Best Bilinear Approximations for the Classes of Functions of Many Variables
We obtain upper bounds for the values of the best bilinear approximations in the Lebesgue spaces of periodic functions of many variables from the Besov-type classes. In special cases, it is shown that these bounds are order exact.
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2546 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508460101140480 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:26:06Z |
| description | We obtain upper bounds for the values of the best bilinear approximations in the Lebesgue spaces of periodic functions of many variables from the Besov-type classes. In special cases, it is shown that these bounds are order exact. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Романюк, В. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Upper estimates are obtained for the values of best bilinear approximations in the Lebesque spaces of periodic functions of
several variables from the Besov-type classes. It is shown that, in special cases, these estimates are order exact.
Отримано оцiнки зверху для величин найкращих бiлiнiйних наближень у просторах Лебега перiодичних функцiй
багатьох змiнних, що належать до класiв типу Бєсова. Показано, що в окремих випадках цi оцiнки є точними за
порядком.
1. Определения и обозначения. Пусть Rm — m-мерное евклидово пространство с элементами
x = (x1, . . . , xm), Rm+ := {x ∈ Rm : xi ≥ 0, i = 1,m}, Zm — целочисленная решетка в Rm,
Zm+ = {k = (k1, . . . , km) ∈ Zm : kj ≥ 0, j = 1,m}, Nm = {k = (k1, . . . , kd) : kj = 1, 2, . . . ,
j = 1,m} (при m = 1 пишем соответственно R, R+, Z, Z+ и N), πm :=
∏m
j=1[0, 2π) =
= {x ∈ Rm : xj ∈ [0, 2π), j = 1,m}; если Ω ⊂ Zm, то |Ω| обозначает количество точек конеч-
ного множества Ω. Lp(πm), 1 ≤ p ≤ ∞, — пространства измеримых 2π-периодических по
каждой переменной функций f(x) = f(x1, . . . , xm) с конечными нормами
‖f‖p =
(2π)−m
∫
πm
|f(x)|pdx
1
p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖∞ = ess sup
x∈Rm
|f(x)|, p =∞.
Определим смешанную l-ю разность функции f с шагом hj по переменной xj , j = 1,m:
для h = (h1, . . . , hm) ∈ Rm и l ∈ N
∆l
hf(x) := ∆l
hm . . .∆
l
h1f(x1, . . . , xm),
где
∆l
hj
f(x) = ∆hj∆
l−1
hj
f(x), ∆0
hj
f(x) := f(x)
и
∆hjf(x) ≡ ∆1
hj
f(x) = f(x1, . . . , xj + hj , . . . , xm)− f(x).
Известно, что
∆l
hj
f(x) =
l∑
k=0
(−1)k+lCkl f(x1, . . . , xj + khj , . . . , xm),
где Ckl — биномиальные коэффициенты.
Пусть далее для t = (t1, . . . , tm) ∈ Rm+
ωl(f, t)p := sup
|hi|≤ti
i=1,m
‖∆l
hf‖p
c© А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК, 2013
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12 1681
1682 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
— полный смешанный p-модуль гладкости функции f порядка l.
Будем говорить, что функция f ∈ Lp(πm), 1 ≤ p ≤ ∞, принадлежит пространству Br
p,θ,
1 ≤ θ ≤ ∞, r = (r1, . . . , rm), rj > 0, j = 1,m, если для нее конечна полунорма
|f |Brp,θ :=
∫
πm
m∏
j=1
t
−rj
j ωl(f, t)p
θ
m∏
j=1
dtj
tj
1
θ
, 1 ≤ θ <∞,
sup
tj>0
m∏
j=1
t
−rj
j ωl(f, t)p , θ =∞,
где l > max{ri, i = 1,m}.
Норму на линейных пространствах Br
p,θ определим по формулам
‖f‖Brp,θ = ‖f‖p + |f |Brp,θ .
Пространства Br
p,θ, с одной стороны, являются обобщениями известных изотропных про-
странств О. В. Бесова [1] (в случае θ =∞ — пространств С. М. Никольского [2]), а с другой —
входят в шкалу пространств SB смешанной гладкости, введенных Т. И. Амановым [3].
В [4] пространства Br
p,θ охарактеризованы в терминах так называемой декомпозиционной
нормировки принадлежащих им функций, основанной на их разложении в ряд Фурье по три-
гонометрической системе {ei(k,x)}k∈Zm , (k, x) := k1x1 + . . . + kmxm. Именно эта нормировка
используется в дальнейшем, в частности, в доказательстве принадлежности той или иной функ-
ции пространству Br
p,θ, либо некоторому классу этого пространства.
Сформулируем результат из [4] в принятых ниже определениях и обозначениях.
Обозначим
L0
p(πm) :=
f ∈ Lp(πm) :
2π∫
0
f(x)dxj = 0, j = 1,m
.
Для вектора s = (s1, . . . , sm), sj ∈ Z+, j = 1,m, положим
ρ(s) := {k = (k1, . . . , km) ∈ Zm : [2sj−1] ≤ |kj | < 2sj , j = 1, d}
и для f ∈ Lp(πm) обозначим
δs(f, x) =
∑
k∈ρ(s)
f̂(k)ei(k,x),
где f̂(k) = (2π)−m
∫
πm
f(t)e−i(k,t)dt— коэффициенты Фурье функции f по системе {ei(k,x)}k∈Zm .
Пусть p ∈ (1,∞). В [4] доказано, что для полунормы |f |Brp,θ функции f ∈ Br
p,θ ∩ L0
p(πm)
справедливы соотношения
|f |Brp,θ �
∑
s∈Zm+
2(s,r)θ‖δs(f, ·)‖θp
1
θ
(1)
при 1 ≤ θ <∞ и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1683
|f |Brp,∞ � sup
s∈Zm+
2(s,r)‖δs(f, ·)‖p , (2)
а также показано, что на множестве Br
p,θ ∩ L0
p(πm) полунорма | · |Brp,θ на самом деле является
нормой.
Здесь и далее для выражений A и B соотношение A � B означает, что существуют поло-
жительные величины C1 и C2, не зависящие от одного существенного по контексту параметра
в выражениях A и B (например, в верхних соотношениях — от функции f ) и такие, что
C2B ≤ A ≤ C1B. Если же только C2B ≤ A (A ≤ C1B), то пишем A� B (A� B).
