Theorem on Closure and the Criterion of Compactness for the Classes of Solutions of the Beltrami Equations
We study the classes of regular solutions of degenerate Beltrami equations with constraints of the integral type imposed on a complex coefficient, prove the theorem on closure, and establish a criterion of compactness for these classes.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2544 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508454918029312 |
|---|---|
| author | Lomako, T.V. Ломако, Т. В. |
| author_facet | Lomako, T.V. Ломако, Т. В. |
| author_sort | Lomako, T.V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:26:06Z |
| description | We study the classes of regular solutions of degenerate Beltrami equations with constraints of the integral type imposed on a complex coefficient, prove the theorem on closure, and establish a criterion of compactness for these classes. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Т. В. Ломако (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ТЕОРЕМА ЗАМЫКАНИЯ И КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ
КЛАССОВ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ
The paper is devoted to the investigation of the classes of regular solutions to the degenerate Beltrami equations with
constraints of the integral type imposed on the complex coefficient. The theorem on closure and criterion of compactness
are obtained for these classes.
Дослiджуються класи регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями iнтегрального типу на
комплексний коефiцiєнт. Доведено теорему замикання i критерiй компактностi для таких класiв.
1. Введение. Недавно был доказан ряд новых теорем существования для вырожденных уравне-
ний Бельтрами (см., например, [1, 2]), что открыло широкое поле исследований экстремальных
задач в современных классах отображений на плоскости [3, 4]. В теории экстремальных задач
важную роль играют теоремы компактности.
В предыдущей работе автора [5] (см. также [6]) были рассмотрены отображения класса
Соболева W 1,1
loc с ограничениями на дилатацию интегрального типа и найдены достаточные
условия компактности. В данной работе получены условия, которые являются не только до-
статочными, но и необходимыми для компактности классов отображений с интегральными
ограничениями.
Пусть D — область в комплексной плоскости C, т. е. связное открытое подмножество C.
Уравнениями Бельтрами называются уравнения вида
fz = µ(z) · fz, (1)
где µ : D → C — измеримая функция, удовлетворяющая условию
∣∣µ(z)
∣∣ < 1 почти всюду,
fz = ∂f = (fx + ify) /2, fz = ∂f = (fx − ify) /2, z = x + iy, fx и fy — частные производные
отображения f по x и y соответственно. Функция µ называется комплексным коэффициентом,
а
Kµ(z) =
1 +
∣∣µ(z)
∣∣
1−
∣∣µ(z)
∣∣ (2)
— максимальной локальной дилатацией или просто дилатацией уравнения (1). Уравнение
Бельтрами (1) называется вырожденным, если Kµ /∈ L∞.
Напомним, что отображение f : D → C называется регулярным в точке z0 ∈ D, если f в
этой точке имеет полный дифференциал и его якобиан Jf (z) = |fz|2−|fz|2 6= 0 (см., например,
I.1.6 в [7]). В дальнейшем гомеоморфизм f класса Соболева W 1, 1
loc называется регулярным, если
Jf (z) > 0 почти всюду. Наконец, регулярным решением уравнения Бельтрами (1) в области D
называется регулярный гомеоморфизм, который удовлетворяет (1) почти всюду в D. Функции
µ и Kµ называются комплексной характеристикой и дилатацией отображения f. Отметим, что
понятие регулярного решения впервые введено в работе [8].
Напомним также, что функция f : D → C называется абсолютно непрерывной на линиях
(пишут f ∈ ACL), если для любого замкнутого прямоугольника R в D, стороны которого па-
раллельны координатным осям, f |R является абсолютно непрерывной на почти всех линейных
c© Т. В. ЛОМАКО, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12 1657
1658 Т. В. ЛОМАКО
сегментах в R, параллельных сторонам R (см., например, [9], гл. 2, п. В). Известно, что f
принадлежит W 1,1
loc тогда и только тогда, когда f принадлежит ACL и частные производные
локально интегрируемы в D (см., например, 1.1.3 в [10]).
Далее через h обозначим сферическое (хордальное) расстояние между точками z1 и z2 в
C :
h(z1, ∞) :=
1√
1 + |z1|2
, h(z1, z2) :=
|z1 − z2|√
1 + |z1|2
√
1 + |z2|2
, z1, z2 6=∞.
