On modules over group rings of nilpotent groups
We study an $\mathbf{R}G$-module $A$, where $\mathbf{R}$ is a ring, $A/C_A(G)$ is not a minimax $\mathbf{R}$-module, $C_A(G) = 1$, and $G$ is a nilpotent group. Let $\mathfrak{L}_{nm}(G)$ be the system of all subgroups $H \leq G$ such that the quotient modules $A/C_A(G)$ are not minimax $\mathbf{R}...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2552 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508466408325120 |
|---|---|
| author | Dashkova, O. Yu. Дашкова, О. Ю. Дашкова, О. Ю. |
| author_facet | Dashkova, O. Yu. Дашкова, О. Ю. Дашкова, О. Ю. |
| author_sort | Dashkova, O. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:29:28Z |
| description | We study an $\mathbf{R}G$-module $A$, where $\mathbf{R}$ is a ring, $A/C_A(G)$ is not a minimax $\mathbf{R}$-module, $C_A(G) = 1$, and $G$ is a nilpotent group.
Let $\mathfrak{L}_{nm}(G)$ be the system of all subgroups $H \leq G$ such that the quotient modules $A/C_A(G)$ are not minimax $\mathbf{R}$-modules.
We investigate a $\mathbf{R}G$ - module $A$ such that $\mathfrak{L}_{nm}(G)$ satisfies either the weak minimal condition or the weak maximal condition as an ordered set.
It is proved that a nilpotent group $G$ that satisfies these conditions is a minimax group. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.544
О. Ю. Дашкова (Днепропетр. нац. ун-т им. О. Гончара)
О МОДУЛЯХ НАД ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП
We study an RG-module A, where R is a ring, A/CA(G) is not a minimax R-module, CG(A) = 1, and G is a nilpotent
group. Let Lnm(G) be the system of all subgroups H ≤ G such that the quotient modules A/CA(H) are not minimax
R-modules. We investigate a RG-module A such that Lnm(G) satisfies either the weak minimal condition or the weak
maximal condition as an ordered set. It is proved that a nilpotent group G that satisfies these conditions is a minimax group.
Вивчається RG-модуль A такий, що R — кiльце, A/CA(G) не є мiнiмаксним R-модулем, CG(A) = 1, G —
нiльпотентна група. Розглядається система Lnm(G) усiх пiдгруп H ≤ G, для яких фактор-модулi A/CA(H) не
є мiнiмаксними R-модулями. Дослiджується RG-модуль A такий, що Lnm(G) задовольняє або слабку умову
мiнiмальностi, або слабку умову максимальностi як упорядкована множина. Доведено, що нiльпотентна група G,
яка задовольняє цi умови, мiнiмаксна.
1. Введение. Пусть A — векторное пространство над полем F. Подгруппы группы GL(F,A)
всех автоморфизмов пространства A называются линейными группами. Если A имеет конеч-
ную размерность над полем F, GL(F,A) можно рассматривать как группу невырожденных
(n×n)-матриц, где n = dimFA. Конечномерные линейные группы играют важную роль в раз-
личных областях науки и изучались достаточно много. В случае, когда пространство A имеет
бесконечную размерность над полем F, ситуация кардинально меняется. Бесконечномерные
линейные группы исследовались мало. Изучение этого класса групп требует дополнитель-
ных ограничений. К таким ограничениям относятся различные условия конечности. Одним из
условий конечности, которое достойно особого внимания, является финитарность линейной
группы. Группа G называется финитарной, если для каждого ее элемента g подпространство
CA(g) имеет конечную коразмерность в A (см., например [1, 2]). Финитарные линейные группы
изучались многими алгебраистами, и в этом направлении был получен ряд интересных резуль-
татов [2]. В [3] было введено другое условие конечности, налагаемое на бесконечномерные
линейные группы. Авторы ввели понятие центральной размерности бесконечномерной линей-
ной группы. Пусть H — подгруппа группы GL(F,A). H действует на фактор-пространстве
A/CA(H) естественным образом. Авторы определяют centdimFH как dimF (A/CA(H)). Гово-
рят, что подгруппа H имеет конечную центральную размерность, если centdimFH конечна, и
H имеет бесконечную центральную размерность, если centdimFH бесконечна.
Пусть G ≤ GL(F,A). В [3] была рассмотрена система Lid(G) всех подгрупп группы G,
имеющих бесконечную центральную размерность. Чтобы исследовать бесконечномерные ли-
нейные группы, которые по своей структуре близки к конечномерным, следует рассмотреть
случай, когда система Lid(G) „достаточно мала”. Так, в [3] изучались локально разрешимые
бесконечномерные линейные группы, у которых Lid(G) удовлетворяет условию минимальности
как упорядоченное множество. Разрешимые бесконечномерные линейные группы, у которых
Lid(G) удовлетворяет условию максимальности как упорядоченное множество, исследовались
в [4].
Слабое условие минимальности и слабое условие максимальности являются наиболее есте-
ственными теоретико-групповыми обобщениями обычных условий минимальности и макси-
мальности. Слабое условие минимальности было введено в рассмотрение Д. И. Зайцевым [5],
c© О. Ю. ДАШКОВА, 2012
14 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
О МОДУЛЯХ НАД ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП 15
а слабое условие максимальности — Р. Бэром [6]. Пусть G — группа, M — некоторое семейство
подгрупп группы G. Говорят, что группа G удовлетворяет слабому условию минимальности
для M-подгрупп, если M удовлетворяет слабому условию минимальности, т. е. если для любого
убывающего ряда подгрупп из множества M
G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn ≥ Gn+1 ≥ . . .
