On the Best Approximation in the Mean by Algebraic Polynomials with Weight and the Exact Values of Widths for the Classes of Functions
The exact value of the extremal characteristic is obtained on the class L 2 r (D ρ ), where r ∈ ℤ+; \( {D}_{\rho} = \sigma (x)\frac{d^2}{d{ x}^2}+\tau (x)\frac{d}{d x} \) , σ and τ are polynomials of at most the second and first degrees, respectively, ρ is a weight function, 0 < p...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2540 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508449457045504 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Shvachko, A. V. Вакарчук, С. Б. Швачко, А. В. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Shvachko, A. V. Вакарчук, С. Б. Швачко, А. В. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:26:06Z |
| description | The exact value of the extremal characteristic is obtained on the class L 2 r (D ρ ), where r ∈ ℤ+; \( {D}_{\rho} = \sigma (x)\frac{d^2}{d{ x}^2}+\tau (x)\frac{d}{d x} \) , σ and τ are polynomials of at most the second and first degrees, respectively, ρ is a weight function, 0 < p ≤ 2, 0 < h |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Днепропетр. ун-т им. Альфреда Нобеля),
А. В. Швачко (Днепропетр. гос. аграр. ун-т)
О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ
АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ С ВЕСОМ
И ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПОПЕРЕЧНИКОВ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
The exact value of the extremal characteristic
sup
λrn(ρ)En(f)2,ρ
/ h∫
0
Ωpk,ρ(D
r
ρ(f), t)ϕ(t)dt
1/p : f ∈ Lr2(Dρ), f 6≡ const
is obtained for the class Lr2(Dρ), where r ∈ Z+; Dρ = σ(x)
d2
dx2
+ τ(x)
d
dx
, σ and τ are polynomials that do not exceed
the second and first degrees, respectively; ρ is a weight function; 0 < p 6 2; 0 < h < 1; λn(ρ) are the eigenvalues of the
operator Dρ; ϕ is a nonnegative measurable and summable function on the interval (a, b) which is not equivalent to zero;
Ωk,ρ is the generalized modulus of continuity of the kth order in the space L2,ρ(a, b), and En(f)2,ρ is the best polynomial
approximation in the mean for a function f ∈ L2,ρ(a, b) by algebraic polynomials with weight ρ. The exact values of the
widths for the classes of functions defined by the characteristic of smoothness Ωk,ρ and of the K-functional Km are also
obtained.
На класi функцiй Lr2(Dρ), де r ∈ Z+, Dρ = σ(x)
d2
dx2
+ τ(x)
d
dx
, σ та τ — полiноми не вище другого та першого
степенiв вiдповiдно, ρ — вагова функцiя, обчислено точне значення екстремальної характеристики
sup
λrn(ρ)En(f)2,ρ
/ h∫
0
Ωpk,ρ(D
r
ρ(f), t)ϕ(t)dt
1/p : f ∈ Lr2(Dρ), f 6≡ const
Тут 0 < p 6 2, 0 < h < 1, λn(ρ) — власнi значення оператора Dρ, ϕ — невiд’ємна вимiрна та сумовна на
iнтервалi (a, b) функцiя, яка не еквiвалентна нулю, Ωk,ρ — узагальнений модуль неперервностi k-го порядку у
просторi L2,ρ(a, b); En(f)2,ρ — найкраще полiномiальне наближення в середньому з вагою ρ функцiї f ∈ L2,ρ(a, b).
Знайдено точнi значення поперечникiв класiв функцiй, означених за допомогою характеристики гладкостi Ωk,ρ та
K-функцiоналу Km.
1. Пусть на интервале (a, b), который может быть как конечным, так и бесконечным, зада-
на неотрицательная суммируемая функция ρ, отличная от нуля на множестве положительной
меры. Эту функцию будем называть весом. Обозначим через L2,ρ(a, b) множество функций
f : (a, b)→ R, для которых функция ρ1/2 · f суммируема с квадратом на (a, b). При этом будем
отождествлять две функции f1 и f2, если ρ1/2(x)f1(x) = ρ1/2(x)f2(x) почти для всех x ∈ (a, b).
Множество L2,ρ(a, b) линейно и с введением скалярного произведения
〈f, g〉 :=
b∫
a
ρ(x)f(x)g(x)dx,
где f, g ∈ L2,ρ(a, b), и нормы
‖f‖2,ρ :=
√
〈f, f〉
превращается в полное гильбертово пространство.
c© С. Б. ВАКАРЧУК, А. В. ШВАЧКО, 2013
1604 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 1605
Согласно работам [1, с. 33, 37; 2] рассмотрим весовую функцию ρ, удовлетворяющую на
интервале (a, b) дифференциальному уравнению первого порядка
d
dx
(
σ(x)ρ(x)
)
= τ(x)ρ(x), (1)
где σ и τ — многочлены не выше второй и первой степени соответственно, причем для любого
k ∈ Z+ справедливы равенства
lim
x→a+0
σ(x)ρ(x)xk = lim
x→b−0
σ(x)ρ(x)xk = 0.
Напомним (см., например, [1, с. 33]), что только в трех случаях решение ρ данной задачи (в
зависимости от многочленов σ и τ ) с точностью до линейного преобразования независимой
переменной является весовой функцией для определения (с точностью до постоянного множи-
теля) классических ортогональных на (a, b) полиномов, а именно, полиномов Якоби, Лагерра
и Эрмита.
Обозначим, как и в [2], через Dρ дифференциальный оператор вида
Dρ := σ(x)
d2
dx2
+ τ(x)
d
dx
, (2)
и пусть
λ(ρ) := λn(ρ) = −nτ ′ − n(n− 1)
2
σ′′. (3)
Указанные выше ортогональные многочлены Якоби, Лагерра и Эрмита удовлетворяют диф-
ференциальному уравнению второго порядка
−Dρy = λ(ρ)y. (4)
Явные выражения для этих многочленов задаются формулой Родрига
yn(x) =
Bn
ρ(x)
(σn(x)ρ(x))(n) , (5)
где Bn — нормировочная постоянная, а функция ρ удовлетворяет дифференциальному уравне-
нию (1).
Очевидно, что в силу формулы (4) числа λn(ρ), n ∈ Z+, являются собственными значения-
ми оператора (−Dρ), а соответствующие им собственные функции — ортогональными на (a, b)
многочленами, соответствующими весовой функции ρ.
В зависимости от вида функции ρ получаем следующие системы ортогональных на (a, b)
полиномов (см., например, [1]).
Если ρ(x) := (1−x)α(1+x)β, где α, β > −1, σ(x) := 1−x2, τ(x) := −(α+β+2)x+β−α,
(a, b) — интервал (−1, 1), то согласно формуле (5) соответствующие полиномы yn при Bn :=
:=
(−1)n
2nn!
являются полиномами Якоби
Pα,βn (x) :=
(−1)n
2nn!
(1− x)−α(1 + x)−β
dn
dxn
(
(1− x)n+α(1 + x)n+β
)
.
При этом λn(ρ) = n(n+ α+ β + 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1606 С. Б. ВАКАРЧУК, А. В. ШВАЧКО
Если ρ(x) := xαe−x, где α > −1, σ(x) := x, τ(x) := −x+α+ 1, (a, b) является интервалом
(0,∞), то в силу формулы (5) соответствующие полиномы yn приBn := 1/n! будут полиномами
Лагерра
Lαn(x) =
1
n!
exx−α
dn
dxn
(
xn+αe−x
)
.
