On the Absolute Summability of Fourier Series of Almost Periodic Functions
We establish new sufficient conditions for the absolute |C, α|-summability of the Fourier series of functions almost periodic in a sense of Besicovitch whose spectrum has limit points at infinity and at the origin for \( \alpha \ge \frac{1}{2} \) .
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2013
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2549 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508459976359936 |
|---|---|
| author | Khasanov, Yu. Хасанов, Ю. Х. Хасанов, Ю. Х. |
| author_facet | Khasanov, Yu. Хасанов, Ю. Х. Хасанов, Ю. Х. |
| author_sort | Khasanov, Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:26:06Z |
| description | We establish new sufficient conditions for the absolute |C, α|-summability of the Fourier series of functions almost periodic in a sense of Besicovitch whose spectrum has limit points at infinity and at the origin for \( \alpha \ge \frac{1}{2} \) . |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.512
Ю. Х. Хасанов (Рос.-Тадж. славян. ун-т, Душанбе, Таджикистан)
ОБ АБСОЛЮТНОЙ СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
We establish new sufficient conditions of the absolute |C,α|-summability of fourier series of functions almost periodic in
a sense of Besicovitch whose spectrum has limiting points at infinity and at zero for α ≥ 1
2
.
Встановлено новi достатнi умови абсолютної |C,α|-сумовностi рядiв Фур’є майже перiодичних в сенсi Безиковича
функцiй, спектр яких має межовi точки в нескiнченностi i в нулi при α ≥ 1
2
.
Говорят, что числовой ряд
∑∞
n=0 an абсолютно суммируем методом Чезаро или |C(α)|-суммируем,
если
∞∑
n=1
|σαn − σαn−1| <∞,
где
σαn =
∞∑
k=0
(Aαn)−1Aαn−kak, n = 1, 2, . . . , Aαn =
(α+ 1)(α+ 2) . . . (α+ n)
n!
.
Исследованию вопросов абсолютной суммируемости методом Чезаро ортогональных рядов,
в частности тригонометрических рядов Фурье, посвящены работы [1 – 7]. С более подробной
информацией о результатах исследований в этих направлениях можно ознакомиться, например,
в работе [7].
Известно [8], что пространство Bp, 1 ≤ p ≤ ∞, почти периодических по Безиковичу
функций является замыкание множества тригонометрических полиномов t(x) =
∑n
k=1
ake
iλkx,
ak ∈ C, λk, x ∈ R, n ∈ N, по норме
‖f‖Bp =
lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
|f(x)|p dx
1/p
=
{
M [ |f(x)|p]
}1/p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖B∞ = sup
x∈R
|f(x)|, p =∞.
Пространство B∞ равномерных почти периодических функций обозначают через B.
Для каждой f ∈ B1 определена функция
a(λ) = M{f(x)e−iλx} = lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
f(x)e−iλxdx.
Она может отличаться от нуля не более чем на счетном множестве значений λ : λ1, . . .
. . . , λn, . . . . Числа {λn}, n = 1, 2, . . . , называются показателями (спектром) Фурье, а числа
an = a(λn) — коэффициентами Фурье функции f(x). Итак, для каждой f ∈ Bp можно записать
ряд Фурье
c©Ю. Х. ХАСАНОВ, 2013
1716 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ОБ АБСОЛЮТНОЙ СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1717
f(x) ∼
∞∑
n=1
ane
iλnx.
Определения и свойства функций из пространств Bp можно найти в [8] или [9].
В работе [7] установлены некоторые достаточные условия абсолютной чезаровской сумми-
руемости рядов Фурье функций f ∈ B2 для различных значений α (−1 < α < 1/2).
В настоящей статье найдены новые достаточные условия абсолютной чезаровской сумми-
руемости рядов вида
∞∑
n=1
an exp (iλnx) (1)
для различных значений α ≥ 1
2
.
Рассмотрим два случая.
