On the theory of $\mathcal{PT}$-symmetric operatorss
This article develops a general theory of $\mathcal{PT}$-symmetric operators. Special attention is given to $\mathcal{PT}$-symmetric quasi-self-adjoint extensions of symmetric operator with deficiency indices 〈 2, 2 〉. For these extensions, the possibility of their inter...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2554 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508471816880128 |
|---|---|
| author | Kuzhel', S. A. Patsyuk, O. M. Кужіль, С. О. Пацюк, О. М. |
| author_facet | Kuzhel', S. A. Patsyuk, O. M. Кужіль, С. О. Пацюк, О. М. |
| author_sort | Kuzhel', S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:29:28Z |
| description | This article develops a general theory of $\mathcal{PT}$-symmetric operators. Special attention is given to $\mathcal{PT}$-symmetric quasi-self-adjoint extensions of
symmetric operator with deficiency indices 〈 2, 2 〉. For these extensions, the possibility of their interpretation as self-adjoint operators
in Krein spaces is investigated, and a description of nonreal eigenvalues is given. These abstract results are applied to the
Schrodinger operator with Coulomb potential on the real axis. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98
С. О. Кужель (Iн-т математики НАН України, Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ),
О. М. Пацюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ
This article develops a general theory of PT -symmetric operators. Special attention is given to PT -symmetric quasi-
self-adjoint extensions of symmetric operator with deficiency indices 〈2, 2〉. For these extensions, the possibility of their
interpretation as self-adjoint operators in Krein spaces is investigated, and a description of nonreal eigenvalues is given.
These abstract results are applied to the Schrödinger operator with Coulomb potential on the real axis.
Развивается общая теория PT -симметрических операторов. Основное внимание уделяется PT -симметрическим
квазисамосопряженным расширениям симметрического оператора с индексом дефекта 〈2, 2〉. Для таких расширений
исследуется возможность их интерпретации как самосопряженных операторов в пространствах Крейна, дается
описание недействительных собственных значений. Полученные абстрактные результаты применяются к оператору
Шредингера с кулоновским потенциалом на вещественной оси.
1. Вступ. Використання несамоспряжених операторiв у квантовiй механiцi сягає початкового
етапу її розвитку [1]. Стiйкий iнтерес до несамоспряжених гамiльтонiанiв значно посилився
пiсля того, як було помiчено за допомогою наближених обчислень [2] i незабаром строго
доведено [3], що спектр несамоспряженого у просторi L2(R) оператора
H = − d2
dx2
+ x2(ix)ε, 0 ≤ ε < 2,
є дiйсним i додатним. Iнтуїтивне пояснення цього факту полягало у припущеннi [2], що дiйсний
спектр оператора H зумовлений його властивiстю PT -симетрiї:
PT H = HPT ,
де оператор парностi P та оператор комплексного спряження T визначено таким чином:
Pf(x) = f(−x), T f(x) = f(x) ∀f ∈ L2(R).
Ґрунтуючись на цьому, було побудовано так зване комплексне розширення звичайної кван-
тової механiки до PT -симетричної квантової механiки, в якiй PT -симетричнi гамiльтонiани
вiдiграють важливу роль (див., наприклад, оглядову роботу [4]).
Для рiзних фiзичних моделей оператори P i T в означеннi PT -симетрiї можуть бути рiз-
ними, але лiнiйний оператор P завжди є iнволюцiєю: P2 = I, i має властивiсть унiтарностi:
(Pf,Pg) = (f, g). В свою чергу, антилiнiйний оператор T є оператором спряження в сенсi озна-
чення [5] (пункт 104). У зв’язку з цим виникає природна задача дослiдження PT -симетричних
операторiв iз абстрактної точки зору як операторiв, що дiють у довiльному гiльбертовому про-
сторi. Слiд зазначити, що поняття PT -симетричних операторiв є цiкавим i з математичної точки
зору, оскiльки воно дозволяє поєднати рiзноманiтнi методи теорiї просторiв Крейна [6], теорiї
збурень [7] та апарат алгебр Клiфорда [8, 9] для iнтерпретацiї i дослiдження PT -симетричних
операторiв.
Метою даної роботи є розвиток загальної теорiї PT -симетричних операторiв. На початку
наступного пункту наведено абстрактне означення PT -симетричних операторiв у гiльберто-
вому просторi H, де замiсть оператора парностi в L2(R) використовується довiльна унiтарна
c© С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК, 2012
32 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 33
iнволюцiя, а замiсть оператора спряження — довiльний оператор спряження в H. Далi наведе-
но загальнi властивостi PT -симетричних операторiв та дослiджено можливiсть iнтерпретацiї
PT -симетричних операторiв як самоспряжених у просторi Крейна операторiв. Зауважимо, що
PT -симетричнi оператори не завжди будуть самоспряженими вiдносно iндефiнiтної метрики,
породженої у просторi H оператором P, а тому для їх iнтерпретацiї як самоспряжених опе-
раторiв у деякому просторi Крейна необхiдно знаходити iншi iндефiнiтнi метрики простору
H. У роботах [9, 10] було показано, що важливу роль у побудовi таких iндефiнiтних метрик
вiдiграють певнi алгебраїчнi структури, зокрема алгебра Клiфорда Cl2(P,R).
Пункт 3 є основним у данiй роботi. Тут вивчаються PT -симетричнi квазiсамоспряженi роз-
ширенняH симетричного оператора S у припущеннi, що S єPT -симетричним i комутує з усiма
елементами алгебри Клiфорда Cl2(P,R). За умови, що S має iндекс дефекту 〈2, 2〉, показано,
що довiльне PT -симетричне квазiсамоспряжене розширення H можна iнтерпретувати як са-
моспряжений оператор у просторi Крейна з iндефiнiтною метрикою, що породжена унiтарною
iнволюцiєю Pξ = eiξRP, побудованою в термiнах Cl2(P,R) (теорема 3.1). Оператори Pξ також
є PT -симетричними. Показано, що можливiсть iнтерпретацiї деяких PT -симетричних квазi-
самоспряжених розширень H як самоспряжених операторiв у просторi Крейна з iндефiнiтною
метрикою, породженою унiтарною iнволюцiєю J ∈ Cl2(P,R) без властивостi PT -симетрiї,
означає, що спектр таких операторiв H збiгається з комплексною площиною (теорема 3.2).
Теорема 3.3 мiстить опис недiйсних власних значень PT -симетричних квазiсамоспряжених
розширень H, що дає можливiсть сформулювати просту достатню умову дiйсностi спектра
оператора H (зауваження 3.1). У пунктi 4 як iлюстрацiю отриманих результатiв розглянуто
випадок PT -симетричних операторiв Шредiнгера iз сингулярними потенцiалами.
2. Aбстрактнi PT -симетричнi оператори. 2.1. Означення PT -симетричних операторiв
та їх елементарнi властивостi. Нехай H — комплексний гiльбертiв простiр. Елементи H
позначатимемо малими латинськими лiтерами f, g, h, . . . .
Довiльний оператор P, визначений на всьому просторi H, будемо називати унiтарною
iнволюцiєю, якщо
(i) P2 = I, (ii) (Pf,Pg) = (f, g). (2.1)
Iз рiвностей (2.1) випливає, що P є лiнiйним обмеженим оператором у просторi H.
Незначна модифiкацiя умови (ii) в (2.1) веде до означення оператора спряження (або анти-
унiтарної iнволюцiї).
Довiльний оператор T , визначений на всьому просторi H, називатимемо оператором спря-
ження, якщо
(i) T 2 = I, (ii) (T f, T g) = (g, f). (2.2)
Оператор спряження T є обмеженим оператором в H, але, на вiдмiну вiд унiтарних iнво-
люцiй, T є антилiнiйним, тобто
T (αf + βg) = αT f + βT g ∀α, β ∈ C. (2.3)
Зафiксуємо деяку унiтарну iнволюцiю P та оператор спряження T в H i припустимо, що
вони комутують:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
34 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
PT = T P. (2.4)
Означення 2.1. Замкнений щiльно визначений у просторi H лiнiйний оператор H нази-
ватимемо PT -симетричним, якщо рiвнiсть
PT Hf = HT Pf
виконується для всiх елементiв f з областi визначення D(H) оператора H.
