Best approximation of periodic functions of several variables from the classes $MB^{\omega}_{p,\theta}$
We obtain exact-order estimates for the best approximation of periodic functions of several variables from the classes $MB^{\omega}_{p,\theta}$ by trigonometric polynomials with the "numbers" of harmonics from graded hyperbolic crosses in the metric of the space $L_q$.
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2561 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508476303736832 |
|---|---|
| author | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Стасюк, С. А. |
| author_facet | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Стасюк, С. А. |
| author_sort | Stasyuk, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:29:28Z |
| description | We obtain exact-order estimates for the best approximation of periodic functions of several variables from the classes $MB^{\omega}_{p,\theta}$
by trigonometric polynomials with the "numbers" of harmonics from graded hyperbolic crosses in the metric of the space $L_q$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.51
С. А. Стасюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ИЗ КЛАССОВ MBω
p, θ
*
We obtain exact-order estimates for the best approximation of periodic functions of several variables from the classes
MBω
p,θ by trigonometric polynomials with the “numbers” of harmonics from graded hyperbolic crosses in the metric of
the space Lq.
Одержано точнi за порядком оцiнки найкращого наближення в метрицi простору Lq перiодичних функцiй кiль-
кох змiнних iз класiв MBω
p,θ тригонометричними полiномами з „номерами” гармонiк iз схiдчастих гiперболiчних
хрестiв.
1. Введение. В настоящей работе решаются задачи приближения на классах MBΩ
p,θ периоди-
ческих функций нескольких переменных смешанной гладкости (определение см., например, в
[1, 2]) в случае, когда гладкостная функция Ω имеет вид
Ω(t) = ω(t1 . . . td)
(при таких Ω(t) будем пользоваться обозначениемMBω
p,θ), а ω(τ) — функция одной переменной
типа модуля непрерывности порядка l, l ∈ N, которая удовлетворяет условию Бари – Стечкина
(определение см. ниже). Если ω(τ) = τ r, 0 < r < l, то классы MBω
p,θ совпадают с известными
классами Никольского – Бесова MBr
p,θ — единичными шарами в пространстве Br
p,θ.
В [1, 3 – 5] были найдены точные по порядку оценки величин
EQ1
n
(MBω
p,θ)q := sup
f∈MBωp,θ
EQ1
n
(f)q := sup
f∈MBωp,θ
inf
t∈T (Q1
n)
‖f − t‖q
— наилучшего приближения классов MBω
p,θ тригонометрическими полиномами с гармониками
из ступенчатых гиперболических крестов Q1
n =
⋃
(s,1)≤n
ρ(s) ((s, 1) = s1 + . . . + sd, ρ(s) =
= {k = (k1, . . . , kd) : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , sj ∈ N, kj ∈ Z, j = 1, . . . , d}, T (Q1
n) — множество
тригонометрических полиномов с „номерами” гармоник из Q1
n).
Целью настоящей работы является получение слабой асимптотики величин EQ1
n
(MBω
p,θ)q
при не рассмотренных ранее соотношениях между параметрами p и q, а именно при „крайних”
значениях параметров p и q, т. е. когда оба или один из них принимают значение, равное 1
или∞.
Приведем необходимые в дальнейшем обозначения и определения.
Пусть Rd, d ≥ 1, обозначает d-мерное евклидово пространство с элементами x = (x1, . . .
. . . , xd), (x, y) = x1y1 + . . . + xdyd. Lp(Td), 1 ≤ p ≤ ∞, Td =
∏d
j=1
[−π;π), — пространство
2π-периодических по каждой переменной функций f(x) = f(x1, . . . , xd) с конечной нормой
*Выполнена при поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины (проект
№ GP/F32/0100).
c© С. А. СТАСЮК, 2012
140 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ . . . 141
‖f‖p =
(2π)−d
∫
Td
|f(x)|pdx
1/p
, 1 ≤ p <∞,
‖f‖∞ = ess sup
x∈Td
|f(x)| при p =∞.
Опишем условие Бари – Стечкина (S) [6], которое понадобится при определении классов
MBω
p,θ и при формулировке соответствующих результатов.