1. Показатели Фурье Λ{λn} имеют единственную предельную точку в бесконечности:
λ0 = 0; λ−n = −λn; |λn| < |λn+1|, n = 1, 2, . . . ; lim
n→∞
|λn| =∞. (2)
В этом случае в класс функций f ∈ Bp попадают и все периодические функции и свойства
рядов таких функций во многом аналогичны свойствам рядов Фурье периодических функций.
При этом в качестве структурной характеристики используется модуль гладкости порядка k с
шагом h функции f ∈ Bp
ωk(f ;h)Bp = sup
|t|≤h
∥∥∥∆k
t f(x)
∥∥∥
Bp
,
где
∆k
t f(x) =
k∑
r=0
(−1)k−r(kr )f(x− (2r − k)t/2), h > 0, k ∈ N.
2. Показатели Фурье Λ{λn}, n→∞, имеют единственную предельную точку Λ 6=∞. Не
нарушая общности рассуждений можно принять, что Λ = 0, т. е.
λ−n = −λn, |λn| < |λn−1|, n = 1, 2, . . . , lim
n→∞
|λn| = 0. (3)
В качестве структурной характеристики применяется модуль усреднения порядка k функции
f ∈ Bp, p ≥ 1,
Wk(f ;H)Bp = sup
T≥H
‖fTk(x)‖Bp , (4)
где H > 0, k ∈ N,
fTk(x) = (2T )−k
x+T∫
x−T
dt1
t1+T∫
t1−T
dt2 . . .
tk−2+T∫
tk−2−T
dtk−1
tk−1+T∫
tk−1−T
f(tk)dtk.
В дальнейшем нам понадобятся следующие утверждения.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1718 Ю. Х. ХАСАНОВ
Лемма 1. Если последовательности функций {ϕn(x)} принадлежат B1, n = 1, 2, . . . , и
почти всюду ϕn(x) ≥ 0, n = 1, 2, . . . , то из условия
∞∑
n=1
M{ϕn(x)} <∞
следует, что ряд
∑∞
n=1 ϕn(x) почти всюду сходится. Здесь
M{f(x)} =
lim
T→∞
1
2T
T∫
−T
|f(x)|dx
.
Лемма 1 доказана автором в работе [7].
Лемма 2. Если ряд
∑∞
n=0
|un| сходится, то ряд
∞∑
n=0
(Aαn)−1un
суммируем методом |C,α|, 0 < α < 1.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть спектр Λ{λn} функции f ∈ B2 удовлетворяет условиям (2). Тогда
условие
∞∑
ν=0
2−ν
(
λ2ν+1
λ2ν
)k
ωk(f ;λ−12ν )B2 <∞ (5)
влечет
∣∣∣∣C, 1
2
∣∣∣∣-суммируемость ряда (1).
Доказательство. В силу леммы 1 достаточно установить сходимость почти всюду ряда
G(f ;α) =
∞∑
n=1
M{|σαn(x)− σαn−1(x)|}, (6)
где
σαn =
n∑
k=0
(Aαn)−1Aαn−kak, A
α
n =
(α+ 1)(α+ 2) . . . (α+ n)
n!
.
Известно [7, с. 1273], что
G(f ;α) ≤
∞∑
ν=0
2−ν(α+
1
2
)
2ν−1∑
n=1
2ν+1−1∑
k=2ν
+
2ν+1−1∑
n=2ν
2ν+1−1∑
k=n
n2a2n
(n− k + 1)2(1−α)
1
2
. (7)
Пусть α =
1
2
, тогда
G(f ;α) ≤
∞∑
ν=0
2−ν(
1
2
+ 1
2
)
2ν−1∑
n=1
2ν+1−1∑
k=2ν
+
2ν+1−1∑
n=2ν
2ν+1−1∑
k=n
n2a2n
n− k + 1
1
2
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ОБ АБСОЛЮТНОЙ СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1719
=
∞∑
ν=0
2−ν
2ν+1−1∑
n=1
n2a2n
1
2
=
∞∑
ν=0
2−ν
ν∑
k=0
2k+1−1∑
n=2k
n2a2n
1
2
≤
≤
∞∑
ν=0
2−ν
ν∑
k=0
2k+1
2k+1−1∑
n=2k
a2n
1
2
.