Так называемые порядковые (точные по порядку) соотношения (1) и (2) с некоторой их
модификацией имеют место и для случаев p = 1 и p =∞. Для того чтобы записать их, введем
дополнительные обозначения.
Пусть Vl(u), l ∈ N, u ∈ R, обозначает ядро Валле Пуссена
Vl(u) := 1 + 2
l∑
k=1
cos ku+ 2
2l∑
k=l+1
2l − k
l
cos ku.
Для f, g ∈ L1(πm) определим оператор свертки по формуле
(f ∗ g)(x) = (2π)−m
∫
πm
f(y)g(x− y)dy.
Если f ∈ Lp(πm), а
As(x) := 2m
m∏
j=1
(V2sj (xj)− V2sj−1(xj)),
s = (s1, . . . , sm), sj ∈ Z+, j = 1,m, x = (x1, . . . , xm) ∈ Rm (при sj = 0 полагаем V
2sj−1(xj) =
= 0), то положим
Asf(x) = (f ∗As)(x).
Таким образом, для каждого s с помощью оператора As определяются кратные средние функ-
ции f ∈ Lp(πm)
As(f, x) := Asf(x),
которые в силу известных свойств оператора свертки можно записать в виде тригонометри-
ческого полинома с определенными коэффициентами, зависящими от f . Заметим, что размер-
ность пространства таких полиномов по всем f ∈ Lp(πm) равна 2|s|1 . Здесь и далее для s ∈ Zm
|s|1 := |s1|+ . . .+ |sm|.
Итак, при p = 1 и p =∞ для f ∈ Br
p,θ ∩ L0
p(πm) справедливы соотношения (см. замечание
2.1 [4], а также [3])
|f |Brp,θ �
∑
s∈Zm+
2(s,r)θ‖As(f, ·)‖θp
1
θ
(3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1684 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
при 1 ≤ θ <∞ и
|f |Brp,∞ � sup
s∈Zm+
2(s,r)‖As(f, ·)‖p . (4)
Заметим, что соотношения (3) и (4) имеют место и при 1 < p <∞.
Теперь дадим определение исследуемой в работе аппроксимативной характеристики.
Пусть Lq1,q2(π2d), d ∈ N, — множество функций f(x, y), x, y ∈ Rd, 2π-периодических по
каждой из 2d переменных с конечной смешанной нормой
‖f(x, y)‖q1,q2 := ‖‖f(·, y)‖q1‖q2 ,
где справа норма функции f(x, y) вычисляется сначала в пространстве Lq1(πd), 1 ≤ q1 ≤ ∞,
как норма функции с переменной x ∈ Rd (при фиксированном y ∈ Rd), а затем от полученного
результата как норма функции с переменной y ∈ Rd в пространстве Lq2(πd), 1 ≤ q2 ≤ ∞.
Для f ∈ Lq1,q2(π2d) определим величину наилучшего билинейного приближения порядка
M (M ∈ N) по формуле
τM (f)q1,q2 := inf
uj(x),vj(y)
j=1,M
‖f(x, y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y)‖q1,q2 , (5)
где uj ∈ Lq1(πd), vj ∈ Lq2(πd), j = 1,M . При M = 0 будем считать, что τ0(f(x, y))q1,q2 :=
:= ‖f(x, y)‖q1,q2 .
Если F ⊂ Lq1,q2(π2d), то полагаем
τM (F )q1,q2 := sup
f∈F
τM (f)q1,q2 . (6)
В случае, когда q1 = q2 = q, вместо τM (f)q1,q2 и τM (F )q1,q2 пишем соответственно τM (f)q и
τM (F )q.
В завершение этого пункта отметим, что в качестве приближаемого множества F рассмат-
ривается единичный шар пространства Br
p,θ, а точнее, множество
Brp,θ := {f ∈ L0
p(πm) : ‖f‖Brp,θ ≤ 1}.
2. О билинейных приближениях. Приближения функций многих переменных линейными
комбинациями произведений функций меньшего числа переменных называются билинейными.
Одной из наиболее важных характеристик таких приближений является величина τM (F )q1,q2 .
Интерес в получении оценок величин τM (F )q1,q2 для различных классов F продиктован как
их применением к решению задач теории функций и функционального анализа, так и местом,
которое билинейные приближения занимают в нелинейной аппроксимации. Краткие историче-
ские сведения об этом приведены в [5]. Там же даны ссылки на работы, в которых содержится
библиография по задачам билинейного приближения.
Для некоторых классов F 2π-периодических по всем переменным гладких функций задача
о нахождении порядковых оценок величин τM (F )q1,q2 решена в [5, 6].
В других случаях (например, когда F = W r
p и F = Hr
p — классы функций смешанной
гладкости) В. Н. Темлякову [7] удалось получить лишь оценки сверху, которые в отдельных
ситуациях, как показано, являются точными по порядку.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1685
В дополнение к результатам из [7] в настоящей работе получены оценки сверху в случае,
когда F = Br
p,θ, т. е. для величин τM (Br
p,θ)q1,q2 , при различных значениях параметров p, q и θ,
1 ≤ p, q, θ ≤ ∞, и вектора r = (r1, . . . , rm), ri > 0, i = 1,m.
3. Вспомогательные утверждения. В этом пункте формулируются классические результа-
ты — теорема Литтлвуда – Пэли об эквивалентном представлении нормы функций в простран-
стве Lp(πm) и неравенство С. М. Никольского о соотношении норм полиномов в пространствах
Lp(πm) и Lq(πm), p 6= q. Приводятся также некоторые результаты, установленные В. Н. Тем-
ляковым, существенно используемые в доказательстве теорем. Они касаются оценок величин
τM (f)q1,q2 для функций f полиномиального вида.
Сначала введем необходимые обозначения.
Пусть G, G1, G2 — некоторые конечные множества в Zd. Через T (G, d) обозначим множе-
ство тригонометрических полиномов t вида
t(x) =
∑
k∈G
cke
i(k,x), k = (k1, . . . , kd), x ∈ Rd,
а через T (G1, G2, 2d) — множество тригонометрических полиномов t вида
t(x, y) =
∑
k1∈G1
k2∈G2
ck1,k2e
i((k1,x)+(k2,y)), kj = (kj1, . . . , k
j
d), j = 1, 2 и x, y ∈ Rd.