Функция одной переменной ω(τ) ≥ 0 удовлетворяет условию (S), если ω(τ)/τα почти
возрастает при некотором α > 0, т. е. существует такая независимая от τ1 и τ2 постоянная
C > 0, что
ω(τ1)
τα1
≤ C ω(τ2)
τα2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Теперь дадим определение самих классов MBω
p,θ.
Пусть Vn(t), n ∈ N, обозначает ядро Валле Пуссена порядка 2n− 1 вида
Vn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
cos kt+ 2
2n−1∑
k=n+1
(
1− k − n
n
)
cos kt
(для n = 1 вторую сумму полагаем равной нулю). Для s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, . . . , d,
положим
As(x) :=
d∏
j=1
(
V2sj (xj)− V2sj−1(xj)
)
и для f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, через As(f) обозначим свертку As(f) = f ∗As.
При 1 ≤ p ≤ ∞ класс MBω
p,θ определяется следующим образом:
MBω
p,θ =
{
f ∈ Lp(πd) : ‖f‖MBωp,θ
≤ 1
}
,
где
‖f‖MBωp,θ
=
(∑
s
(
ω(2−(s,1))
)−θ
‖As(f)‖θp
)1/θ
, 1 ≤ θ <∞, (1)
‖f‖MBωp,∞ = sup
s
‖As(f)‖p
ω(2−(s,1))
. (2)
Отметим, что в [4] (при θ =∞) и в [5] (при 1 ≤ θ <∞) установлено, что при 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞
(за исключением случаев p = q =∞ и 2 < p ≤ ∞, q = 1) выполняется порядковое равенство
EQ1
n
(MBω
p,θ)q � ω(2−n)n(d−1)(1/p0−1/θ)+ , (3)
где p0 = min{p; 2}, a+ = max{a; 0}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
142 С. А. СТАСЮК
2. Основные результаты. Имеют место следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть 2 < p ≤ ∞, q = 1, 1 ≤ θ ≤ 2 или p = q =∞, θ = 1, тогда при любом
d ≥ 1 выполняется порядковая оценка
EQ1
n
(MBω
p,θ)q � ω(2−n). (4)
Теорема 2. Пусть d = 2, тогда справедливы соотношения
EQ1
n
(MBω
p,θ)q �
ω(2−n)n1−1/θ, если p = q =∞, 1 < θ ≤ ∞,
ω(2−n)n1/2−1/θ, если 2 < p ≤ ∞, q = 1, 2 < θ ≤ ∞.
(5)
Доказательство. Доказательство оценок сверху в (4), (5) будем проводить в d-мерном
(d ≥ 1) случае. Оценка сверху в (4), (5) при q = 1 вытекает из (3) вследствие вложения
MBω
p,θ ⊂MBω
2,θ, 2 < p ≤ ∞.
В случае p = q =∞, воспользовавшись неравенством Гельдера и приняв во внимание, что
ω(τ) удовлетворяет условию (S) с некоторым α > 0, для произвольной функции f ∈ MBω
∞,θ
будем иметь
EQ1
n
(f)∞ ≤
∥∥∥∥∥∥
∑
(s,1)>n
As(f)
∥∥∥∥∥∥
∞
≤
∑
(s,1)>n
‖As(f)‖∞ ≤
≤
∑
(s,1)>n
(ω(2−(s,1)))−θ‖As(f)‖θp
1/θ ∑
(s,1)>n
(
ω(2−(s,1))
2−α(s,1)
)θ′
2−αθ
′(s,1)
1/θ′
�
� ‖f‖MBωp,θ
ω(2−n)
2−αn
∑
(s,1)>n
2−αθ
′(s,1)
1/θ′
� ω(2−n)
2−αn
2−αnn(d−1)/θ′ = ω(2−n)n(d−1)(1−1/θ),
где 1/θ + 1/θ′ = 1.
Оценки сверху установлены.
Доказательство оценок снизу в (4), (5) будет базироваться на построении соответствующих
экстремальных функций.
Рассмотрим функции
ϕ1(x) =
m∑
s′1=0
ei(4
s′1x1+4m−s
′
1x2) и ϕ2(x) =
m∑
s′1=0
cos 4s
′
1x1 cos 4m−s
′
1x2,
а также
gj(x) = Cj ω(2−n)n−1/θϕj(x), j = 1, 2.