В дальнейшем dm(z) соответствует мере Лебега в C, через dS(z) =
(
1 + |z|2
)−2
dm(z)
обозначается элемент сферической площади в C, а через L1
S — класс всех функций Q : C→ R,
интегрируемых в C относительно сферической площади. Через m(E) обозначим меру Лебега
множества E ⊆ C. Положим также
S(E) =
∫
E
dS(z).
В дальнейшем непрерывность функции Φ: R+ → R+ понимается относительно тополо-
гии R+ := [0, ∞]. Функция Φ: R+ → R+ называется строго выпуклой, если она является
выпуклой, неубывающей и
lim
t→∞
Φ(t)
t
=∞ (3)
(см. [11], гл. III, п. 3.1.1).
Пусть Φ: I → R+ — произвольная функция, где I = [1, ∞]. Обозначим через FΦ
M , M ≥
≥ 0, класс всех регулярных решений f : C → C уравнения Бельтрами (1) с комплексными
коэффициентами µ такими, что ∫
C
Φ
(
Kµ(z)
)
dS(z) ≤M, (4)
и нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞. Отметим, что класс FΦ
M не является
тривиальным (см. доказательство предложения 3.4 в [12], а также доказательство предложения
13.4 в [3]).
Будем говорить, что функция Φ: I→ R+ имеет экспоненциальный рост на бесконечности,
если
Φ(t) ≥ βeγt (5)
для всех t ≥ T при некотором T ≥ 1, β > 0, γ > 0. В работе [12] (см. теорему 8, а также
теорему 13.2 в [3]) доказана компактность классов HΦ
M всех регулярных решений f : C → C
уравнения Бельтрами (1) с интегральными ограничениями вида∫
C
Φ
(
Kµ(z)
)
dm(z) ≤M (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ТЕОРЕМА ЗАМЫКАНИЯ И КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 1659
и нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞ при условии, что функция Φ непрерывна,
выпукла, не убывает, имеет экспоненциальный рост на∞ и inft∈I Φ = 0.
В работе [5] (см. теорему 3) установлена компактность класса FΦ
M при условии, что функция
Φ: I→ R+ непрерывна, строго выпукла и удовлетворяет условию
∞∫
δ
ln Φ(τ)
dτ
τ2
=∞ (7)
при некотором δ > δ0 := sup τ∈ I
Φ(τ)=0
τ. Здесь мы доопределяем δ0 = 1, если Φ(τ) > 0 для всех
τ ∈ I. В связи с изучением таких классов следует также обратить внимание на работы [13, 14].
Заметим, что выпуклая функция Φ: I → R+, удовлетворяющая условию (7), удовлетворяет и
условию (3). Это устанавливается рассуждением от противного, с использованием того факта,
что наклон
(
Φ(t)− Φ(t0)
)
/(t− t0) при некотором t0 ∈ I не убывает для указанной функций Φ
(см., например, предложение I.4.5 в [15]).
В настоящей работе показано, что указанные условия на функцию Φ с некоторым ослаб-
лением условия непрерывности являются не только достаточными, но и необходимыми для
компактности классов FΦ
M . Здесь также доказана теорема замыкания.
2. Теорема замыкания. Нижней огибающей функции Φ: I→ R+ будем называть функцию
Φ0(t) := sup
ϕ∈Ψ
ϕ(t), t ∈ I, (8)
где Ψ — семейство всех непрерывных неубывающих выпуклых функций ϕ : I → R+ таких,
что ϕ(t) ≤ Φ(t), t ∈ I. С подробным геометрическим описанием нижней огибающей можно
ознакомиться в [12] (гл. III, п. 3.1.3) и [3] (гл. 13, п. 13.1.3).
Из общих свойств выпуклых функций (см. [15], гл. I, п. 4.1) получаем следующее утвер-
ждение.
Предложение 1. Нижняя огибающая функции Φ : I → R+ представляет собой наиболь-
шую неубывающую выпуклую функцию Φ0 : I→ R+, которая непрерывна в смысле R+ слева в
точке
Q = sup
Φ(t)<∞
t (9)
и график которой лежит ниже графика Φ. При этом Φ0(t) ≡ ∞ для всех t > Q и Φ0(t) <∞
для всех t < Q.
