Classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable
We give a classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2564 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508483066003456 |
|---|---|
| author | Derech, V. D. Дереч, В. Д. |
| author_facet | Derech, V. D. Дереч, В. Д. |
| author_sort | Derech, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:29:46Z |
| description | We give a classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is
permutable. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.534.5
В. Д. Дереч (Вiнниц. нац. техн. ун-т)
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ КОМУТАТИВНИХ НАПIВГРУП,
ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД ЛОКАЛЬНИХ АВТОМОРФIЗМIВ
Є ПЕРЕСТАВНИМ
We give a classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is
permutable.
Дана классификация конечных коммутативных полугрупп, для которых инверсный моноид локальных автоморфиз-
мов является переставным.
Локальним автоморфiзмом напiвгрупи S називають iзоморфiзм мiж двома її пiднапiвгрупами.
Множина усiх локальних автоморфiзмiв напiвгрупи S вiдносно звичайної операцiї композицiї
бiнарних вiдношень утворює iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв. Цей моноїд позна-
чатимемо через PA(S). У бiльшостi статей, що стосуються напiвгрупи PA(S), розглядається
проблема опису таких напiвгруп B, що PA(B) ∼= PA(S) для даної напiвгрупи S. Важливою
також є проблема знаходження взаємозв’язкiв мiж властивостями напiвгрупи S i властивостями
iнверсної напiвгрупи PA(S). Зокрема, у статтi [1] (крiм iншого) знайдено структуру групи G,
для якої iнверсний моноїд PA(G) є клiфордовим. У роботi [2] дано опис iнверсних напiвгруп
S, для яких iнверсний моноїд усiх локальних автоморфiзмiв мiж iнверсними пiднапiвгрупами
напiвгрупи S є цiлком напiвпростим або фундаментальним.
Вiдомо [3], що iнверсна напiвгрупа локальних автоморфiзмiв скiнченновимiрного лiнiйного
простору є переставною (тобто будь-якi двi її конгруенцiї комутують вiдносно композицiї).
Аналогiчне твердження має мiсце i для iнверсної напiвгрупи локальних автоморфiзмiв скiн-
ченної напiвгрупи лiвих нулiв (яка, зрозумiло, iзоморфна скiнченнiй симетричнiй iнверснiй
напiвгрупi). Пiсля цього цiлком природно виникає задача знаходження структури таких напiв-
груп, iнверснi моноїди локальних автоморфiзмiв яких є переставними. У статтi [4] цю задачу
розв’язано для скiнченної в’язки, а також скiнченної комутативної iнверсної напiвгрупи. У
пропонованiй роботi ми класифiкуємо скiнченнi комутативнi напiвгрупи, для яких iнверсний
моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним. Результати даної статтi можна вважати про-
довженням i розвитком (для скiнченного випадку) результатiв, одержаних у [4]. Основним
результатом статтi є теорема з п. 2.
1. Основнi означення i термiнологiя. Напiврешiтка E називається напiврешiткою скiн-
ченної довжини, якщо iснує натуральне число n таке, що довжина будь-якого ланцюжка з E не
перевищує число n.
Нехай S — довiльна напiвгрупа, а N0 — множина всiх невiд’ємних цiлих чисел. Функцiю
rank: S → N0 називають ранговою на напiвгрупi S, якщо для будь-яких a, b ∈ S виконується
нерiвнiсть rank(ab) ≤ min(rank(a), rank(b)). Число rank(x) називають рангом елемента x.
Нехай S — iнверсна напiвгрупа, напiврешiтка iдемпотентiв якої має скiнченну довжину.