Меняя порядок суммирования, получаем
G(f ;α) ≤
∞∑
ν=0
2−ν · 2ν
2ν+1−1∑
n=2ν
a2n
1
2
=
∞∑
ν=0
2ν+1−1∑
n=2ν
a2n
1
2
.
Применяя неравенство (см. [11, с. 308])
∞∑
n=1
dβn ≤ cβ
∞∑
n=1
n−β
( ∞∑
ν=n
dν
)β
, 0 < β < 1, dn ≥ 0,
получаем
G(f ;α) = O
∞∑
ν=0
2−ν
2ν+1−1∑
n=2ν
a2n
1
2
. (8)
Пусть λn ≥ π и
Nν =
{
n : 2ν−1π ≤ λn < 2νπ
}
, ν ≥ 1,
m(Nν) — количество элементов в Nν . Коэффициентами Фурье функции ∆k
hf(x) будут числа
an2k sink
h
2
λn. Тогда в силу равенства Парсеваля [9]
22k
∞∑
n=1
|an |2 sin2k h
2
λn =
∥∥∥∆k
hf(x)
∥∥∥
B2
. (9)
Из равенства (9) следует, что при любом ν = 1, 2, . . . справедливо
2ν−1∑
n=2ν−1
|an|2 sin2k h
2
λn ≤ ω2
k(f ;h)B2 . (10)
Для h = 1/λ2ν и n = 2ν−1, . . . , 2ν − 1 будет hλn/2 ≤ 1/2, поэтому
sin
hλn
2
= sin
λn
2λ2ν
≥
(
sin
1
2
)
λn
λ2ν
.
Отсюда с учетом (10) получаем
ω2
k
(
f,
1
λ2ν
)
B2
� 1
λ2k2ν
2ν−1∑
n=2ν−1
|an|2 λ2kn �
(
λ2ν−1
λ2ν
)2k 2ν−1∑
n=2ν−1
|an|2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1720 Ю. Х. ХАСАНОВ
Следовательно, 2k+1−1∑
n=2k
a2n
1
2
≤
(
λ2ν+1
λ2ν
)k
ωk(f ;λ−12ν )B2 . (11)
После применения этой оценки в (8) будем иметь
G(f ;α) = O
{ ∞∑
ν=0
2−ν
(
λ2ν+1
λ2ν
)k
ωk(f ;λ−12ν )B2
}
.
Из последнего в силу оценки (5) следует сходимость почти всюду ряда (6), откуда согласно
лемме 2 вытекает
∣∣∣∣C;
1
2
∣∣∣∣-суммируемость ряда (1).
Дальнейшие рассуждения опираются на следующее утверждение, доказательство которого
можно найти в работе [4].
Лемма 3. Для произвольной последовательности выполняется неравенство
∞∑
n=1
2n+1∑
k=2n+1
a2k
1
2
≤ 4 ·
∞∑
n=2
(∑∞
k=n
a2k
)1
2
n(lnn)
1
2
.
Теорема 2. Если спектр Λ{λn} функции f ∈ B2 удовлетворяет условиям (2) и
∞∑
ν=0
2−ν(ln 2ν)−1/2
(
λ2ν+1
λ2ν
)k
ωk(f ;λ−12ν )B2 <∞, (12)
то ряд (1) почти всюду |C;α|-суммируем при любом α >
1
2
.