Лемма 1. Пусть Φ: I → R+ является выпуклой и удовлетворяет условию (7). Тогда ее
нижняя огибающая Φ0 : I→ R+ также удовлетворяет условию (7).
Доказательство. Пусть Q = supΦ(t)<∞ t. Рассмотрим два случая.
1. Пусть Q <∞. Полагаем
ϕ(t) =
0, t ∈ [1, Q],
et−Q − 1, t > Q.
(10)
Тогда ϕ принадлежит классу Ψ, который определяет Φ0 и, следовательно, Φ0 удовлетворяет (7)
очевидным образом.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1660 Т. В. ЛОМАКО
2. Пусть Q = ∞. Прежде всего докажем, что для функции Φ найдется T ≥ 1 такое, что
Φ(t) возрастает на [T, ∞). Заметим, что функция Φ не может всюду убывать, так как тогда Φ
ограничена, а в этом случае нарушается соотношение (7). Таким образом, для функции Φ: I→
→ R+ найдутся хотя бы два значения a < b, a, b ∈ I, для которых выполнено неравенство
Φ(a) ≤ Φ(b). Покажем, что Φ не убывает на [b, ∞]. Предположим противное, тогда при неко-
торых t1, t2 ∈ [b, ∞], t1 ≤ t2, выполнено обратное неравенство Φ(t1) ≥ Φ(t2). Поскольку
наклон выпуклой функции есть функция неубывающая (см. [15], предложение 5, гл. I, п. 4.3),
мы, с одной стороны, имеем
0 >
Φ(t2)− Φ(t1)
t2 − t1
≥ Φ(a)− Φ(t1)
a− t1
, (11)
однако, с другой стороны, по той же причине
Φ(a)− Φ(t1)
a− t1
=
Φ(t1)− Φ(a)
t1 − a
≥ Φ(b)− Φ(a)
b− a
> 0. (12)
Соотношения (11) и (12) противоречат одно другому, поэтому Φ возрастает на [b, ∞], что и
требовалось доказать.
Выберем T ∗ ≥ T так, чтобы
Φ(T ∗) = Φ′(T ∗)(T ∗ − T ). (13)
В силу выпуклости и возрастания Φ такое T ∗ всегда существует (см., например, [16], гл. I,
п. 10.4).
Полагаем
ϕ(t) =
0, t ∈ [1, T ],
Φ′(T ∗)(t− T ), t ∈ [T, T ∗],
Φ(t), t ∈ [T ∗,∞].
(14)
Докажем, что ϕ(t) ≤ Φ(t) для t ∈ [T, T ∗). Предположим противное, т. е. что существует
t0 ∈ [T, T ∗) : ϕ(t0) > Φ(t0), тогда
Φ(T ∗)− Φ(t0)
T ∗ − t0
> Φ′(T ∗).
Как отмечалось выше, наклон выпуклой функции есть функция неубывающая, тогда при T ≤
≤ t0 ≤ T ∗ −∆t < T ∗ имеет место
Φ(T ∗)− Φ(T ∗ −∆t)
∆t
≥ Φ(T ∗)− Φ(t0)
T ∗ − t0
> Φ′(T ∗). (15)
Устремляя ∆t→ 0 в выражении (15), получаем противоречие.
Заметим, что при t = T ∗ касательная к графику функции Φ(t) проходит через точку
(Φ, t) = (0, T ), что эквивалентно (13), поэтому функция ϕ(t) принадлежит классу Ψ, кото-
рый определяет Φ0 и, следовательно, имеет место (7).
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ТЕОРЕМА ЗАМЫКАНИЯ И КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 1661
Лемма 2. Пусть Φ: I → R+ — неубывающая выпуклая функция, такая, что Q < ∞ и
Φ(Q) <∞, где Q определено в (9). Тогда найдется последовательность непрерывных строго
выпуклых функций Φm : I → R+ таких, что Φm(t) ≤ Φ(t) для всех m = 1, 2, . . . , t ∈ I и
Φm(t)→ Φ(t) при m→∞ для всех t ∈ I.
