Stability of motion of nonlinear systems with fuzzy characteristics of parameters
We investigate the stability of a stationary solution of a fuzzy dynamical system by a generalized Lyapunov direct method.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2555 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508470854287360 |
|---|---|
| author | Martynyuk, A. A. Martynyuk-Chernienko, Yu. A. Мартынюк, А. А. Мартынюк-Черниенко, Ю. А. Мартынюк, А. А. Мартынюк-Черниенко, Ю. А. |
| author_facet | Martynyuk, A. A. Martynyuk-Chernienko, Yu. A. Мартынюк, А. А. Мартынюк-Черниенко, Ю. А. Мартынюк, А. А. Мартынюк-Черниенко, Ю. А. |
| author_sort | Martynyuk, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:29:28Z |
| description | We investigate the stability of a stationary solution of a fuzzy dynamical system by a generalized Lyapunov direct method. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.36
А. А. Мартынюк, Ю. А. Мартынюк-Черниенко (Ин-т механики НАН Украины, Киев)
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С НЕЧЕТКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ПАРАМЕТРОВ
We investigate the stability of a stationary solution of a fuzzy dynamical system by a generalized Lyapunov direct method.
Дослiджується стiйкiсть стацiонарного розв’язку неточної динамiчної системи на основi узагальненого прямого
методу Ляпунова.
Введение. Известно, что математическое моделирование реальных процессов в механических
и другой природы системах сталкивается с двумя проблемами. Первая — это адекватность мо-
дели сложности рассматриваемой системы. Учет большого числа факторов, характеризующих
систему, приводит к соответствующим уравнениям движения высокого порядка, исследование
которых затруднительно. Игнорирование некоторых факторов упрощает модель, но возникает
проблема корректности описания наблюдаемого явления или процесса.
Вторая проблема — это неполная информация о параметрах системы и различных факто-
рах, влияющих на ее динамику. Эта проблема порождает некоторую неопределенность в выборе
„математического инструмента” для анализа соответствующей системы. Классический матема-
тический анализ в этих ситуациях „не работает”, и возникает необходимость в привлечении
некоторых понятий, расширяющих классические основы анализа. В частности, теория нечет-
ких уравнений призвана дать возможность исследователям явлений реального мира упростить
решение двух задач: учесть сложность математической модели рассматриваемого явления и
описать неопределенность факторов, формирующих и/или влияющих на протекаемый процесс.
В данной статье исследуется устойчивость неточных систем на основе матричнозначных
функций Ляпунова (см. [1] и приведенную там библиографию).
1. Вспомогательные результаты. Основой теории нечетких дифференциальных уравнений
является идея существования нечетких множеств, предложенная Zadeh (см. [2]) в 1965 году.
Эта идея должна была облегчить математическое описание реальных процессов с неточными
значениями параметров. К настоящему времени этот подход получил значительное развитие
и применение. В данном пункте приведены краткие сведения из теории нечетких множеств и
уравнений, которые необходимы для изложения результатов анализа устойчивости неточных
систем на основе теории устойчивости нелинейных уравнений.
Нечеткие множества рассматриваются относительно некоторого непустого базового мно-
жества X, элементы которого имеют произвольную природу. Существенным моментом здесь
является то, что каждому элементу x ∈ X ставится в соответствие значение функции u(x),
которая принимает значения в интервале [0, 1]. Если u(x) = 0, то это соответствует непри-
надлежности u(x) интервалу [0, 1]; если 0 < u(x) < 1 — частичной принадлежности, а если
u(x) = 1 — полной принадлежности.
Согласно Заде, нечеткое подмножество множества X является непустым подмножеством
элементов {(x, u(x)) : x ∈ X} в произведении X × [0, 1] для некоторой функции u : X → [0, 1].
Для нечеткого множества u на X β-уровень множества [u]β определяется формулой
c© А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО, 2012
50 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 51
[u]β = {x ∈ X : u(x) ≥ β} для каждого β ∈ (0, 1].
Носителем [u]0 этого уровня является замыкание в топологии пространства X объединения
всех уровней множества u, т. е.
[u]0 =
⋃
β∈(0,1]
[u]β.
Пусть x ∈ Rn и A — некоторое непустое подмножество в Rn. Расстояние от элемента x до
множества A определим формулой
d(x,A) = inf{‖x− a‖ : a ∈ A},
где ‖ · ‖ — евклидова норма. Подмножество
Sε(A) = {x ∈ Rn : d(x,A) < ε}
является ε-окрестностью множества A и
Sε(A) = {x ∈ Rn : d(x,A) ≤ ε}
— его замыканием.
В частности, S
n
1 обозначает замкнутый шар в Rn, Sn1 = S1({0}) — компактное подмноже-
ство в Rn.
Пусть A и B — некоторые непустые подмножества в Rn. Разделение Хаусдорфа множеств
A и B определяется формулой
d∗H(B,A) = sup{d(b, A) : b ∈ B},
или эквивалентной формулой
d∗H(B,A) = inf{ε > 0: B ⊆ A+ εS
n
1}.
Расстояние Хаусдорфа между непустыми подмножествами A и B в пространстве Rn опре-
деляется формулой
dH(A,B) = max{d∗H(A,B), d∗H(B,A)}.
Это расстояние является симметричным относительно подмножеств A и B.
Для любых непустых подмножеств A, B, C из Rn выполняются соотношения:
a) dH(A,B) ≥ 0 и dH(A,B) = 0, если и только если A = B;
б) dH(A,B) = dH(B,A);
в) dH(A,B) ≤ dH(A,C) + dH(C,B).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
52 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Заметим, что в общем случае d∗H(A,B) 6= d∗H(B,A).
Хаусдорфово расстояние dH(A,B) является метрикой для любых непустых замкнутых под-
множеств в Rn. Поэтому пара (Cn, dH) является метрическим пространством, где Cn состоит
из всех непустых замкнутых подмножеств пространства Rn.
Для любого непустого подмножества A из Rn опорная функция определяется формулой
s(p,A) = sup{〈p, a〉 : a ∈ A}.
Эта функция может принимать значение +∞ для неограниченного подмножества A.
Опорная функция s(p,A) является положительно однородной, если s(tp, A) = ts(p,A) для
любого t ≥ 0 и при всех p ∈ Rn, где A ∈ Kn
c , K
n
c состоит из всех непустых компактных
выпуклых подмножеств пространства Rn.
Функция s(p,A) является субаддитивной, если
s(p1 + p2, A) ≤ s(p1, A) + s(p2, A)
при любых p1, p2 ∈ Rn и A ∈ Kn
c .
Ясно, что опорная функция s(p,A) является выпуклой.
Далее понадобится пространство En, состоящее из отображений u : Rn → [0, 1], которые
удовлетворяют следующим условиям:
1) u полунепрерывно сверху по Бэру;
2) существует x0 ∈ Rn такое, что u(x0) = 1;
3) u является нечетко выпуклым, т. е.
u(λx+ (1− λ)y) ≥ min[u(x), u(y)]
при любом значении λ ∈ [0, 1];
4) замыкание множества {x ∈ Rn : u(x) > 0} является компактным подмножеством в Rn.