В данном случае λn(ρ) = n.
В случае, когда ρ(x) := e−x
2
, σ(x) := 1, τ(x) := 2x, (a, b) является интервалом (−∞,∞),
соответствующие, согласно формуле (5), полиномы yn при Bn := (−1)n являются полиномами
Эрмита
Hn(x) = (−1)nex
2 dn
dxn
(
e−x
2
)
.
При этом λn(ρ) = 2n.
2. В качестве математического аппарата теории аппроксимации функций часто используют
классические ортогональные полиномы Якоби и их частные случаи
(
полиномы Чебышева 1-го
(α = β = −1/2) и 2-го (α = β = 1/2) рода, полиномы Лежандра (α = β = 0), ультрасфе-
рические полиномы (α = β)
)
, а также полиномы Лагерра и Эрмита [3]. Отметим, что многие
из указанных ортогональных полиномов применяются также в ряде задач математической фи-
зики, квантовой механики, статистики. Вопросы, связанные с изучением различных систем
ортогональных полиномов, а также вопросы, связанные с исследованием разложения функций
в ряды Фурье по полиномам из этих систем, рассмотрены, например, в монографиях [4 – 6].
Отметим, что проблема аппроксимации функций в среднем алгебраическими полиномами с
весом, построенными по ортогональным системам Якоби, Лагерра или Эрмита, изучалась во
многих работах (см., например, [7 – 23]).
Одной из важных экстремальных задач теории аппроксимации функций является поиск
точных констант в неравенствах Джексона. Напомним, что неравенствами Джексона принято
называть неравенства, в которых величина наилучшего приближения функции конечномерным
подпространством в нормированном пространстве оценивается через модуль непрерывности
функции. Первое неравенство подобного вида с порядковой константой было получено Джек-
соном в 1911 году в случае равномерного приближения непрерывных периодических функций
тригонометрическими полиномами. Много усилий было предпринято для нахождения точной
константы в этом неравенстве, и лишь в 1962 году это удалось сделать Н. П. Корнейчуку [24].
Следующий шаг был сделан в 1967 году Н. И. Черных, которому удалось доказать неравен-
ство Джексона с точной константой в пространстве L2 [25]. В дальнейшем данная тематика
получила свое развитие во многих работах (см., например, [26 – 33]).
В случае приближения в среднем непериодических функций алгебраическими полиномами
с весом экстремальная задача подобного рода рассматривалась, например, в статьях [19 – 23].
В данной работе продолжены указанные исследования.
3. Пусть {Pj}j∈Z+ — одна из рассмотренных выше ортогональных на (a, b) систем полино-
мов с соответствующей весовой функцией ρ, принадлежащая пространству L2,ρ(a, b). Следуя
[6, с. 166, 198, 236], запишем для нее ортонормированную систему полиномов {P̂j}j∈Z+ . Пред-
ставим функцию f ∈ L2,ρ(a, b) в виде разложения в ряд Фурье по системе полиномов {P̂j}j∈Z+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 1607
f(x) =
∞∑
j=0
cj(f)P̂j(x), (6)
где равенство понимается в смысле сходимости в пространстве L2,ρ(a, b);
cj(f) :=
b∫
a
ρ(x)f(x)P̂j(x)dx, j ∈ Z+,
— коэффициенты Фурье функции f. Обозначим через Pn подпространство алгебраических
полиномов степени, не превышающей n. Пусть En(f)2,ρ, n ∈ N, — величина наилучшего
приближения функции f ∈ L2,ρ(a, b) элементами подпространства Pn−1, т. е.
En(f)2,ρ := inf
{
‖f − gn−1‖2,ρ : gn−1 ∈ Pn−1
}
.
Символом Sn−1(f), n ∈ N, обозначим частную сумму ряда Фурье (6), т. е.
Sn−1(f, x) :=
n−1∑
j=0
cj(f)P̂j(x).
Известно (см., например, [34]), что для произвольной функции f ∈ L2,ρ(a, b)
‖f‖2,ρ =
∞∑
j=0
c2j (f)
1/2
,
En(f)2,ρ =
∥∥f − Sn−1(f)
∥∥
2,ρ
=
∞∑
j=n
c2j (f)
1/2
. (7)
При решении ряда задач теории аппроксимации функций действительной переменной час-
то используют различные модификации классического определения модуля непрерывности.
Во многих случаях это продиктовано спецификой рассматриваемых задач и позволяет полу-
чить результаты, раскрывающие содержательную суть исследуемых проблем. Например, при
аппроксимации непериодических функций алгебраическими полиномами М. К. Потапов и его
ученики предложили различные модификации классического определения модуля непрерыв-
ности, использующие вместо оператора сдвига Thf(x) := f(x + h) различные усредняющие
операторы (см., например, [35, 17, 18]). В рассматриваемом нами случае воспользуемся подхо-
дом, предложенным в работах [2, 20].
Пусть
Tρ(x, y;h) :=
∞∑
j=0
P̂j(x)P̂j(y)hj , (8)
где h ∈ (0, 1), x, y ∈ (a, b), причем равенство в формуле (8) понимается в смысле сходимости
в среднем в пространстве L2;ρ,ρ
(
(a, b) × (a, b)
)
, которое состоит из суммируемых в квадрате
функций f : (a, b)× (a, b)→ R с весом ρ(x)ρ(y) и нормой
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1608 С. Б. ВАКАРЧУК, А. В. ШВАЧКО
‖f‖2;ρ,ρ =
b∫
a
b∫
a
ρ(x)ρ(y)f2(x, y)dxdy
1/2
<∞.
В ряде случаев для функции Tρ можно указать явное выражение. Так, для ортонормированной
системы полиномов Эрмита {Ĥj}j∈Z+ , где
Ĥj(x) =
Hj(x)√
j!2j
√
π
,
в силу [36, с. 383] получаем
Tρ(x, y;h) :=
∞∑
j=0
Ĥj(x)Ĥj(y)hj =
1√
π(1− h2)
exp
(
2xyh− (x2 + y2)h2
1− h2
)
.
Здесь ρ(x) = exp (−x2). Для ортонормированной системы полиномов Лагерра {L̂αj }j∈Z+ , где
L̂αj (x) = (−1)j
√
j!
Γ(α+ j + 1)
Lαj (x),
Γ(·) — гамма-функция, используя результаты [36, с. 111], имеем
Tρ(x, y;h) :=
∞∑
j=0
L̂αj (x)L̂αj (y)hj =
exp
(
− (x+ y)h/(1− h)
)
1− h
(xyh)−α/2Jα
(
2
√
xyh
1− h
)
.
Здесь Jα(·) — функция Бесселя I рода порядка α ρ(x) = xαe−x.
