Bedratyuk L. Derivations and identities for Fibonacci and Lucas polynomials // Fibonacci Quart. – 2013. – 51, № 4. –
P. 351 – 366.
6. Krasikov I., Litsyn S. On integral zeros of Krawtchouk polynomials // J. Combin. Theory. Ser. A. – 1996. – 74, № 1. –
P. 71 – 99.
7. Koepf W. Identities for families of orthogonal polynomials and special functions // Integral Transform. Spec. Funct. –
1997. – 5, № 1-2. – P. 69 – 102.
8. Glenn O. Treatise on theory of invariants. – Boston, 1915. – 312 p.
9. Nowicki A. Polynomial derivation and their ring of constants. – Torun: UMK, 1994. – 170 р.
Одержано 24.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2539 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:21Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/dd/0354e804eaec98e0d34a63b68fbf12dd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25392020-03-18T19:26:06Z Derivations and Identities for Kravchuk Polynomials Диференціювання та тотожності для многочленів Кравчука Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. We introduce the notion of Kravchuk derivations of the polynomial algebra. It is proved that any element of the kernel of a derivation of this kind gives a polynomial identity satisfied by the Kravchuk polynomials. In addition, we determine the explicit form of isomorphisms mapping the kernel of the basicWeitzenb¨ock derivation onto the kernels of Kravchuk derivations. Введены понятия дифференцирований Кравчука алгебры многочленов. Доказано, что произвольный элемент ядра такого дифференцирования определяет некоторое полиномиальное тождество для многочленов Кравчука. Также найдены в явном виде изоморфизмы, отображающие ядро базисного дифференцирования Вейтценбека в ядра дифференцирований Кравчука. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2539 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 12 (2013); 1587–1603 Український математичний журнал; Том 65 № 12 (2013); 1587–1603 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2539/1838 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2539/1839 Copyright (c) 2013 Bedratyuk L. P. |
| spellingShingle | Bedratyuk, L. P. Бедратюк, Л. П. Derivations and Identities for Kravchuk Polynomials |
| title | Derivations and Identities for Kravchuk Polynomials |
| title_alt | Диференціювання та тотожності для многочленів Кравчука |
| title_full | Derivations and Identities for Kravchuk Polynomials |
| title_fullStr | Derivations and Identities for Kravchuk Polynomials |
| title_full_unstemmed | Derivations and Identities for Kravchuk Polynomials |
| title_short | Derivations and Identities for Kravchuk Polynomials |
| title_sort | derivations and identities for kravchuk polynomials |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2539 |
| work_keys_str_mv | AT bedratyuklp derivationsandidentitiesforkravchukpolynomials AT bedratûklp derivationsandidentitiesforkravchukpolynomials AT bedratyuklp diferencíûvannâtatotožnostídlâmnogočlenívkravčuka AT bedratûklp diferencíûvannâtatotožnostídlâmnogočlenívkravčuka |