Функцiя rank(a) = h(aa−1), де h(aa−1) — висота iдемпотента aa−1 у напiврешiтцi iдемпотентiв
напiвгрупи S, є ранговою функцiєю (див. [5]). Скажемо, що iнверсна напiвгрупа є напiвгрупою
скiнченного рангу, якщо напiврешiтка її iдемпотентiв має скiнченну довжину.
c© В. Д. ДЕРЕЧ, 2012
176 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ КОМУТАТИВНИХ НАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 177
Нехай S — довiльна напiвгрупа. Решiтку всiх її пiднапiвгруп будемо позначати через Sub(S).
Якщо напiвгрупа S мiстить найменшу непорожню пiднапiвгрупу (наприклад, одинична пiдгру-
па в групi), то найменшим елементом Sub(S) вважатимемо саме цю пiднапiвгрупу. Якщо ж
найменшої непорожньої пiднапiвгрупi в S не iснує, то найменшим елементом Sub(S) будемо
вважати порожню множину ∅. Легко зрозумiти, що решiтка iдемпотентiв iнверсної напiвгрупи
PA(S) iзоморфна решiтцi Sub(S).
Якщо ϕ ∈ PA(S), то через dom(ϕ) i im(ϕ) будемо позначати вiдповiдно область визначен-
ня i множину значень локального автоморфiзму ϕ. Якщо A ∈ Sub(S), то через ∆A будемо
позначати вiдношення рiвностi на пiднапiвгрупi A.
Нехай P — впорядкована множина з найменшим елементом 0. Через ≺ будемо позначати
вiдношення покриття. Якщо 0 ≺ a, то елемент a називають атомом впорядкованої множини P.
Якщо E — нетривiальна напiврешiтка скiнченної довжини, то, очевидно, вона мiстить атоми.
Нетривiальну напiврешiтку називають примiтивною, якщо кожний її ненульовий елемент є
атомом.
Напiврешiтку називають ланцюгом, якщо вона лiнiйно впорядкована вiдносно канонiчного
порядку.
Напiвгрупа називається переставною, якщо будь-якi двi її конгруенцiї комутують вiдносно
звичайної операцiї композицiї бiнарних вiдношень.
Якщо S — iнверсна напiвгрупа, то через E(S) позначають напiврешiтку всiх iдемпотентiв
напiвгрупи S.
Абелева група G називається елементарною абелевою p-групою (p — просте число), якщо
будь-який її вiдмiнний вiд одиницi елемент має порядок p.
Напiвгрупа S з нулем називається нiльпотентною, якщо для будь-якого елемента x ∈ S
iснує натуральне число n таке, що xn = 0.
Напiвгрупу S називають архiмедовою, якщо для довiльних елементiв a, b ∈ S iснують
натуральнi числа m i k такi, що am ∈ SbS i bk ∈ SaS.
Всi iншi необхiднi поняття з теорiї напiвгруп можна знайти в [6].
Зауважимо, що всi напiвгрупи, що розглядаються в цiй статтi, є скiнченними. Тому пiд
термiном „напiвгрупа” ми розумiємо „скiнченна напiвгрупа”.
2. Нiльпотентна напiвгрупа з переставним iнверсним моноїдом локальних автоморфiз-
мiв. Насамперед сформулюємо кiлька тверджень, якi нам знадобляться у подальших викладках.
Твердження 1 (див. [3], теорема 2). Нехай S — iнверсна напiвгрупа скiнченного рангу з
нулем. Тодi S є переставною в тому i лише в тому випадку, коли виконуються такi двi умови:
1) якщо для будь-яких a, b ∈ S rank(a) = rank(b), то SaS = SbS;
2) для будь-якого e ∈ E(S)(rank(e) ≥ 2) iснують iдемпотенти f i g такi, що f 6= g,
f < e, g < e i rank(f) = rank(g) = rank(e)− 1.