Зауваження 2.1. Умова PT -симетрiї використовується в PT -симетричнiй квантовiй ме-
ханiцi як деякий аналог математичної умови самоспряженостi [4].
Iз (2.4) випливає, що оператор PT також буде оператором спряження. Iнодi лiнiйний опе-
ратор, який комутує iз деяким оператором спряження PT , називають PT -дiйсним [5]. Отже,
поняття PT -симетричностi еквiвалентне поняттю PT -дiйсного оператора. Враховуючи можли-
вi фiзичнi застосування, ми вiддаватимемо перевагу першому з них.
Iз означення 2.1 випливає, що точковий, залишковий i неперервний спектриPT -симетричного
оператора H є симетричними вiдносно дiйсної осi, тобто
λ ∈ σα(H) ⇐⇒ λ ∈ σα(H), α ∈ {p, r, c}.
Властивiсть PT -симетричностi зберiгається при переходi до спряженого оператора, що
випливає з наступної леми.
Лема 2.1. Якщо оператор H є PT -симетричним у гiльбертовому просторi H, то спря-
жений до нього оператор H∗ також є PT -симетричним.
Доведення. Нехай H — PT -симетричний оператор. Iз (2.1) – (2.3) випливає, що для всiх
f ∈ D(H) i g ∈ D(H∗)
(PT Hf, g) = (HPT f, g) = (PT f,H∗g) = (PT H∗g, f).
З iншого боку, (PT Hf, g) = (T Hf,Pg) = (T Pg,Hf) = (PT g,Hf). Порiвнюючи отриманi
спiввiдношення, приходимо до висновку, що PT g ∈ D(H∗) i PT H∗g = H∗PT g для всiх
g ∈ D(H∗). Отже, спряжений оператор H∗ також є PT -симетричним.
Лему доведено.
2.2. Iнтерпретацiя PT -симетричних операторiв як самоспряжених у просторах Крей-
на. Поняття PT -симетрiї є досить загальним, i множина PT -симетричних операторiв може мi-
стити оператори з рiзноманiтними властивостями. Зокрема, в багатьох випадкахPT -симетричнi
оператори можна iнтерпретувати як самоспряженi у просторах Крейна.
Нагадаємо, що за допомогою довiльної унiтарної iнволюцiї J в гiльбертовому просторi H
можна визначити пiвторалiнiйну форму
[f, g]J := (J f, g).
Якщо J є нетривiальною унiтарною iнволюцiєю (тобто J 6= ±I), то форма [f, f ]J буде на-
бувати як додатних, так i вiд’ємних значень при рiзних f ∈ H, тобто [·, ·]J буде iндефiнiт-
ною метрикою. Гiльбертiв простiр H iз iндефiнiтною метрикою [·, ·]J будемо позначати через
(H, [·, ·]J ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 35
Простiр (H, [·, ·]J ) називається простором Крейна, якщо
dim ker(I + J ) = dim ker(I − J ) =∞. (2.5)
Умова (2.5) означає, що простiр Крейна (H, [·, ·]J ) мiстить „однакову” кiлькiсть як додатних,
так i вiд’ємних значень [f, f ]J . Iнакше (якщо (2.5) не виконується) простiр (H, [·, ·]J ) називають
простором Понтрягiна.
Рiзноманiтнi iндефiнiтнi метрики зручно будувати за допомогою алгебр Клiфорда. Пояснимо
це детальнiше, розглянувши наступний простий випадок.
Нехай унiтарнi iнволюцiї P та R антикомутують в H:
PR = −RP. (2.6)
Цi оператори можна розглядати як породжуючi елементи комплексної алгебри Клiфорда [9]
Cl2(P,R) := span{I,P,R, iRP}. Звiдси випливає, що довiльний оператор J ∈ Cl2(P,R) має
вигляд
J = α0I + α1P + α2R+ α3iRP, αj ∈ C, j = 0, 3. (2.7)
Зокрема, J буде нетривiальною унiтарною iнволюцiєю в H тодi i тiльки тодi, коли [11]
α0 = 0, α1, α2, α3 ∈ R i α2
1 + α2
2 + α2
3 = 1.
Таким чином, множина нетривiальних унiтарних iнволюцiй, побудована у термiнах алгебри
Клiфорда Cl2(P,R), складається з операторiв вигляду
J = α1P + α2R+ α3iRP, (2.8)
де ~α = (α1, α2, α3) — довiльний вектор одиничної сфери S2 в R3.
Визначаючи iндефiнiтнi метрики як [·, ·]J := (J ·, ·), де J задається (2.8), отримуємо мно-
жину рiзних просторiв Крейна (H, [·, ·]J ).
Далi вважатимемо, що унiтарнi iнволюцiї P та R комутують iз оператором спряження T ,
тобто
PT = T P, RT = T R. (2.9)
Зображення (2.8) нетривiальних унiтарних iнволюцiй J значно спрощується, якщо додат-
ково припустити, що оператор J є PT -симетричним.
Лема 2.2. Нетривiальна унiтарна iнволюцiя J ∈ Cl2(P,R) є PT -симетричною тодi i
тiльки тодi, коли iснує таке ξ ∈ [0, 2π), що
J ≡ Pξ :=
∞∑
n=0
in
n!
ξnRnP = eiξRP. (2.10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
36 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Як правило, коли PT -симетричнi оператори є гамiльтонiанами PT -симетричної кванто-
вої механiки, цi оператори можна трактувати як самоспряженi у деяких просторах Крейна
(H, [·, ·]J ) [4]. Зауважимо, що тут J не обов’язково дорiвнює P. Зокрема, для певних моделей
[9] вiдповiднi PT -симетричнi гамiльтонiани можуть бути iнтерпретованi як самоспряженi у
просторах Крейна (H, [·, ·]J ) з iндефiнiтними метриками, якi визначаються через унiтарнi iнво-
люцiї J з алгебри Клiфорда Cl2(P,R). Наступний результат показує, що при доведеннi такої
властивостi достатньо обмежитись лише пiдмножиною унiтарних iнволюцiй {Pξ}, що означена
рiвнiстю (2.10).
Лема 2.3. Якщо PT -симетричний оператор H є самоспряженим у просторi Крейна
(H, [·, ·]J ) при деякому виборi унiтарної iнволюцiї J iз множини (2.8), то оператор H також
буде самоспряженим у просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
) при деякiй Pξ, визначенiй за допомогою
(2.10).
Доведення. Самоспряженiсть оператора H у просторi Крейна (H, [·, ·]J ) еквiвалентна вико-
нанню тотожностi [6]
JHf = H∗J f ∀f ∈ D(H), (2.11)
де H∗ — спряжений до H у гiльбертовому просторi H.
Згiдно з лемою 2.1, операторH∗ також єPT -симетричним, а отже, рiвнiстьPT H∗ = H∗PT
виконується на D(H∗). Тодi, дiючи оператором PT на обидвi частини рiвностi (2.11) i беручи
до уваги спiввiдношення (2.6) та (2.9), отримуємо
ĴHPT f = H∗Ĵ PT f ∀f ∈ D(H), (2.12)
де Ĵ = α1P − α2R+ α3iRP.
Оскiльки оператор H є PT -симетричним, оператор спряження PT вiдображає D(H) на
D(H). Таким чином, рiвнiсть (2.12) можна записати у виглядi
ĴHf = H∗Ĵ f ∀f ∈ D(H). (2.13)
Додаючи рiвностi (2.11) i (2.13) та враховуючи, що оператор J визначається за допомогою
(2.8), отримуємо
(α1P + α3iRP)Hf = H∗(α1P + α3iRP)f
або
PξHf = H∗Pξf ∀f ∈ D(H),
де
Pξ =
α1√
1− α2
2
P +
α3√
1− α2
2
iRP = (cos ξ · I + i sin ξ · R)P = eiξRP.
Таким чином, H є самоспряженим оператором у просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
).
Лему доведено.
3. PT -симетричнi розширення симетричного оператора S. 3.1. Опис PT -симетричних
розширень за допомогою методу просторiв граничних значень. Нехай S — замкнений щiльно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 37
визначений у гiльбертовому просторi H симетричний оператор iз принаймнi однiєю дiйсною
точкою регулярного типу [5, с. 349]. Остання умова означає, що S має рiвнi iндекси дефекту
[5, с. 352].