существует натуральное число m ∈ N такое, что индекс |Gn : Gn+1| конечен для каждого
n ≥ m. Группа G удовлетворяет слабому условию максимальности для M-подгрупп, если M
удовлетворяет слабому условию максимальности, т. е. если для любого возрастающего ряда
подгрупп из множества M
G0 ≤ G1 ≤ . . . ≤ Gn ≤ Gn+1 ≤ . . .
существует натуральное число m ∈ N такое, что индекс |Gn : Gn+1| конечен для каждого
n ≥ m. В [7] изучались бесконечномерные периодические локально радикальные группы G, у
которых Lid(G) удовлетворяет либо слабому условию минимальности, либо слабому условию
максимальности, а в [8] исследовались локально нильпотентные группы G, у которых Lid(G)
удовлетворяет либо слабому условию минимальности, либо слабому условию максимальности.
Если G ≤ GL(F,A), то A можно рассматривать как FG-модуль. Естественным обощением
этого случая является рассмотрение RG-модуля A, где R — кольцо. При этом обобщением
понятия центральной размерности подгруппы линейной группы является понятие коцентра-
лизатора подгруппы, введенное в [9]. Пусть A — RG-модуль, где R — кольцо, G — группа.
Если H ≤ G, то фактор-модуль A/CA(H), рассматриваемый как R-модуль, называется коцент-
рализатором подгруппы H в модуле A. Следует отметить, что в теории модулей существует
ряд обобщений конечномерного векторного пространства. Это модули, имеющие конечные
композиционные ряды, конечнопорожденные, нетеровы и артиновы модули.
Исследование алгебраических систем, удовлетворяющих условиям минимальности и макси-
мальности, остается достаточно актуальным. Примерами таких систем являются классы нетеро-
вых и артиновых модулей. Напомним, что модуль называется артиновым, если упорядоченное
множество его подмодулей удовлетворяет условию минимальности. Модуль называется нетеро-
вым, если упорядоченное множество его подмодулей удовлетворяет условию максимальности.
Естественным обобщением классов артиновых и нетеровых модулей является класс минимакс-
ных модулей (см. гл. 7 [10]). R-модульA называется минимаксным, если он имеет конечный ряд
подмодулей, каждый фактор которого является либо нетеровым R-модулем, либо артиновым
R-модулем.
Пусть A — RG-модуль, где R — произвольное кольцо, Lnm(G) — система всех подгрупп
группы G, коцентрализаторы которых в модуле A не являются минимаксными R-модулями,
упорядоченная относительно обычного включения подгрупп. Если Lnm(G) удовлетворяет сла-
бому условию минимальности как упорядоченное множество, будем говорить, что группа G
удовлетворяет условию Wmin−nm. Если же Lnm(G) удовлетворяет слабому условию макси-
мальности как упорядоченное множество, будем говорить, что группаG удовлетворяет условию
Wmax−nm.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
16 О. Ю. ДАШКОВА
Целью настоящей работы является изучение нильпотентных групп, удовлетворяющих либо
условию Wmin−nm, либо условию Wmax−nm. Основным результатом работы является теоре-
ма 3.1, обобщающая один из основных результатов [8] — теорему 2.6.
2. Предварительные результаты. В настоящем пункте получены некоторые элементарные
свойства модулей рассматриваемого вида.
Далее в пп. 2, 3 рассматривается RG-модуль A такой, что CG(A) = 1, и всюду, кроме
лемм 3.4, 3.5, коцентрализатор группы G в модуле A не является минимаксным R-модулем.
Лемма 2.1. Пусть A — RG-модуль. Имеют место следующие утверждения:
(i) Если L ≤ H ≤ G и коцентрализатор подгруппы H в модуле A является минимаксным
R-модулем, то и коцентрализатор подгруппы L в модуле A — минимаксный R-модуль.
(ii) Если L,H ≤ G и коцентрализаторы подгрупп L и H в модуле A являются мини-
максными R-модулями, то коцентрализатор подгруппы 〈L,H〉 в модуле A — минимаксный
R-модуль.
Следствие 2.1. ПустьA— RG-модуль. МножествоMD(G) всех элементов x ∈ Gтаких,
что коцентрализатор группы 〈x〉 в модуле A — минимаксный R-модуль, является нормальной
подгруппой группы G.
Доказательство. По лемме 2.1 (ii) MD(G) является подгруппой группы G. Поскольку
CA(xg) = CA(x)g для всех x, g ∈ G, отсюда следует, что MD(G) нормальна в группе G.
Следствие доказано.
Лемма 2.2. Пусть A — RG-модуль, H — подгруппа группы G. Предположим, что H
содержит нормальную подгруппу K, коцентрализатор которой в модуле A не является мини-
максным R-модулем. Тогда:
(1) если G удовлетворяет условию Wmin−nm, то фактор-группа H/K удовлетворяет
слабому условию минимальности для подгрупп;
(2) если G удовлетворяет условию Wmax−nm, то фактор-группа H/K удовлетворяет
слабому условию максимальности для подгрупп.