Следуя работе [2] и используя формулу (8), для произвольной функции f ∈ L2,ρ(a, b)
запишем оператор усреднения
Fh,ρ(f, x) :=
b∫
a
ρ(t)f(t)Tρ(x, t, 1− h)dt, 0 < h < 1, (9)
и перечислим его свойства: для любых f1, f2 ∈ L2,ρ(a, b) и µ, η ∈ R Fh,ρ(µf1 + ηf2) =
= µFh,ρ(f1) + ηFh,ρ(f2),
∥∥Fh,ρ(f)
∥∥
2,ρ
6 ‖f‖2,ρ, для произвольного полинома P̂n, n ∈ Z+,
из рассматриваемой ортонормированной системы полиномов Fh,ρ(P̂n, x) = (1− h)nP̂n(x), при
h → 0 + 0 имеем ‖Fh,ρ(f) − f‖2,ρ → 0. Используя оператор усреднения (9), записываем для
функции f ∈ L2,ρ(a, b) конечные разности первого и высших порядков. Пусть Iρ — единичный
оператор в пространстве L2,ρ(a, b), F
0
h,ρ(f) := f, F 1
h,ρ(f) := Fh,ρ(f), F ih,ρ(f) := F 1
h,ρ
(
F i−1h,ρ (f)
)
,
i ∈ N. Тогда
∆1
h,ρ(f, x) := F 1
h,ρ(f, x)− f(x) =
(
F 1
h,ρ − Iρ
)
f(x),
∆k
h,ρ(f, x) := ∆1
h,ρ
(
∆k−1
h,ρ (f), x
)
=
(
F 1
h,ρ − Iρ
)k
f(x) =
=
k∑
i=0
(−1)k−i
(
k
i
)
F ih,ρ(f, x), k = 2, 3, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 1609
С помощью указанных величин для функции f ∈ L2,ρ(a, b) определяем обобщенный модуль
непрерывности k-го порядка [2, 20]
Ωk,ρ(f, t) := sup
{
‖∆k
h,ρ(f)‖2,ρ : 0 < h 6 t
}
, (10)
где 0 < t < 1, k ∈ N.
4. Обозначим через L2(Dρ), где оператор Dρ определяется формулой (2), множество функ-
ций f ∈ L2,ρ(a, b), имеющих абсолютно непрерывные производные первого порядка f ′ и таких,
что функции τ(x)
df
dx
и σ(x)
d2f
dx2
принадлежат пространству L2,ρ(a, b), т. е. Dρf ∈ L2,ρ(a, b). В
случае, когда (a, b) — один из интервалов (−∞,∞) или (0,∞), полагаем, что функция f ′ являет-
ся локально абсолютно непрерывной. Следует отметить, что ранее для системы ортогональных
с весом на (−∞,∞) полиномов Эрмита дифференциальные операторы
D = − d2
dx2
+ 2x
d
dx
(11)
и
D̃ =
1
2
d2
dx2
− x d
dx
(12)
рассматривались в работах [17] и [18] соответственно. Очевидно, что с точностью до посто-
янных множителей дифференциальные операторы (11) и (12) совпадают с дифференциальным
оператором (2), где ρ(x) = e−x
2
, σ(x) = 1, τ(x) = −2x.
ПустьD0
ρf := f, D1
ρf := Dρf иDr
ρf := D1
ρ
(
Dr−1
ρ f
)
, r ∈ N. Символом Lr2(Dρ), r = 2, 3, . . . ,
обозначим множество функций f ∈ L2,ρ(a, b), которые имеют абсолютно непрерывные про-
изводные (2r − 1)-го порядка и для которых Dr
ρf ∈ L2,ρ(a, b). В случае, когда (a, b) является
одним из интервалов (−∞,∞) или (0,∞), полагаем, что производные (2r − 1)-го порядка
локально абсолютно непрерывны.
Приведем ряд результатов из работы [2], которые понадобятся в дальнейшем. Так, если
функция f принадлежит множеству Lr2(Dρ), r ∈ N, то для ее коэффициентов Фурье cj(f),
j ∈ N, справедлива формула
cj(f) = (−1)r
1
λrj(ρ)
cj
(
Dr
ρf
)
. (13)
Отметим также, что для произвольной функции f ∈ L2,ρ(a, b), имеющей на (a, b) разложе-
ние в ряд Фурье по системе ортонормированных полиномов
{
P̂j
}
j∈Z+
с весом ρ, оператор
усреднения Fh,ρ(f) представим следующим образом:
Fh,ρ(f, x) =
∞∑
j=0
(1− h)jcj(f)P̂j(x), (14)
где равенство (14) понимается в смысле сходимости в метрике пространства L2,ρ(a, b).
Используя формулы (6) и (14), для функции f ∈ L2,ρ(a, b) записываем равенство
∆1
h,ρ(f, x) =
∞∑
j=1
(
(1− h)j − 1
)
cj(f)P̂j(x). (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1610 С. Б. ВАКАРЧУК, А. В. ШВАЧКО
На основании метода математической индукции и формулы (15) получаем
∆k
h,ρ(f, x) =
∞∑
j=1
(
(1− h)j − 1
)k
cj(f)P̂j(x). (16)
Из равенства (16) имеем
∥∥∆k
h,ρ(f)
∥∥2
2,ρ
=
∞∑
j=1
(
1− (1− h)j
)2k
c2j (f), (17)
где h ∈ (0, 1). Используя формулы (10) и (17), записываем
Ωk,ρ(f, t) =
∞∑
j=1
(
1− (1− t)j
)2k
c2j (f)
1/2
, 0 < t < 1. (18)
Для характеристики гладкости (10) в работе [2] было получено неравенство Джексона
En(f)2,ρ 6
(
1− (1− t)n
)−k
λ−rn (ρ)Ωk,ρ
(
Dr
ρ(f), t
)
, (19)
где f ∈ Lr2(Dρ), r ∈ Z+, L
0
2(Dρ) := L2(Dρ), t ∈ (0, 1), n, k ∈ N, которое является точным в
том смысле, что для каждого n ∈ N существует функция из множества Lr2(Dρ), обращающая
неравенство (19) в равенство.
Отметим, что с помощью соотношения (19) можно получить следующее равенство:
sup
f∈Lr2(Dρ)
f 6≡const
λrn(ρ)En(f)2,ρ
Ωk,ρ(Dr
ρ(f), t)
=
1
(1− (1− t)n)k
, (20)
где t ∈ (0, 1). Полагая в формуле (20) t = 1/n и вычисляя верхнюю грань по n ∈ N от левой и
правой частей указанного равенства, получаем
sup
n∈N
sup
f∈Lr2(Dρ)
f 6≡const
λrn(ρ)En(f)2,ρ
Ωk,ρ(Dr
ρ(f), 1/n)
=
1
(1− e−1)k
.
5. Сформулируем и докажем один из основных результатов данной статьи.