В случае, когда G = Cd(n) := {k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd : |kj | ≤ n, j = 1, d}, вместо T (G, d)
будем писать T (Cd(n)), а если G = P d(N) := {k = (k1, . . . , kd) ∈ Zd : |kj | ≤ Nj , j = 1, d},
N = (N1, . . . , Nd), Nj ∈ Zd+, то T (P d(N)).
Следующие утверждения формулируются в принятых обозначениях.
Теорема A (Литтлвуда – Пэли [8, c. 65]). Пусть p ∈ (1,∞). Существуют положительные
постоянные c1 и c2 такие, что для каждой функции f ∈ L0
p(πm) выполняются неравенства
c1‖f‖p ≤
∥∥∥∥∥
∑
s∈Nd
|δs(f, ·)|2
1
2 ∥∥∥∥∥
p
≤ c2‖f‖p .
Теорема Б [2]. Пусть N = (N1, . . . , Nd), Nj ∈ Zd+ и t ∈ T (P d(N)). Тогда при 1 ≤ q < p ≤
≤ ∞ имеет место неравенство
‖t‖p ≤ 2d
d∏
j=1
N
1
q−
1
p
j ‖t‖q .
Лемма А [7]. Пусть 1 ≤ p ≤ q <∞ и f ∈ T (P 2d(N)). Тогда для всех целых M таких, что
0 ≤M ≤ V (N) :=
∏2d
j=1Nj , выполняется неравенство
τM (f)q � V (N)β min{1,M−β}‖f‖p ,
где β =
1
p
− 1
q
.
Лемма Б [7]. Пусть e1 и e2 — некоторые множества d-мерных векторов, компоненты
которых — натуральные числа, и Ej =
⋃
s∈ej
ρ(s). Тогда при q ∈ (1,∞) для любой функции
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1686 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
f(x, y) ∈ T (E1, E2, 2d) и произвольного n ∈ N найдутся функции ui ∈ T (E1, d), vi ∈ T (E2, d)
такие, что
‖f(x, y)−
n∑
i=1
ui(x)vi(y)‖q � τn(f)q .
Для n ∈ N положим Qn =
⋃
|s|1≤n
ρ+(s), где s = (s1, . . . , sd), sj ∈ Z+, j = 1, d, а ρ+(s) =
= ρ(s) ∩ Nd. Отметим, что |Qn| � 2nnd−1.
Лемма В [7]. Пусть µ, ν ∈ N, f ∈ T (Qµ, Qν , 2d) и M ∈ Z+. Тогда
τM (f)q � min{1,M−1}|Qµ|
1
2 |Qν |
1
2 ‖f‖2 , 2 ≤ q <∞, (7)
τM (f)∞ � min{1,M−1}|Qµ|
1
2 |Qν |
1
2 (µν)
d−1
2 ×
×
(
log
(
1 +
|Qµ|
M + 1
)
log
(
1 +
|Qν |
M + 1
))1
2
‖f‖2 . (8)
3. Основные результаты. Излагаемые ниже результаты касаются оценок сверху величин
τM (Brp,θ)q1,q2 для классов Brp,θ функций 2d переменных в случае, когда q1 = q2 = q, а все
координаты вектора r одинаковы, т. е. r = (r1, . . . , r1) ∈ R2d
+ , r1 > 0.
Теорема 1. Пусть 1 ≤ θ <∞. Тогда при r1 >
1
p
− 1
q
справедливы оценки
τM (Brp,θ)q �
M
−2r1
(
logd−1M
)2(r1+ 1
θ′
)
, p = q =∞ или p = q = 1,
M
−2r1+ 1
p
− 1
q
(
logd−1M
)2(r1+(
1
q−
1
θ
)
+
)
, 1 ≤ p ≤ q ≤ 2,
а при r1 > 1
τM (Br1,θ)q �
M
−2r1+1
2
(
logd−1M
)2(r1+1+
(
1−2
θ
)
+
)
, q =∞,
M−2r1+
1
2
(
logd−1M
)2r1+(
1−2
θ
)
+ , 2 ≤ q <∞,
где a+ = max{a, 0} и
1
θ
+
1
θ′
= 1.
Доказательство. Пусть x = (x1, . . . , xd) ∈ Rd, y = (y1, . . . , yd) ∈ Rd, s = (s1, . . . , sd),
t = (t1, . . . , td), sj , tj ∈ Z+, j = 1, d. Положим
As,t(x, y) = 22d
d∏
j=1
(V2sj (xj)− V2sj−1(xj))
d∏
j=1
(V2tj (yj)− V2tj−1(yj)) =
= As(x)At(y)
и для f ∈ Lq(π2d)
As,tf(x, y) = (f ∗As,t)(x, y).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1687
Для каждого n ∈ N (n ≥ d) определим функции
fn1 (x, y) =
∑
t∈Zd+
∑
|s|1≤n
As,tf(x, y),
fn2 (x, y) =
∑
|t|1≤n
∑
|s|1>n
As,tf(x, y), (9)
fn3 (x, y) =
∑
|t|1>n
∑
|s|1>n
As,tf(x, y).
Равенства (9) понимаются в смысле сходимости рядов к функциям fnj (x, y) в Lq(π2d), а частич-
ные суммы этих рядов определяются множествами индексов s и t, max{sj , tj , j = 1, d} ≤ k,
k = n, n+ 1, . . . . В таком случае, очевидно, что
f(x, y) =
3∑
j=1
fnj (x, y), (10)
причем функции fn1 (x, y) и fn2 (x, y), в свою очередь, могут быть представлены в виде
fnj (x, y) =
2d|Qn|∑
i=1
uji (x)vji (y) (11)
с некоторыми функциями uji , v
j
i ∈ Lq(πd), j = 1, 2.
Для заданного m ∈ N (m ≥ d) пусть M ∈ N такое, что
2d+1|Qm| ≤M < C|Qm|, (12)
где C — произвольная фиксированная постоянная, C > 2d+1. Тогда с учетом (10) и (11) можем
записать
τ2M (f)q ≤ τM (fm3 )q, f ∈ Lq(π2d), 1 ≤ q ≤ ∞. (13)
Таким образом, согласно (13) оценка сверху величины τM (f)q сводится к оценке τM (fm3 )q с m
и M , связанными соотношением (12).