При θ =∞ полагаем
1
θ
= 0. Рассмотрим множество S(m) = {s : s = 2s′, s′1 + s′2 = m}, где
s′ = (s′1, s
′
2) ∈ Z2
+. Очевидно, что при θ =∞ и s ∈ S(m) выполняются порядковые неравенства
||As(gj)||∞ � ω(2−(s,1)), j = 1, 2, (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ . . . 143
поэтому, учитывая определение (1) нормы в MBω
∞,θ и #S(m) � m, при 1 ≤ θ <∞ и n = 2m
имеем
||gj ||MBω∞,θ
� n−1/θ
∑
s∈S(m)
(ω−1(2−(s,1))ω(2−(s,1)))θ
1/θ
� 1. (7)
Из (6) и (7) делаем вывод, что согласно (1), (2) gj ∈MBω
∞,θ, 1 ≤ θ ≤ ∞, при определенном
значении Cj > 0, j = 1, 2.
В [7] (гл. 3, § 3) доказано, что
EQ1
2m−1
(ϕ1)1 � m1/2, EQ1
2m−1
(ϕ2)∞ � m,
поэтому
EQ1
n−1
(MBω
p,θ)1 ≥ EQ1
2m−1
(MBω
∞,θ)1 ≥ EQ1
2m−1
(g1)1 �
� ω(2−n)n−1/θEQ1
2m−1
(ϕ1)1 � ω(2−n)n1/2−1/θ
для 2 < p ≤ ∞, q = 1, 2 < θ ≤ ∞, а для p = q =∞, 1 < θ ≤ ∞
EQ1
n−1
(MBω
∞,θ)∞ ≥ EQ1
2m−1
(g1)∞ � ω(2−n)n−1/θEQ1
2m−1
(ϕ2)∞ � ω(2−n)n1−1/θ.
Таким образом, соотношение (5) доказано.
Установим теперь оценку снизу в (4).
Рассмотрим сначала случай 2 < p ≤ ∞, q = 1, 1 ≤ θ ≤ 2. В качестве экстремальной
выберем функцию
g3(x) = C3 ω(2−n)ei(2
s̃1x1+···+2s̃dxd), C3 > 0,
где (s̃, 1) = n+ 1, s̃ = (s̃1, . . . , s̃d) ∈ Nd.
Несложно проверить, что g3 ∈ MBω
p,θ при некотором значении C3 > 0. Таким образом,
имеем
EQ1
n
(MBω
p,θ)1 ≥ EQ1
n
(g3)1 = ‖g3‖1 � ω(2−n). (8)
Наконец, в случае p = q =∞, θ = 1, как и в (8), получаем
EQ1
n
(MBω
∞,1)∞ ≥ EQ1
n
(g3)∞ = ‖g3‖∞ � ω(2−n).
Заметим, что соответствующие оценки снизу в (4), вследствие независимости правой части
(4) от размерности d, также следуют из одномерного случая (см., например, [8]).
Оценки снизу установлены.
Теорема доказана.
В завершение работы приведем некоторые комментарии.
При ω(τ) = τ r, r > 0, теоремы 1 и 2 содержат соответствующие результаты и для классов
MBr
p,θ, в частности, случаи p = q = ∞ и p = ∞, q = 1 при d = 2, θ = ∞ рассмотрены в [7]
(гл. 3, § 3), 1 ≤ θ ≤ 2, q = 1, 2 < p < ∞ — в [9], 2 < θ < ∞, q = 1, 2 < p ≤ ∞ — в [10], а
p = q =∞, 1 ≤ θ <∞ — в [11].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
144 С. А. СТАСЮК
1. Пустовойтов Н. Н. Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным
смешанным модулем непрерывности // Anal. Math. – 1994. – 20, № 1. – P. 35 – 48.
2. Стасюк С. А., Федуник О. В. Апроксимативнi характеристики класiв BΩ
p,θ перiодичних функцiй багатьох
змiнних // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 5. – С. 692 – 704.
3. Sun Yongsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic functions with bounded
mixed moduli of smoothness // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1997. – 219. – С. 356 – 377.