Доказательство. Действительно, если Q = 1 и Φ(1) < ∞, то в качестве Φm можно
взять последовательность функций Φm(t) = Φ(1) + emt − em. Пусть теперь Q ∈ (1, ∞). Тогда
найдется возрастающая последовательность точек tm ∈ (1, Q) такая, что tm → Q при m→∞,
в которых существуют производные Φ′(tm), m = 1, 2, . . . (см., например, следствие 2 в I.4.3
[15]). Полагаем Φm(t) = Φ(t), t ∈ [1, tm], Φm(t) = Φ(tm) + Φ′(tm)(t − tm), t ∈ (tm, Q], и
Φm(t) = Φ(tm) + Φ′(tm)(Q − tm) + emt − emQ при t ∈ (Q, ∞]. Очевидно, что функции Φm
непрерывны и строго выпуклы и, кроме того, Φm(t) ≤ Φ(t) для всех m = 1, 2, . . . и t ∈ I (см.,
например, следствие 7 в I.4.3 [15]). Остается заметить, что Φm(t)→ Φ(t) при m→∞ для всех
t ∈ I.
Лемма доказана.
Прототип следующей теоремы для функций Φ с экспоненциальным ростом на бесконечнос-
ти можно найти в работе [12] (теорема 7) и [3] (теорема 13.1).
Теорема 1. Пусть для нижней огибающей Φ0 : I → R+ функции Φ: I → R+ выполнено
условие вида (7). Тогда в топологии равномерной сходимости в C относительно сферической
метрики
FΦ
M ⊆ FΦ0
M ∀M ∈ R+ := [0,∞). (16)
Доказательство. Прежде всего заметим, что если Φ(t) ≡ ∞ ≡ Φ0(t), то класс FΦ
M пуст для
любого M ∈ R+ и тогда включение (16) очевидно. Напомним также, что класс FΦ0
M является
компактным по теореме 3 из работы [5], если Φ0 — непрерывная в смысле R+ функция.
Рассмотрим случай, когда Q < ∞ и Φ0(Q) < ∞. Воспользуемся леммой 2, в которой в
качестве Φ и Φm возьмем функции Φ0 и Φ0m соответственно. Поскольку класс FΦ0m
M является
компактным по теореме 3 из работы [5] и FΦ0
M ⊆ FΦ0m
M для всех m = 1, 2, . . . , то класс
FΦ0
M является нормальным и, согласно лемме Фату (см., например, теорему I(12.10) в [18]),
замкнутым. Следовательно, класс FΦ0
M является компактным. Докажем на этой основе включе-
ние (16). Действительно, по определению нижней огибающей Φ0(t) ≤ Φ(t), t ∈ I. Кроме того,
в силу предложения 1 функция Φ0 измерима по Борелю, т. е. прообраз любого борелевского
множества есть борелевское множество. Следовательно, Φ0 суперпозиционно измерима (см.,
например, [17], гл. IV п. 19). Таким образом, если Kµ — дилатация отображения f ∈ FΦ
M ,
то суперпозиция Φ0
(
Kµ(z)
)
является измеримой функцией и 0 ≤ Φ0
(
Kµ(z)
)
≤ Φ
(
Kµ(z)
)
,
т. е. f ∈ FΦ0
M . Следовательно, FΦ
M ⊆ FΦ0
M , а потому и FΦ
M ⊆ FΦ0
M . Наконец, FΦ0
M = FΦ0
M в силу
компактности класса FΦ0
M и, таким образом, получаем (16).
Теорема доказана.
3. Критерий компактности. Для доказательства критерия компактности нам понадобятся
следующие леммы.