Для f ∈ Brp,θ рассмотрим сначала случаи p = q = 1 и p = q = ∞. Исходя из (13), в силу
неравенства Минковского имеем
τ2M (f)q ≤ τM (fm3 )q ≤
∥∥∥∥∥ ∑
|s|1>m
|t|1>m
As,tf
∥∥∥∥∥
q
≤
∑
|s|1>m
|t|1>m
‖As,tf‖q =
=
∑
|s|1>m
|t|1>m
2r1(|s|1+|t|1) ‖As,tf‖q2−r1(|s|1+|t|1) =: J1. (14)
Дальнейшую оценку величины J1 проведем для двух случаев: θ ∈ (1,∞) и θ = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1688 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Воспользуемся неравенством Гельдера: для произвольных числовых последовательностей
a = (ak)k∈N и b = (bk)k∈N при 1 < γ <∞
∞∑
k=1
|akbk| ≤
( ∞∑
k=1
|ak|γ
) 1
γ
( ∞∑
k=1
|bk|γ
′
) 1
γ′
, (15)
1
γ
+
1
γ′
= 1.
Итак, если θ ∈ (1,∞), то в силу (15), учитывая (3), можем записать
J1 �
∑
|s|1>m
|t|1>m
2r1θ(|s|1+|t|1)‖As,tf‖θq
1
θ
∑
|s|1>m
|t|1>m
2−r1θ
′(|s|1+|t|1)
1
θ′
�
� ‖f‖Brp,θ
∑
|s|1>m
|t|1>m
2−r1θ
′(|s|1+|t|1)
1
θ′
. (16)
Поскольку для l = (l1, . . . , ld) ∈ Nd и α > 0∑
|l|1>m
2−α|l|1 �
∞∑
j=m+1
2−αjjd−1 � 2−αmmd−1, (17)
из (16), учитывая (12), имеем
J1 � 2−2r1mm
2(d−1)
θ′ �M−2r1(logd−1M)
2
(
r1+
1
θ′
)
. (18)
Сопоставляя (18) и (14), получаем
τM (f)q �M−2r1(logd−1M)
2
(
r1+
1
θ′
)
.
В случае θ = 1 имеем
J1 ≤ 2−2r1m
∑
|s|1>m
|t|1>m
2r1(|s|1+|t|1)‖As,tf‖q �
� 2−2r1m‖f‖Brp,1 � 2−2r1m �M−2r1(logd−1M)2r1
и, как следствие (14),
τ2M (f)q �M−2r1(logd−1M)2r1 .
Очевидно, что такая же по порядку оценка справедлива и для τM (f)q .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1689
При получении оценки сверху величины τM (Brp,θ)q в случае 1 ≤ p ≤ q ≤ 2, q 6= 1, отправ-
ным снова является соотношение (13).
Итак, пусть f ∈ Brp,θ, числа M и m, как и ранее, связаны неравенствами (12), а s и t —
d-мерные векторы с целыми неотрицательными координатами.
Определим числа
Ms,t = [C2m+α(2m−|s|1−|t|1)m1−d],
где [ a ] — целая часть числа a ∈ R, а α и C — положительные постоянные, значения которых
далее уточняются. Тогда согласно (17) имеем∑
|s|1>m
|t|1>m
Ms,t ≤ C
∑
|s|1>m
|t|1>m
2m+α(2m−|s|1−|t|1)m1−d =
= C2m+2αmm1−d
∑
|s|1>m
|t|1>m
2−α(|s|1+|t|1) � 2mmd−1 �M,
а при определенном выборе постоянной C > 0∑
|s|1>m
|t|1>m
Ms,t ≤M. (19)
Поэтому, используя простое следствие теоремы Литтлвуда – Пэли, а именно, неравенство
‖g‖q �
∑
s∈Zd+
‖δs(g, ·)‖q
∗
q
1
q∗
, (20)
в котором g ∈ L0
q(πm), q∗ := min{q, 2}, с учетом замечания в [8, c. 100], применяя лемму Б,
можем записать
τ qM (fm3 )q �
∑
|s|1>m
|t|1>m
τ qMs,t
(As,tf)q . (21)
Но поскольку в силу леммы A
τMs,t(As,tf)q �M−βs,t 2β(|s|1+|t|1)‖As,tf‖p(
здесь и далее β =
1
p
− 1
q
)
, то (21) влечет неравенство
τ qM (fm3 )q �
∑
|s|1>m
|t|1>m
M−βqs,t 2βq(|s|1+|t|1)‖As,tf‖qp := Jq2 . (22)
Оценку величины J2 разобьем на два случая: θ ∈ [1, q] и θ ∈ (q,∞).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1690 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Если θ ∈ [1, q], то с учетом неравенства( ∞∑
k=1
|ak|ν2
) 1
ν2
≤
( ∞∑
k=1
|ak|ν1
) 1
ν1
, 1 ≤ ν1 < ν2 <∞, (23)
которое выполняется для произвольной последовательности (ak)k∈N [9, c. 43], получаем
J2 ≤
∑
|s|1>m
|t|1>m
M−βθs,t 2βθ(|s|1+|t|1)‖As,tf‖θp
1
θ
�
�
∑
|s|1>m
|t|1>m
2r1θ(|s|1+|t|1)‖As,tf‖θp2−(r1−β)θ(|s|1+|t|1)M
−βθ
s,t
1
θ
=
�
∑
|s|1>m
|t|1>m
2r1θ(|s|1+|t|1)‖As,tf‖θp2−(r1−β)θ(|s|1+|t|1)2−mβθ−αβθ(2m−|s|1−|t|1)m(d−1)θβ
1
θ
=
= 2−mβ−2αmβm(d−1)β
∑
|s|1>m
|t|1>m
2r1θ(|s|1+|t|1)‖As,tf‖θp2−(r1−β−αβ)(|s|1+|t|1)θ
1
θ
:= J3. (24)
Далее, учитывая, что по условию теоремы в рассматриваемом случае r1 > β, и выбирая число
α > 0 в определении чисел Ms,t так, чтобы выполнялось неравенство r1 − β − αβ > 0, имеем
J3 ≤ 2−mβ−2αmβm(d−1)β2−(r1−β−αβ)2m
∑
|s|1>m
|t|1>m
2r1θ(|s|1+|t|1)‖As,tf‖θp
1
θ
�
� 2−2mr1+βmm(d−1)β‖f‖Brp,θ � 2−m(2r1−β)m(d−1)β �
�M−2r1+β(logd−1M)2r1 . (25)
Сопоставляя соотношение (13) с (22), (24) и (25), можем записать
τ2M (f)q �M−2r1+β(logd−1M)2r1 , (26)
и такая же оценка остается справедливой и для τM (f)q .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1691
Пусть теперь θ ∈ (q,∞). Тогда, используя неравенство Гельдера (15) с показателем γ =
θ
q
,
получаем
J2 ≤
∑
|s|1>m
|t|1>m
2r1θ(|s|1+|t|1)‖As,tf‖θp
1
θ
×
×
∑
|s|1>m
|t|1>m
(
2−r1q(|s|1+|t|1)M−βqs,t 2βq(|s|1+|t|1)
) θ
θ−q
1
q−
1
θ
�
� ‖f‖Brp,θ
∑
|s|1>m
|t|1>m
(
2−r1q(|s|1+|t|1)2−βmq×
×2−αβq(2m−|s|1−|t|1)2βq(|s|1+|t|1)m(d−1)βq
) θ
θ−q
1
q−
1
θ
�
� 2−βm−2mαβm(d−1)β
∑
|s|1>m
|t|1>m
2
−(|s|1+|t|1)(r1−αβ−β)
θq
θ−q
1
q−
1
θ
�
� 2−βm−2mαβm(d−1)β2−2m(r1−αβ−β)m
2(d−1)
(
1
q−
1
θ
)
= 2−2mr1+mβm
(d−1)
(
β+
2
q−
2
θ
)
�
�M−2r1+β(logd−1M)
2
(
r1+
1
q−
1
θ
)
. (27)
Сопоставляя (13) с (22) и (27), находим
τ2M (f)q �M−2r1+β(logd−1M)
2
(
r1+
1
q−
1
θ
)
, (28)
и такая же оценка, очевидно, справедлива и для τM (f)q .