Теорема 1. Пусть n, k ∈ N, r ∈ Z+, 0 < p 6 2, 0 < h < 1, ϕ — неотрицательная из-
меримая суммируемая на интервале (0, h) неэквивалентная нулю функция. Тогда справедливо
равенство
sup
f∈Lr2(Dρ)
f 6≡const
λrn(ρ)En(f)2,ρ{∫ h
0
Ωp
k,ρ(D
r
ρ(f), t)ϕ(t)dt
}1/p
=
1{∫ h
0
(1− (1− t)n)kpϕ(t)dt
}1/p
. (21)
Доказательство. Для получения оценки сверху экстремальной характеристики, располо-
женной в левой части соотношения (21), применим один вариант неравенства Минковского из
монографии [37, с. 104]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 1611
h∫
0
∞∑
j=m
∣∣f̃j(t)∣∣2
p/2
dt
1/p
>
∞∑
j=m
h∫
0
∣∣f̃j(t)∣∣pdt
2/p
1/2
, (22)
где 0 < p 6 2. Полагая f̃j := fjϕ
1/p, из формулы (22) получаем
h∫
0
∞∑
j=m
∣∣fj(t)∣∣2
p/2
ϕ(t)dt
1/p
>
∞∑
j=m
h∫
0
∣∣fj(t)∣∣pϕ(t)dt
2/p
1/2
. (23)
Для произвольного элемента f ∈ Lr2(Dρ) в силу формулы (13) запишем разложение функции
Dr
ρ(f) в ряд Фурье по системе полиномов {P̂j}j∈Z+ , ортонормированной на (a, b) с весом ρ,
Dr
ρ(f, x) =
∞∑
j=1
cj
(
Dr
ρ(f)
)
P̂j(x) =
∞∑
j=1
(−1)rλrj(ρ)cj(f)P̂j(x), (24)
где равенство понимается в смысле сходимости в метрике пространства L2,ρ(a, b). Из формул
(18) и (24) имеем
Ω2
k,ρ
(
Dr
ρ(f), t
)
=
∞∑
j=1
(
1− (1− t)j
)2k
λ2rj (ρ)c2j (f), 0 < t < 1. (25)
Используя соотношения (23), (25), (7) и учитывая, что последовательность {λj(ρ)}j∈N положи-
тельных чисел является монотонно возрастающей, записываем
h∫
0
Ωp
k,ρ
(
Dr
ρ(f), t
)
ϕ(t)dt
1/p
=
h∫
0
(
Ω2
k,ρ
(
Dr
ρ(f), t
))p/2
ϕ(t)dt
1/p
>
>
h∫
0
∞∑
j=n
λ2rj (ρ)(1− (1− t)j)2kc2j (f)
p/2
ϕ(t)dt
1/p
>
>
∞∑
j=n
λ2rj (ρ)c2j (f)
h∫
0
(
1− (1− t)j
)kp
ϕ(t)dt
2/p
1/2
>
> λrn(ρ)
h∫
0
(
1− (1− t)n
)kp
ϕ(t)dt
1/p
En(f)2,ρ.
Отсюда получаем оценку сверху рассматриваемой экстремальной характеристики
sup
f∈Lr2(Dρ)
f 6≡const
λrn(ρ)En(f)2,ρ{∫ h
0
Ωp
k,ρ(D
r
ρ(f), t)ϕ(t)dt
}1/p
6
1{∫ h
0
(1− (1− t)n)kpϕ(t)dt
}1/p
. (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1612 С. Б. ВАКАРЧУК, А. В. ШВАЧКО
Для получения оценки снизу указанной экстремальной характеристики полагаем f0 :=
:= P̂n. Очевидно, что функция f0 ∈ Lr2(Dρ). В силу формулы (7) имеем En(f0)2,ρ = 1. Из
равенства (25) получаем
Ωk,ρ(D
r
ρ(f0), t) = (1− (1− t)n)kλrn(ρ), 0 < t < 1.
Тогда
h∫
0
Ωp
k,ρ
(
Dr
ρ(f0), t
)
ϕ(t)dt = λrpn (ρ)
h∫
0
(
1− (1− t)n
)kp
ϕ(t)dt.
Отсюда следует неравенство
sup
f∈Lr2(Dρ)
f 6≡const
λrn(ρ)En(f)2,ρ{∫ h
0
Ωp
k,ρ
(
Dr
ρ(f), t
)
ϕ(t)dt
}1/p
>
>
λrn(ρ)En(f0)2,ρ{∫ h
0
Ωp
k,ρ
(
Dr
ρ(f0), t
)
ϕ(t)dt
}1/p
=
1{∫ h
0
(
1− (1− t)n
)kp
ϕ(t)dt
}1/p
. (27)
Сопоставляя оценку сверху (26) и оценку снизу (27), получаем требуемое равенство (21).
Теорема 1 доказана.
Два приведенных далее следствия, вытекающие из теоремы 1, касаются двух частных слу-
чаев: p = 1/k и ϕ ≡ 1, p = 1/k соответственно.
Следствие 1. Имеет место равенство
sup
f∈Lr2(Dρ)
f 6≡const
λrn(ρ)En(f)2,ρ{∫ h
0
Ω
1/k
k,ρ
(
Dr
ρ(f), t
)
ϕ(t)dt
}k =
1{∫ h
0
(
1− (1− t)n
)
ϕ(t)dt
}k ,
где k, n ∈ N, r ∈ Z+, h ∈ (0, 1), а функция ϕ и величина h удовлетворяют требованиям
теоремы 1.
Следствие 2. Пусть k, n ∈ N, r ∈ Z+, h ∈ (0, 1). Тогда справедливо равенство
sup
f∈Lr2(Dρ)
λrn(ρ)En(f)2,ρ{
(n+ 1)
∫ h
0
Ω
1/k
k,ρ
(
Dr
ρ(f), t
)
dt
}k =
1{
(n+ 1)h− 1 + (1− h)n+1
}k . (28)
Полагая, например, в формуле (28) h := 1/(n + 1) и r := 0, получаем один из результатов
работы [21] в одномерном случае, а именно,
sup
f∈L2,ρ(a,b)
f 6≡const
En(f)2,ρ{
(n+ 1)
∫ 1/(n+1)
0
Ω
1/k
k,ρ (f, t)dt
}k =
1(
1− 1
n+ 1
)(n+1)k
. (29)
Из формулы (29) имеем предельное равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 1613
lim
n→∞
sup
f∈L2,ρ(a,b)
f 6≡const
En(f)2,ρ{
(n+ 1)
∫ 1/(n+1)
0
Ω
1/k
k,ρ (f, t)dt
}k = ek.
6. В теории аппроксимации функций вещественной переменной часто используется идея
замены произвольной функции f достаточно гладкой функцией g. Одна из наиболее эффек-
тивных ее реализаций основана на методе K-функционала Петре в теории интерполяционных
пространств [38]. Также отметим, что K-функционалы нашли применение при решении ряда
задач, в том числе и экстремальных, теории аппроксимации функций (см., например, [17, 18, 23,
39, 40]). Напомним, что при изучении вопросов аппроксимации функций на всей вещественной
оси полиномами с весом Чебышева – Эрмита K-функционалы с использованием дифферен-
циальных операторов (11) и (12) были введены в работах [17] и [18] соответственно. При этом,
в смысле слабой эквивалентности, были установлены связи между K-функционалами и ха-
рактеристиками гладкости функций, основанными на использовании операторов обобщенного
сдвига.
Использовав введенные ранее обозначения и понятия, определим в рассматриваемом случае
K-функционал
Km(f, tm)2,ρ := Km
(
f, tm;L2,ρ(a, b);L
m
2 (Dρ)
)
=
= inf
{
‖f − g‖2,ρ + tm
∥∥Dm
ρ (g)
∥∥
2,ρ
: g ∈ Lm2 (Dρ)
}
, (30)
где m ∈ N, 0 < t < 1. Определенный интерес, с нашей точки зрения, представляет вычисление
точных значений экстремальных величин, подобных приведенной в формуле (20), где вместо
модуля непрерывности (10) будет использован K-функционал (30).