Лемма 2.3. Пусть A — RG-модуль, L, K и H — подгруппы группы G такие, что:
(i) K — нормальная подгруппа группы L;
(ii) K и L — H-инвариантные подгруппы;
(iii) L/K ∩HK/K = 〈1〉;
(iv) L/K = Drn∈N Ln/K, где Ln/K 6= 〈1〉 — H-инвариантная подгруппа для любого
n ∈ N.
Тогда имеют место следующие утверждения:
(1) еслиG удовлетворяет условиюWmax−nm, то коцентрализатор подгруппыHL в модуле
A является минимаксным R-модулем;
(2) еслиG удовлетворяет условиюWmin−nm, то коцентрализатор подгруппыHK в модуле
A является минимаксным R-модулем.
Доказательство. Существуют два бесконечных подмножества Σ и ∆ множества N такие,
что Σ ∪ ∆ = N, Σ ∩ ∆ = ∅. Поскольку множество ∆ бесконечно, существуют бесконечный
строго возрастающий ряд подмножеств множества ∆
∆(1) ⊂ ∆(2) ⊂ . . . ⊂ ∆(k) ⊂ . . . ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
О МОДУЛЯХ НАД ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП 17
а также бесконечный строго убывающий ряд подмножеств множества ∆
∆∗(1) ⊃ ∆∗(2) ⊃ . . . ⊃ ∆∗(k) ⊃ . . .
такие, что множества ∆(k + 1) \ ∆(k) и ∆∗(k) \ ∆∗(k + 1) бесконечны для каждого n ∈ N.
Пусть
Dk/K = Drt∈Σ∪∆(k)Lt/K
и
D∗k/K = Drt∈Σ∪∆∗(k)Lt/K.
Сначала рассмотрим строго возрастающий ряд подгрупп
HD1 < HD2 < . . . < HDk < . . . .
По построению индексы |HDk+1 : HDk| бесконечны. Если группа G удовлетворяет условию
Wmax−nm, то коцентрализатор подгруппыHDm в модулеA является минимаксным R-модулем
для каждого m ∈ N. Поскольку 〈H,Lt|t ∈ Σ〉 ≤ HDm, из леммы 2.1 следует, что коцентрализа-
тор подгруппы 〈H,Lt|t ∈ Σ〉 в модуле A также является минимаксным R-модулем. Аналогично
устанавливаем, что коцентрализатор подгруппы 〈H,Lt|t ∈ ∆〉 в модуле A является минимакс-
ным R-модулем.
Учитывая равенство Σ ∪∆ = N, получаем
〈〈H,Lt|t ∈ ∆〉, 〈H,Lt|t ∈ Σ〉〉 = 〈H,Lt|t ∈ Σ ∪∆〉 = HL.
По лемме 2.1 коцентрализатор подгруппы HL в модуле A является минимаксным R-модулем.
Аналогично можно построить строго убывающий ряд подгрупп
HD∗1 > HD∗2 > . . . > HD∗k > . . .
такой, что индексы |HD∗k : HD∗k+1| бесконечны. Если группа G удовлетворяет условию
Wmin−nm, то существует такое m ∈ N, что коцентрализатор подгруппы HD∗m в модуле A
является минимаксным R-модулем. Поскольку HK ≤ HD∗m, по лемме 2.1 коцентрализатор
подгруппы HK в модуле A также является минимаксным R-модулем.
Лемма доказана.
Следствие 2.2. Пусть A — RG-модуль, L, K и H — подгруппы группы G такие, что:
(i) K — нормальная подгруппа группы L;
(ii) K и L — H-инвариантные подгруппы;
(iii) L/K = Drn∈N Ln/K, где Ln/K 6= 〈1〉 — H-инвариантная подгруппа для любого n ∈ N;
(iv) множество N\Supp(L/K ∩HK/K) бесконечно.
Если группа G удовлетворяет либо условию Wmin−nm, либо условию Wmax−nm, то ко-
централизатор подгруппы HK в модуле A является минимаксным R-модулем. В частности,
коцентрализатор подгруппы H в модуле A является минимаксным R-модулем.
Доказательство. Пусть ∆ = N\Supp(L/K ∩ HK/K) и T/K = Drn∈∆ Ln/K. Тогда
T/K ∩HK/K = 〈1〉. Применим лемму 2.3. Следствие доказано.
Следствие 2.3. Пусть A — RG-модуль, L, K и H — подгруппы группы G такие, что:
(i) K — нормальная подгруппа группы L;
(ii) K и L — H-инвариантные подгруппы;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
18 О. Ю. ДАШКОВА
(iii) L/K = Drn∈N Ln/K, где Ln/K 6= 〈1〉 — H-инвариантная подгруппа для любого n ∈ N.
Если группа G удовлетворяет либо условию Wmin−nm, либо условию Wmax−nm, то ко-
централизатор подгруппы 〈h〉K в модуле A является минимаксным R-модулем для каждого
h ∈ H. В частности, H ≤MD(G).