Зауваження (див. [3], теорема 1). Якщо ранг довiльного елемента нетривiальної iнверсної
напiвгрупи S з нулем не перевищує 1, то напiвгрупа S переставна тодi i лише тодi, коли вона
є напiвгрупою Брандта.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
178 В. Д. ДЕРЕЧ
Твердження 2 (див. [4], теорема 1). Нехай S — скiнченна напiвгрупа. Iдеали напiвгрупи
PA(S) лiнiйно впорядкованi тодi i тiльки тодi, коли в решiтцi Sub(S) неiзоморфнi пiднапiв-
групи мають рiзнi висоти.
Оскiльки скiнченна комутативна напiвгрупа є напiврешiткою архiмедових напiвгруп (див.
[7]), то природно нашi дослiдження розпочати саме з архiмедових напiвгруп.
Лема 1. Нехай S — комутативна архiмедова напiвгрупа, для якої iнверсний моноїд PA(S)
є переставним. Тодi S є або нiльпотентною напiвгрупою, або групою.
Доведення. Вiдомо (див. [8]), що скiнченна комутативна архимiдова напiвгрупа є або нiль-
потентною напiвгрупою, або iдеальним розширенням нетривiальної групи за допомогою нiль-
потентної напiвгрупи. Припустимо, що напiвгрупа S вiдмiнна вiд групи i є iдеальним розширен-
ням нетривiальної групи G за допомогою нiльпотентної напiвгрупи. Згiдно з твердженням 1
напiвгрупа S мiстить пiднапiвгрупу A таку, що h(A) = h(G) i A 6= G. Оскiльки h(A) = h(G),
то згiдно з твердженням 2 A ∼= G. Тобто A — група. Позаяк напiвгрупа S мiстить лише один
iдемпотент, то одиниця групи G є разом з тим одиницею групи A. Позначимо iдемпотент напiв-
групи S через e. Оскiльки A 6= G i A * G, то iснує елемент a ∈ A такий, що a /∈ G. Оскiльки
e ∈ G i G — iдеал напiвгрупи S, то ae ∈ G. Позаяк iдемпотент e є одиницею групи G, то a ∈ G.
Суперечнiсть. Таким чином, напiвгрупа S є або групою, або нiльпотентною напiвгрупою.
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай S — комутативна напiвгрупа, для якої iнверсний моноїд PA(S) є пере-
ставним. Тодi S є або групою, або напiврешiткою, або нiльпотентною напiвгрупою.
Доведення. Визначимо на S бiнарне вiдношення η таким чином: (a, b) ∈ η тодi i лише
тодi, коли кожен з елементiв a i b дiлить деякий степiнь iншого. Вiдомо (див. [7]), що бiнарне
вiдношення η є конгруенцiєю, до того ж фактор-напiвгрупа S/η є напiврешiткою, а кожний клас
конгруенцiї η — архiмедовою напiвгрупою. Припустимо, що |S/η| ≥ 2. Покажемо, що в цьому
випадку напiвгрупа S є напiврешiткою, тобто кожний клас конгруенцiї η одноелементний.
Припустимо, що iснує клас A конгруенцiї η такий, що |A| ≥ 2. Оскiльки напiвгрупа A є
скiнченною архiмедовою напiвгрупою, то згiдно з класифiкацiєю архiмедових напiвгруп (див.
[8]) вона є або нiльпотентною напiвгрупою, або iдеальним розширенням нетривiальної групи за
допомогою нiльпотентної напiвгрупи. Припустимо, що A – нiльпотентна напiвгрупа. Оскiльки
|A| ≥ 2, то iснує елемент a ∈ A (який не є iдемпотентом) такий, що a2 = f, де f— єдиний
iдемпотент з класу A. Зрозумiло, що iдемпотенти напiвгрупи S утворюють напiврешiтку, яку
ми позначимо через E(S).
Проаналiзуємо можливi випадки.
Випадок 1. Iдемпотент f є найменшим у напiврешiтцi E(S).