Из соотношений (26) и (28), с учетом сделанных после них замечаний, следует оценка
τM (Brp,θ)q �M−2r1+β(logd−1M)
2
(
r1+
(
1
q−
1
θ
)
+
)
(29)
в случае 1 ≤ p ≤ q ≤ 2, q 6= 1, 1 ≤ θ <∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1692 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Перейдем к установлению оценок величин τM (Br1,θ)q при 2 ≤ q ≤ ∞ и отметим, что общая
схема рассуждений аналогична той, которая применялась в предыдущих случаях.
Пусть сначала q ∈ [ 2,∞ ). Для m ∈ N представим функцию fm3 в разложении (10) функции
f ∈ Br1,θ в виде
fm3 (x, y) =
∑
µ>m
ν>m
fµ,ν(x, y), (30)
где для натуральных чисел µ и ν
fµ,ν(x, y) =
∑
s∈θµ
t∈θν
As,tf(x, y), (31)
а θk := {s = (s1, . . . , sd) ∈ Zd : |s|1 = k}, k ∈ N.
Далее, для числа M , удовлетворяющего неравенствам (12), полагаем
M(µ,ν) = [M2α(2m−µ−ν)−1] (32)
(значение α > 0 будет определено позже). При этом заметим, что∑
µ>m
ν>m
M(µ,ν) ≤ 1 +M
∑
µ≥m
ν≥m
2α(2m−µ−ν)−1 ≤M. (33)
Тогда из (13), учитывая (33), имеем
τ2M (f)q ≤
∑
µ>m
ν>m
τM(µ,ν)
(fµ,ν)q, (34)
и исходная задача сводится к надлежащей оценке величин τM(µ,ν)
(fµ,ν)q, использующей, в свою
очередь (в качестве промежуточной) оценку величин τM(µ,ν)
(fµ,ν)2, т. е. к случаю q = 2.
Покажем сначала, что
τM(µ,ν)
(fµ,ν)2 � τM(µ,ν)
(Bρ1,θ)22
−ρ1(µ+ν), (35)
где ρ = (ρ1, . . . , ρd), ρi =
ri
2
, i = 1, d.
В самом деле, (35) является следствием цепочки соотношений
‖fµ,ν‖Bρ1,θ �
∑
s∈θµ
t∈θν
2ρ1θ(|s|1+|t|1)‖As,tfµ,ν‖θ1
1
θ
=
=
∑
s∈θµ
t∈θν
2r1θ(|s|1+|t|1)‖As,tfµ,ν‖θ12(ρ1−r1)θ(|s|1+|t|1)
1
θ
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1693
= 2(ρ1−r1)(µ+ν)
∑
s∈θµ
t∈θν
2r1θ(|s|1+|t|1)‖As,tfµ,ν‖θ1
1
θ
�
� 2(ρ1−r1)(µ+ν)‖fµ,ν‖Br1,θ = 2−
r1
2 (µ+ν)‖fµ,ν‖Br1,θ .
Но согласно рассмотренному выше случаю 1 < q ≤ 2 можем записать
τM(µ,ν)
(Bρ1,θ)2 �M
−2ρ1+1
2
(µ,ν) (logd−1M(µ,ν))
2ρ1+
(
1−2
θ
)
+ .
Объединяя это соотношение с (35) и учитывая также, что ρ1 =
r1
2
, приходим к неравенству
τM(µ,ν)
(fµ,ν)2 � 2−
r1
2 (µ+ν)M
−r1+1
2
(µ,ν) (logd−1M(µ,ν))
r1+
(
1−2
θ
)
+ . (36)
Далее, для оценки величин τM(µ,ν)
(fµ,ν)q при 2 < q <∞ используем вначале соотношение
(7), затем ‖fµ,ν‖2 оцениваем сверху в соответствии с леммой Б и, наконец, применяем оценку
(36). Таким образом, получаем
τ2M(µ,ν)
(fµ,ν)q �M−1(µ,ν)2
1
2
(µ+ν)(µν)
d−1
2 τM(µ,ν)
(fµ,ν)2 �
�M
−r1− 1
2
(µ,ν) 2( 1
2
− r1
2 )(µ+ν)(µν)
d−1
2 (logd−1M(µ,ν))
r1+(1− 2
θ )+ . (37)
Сопоставляя (37) с (34), с учетом значений чисел M(µ,ν) приходим к неравенству
τ2M (f)q ≤
∑
µ>m
ν>m
M
−r1−1
2
(µ,ν) 2
(
1
2−
r1
2
)
(µ+ν)
(µν)
d−1
2 (logd−1M(µ,ν))
r1+
(
1−2
θ
)
+ �
�M−r1−
1
2 (logd−1M)
r1+
(
1−2
θ
)
+
∑
µ>m
ν>m
2
−
(
r1+
1
2
)
α(2m−µ−ν)
2
1
2 (µ+ν)(1−r1)(µν)
d−1
2 =
= M−r1−
1
2 (logd−1M)
r1+
(
1−2
θ
)
+2−(2r1+1)αm
∑
µ>m
ν>m
2
(
r1α+
α
2 +
1
2−
r1
2
)
(µ+ν)
(µν)
d−1
2 . (38)
Теперь, выбирая α так, чтобы выполнялось неравенство r1α+
α
2
+
1
2
− r1
2
< 0, т. е. α <
r1 − 1
2r1 + 1
,
из (38) находим
τ2M (f)q �M−r1−
1
2 (logd−1M)
r1+
(
1−2
θ
)
+2m(1−r1)md−1 �
�M−r1−
1
2 (logd−1M)
r1+
(
1−2
θ
)
+M1−r1(logd−1M)r1−1 logd−1M =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1694 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
= M−2r1+
1
2 (logd−1M)
2r1+
(
1−2
θ
)
+ , (39)
и эта оценка имеет место (принимая во внимание также (36)) при всех q, 2 ≤ q < ∞, и
для τM (f)q .