Лемма 3. Пусть для функции Φ: [1, Q] → R+, 1 < Q < ∞, не выполнено хотя бы одно
из условий: Φ(t) непрерывна, не убывает и выпукла на [1, Q]. Тогда найдется последователь-
ность Q-квазиконформных отображений fn, n = 1, 2, . . . , плоскости C на себя, сходящаяся
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1662 Т. В. ЛОМАКО
равномерно к Q-квазиконформному отображению f, такая, что
lim
n→∞
∫
Ω
Φ(Kµfn
(z)) Ψ(z) dm(z) <
∫
Ω
Φ(Kµf (z)) Ψ(z) dm(z) (17)
для любого открытого множества Ω ⊆ C с m(Ω) < ∞ и любой равномерно непрерывной
функции Ψ(z) : C → R+ := [0, ∞) такой, что 1/Ψ(z) локально ограничено в C. При этом
можно дополнительно предполагать, что:
1) если существуют пара точек 1 ≤ t1 < t2 ≤ Q и число λ ∈ (0, 1), для которых
λΦ(t1) + (1− λ) Φ(t2) < Φ
(
λ t1 + (1− λ) t2)
)
, то
lim
n→∞
∫
Ω
Φ
(
Kµfn
(z)
)
Ψ(z) dm(z) =
[
λΦ(t1) + (1− λ) Φ(t2)
]
ν(Ω),
∫
Ω
Φ
(
Kµf (z)
)
Ψ(z) dm(z) = Φ
(
λ t1 + (1− λ) t2)
)
ν(Ω);
2) если существуют 1 ≤ t1 < t2 ≤ Q, для которых Φ(t2) < Φ(t1), то
lim
n→∞
∫
Ω
Φ
(
Kµfn
(z)
)
Ψ(z) dm(z) = Φ(t2) ν(Ω),
∫
Ω
Φ
(
Kµf (z)
)
Ψ(z) dm(z) = Φ(t1) ν(Ω);
3) если функция Φ(t) не убывает и Φ(Q− 0) < Φ(Q), то
lim
n→∞
∫
Ω
Φ
(
Kµfn
(z)
)
Ψ(z) dm(z) = Φ(Q− 0) ν(Ω),
∫
Ω
Φ
(
Kµf (z)
)
Ψ(z) dm(z) = Φ(Q) ν(Ω),
где
ν(Ω) =
∫
Ω
Ψ(z) dm(z) .
Доказательство. В силу леммы Фату и счетной аддитивности интеграла (см., например,
теоремы I(12.7) и I(12.10) в [18]) утверждение достаточно доказать для ограниченных множеств
Ω. На таком множестве по условию леммы функция Ψ(z) ограничена сверху и Ψ(z) ≥ C > 0
для всех z ∈ Ω. Без ограничения общности можно считать также, что правая часть в (17)
конечна и, следовательно, конечна левая часть в (17) с Ψ(z) ≡ 1 в силу соотношения (19) из
леммы 2 работы [19].
Пусть K(z, h) ⊂ Ω — квадрат с центром в точке z и длиной стороны h, ребра которого
ориентированы параллельно осям координат. Из равномерной непрерывности Ψ(z) следует,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ТЕОРЕМА ЗАМЫКАНИЯ И КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 1663
что для каждого ε > 0 существует такое δ(ε) > 0, что для любых z, z′ ∈ Ω из того, что
z ∈ K(z′, h), h < δ(ε), следует неравенство
∣∣Ψ(z)−Ψ(z′)
∣∣ < ε.
Система квадратов K(z, h), z ∈ Ω, h < δ(ε), образует покрытие множества Ω в смысле
Витали и по теореме Витали (см., например, теорему IV(3.1) в [18]) можно выбрать последо-
вательность непересекающихся квадратов Em = K(zm, hm) ⊆ Ω, m = 1, 2, . . . , из указанного
покрытия такую, что m (Ω\ ∪ Em) = 0.
Согласно лемме 2 в [19], при ε < C получаем∫
Em
Φ
(
Kµ(ζ)
)
Ψ(ζ) dm(ζ) >
>
(
Ψ(zm) + ε
) ∫
Em
Φ
(
Kµ(ζ)
)
dm(ζ)− 2ε
∫
Em
Φ
(
Kµ(ζ)
)
dm(ζ) >
>
(
Ψ(zm) + ε
)
lim
n→∞
∫
Em
Φ
(
Kµn(ζ)
)
dm(ζ)− 2ε
∫
Em
Φ
(
Kµ(ζ)
)
dm(ζ) >
> lim
n→∞
∫
Em
Φ
(
Kµn(ζ)
)
Ψ(ζ) dm(ζ)− 2ε
∫
Em
Φ
(
Kµ(ζ)
)
dm(ζ).
Из последнего неравенства, согласно счетной аддитивности интеграла и лемме Фату, имеем∫
Ω
Φ
(
Kµ(z)
)(
Ψ(z) + 2ε
)
dm(z) > lim
n→∞
∫
Ω
Φ
(
Kµn(z)
)
Ψ(z) dm(z),
откуда в силу произвольного выбора ε получаем неравенство (17).