Известно, что если u — нечетко выпуклое подмножество, то [u]β является выпуклым в Rn
для любого β ∈ [0, 1].
Поскольку En является пространством некоторых функций u : Rn → [0, 1], на En можно
ввести метрику
d(u, v) = sup{|u(x)− v(x)| : x ∈ Rn}.
Эта метрика характеризует расстояние между двумя нечеткими множествами u, v ∈ En для
любой точки пространства Rn.
Точная верхняя грань метрики d на пространстве En определяется формулой
d(u, v) = sup{dH([u]β, [v]β) : β ∈ [0, 1]}
при всех u, v ∈ En и является метрикой на En.
Заметим, что так как супремум в этом выражении не может быть достигнут, то его нельзя
заменить операцией максимума.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 53
Доказано (см. [3]), что пара (En, d) является полным метрическим пространством.
Пусть {un} — некоторая последовательность в En. Эта последовательность является схо-
дящейся по уровням к u ∈ En, если при всех β ∈ (0, 1] верно предельное соотношение
dH(u
β
n, uβ)→ 0, как только n→∞.
Известно, что из сходимости в метрическом пространстве (En, d) следует сходимость по
уровням.
Пусть Pk(Rn) обозначает семейство всех непустых компактных выпуклых подмножеств
пространства Rn и T = [a, b], b > a > 0, — компактный интервал.
Отображение F : T → En является строго измеримым, если для любого β ∈ [0, 1] мно-
жественнозначное отображение Fβ : T → Pk(Rn), определяемое формулой Fβ(t) = [F (t)]β,
является измеримым по Лебегу при условии, что Pk(Rn) является вложением с топологией,
генерируемой метрикой Хаусдорфа (см. [4, 5] и приведенную там библиографию).
Если отображение F строго измеримое, то оно измеримо в топологии, генерируемой мет-
рикой d.
Отображение F : T → En называется интегрально ограниченным, если существует инте-
грируемая функция ω(t) такая, что ‖x‖ ≤ ω(t) при всех x ∈ F0(t).
Интеграл отображения F на компактном интервале T обозначается
∫ b
a
F (t) dt и определя-
ется формулой
∫
T
F (t) dt =
∫
T
f(t) dt | f : T → Rn является измеримой для Fβ
при всех 0 < β ≤ 1.
Строго измеримое и интегрально ограниченное отображение F : T → Rn называется инте-
грируемым на T, если
∫
T
F (t) dt ∈ En.
Известно, что:
1) если отображение F : T → En строго измеримо и ограничено, то оно интегрируемо;
2) если отображение F непрерывно, то оно интегрируемо;
3) если отображение F : T → En интегрируемо и существует c ∈ T, то
b∫
a
F (t)dt =
c∫
a
F (t)dt+
b∫
c
F (t)dt;
4) если отображение F : T → En интегрируемо, то вещественная функция
(t, β)→ diam
t∫
a
F (t) dt
β , t ∈ T, β ∈ [0, 1],
является не убывающей по t на T и не возрастающей относительно β на [0, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
54 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Пусть x, y принадлежат En и существует некоторое z ∈ En такое, что x = y + z. Тогда z
называется разностью Хукухары подмножеств x и y и обозначается x− y.
Отображение F : T → En является дифференцируемым в точке t0 ∈ T, если существует
F ′(t0) ∈ En такое, что пределы
lim{[F (t0 + h)− F (t0)]h−1 : h→ 0+} и lim{[F (t0)− F (t0 − h)]h−1 : h→ 0+}
существуют и равны F ′(t0). При этом пределы рассматриваются в метрическом пространстве
(En, d).
Семейство {DHFβ(t) : β ∈ [0, 1]} определяет некоторый элемент F ′(t) ∈ En. Если отоб-
ражение F : T → En дифференцируемо в точке t ∈ T, то элемент F ′(t) называют нечеткой
производной F (t) в точке t. Отсюда следует, что если отображение Fβ дифференцируемо, то
многозначное отображение Fβ дифференцируемо в смысле Хукухары для всех β ∈ [0, 1] и
DHFβ(t) = [F ′(t)]β,
где DHFβ — производная Хукухары отображения Fβ .
Заметим, что обратное утверждение не имеет места, т. е. из того, что существует разность
[x]β − [y]β, β ∈ [0, 1], не следует, что существует разность x− y (в смысле Хукухары).
Некоторые свойства дифференцируемых отображений приведены ниже.
Пусть отображение F : T → En дифференцируемо на T . Тогда:
1) если t1, t2 ∈ T, t1 ≤ t2, то существует c ∈ En такое, что F (t2) = F (t1) + c;
2) отображение F непрерывно на T ;
3) если производная F ′ интегрируема на T, то
F (s) = F (a) +
s∫
a
F ′(t)dt;
4) справедлива оценка
d(F (b), F (a)) ≤ (b− a) sup
t∈T
d(F ′(t), 0̂),
где 0̂ ∈ En.
Более подробные сведения о нечетких множествах и нечетких функциях приведены в мо-
нографиях [3, 4], где имеется обширная библиография.
2. Постановка задачи. Рассматривается система уравнений возмущенного движения в виде
dx
dt
= f(t, x, α), x(t0) = x0, (1)
где x ∈ En и f ∈ C(R+ × En × S, En). Будем рассматривать систему (1) при следующих
предположениях о параметре неточности α, а именно, параметр α:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 55
а) может представлять неточное значение какого-либо физического параметра системы или
оценку внешнего возмущения;
б) может быть функцией, отображающей R в Rd и представляющей неточно измеряемое
значение входных воздействий одной из подсистем на другую;
в) может быть функцией, отображающей R+ × Rn в Rd и представляющей нелинейные
элементы рассматриваемой механической системы, которые труднодоступны для точного из-
мерения;
г) может быть просто индексом, указывающим на существование каких-то неточностей в
системе;
д) может быть комбинацией характеристик а) – в).
Пусть
fm(t, x) = co
⋂
α∈S
f(t, x, α), S ⊆ Rd, (2)
fM (t, x) = co
⋃
α∈S
f(t, x, α), S ⊆ Rd. (3)
Здесь и далее предполагается, что fm(t, x) и fM (t, x) ∈ En. Очевидно, что
fm(t, x) ⊆ f(t, x, α) ⊆ fM (t, x) (4)
при всех (t, x, α) ∈ R+ × En × S .
Введем семейство отображений fκ(t, x) по формуле
fκ(t, x) = fM (t, x)κ+ (1− κ)fm(t, x), 0 ≤ κ ≤ 1. (5)
Наряду с системой (1) будем рассматривать дифференциальные уравнения
du
dt
= fκ(t, u), u(t0) = u0, (6)
где fκ ∈ C(I × En, En), I = [t0, t0 + a], t0 ≥ 0, a > 0, κ ∈ [0, 1].