Доказательство. Пусть h ∈ H.Поскольку Ln/K —H-инвариантная подгруппа для любого
n ∈ N, то Ln/K — 〈h〉-инвариантная подгруппа для любого n ∈ N. В частности, множество
Supp(〈h〉K/K ∩ L/K) конечно. По следствию 2.2 коцентрализатор подгруппы 〈h〉K в модуле
A является минимаксным R-модулем.
Лемма доказана.
Следствие 2.4. Пусть A — RG-модуль. Предположим, что L ≤ G и L содержит нор-
мальную подгруппу K такую, что L/K = Drn∈N Ln/K, где Ln/K 6= 〈1〉 для любого n ∈ N.
Если группа G удовлетворяет либо условию Wmin−nm, либо условию Wmax−nm, то коцентра-
лизатор подгруппы L в модуле A является минимаксным R-модулем.
Доказательство. Как и ранее, выбираем два бесконечных подмножества Σ и ∆ множества
N такие, что Σ ∪ ∆ = N, Σ ∩ ∆ = ∅. Пусть D/K = Drn∈ΣLn/K и S/K = Drn∈∆Ln/K.
Поскольку Ln/K 6= 〈1〉 L-инвариантна для любого n ∈ N, по лемме 2.3 коцентрализаторы
подгрупп D и S в модуле A являются минимаксными R-модулями. Так как L = DS, по
лемме 2.1 коцентрализатор подгруппы L в модуле A — минимаксный R-модуль.
Следствие доказано.
3. О структуре нильпотентных групп, удовлетворяющих либо условию Wmin−nm,
либо условию Wmax−nm.
Лемма 3.1. Пусть A — RG-модуль и группа G удовлетворяет либо условию Wmin−nm,
либо условию Wmax−nm. Пусть K и H — подгруппы группы G такие, что K — нормальная
подгруппа H, и H/K — бесконечная элементарная абелева p-группа для некоторого простого
числа p. Предположим также, что подгруппы K и H 〈g〉-инвариантны для некоторого g ∈ G.
Если gk ∈ CG(H/K) для некоторого k ∈ N, то g ∈MD(G).
Доказательство. Пусть M = H/K. Выберем 1 6= b1 ∈ M и положим B1 = 〈b1〉〈g〉.
Поскольку элемент g индуцирует наM автоморфизм конечного порядка, подгруппаB1 конечна.
Справедливо равенство M = B1 × C1 для некоторой подгруппы C1. Множество
{
Cy1 |y ∈ 〈g〉
}
конечно. Пусть {
Cy1 |y ∈ 〈g〉
}
= {U1, . . . , Um}.
Отсюда следует, что 〈g〉-инвариантная подгруппа
D1 = U1 ∩ . . . ∩ Um = Core〈g〉(C1)
имеет конечный индекс в M. Пусть 1 6= b2 ∈ D1 и B2 = 〈b2〉〈g〉. Тогда 〈B1, B2〉 = B1 × B2.
Как и ранее, устанавливаем, что M = (B1 × B2) × C2 для некоторой подгруппы C2. Продол-
жив рассуждения аналогичным образом, можно построить бесконечное семейство {Bn|n ∈ N}
неединичных 〈g〉-инвариантных подгрупп такое, что 〈Bn|n ∈ N〉 = Drn∈NBn. Согласно след-
ствию 2.3, g ∈MD(G).
Лемма доказана.
Следствие 3.1. ПустьA— RG-модуль и группаG удовлетворяет либо условиюWmin−nm,
либо условию Wmax−nm. Пусть K и H — подгруппы группы G такие, что K — нормальная
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
О МОДУЛЯХ НАД ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП 19
подгруппаH, иH/K — периодическая почти локально разрешимая группа. Если фактор-группа
H/K не является черниковской, то H ≤MD(G).
Доказательство. Пусть L/K — локально разрешимая нормальная подгруппа H/K ко-
нечного индекса. Поскольку фактор-группа H/K не является черниковской, L/K также не
является черниковской. Пусть g — произвольный элемент подгруппы H. Тогда L/K содер-
жит абелеву 〈g〉-инвариантную подгруппу C/K, которая не является черниковской [11]. Если
множество π(C/K) бесконечно, по следствию 2.3 g ∈ MD(G). Если же π(C/K) конечно, то
существует простое число p, для которого силовская p-подгруппа P/K фактор-группы C/K не
является черниковской. Отсюда следует, что нижний слой B/K подгруппы P/K бесконечен,
и поэтому L/K содержит 〈g〉-инвариантную бесконечную элементарную абелеву подгруппу
B/K. Согласно лемме 3.1 g ∈MD(G).
Следствие доказано.
Следствие 3.2. ПустьA— RG-модуль и группаG удовлетворяет либо условиюWmin−nm,
либо условию Wmax−nm. Пусть K и H — подгруппы группы G такие, что K — нормальная
подгруппа H, и H/K — локально конечная группа. Если фактор-группа H/K не является
черниковской, то H ≤MD(G).
Доказательство. Пусть g — произвольный элемент подгруппы H и C/K = CH/K(gK).
Если фактор-группа C/K не является черниковской, то по теореме 5.8 [12] C/K содержит
абелеву подгруппу D/K, являющуюся прямым произведением бесконечного множества нетри-
виальных циклических подгрупп. Согласно следствию 2.3 g ∈ MD(G). Предположим, что
фактор-группа C/K является черниковской. Согласно [13] H/K — почти локально разрешимая
группа. Применяя следствие 3.1, получаем, что g ∈MD(G). Следовательно, H ≤MD(G).