Розширення H симетричного оператора S називається власним, якщо S ⊂ H ⊂ S∗. Для
опису власних розширень зручно використовувати метод просторiв граничних значень (ПГЗ).
Нагадаємо [12], що ПГЗ оператора S∗ називається трiйка (H,Γ0,Γ1), де Γ0, Γ1 — лiнiйнi
вiдображення D(S∗) у допомiжний гiльбертiв простiр H, що задовольняють умови:
1) (S∗f, g)− (f, S∗g) = (Γ1f,Γ0g)H − (Γ0f,Γ1g)H ∀f, g ∈ D(S∗);
2) вiдображення (Γ0,Γ1) : D(S∗)→ H⊕H сюр’єктивне.
Далi припускатимемо, що оператор S є PT -симетричним i комутує з усiма елементами
алгебри Клiфорда Cl2(P,R), або, що еквiвалентно, для всiх f ∈ D(S) виконуються тотожностi
PT Sf = SPT f, SPf = PSf, SRf = RSf. (3.1)
Лема 3.1. Нехай симетричний оператор S iз принаймнi однiєю дiйсною точкою регу-
лярного типу задовольняє умови (3.1). Тодi iснує такий ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗, що
формули
THΓj = ΓjT , PHΓj = ΓjP, RHΓj = ΓjR, j = 0, 1, (3.2)
коректно визначають оператор спряження TH та унiтарнi iнволюцiї PH i RH iз наступними
властивостями в гiльбертовому просторi H:
THPH = PHTH, THRH = RHTH, PHRH = −RHPH. (3.3)
Доведення. Покажемо, що iснує такий ПГЗ (H,Γ0,Γ1), що формули (3.2) коректно визна-
чають оператори PH,RH i TH. Спочатку встановимо, що
P : N±i → N±i, R : N±i → N±i, T : N±i → N∓i, (3.4)
де N−i := ker (S∗ + iI), Ni := ker (S∗ − iI).
Справдi, якщо f ∈ Ni, то S∗f = if, а тому PS∗f = Pif = iPf внаслiдок лiнiйностi
оператора P. Врахувавши, що S∗P = PS∗, матимемо S∗Pf = iPf, звiдки й випливає, що
P : Ni → Ni. Аналогiчно доводяться й iншi спiввiдношення (3.4).
Якщо S має дiйснi точки регулярного типу, то його iндекси дефекту є рiвними. Звiдси
випливає, що dim N−i = dim Ni, а тому iснують унiтарнi оператори V : N−i → Ni.
Згiдно iз формулами фон Неймана, мiж самоспряженими розширеннями H оператора S
та унiтарними вiдображеннями V простору N−i на простiр Ni можна встановити взаємно
однозначну вiдповiднiсть за допомогою формули
D(H) = D(S)+̇{f−i + V f−i | f−i ∈ N−i}. (3.5)
Використовуючи це спiввiдношення, можна побудувати ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗ таким
чином:
H = Ni, Γ0f = fi − V f−i, Γ1f = ifi + iV f−i, (3.6)
де f = f0 + f−i + fi ∈ D(S∗), f0 ∈ D(S), f−i ∈ N−i, fi ∈ Ni.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
38 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Зрозумiло, що рiзноманiтнi додатковi властивостi самоспряженого розширенняH приводять
до додаткових властивостей оператора V в (3.5) i, далi, до додаткових властивостей ПГЗ (3.6).
Зафiксуємо дiйсну точку регулярного типу r оператора S i розглянемо оператор
H = S∗ �D(H), D(H) = D(S)+̇ ker(S∗ − rI). (3.7)
Вiдомо, що формули (3.7) визначають самоспряжене розширення оператора S. Бiльше того,
з комутацiї оператора S∗ з операторами P, R, T (що очевидним чином випливає зi спiввiдно-
шень (3.1) та леми 2.1) та з того факту, що точка r є дiйсною, випливає, що оператор H комутує
з P, R, T , тобто
HP = PH, HR = RH, HT = T H. (3.8)
Оскiльки H є самоспряженим розширенням, то його область визначення задається деяким унi-
тарним вiдображенням V у формулi (3.5). Покажемо, що для цього оператора V спiввiдношення
(3.8) еквiвалентнi наступним спiввiдношенням:
V P = PV, VR = RV, T V = V −1T . (3.9)
Розглянемо останнє зi спiввiдношень (3.8). З нього випливає, що T : D(H) → D(H). А
оскiльки T : N±i → N∓i (див. (3.4)), то з (3.5) випливає, що оператор T переводить множину
{f−i+V f−i | f−i ∈ N−i} в себе, тобто T (f−i+V f−i) = T f−i+T V f−i. Знову врахувавши третє
зi спiввiдношень (3.4), отримаємо T f−i = V T V f−i, звiдки T = V T V. Отже, T V = V −1T .
Аналогiчно доводяться й iншi спiввiдношення з (3.9).
Розглянемо ПГЗ (H,Γ0,Γ1), який визначається формулою (3.6) з оператором V, що має
додатковi властивостi (3.9). Тодi, як легко бачити, граничнi оператори Γj задовольняють спiв-
вiдношення (3.2) з1
PH = P �H, RH = R �H, TH = −V T �H .
Покажемо, наприклад, що ΓjP = P �H Γj . Справдi, для будь-якого f ∈ D(S∗):
Γ0Pf = Γ0P(f0 + fi + f−i) = Γ0(Pf0 + Pfi + Pf−i) =
= Pfi − V Pf−i = Pfi − PV f−i = PΓ0f = P �H Γ0f.
Так само переконуємося, що Γ1P = P �H Γ1.
Тепер iз формул (2.6), (2.9) i (3.2) одержуємо спiввiдношення (3.3). А подвiйне використання
(3.2) i умови P2 = R2 = T 2 = I приводить до аналогiчних спiввiдношень для операторiв PH,
RH i TH.
Покладемо
H0 = S∗ � ker Γ0, H1 = S∗ � ker Γ1. (3.10)
Iз загальної теорiї ПГЗ вiдомо [13], що Hj є самоспряженими розширеннями оператора S
(зауважимо, що iз формул (3.5) та (3.6) випливає, що H0 збiгається з оператором H, визначеним
1Символ �H означає звуження вiдповiдного оператора на H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 39
за допомогою (3.7)). Iз рiвностей (3.2) випливає, що оператори Hj комутують iз операторами
P,R, T .
Покладемо
∆(f, g) = (S∗f, g)− (f, S∗g), f, g ∈ D(S∗). (3.11)
Iз означення ПГЗ випливає, що
∆(f0, f1) = (H0f0, f1)− (f0, H1f1) = (Γ1f0,Γ0f1)H ∀fj ∈ D(Hj).
Пiдставляючи в цей вираз елементи Pfj замiсть fj та використовуючи (3.2), одержуємо
∆(Pf0,Pf1) = (Γ1Pf0,Γ0Pf1)H = (PHΓ1f0,PHΓ0f1)H.
З iншого боку,
∆(Pf0,Pf1) = (H0Pf0,Pf1)− (Pf0, H1Pf1) = (PH0f0,Pf1)− (Pf0,PH1f1) = ∆(f0, f1).
Порiвнюючи отриманi рiвностi, отримуємо
(PHΓ1f0,PHΓ0f1)H = (Γ1f0,Γ0f1)H ∀fj ∈ D(Hj).
Звiдси та зi спiввiдношення P2
H = I �H випливає, що PH є унiтарною iнволюцiєю в H (див.
(2.1)). Аналогiчно можна показати, щоRH також буде унiтарною iнволюцiєю вH, а врахувавши
(2.2) — що TH є оператором спряження в H.
Лему доведено.
Зауважимо, що iснування ПГЗ iз властивостями, наведеними в лемi 3.1, можна також дове-
сти, спираючись на результати роботи [14].