Наконец, пункты 1 – 3 следуют, аналогично вышеприведенным рассуждениям, из пунктов
1 – 3 леммы 2 в работе [19].
Лемма доказана.
Для полноты изложения на основе леммы 3 сформулируем аналог леммы 2 из работы [19]
в терминах сферической площади.
Лемма 4. Пусть для функции Φ: [1, Q] → R+, 1 < Q < ∞, не выполнено хотя бы одно
из условий: Φ(t) непрерывна, не убывает и выпукла на [1, Q]. Тогда найдется последователь-
ность Q-квазиконформных отображений fn, n = 1, 2, . . . , плоскости C на себя, сходящаяся
равномерно относительно сферической метрики в C к Q-квазиконформному отображению f,
такая, что
lim
n→∞
∫
Ω
Φ
(
Kµfn
(z)
)
dS(z) <
∫
Ω
Φ
(
Kµf (z)
)
dS(z) (18)
для любого открытого множества Ω ⊆ C. При этом можно дополнительно предполагать,
что:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1664 Т. В. ЛОМАКО
1) если существуют пара точек 1 ≤ t1 < t2 ≤ Q и число λ ∈ (0, 1), для которых
λΦ(t1) + (1− λ) Φ(t2) < Φ
(
λ t1 + (1− λ) t2)
)
, то
lim
n→∞
∫
Ω
Φ
(
Kµfn
(z)
)
dS(z) =
[
λΦ(t1) + (1− λ) Φ(t2)
]
S(Ω),
∫
Ω
Φ
(
Kµf (z)
)
dS(z) = Φ
(
λ t1 + (1− λ) t2)
)
S(Ω) ;
(19)
2) если существуют 1 ≤ t1 < t2 ≤ Q, для которых Φ(t2) < Φ(t1), то
lim
n→∞
∫
Ω
Φ
(
Kµfn
(z)
)
dS(z) = Φ(t2)S(Ω),
∫
Ω
Φ
(
Kµf (z)
)
dS(z) = Φ(t1)S(Ω) ;
(20)
3) если функция Φ(t) не убывает и Φ(Q− 0) < Φ(Q), то
lim
n→∞
∫
Ω
Φ
(
Kµfn
(z)
)
dS(z) = Φ(Q− 0)S(Ω),
∫
Ω
Φ
(
Kµf (z)
)
dS(z) = Φ(Q)S(Ω).
(21)
В связи с оценками (17) и (18) следует упомянуть работы [20] и [21].
Наконец, приведем необходимые и достаточные условия компактности для классов FΦ
M .
Теорема 2. Пусть Φ: I→ R+, Φ(∞) =∞, удовлетворяет условию (7). Тогда следующие
утверждения эквивалентны:
1) классы FΦ
M компактны в топологии равномерной сходимости в C относительно сфери-
ческой метрики;
2) функция Φ непрерывна в смысле R+ слева в точке Q из (9) и строго выпукла.
Доказательство. 2)⇒ 1). Если функция Φ непрерывна в точке Q, то класс FΦ
M компактен
по теореме 3 работы [5]. Если же Q < ∞ и Φ0(Q) < ∞, то компактность класса FΦ
M следует
из теоремы 3 работы [5], леммы 2 и леммы Фату (см., например, теорему I(12.10) в [18]).
1)⇒ 2). а) Предположим, что функция Φ не является выпуклой на I \{∞}, т. е. существуют
tl ∈ I \{∞}, l = 1, 2, t1 < t2, и λ ∈ (0, 1) такие, что
λΦ(t1) + (1− λ) Φ(t2) < Φ
(
λ t1 + (1− λ) t2)
)
. (22)
Тогда, согласно пункту 1 леммы 4, найдется последовательность квазиконформных отображе-
ний fn : C → C, которая сходится равномерно к квазиконформному отображению f : C → C,
такая, что
lim
n→∞
∫
C
Φ(Kµfn
(z)) dS(z) <
∫
C
Φ
(
Kµf (z)
)
dS(z) (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ТЕОРЕМА ЗАМЫКАНИЯ И КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ . . . 1665
и
lim
n→∞
∫
C
Φ
(
Kµfn
(z)
)
dS(z) =
[
λΦ(t1) + (1− λ) Φ(t2)
]
π,
∫
C
Φ
(
Kµf (z)
)
dS(z) = Φ
(
λ t1 + (1− λ) t2)
)
π.