Заметим, что отображения u : I → En являются решениями начальной задачи (6), если они
слабо непрерывны и удовлетворяют интегральному уравнению
uκ(t) = u0 +
t∫
t0
fκ(s, uκ(s)) ds
при всех t ∈ I для каждого значения κ ∈ [0, 1].
Известно, что при всех t ∈ I diam[u(t)]β ≥ diam[u0]
β для любого значения β ∈ [0, 1], где
diam означает диаметр множества любого уровня.
Для семейства дифференциальных уравнений (6) приведем некоторые утверждения о су-
ществовании решений на I и [t0,∞).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
56 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Теорема 1. Предположим, что fκ ∈ C(I ×En, En), и, кроме того, имеет место одно из
условий:
1) существует постоянная M > 0 такая, что
d
[
fκ(t, u), 0̂
]
≤M при всех t ∈ I и u ∈ En,
где 0̂ ∈ En определяется формулой 0̂(x) = 1, если x = 0, и 0̂(x) = 0, если x 6= 0;
2) существует постоянная k > 0 и при любом κ ∈ [0, 1] выполняется условие Липшица
d
[
fκ(t, u), fκ(t, v)
]
≤ kd[u, v]
при всех t ∈ I и (u, v) ∈ En.
Тогда начальная задача (6) имеет решение uκ(t) в случае 1 и единственное решение u(t) в
случае 2.
Доказательство этих утверждений основано на теореме о неподвижной точке и принципе
сжатых отображений соответственно.
Далее понадобится следующее утверждение.
Теорема 2. Предположим, что fκ ∈ C(I × En, En) и выполняется одно из условий:
1) d
[
fκ(t, u), 0̂
]
≤ g(t, d[u, 0̂])
или
2) lim
{
sup
[
d[u+ θfκ(t, u), 0̂]− d[u, 0̂]
]
θ−1 : θ → 0+
}
≤ g
(
t, d[u, 0̂]
)
, где g ∈ C(I ×R+, R).
Тогда если d[u0, 0̂] ≤ ω0, то справедлива оценка
d[u(t), 0̂] ≤ r(t; t0, ω0) при всех t ∈ T,
где r(t; t0, ω0) — максимальное решение уравнения сравнения
dw
dt
= g(t, ω(t)), ω(t0) = ω0 ≥ 0, (7)
на интервале I .
На основе теоремы 2 устанавливаются условия глобального существования решения на-
чальной задачи (6) в следующем виде.
Теорема 3. Предположим, что fκ ∈ C(R+ × En,En) и существует функция g(t, ω),
g ∈ C(R2
+,R), не убывающая по ω при любом t ∈ R+ и гарантирующая существование на
[t0,∞) максимального решения r(t; t0, ω0) уравнения сравнения (7), такая, что
d[fκ(t, u), 0̂] ≤ g
(
t, d[u, 0̂]
)
при всех (t, u) ∈ R+ × En.
Если при этом выполняется одно из условий теоремы 1 при любых (t0, u0) ∈ R+ × En, то
максимальным интервалом существования решений uκ(t, t0, u0) уравнений (6) с начальными
условиями d[u0, 0̂] ≤ ω0 является интервал [t0,∞).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 57
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.7.1 из монографии [3].
3. Основные утверждения принципа сравнения. Вместе с системой уравнений (6) будем
рассматривать матричнозначную функцию
U(t, ·) = [uij(t, ·)], i, j = 1, 2, (8)
элементы которой находятся по следующему правилу:
если κ = 0, то элемент u11(t, u) ∈ C(R+ × En, R) соотносится системе
du
dt
= fm(t, u); (9)
если κ = 1, то элемент u22(t, u) ∈ C(R+ × En, R) соотносится системе
du
dt
= fM (t, u); (10)
если 0 < κ < 1, то элемент u12(t, u) = u21(t, u) ∈ C(R+ × En, R) соотносится семейству
систем (6).
С помощью вектора θ ∈ R2
+ построим скалярную функцию
V (t, u) = θTU(t, u)θ, (11)
для которой в процессе ее применения формулируются условия типа условий Ляпунова в
теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений.
Наряду с функцией (11) ниже применяется векторная функция
L(t, u) = AU(t, u)θ, (12)
где A — постоянная (2× 2)-матрица.
Скалярная функция (11) определяется на множестве элементов u ∈ En и принимает значе-
ния на R, т. е. эта функция выполняет роль нелинейного преобразования фазового простран-
ства системы (1) в одномерное пространство. Аналогично, векторная функция (12) отображает
фазовое пространство системы (1) в пространство R2. При некоторых дополнительных пред-
положениях о функциях (11) и (12) их применение при исследовании качественного поведения
решений системы (1) или семейства систем (6) аналогично применению прямого метода Ляпу-
нова в теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений.
Далее семейство уравнений
du
dt
= fκ(t, u), u(t0) = u0, (13)
будем рассматривать в области значений (t, u) ∈ R+×D(ρ), где D(ρ) = {u ∈ En : d[u, 0] < ρ}.
Пусть fκ ∈ C(R+ × D(ρ),En) при любом значении β ∈ [0, 1] и решения uκ(t) начальных
задач (13) существуют на интервале [t0,∞).
Для уравнений (13) приведем теорему принципа сравнения со скалярной функцией Ляпу-
нова (11).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
58 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Теорема 4. Предположим, что для уравнений (13) существуют матричнозначная функ-
ция U(t, ·) и вектор θ ∈ R2
+ такие, что функция (11) удовлетворяет условиям:
1) V (t, u) ∈ C(R+ ×D(ρ),R+) и существует постоянная L > 0 такая, что
|V (t, u1)− V (t, u2)| ≤ Ld[u1, u2]
при всех u1, u2 ∈ D(ρ);
2) существует функция g(t, ω), g ∈ C(R2
+,R), такая, что при любом значении κ ∈ [0, 1]
D+V (t, u)
∣∣
(13)
≤ g(t, V (t, u))
при всех (t, u) ∈ R+ ×D(ρ);
3) максимальное решение r(t; t0, ω0) скалярного уравнения сравнения
dω
dt
= g(t, ω), ω(t0) = ω0, (14)
существует на интервале [t0,∞).
Тогда если V (t0, u0) ≤ ω0, то справедлива оценка
V (t, u(t)) ≤ r(t; t0, ω0)
при всех t ∈ [t0,∞).