Теорема 2. Пусть n,m, r принадлежат N. Тогда имеет место равенство
sup
f∈Lr2(Dρ)
f 6≡const
λrn(ρ)En(f)2,ρ
Km
(
Dr
ρ(f), 1/λmn (ρ)
)
2,ρ
= 1. (31)
Доказательство. Воспользовавшись формулами (7) и (13), для произвольной функции
f ∈ Lr2(Dρ) запишем
En(f)2,ρ =
∞∑
j=n
1
λ2rj (ρ)
c2j
(
Dr
ρ(f)
)
1/2
6
1
λrn(ρ)
∞∑
j=n
c2j
(
Dr
ρ(f)
)
1/2
=
=
1
λrn(ρ)
En
(
Dr
ρ(f)
)
2,ρ
6
1
λrn(ρ)
∥∥Dr
ρ(f)− Sn−1(g)
∥∥
2,ρ
, (32)
где
Sn−1(g, x) =
n−1∑
j=0
cj(g)P̂j(x)
— частная сумма (n − 1)-го порядка ряда Фурье произвольной функции g ∈ Lm2 (Dρ) по орто-
нормированной на (a, b) с весом ρ системе полиномов {P̂}j∈Z+ . В силу равенства (7) и сооб-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1614 С. Б. ВАКАРЧУК, А. В. ШВАЧКО
ражений, связанных с получением соотношения (32), для произвольной функции g ∈ Lm2 (Dρ)
имеем ∥∥g − Sn−1(g)
∥∥
2,ρ
= En(g)2,ρ 6
1
λmn (ρ)
En
(
Dm
ρ (g)
)
2,ρ
. (33)
Применяя к правой части соотношения (32) неравенство треугольника и используя форму-
лу (33), получаем
En(f)2,ρ 6
1
λrn(ρ)
{∥∥Dr
ρ(f)− g
∥∥
2,ρ
+
∥∥g − Sn−1(g)
∥∥
2,ρ
}
6
6
1
λrn(ρ)
{∥∥Dr
ρ(f)− g
∥∥
2,ρ
+
1
λmn (ρ)
∥∥Dm
ρ (g)
∥∥
2,ρ
}
. (34)
Нетрудно видеть, что левая часть данного неравенства не зависит от функции g, являющейся
произвольным элементом множества Lm2 (Dρ). Переходя в правой части неравенства (34) к
нижней грани по g ∈ Lm2 (Dρ) и используя определение K-функционала (30), записываем
En(f)2,ρ 6
1
λrn(ρ)
Km
(
Dr
ρ(f),
1
λmn (ρ)
)
.
Отсюда следует оценка сверху
sup
f∈Lr2(Dρ)
f 6≡const
λrn(ρ)En(f)2,ρ
Km
(
Dr
ρ(f), 1/λmn (ρ)
)
2,ρ
6 1. (35)
Установим оценку снизу рассматриваемой экстремальной характеристики. Используя фор-
мулу (13), для произвольного полинома n-й степени
Qn(x) =
n∑
j=0
ajP̂j(x),
где aj ∈ R, j = 0, n, имеем
Dr
ρ(Qn, x) = (−1)r
n∑
j=1
λrj(ρ)ajP̂j(x). (36)
Поскольку
‖Qn‖2,ρ =
n∑
j=0
a2j
1/2
,
учитывая, что последовательность чисел {λj(ρ)}nj=1 является монотонно возрастающей, из (36)
получаем
‖Dr
ρ(Qn)‖2,ρ =
n∑
j=1
λ2rj (ρ)a2j
1/2
6 λrn(ρ)‖Qn‖2,ρ. (37)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 1615
Пусть Qn ∈ Pn — произвольный полином. Полагая в формуле (30) последовательно g ≡ 0
и g ≡ Qn, для K-функционала Km(Qn)2,ρ получаем неравенства
Km(Qn, t
m)2,ρ 6
‖Qn‖2,ρ,tm
∥∥Dm
ρ (Qn)
∥∥
2,ρ
.
(38)
Пусть, как и ранее, f0 := P̂n. Поскольку f0 ∈ Lr2(Dρ), в силу равенства (36) записываем
Dr+m
ρ (f0, x) = (−1)r+mλr+mn (ρ)P̂n(x). (39)
Из формулы (39) и второго неравенства в соотношении (38) получаем
Km
(
Dr
ρ(f0),
1
λmn (ρ)
)
2,ρ
6
1
λmn (ρ)
∥∥Dr+m
ρ (f0)
∥∥
2,ρ
= λrn(ρ)‖P̂n‖2,ρ = λrn(ρ). (40)
Используя неравенство (40) и тот факт, что En(f0)2,ρ = 1, имеем
sup
f∈Lr2(Dρ)
f 6≡const
λrn(ρ)En(f)2,ρ
Km
(
Dr
ρ(f), 1/λmn (ρ)
)
2,ρ
>
λrn(ρ)En(f0)2,ρ
Km
(
Dr
ρ(f0), 1/λ
m
n (ρ)
)
2,ρ
> 1. (41)
Сопоставляя оценку сверху (35) и оценку снизу (41) рассматриваемой экстремальной характе-
ристики, получаем требуемое равенство (31).
Теорема 2 доказана.
7. Пусть B — единичный шар в пространстве L2,ρ(a, b), Ln ⊂ L2,ρ(a, b) — n-мерное под-
пространство, Ln ⊂ L2,ρ(a, b) — подпространство коразмерности n, Λ: L2,ρ(a, b) → Ln —
непрерывный линейный оператор, Λ⊥ : L2,ρ(a, b) → Ln — непрерывный оператор линейного
проектирования, M — выпуклое центрально-симметричное подмножество из L2,ρ(a, b). Вели-
чины
bn
(
M;L2,ρ(a, b)
)
= sup
{
sup
{
ε > 0: εB ∩ Ln+1 ⊂M
}
: Ln+1 ⊂ L2,ρ(a, b)
}
,
dn
(
M;L2,ρ(a, b)
)
= inf
{
sup
{
inf
{
‖f − g‖2,ρ : g ∈ Ln
}
: f ∈M
}
: Ln ⊂ L2,ρ(a, b)
}
,
δn
(
M;L2,ρ(a, b)
)
=
= inf
{
inf
{
sup
{
‖f − Λf‖2,ρ : f ∈M
}
: ΛL2,ρ(a, b) ⊂ Ln
}
: Ln ⊂ L2,ρ(a, b)
}
,
dn
(
M;L2,ρ(a, b)
)
= inf
{
inf
{
‖f‖2,ρ : f ∈M ∩ Ln
}
: Ln ⊂ L2,ρ(a, b)
}
,
Πn
(
M;L2,ρ(a, b)
)
=
= inf
{
inf
{
sup
{
‖f − Λ⊥f‖2,ρ : f ∈M
}
: Λ⊥L2,ρ(a, b) ⊂ Ln
}
: Ln ⊂ L2,ρ(a, b)
}
называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским и
проекционным поперечниками подмножества M в пространстве L2,ρ(a, b). Поскольку, как от-
мечалось ранее, пространство L2,ρ(a, b) с соответствующим образом введенным скалярным
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1616 С. Б. ВАКАРЧУК, А. В. ШВАЧКО
произведением является гильбертовым, между введенными экстремальными характеристика-
ми подмножества M имеют место следующие соотношения (см., например, [41]):
bn
(
M;L2,ρ(a, b)
)
6 dn
(
M;L2,ρ(a, b)
)
6 dn
(
M;L2,ρ(a, b)
)
=
= Πn
(
M;L2,ρ(a, b)
)
= δn
(
M;L2,ρ(a, b)
)
. (42)
ПустьH ∈ (0, 1), p ∈ (0, 2], r, k ∈ N, ϕ — неотрицательная суммируемая на интервале (0, H)
неэквивалентная нулю измеримая функция. Через HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ) обозначим класс, состоящий
из функций f ∈ Lr2(Dρ), у которых Dr
ρ(f) удовлетворяет условию
H∫
0
Ωp
k,ρ
(
Dr
ρ(f), t
)
ϕ(t)dt 6 1.