Однако это противоречит замкнутости и, следовательно, компактности класса FΦ
M при M =
= π
{
λΦ(t1) + (1− λ)Φ(t2)
}
.
б) Пусть Φ не является неубывающей на I \{∞}, т. е. найдутся точки t1 и t2 ∈ I \{∞},
t1 < t2, такие, что Φ(t1) > Φ(t2). Тогда получаем противоречие аналогично пункту а) доказа-
тельства в силу пункта 2 леммы 4.
в) Пусть Φ не является непрерывной слева в точке T := supΦ(t)<∞ t <∞. Тогда получаем
противоречие аналогично пункту а) доказательства в силу пункта 3 леммы 4.
Наконец, пусть T = ∞ и Φ не является непрерывной слева в ∞, т. е. Φ(∞ − 0) < ∞.
Согласно пунктам а) и б) доказательства, можем предполагать, что Φ является неубывающей и
выпуклой на I \{∞}. Мы также можем предполагать, что функцию Φ можно продолжить с I в
R+, согласно равенству Φ(t) ≡ Φ(1) для всех t ∈ [0, 1). Таким образом, продолженная функция
Φ является неубывающей и выпуклой (см., например, предложение I.4.8 в [15]). Поскольку Φ не
является константой на I в силу условия (7), то t0 = supΦ(t)=Φ(0) t <∞ и, выбирая t∗ ∈ (t0,∞),
получаем
Φ(t)− Φ(0)
t
≥ Φ(t∗)− Φ(0)
t∗
> 0 ∀ t ∈ [t∗,∞)
согласно выпуклости Φ (см., например, предложение I.4.5 в [15]), т. е. Φ(t) ≥ at для t ≥ t∗, где
a =
[
Φ(t∗)− Φ(0)
]
/t∗ > 0. Тогда Φ(t)→∞ при t→∞, т. е. Φ является непрерывной в∞.
Полученное противоречие опровергает предположение.
Теорема доказана.
Замечание. Условие (7) является не только достаточным, но и необходимым для нормаль-
ности и, следовательно, для компактности класса FΦ
M , если Φ непрерывна, выпукла и не убывает
(см. теорему 5.1 в [22], а также работу [23]).
В заключение отметим, что теоремы компактности имеют важные приложения в теории
экстремальных задач и теории вариационного метода. Дело в том, что в компактных классах
всегда гарантируется существование экстремальных отображений для любых непрерывных, в
том числе нелинейных, функционалов. Кроме того, в компактных классах отображений с интег-
ральными ограничениями множество комплексных характеристик выпукло, что значительно
упрощает построение вариаций (см., например, [3, 4]).
1. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: a geometric approach // Develop. math. –
New York: Springer, 2012. – 26. – 301 p.
2. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On recent advances in the degenerate Beltrami equations // Укр.
мат. вестн. – 2010. – 7, № 4. – С. 467 – 515.
3. Гутлянский В. Я., Рязанов В. И. Геометрическая и топологическая теория функций и отображений. – Киев:
Наук. думка, 2011. – 425 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1666 Т. В. ЛОМАКО
4. Гутлянский В. Я., Ломако Т. В., Рязанов В. И. К теории вариационного метода для уравнений Бельтрами //
Укр. мат. вестн. – 2011. – 8, № 4. – С. 513 – 536.
5. Ломако Т. В. К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами // Укр. мат. журн. – 2011. – 63,
№ 3. – C. 341 – 349.
6. Ломако Т. В. Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами // Доп. НАН України. – 2011. –
№ 5. – C. 28 – 31.
7. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal mappings in the plane. – New York etc.: Springer, 1973. – 258 p.
8. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. On the Beltrami equations with two characteristics // Complex Variables and
Elliptic Equat. – 2009. – 54, № 10. – P. 935 – 950.
9. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. – М.: Мир, 1969. – 133 с.
10. Мазья В. Г. Пространства С.Л. Соболева. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. – 416 c.