Для доказательства (39) в случае q =∞ достаточно использовать в предыдущих выкладках
в качестве промежуточной оценки вместо (7) соотношение (8).
Теорема доказана.
В следующей теореме получены оценки величин τM (Brp,θ)q в случае 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞.
Теорема 2. Пусть 1 ≤ θ <∞ и r1 >
1
2
. Тогда при 2 ≤ p ≤ q <∞
τM (Brp,θ)q �M−2r1(logd−1M)
2
(
r1+
(
1
2−
1
θ
)
+
)
(40)
и при 2 ≤ p <∞
τM (Brp,θ)∞ �M−2r1(logd−1M)
2
(
r1+
1
2+
(
1
2−
1
θ
)
+
)
. (41)
Доказательство. Как и при установлении оценок сверху в теореме 1, отправным является
разложение (10), в котором функции fnj определены по формулам (9) с заменой As,tf(x, y) на
δs,tf(x, y) =
∑
k∈ρ(s)
l∈ρ(t)
f̂(k, l)ei((k,x)+(l,y)). (42)
Тогда при оценке τM (Brp,θ)q за исходное примем соотношение, подобное (34), т. е.
τ2M (f)q �
∞∑
µ,ν=m+1
τM(µ,ν)(fµ,ν)q ∀f ∈ Lq(π2d), (43)
где M и m связаны неравенствами (12), функции fµ,ν определены по формуле
fµ,ν(x, y) =
∑
s∈θµ
t∈θν
δs,tf(x, y), (44)
а числа M(µ,ν) — те же, что и в (32): M(µ,ν) = [M2α(2m−µ−ν)−1].
Для дальнейшей оценки правой части (43), когда f ∈ Brp,θ, понадобится оценка величин
‖fµ,ν‖p . Рассмотрим два случая: 1 ≤ θ ≤ p∗ и p∗ < θ, где p∗ = min{p, 2}. Сначала, в силу
неравенства (20), можем записать
‖fµ,ν‖p =
∥∥∥∥∥∑
s∈θµ
t∈θν
δs,tf
∥∥∥∥∥
p
�
∑
s∈θµ
t∈θν
‖δs,tf‖p
∗
p
1
p∗
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1695
=
∑
s∈θµ
t∈θν
2r1p
∗(µ+ν)‖δs,tf‖p
∗
p 2−r1p
∗(µ+ν)
1
p∗
. (45)
В случае 1 ≤ θ ≤ p∗, используя неравенство (23), из (45) получаем
‖fµ,ν‖p � 2−r1(µ+ν)
∑
s∈θµ
t∈θν
2r1(µ+ν)θ‖δs,tf‖θp
1
θ
�
� 2−r1(µ+ν)‖f‖Brp,θ ≤ 2−r1(µ+ν). (46)
Если же p∗ < θ, то применяя к правой части (45) неравенство Гельдера (15) с показателем
γ =
θ
p∗
, находим
‖fµ,ν‖p �
∑
s∈θµ
t∈θν
2r1(µ+ν)θ‖δs,tf‖θp
1
θ
∑
s∈θµ
t∈θν
2
−r1(µ+ν)
θp∗
θ−p∗
1
p∗−
1
θ
�
� ‖f‖Brp,θ
∑
s∈θµ
t∈θν
2
−r1(µ+ν)
θp∗
θ−p∗
1
p∗−
1
θ
� 2−r1(µ+ν)(µν)
(d−1)
(
1
p∗−
1
θ
)
. (47)
Таким образом, объединяя (46) и (47), можем записать
‖fµ,ν‖p � 2−r1(µ+ν)(µν)
(d−1)
(
1
p∗−
1
θ
)
+ , p∗ = min{p, 2}. (48)
Далее, применяя к оценке τM(µ,ν)
(fµ,ν)q лемму B (учитывая вид функции fµ,ν), а также (48)
с p∗ = 2, находим:
(а) в случае 2 ≤ p ≤ q <∞
τM(µ,ν)
(fµ,ν)q �M−1(µ,ν)2
1
2 (µ+ν)(µν)
d−1
2 ‖fµ,ν‖2 �
�M−1(µ,ν)2
1
2 (µ+ν)(µν)
d−1
2 2−r1(µ+ν)(µν)
(d−1)
(
1
2−
1
θ
)
+ =
= M−1(µ,ν)2
−
(
r1−1
2
)
(µ+ν)
(µν)
(d−1)
(
1
2+
(
1
2−
1
θ
)
+
)
; (49)
(б) в случае 2 ≤ p <∞, q =∞
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1696 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
τM(µ,ν)
(fµ,ν)�M−1(µ,ν)2
1
2 (µ+ν)(µν)
d−1
2 (µν)
d−1
2 2−r1(µ+ν)(µν)
(d−1)
(
1
2−
1
θ
)
+ =
= M−1(µ,ν)2
−(r1−1
2 )(µ+ν)(µν)(d−1)(1+(
1
2−
1
θ )+). (50)
Соотношение (49) с учетом (43) влечет соответствующую оценку сверху для τ2M (f)q, f ∈
∈ Brp,θ, при 2 ≤ p ≤ q <∞:
τ2M (f)q �
∞∑
µ,ν=m+1
M−1(µ,ν)2
−
(
r1−1
2
)
(µ+ν)
(µν)
(d−1)
(
1
2+
(
1
2−
1
θ
)
+
)
�
�
∞∑
µ,ν=m+1
M−12−α(2m−µ−ν)2
−
(
r1−1
2
)
(µ+ν)
(µν)
(d−1)
(
1
2+
(
1
2−
1
θ
)
+
)
=
= M−12−2αm
∞∑
µ,ν=m+1
2
−
(
r1−1
2−α
)
(µ+ν)
(µν)
(d−1)
(
1
2+
(
1
2−
1
θ
)
+
)
. (51)
Выбрав α > 0 в определении чисел M(µ,ν) так, чтобы выполнялось неравенство r1 −
1
2
−
−α > 0
(
это можно сделать, поскольку по условию теоремы r1 >
1
2
)
, из (51), учитывая (12),
получаем
τ2M (f)q �M−12−2αm2
−2m
(
r1−1
2−α
)
m
(d−1)
(
1+2
(
1
2−
1
θ
)
+
)
�
� 2−2mr1m
2(d−1)
(
1
2−
1
θ
)
+ �M−2r1(logd−1M)
2
(
r1+
(
1
2−
1
θ
)
+
)
, (52)
такая же оценка справедлива и для τM (f)q .