Доказательство. Пусть решения uκ(t) начальных задач (13) существуют на интервале
[t0,∞). Для функцииm(t) = V (t, uκ(t)) с начальным значениемm(t0) ≤ ω0 вычислим разность
m(t+ h)−m(t) для сколь угодно малого значения h > 0, а именно,
m(t+ h)−m(t) = V (t+ h, uκ(t+ h))− V (t, uκ(t)) = V (t+ h, uκ(t+ h))−
−V (t+ h, uκ(t) + hfκ(t, uκ(t))) + V (t+ h, uκ(t) + hfκ(t, uκ(t)))− V (t, uκ(t)) ≤
≤ Ld[uκ(t+ h), uκ(t) + hfκ(t, uκ(t))] + V (t+ h, uκ(t) + hfκ(t, uκ(t)))− V (t, uκ(t))
при любом значении κ ∈ [0, 1] Отсюда следует, что
D+m(t) = lim
h→0+
sup
1
h
[m(t+ h)−m(t)] ≤
≤ D+V (t, uκ(t)) + L lim
h→0+
sup {d[uκ(t+ h), uκ(t) + hfκ(t, uκ(t))]} . (15)
Пусть uκ(t+h) = uκ(t)+ zκ(t), где zκ(t) — разность Хукухары для сколь угодно малого h > 0.
Учитывая свойства метрики d[u, v], получаем
d[uκ(t+ h), uκ(t) + hfκ(t, uκ(t))] =
= d [uκ(t) + zκ(t), uκ(t) + hfκ(t, uκ(t))] =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 59
= d [zκ(t), hfκ(t, uκ(t))] = d
[
uκ(t+ h)− uκ(t), hfκ(t, uκ(t))
]
,
откуда находим
1
h
d
[
uκ(t+ h), uκ(t) + hfκ(t, u(t))
]
=
= d
[
uκ(t+ h)− uκ(t)
h
, fκ(t, uκ(t))
]
. (16)
Переходя к пределу в соотношении (16), имеем
lim
h→0+
sup
1
h
{
d
[
uκ(t+ h), u(t) + hfκ(t, uκ(t))
]}
=
= lim
h→0+
sup
1
h
{
d
[
uκ(t+ h)− uκ(t)
h
, fκ(t, uκ(t))
]}
=
= d
[
duκ
dt
(t), fκ(t, u(t))
]
(17)
вдоль любого решения uκ(t) системы (13). С учетом соотношения (17) оценка (15) принимает
вид
D+m(t) ≤ g(t,m(t)), m(t0) ≤ ω0, (18)
откуда следует, что
m(t) ≤ r(t; t0, ω0)
при всех t ≥ t0.
Теорема 4 доказана.
Приведем некоторые следствия теоремы 4.
Следствие 1. Пусть выполняются все условия теоремы 4, за исключением условия 2,
вместо которого выполняется неравенство
2′) D+V (t, uκ(t))|(13) ≤ 0.
Тогда V (t, uκ(t)) ≤ V (t0, u0) при всех t ≥ t0.
Следствие 2. Пусть выполняются все условия теоремы 4, за исключением условия 2,
вместо которого выполняется неравенство
2′′) D+V (t, uκ(t))|(13) ≤ −a[ω(t, uκ(t))] + g(t, V (t, uκ(t))), где ω ∈ C(R+ × D(ρ), R+), a
принадлежит K-классу Хана, g(t, ω) — не убывающая по ω при каждом t ∈ R+.
Тогда если V (t0, u0) ≤ ω0, то
V (t, uκ(t)) +
t∫
t0
a[ω(s, uκ(s))] ds ≤ r(t; t0, ω0)
при всех t ≥ t0 и κ ∈ [0, 1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
60 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Сформулируем теперь теорему принципа сравнения с векторной функцией (12) для семей-
ства уравнений (13).
Напомним, что вектор-функция G(t, ω) имеет свойство квазимонотонности, если из того,
что ω1 ≤ ω2 и ωi1 = ωi2 при 1 ≤ i ≤ 2, следует неравенство Gi(t, ω1) ≤ Gi(t, ω2) при любых
ω1, ω2 ∈ R2. Если G(t, ω) = Aω, где A — постоянная (2 × 2)-матрица, то функция G(t, ω)
является квазимонотонной, если aij ≥ 0 при i 6= j.
Теорема 5. Предположим, что для семейства уравнений (13) существуют матрич-
нозначная функция U(t, x), постоянная (2 × 2)-матрица A и вектор θ ∈ R2
+ такие, что
функция (12) удовлетворяет условиям:
1) L(t, u) ∈ C(R+ × En, R2
+) и существует постоянная (2 × 2)-матрица B с неотрица-
тельными элементами такая, что
|L(t, u1)− L(t, u2)| ≤ BD[u1, u2]
при всех (t, u) ∈ R+ ×D(ρ), где D[u1, u2] = (d[u1, v1], d[u2, v2])
T;
2) существует вектор-функция G(t, ω), квазимонотонная по ω при всех t ∈ [t0,∞), такая,
что
D+L(t, uκ(t))|(13) ≤ G(t, L(t, uκ(t))),
где G ∈ C(R+ × R2
+, R2);
3) максимальное решение r(t) = r(t; t0, ω0) векторного дифференциального уравнения
dω
dt
= G(t, ω), ω(t0) = ω0 ≥ 0,
существует при всех t ∈ [t0,∞).
Тогда при начальных условиях L(t0, u0) ≤ ω0 справедлива оценка
L(t, u(t)) ≤ r(t; t0, ω0) (19)
при всех t ≥ t0, для которых существуют решения uκ(t) семейства уравнений (13).
Доказательство теоремы 5 аналогично доказательству теоремы 4.
Следствие 3. Пусть выполняются все условия теоремы 5 с функцией G(t, u) = Au, где
A — постоянная (2 × 2)-матрица с элементами aij ≥ 0, i 6= j, i, j = 1, 2. Тогда оценка (19)
имеет вид
L(t, uκ(t)) ≤ L(t0, u0)eA(t−t0) (20)
при всех t ≥ t0 и κ ∈ [0, 1].
4. Анализ устойчивости движения. Как было отмечено выше, функция diam [u(t)]β яв-
ляется неубывающей при t → ∞. По этой причине непосредственное применение ‖u(t)‖ при
исследовании устойчивости решений уравнения (6) неадекватно динамическим свойствам ре-
шений этого уравнения. Учитывая это обстоятельство, относительно уравнения (6) сделаем
некоторые предположения.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 61
H1. При любом значении α ∈ S уравнение (1) имеет стационарное решение θ0, т. е.
f(t, θ0, α) = θ0 при всех t ∈ [t0,∞).
H2. Для начальных значений u0 ∈ D0(ρ) ⊂ D(ρ) и любого y0 ∈ D0(ρ) существует разность
Хукухары u0 − y0 = ω0.
H3. Решение u(t, t0, w0) уравнения (1) существует при всех t ≥ t0 и единственно.
Таким образом, будем исследовать устойчивость стационарного решения θ0 при выполне-
нии предположений H1 – H3.