Следствие доказано.
Далее через π(G) обозначено множество всех простых делителей порядков элементов груп-
пы G.
Лемма 3.2. Пусть A — RG-модуль и группа G удовлетворяет либо условию Wmin−nm,
либо условию Wmax−nm. Пусть K и H — подгруппы группы G такие, что K — нормальная
подгруппа H, и H/K — периодическая почти абелева группа. Тогда либо фактор-группа H/K
черниковская, либо коцентрализатор подгруппы H в модуле A является минимаксным R-
модулем.
Доказательство. Предположим противное. Согласно следствию 3.1 H ≤ MD(G). Пусть
U/K — нормальная абелева подгруппа фактор-группы H/K такая, что H/U конечна.
Покажем, что множество π(U/K) конечно. Если π(U/K) бесконечно, то коцентрализатор
подгруппы U в модуле A является минимаксным R-модулем по следствию 2.4. Поскольку
фактор-группа H/U конечна, H = US для некоторой конечнопорожденной подгруппы S. Так
как S — конечнопорожденная подгруппа MD(G), коцентрализатор подгруппы S в модуле A
является минимаксным R-модулем. По лемме 2.1 коцентрализатор подгруппы H в модуле
A является минимаксным R-модулем. Противоречие. Следовательно, множество π(U/K) ко-
нечно.
Пусть p ∈ π(U/K). Если фактор-группа (U/K)/(U/K)p бесконечна, по следствию 2.3 ко-
централизатор подгруппы U в модуле A является минимаксным R-модулем. Как и ранее, при-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
20 О. Ю. ДАШКОВА
ходим к противоречию. Следовательно, фактор-группа (U/K)/(U/K)p конечна для каждого
простого числа p ∈ π(U/K). Пусть P/K — силовская p-подгруппа фактор-группы U/K. Тогда
P/K = (V/K)× (D/K), где фактор-группа D/K делима, а V/K конечна (лемма 3 [14]). Пред-
положим, что фактор-группа D/K не является черниковской. Тогда U/K содержит делимую
фактор-группу, которая не является черниковской. Согласно следствию 2.4, коцентрализатор
подгруппы U в модуле A является минимаксным R-модулем. Следовательно, коцентрализатор
подгруппы H в модуле A является минимаксным R-модулем. Противоречие. Следовательно,
фактор-группа D/K черниковская. Отсюда вытекает, что фактор-группа P/K также является
черниковской. Поскольку это справедливо для любого простого числа p ∈ π(U/K), фактор-
группа U/K черниковская. Следовательно, H/K — черниковская группа. Противоречие.
Лемма доказана.
Напомним, что минимаксной группой называется группа, имеющая конечный субнормаль-
ный ряд, факторы которого удовлетворяют либо условию минимальности, либо условию мак-
симальности (см. гл. 10 [15]).
Лемма 3.3. Пусть A — RG-модуль, группа G удовлетворяет либо условию Wmin−nm,
либо условию Wmax−nm. Если H — нормальная подгруппа группы G такая, что фактор-группа
G/H почти абелева, то G/H минимаксна.
Доказательство. Предположим противное. Пусть фактор-группа G/H не является мини-
максной. Пусть A0 — нормальная подгруппа группы G такая, что фактор-группа A0/H абелева,
а G/A0 конечна. Согласно данному предположению фактор-группа A0/H не является мини-
максной. Отметим, что если U — некоторая G-инвариантная подгруппа A0 такая, что H ≤ U
и A0/U — периодическая фактор-группа, то по лемме 3.2 фактор-группа G/U является черни-
ковской. В частности, фактор-группа A0/U черниковская.
Покажем, что 0-ранг r0(A0/H) бесконечен. Предположим противное. Пусть r0(A0/H) ко-
нечен. Следовательно, можно выбрать максимальное Z-независимое подмножество {a1H, . . .
. . . , akH} фактор-группы A0/H. Пусть B/H = 〈a1H, . . . , akH〉G/H . Поскольку фактор-группа
G/A конечна, B/H — конечнопорожденная абелева подгруппа A0/H такая, что фактор-группа
A0/B периодическая. Ранее было установлено, что в этом случае A0/B — черниковская группа.
Отсюда вытекает, что фактор-группа A0/H минимаксна. Противоречие. Следовательно, ранг
r0(A0/H) бесконечен.
Пусть c1H — элемент бесконечного порядка фактор-группыA0/H.ПустьC1/H = 〈c1H〉G/H .
Так как фактор-группа G/A0 конечна, C1/H — конечнопорожденная G-инвариантная абелева
подгруппа A0/H. Существует натуральное число t такое, что D1/H = (C1/H)t — свободная
абелева фактор-группа. По построению D1/H G-инвариантна. Предположим, что мы постро-
или возрастающий ряд
〈1〉 = D0/H ≤ D1/H ≤ . . . ≤ Dα/H
G-инвариантных подгрупп A0/H, все факторы которого свободные абелевы. Из теоремы 2
(§1, гл. 3 [16]) следует, что фактор-группа Dα/H свободная абелева. Если фактор-группа
A0/Dα не является периодической, то существует элемент cα+1Dα бесконечного порядка.