11. Рудин У. Теория функций в поликруге. – М.: Мир, 1974. – 160 c.
12. Рязанов В. И. Топологические аспекты теории квазиконформных отображений: дис. . . . д-ра физ.-мат. наук. –
Донецк, 1993. – 281 c.
13. Lomako T., Salimov R., Sevostyanov E. On equicontinuity of solutions to the Beltrami equations // Ann. Univ. sci.
Bucharest. Ser. Math. – 2010. – 59, № 2. – P. 263 – 274.
14. Салимов С. С., Севостьянов Е. А. Теория кольцевых Q-отображений в геометрической теории функций // Мат.
сб. – 2010. – 201, № 6. – C. 131 – 158.
15. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. – М.: Наука, 1965. – 424 с.
16. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 c.
17. Халмош П. Теория меры. – М.: Изд-во иностр. лит., 1953. – 291 c.
18. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949. – 494 c.
19. Гутлянский В. Я., Рязанов В. И. О квазиконформных отображениях с интегральными ограничениями на
характеристику Лаврентьева М. А. // Сиб. мат. журн. – 1990. – 31, № 2. – C. 21 – 36.
20. Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Ryazanov V. I., Vuorinen M. On convergence theorems for space quasiregular
mappings // Forum Math. – 1998. – 10. – P. 353 – 375.
21. Sevost’yanov E. Compactness theory and mappings with finite length distortion // Sib. Adv. Math. – 2009. – 19,
№ 3. – P. 179 – 191.
22. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем отображе-
ний // Сиб. мат. журн. – 2011. – 52, № 3. – C. 665 – 679.
23. Севостьянов Е. А. О пространственных отображениях с интегральными ограничениями на характеристи-
ку // Алгебра и анализ. – 2012. – 24, № 1. – C. 131 – 156.
Получено 12.12.12,
после доработки — 18.03.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2544 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:28Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6b/7dde45e5e1661ad6effb89a6800f4c6b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25442020-03-18T19:26:06Z Theorem on Closure and the Criterion of Compactness for the Classes of Solutions of the Beltrami Equations Теорема замыкания и критерий компактности классов решений уравнений Бельтрами Lomako, T.V. Ломако, Т. В. We study the classes of regular solutions of degenerate Beltrami equations with constraints of the integral type imposed on a complex coefficient, prove the theorem on closure, and establish a criterion of compactness for these classes. Досліджуються класи регулярних розв'язків вироджених рівнянь Бельтрамi з обмеженнями інтегрального типу на комплексний коефіцієнт. Доведено теорему замикання i критерій компактності для таких класів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2544 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 12 (2013); 1657–1666 Український математичний журнал; Том 65 № 12 (2013); 1657–1666 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2544/1848 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2544/1849 Copyright (c) 2013 Lomako T.V. |
| spellingShingle | Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Theorem on Closure and the Criterion of Compactness for the Classes of Solutions of the Beltrami Equations |
| title | Theorem on Closure and the Criterion of Compactness for the Classes of Solutions of the Beltrami Equations |
| title_alt | Теорема замыкания и критерий компактности классов решений уравнений Бельтрами |
| title_full | Theorem on Closure and the Criterion of Compactness for the Classes of Solutions of the Beltrami Equations |
| title_fullStr | Theorem on Closure and the Criterion of Compactness for the Classes of Solutions of the Beltrami Equations |
| title_full_unstemmed | Theorem on Closure and the Criterion of Compactness for the Classes of Solutions of the Beltrami Equations |
| title_short | Theorem on Closure and the Criterion of Compactness for the Classes of Solutions of the Beltrami Equations |
| title_sort | theorem on closure and the criterion of compactness for the classes of solutions of the beltrami equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2544 |
| work_keys_str_mv | AT lomakotv theoremonclosureandthecriterionofcompactnessfortheclassesofsolutionsofthebeltramiequations AT lomakotv theoremonclosureandthecriterionofcompactnessfortheclassesofsolutionsofthebeltramiequations AT lomakotv teoremazamykaniâikriterijkompaktnostiklassovrešenijuravnenijbelʹtrami AT lomakotv teoremazamykaniâikriterijkompaktnostiklassovrešenijuravnenijbelʹtrami |