Определение 1. Стационарное решение θ0 уравнения (1):
a) устойчиво, если для любых t0 ∈ R+ и ε > 0 существует δ = δ(ε, t0) такое, что
при начальном условии d[ω0, θ0] < δ для любого решения u(t; t0, w0) имеет место оценка
d[u(t; t0, w0), θ0] < ε при всех t ≥ t0;
б) равномерно устойчиво, если в определении 1(а) величина δ не зависит от t0;
в) притягивающее, если для любого t0 ∈ R+ существует δ(t0) > 0 и для любого ξ > 0 суще-
ствует τ(t0, ω0, ξ) ∈ R+ такое, что из условия d[ω0, θ0] < δ(t0) следует, что d[u(t; t0, w0), θ0] <
< ξ при всех t ≥ t0 + τ(t0, ω0, ξ);
г) равномерно притягивающее, если величины δ и τ в определении 1(в) не зависят от t0;
д) асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и притягивающее;
е) равномерно асимптотически устойчиво, если оно равномерно устойчиво и равномерно
притягивающее.
Пример 1. Рассмотрим в E1 уравнение
dx
dt
= αx, x(0) = x0 ∈ E1, (21)
где (α 6= 0) ∈ [−1, 1], которое запишем так:
dxβ1
dt
= αxβ2 , xβ1 = xβ10,
dxβ2
dt
= αxβ1 , xβ2 = xβ20,
(22)
где β ∈ [0, 1]. При этом для начальных значений x0 ∈ E1 по уровням [x0]
β = [xβ10, x
β
20] при
β ∈ [0, 1] общее решение системы (22) имеет вид
[x1(t)]
β =
1
2
(
xβ10 + xβ20
)
eαt +
1
2
(
xβ10 − x
β
20
)
e−αt,
(23)
[x2(t)]
β =
1
2
(
xβ10 + xβ20
)
eαt − 1
2
(
xβ10 − x
β
20
)
e−αt
при всех 0 ≤ β ≤ 1 и t ≥ 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
62 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Из выражений (23) следует, что ко всем β-уровням нулевое решение уравнения (21) неустой-
чиво при сколь угодно малых численных значениях xβ10, x
β
20 и при любом η ∈ [0, 1]. В то же
время эти решения имеют устойчивость при некоторых дополнительных условиях для началь-
ных значений [x0]
β = [xβ10, x
β
20]. А именно, если xβ10+xβ20 = 0 при 0 < α < 1 или xβ10−x
β
20 = 0
при −1 < α < 0 и при всех β ∈ [0, 1], то из формул (23) следует, что [x1(t)]
β и [x2(t)]
β неогра-
ниченно убывают при t → ∞. Эти условия эквивалентны существованию разности Хукухары
[w0]
β для начальных значений [xβ10, x
β
20] при всех β ∈ [0, 1].
Заметим, что устойчивость стационарного решения θ0 рассматривается при начальных воз-
мущениях специального вида. А именно, эти возмущения связаны существованием разности
Хукухары. Устойчивость такого рода в классической теории устойчивости обыкновенных диф-
ференциальных уравнений называется условной устойчивостью, так как начальные возмуще-
ния связаны между собой некоторыми соотношениями.
Приведем теперь некоторые теоремы об устойчивости стационарного решения θ0 нечеткого
уравнения (1) на основе скалярной вспомогательной функции (11).
Теорема 6. Предположим, что дифференциальное уравнение (1) удовлетворяет предпо-
ложениям H1 –H3 и, кроме того:
1) существуют матричнозначная функция (8) и вектор θ ∈ R2
+ такие, что функция
V (t, u) ∈ C(R+ × D(ρ), R+) и |V (t, u1) − V (t, u2)| ≤ Ld[u1, u2], где L > 0 — некоторая
постоянная величина;
2) существуют векторные функции сравнения a, b, принадлежащие K-классу, и постоян-
ные положительно определенные симметрические (2× 2)-матрицы A1 и A2 такие, что
aT(d[u, θ0])A1a(d[u, θ0]) ≤ V (t, u) ≤ bT(t, d[u, θ0])A2b(t, d[u, θ0]) (24)
при всех (t, u) ∈ R+ ×D(ρ);
3) выполняется неравенство
D+V (t, u)|(1) ≤ 0
при всех (t, u) ∈ R+ ×D(ρ).
Тогда стационарное решение θ0 уравнения (1) устойчиво.
Доказательство. При выполнении условия 2 теоремы 6 оценку (24) можно преобразовать
к виду
λm(A1)a(d[u, θ0]) ≤ V (t, u) ≤ λM (A2)b(t, d[u, θ0]) (25)
при всех (t, u) ∈ R+ ×D(ρ), где λm(A1) > 0 и λM (A2) > 0 — минимальное и максимальное
собственные значения матриц A1 и A2 соответственно, а функции сравнения a, b, принадлежа-
щие K-классу, такие, что
a(d[u, θ0]) ≤ aT(d[u, θ0])a(d[u, θ0])
и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 63
b(t, d[u, θ0]) ≥ bT(t, d[u, θ0])b(t, d[u, θ0]).
Пусть заданы 0 < ε < ρ и t0 ∈ R+. Выберем δ = δ(t0, ε) так, что
λM (A2)b(t0, δ) < λm(A1)a(ε). (26)
Покажем, что при таком выборе величины δ стационарное решение θ0 уравнения (1) устойчиво.
Если это не так, то должны существовать решение u(t; t0, w0) и значение t1 > t0 такие, что
d[u(t1), θ0] = ε и d[u(t), θ0] ≤ ε < ρ (27)
при всех t0 ≤ t < t1.
Согласно условию 3 теоремы 6 и следствию 1 имеем
V (t, u(t)) ≤ V (t0, u0) при всех t0 ≤ t ≤ t1. (28)
Отсюда, учитывая оценки (25) и (26), получаем неравенство
λm(A1)a(ε) = λm(A1)a(d[u(t1), θ0]) ≤ V (t1, u(t1)) ≤ V (t0, u0) ≤
≤ λM (A2)b(t0, d[u0, θ0]) < λm(A1)a(ε).
Полученное противоречие доказывает, что при d[ω0, θ0] < δ выполняется неравенство d[u(t; t0,
w0), θ0] < ε при всех t ≥ t0.
Теорема 6 доказана.
Теорема 7. Предположим, что выполняются условия 1, 2 теоремы 6 и вместо условия
3 выполняется условие
3′) существует постоянная β > 0 такая, что
D+V (t, u)|(1) ≤ −βV (t, u)
при всех (t, u) ∈ R+ ×D(ρ) и α ∈ S.
Тогда стационарное решение θ0 уравнения (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. При выполнении условий теоремы 7 выполняются все условия теоремы
6, и, следовательно, стационарное решение θ0 уравнения (1) устойчиво. Пусть ε = ρ и δ0 =
= δ(t0, ρ). При этом, согласно теореме 6, из условия d[u0, θ0] < δ0 следует, что d[u(t), θ0] < ρ
при всех t ≥ t0.