Доказательство. Пусть α >
1
2
. Тогда 2 − 2α < 1. Следовательно, после перестановки
порядка суммирования в (7) и в силу того, что
2m+1−1∑
ν=2m
1
(n− ν + 1)2(1−α)
= O
(
2m(α+1/2)
)
,
получим
G(f ;α) ≤
∞∑
n=0
2−n(α+1/2)2n(α+1/2)
2n+1−1∑
ν=2n
a2ν
1
2
=
∞∑
n=0
2n+1−1∑
ν=2n
a2ν
1
2
.
После применения леммы 3 будем иметь
G(f ;α) ≤
∞∑
n=2
n−1(lnn)−
1
2
2n+1−1∑
ν=2n
a2ν
1
2
.
Отсюда, используя оценки (11), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
ОБ АБСОЛЮТНОЙ СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1721
G(f ;α) ≤
∞∑
ν=1
2−ν(ln 2ν)−
1
2
(
λ2ν+1
λ2ν
)k
ωk(f ;λ−12ν )B2 .
Используя (6) и лемму 2, завершаем доказательство теоремы 2.
Теперь перейдем к рассмотрению признаков |C;α|-суммируемости почти всюду рядов Фу-
рье функции f(x) ∈ B2 для значений α ≥ 1
2
, когда показатели Фурье имеют предельную точку
в нуле. Как было отмечено, в качестве структурной характеристики используется величина (4)
— модуль усреднения порядка k функции f ∈ Bp, p ≥ 1.
Теорема 3. Пусть спектр Λ{λn} функции f(x) ∈ B2 удовлетворяет условиям (3). Тогда
условие
∞∑
ν=0
2−νWk(f ;λ−12ν )B2 <∞ (13)
влечет
∣∣∣∣C, 1
2
∣∣∣∣-суммируемость почти всюду ряда (1).
Доказательство. Пусть ряд
∑∞
n=0
ane
iλnx является рядом Фурье функции f ∈ B2. Тогда
рядом Фурье функции fTk(x) будет ряд
∞∑
n=0
ane
iλnx
{
sinλnT
iλnT
}k
.
Это следует из тождества
1
(2T )k
x+T∫
x−T
dt1
t1+T∫
t1−T
dt2 . . .
tk−2+T∫
tk−2−T
dtk−1
tk−1+T∫
tk−1−T
eiλntkdtk = eiλnx
{
sinλnT
iλnT
}k
.
В силу равенства Парсеваля
∞∑
n=1
∣∣∣∣∣an
{
sinλnT
iλnT
}k∣∣∣∣∣
2
1
2
= ‖fTk(x)‖B2
≤Wk(f ;T )B2 .
Из этого равенства следует, что при любом ν = 1, 2, . . .
2ν−1∑
n=2ν−1
|an|2
{
sinλnT
λnT
}2k
≤W 2
k (f ;T )B2 . (14)
Для T = λ−1
2ν−1 и n = 2ν−1, . . . , 2ν − 1 будет λnT ≤ 1, поэтому sinλnT ≥ (sin 1)λnT . Отсюда и
из (14) следует оценка
2ν−1∑
n=2ν−1
|an|2 �W 2
k (f ;λ−1
2ν−1)B2 . (15)
Подставляя эту оценку в (7), при α =
1
2
имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
1722 Ю. Х. ХАСАНОВ
G(f ;α)�
∞∑
ν=0
2−νWk(f ;λ−12ν )B2 .
Из последнего, в силу оценки (13) следует сходимость почти всюду ряда (6), откуда согласно
лемме 2 следует
∣∣∣∣C, 1
2
∣∣∣∣-суммируемость ряда (1).
Теорема 3 доказана.
Теорема 4. Если спектр Λ{λn} функции f(x) ∈ B2 удовлетворяет условиям (3) и
∞∑
ν=0
2−ν(ln 2ν)−1/2Wk(f ;λ−12ν )B2 <∞, (16)
то ряд (1) почти всюду |C;α|-суммируем при любом α >
1
2
.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2, но здесь вместо оцен-
ки (11) используется соотношение (15).