Нехай b — iдемпотент, вiдмiнний вiд f (такий iснує, бо |S/η| ≥ 2 ). Розглянемо двi пiд-
напiвгрупи: C = {a, f} i B = {b, f}. Пiднапiвгрупа C є нiльпотентною, а пiднапiвгрупа B —
напiврешiткою. Оскiльки h(C) = h(B), то згiдно з твердженням 2 C ∼= B. Суперечнiсть.
Випадок 2. Iдемпотент f не є найменшим у напiврешiтцi E(S).
Позначимо через e найменший iдемпотент напiврешiтки E(S). Очевидно, що пiднапiв-
група {f, e} є напiврешiткою, а пiднапiвгрупа {a, f} — нiльпотентною напiвгрупою. Оскiльки
h({f, e}) = h({f, a}), то згiдно з твердженням 2 {f, e} ∼= {f, a}. Суперечнiсть.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ КОМУТАТИВНИХ НАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 179
Припустимо тепер, що A є iдеальним розширенням нетривiальної групи G за допомогою
нiльпотентної напiвгрупи.
Розглянемо можливi випадки.
Випадок A. Iдемпотент f ∈ A є найменшим у напiврешiтцi E(S).
Зрозумiло, що групаG мiстить просту нетривiальну пiдгрупуH. Далi, нехай b — iдемпотент,
вiдмiнний вiд f. Пiднапiвгрупа B = {b, f} є напiврешiткою. Оскiльки h(H) = h(B) = 2, то
згiдно з твердженням 2 H ∼= B. Суперечнiсть.
Випадок B. Iдемпотент f ∈ A не є найменшим у напiврешiтцi E(S).
Нехай e — найменший iдемпотент в E(S). Позаяк h({e, f}) = h(H) = 2, то згiдно з
твердженням 2 H ∼= {e, f}. Суперечнiсть.
Таким чином, припущення, що деякий клас конгруенцiї η не є одноелементним, призводить
нас до суперечностi. Отже, S — напiврешiтка.
Якщо ж |S/η| = 1, то напiвгрупа S є архiмедовою, а отже, згiдно з лемою 1 або нiльпотент-
ною напiвгрупою, або групою.
Лему 2 доведено.
У статтi [4] показано, що клас скiнченних комутативних груп, для яких iнверсний моноїд
PA(S) є переставним, збiгається з класом елементарних абелевих p-груп. У цiй статтi також
доведено, що ланцюгами i примiтивними напiврешiтками вичерпується клас напiврешiток, для
яких iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним. Отже, з огляду на лему 2 нам
залишається розглянути скiнченнi нiльпотентнi напiвгрупи.
Доведемо декiлька лем.
Лема 3. Нехай S — комутативна нiльпотентна напiвгрупа. Якщо iнверсний моноїд
PA(S) є переставним, то для довiльного x ∈ S має мiсце рiвнiсть x2 = 0.
Доведення. Нехай a ∈ S i a 6= 0. Припустимо, що a2 6= 0. Тодi циклiчна пiднапiвгрупа
〈a〉 мiстить щонайменше 3 елементи. Позначимо через A множину 〈a〉\{a}. Очевидно, що A
— пiднапiвгрупа напiвгрупи 〈a〉. Далi, згiдно з твердженням 1 iснує пiднапiвгрупа C така, що
C ⊆ 〈a〉, A 6= C i h(A) = h(C). Оскiльки C є власною пiднапiвгрупою напiвгрупи 〈a〉, то,
очевидно, a /∈ C. Звiдси легко випливає, що C ⊆ A. А оскiльки A 6= C, то C ⊂ A (строге
включення). Звiдси h(C) < h(A). Суперечнiсть.
Лему 3 доведено.
Лема 4. Нехай H — комутативна нiльпотентна напiвгрупа, для якої моноїд PA(H) є
переставним. Якщо |H| ≤ 3, то H є напiвгрупою з нульовим множенням.
Доведення. Якщо |H| = 1 або |H| = 2, то немає чого доводити. Припустимо, що |H| = 3.