Из условия 3′ теоремы 7 получим
V (t, u(t)) ≤ V (t0, u0) exp[−β(t− t0)]
при всех t ≥ t0. Для заданного ε > 0 выберем величину
τ(t0, ε) =
1
β
ln
λM (A2)b(t0, δ0)
λm(A1)a(ε)
+ 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
64 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Тогда
λm(A1)a(d[u(t), θ0]) ≤ V (t, u(t)) ≤
≤ λM (A2)b(t0, δ) exp[−β(t− t0)] < λm(A1)a(ε)
при всех t ≥ t0+τ(t0, ε). Отсюда следует, что при начальном условии d[ω0, θ0] < δ0 выполняется
оценка
d[u(t; t0, w0), θ0] < ε
при всех t ≥ t0 + τ(t0, ε).
Теорема 7 доказана.
Теорема 8. Предположим, что уравнение (1) удовлетворяет условиям H1 – H3 и, кроме
того:
1) существуют функция (11), при всех (t, u) ∈ R+× (D(ρ)∩Dc(η)) для каждого 0 < η < ρ
функция V ∈ C(R+ × (D(ρ) ∩Dc(η))), и постоянная L > 0 такие, что
|V (t, u1)− V (t, u2)| ≤ Ld[u1, u2];
2) существуют векторные функции сравнения a, b, принадлежащие K-классу, и постоян-
ные симметрические положительно определенные (2× 2)-матрицы A1 и A2 такие, что
aT(d[u, θ0])A1a(d[u, θ0]) ≤ V (t, u) ≤ bT(t, d[u, θ0])A2b(t, d[u, θ0]);
3) при всех (t, u) ∈ R+ × (D(ρ) ∩Dc(η)) и α ∈ S выполняется условие
D+V (t, u)|(1) ≤ 0.
Тогда стационарное решение θ0 уравнения (1) равномерно устойчиво.
Доказательство. Из условия 2 теоремы 8 следует, что
λm(A1)a(d[u, 0]) ≤ V (t, u) ≤ λM (A2)b(d[u, 0])
при всех (t, u) ∈ R+ × (D(ρ) ∩Dc(η)).
Пусть заданы 0 < ε < ρ и t0 ∈ R+. Выберем δ = δ(ε) > 0 так, что
λM (A2)b(δ) < λm(A1)a(ε). (29)
Покажем, что при таком выборе величины δ стационарное решение θ0 уравнения (1) равномер-
но устойчиво. Если это не так, то должны существовать решение u(t) уравнения (1) и моменты
времени t2 > t1 > t0 такие, что d[u(t1), 0] = δ, d[u(t2), 0] = ε и δ ≤ d[u(t), 0] ≤ ε < ρ при
t ∈ [t1, t2].
Положим η = δ, тогда согласно условию 3 теоремы 8 получим оценку
V (t2, u(t2)) ≤ V (t1, u(t1)).
Отсюда следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 65
λm(A1)a(ε) = λm(A1)a(d[u(t2), θ0]) ≤ V (t2, u(t2)) ≤ V (t1, u(t1)) ≤
≤ λM (A2)b(d[u(t1), θ0]) = λM (A2)b(δ) < λm(A1)a(ε).
Полученное противоречие доказывает теорему 8.
Теорема 9. Предположим, что выполняются условия 1, 2 теоремы 8 и, кроме того,
3′) при всех (t, u) ∈ R+ × (D(ρ) ∩Dc(η)) и α ∈ S выполняется неравенство
D+V (t, u)|(1) ≤ −c(d[u, θ0]),
где c принадлежит K-классу.
Тогда стационарное решение θ0 уравнения (1) равномерно асимптотически устойчиво.
Доказательство. При выполнении условий теоремы 9 выполняются все условия теоремы 8
и, следовательно, стационарное решение θ0 уравнения (1) равномерно устойчиво. Пусть ε = ρ и
δ0 = δ0(ρ), тогда из условия d[u0, θ0] < δ0 следует, что d[u(t), θ0] < ρ при всех t ≥ t0. Теорема
9 будет доказана, если покажем, что решение θ0 является притягивающим, т. е. существует
t∗ ≥ t0 такое, что
d[u(t∗), θ0] < δ
при t0 ≤ t∗ ≤ t0 + τ, где τ = 1 +
λM (A2)b(δ0)
λm(A1)a(δ)
.
Пусть это не так, и δ ≤ d[u(t), θ0] при t0 ≤ t ≤ t0 + τ . Тогда из условия 3′ следует, что
V (t, u(t)) ≤ V (t0, u0)−
t∫
t0
c(d[u(s), θ0]) ds
при всех t0 ≤ t ≤ t0 + τ . Отсюда при указанном выше выборе величины τ имеем
0 ≤ V (t0 + τ, u(t0 + τ)) ≤ λM (A2)b(δ0)− c(δ)τ < 0.
Полученное противоречие доказывает, что оценка (27) справедлива, и при d[ω0, θ0] < δ
выполняется неравенство d[u(t; t0, w0), θ0] < ε при всех t ≥ t0 + τ .
Далее применяются функция (12) и теорема 5 для анализа устойчивости стационарного
решения θ0 уравнения (13).
Теорема 10. Предположим, что для уравнения (1) выполняются все условия теоремы 5
и, кроме того, функция
V0(t, u) =
2∑
i=1
Li(t, u) (30)
удовлетворяет оценкам
aT(d[u, θ0])A1a(d[u, θ0]) ≤ V0(t, u) ≤ bT(d[u, θ0])A2b(d[u, θ0]), (31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
66 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
где A1, A2 — постоянные симметрические положительно определенные (2 × 2)-матрицы, а
векторные функции сравнения a, b принадлежат K-классу.
Тогда свойства устойчивости стационарного решения θ0 уравнения (1) следуют из соот-
ветствующих свойств устойчивости нулевого решения системы сравнения
dω
dt
= G(t, ω), ω(t0) = ω0 ≥ 0, (32)
где G ∈ C(R+ × R2
+, R2), G(t, 0) = 0 при всех t ∈ [t0,∞).
Доказательство. Заметим, что динамические свойства решений уравнения (1) и систе-
мы (32) посредством функции
L(t, u) = AU(t, u)θ
(см. (12)) связаны с неравенством
D+L(t, u)|(1) ≤ G(t, L(t, u)) (33)
и с динамическими свойствами нулевого решения системы сравнения (32) оценкой (19). При
определенных ограничениях на функцию (30) и максимальное решение r(t; t0, ω0) системы (32)
нетрудно получить заключение о динамических свойствах стационарного решения θ0 уравне-
ния (1).
Проиллюстрируем описанный подход на примере анализа асимптотической устойчивости
стационарного решения θ0 уравнения (1).
Пусть заданы 0 < ε < ρ и t0 ∈ R+. Предположим, что нулевое решение системы (32)
асимптотически устойчиво. При этом оно устойчиво и для заданных λm(A1)a(ε) > 0 и t0 ∈ R+
существует δ1 = δ1(t0, ε) > 0 такое, что из условия
2∑
i=1
ωi0 < δ1 (34)
следует, что
2∑
i=1
ωi(t; t0, ω0) < λm(A1)a(ε)
при всех t ≥ t0, где ω(t; t0, ω0) — решение системы (29), λm(A1) — минимальное собственное
значение матрицы A1, a принадлежит K-классу и такая, что aT(d[u, θ0])a(d[u, θ0]) ≥ a(d[u, θ0])
в области D(ρ).