Пусть Cα+1/Dα = 〈cα+1Dα〉G/H . Поскольку фактор-группа G/A0 конечна, Cα+1/Dα — ко-
нечнопорожденная G-инвариантная абелева подгруппа фактор-группы A0/Dα. Можно указать
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
О МОДУЛЯХ НАД ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП 21
натуральное число r такое, что Dα+1/Dα = (Cα+1/Dα)r — свободная абелева фактор-группа.
По построению фактор-группа Dα+1/Dα G-инвариантна. Более того, существует порядковое
число γ такое, что фактор-группа A0/Dγ периодическая. Отметим, что E/H = Dγ/H свобод-
ная абелева. Так как фактор-группа A0/E периодическая, A0/E черниковская. В частности,
множество π(A0/E) конечно. Выберем простое число p 6∈ π(A0/E). Так как E/H — свободная
абелева фактор-группа, E/H 6= (E/H)p = L/H. Кроме того, (E/H)/(L/H) — бесконечная
элементарная абелева p-группа. Следовательно, силовская p-подгруппа A0/L является беско-
нечной элементарной абелевой. Если W/L — силовская p′-подгруппа A0/L, то A0/W — бес-
конечная элементарная абелева p-группа. Поэтому A0/W не является черниковской группой.
Противоречие.
Лемма доказана.
Следствие 3.3. Пусть A — RG-модуль, группа G удовлетворяет либо условию Wmin−nm,
либо условию Wmax−nm. Тогда фактор-группа G/[G,G] минимаксна.
Лемма 3.4 (следствие 2.4 [8]). Пусть G — группа, центр Z(G) группы G содержит беско-
нечную элементарную абелеву p-подгруппу E такую, что G/E — минимаксная нильпотентная
фактор-группа. Тогда G содержит нормальную подгруппу L такую, что G/L — бесконечная
элементарная абелева p-группа.
Лемма 3.5 (лемма 2.5 [8]). Пусть G — группа, центр Z(G) группы G содержит делимую
абелеву p-подгруппу E такую, что E не является черниковской и фактор-группа G/E нильпо-
тентна и минимаксна. Тогда G содержит нормальную минимаксную подгруппу L такую, что
G/L — делимая абелева p-группа, не являющаяся черниковской.
Нам также понадобятся следующие обозначения. Пусть C — абелева группа конечного
специального ранга, M — максимальное Z-независимое подмножество C, B = 〈M〉 и Sp(C) —
множество простых чисел таких, что силовские p-подгруппы фактор-группы C/B бесконечны.
Множество Sp(C) называется спектром группы C.
Пусть V — другая конечнопорожденная подгруппа группы C такая, что фактор-группа C/V
периодическая. Тогда фактор-группы
B/(B ∩ V ) ' BV/V, V/(B ∩ V ) ' BV/B
конечны. Отсюда следует, что множество Sp(C) не зависит от выбора конечнопорожденной
подгруппы B.
Пусть G — нильпотентная группа конечного специального ранга и 〈1〉 = Z0(G) ≤ Z1(G) ≤
. . . ≤ Zn(G) = G — верхний центральный ряд группы G. Пусть
Sp(G) = Sp(Z1(G)/Z0(G)) ∪ . . . ∪ Sp(Zn(G)/Zn−1(G)).
Из определения множества Sp (G) следует, что это множество можно определить как объеди-
нение спектров всех факторов любого центрального ряда группы G. Отметим, что если H —
нормальная подгруппа группы G такая, что фактор-группа G/H периодическая, и если p —
простое число, p 6∈ Sp(G), то силовские p-подгруппы фактор-группы G/H конечны.
Теорема 3.1. Пусть A — RG-модуль, группа G удовлетворяет либо условию Wmin−nm,
либо условию Wmax−nm. Если группа G содержит нормальную подгруппу H такую, что
фактор-группа G/H нильпотентна, то G/H минимаксна.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
22 О. Ю. ДАШКОВА
Доказательство. Пусть 〈1〉 = Z0/H ≤ Z1/H ≤ . . . ≤ Zn/H = G/H — верхний централь-
ный ряд фактор-группы G/H. Докажем индукцией по числу n, что G/H минимаксна. Если
n = 1, то фактор-группа G/H абелева, и по следствию 3.3 G/H минимаксна. Предположим,
что n > 1. Согласно индуктивному предположению фактор-группа G/Z1 минимаксна. Дока-
жем, что фактор-группа Z1/H также минимаксна. Предположим противное. Покажем, что в
этом случае группа G содержит нормальную подгруппу U такую, что G/U — периодическая
абелева неминимаксная фактор-группа. Тогда по следствию 3.3 получим противоречие.
Пусть L = G/H, C0 = Z0/H, C1 = Z1/H, . . . , Cn = Zn/H. Тогда C1 ≤ Z(L). Выбе-
рем в C1 максимальное Z-независимое подмножество {bλ|λ ∈ Λ}. Тогда B = 〈bλ|λ ∈ Λ〉 =
= Drλ∈Λ〈bλ〉, и C1/B — периодическая абелева фактор-группа.