Тобто H = {0, x, y}. Згiдно з попередньою лемою x2 = 0 i y2 = 0. Позаяк xy 6= x i xy 6= y, то
xy = 0. Отже, H є напiвгрупою з нульовим множенням.
Лему 4 доведено.
Далi будемо вважати, що нiльпотентна напiвгрупа мiстить щонайменше 4 елементи.
Нехай H (|H| = n) — напiвгрупа з нульовим множенням. Легко зрозумiти, що iнверсний
моноїд PA(H) iзоморфний ISn−1 — симетричнiй iнверснiй напiвгрупi на (n − 1)-елементнiй
множинi. Оскiльки напiвгрупа ISn−1 є переставною, то PA(H) також переставна напiвгрупа.
Чи iснує скiнченна комутативна нiльпотентна напiвгрупа, вiдмiнна вiд напiвгрупи з нульовим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
180 В. Д. ДЕРЕЧ
множенням, така, що її iнверсний моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним? Вiдповiдь
є ствердною.
Приклад. Розглянемо множину K = {0, x, y, z}. На множинi K задамо операцiю ∗ за
допомогою таблички множення
∗ 0 x y z
0 0 0 0 0
x 0 0 z 0
y 0 z 0 0
z 0 0 0 0
Легко перевiрити, що (K, ∗) — нiльпотентна напiвгрупа, яка, очевидно, не є напiвгрупою з
нульовим множенням. Перелiчимо її пiднапiвгрупи:
0 = {0}, α = {0, x}, β = {0, z}, ξ = {0, y}, η = {0, x, z}, τ = {0, y, z}, ∆ = {0, x, y, z}.
(Дiаграму решiтки пiднапiвгруп напiвгрупи (K, ∗) див. на рисунку.)
Δ
η
α β
τ
ξ
0
Легко перевiрити, що пiднапiвгрупи однакової висоти iзоморфнi. Отже, згiдно з тверджен-
ням 2 iдеали iнверсного моноїда локальних автоморфiзмiв напiвгрупи (K, ∗) лiнiйно впоряд-
кованi вiдносно включення, а отже (див. [5], теорема 2), виконується умова 1 твердження 1.
Крiм того, з дiаграми наочно видно, що iдемпотенти напiвгрупи PA(K) задовольняють умову 2
твердження 1. Таким чином, згiдно з твердженням 1 iнверсний моноїд PA(K) є переставним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ КОМУТАТИВНИХ НАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 181
Наведений приклад легко узагальнити. Нехай H — скiнченна множина, що мiстить щонай-
менше 4 елементи. Нехай 0 i z — два рiзнi фiксованi елементи з множиниH. Визначимо бiнарну
операцiю на множинi H таким чином:
1) 0 ∗ x = x ∗ 0 = x ∗ z = z ∗ x = x ∗ x = 0 для всiх x ∈ H;
2) якщо x 6= y i {x, y} ∩ {0, z} = ∅, то x ∗ y = y ∗ x = z.
Легко перевiрити, що (H, ∗) є нiльпотентною напiвгрупою. Клас таких напiвгруп позначимо
через N . Опишемо пiднапiвгрупи напiвгрупи H, що належить класу N .
По-перше, будь-яка двоелементна множина, що мiстить 0, очевидно, є пiднапiвгрупою
напiвгрупи H. Будь-яка триелементна множина, що мiстить 0 i z, є пiднапiвгрупою напiвгрупи
H. Iнших триелементних пiднапiвгруп в H немає. Довiльна пiдмножина множини H, яка
мiстить 0 i z i складається щонайменше з чотирьох елементiв, очевидно, є пiднапiвгрупою
напiвгрупи H. Iнших пiднапiвгруп напiвгрупи H, кiлькiсть елементiв яких не менша за 4,
немає. Цi твердження легко перевiряються.
Покажемо тепер, що моноїд локальних автоморфiзмiв довiльної напiвгрупи з класу N є
переставним.