Пусть ω0 = V0(t0, u0) и выберем δ = δ(t0, ε) > 0 так, что
λM (A2)b(δ) < λm(A1)a(ε). (35)
Покажем, что если d[ω0, θ0] < δ, то d[u(t; t0, w0), θ0] < ε при всех t ≥ t0, где u(t; t0, y0) —
любое решение уравнения (1). Если это не так, то должно существовать значение t1 > t0 такое,
что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 67
d[u(t1; t0, w0), θ0] = ε и d[u(t; t0, w0), θ0] ≤ ε < ρ (36)
при всех t0 ≤ t ≤ t1. Согласно теореме 5 из оценки (19) следует, что
L(t, u(t)) ≤ r(t; t0, ω0) при t0 ≤ t ≤ t1.
Из неравенства (28) находим
V0(t0, u0) ≤ λM (A2)b(d[u0, 0]) < λM (A2)b(δ) < δ1
и далее
λm(A1)a(ε) ≤ V0(t1, u(t1)) ≤ r0(t1; t0, ω0) < λM (A2)b(ε) < λm(A1)a(ε), (37)
где
r0(t1; t0, ω0) =
2∑
i=1
ri(t; t0, ω0).
Противоречие (37) доказывает, что стационарное решение θ0 нечеткого уравнения (1) устой-
чиво.
Докажем, что оно притягивающее. Пусть ε = ρ и δ̂0 = δ(t0, ρ) > 0. Выберем 0 < η < ρ и
для заданных λm(A1)a(η) и t0 ∈ R+ выберем δ∗1 = δ1(t0) > 0 и τ = τ(t0, η) > 0 так, что из
условия
2∑
i=1
ωi0 < δ∗0 (38)
следует, что
2∑
i=1
ωi(t; t0, ω0) < λm(A1)a(η)
при всех t ≥ t0 + τ .
Пусть ω0 = V0(t0, u0). Определим δ∗0 = δ0(t0) > 0 так, что λM (A2) × b(δ∗0) < δ∗1 . Выберем
δ0 = min(δ∗1 , δ
∗
0) и предположим, что d[ω0, θ0] < δ0. Отсюда следует, что d[u(t; t0, w0), θ0] < ρ
при всех t ≥ t0 и оценка (19) справедлива при всех t ≥ t0. Далее, предположим, что существует
последовательность {tk}, tk ≥ t0 + τ, tk → +∞ при k → +∞ и η ≤ d[u(tk), θ0], где u(t) —
любое решение уравнения (1) с начальными условиями d[ω0, 0] < δ0. Здесь ω0 такое, что
разность Хукухары x0 − y0 = ω0.
Из оценки (31) и условий (38) следует, что
λm(A1)a(η) ≤ V0(tk, u(tk)) ≤ r0(tk, t0, ω0) < λm(A1)a(η). (39)
Противоречие (39) доказывает, что стационарное решение θ0 уравнения (13) притягивающее
и, следовательно, асимптотически устойчиво.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
68 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Пример 2. Рассмотрим уравнение (1) на E1, т. е.
dx
dt
= f(t, x, α), x(t0) = x0, (40)
где x ∈ E1 и f ∈ C(R+ × E1 × S,E1). Пусть существует функция c(t) такая, что:
а) d [f(t, x, α), θ0] ≤ c(t)d[x, θ0] при всех α ∈ S;
б)
∫ ∞
0
c(s)ds ≤ +∞.
Если правая часть уравнения (40) удовлетворяет условиям H1 − H3, то стационарное ре-
шение θ0 ∈ E1 равномерно устойчиво. Действительно, функция V (x) = d[x, θ0] удовлетворяет
всем условиям теоремы 6, так как для любых 0 < k1 < k2 выполняется оценка
k1d[x, θ0] ≤ V (x) ≤ k2d[x, θ0]
и
|V (x)− V (y)| ≤ d[x, y] при всех (x, y) ∈ D0(ρ).
Кроме того, при любом α ∈ G для сколь угодно малого h > 0
V (x+ hf(t, x, α)) = d [x+ hf(t, x, α), θ0] ≤
≤ d[x, θ0] + hd [f(t, x, α), θ0] ≤ d[x, θ0] + hc(t)d[x, θ0].
Из того, что
D+V (x) = lim sup
{
[d [x+ hf(t, x, α), θ0]− d[x, θ0]]h−1 : h→ 0+
}
и оценки (27) следует, что
D+V (x) ≤ c(t)d[x, θ0] при всех α ∈ G.
Отсюда следует, что уравнение
dm(t)
dt
= c(t)m(t), m(t0) = m0 ≥ 0, (41)
является уравнением сравнения для уравнения (40) с функцией V (x) = d [x, θ0]. Известно, что
при выполнении условия б) нулевое решение уравнения (41) равномерно устойчиво и в силу
принципа сравнения такое же свойство имеет стационарное решение θ0 уравнения (40).
5. Критерий устойчивости системы сравнения в одном случае. В условиях теоремы 9
важным является анализ устойчивости нулевого решения системы сравнения (32). В случае,
когда G(t, ω) является автономной вектор-функцией, задача об устойчивости нулевого решения
системы сравнения
dω
dt
= G(ω), ω(t0) = ω0 ≥ 0, (42)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 69
имеет эффективное решение в следующем виде.
Предположим, что система сравнения (42) удовлетворяет таким условиям:
a) вектор-функция G принадлежит C(R2
+,R2) и является квазимонотонной не убывающей
по ω относительно конуса
K =
{
ω ∈ R2 : ωi ≥ 0, i = 1, 2
}
;
б) существует локальное решение ω(t) начальной задачи (37), и оно единственное при
заданных начальных условиях;
в) существует окрестность D∗ точки ω = 0 такая, что при всех ω ∈ D
∗
и при ω 6= 0
G(ω) 6= 0 и G(0) = 0.
Приведем условия равномерной асимптотической устойчивости стационарного решения
уравнения (1) в следующем виде.
Теорема 11. Предположим, что для дифференциального уравнения (1) выполняются сле-
дующие условия:
1) существует матричнозначная функция U(t, x) и выполняется условие 1 теоремы 5;
2) существует вектор-функция G(ω), удовлетворяющая условиям а), в) и такая, что
D+L(t, u)|(1) ≤ G(L(t, u)) (43)
при всех (t, u) ∈ R+ ×D(ρ) и α ∈ S;
3) функция (30) удовлетворяет оценкам (31) в области значений (t, u) ∈ R+ ×D(ρ);
4) для любого δ > 0 система неравенств
Gi(ω1, ω2) < 0, i = 1, 2,
имеет решение ω1, ω2 такое, что 0 < ωi < δ при i = 1, 2.
Тогда стационарное решение θ0 уравнения (1) равномерно асимптотически устойчиво.