Формули (2.7) та (3.2) встановлюють взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж елементами
початкової алгебри Клiфорда Cl2(P,R) та її „образом” Cl2(PH,RH) у допомiжному просторi
H. Зокрема, для кожної унiтарної iнволюцiї Pξ, визначеної за допомогою (2.10), її образом буде
унiтарна iнволюцiя PξH в H, що визначається формулами
PξHΓj = ΓjPξ, j = 0, 1. (3.12)
Бiльше того, граничнi оператори Γj iз ПГЗ, який задовольняє умови леми 3.1, дозволяють
отримати „образ” оператора спряження PT у виглядi оператора спряження PHTH, що дiє в H.
Такi властивостi дозволяють легко описувати рiзноманiтнi спецiальнi класи власних розширень
оператора S.
Твердження 3.1. Нехай ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗ задовольняє умови леми 3.1, а
власнi розширення H оператора S задаються як звуження H = S∗ �D(H) на одну з множин
D(H) = {f ∈ D(S∗) | TΓ0f = Γ1f}, D(H) = {f ∈ D(S∗) | T ′Γ1f = Γ0f}, (3.13)
де T та T ′ — замкненi щiльно визначенi оператори в H. Тодi:
1) оператор H є PT -симетричним в H тодi i тiльки тодi, коли оператор T (або T ′) є
PHTH-симетричним в H;
2) оператор H є самоспряженим у просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
) тодi i тiльки тодi, коли
оператор T (або T ′) є самоспряженим у просторi Крейна (H, [·, ·]PξH
), де унiтарнi iнволюцiї
Pξ та PξH визначено формулами (2.10) та (3.12) вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
40 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Доведення. Доведемо перше твердження.
Якщо оператор H є PT -симетричним в H, то виконується рiвнiсть PT H = HPT , звiдки
випливає, зокрема, що оператор PT переводить область D(H) у себе. Звiдси маємо, що для
будь-якого f ∈ D(H) виконується рiвнiсть TΓ0PT f = Γ1PT f. Iз (3.2) випливає, що тодi й
TPHTHΓ0f = PHTHΓ1f, або THPHTPHTHΓ0f = Γ1f. Оскiльки за означенням D(H) має
виконуватися рiвнiсть TΓ0f = Γ1f, то THPHTPHTH = T, або TPHTH = PHTHT, звiдки й
випливає PHTH-симетричнiсть оператора T.
Навпаки, якщо оператор T є PHTH-симетричним, то, мiркуючи у зворотному напрямку,
переконуємося в тому, що оператор PT переводить множину D(H) у себе. А оскiльки оператор
S є PT -симетричним, то за лемою 2.1 оператор S∗ також є PT -симетричним. Врахувавши,
що оператор H є звуженням оператора S∗ на D(H), дiстанемо, що H є PT -симетричним
оператором.
Аналогiчнi мiркування мають мiсце й для оператора T ′.
Доведемо друге твердження. Якщо оператор H є Pξ-самоспряженим в H, то виконується
рiвнiсть PξH = H∗Pξ, звiдки випливає, зокрема, що оператор Pξ переводить область D(H) у
D(H∗). Iз теорiї просторiв граничних значень [13] вiдомо, що D(H∗) = {f ∈ D(S∗) | T ∗Γ0f =
= Γ1f}. Тому для будь-якого f ∈ D(H) виконується рiвнiсть T ∗Γ0Pξf = Γ1Pξf. Iз (3.12)
випливає, що тодi й T ∗PξHΓ0f = PξHΓ1f, або PξHT
∗PξHΓ0f = Γ1f. Оскiльки за означенням
D(H) має виконуватись рiвнiсть TΓ0f = Γ1f, то PξHT
∗PξH = T, або T ∗PξH = PξHT, звiдки
й випливає PξH-самоспряженiсть оператора T у просторi H.
Навпаки, якщо оператор T є PξH-самоспряженим у просторi H, то, мiркуючи у зворотному
напрямку, переконуємося в тому, що оператор Pξ переводить множину D(H) у D(H∗). А
оскiльки оператор S комутує з усiма елементами алгебри Клiфорда Cl2(P,R), то S комутує i з
Pξ, звiдки випливає, що S∗Pξ = PξS∗. Тодi S∗Pξ �D(H)= PξS∗ �D(H), або H∗Pξ = PξH, тобто
H є Pξ-самоспряженим в H оператором.
Подiбним чином проводиться доведення й для оператора T ′.
Твердження доведено.
3.2. Випадок iндексу дефекту 〈2, 2〉. Iнтерпретацiя PT -симетричних операторiв як
самоспряжених у просторах Крейна. Твердження 3.1 зводить перевiрку можливої iнтерпре-
тацiї PT -симетричного розширення H оператора S як самоспряженого оператора у просторi
Крейна (H, [·, ·]Pξ
) до перевiрки вiдповiдної властивостi для операторного параметра T (або
T ′). Це суттєво спрощує дослiдження у випадку скiнченних дефектних чисел оператора S, а у
випадку iндексу дефекту 〈2, 2〉 дозволяє показати, що довiльне PT -симетричне квазiсамоспря-
жене розширення можна iнтерпретувати як самоспряжений оператор у просторi Крейна. Перед
формулюванням вiдповiдного результату нагадаємо [5] (пункт 114), що власне розширення H
оператора S називається квазiсамоспряженим, якщо H не є самоспряженим оператором i його
область визначення D(H) задовольняє умову
dimD(H) = n (mod dimD(S)),
де n — дефектне число оператора S.
Теорема 3.1. Нехай симетричний оператор S iз принаймнi однiєю дiйсною точкою ре-
гулярного типу має iндекс дефекту 〈2, 2〉. Тодi довiльне PT -симетричне квазiсамоспряжене
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 41
розширення H оператора S можна iнтерпретувати як самоспряжений оператор у просторi
Крейна (H, [·, ·]Pξ
) при певному виборi параметра ξ ∈ [0, 2π).
Доведення. Згiдно з лемою 3.1, iснує ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗ iз властивостями (3.2),
(3.3).
Припустимо, що квазiсамоспряжене розширення H задається першою з формул (3.13).
Оскiльки S має iндекс дефекту 〈2, 2〉, розмiрнiсть допомiжного простору H дорiвнює 2. Це
означає, що алгебра Клiфорда Cl2(PH,RH) iз породжуючими операторами PH iRH збiгається
з множиною усiх операторiв, визначених на H. Tаким чином, оператор T в (3.13) можна
записати як
T = α0I + α1PH + α2RH + α3iRHPH, αj ∈ C, (3.14)
де I — тотожний оператор в H.
ЯкщоH єPT -симетричним у просторi H, то за твердженням 3.1 T будеPHTH-симетричним
в H. Але з (3.3) та (3.14) випливає, що
PHTHT = (α0I + α1PH − α2RH + α3iRHPH)PHTH.
Отже, T може бути PHTH-симетричним тодi i тiльки тодi, коли
α0 = α0, α1 = α1, α2 = −α2, α3 = α3. (3.15)
Розглянемо унiтарну iнволюцiю Pξ, визначену за допомогою (2.10). Згiдно з твердженням
3.1, оператор H буде самоспряженим у просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
) тодi i тiльки тодi, коли
оператор T буде самоспряженим в (H, [·, ·]PξH
). Остання умова еквiвалентна операторному
рiвнянню TPξH = PξHT
∗. Враховуючи, що PξH = eiξRHPH, одержуємо
TPξH = TeiξRHPH = T (cos ξ · PH + i sin ξ · RHPH) = (α1 cos ξ + α3 sin ξ)I+
+(α0 cos ξ + iα2 sin ξ)PH + (iα3 cos ξ − iα1 sin ξ)RH + (α0 sin ξ − iα2 cos ξ)iRHPH,
PξHT
∗ = eiξRHPHT ∗ = (cos ξ · PH + i sin ξ · RHPH)T ∗ = (α1 cos ξ + α3 sin ξ)I+
+(α0 cos ξ − iα2 sin ξ)PH + (iα1 sin ξ − iα3 cos ξ)RH + (α0 sin ξ + iα2 cos ξ)iRHPH.