Предположим, что множество π(C1/B) бесконечно. Поскольку фактор-группа L/C1 ми-
нимаксна, множество σ = Sp(L/C1) конечно. Отсюда следует, что множество π(C1/B)\σ
бесконечно. Пусть D/B — силовская σ-подгруппа фактор-группы C1/B. Тогда π(C1/D) — бес-
конечное множество. Для каждого элемента cD ∈ C2/D отображение gD −→ [gD, cD] задает
гомоморфизм из L/D в C1/D, ядро которого в точности совпадает с CL/D(cD). Поскольку
[G/D, cD] ≤ C1/D, из изоморфизма
[L/D, cD] ' (L/D)/CL/D(cD)
следует, что (L/D)/CL/D(cD) — периодическая абелева фактор-группа и
π((L/D)/CL/D(cD)) ⊆ π(C1/D). В частности, π((L/D)/CL/D(cD)) ∩ Sp(L/C1) = ∅. Из
включения C1/D ≤ CL/D(cD) вытекает, что (L/D)/CL/D(cD) — нильпотентная минимакс-
ная группа и Sp((L/D)/CL/D(cD)) ⊆ Sp(L/C1). Таким образом, силовские q-подгруппы
(L/D)/CL/D(cD) конечны для всех q ∈ π((L/D)/CL/D(cD)). В частности, множество
π((L/D)/CL/D(cD)) конечно. Отсюда следует, что фактор-группа (L/D)/CL/D(cD) конеч-
на и поэтому C2/D ≤ FC(L/D), где FC(L/D) — FC(L/D)-центр фактор-группы L/D.
Фактор-группа C2/C1 имеет конечный специальный ранг, поэтому C2 содержит конечное мно-
жество элементов c1, c2, . . . , ct такое, что фактор-группа C2/〈c1, c2, . . . , ct〉C1 периодическая.
Пусть F/D = 〈c1D, c2D, . . . , ctD〉L/D. Тогда F/D — конечнопорожденная фактор-группа и пе-
ресечение (F/D) ∩ (C1/D) конечно. Отсюда следует, что фактор-группа C2/F периодическая
и множество π(C2/F ) бесконечно. Проводя аналогичные рассуждения, через конечное число
шагов построим нормальную подгруппу E группы L такую, что L/E — периодическая нильпо-
тентная фактор-группа и π(L/E) бесконечно. Согласно следствию 2.4 коцентрализатор группы
G в модуле A является минимаксным R-модулем. Противоречие. Следовательно, множество
π(C1/B) конечно.
Предположим теперь, что подгруппа B имеет бесконечный специальный ранг. Пусть p 6∈
6∈ π(C1/B). Поскольку B — свободная абелева подгруппа, B 6= Bp = U и B/U — бесконечная
элементарная абелева p-группа. Отсюда следует, что силовская p-подгруппа фактор-группы
C1/U является бесконечной элементарной абелевой. Пусть Q/U — силовская p′-подгруппа
фактор-группы C1/U. Тогда C1/Q — бесконечная элементарная абелева фактор-группа. Соглас-
но лемме 3.4, группа G содержит нормальную подгруппу X такую, что G/X — бесконечная
элементарная абелева p-группа, что противоречит следствию 3.3. Полученное противоречие
свидетельствует о том, что множество Λ конечно, и поэтому подгруппа B конечно порождена.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
О МОДУЛЯХ НАД ГРУППОВЫМИ КОЛЬЦАМИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП 23
Пусть p ∈ π(C1/B) и P/B — силовская p-подгруппа фактор-группы C1/B. Как и ранее,
устанавливаем, что фактор-группа (P/B)/(P/B)p конечна. Тогда по лемме 3 [14]
P/B = (V/B)× (K/B),
где K/B — делимая фактор-группа, а V/B конечна. Предположим, что фактор-группа K/B
не является черниковской. Тогда по лемме 3.5 группа G содержит нормальную подгруппу W
такую, что G/W — делимая абелева p-группа, не являющаяся черниковской, что противоречит
следствию 3.3. Следовательно, фактор-группы K/B и P/B являются черниковскими. Отсюда
с учетом конечности множества π(C1/B) следует, что фактор-группа C1/B черниковская. Так
как абелева подгруппа B конечно порождена, то C1 минимаксна. Следовательно, C1 = Z1/H
минимаксна. В силу индуктивного предположения фактор-группа G/H также минимаксна.
Теорема доказана.
Следствие 3.4. Пусть A — RG-модуль, группа G удовлетворяет либо условию Wmin−nm,
либо условию Wmax−nm. Если группа G нильпотентна, то она минимаксна.
1. Phillips R. E. The structure of groups of finitary transformations // J. Algebra. – 1988. – 119, № 2. – P. 400 – 448.
2. Phillips R. E. Finitary linear groups: a survey. “Finite and locally finite groups” // NATO ASI Ser. C. Math. Phys.
Sci. – 1995. – 471. – P. 111 – 146.
3. Dixon M. R., Evans M. J., Kurdachenko L. A. Linear groups with the minimal condition on subgroups of infinite
central dimension // J. Algebra. – 2004. – 277, № 1. – P. 172 – 186.
4. Kurdachenko L. A., Subbotin I. Ya. Linear groups with the maximal condition on subgroups of infinite central
dimension // Publ. Mat. – 2008. – 50. – P. 103 – 131.