Доказательство. При выполнении условия 4 теоремы 11 изолированное нулевое решение
системы (42) равномерно асимптотически устойчиво (см. [6]). Далее, применяя рассуждения
из доказательства теоремы 9, завершаем доказательство теоремы 11.
Следствие 4. Пусть выполняются все условия теоремы 11 с функцией G(ω) = Pω, где
P — постоянная (2 × 2)-матрица с неотрицательными внедиагональными элементами. Если
система неравенств
2∑
j=1
pijωj < 0, i = 1, 2,
имеет решение ω1, ω2 такое, что 0 < ωj при всех j = 1, 2, то стационарное решение θ0
уравнения (1) равномерно асимптотически устойчиво.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
70 А. А. МАРТЫНЮК, Ю. А. МАРТЫНЮК-ЧЕРНИЕНКО
Условие 4 теоремы 11 является необходимым и достаточным для устойчивости нулевого
решения системы сравнения (42). Построение функции (30) на основе векторной функции (12)
позволяет уточнить мажорантуG(L) в неравенстве (43). В свою очередь от точности мажоранты
зависят ограничения на параметры системы сравнения, при которых имеет место равномерная
асимптотическая устойчивость стационарного решения θ0 системы (1).
6. Заключительные замечания. Условия различных типов устойчивости стационарного
решения θ0 получены в работе в терминах существования функций (11), (12) со специальными
свойствами. Поскольку непосредственное построение функции V (t, u), удовлетворяющей оцен-
кам вида (24), затруднительно, применение матричной функции U(t, u) с элементами uij(t, u),
i, j = 1, 2, упрощает эту процедуру. А именно, элементы uii(t, u) при i = 1, 2 строятся для
систем (9), (10) и такие, что
αiia
2
i (d[u, θ0]) ≤ uii(t, u) ≤ αiib2i (t, d[u, θ0]),
где αii > 0, αii > 0, ai принадлежат K-классу Хана, bi — CK-классу Хана, i = 1, 2, при всех
(t, u) ∈ R+ × D(ρ). Элемент u12(t, u) = u21(t, u) сопоставляется с системой (13) и должен
удовлетворять неравенствам
α12ai(d[w, θ0])aj(d[z, θ0]) ≤
≤ uij(t, w, z) ≤ α12bi(t, d[w, θ0])bj(t, d[z, θ0]),
где αij ∈ R и αij ∈ R при i 6= j, i, j = 1, 2, (u = (wT, zT)T) при (t, u) ∈ R+ × D(ρ). При
этом условия определенной положительности и убывания функции V (t, u) формулируются в
терминах знакоопределенности двух (2× 2)-матриц.
Таким образом, исследование динамических свойств решений системы (1) на основе функ-
ций Ляпунова (11) и (12) может оказаться более простой задачей.
1. Мартынюк-Черниенко Ю. A. Неточные динамические системы: Устойчивость и управление движением. –
Киев: Феникс, 2009. – 304 с.
2. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Int. Control. – 1965. – 8. – P. 338 – 353.
3. Lakshmikantham V., Mohapatra R. N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions. – London: Taylor and
Francis, 2003. – 178 p.
4. Плотников А. В., Скрипник Н. В. Дифференциальные уравнения с „четкой” и нечеткой многозначной правой
частью. – Одесса: Астропринт, 2009. – 191 с.
5. Aubin J. P., Cellina A. Differential inclusions. – New York: Springer, 1984.
6. Мартынюк А. А., Оболенский А. Ю. Устойчивость автономных систем Важевского // Дифференц. уравнения.
– 1980. – 16. – С. 1392 – 1407.
Получено 10.11.10,
после доработки — 18.01.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2555 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:43Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/82/9c3492e9a181bd33babe5fe8bed67382.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25552020-03-18T19:29:28Z Stability of motion of nonlinear systems with fuzzy characteristics of parameters Устойчивость движения нелинейных систем с нечеткой характеристикой параметров Martynyuk, A. A. Martynyuk-Chernienko, Yu. A. Мартынюк, А. А. Мартынюк-Черниенко, Ю. А. Мартынюк, А. А. Мартынюк-Черниенко, Ю. А. We investigate the stability of a stationary solution of a fuzzy dynamical system by a generalized Lyapunov direct method. Дослiджується стiйкiсть стацiонарного розв’язку неточної динамiчної системи на основi узагальненого прямого методу Ляпунова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2555 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 1 (2012); 50-70 Український математичний журнал; Том 64 № 1 (2012); 50-70 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2555/1869 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2555/1870 Copyright (c) 2012 Martynyuk A. A.; Martynyuk-Chernienko Yu. A. |
| spellingShingle | Martynyuk, A. A. Martynyuk-Chernienko, Yu. A. Мартынюк, А. А. Мартынюк-Черниенко, Ю. А. Мартынюк, А. А. Мартынюк-Черниенко, Ю. А. Stability of motion of nonlinear systems with fuzzy characteristics of parameters |
| title | Stability of motion of nonlinear systems with fuzzy characteristics of parameters |
| title_alt | Устойчивость движения нелинейных систем с нечеткой характеристикой параметров |
| title_full | Stability of motion of nonlinear systems with fuzzy characteristics of parameters |
| title_fullStr | Stability of motion of nonlinear systems with fuzzy characteristics of parameters |
| title_full_unstemmed | Stability of motion of nonlinear systems with fuzzy characteristics of parameters |
| title_short | Stability of motion of nonlinear systems with fuzzy characteristics of parameters |
| title_sort | stability of motion of nonlinear systems with fuzzy characteristics of parameters |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2555 |
| work_keys_str_mv | AT martynyukaa stabilityofmotionofnonlinearsystemswithfuzzycharacteristicsofparameters AT martynyukchernienkoyua stabilityofmotionofnonlinearsystemswithfuzzycharacteristicsofparameters AT martynûkaa stabilityofmotionofnonlinearsystemswithfuzzycharacteristicsofparameters AT martynûkčernienkoûa stabilityofmotionofnonlinearsystemswithfuzzycharacteristicsofparameters AT martynûkaa stabilityofmotionofnonlinearsystemswithfuzzycharacteristicsofparameters AT martynûkčernienkoûa stabilityofmotionofnonlinearsystemswithfuzzycharacteristicsofparameters AT martynyukaa ustojčivostʹdviženiânelinejnyhsistemsnečetkojharakteristikojparametrov AT martynyukchernienkoyua ustojčivostʹdviženiânelinejnyhsistemsnečetkojharakteristikojparametrov AT martynûkaa ustojčivostʹdviženiânelinejnyhsistemsnečetkojharakteristikojparametrov AT martynûkčernienkoûa ustojčivostʹdviženiânelinejnyhsistemsnečetkojharakteristikojparametrov AT martynûkaa ustojčivostʹdviženiânelinejnyhsistemsnečetkojharakteristikojparametrov AT martynûkčernienkoûa ustojčivostʹdviženiânelinejnyhsistemsnečetkojharakteristikojparametrov |