Порiвнюючи отриманi вирази i беручи до уваги (3.15), отримуємо, що PHTH-симетричний
оператор T самоспряжений у просторi Крейна (H, [·, ·]PξH
) тодi i тiльки тодi, коли
α1 sin ξ = α3 cos ξ. (3.16)
Таким чином, кожний PT -симетричний оператор T можна iнтерпретувати як самоспряжений
у просторi Крейна (H, [·, ·]PξH
), де параметр ξ визначається за допомогою (3.16). Це озна-
чає, що довiльне PT -симетричне квазiсамоспряжене розширення H, яке визначається першою
iз формул (3.13), можна реалiзувати як самоспряжений оператор у деякому просторi Крей-
на (H, [·, ·]Pξ
). Зрозумiло, що це твердження залишається правильним i для PT -симетричних
квазiсамоспряжених розширень H, якi визначаються другою iз формул (3.13).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
42 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Розглянемо тепер PT -симетричне квазiсамоспряжене розширення H, яке не можна ви-
значити за допомогою формул (3.13). Це означає, що iснують такi елементи fj ∈ D(H), що
fj ∈ ker Γj , але fj 6∈ D(S). Оскiльки S має iндекс дефекту 〈2, 2〉, то
D(H) = D(S)+̇span{f0, f1}, fj ∈ ker Γj \ D(S). (3.17)
Окрiм того, елементи fj належать до областi визначення самоспряжених операторiв Hj , визна-
чених формулами (3.10). Цi оператори є також i PT -симетричними розширеннями оператора
S (завдяки твердженню 3.1). Це означає, що множини
D(H) ∩ D(Hj) = D(S)+̇span{fj}
є iнварiантними вiдносно дiї оператора PT . Отже, PT fj = uj + α(fj)fj , де uj ∈ D(S), а
ненульове число α(fj) ∈ C залежить вiд вибору вектора fj .
Подiємо оператором Γk (k 6= j ∈ {0, 1}) на останню рiвнiсть i використаємо (3.2). Як
результат, отримаємо PHTHΓkfj = α(fj)Γkfj . Звiдси випливає, що |α(fj)| = 1.
Розглянемо тепер вектор f ′j = γfj , де γ ∈ C. В цьому випадку PT f ′j = u′j + α(f ′j)f
′
j , де
α(f ′j) = α(fj)
γ
γ
. У цiй формулi |α(fj)| = 1, а γ є довiльним комплексним числом. Таким чином,
без обмеження загальностi мiркувань можемо вважати, що вектори fj у (3.17) задовольняють
спiввiдношення
PHTHΓkfj = Γkfj k 6= j, k, j ∈ {0, 1}. (3.18)
Використовуючи позначення (3.11) та беручи до уваги, що S∗ комутує з Pξ, приходимо
до висновку, що оператор H, визначений формулою (3.17), буде самоспряженим у просторi
Крейна (H, [·, ·]Pξ
) тодi i тiльки тодi, коли бiлiнiйна форма
∆(Pξf, g) = (S∗Pξf, g)− (Pξf, S∗g)
буде обертатись у нуль на множинi span{f0, f1}.
Зауважимо, що вектори fj належать областям визначення самоспряжених операторiв Hj ,
якi комутують iз Pξ. Це означає, що ∆(Pξfj , fj) = 0. Отже, форма ∆(Pξf, g) є нульовою
на span{f0, f1} тодi i тiльки тодi, коли ∆(Pξf0, f1) = 0. Використовуючи (3.12), одержуємо
∆(Pξf0, f1) = (PξHΓ1f0,Γ0f1)H. Таким чином, H буде самоспряженим у просторi Крейна
(H, [·, ·]Pξ
) тодi i тiльки тодi, коли
(PξHΓ1f0,Γ0f1)H = 0. (3.19)
Оскiльки PξH = eiξRHPH = cos ξ · PH + i sin ξ · RHPH, то (3.19) набирає вигляду
cos ξ · (PHΓ1f0,Γ0f1)H = − sin ξ · (iRHPHΓ1f0,Γ0f1)H. (3.20)
Тут вираз (PHΓ1f0,Γ0f1)H є дiйсним числом. Дiйсно, з (3.18) отримуємо
(PHΓ1f0,Γ0f1)H = (THΓ1f0, THPHΓ0f1)H = (PHΓ0f1,Γ1f0)H = (Γ0f1,PHΓ1f0)H.
Аналогiчно переконуємося, що й вираз (iRHPHΓ1f0,Γ0f1)H є дiйсним. Це випливає з наступ-
ного спiввiдношення:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 43
(iRHPHΓ1f0,Γ0f1)H = (−THiRHΓ1f0, THPHΓ0f1)H =
= (PHΓ0f1,−iRHΓ1f0)H = (Γ0f1, iRHPHΓ1f0)H.
Таким чином, множники бiля cos ξ та sin ξ у (3.20) є дiйсними числами. В такому разi завжди
знайдеться принаймнi одне ξ ∈ [0, 2π), для якого буде виконуватись (3.20), а отже, i рiвнiсть
(3.19). При такому виборi ξ операторH, визначений за допомогою (3.17), буде самоспряженим у
просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
). Теорему 3.1 доведено для всiх можливих класiв PT -симетричних
квазiсамоспряжених розширень оператора S.
3.3. Властивостi PT -симетричного розширення у випадку iснування його самоспря-
жених iнтерпретацiй у рiзних просторах Крейна. Неважко бачити, що Pξ = −P
ξ̃
при
|ξ − ξ̃| = π. Таким чином, якщо PT -симетричне розширення H є самоспряженим у про-
сторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
), то те ж саме розширення H буде самоспряженим i у просторi Крейна
(H, [·, ·]P
ξ̃
). Отже, формально кажучи, довiльне PT -симетричне розширення H має самоспря-
женi iнтерпретацiї у просторах Крейна (H, [·, ·]Pξ
) i (H, [·, ·]P
ξ̃
). Зрозумiло, що така властивiсть
нiяк не впливає на спектр оператора H.
Ситуацiя докорiнно змiнюється у випадку, коли PT -симетричне розширення H можна
iнтерпретувати як самоспряжений оператор у просторi Крейна (H, [·, ·]J ) iз унiтарною iнво-
люцiєю J , яка задається загальною формулою (2.8), але не має властивостi PT -симетрiї:
PT J 6= JPT . Це призводить до „катастрофiчних” спектральних наслiдкiв.
Теорема 3.2. Нехай симетричний оператор S iз принаймнi однiєю дiйсною точкою ре-
гулярного типу має iндекс дефекту 〈2, 2〉 i PT -симетричне квазiсамоспряжене розширення
H оператора S можна iнтерпретувати як самоспряжений оператор у просторi Крейна
(H, [·, ·]J ), де унiтарна iнволюцiя J задається формулою (2.8), але не має властивостi PT -
симетрiї. Тодi спектр оператора H збiгається з комплексною площиною: σ(H) = C.
Доведення. Якщо J задається формулою (2.8), але не має властивостi PT -симетрiї, то J
не належить до пiдмножини {Pξ}ξ∈[0,2π) унiтарних iнволюцiй (див. лему 2.2). Нагадаємо, що
Pξ = eiξRP = (cos ξ · I + i sin ξ · R)P. Оскiльки оператор J не може бути зображений як
J = Pξ, то у формулi (2.8) для J коефiцiєнт α2 є вiдмiнним вiд нуля.
Самоспряженiсть H у просторi Крейна (H, [·, ·]J ) означає, що
(α1P + α2R+ α3iRP)H = H∗(α1P + α2R+ α3iRP), α2 6= 0.
Дiючи оператором PT на обидвi частини останньої рiвностi та беручи до уваги, що, згiдно
з лемою 2.1, спряжений оператор H∗ теж має властивiсть PT -симетрiї, отримуємо
(α1P − α2R+ α3iRP)H = H∗(α1P − α2R+ α3iRP).
Вiднявши вiд першої рiвностi другу i врахувавши, що α2 6= 0, дiстанемо RH = H∗R.
З iншого боку, згiдно з теоремою 3.1, PξH = H∗Pξ для певного ξ ∈ [0, 2π). Отже,
iRPξH = iRH∗Pξ = HiRPξ,
тобто H комутує з iRPξ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
44 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Зауважимо, що оператори R та Pξ антикомутують. Отже, оператор iRPξ є унiтарною
iнволюцiєю в H i простiр H може бути розкладений у пряму суму пiдпросторiв:
H = (I + iRPξ)H⊕ (I − iRPξ)H. (3.21)
Оскiльки H комутує з iRPξ, то оператор H допускає матричне зображення
H =
(
H+ 0
0 H−
)
, H+ = H �(I+iRPξ)H, H− = H �(I−iRPξ)H (3.22)
вiдносно розкладу (3.21).