4. Пустовойтов Н. Н. О приближении и характеризации периодических функций многих переменных, имеющих
мажоранту смешанных модулей непрерывности специального вида // Anal. Math. – 2003. – 29, № 3. – P. 201 –
218.
5. Стасюк С. А. Наилучшие приближения периодических функций многих переменных из классов BΩ
p,θ // Мат.
заметки. — 2010. – 87, № 1. – С. 108 – 121.
6. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций
// Тр. Моск. мат. о-ва. – 1952. – 2. – С. 489 – 523.
7. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci., 1993. – 419 p.
8. Стасюк С. А. Наближення класiв Bω
p,θ перiодичних функцiй багатьох змiнних полiномами зi спектром в
кубiчних областях // Мат. студ. – 2011. – 35, № 1. – С. 66 – 73.
9. Романюк А. С. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций многих переменных
// Мат. сб. – 2008. – 199, № 2. – С. 93 – 114.
10. Романюк А. С. Приближение классов Br
p,θ периодических функций одной и многих переменных // Мат.
заметки. – 2010. – 87, № 3. – С. 429 – 442.
11. Романюк А. С. Поперечники и наилучшее приближение классов Br
p,θ периодических функций многих пере-
менных // Anal. Math. – 2011. – 37, № 3. – P. 171 – 213.
Получено 07.10.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-2561 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:49Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/33/02fd1bc3a7ff7017dcf06d17d9788333.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25612020-03-18T19:29:28Z Best approximation of periodic functions of several variables from the classes $MB^{\omega}_{p,\theta}$ Наилучшее приближение периодических функций нескольких переменных из классов $MB^{\omega}_{p,\theta}$ Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Стасюк, С. А. We obtain exact-order estimates for the best approximation of periodic functions of several variables from the classes $MB^{\omega}_{p,\theta}$ by trigonometric polynomials with the "numbers" of harmonics from graded hyperbolic crosses in the metric of the space $L_q$. Одержано точнi за порядком оцiнки найкращого наближення в метрицi простору $L_q$ перiодичних функцiй кiлькох змiнних iз класiв $MB^{\omega}_{p,\theta}$ тригонометричними полiномами з „номерами” гармонiк iз схiдчастих гiперболiчних хрестiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2561 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 1 (2012); 140-144 Український математичний журнал; Том 64 № 1 (2012); 140-144 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2561/1881 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2561/1882 Copyright (c) 2012 Stasyuk S. A. |
| spellingShingle | Stasyuk, S. A. Стасюк, С. А. Стасюк, С. А. Best approximation of periodic functions of several variables from the classes $MB^{\omega}_{p,\theta}$ |
| title | Best approximation of periodic functions of several variables from the classes $MB^{\omega}_{p,\theta}$ |
| title_alt | Наилучшее приближение периодических функций нескольких переменных из классов $MB^{\omega}_{p,\theta}$ |
| title_full | Best approximation of periodic functions of several variables from the classes $MB^{\omega}_{p,\theta}$ |
| title_fullStr | Best approximation of periodic functions of several variables from the classes $MB^{\omega}_{p,\theta}$ |
| title_full_unstemmed | Best approximation of periodic functions of several variables from the classes $MB^{\omega}_{p,\theta}$ |
| title_short | Best approximation of periodic functions of several variables from the classes $MB^{\omega}_{p,\theta}$ |
| title_sort | best approximation of periodic functions of several variables from the classes $mb^{\omega}_{p,\theta}$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2561 |
| work_keys_str_mv | AT stasyuksa bestapproximationofperiodicfunctionsofseveralvariablesfromtheclassesmbomegaptheta AT stasûksa bestapproximationofperiodicfunctionsofseveralvariablesfromtheclassesmbomegaptheta AT stasûksa bestapproximationofperiodicfunctionsofseveralvariablesfromtheclassesmbomegaptheta AT stasyuksa nailučšeepribliženieperiodičeskihfunkcijneskolʹkihperemennyhizklassovmbomegaptheta AT stasûksa nailučšeepribliženieperiodičeskihfunkcijneskolʹkihperemennyhizklassovmbomegaptheta AT stasûksa nailučšeepribliženieperiodičeskihfunkcijneskolʹkihperemennyhizklassovmbomegaptheta |