Теорема 3. Имеют место равенства
qn
(
HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ);L2,ρ(a, b)
)
= En
(
HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ)
)
2,ρ
=
= λ−rn (ρ)
H∫
0
(
1− (1− t)n
)kp
ϕ(t)dt
−1/p
, (43)
где n ∈ N, 0 < p 6 2, qn(·) — любой из поперечников, перечисленных выше,
En
(
HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ)
)
2,ρ
:= sup
{
En(f)2,ρ : f ∈ HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ)
}
.
Доказательство. Используя определение класса HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ), соотношения (21) и (42),
получаем оценки сверху рассматриваемых экстремальных характеристик
qn
(
HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ);L2,ρ(a, b)
)
6 dn
(
HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ);L2,ρ(a, b)
)
6
6 En
(
HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ)
)
2,ρ
6 λ−rn (ρ)
H∫
0
(
1− (1− t)n
)kp
ϕ(t)dt
−1/p
. (44)
Для получения оценок снизу на множестве Pn ∩ L2,ρ(a, b) рассмотрим шар
Bn+1 :=
Qn ∈ Pn : ‖Qn‖2,ρ 6 λ−rn (ρ)
H∫
0
(
1− (1− t)n
)kp
ϕ(t)dt
−1/p
и покажем его принадлежность классу HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ). Для произвольного полинома Qn(x) =
=
∑n
j=0
ajP̂j(x), являющегося элементом множества Bn+1, на основании формул (25), (36) и
монотонного возрастания элементов последовательности
{
λj(ρ)
}
j∈N имеем
Ωk,ρ
(
Dr
ρ(Qn), t
)
=
n∑
j=1
(
1− (1− t)j
)2k
λ2rj (ρ)a2j
1/2
6 λrn(ρ)(1− (1− t)n)k‖Qn‖2,ρ. (45)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 1617
Возводя левую и правую части неравенства (45) в степень p, умножая их затем на функцию
ϕ и интегрируя обе части полученного таким образом неравенства по переменной t в пределах
от 0 до H, имеем
H∫
0
Ωp
k,ρ
(
Dr
ρ(Qn), t
)
ϕ(t)dt 6 λrpn (ρ)‖Qn‖p2,ρ
H∫
0
(1− (1− t)n)kpϕ(t)dt 6 1.
Следовательно, Bn+1 ⊂ HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ). Используя определение бернштейновского попереч-
ника и соотношение (42), записываем
qn
(
HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ);L2,ρ(a, b)
)
> bn
(
HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ);L2,ρ(a, b)
)
>
> bn
(
Bn+1;L2,ρ(a, b)
)
2,ρ
> λ−rn (ρ)
H∫
0
(
1− (1− t)n
)kp
ϕ(t)dt
−1/p
. (46)
Требуемые равенства (43) следуют из сопоставления оценок сверху (44) и снизу (46), что и
завершает доказательство теоремы 3.
Изучением на некоторых классах функций поведения коэффициентов ряда Фурье, получен-
ных для определенных систем ортогональных с весом полиномов, в разное время занимались
С. З. Рафальсон, В. А. Абилов, Б. А. Халилова и другие (см., например, [10, 14, 23]). С нашей
точки зрения данный вопрос представляет интерес и в рассматриваемом случае.
Следствие 3. Пусть n принадлежит N, 0 < p 6 2. Тогда имеет место равенство
sup
{∣∣cn(f)
∣∣ : f ∈ HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ)
}
= λ−rn (ρ)
H∫
0
(1− (1− t)n)kpϕ(t)dt
−1/p
. (47)
Доказательство. Для произвольной функции f ∈ L2,ρ(a, b) и n ∈ N запишем
cn(f) =
b∫
a
ρ(x)f(x)P̂n(x)dx =
b∫
a
ρ(x)
(
f(x)− Sn−1(f, x)
)
P̂n(x)dx =
=
b∫
a
{
ρ1/2(x)
(
f(x)− Sn−1(f, x)
)}{
ρ1/2(x)P̂n(x)
}
dx, (48)
где Sn−1(f) — частная сумма (n − 1)-го порядка ряда Фурье функции f, построенного по
системе полиномов {P̂j}j∈Z+ , ортонормированных с весом ρ на (a, b). Используя неравенство
Коши – Буняковского и формулу (7), из равенства (48) имеем∣∣cn(f)
∣∣ 6 ∥∥f − Sn−1(f)
∥∥
2,ρ
‖P̂n‖2,ρ = En(f)2,ρ. (49)
Из формул (43) и (49) получаем оценку сверху исследуемой экстремальной характеристики
sup
{∣∣cn(f)
∣∣ : f ∈ HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ)
}
6 En
(
HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ)
)
2,ρ
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1618 С. Б. ВАКАРЧУК, А. В. ШВАЧКО
= λ−rn (ρ)
H∫
0
(
1− (1− t)n
)kp
ϕ(t)dt
−1/p
. (50)
Для получения оценки снизу величины, записанной в левой части неравенства (50), рас-
смотрим функцию
f̃(x) := λ−rn (ρ)
H∫
0
(
1− (1− t)n
)kp
ϕ(t)dt
−1/p
P̂n(x),
которая, как нетрудно убедиться, является элементом множества Bn+1, введенного при доказа-
тельстве теоремы 3. Поскольку Bn+1 ⊂ HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ), то и функция f̃ принадлежит данному
классу. Поэтому
sup
{∣∣cn(f)
∣∣ : f ∈ HW r
2,p(Ωk,ρ;ϕ)
}
>
∣∣cn(f̃)
∣∣ =
= λ−rn (ρ)
H∫
0
(
1− (1− t)n
)kp
ϕ(t)dt
−1/p
. (51)
Сопоставляя оценку сверху (50) с оценкой снизу (51), получаем требуемое равенство (47).
Следствие 2 доказано.
8. Неубывающую на [0,∞) функцию Φ называют k-мажорантой (см., например, [43, с. 25]),
если функция Φ(t)/tk, где k ∈ N, не возрастает на (0,∞), Φ(0) = 0 и при t → 0 имеем
Φ(t)→ 0. Множество всех k-мажорант обозначим символом Fk.
Символом W r
2,k(Km,ρ; Φ), r ∈ Z+, m, k ∈ N, обозначим класс функций f ∈ Lr2(Dρ), для
которых функция Dr
ρ(f) удовлетворяет условию
Km
(
Dr
ρ(f), tm
)
2,ρ
6 Φ(tm),
где 0 < t 6 1 — любое число. Здесь Φ — произвольная функция из множества Fk. В случае k = 1
вместо символа W r
2,1(Km,ρ; Φ) всюду далее будем использовать обозначение W r
2 (Km,ρ; Φ).
Теорема 4. Для любого натурального числа n имеют место следующие равенства:
qn
(
W r
2 (Km,ρ; Φ);L2,ρ(a, b)
)
= En
(
W r
2 (Km,ρ; Φ)
)
2,ρ
= λ−rn (ρ)Φ
(
λ−mn (ρ)
)
, (52)
где r ∈ Z+, m ∈ N, qn(·) — любой из поперечников, рассмотренных ранее.