Зауважимо, що симетричний оператор S також комутує з iRPξ, а отже, S+⊆H+⊆S∗+ i
S−⊆H−⊆S∗−, де S+ = S �(I+iRPξ)H є симетричним оператором з iндексом дефекту < 1, 1>
у пiдпросторi (I + iRPξ)H гiльбертового простору H, а S− = S �(I−iRPξ)H — симетричним
оператором з iндексом дефекту <1, 1> у пiдпросторi (I − iRPξ)H.
Унiтарна iнволюцiя iRPξ комутує з оператором PT . Тому iз властивостi PT -симетричностi
оператора H випливають наступнi спiввiдношення для операторiв H± в (3.22):
PT H+ = H+PT , PT H− = H−PT . (3.23)
Покажемо, що за таких умов H+ збiгається з S+ або з S∗+.
Припустимо протилежне: H+ є власним розширенням оператора S+, тобто S+⊂H+⊂S∗+.
Нехай ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗ задовольняє умови леми 3.1. Тодi трiйка (H′,Γ0 �D(S∗+),
Γ1 �D(S∗+)), де H′ = (I + iRHPξH)H, буде ПГЗ оператора S∗+. Оскiльки S+ має iндекс дефекту
<1, 1>, то умова S+⊂H+⊂S∗+ означає, що
D(H+) = {f ∈ D(S∗+) | tΓ0f = Γ1f} або D(H+) = {f ∈ D(S∗+) | Γ0f = tΓ1f},
де t ∈ C. Припустимо для визначеностi, що D(H+) визначається першою з формул. Беручи
до уваги властивостi (3.2) i враховуючи (3.23), одержуємо tPHTH = PHTHtI = tPHTH. Отже,
число t може бути тiльки дiйсним. Це означає, що H+ буде самоспряженим розширенням.
Зазначимо, що якщо S+⊂H+⊂S∗+, то обов’язково S−⊂H−⊂S∗− (iнакше буде суперечнiсть з
умовою квазiсамоспряженостi H). Повторюючи попереднi мiркування, переконуємося, що H−
теж буде самоспряженим розширенням. Але тодi H — самоспряжений оператор, що суперечить
умовi квазiсамоспряженостi. Отримана суперечнiсть приводить до висновку, що H+ = S+ i
H− = S∗−, або H+ = S∗+ i H− = S−. Легко бачити, що при таких H± спектр вiдповiдного
оператора H збiгається з C (див. [10]).
Теорему доведено.
3.4. Спектральний аналiз. Нехай (H,Γ0,Γ1) є довiльним ПГЗ оператора S∗.Функцiя Вейля
M(·) оператора S, асоцiйована з ПГЗ (H,Γ0,Γ1), визначається таким чином [15]:
M(µ)Γ0fµ = Γ1fµ ∀fµ ∈ ker(S∗ − µI) ∀µ ∈ C \ R. (3.24)
Значеннями функцiї Вейля M(µ) є оператори в H, i її вигляд залежить вiд вибору ПГЗ.
Зокрема, має мiсце така лема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 45
Лема 3.2. Якщо iндекс дефекту оператора S є 〈2, 2〉, а ПГЗ (H,Γ0,Γ1) задовольняє умови
леми 3.1, то вiдповiдна функцiя Вейля має виглядM(µ) = m(µ)I, деm(µ) є комплекснозначною
аналiтичною функцiєю в C± такою, що m(µ) = m(µ).
Доведення. Оскiльки у випадку iндексу дефекту 〈2, 2〉 алгебра Клiфорда Cl2(PH,RH) iз
породжуючими операторами PH i RH збiгається з множиною усiх операторiв, визначених на
H, то оператор M(µ) можна записати як
M(µ) = m0(µ)I +m1(µ)PH +m2(µ)RH +m3(µ)iRHPH,
де I — тотожний оператор в H.
Iз леми 2.13 у [10] випливає, що M(µ) комутує iз операторами PH i RH.
Оскiльки PHM(µ) = (m0(µ)I +m1(µ)PH−m2(µ)RH−m3(µ)iRHPH)PH = M(µ)PH, то
m2(µ) = m3(µ) = 0, а оскiлькиRHM(µ) = (m0(µ)I−m1(µ)PH+m2(µ)RH−m3(µ)iRHPH)×
×RH = M(µ)RH, то m1(µ) = m3(µ) = 0.
Звiдси випливає, що M(µ) = m(µ)I, де m(µ) := m0(µ) є комплекснозначною аналiтичною
функцiєю в C±. Покажемо тепер, що функцiя m(µ) має властивiсть m(µ) = m(µ).
Очевидно, що якщо fµ ∈ ker(S∗ − µI), то PT fµ ∈ ker(S∗ − µI). Позначимо PT fµ
через fµ. Далi, iз (3.24) маємо M(µ)Γ0fµ = Γ1fµ. Звiдси M(µ)Γ0PT fµ = Γ1PT fµ, або
M(µ)PHTHΓ0fµ = PHTHΓ1fµ.Врахувавши (3.24), матимемоM(µ)PHTHΓ0fµ = PHTHM(µ)×
×Γ0fµ. Отже, M(µ)PHTH = PHTHM(µ). А оскiльки M(µ) = m(µ)I, то m(µ)PHTH =
= PHTHm(µ) = m(µ)PHTH, звiдки m(µ) = m(µ).
Лему доведено.
Iз теореми 3.2 випливає, що множина PT -симетричних розширень оператора S мiстить
оператори, спектр яких заповнює всю комплексну площину. Наступне твердження показує, що
такi оператори не визначаються формулами (3.13).
Твердження 3.2. Нехай iндекс дефекту оператора S є 〈2, 2〉 а ПГЗ (H,Γ0,Γ1) задоволь-
няє умови леми 3.1. Тодi PT -симетричнi квазiсамоспряженi розширення оператора S, спектр
яких заповнює всю комплексну площину, не можуть задаватися формулами (3.13).
Доведення. Нехай спектр PT -симетричного квазiсамоспряженого розширенняH оператора
S збiгається з C. Оскiльки H є PT -симетричним розширенням, то, згiдно з теоремою 3.1, його
можна iнтерпретувати як Pξ-самоспряжений оператор для деякого ξ ∈ [0, 2π). Iз результатiв
[10] випливає, що область D(H) може бути задана як звуження D(S∗) на множину i(U +
+ I)Γ0f + (U − I)PξHΓ1f = 0, де U — така унiтарна iнволюцiя в H, що антикомутує з PξH.
Покажемо, що останню формулу не можна записати у виглядi жодної з формул (3.13). Для
цього, очевидно, достатньо показати, що iснують такi елементи f0, f1 ∈ D(H), що fj ∈ ker Γj ,
але fj 6∈ D(S).
Запишемо область визначення розширення H у виглядi
D(H) = {f ∈ D(S∗) | i(U + I)Γ0f = PξH(U + I)Γ1f} (3.25)
i подамо простiр H у виглядi H = H+ +H−, де H+ = (I + U)H,H− = (I − U)H.
Iз сюр’єктивностi вiдображення (Γ0,Γ1) : D(S∗) → H ⊕H випливає iснування таких еле-
ментiв f0 i f1, що Γ0f0 = 0,Γ1f0 6= 0, до того ж Γ1f0 ∈ H− i Γ0f1 6= 0,Γ1f1 = 0, а Γ0f1 ∈ H−.
Iз (3.25) одержуємо, що вектори f0, f1 належать D(H). Отже, елементи f0 i f1 є шуканими.
Твердження доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
46 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Враховуючи твердження 3.2, доцiльно проводити спектральний аналiз лише для PT -симет-
ричних квазiсамоспряжених розширень H, якi задаються однiєю iз формул (3.13). Без обмежен-
ня загальностi будемо вважати, що такi розширення задаються першою формулою в (3.13).