Наконец, при 2 ≤ p < ∞, q = ∞, сопоставляя оотношения (50) и (43), по аналогии с
предыдущим случаем находим
τM (f)∞ � 2−2mr1m
2(d−1)
(
1
2+
(
1
2−
1
θ
)
+
)
�M−2r1(logd−1M)
2
(
r1+
1
2+
(
1
2−
1
θ
)
+
)
. (53)
Из соотношений (52) и (53) следуют требуемые оценки сверху в теореме 2 для τM (Brp,θ)q .
Теоремами 1 и 2 не охвачен случай 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞. Оценки сверху величин τM (Brp,θ)q
в этом случае установлены в следующем утверждении.
Теорема 3. Пусть 1 ≤ θ <∞, 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞ и r1 >
1
p
. Тогда
τM (Brp,θ)q �M
−2r1−1
2+
1
p (logd−1M)
2
(
r1+
(
1
p−
1
θ
)
+
)
+η(p)
, 2 < q <∞,
τM (Brp,θ)∞ �M
−2r1−1
2+
1
p (logd−1M)
2
(
r1+
1
2+
(
1
p−
1
θ
)
+
)
+η(p)
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1697
где
η(p) =
0 при
1
p
< r1 ≤
3
2p
− 1
4
,
1
2
− 1
p
при r1 >
3
2p
− 1
4
.
Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теорем 1 и 2. Основное отличие
состоит в использовании вместо лемм Б и В следующего утверждения.
Лемма Г [7]. Пусть g ∈ T (Qµ, Qν , 2d), µ, ν, d ∈ N. Тогда при 1 < p < 2 < q <∞ иM ∈ Z+
τM (g)q �
min{1,M−
1
2−
1
p }2
1
p (µ+ν)(µν)
d−1
p ‖g‖p ,
min{1,M−
2
p }2(
3
2p−
1
4 )(µ+ν)(µν)
d−1
p ‖g‖p .
(54)
При 1 < p < 2, q =∞
τM (f)∞ �
�
min{1,M−
1
2−
1
p }2
1
p (µ+ν)(µν)
(d−1)
(
1
2+
1
p
)(
log
(
1 +
|Qµ|
M + 1
)
log
(
1 +
|Qν |
M + 1
))1
2
‖f‖p ,
min{1,M−
2
p }2
(
3
2p−
1
4
)
(µ+ν)
(µν)
(d−1)
(
1
2+
1
p
)(
log
(
1 +
|Qµ|
M + 1
)
log
(
1 +
|Qν |
M + 1
))1
2
‖f‖p .
(55)
Доказательство теоремы 3. Если f ∈ Brp,θ, а функции fµ,ν и числа M(µ,ν) определены
соответственно формулами (44) и (32), то, используя соотношение (54), с учетом (48) вначале
находим
τM(µ,ν)
(fµ,ν)q �M
−1
2−
1
p 2
1
p (µ+ν)(µν)
d−1
p ‖fµ,ν‖p �
�M
−1
2−
1
p 2
(
1
p−r1
)
(µ+ν)
(µν)
(d−1)
(
1
p+
(
1
p−
1
θ
)
+
)
(56)
при 2 < q <∞ и
1
p
< r1 <
3
2p
− 1
4
и
τM(µ,ν)
(fµ,ν)q �M
−2
p
(µ,ν)2
(
3
2p−
1
4
)
(µ+ν)
(µν)
d−1
p ‖fµ,ν‖p �
�M
−2
p
(µ,ν)2
(
3
2p−
1
4−r1
)
(µ+ν)
(µν)
(d−1)
(
1
p+
(
1
p−
1
θ
)
+
)
(57)
при r1 >
3
p
− 1
4
.
Сопоставляя (56) и (43), с учетом значений чисел M(µ,ν) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1698 А. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
τ2M (f)q �
∞∑
µ,ν=m+1
M
−1
2−
1
p 2
−d
(
1
2+
1
p
)
(2m−µ−ν)
2
(
1
p−r1
)
(µ+ν)
(µν)
(d−1)
(
1
p+
(
1
p−
1
θ
)
+
)
=
= M
1
2−
1
p 2
−αm−2αm
p
∞∑
µ,ν=m+1
2
(µ+ν)
(
α
2 +
α
p+
1
p−r1
)
(µν)
(d−1)
(
1
p+
(
1
p−
1
θ
)
+
)
. (58)
Выберем α > 0 так, чтобы выполнялось неравенство
α
2
+
α
p
+
1
p
− r1 < 0
(
это можно
сделать вследствие условия r1 >
1
p
)
. Тогда, выполняя элементарные преобразования в правой
части (58) с учетом (12), находим
τ2M (f)q �M
−2r1−1
2+
1
p (logd−1M)
2
(
r1+
(
1
p−
1
θ
)
+
)
(59)
для f ∈ Brp,θ при 1 < p < 2 < q,
1
p
< r1 ≤
3
2p
− 1
4
.
Аналогично в случае r1 >
3
2p
− 1
4
, используя неравенство (57) вместо (56), получаем
τ2M (f)q �M
−2r1−1
2+
1
p (logd−1M)
2
(
r1+
(
1
p−
1
θ
)
+
)
+
1
2−
1
p . (60)
Соотношения (59) и (60) влекут оценки величин τM (Brp,θ) в теореме 3 при всех p и q, 1 < p <
< 2 < q <∞.