1. Tandori K. Über die orthogonalen Funktionen IX. (Absolute Summation) // Acta Sci. Math. – 1960. – 21. – S. 292 – 299.
2. Leindler L. Über die absolute Summierbarkeit der Оrthogonalreihen // Acta Sci. Math. – 1961. – 22. – S. 243 – 268.
3. Billard P. Sur la sommabilitie absolute des series de fonctions orthogonales // Bull. Sci. Math. – 1961. – 85. –
S. 29 – 31.
4. Грепачевская Л. В. Абсолютная суммируемость ортогональных рядов // Мат. сб. – 1964. – 65 (107), № 3. –
С. 370 – 389.
5. Грепачевская Л. В. Об абсолютной суммируемости методами Чезаро, Рисса и Зигмунда // Докл. АН СССР. –
1964. – 155, № 3. – С. 370 – 389.
6. Тиман М. Ф. Об абсолютной сходимости и суммируемости рядов Фурье // Сообщ. АН ГССР. – 1961. – 26, № 6. –
С. 641 – 646.
7. Тиман М. Ф., Хасанов Ю. Х. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций
Безиковича // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 9. – С. 1267 – 1276.
8. Besicovitch. Almost periodic functions. – Cambridge, 1932.
9. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. – М.: Гостехтеориздат, 1953.
10. Sunouchi G. On the absolute summability of Fourier series //J. Math. Soc. Jap. – 1949. – 1, № 2. – P. 57 – 65.
11. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. – М.: Изд-во иностр. лит., 1948.
Получено 01.10.12,
после доработки — 09.10.13
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2013, т. 65, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-2549 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:33Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cc/6ac61d064d349e6fac02398ed5a70dcc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25492020-03-18T19:26:06Z On the Absolute Summability of Fourier Series of Almost Periodic Functions Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций Khasanov, Yu. Хасанов, Ю. Х. Хасанов, Ю. Х. We establish new sufficient conditions for the absolute |C, α|-summability of the Fourier series of functions almost periodic in a sense of Besicovitch whose spectrum has limit points at infinity and at the origin for \( \alpha \ge \frac{1}{2} \) . Встановлено нові достатні умови абсолютної |C, α|-сумовності рядів Фур'є майже пєріодичних в сени Безиковича функцій, спектр яких має межові точки в нескінченності i в нулі при \( \alpha \ge \frac{1}{2} \) . Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2013-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2549 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 65 No. 12 (2013); 1716–1722 Український математичний журнал; Том 65 № 12 (2013); 1716–1722 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2549/1858 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2549/1859 Copyright (c) 2013 Khasanov Yu. |
| spellingShingle | Khasanov, Yu. Хасанов, Ю. Х. Хасанов, Ю. Х. On the Absolute Summability of Fourier Series of Almost Periodic Functions |
| title | On the Absolute Summability of Fourier Series of Almost Periodic Functions |
| title_alt | Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций |
| title_full | On the Absolute Summability of Fourier Series of Almost Periodic Functions |
| title_fullStr | On the Absolute Summability of Fourier Series of Almost Periodic Functions |
| title_full_unstemmed | On the Absolute Summability of Fourier Series of Almost Periodic Functions |
| title_short | On the Absolute Summability of Fourier Series of Almost Periodic Functions |
| title_sort | on the absolute summability of fourier series of almost periodic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2549 |
| work_keys_str_mv | AT khasanovyu ontheabsolutesummabilityoffourierseriesofalmostperiodicfunctions AT hasanovûh ontheabsolutesummabilityoffourierseriesofalmostperiodicfunctions AT hasanovûh ontheabsolutesummabilityoffourierseriesofalmostperiodicfunctions AT khasanovyu obabsolûtnojsummiruemostirâdovfurʹepočtiperiodičeskihfunkcij AT hasanovûh obabsolûtnojsummiruemostirâdovfurʹepočtiperiodičeskihfunkcij AT hasanovûh obabsolûtnojsummiruemostirâdovfurʹepočtiperiodičeskihfunkcij |