Отже,
H = S∗ �D(H), D(H) = {f ∈ D(S∗) | TΓ0f = Γ1f}. (3.26)
Лема 3.3. ОператорH, визначений за допомогою (3.26), одночасно будеPT -симетричним
i самоспряженим у просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
) тодi i тiльки тодi, коли
T = β0I + β1PξH + β2RH, (3.27)
де коефiцiєнти β0, β1 є дiйсними, а коефiцiєнт β2 — чисто уявним.
Доведення. Згiдно iз твердженням 3.1, оператор H одночасно буде PT -симетричним та
самоспряженим у просторi Крейна (H, [·, ·]Pξ
) тодi i тiльки тодi, коли
TPHTH = PHTHT та TPξH = PξHT
∗.
Зауважимо, що фундаментальнi симетрiї PξH iRH антикомутують у гiльбертовому просторi
H. Тому алгебра Клiфорда Cl2(PξH,RH) iз породжуючими операторами PξH i RH збiгається
з множиною усiх операторiв, визначених на H. Таким чином, оператор T можна записати як
T = β0I + β1PξH + β2RH + β3iRHPξH, βj ∈ C, (3.28)
де I — тотожний оператор в H. Мiркуючи, як i при доведеннi теореми 3.1, одержуємо, що
перша та друга рiвностi в (3.28) еквiвалентнi умовам
β0 = β0, β1 = β1, β2 = −β2, β3 = β3 (3.29)
i
β0 = β0, β1 = β1, β2 = −β2, β3 = −β3 (3.30)
вiдповiдно. Порiвнюючи (3.29) i (3.30), завершуємо доведення леми.
Теорема 3.3. Нехай S є симетричним оператором iз принаймнi однiєю дiйсною точкою
регулярного типу та iндексом дефекту 〈2, 2〉, ПГЗ (H,Γ0,Γ1) оператора S∗ задовольняє умови
леми 3.1, а M(µ) = m(µ)I є вiдповiдною функцiєю Вейля. Оператор H, визначений за допо-
могою (3.26) та (3.27), буде мати недiйсне власне значення µ ∈ C \R тодi i тiльки тодi, коли
коефiцiєнти βj у (3.27) задовольняють спiввiдношення
β0 = Re m(µ), |β2|2 = β21 + (Im m(µ))2. (3.31)
Доведення. Вiдомо [12], що µ ∈ C \ R належить до точкового спектра оператора H, визна-
ченого формулою (3.26), тодi i тiльки тодi, коли рiвняння (T −M(µ))h = 0 має нетривiальний
розв’язок h ∈ H. З огляду на те, що оператор T визначається формулою (3.27), а функцiя Вейля
має вигляд M(µ) = m(µ)I, запишемо це рiвняння у виглядi
(β0 −m(µ))h+ β1PξHh+ β2RHh = 0. (3.32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 47
Оскiльки простiр H має розмiрнiсть 2, то його можна ототожнити з C2. Бiльше того,
враховуючи, що PξH та RH є антикомутуючими унiтарними iнволюцiями в H, це ототожнення
можна визначити таким чином, що оператори PξH i RH переходять в оператори множення на
матрицi Паулi σ1 =
(
0 1
1 0
)
i σ3 =
(
1 0
0 −1
)
вiдповiдно. Отже,
h↔
(
h1
h2
)
, hj ∈ C, PξH ↔ σ1, RH ↔ σ3.
Врахувавши цi ототожнення в (3.32), отримаємо еквiвалентну систему рiвнянь
(β0 −m(µ) + β2)h1 + β1h2 = 0,
β1h1 + (β0 −m(µ)− β2)h2 = 0.
′
Пiдраховуючи дискримiнант, приходимо до висновку, що система має нетривiальнi розв’язки
hj тодi i тiльки тодi, коли
(β0 −m(µ))2 − β21 − β22 = 0.
Беручи до уваги, що β0 та β1 є дiйсними числами, а β2 — суто уявним числом (лема 3.3),
а отже, −β22 = |β2|2, та обчислюючи уявну та дiйсну частини даного рiвняння, отримуємо
спiввiдношення (3.31).
Теорему доведено.
Зауваження 3.1. У зображеннi (3.27) оператора T параметри β0 та β1 характеризують
його дiйсну (самоспряжену) частину, а параметр β2 описує уявну (антисамоспряжену) частину.
Якщо |β2| ≤ |β1|, то друга рiвнiсть у (3.31) не може виконуватись, i тодi вiдповiдний оператор
H буде мати лише дiйсний спектр.
4. Приклад. Розглянемо оператор Шредiнгера з кулонiвським потенцiалом на дiйснiй осi
l(u) = −d
2u
dx2
− 1
|x|
u. (4.1)
Кулонiвський потенцiал V (x) = − 1
|x|
має сингулярнiсть у точцi x = 0 i вiдповiдає випадку
граничного кола з обох бокiв точки x = 0. На нескiнченностi цей потенцiал вiдповiдає випадку
граничної точки.
Позначимо через S+ та S− мiнiмальнi оператори, породженi виразом (4.1) у просто-
рах L2(0,+∞) та L2(−∞, 0) вiдповiдно. Цi оператори є симетричними з iндексами дефекту
< 1, 1 >. Таким чином, оператор S, визначений рiвнiстю S = S− + S+ вiдносно розкладу
L2(R) = L2(−∞, 0)⊕L2(0,+∞), буде симетричним у просторi L2(R) iз iндексом дефекту
〈2, 2〉.
Оператор S є мiнiмальним оператором для виразу (4.1), що розглядається на дiйснiй осi. З
означення S випливає, що D(S) = D(S−) ⊕ D(S+). Тому область визначення максимального
оператора S∗, асоцiйованого з виразом (4.1), також можна записати у виглядi D(S∗) = D(S∗−)⊕
⊕D(S∗+).
У просторi L2(R) розглянемо антикомутуючi унiтарнi iнволюцiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
48 С. О. КУЖЕЛЬ, О. М. ПАЦЮК
Pu(x) = u(−x), Ru(x) = sgn(x)u(x).
Легко бачити, що оператори S та S∗ комутують iз алгеброю Клiфорда Cl2(P,R), а також
виконуються спiввiдношення P : D(S∗−)→ D(S∗+) i
PS∗−f− = S∗+Pf− ∀f− ∈ D(S∗−). (4.2)
Покладемо
η0(x) = −x, η1(x) = x lnx+ 1, x ≥ 0.
Вiдомо [16], що для всiх f+ ∈ D(S∗+) iснують границi
[f+, ηj ]0 := lim
x→0+
f+(x)η′j(x)− f ′+(x)ηj(x), j = 0, 1.
Зауважимо, що функцiї f− ∈ D(S∗−) мають носiй, зосереджений на (−∞, 0). Тому функцiї
f−(−x) = Pf−(x) є вiдмiнними вiд нуля на (0,+∞) i належать D(S∗+). Отже, границi
[f−, ηj ]0 := lim
x→0+
f−(−x)η′j(x)− f ′−(−x)ηj(x), j = 0, 1,
також iснують.
Довiльний елемент f ∈ D(S∗) запишемо у виглядi f = f− + f+, f± ∈ D(S∗±) i покладемо
Γ0f =
(
[f+, η0]0
[f−, η0]0
)
, Γ1f =
(
[f+, η1]0
[f−, η1]0
)
. (4.3)
Лема 4.1. Трiйка (C2,Γ0,Γ1), де оператори Γj визначенi за допомогою (4.3), є ПГЗ
оператора S∗ iз властивостями (3.2), тобто
TC2Γj = ΓjT , σ1Γj = ΓjP, σ3Γj = ΓjR, (4.4)
де TC2 — оператор комплексного спряження в C2, а σ1, σ3 — матрицi Паулi.
Доведення. Покладемо Γ+
j = [f+, ηj ]0. Тодi формули (4.3) можна записати у виглядi
Γ0f =
(
Γ+
0 f+
Γ+
0 Pf−
)
, Γ1f =
(
Γ+
1 f+
Γ+
1 Pf−
)
. (4.5)
Вiдомо [17] (теорема 4), що трiйка (C,Γ+
0 ,Γ
+
1 ) є ПГЗ оператора S∗+. Звiдси, враховуючи
(4.2), отримуємо, що трiйка (C,Γ+
0 P,Γ
+
1 P) є ПГЗ оператора S∗−. Беручи до уваги те, що S∗ є
ортогональною сумою операторiв S∗− i S∗+, та формули (4.5), приходимо до висновку, що трiйка
(C2,Γ0,Γ1) є ПГЗ оператора S∗. Формули (4.4) перевiряються безпосередньо з використанням
(4.3) та означення [f±, ηj ]0.