Аналогичным образом получаем оценки сверху и в случае 1 < p < 2, q =∞, используя на
начальном этапе соотношение (55) и принимая во внимание, что |Qm| � 2mmd−1.
В заключительной части отметим один случай соотношений между параметрами p и q, когда
можно показать, что оценки сверху величин τM (Brp,θ), установленные в теоремах 1 – 3, являются
точными по порядку. С этой целью предварительно сформулируем несколько утверждений(
следствий из результатов работы [10] об оценках снизу величин τM (B r
p,θ)
)
. Здесь Brp,θ — класс
функций g(x, y) 2d переменных вида g(x, y) = f(x− y), где f(t), t = (t1, . . . , td), как функция
d переменных, принадлежит классу B2r
p,θ (т. е. классу из пространства B2r
p,θ при m = d в его
исходном определении). Чтобы зафиксировать последнее, будем полагать, что f ∈ B2r
p,θ(d)
вместо f ∈ Brp,θ.
Покажем, что ‖g‖Brp,θ � ‖f‖B2r
p,θ(d)
.
В самом деле, пусть u = (u1, . . . , u2d) = (s1, . . . , sd, t1, . . . , td) ∈ Z2d
+ , r = (r1, . . . , r1) ∈ R2d
+
и r = (r1, . . . , r1) ∈ Rd+ — векторы с положительными координатами. Тогда
‖g‖Brp,θ �
∑
u∈N2d
2(u,r)θ‖Au(g, ·)‖θp
1
θ
=
=
∑
s∈Nd
∑
t∈Nd
2(s,r)θ2(t,r)θ‖As(f, ·)‖θp
1
θ
=
∑
s∈Nd
2(s,2r)θ‖As(f, ·)‖θp
1
θ
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1699
Теперь на основании изложенного и вследствие оценок величин τM (Brp,θ)q, установленных
в [10], приходим к следующим утверждениям.
Следствие 1. Пусть 1 ≤ p ≤ 2, 1 ≤ θ <∞ и r1 >
1
p
. Тогда при 2 ≤ q <∞
τM (Brp,θ)q �M
−2r1+1
p−
1
2 (logd−1M)
2r1−1
p+1−1
θ .
Следствие 2. Пусть 1 ≤ θ <∞ и r1 >
1
2
. Тогда при 2 ≤ p < q ≤ ∞
τM (Brp,θ)q �M−2r1(logd−1M)2r1+
1
2−
1
θ .
Сопоставляя теорему 2 и следствие 2, можем утверждать справедливость такой теоремы.
Теорема 4. Пусть r1 >
1
2
, 2 ≤ p < q <∞. Тогда
τM (Brp,2)q �M−2r1(logd−1M)2r1 .
1. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения
// Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – C. 42 – 81.
2. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
3. Аманов Т. И. Теоремы представления и вложения для функциональных пространств S
(r)
p,θB(Rn) и S
(r)∗
p,θ B //
Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 77. – С. 5 – 34.
4. Лизоркин П. И., Никольский С. М. Пространства функций смешанной гладкости с декомпозиционной точки
зрения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – C. 143 – 161.
5. Романюк A. C., Романюк В. С. Наилучшие билинейные приближения функций из пространств Никольского –
Бесова // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 5. – С. 685 – 697.
6. Темляков В. Н. Приближение периодических функций многих переменных комбинациями функций, зависящих
от меньшего числа переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1986. – 173. – С. 243 – 252.
7. Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений периодических функций // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1988. – 181. – С. 250 – 267.
8. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 419 p.
9. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 c.
10. Романюк A. C. Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова Br
p,θ периодических функций
многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2006. – 70, № 2. – C. 69 – 98.
Получено 16.05.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2546 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:33Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/be/d7f8d8d43ed9645f6dc676a24404bebe.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25462020-03-18T19:26:06Z Best Bilinear Approximations for the Classes of Functions of Many Variables Наилучшие билинейные приближения классов функций многих переменных Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. We obtain upper bounds for the values of the best bilinear approximations in the Lebesgue spaces of periodic functions of many variables from the Besov-type classes. In special cases, it is shown that these bounds are order exact. Отримано оцінки зверху для величин найкращих білінійних наближень у просторах Лебега періодичних функцій багатьох змінних, що належать до класів типу Бєсова. Показано, що в окремих випадках ці оцінки є точними за порядком. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2546 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 12 (2013); 1681–1699 Український математичний журнал; Том 65 № 12 (2013); 1681–1699 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2546/1852 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2546/1853 Copyright (c) 2013 Romanyuk A. S.; Romanyuk V. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Best Bilinear Approximations for the Classes of Functions of Many Variables |
| title | Best Bilinear Approximations for the Classes of Functions of Many Variables |
| title_alt | Наилучшие билинейные приближения классов функций многих переменных |
| title_full | Best Bilinear Approximations for the Classes of Functions of Many Variables |
| title_fullStr | Best Bilinear Approximations for the Classes of Functions of Many Variables |
| title_full_unstemmed | Best Bilinear Approximations for the Classes of Functions of Many Variables |
| title_short | Best Bilinear Approximations for the Classes of Functions of Many Variables |
| title_sort | best bilinear approximations for the classes of functions of many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2546 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas bestbilinearapproximationsfortheclassesoffunctionsofmanyvariables AT romanyukvs bestbilinearapproximationsfortheclassesoffunctionsofmanyvariables AT romanûkas bestbilinearapproximationsfortheclassesoffunctionsofmanyvariables AT romanûkvs bestbilinearapproximationsfortheclassesoffunctionsofmanyvariables AT romanûkas bestbilinearapproximationsfortheclassesoffunctionsofmanyvariables AT romanûkvs bestbilinearapproximationsfortheclassesoffunctionsofmanyvariables AT romanyukas nailučšiebilinejnyepribliženiâklassovfunkcijmnogihperemennyh AT romanyukvs nailučšiebilinejnyepribliženiâklassovfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkas nailučšiebilinejnyepribliženiâklassovfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkvs nailučšiebilinejnyepribliženiâklassovfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkas nailučšiebilinejnyepribliženiâklassovfunkcijmnogihperemennyh AT romanûkvs nailučšiebilinejnyepribliženiâklassovfunkcijmnogihperemennyh |