Доказательство. Используя соотношения (42) и (31), а также определение класса
W r
2 (Km,ρ; Φ), получаем оценки сверху
qn
(
W r
2 (Km,ρ; Φ);L2,ρ(a, b)
)
6 dn
(
W r
2 (Km,ρ; Φ);L2,ρ(a, b)
)
6 En
(
W r
2 (Km,ρ; Φ)
)
2,ρ
=
= sup
{
En(f)2,ρ : f ∈W r
2 (Km,ρ; Φ)
}
6 λ−rn (ρ)Φ
(
λ−mn (ρ)
)
. (53)
Для получения оценок снизу рассматриваемых экстремальных характеристик воспользуем-
ся формулой (42) и определением бернштейновского поперечника, предварительно показав
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 1619
справедливость включения B̃n+1 ⊂W r
2 (Km,ρ; Φ), где
B̃n+1 :=
{
Qn ∈ Pn :
∥∥Qn∥∥2,ρ 6 λ−rn (ρ)Φ
(
λ−mn (ρ)
)}
.
Поскольку функция Φ, в силу определения класса W r
2 (Km,ρ; Φ), принадлежит множеству F1,
для любых значений 0 < x1 6 x2 6 1 выполняется неравенство
Φ(x1)
x1
>
Φ(x2)
x2
. (54)
Полагая x1 := tm1 , x2 := tm2 , где 0 < t1 6 t2 < 1, из (54) имеем
Φ(tm1 )
Φ(tm2 )
>
(
t1
t2
)m
. (55)
Нам также понадобится неравенство∥∥Dr+m
ρ (Qn)
∥∥
2,ρ
6 λr+mn (ρ)‖Qn‖2,ρ, Qn ∈ Pn, (56)
вытекающее из соотношения (37).
Пусть 0 < t 6 1/λn(ρ). Используя неравенство (55), в котором полагаем t1 := t, t2 :=
:= 1/λn(ρ), а также применяя второе неравенство из соотношения (38) и неравенство (56), для
произвольного полинома Qn ∈ B̃n+1 получаем
Km
(
Dr
ρ(Qn), tm
)
2,ρ
6 tm
∥∥Dr+m
ρ (Qn)
∥∥
2,ρ
6 λr+mn (ρ)tm‖Qn‖2,ρ 6
6 tmλmn (ρ)Φ
(
λ−mn (ρ)
)
6 Φ(tm). (57)
Далее полагаем 1/λn(ρ) 6 t < 1. Используя первое неравенство в соотношении (38) и нера-
венство (37), а также учитывая, что Φ — неубывающая функция, для произвольного полинома
Qn ∈ B̃n+1 записываем
Km
(
Dr
ρ(Qn), tm
)
2,ρ
6
∥∥Dr
ρ(Qn)
∥∥
2,ρ
6 λrn(ρ)‖Qn‖2,ρ 6 Φ
(
λ−mn (ρ)
)
6 Φ(tm). (58)
Следовательно, множество B̃n+1 принадлежит классуW r
2 (Km,ρ; Φ). Из изложенного и формулы
(42) имеем
qn
(
W r
2 (Km,ρ; Φ);L2,ρ(a, b)
)
> bn
(
W r
2 (Km,ρ; Φ);L2,ρ(a, b)
)
>
> bn
(
B̃n+1;L2,ρ(a, b)
)
> λ−rn (ρ)Φ
(
λ−mn (ρ)
)
. (59)
Равенства (52) получаем, сравнивая оценки сверху (53) и оценки снизу (59).
Теорема 4 доказана.
Следствие 4. Пусть n ∈ N, r ∈ Z+, m ∈ N. Тогда справедливо равенство
sup
{∣∣cn(f)
∣∣ : f ∈W r
2 (Km,ρ; Φ)
}
= λ−rn (ρ)Φ
(
λ−mn (ρ)
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1620 С. Б. ВАКАРЧУК, А. В. ШВАЧКО
Доказательство данного следствия не приводится, поскольку оно, в общих чертах, повторяет
доказательство следствия 3.
В заключение отметим, что множество функций F1 является достаточно широким, так
как ему принадлежит, например, любой заданный на отрезке [0, 1] выпуклый вверх модуль
непрерывности, и для него неравенство (54) выполняется автоматически. Другие примеры
функций, принадлежащих множеству F1, можно найти в работах [39, 40].
1. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. – М.: Наука, 1978. – 320 с.
2. Абилов В. А., Абилова Ф. В., Керимов М. К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье по ортогональным
многочленам в пространстве L2
(
(a, b), p(x)
)
// Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2009. – 49, № 6. –
С. 966 – 980.
3. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. – М.: Мир, 1980. – 608 с.
4. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. – М.: Изд-во иностр. лит., 1948. – 260 с.
5. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. – М.; Л.: Гостехиздат, 1949. – 688 с.
6. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. – Изд. 3-е. – М.: Физматлит, 2007. – 480 с.
7. Потапов М. К. О приближении непериодических функций алгебраическими полиномами // Вестн. Моск.
ун-та. Математика, механика. – 1960. – 4. – С. 14 – 25.
8. Яхнин В. М. Об остаточных членах разложения в ряд Фурье по полиномам Якоби функций, r-я производная
которых удовлетворяет условию Липшица // Укр. мат. журн. – 1960. – 12, № 2. – С. 194 – 204.
9. Жидков Г. В. Конструктивная характеристика одного класса непериодических функций // Докл. АН СССР. –
1969. – 169, № 5. – С. 1002 – 1005.
10. Рафальсон С. З. О приближении функций в среднем суммами Фурье – Якоби // Изв. вузов. Математика. –
1968. – № 4. – С. 54 – 62.
11. Рафальсон С. З. О приближении функций в среднем суммами Фурье – Эрмита // Изв. вузов. Математика. –
1968. – № 7. – С. 78 – 84.
12. Фройд Г. Об аппроксимации с весом алгебраическими многочленами на действительной оси // Докл. АН
СССР. – 1970. – 191, № 2. – С. 293 – 294.
13. Джафаров А. С. Осредненные модули непрерывности и некоторые связи их с наилучшими приближения-
ми // Докл. АН СССР. – 1977. – 236, № 2. – С. 288 – 291.
14. Халилова Б. А. О коэффициентах Фурье – Якоби и о приближении функций ультрасферическими многочлена-
ми // Изв. АН АзербССР. Сер. физ.-тех. и мат. наук. – 1973. – № 2. – С. 87 – 94.
15. Моторный В. П. О сходимости в среднем рядов Фурье по многочленам Лежандра // Изв. АН СССР. Сер. мат. –
1973. – 37, № 1. – С. 135 – 147.
16. Бадков В. М. Аппроксимативные свойства рядов Фурье по ортогональным полиномам // Успехи мат. наук. –
1978. – 33, № 4. – С. 51 – 106.
17. Федоров В. М. Приближение алгебраическими многочленами с весом Чебышева – Эрмита // Изв. вузов. Мате-
матика. – 1984. – № 6. – С. 55 – 63.
18. Алексеев Д. В. Приближение полиномами с весом Чебышева – Эрмита на действительной оси // Вестн. Моск.
ун-та. Математика, механика. – 1997. – № 6. – С. 68 – 71.
19. Абилов В. А. Приближение функций суммами Фурье – Лагерра // Мат. заметки. – 1995. – 57, № 2. – С. 163 – 170.
20. Абилов В. А., Абилова Ф. В. Приближение функций алгебраическими полиномами в среднем // Изв. вузов.
Математика. – 1997. – № 3. – С. 61 – 63.
21. Абилов М. В., Айгунов Г. А. Некоторые вопросы приближения функций многих переменных суммами Фурье в
пространстве L2
(
(a, b)n; p(x)
)
// Успехи мат. наук. – 2004. – 59, № 6. – С. 201 – 202.
22. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона – Стечкина для L2-приближений на полупрямой с весом Лагер-
ра // Труды Междунар. школы С. Б.Стечкина по теории функций (Россия, Миасс Челябинской обл., 24 июля – 3
августа 1998 г.). – Екатеринбург: Ин-т математики и механики УрОРАН. – 1999. – С. 38 – 63.
23. Вакарчук С. Б. О неравенствах типа Джексона в L2[−1, 1] и точных значениях n-поперечников функциональ-
ных классов // Укр. мат. вiсн. – 2006. – 3, № 41. – С. 102 – 119.
24. Корнейчук Н. П. Точная константа в теореме Д.Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерыв-
ных периодических функций // Докл. АН СССР. – 1962. – 145, № 3. – С. 514 – 515.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ В СРЕДНЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ . . . 1621
25. Черных Н. И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1967. – 88. – С. 71 – 74.
26. Тайков Л. В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности в L2 // Мат. замет-
ки. – 1976. – 20, № 3. – С. 433 – 438.
27. Лигун А. А. Точные неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в простран-
стве L2 // Мат. заметки. – 1978. – 24, № 6. – С. 785 – 792.
28. Бабенко А. Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2 // Мат. заметки. – 1986. – 39, № 5. – С. 651 – 664.
29. Степанец А. И., Сердюк А. С. Прямые и обратные теоремы теории приближения функций в пространстве
Sp // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 1. – С. 106 – 124.
30. Сердюк А. С. Поперечники в просторi Sp класiв функцiй, що означаються модулями неперервностi їх ψ-
похiдних // Екстремальнi задачi теорiї функцiй та сумiжнi питання: Працi Iн-ту математики НАН України. –
2003. – 46. – С. 229 – 248.
31. Вакарчук С. Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в L2 // Мат. заметки. – 2006. –
80, № 1. – С. 11 – 19.
32. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. Точные неравенства типа Джексона – Стечкина в L2 и поперечники функцио-
нальных классов // Мат. заметки. – 2009. – 86, № 3. – С. 328 – 336.
33. Иванов В. И., Смирнов О. И. Константы Джексона и константы Юнга в пространстве Lp. – Тула: Тул. ун-т,
1995. – 192 с.
34. Даугавет И. К. Введение в теорию приближения функций. – Л.: Ленингр. гос. ун-т, 1977. – 184 с.
35. Потапов М. К. О применении одного оператора обобщенного сдвига в теории приближений // Вестн. Моск.
ун-та. Математика, механика. – 1998. – № 3. – С. 38 – 48.
36. Сеге Г. Ортогональные многочлены. – М.: Физматгиз, 1962. – 500 с.
37. Pinkus A. n-Widths in approximation theory. – New York: Springer-Verlag, 1985. – 290 p.
38. Берг И., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. – М.: Мир, 1980. – 264 с.
39. Вакарчук С. Б. K-функционалы и точные значения n-поперечников некоторых классов из L2 // Мат. заметки. –
1999. – 66, № 4. – С. 494 – 499.
40. Вакарчук С. Б. О K-функционалах и точных значениях n-поперечников некоторых классов в пространствах
C(2π) и L1(2π) // Мат. заметки. – 2002. – 71, № 4. – С. 522 – 531.
41. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Моск. ун-т, 1976. – 304 с.
42. Абилов В. А. О коэффициентах ряда Фурье – Эрмита непрерывных функций // Изв. вузов. Математика. – 1969. –
№ 12. – С. 3 – 8.
43. Шевчук И. А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. – Киев: Наук. думка,
1992. – 225 с.
Получено 07.11.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2540 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:23Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/de/57493e74f5aca6e2daa6a303da2f99de.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25402020-03-18T19:26:06Z On the Best Approximation in the Mean by Algebraic Polynomials with Weight and the Exact Values of Widths for the Classes of Functions О наилучшей аппроксимации в среднем алгебраическими полиномами с весом и точных значениях поперечников классов функций Vakarchuk, S. B. Shvachko, A. V. Вакарчук, С. Б. Швачко, А. В. The exact value of the extremal characteristic is obtained on the class L 2 r (D ρ ), where r ∈ ℤ+; \( {D}_{\rho} = \sigma (x)\frac{d^2}{d{ x}^2}+\tau (x)\frac{d}{d x} \) , σ and τ are polynomials of at most the second and first degrees, respectively, ρ is a weight function, 0 < p ≤ 2, 0 < h На класі функцій L 2 r (D ρ ),, де r ∈ ℤ+; \( {D}_{\rho} = \sigma (x)\frac{d^2}{d{ x}^2}+\tau (x)\frac{d}{d x} \) , σ та τ — поліноми не вище другого та першого степенів відповідно, ρ — вагова функція, обчислено точне значення екстремальної характеристики Тут 0 < p ≤ 2, 0 < h Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2540 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 12 (2013); 1604–1621 Український математичний журнал; Том 65 № 12 (2013); 1604–1621 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2540/1840 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2540/1841 Copyright (c) 2013 Vakarchuk S. B.; Shvachko A. V. |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Shvachko, A. V. Вакарчук, С. Б. Швачко, А. В. On the Best Approximation in the Mean by Algebraic Polynomials with Weight and the Exact Values of Widths for the Classes of Functions |
| title | On the Best Approximation in the Mean by Algebraic Polynomials with Weight and the Exact Values of Widths for the Classes of Functions |
| title_alt | О наилучшей аппроксимации в среднем алгебраическими
полиномами с весом и точных значениях поперечников классов функций |
| title_full | On the Best Approximation in the Mean by Algebraic Polynomials with Weight and the Exact Values of Widths for the Classes of Functions |
| title_fullStr | On the Best Approximation in the Mean by Algebraic Polynomials with Weight and the Exact Values of Widths for the Classes of Functions |
| title_full_unstemmed | On the Best Approximation in the Mean by Algebraic Polynomials with Weight and the Exact Values of Widths for the Classes of Functions |
| title_short | On the Best Approximation in the Mean by Algebraic Polynomials with Weight and the Exact Values of Widths for the Classes of Functions |
| title_sort | on the best approximation in the mean by algebraic polynomials with weight and the exact values of widths for the classes of functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2540 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb onthebestapproximationinthemeanbyalgebraicpolynomialswithweightandtheexactvaluesofwidthsfortheclassesoffunctions AT shvachkoav onthebestapproximationinthemeanbyalgebraicpolynomialswithweightandtheexactvaluesofwidthsfortheclassesoffunctions AT vakarčuksb onthebestapproximationinthemeanbyalgebraicpolynomialswithweightandtheexactvaluesofwidthsfortheclassesoffunctions AT švačkoav onthebestapproximationinthemeanbyalgebraicpolynomialswithweightandtheexactvaluesofwidthsfortheclassesoffunctions AT vakarchuksb onailučšejapproksimaciivsrednemalgebraičeskimipolinomamisvesomitočnyhznačeniâhpoperečnikovklassovfunkcij AT shvachkoav onailučšejapproksimaciivsrednemalgebraičeskimipolinomamisvesomitočnyhznačeniâhpoperečnikovklassovfunkcij AT vakarčuksb onailučšejapproksimaciivsrednemalgebraičeskimipolinomamisvesomitočnyhznačeniâhpoperečnikovklassovfunkcij AT švačkoav onailučšejapproksimaciivsrednemalgebraičeskimipolinomamisvesomitočnyhznačeniâhpoperečnikovklassovfunkcij |