Лему 4.1 доведено.
Порiвнюючи рiвностi (3.2) та (4.4), отримуємо PH = σ1 i RH = σ3. Тодi, враховуючи, що
PξH = (cos ξ · I + i sin ξ · RH)PH, одержуємо
PξH =
(
0 eiξ
e−iξ 0
)
.
Тепер iз лем 3.3, 4.1 та теореми 3.3 одержуємо, що формула
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
ДО ТЕОРIЇ PT -СИМЕТРИЧНИХ ОПЕРАТОРIВ 49
H = S∗ �D(H),
D(H) =
{
f ∈ D(S∗)
∣∣∣∣∣
(
β0 + β2 β1e
iξ
β1e
−iξ β0 − β2
)(
[f+, η0]0
[f−, η0]0
)
=
(
[f+, η1]0
[f−, η1]0
)}
,
де f = f−+f+ (f± ∈ D(S∗±)), а β0, β1 ∈ R, β2 ∈ iR, визначає породженi диференцiальним вира-
зом (4.1) PT -симетричнi оператори, якi є самоспряженими у просторi Крейна (L2(R), [·, ·]Pξ
),
ξ ∈ [0, 2π). Цi оператори мають дiйсний спектр, якщо |β2| ≤ |β1|. Якщо ця нерiвнiсть не ви-
конується, наявнiсть недiйсних власних значень визначається рiвняннями (3.31). Легко бачити,
що в цих рiвняннях функцiя m(·) є функцiєю Вейля симетричного оператора S+, яка визначена
за допомогою ПГЗ (C,Γ+
0 ,Γ
+
1 ).
Зауваження 4.1. За незначних модифiкацiй (змiна функцiй ηj(x)) подiбнi результати мо-
жуть бути одержанi для широкого класу операторiв Шредiнгера з парними сингулярними по-
тенцiалами, розглянутих у роботi А. Н. Кочубея [17]. Єдиною принциповою вiдмiннiстю таких
моделей є рiзнi функцiї Вейля m(µ) у рiвняннях (3.31), якi будуть давати рiзнi розташування
недiйсних власних значень.
1. Dirac P. A. M. Bakerian lecture. The physical interpretation of quantum mechanics // Proc. Roy. Soc. London A. –
1942. – 180, № 980. – P. 1 – 40.
2. Bender C. M., Boettcher S. Real spectra in non-Hermitian Hamiltonians having PT -symmetry // Phys. Rev. Lett. –
1998. – 80, № 24. – P. 5243 – 5246.
3. Dorey P., Dunning C., Tateo R. Spectral equivalence, Bethe ansatz, and reality properties in PT -symmetric quantum
mechanics // J. Phys. A: Math. and Gen. – 2001. – 34, № 28. – P. 5679 – 5704.
4. Bender C. M. Making sense of non-Hermitian Hamiltonians // Repts Progr. Phys. – 2007. – 70, № 6. – P. 947 – 1018.
5. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – Изд. 2-е, перераб.
и доп. – М.: Наука, 1966. – 544 с.
6. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой.
– М.: Наука, 1986. – 352 с.
7. Caliceti E., Cannata F., Graffi S. PT -symmetric Schrodinger operators, reality of the perturbed eigenvalues //
SIGMA. – 2010. – 6. – P. 9 – 17.
8. Lounesto P. Clifford algebras and spinors. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2001. – 338 p.
9. Günther U., Kuzhel S. PT -symmetry, Cartan decompositions, Lie triple systems and Krein space related Clifford
algebras // J. Phys. A: Math. and Theor. – 2010. – 43, № 39. – P. 392002 – 392011.
10. Kuzhel S., Patsiuk O. On self-adjoint operators in Krein spaces constructed by Clifford algebra Cl2 // Opusc. Math.
– 2012. – 32, № 2. – P. 297 – 316.
11. Kuzhel S., Trunk C. On a class of J-self-adjoint-operators with empty resolvent set // J. Math. Anal. and Appl. –
2011. – 379, № 1. – P. 272 – 289.
12. Горбачук В. И., Горбачук М. Л., Кочубей А. Н. Теория расширений симметрических операторов и граничные
задачи для дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. – 41, № 10. – С. 1299 – 1313.
13. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1984. – 284 с.
14. Кочубей А. Н. О расширениях J-симметрических операторов // Теория функций, функцион. анализ и прил. –
1979. – 31. – С. 74 – 80.
15. Derkach V. A., Malamud M. M. Generalized resolvents and the boundary value problems for Hermitian operators
with gaps // J. Funct. Anal. – 1991. – 95, № 1. – P. 1 – 95.
16. Zettl A. Sturm-Liouville theory. – Providence: Amer. Math. Soc., 2005. – 330 p.
17. Кочубей А. Н. Самосопряженные расширения оператора Шредингера с сингулярным потенциалом // Сиб. мат.
журн. – 1991. – 32, № 3. – С. 60 – 69.
Одержано 13.10.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2554 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:44Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f8/92142e5760d5107c44718c80b95bdef8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25542020-03-18T19:29:28Z On the theory of $\mathcal{PT}$-symmetric operatorss До теорії $\mathcal{PT}$-симетричних операторів Kuzhel', S. A. Patsyuk, O. M. Кужіль, С. О. Пацюк, О. М. This article develops a general theory of $\mathcal{PT}$-symmetric operators. Special attention is given to $\mathcal{PT}$-symmetric quasi-self-adjoint extensions of symmetric operator with deficiency indices &#9001; 2, 2 &#9002;. For these extensions, the possibility of their interpretation as self-adjoint operators in Krein spaces is investigated, and a description of nonreal eigenvalues is given. These abstract results are applied to the Schrodinger operator with Coulomb potential on the real axis. Развивается общая теория $\mathcal{PT}$-симметрических операторов. Основное внимание уделяется $\mathcal{PT}$-симметрическим квазисамосопряженным расширениям симметрического оператора с индексом дефекта &#9001; 2, 2 &#9002;. Для таких расширений исследуется возможность их интерпретации как самосопряженных операторов в пространствах Крейна, дается описание недействительных собственных значений. Полученные абстрактные результаты применяются к оператору Шредингера с кулоновским потенциалом на вещественной оси. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2554 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 1 (2012); 32-49 Український математичний журнал; Том 64 № 1 (2012); 32-49 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2554/1867 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2554/1868 Copyright (c) 2012 Kuzhel' S. A.; Patsyuk O. M. |
| spellingShingle | Kuzhel', S. A. Patsyuk, O. M. Кужіль, С. О. Пацюк, О. М. On the theory of $\mathcal{PT}$-symmetric operatorss |
| title | On the theory of $\mathcal{PT}$-symmetric operatorss |
| title_alt | До теорії $\mathcal{PT}$-симетричних операторів |
| title_full | On the theory of $\mathcal{PT}$-symmetric operatorss |
| title_fullStr | On the theory of $\mathcal{PT}$-symmetric operatorss |
| title_full_unstemmed | On the theory of $\mathcal{PT}$-symmetric operatorss |
| title_short | On the theory of $\mathcal{PT}$-symmetric operatorss |
| title_sort | on the theory of $\mathcal{pt}$-symmetric operatorss |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2554 |
| work_keys_str_mv | AT kuzhel039sa onthetheoryofmathcalptsymmetricoperatorss AT patsyukom onthetheoryofmathcalptsymmetricoperatorss AT kužílʹso onthetheoryofmathcalptsymmetricoperatorss AT pacûkom onthetheoryofmathcalptsymmetricoperatorss AT kuzhel039sa doteoríímathcalptsimetričnihoperatorív AT patsyukom doteoríímathcalptsimetričnihoperatorív AT kužílʹso doteoríímathcalptsimetričnihoperatorív AT pacûkom doteoríímathcalptsimetričnihoperatorív |