5. Зайцев Д. И. Группы, удовлетворяющие слабому условию минимальности // Укр. мат. журн. – 1968. – 20,
№ 4. – С. 472 – 482.
6. Baer R. Polyminimaxgruppen // Math. Ann. – 1968. – 175. – P. 1 – 43.
7. Munoz–Escolano J. M., Otal J., Semko N. N. Periodic linear groups with the weak chain conditions on subgroups of
infinite central dimension // Communs Algebra. – 2008. – 36. – P. 749 – 763.
8. Kurdachenko L. A., Munoz–Escolano J. M., Otal J. Locally nilpotent linear groups with the weak chain conditions
on subgroups of infinite central dimension // Publ. Mat. – 2008. – 52. – P. 151 – 169.
9. Курдаченко Л. А. О группах с минимаксными классами сопряженных элементов // Бесконечные группы и
примыкающие алгебраические структуры. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1993. – С. 160 – 177.
10. Kurdachenko L. A., Subbotin I. Ya., Semko N. N. Insight into Modules over Dedekind domains. – Kiev: Inst. Math.
Nat. Acad. Sci. Ukraine, 2008. – 119 p.
11. Зайцев Д. И. О разрешимых подгруппах локально разрешимых групп // Докл. АН СССР. – 1974. – 214, № 6. –
С. 1250 – 1253.
12. Kegel O. H., Wehrfritz B. A. F. Locally finite groups. – North-Holland etc.: North-Holland Math. Library, 1973. –
210 p.
13. Hartley B. Fixed points of automorphisms of certain locally finite groups and Chevalley groups // J. London Math.
Soc. – 1988. – 37, № 2. – P. 421 – 436.
14. Курдаченко Л. А. Непериодические FC-группы и связанные классы локально нормальных групп и абелевых
групп без кручения // Сиб. мат. журн. – 1986. – 27. – С. 227 – 236.
15. Robinson D. J. S. Finiteness conditions and generalized soluble groups // Ergebnisse Math. und ihrer Grenzgebiete.
– 1972. – 2. – 254 p.
16. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1972. – 240 с.
Получено 10.10.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2552 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:39Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e0/911545f9ee00da19204bae2ce36928e0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25522020-03-18T19:29:28Z On modules over group rings of nilpotent groups О модулях над групповыми кольцами нильпотентных групп Dashkova, O. Yu. Дашкова, О. Ю. Дашкова, О. Ю. We study an $\mathbf{R}G$-module $A$, where $\mathbf{R}$ is a ring, $A/C_A(G)$ is not a minimax $\mathbf{R}$-module, $C_A(G) = 1$, and $G$ is a nilpotent group. Let $\mathfrak{L}_{nm}(G)$ be the system of all subgroups $H \leq G$ such that the quotient modules $A/C_A(G)$ are not minimax $\mathbf{R}$-modules. We investigate a $\mathbf{R}G$ - module $A$ such that $\mathfrak{L}_{nm}(G)$ satisfies either the weak minimal condition or the weak maximal condition as an ordered set. It is proved that a nilpotent group $G$ that satisfies these conditions is a minimax group. Вивчається $\mathbf{R}G$-модуль $A$ такий, що $\mathbf{R}$— кiльце, $A/C_A(G)$ не є мiнiмаксним $\mathbf{R}$-модулем, $C_A(G) = 1$, $G$ — нiльпотентна група. Розглядається система $\mathfrak{L}_{nm}(G)$ усiх пiдгруп $H \leq G$, для яких фактор-модулi $A/C_A(G)$ не є мiнiмаксними $\mathbf{R}$-модулями. Дослiджується $\mathbf{R}G$-модуль $A$ такий, що $\mathfrak{L}_{nm}(G)$ задовольняє або слабку умову мiнiмальностi, або слабку умову максимальностi як упорядкована множина. Доведено, що нiльпотентна група $G$, яка задовольняє цi умови, мiнiмаксна. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2552 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 1 (2012); 13-23 Український математичний журнал; Том 64 № 1 (2012); 13-23 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2552/1863 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2552/1864 Copyright (c) 2012 Dashkova O. Yu. |
| spellingShingle | Dashkova, O. Yu. Дашкова, О. Ю. Дашкова, О. Ю. On modules over group rings of nilpotent groups |
| title | On modules over group rings of nilpotent groups |
| title_alt | О модулях над групповыми кольцами нильпотентных групп |
| title_full | On modules over group rings of nilpotent groups |
| title_fullStr | On modules over group rings of nilpotent groups |
| title_full_unstemmed | On modules over group rings of nilpotent groups |
| title_short | On modules over group rings of nilpotent groups |
| title_sort | on modules over group rings of nilpotent groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2552 |
| work_keys_str_mv | AT dashkovaoyu onmodulesovergroupringsofnilpotentgroups AT daškovaoû onmodulesovergroupringsofnilpotentgroups AT daškovaoû onmodulesovergroupringsofnilpotentgroups AT dashkovaoyu omodulâhnadgruppovymikolʹcaminilʹpotentnyhgrupp AT daškovaoû omodulâhnadgruppovymikolʹcaminilʹpotentnyhgrupp AT daškovaoû omodulâhnadgruppovymikolʹcaminilʹpotentnyhgrupp |