Лема 5. Нехай H — довiльна напiвгрупа з класу N . Iнверсний моноїд усiх локальних
автоморфiзмiв напiвгрупи H є переставним.
Доведення. Спочатку зазначимо, що для довiльної ненульової пiднапiвгрупи V ∈ Sub(H),
яка мiстить k елементiв, h(V ) = k − 1. Покажемо, що iдеали моноїда PA(H) утворюють
ланцюг вiдносно включення. Дiйсно, якщо A i B — двi пiднапiвгрупи напiвгрупи H, причому
|A| = |B| ≤ 3, то кожна з них є напiвгрупою з нульовим множенням, тому A ∼= B, до того ж
h(A) = h(B) в решiтцi Sub(H). Нехай тепер C i D — пiднапiвгрупи H такi, що |C| = |D| ≥ 4.
Нехай ξ — бiєкцiя така, що dom(ξ) = C i im(ξ) = D. Крiм того, (0)ξ = 0 i (z)ξ = z. Легко
перевiрити, що ξ : C → D є iзоморфiзмом з C в D. Слiд також зазначити, що h(C) = h(D)
в решiтцi Sub(H). Отже, згiдно з твердженням 2 iдеали моноїда PA(H) лiнiйно впорядкованi
вiдносно включення. Таким чином (див. [5], теорема 2), виконується умова 1 твердження 1.
НехайM ∈ Sub(H) i |M | ≥ 4. Якщо a, b ∈M, причому a 6= b i {a, b}∩{0, z} = ∅, тоM\{a}
iM\{b} — двi рiзнi пiднапiвгрупи напiвгрупиM, до того ж h(M\{a}) = h(M\{b}) = h(M)−1.
Аналогiчна властивiсть має мiсце i для довiльної триелементної пiднапiвгрупи напiвгрупи H.
Отже, виконується i умова 2 твердження 1. Таким чином, згiдно з твердженням 1 iнверсний
моноїд PA(H) є переставним для будь-якої напiвгрупи H з класу N .
Лему 5 доведено.
Нехай H — комутативна нiльпотентна напiвгрупа, вiдмiнна вiд напiвгрупи з нульовим мно-
женням. Нехай iнверсний моноїд PA(H) є переставним. Наша подальша задача — показати,
що H належить N . Для цього нам знадобляться ще кiлька лем.
Лема 6. Нехай H — комутативна нiльпотентна напiвгрупа, для якої iнверсний моноїд
PA(H) є переставним, крiм того, H2 = {0, z}. Якщо елементи a i b такi, що a /∈ {0, z},
b /∈ {0, z} i a 6= b, то ab = z.
Доведення. Оскiльки z 6= 0, то iснують елементи x, y ∈ H такi, що x 6= y i xy = z (див.
лему 3). Зрозумiло, що x /∈ {0, z} i y /∈ {0, z}. Нехай c — довiльний елемент з H. Оскiльки
cz ∈ H2, то cz = z або cz = 0. Якщо припустити, що cz = z, то z = 0. Суперечнiсть. Отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
182 В. Д. ДЕРЕЧ
cz = 0. Далi, позаяк ab ∈ H2, то ab = 0 або ab = z. Припустимо, що ab = 0. Розглянемо
множину {0, a, b, z}. Це напiвгрупа з нульовим множенням. Оскiльки xy = z, то пiднапiвгрупа
{0, x, y, z} не є напiвгрупою з нульовим множенням. За умовою iнверсний моноїд PA(H)
є переставним. Вiдомо (див. [9], теорема 4), що iдеали переставної напiвгрупи утворюють
ланцюг вiдносно включення. Позаяк h({0, a, b, z} = h({0, x, y, z} = 3, то згiдно з твердженням
2 {0, a, b, z} ∼= {0, x, y, z}. Суперечнiсть. Таким чином, ab = z.
Лему 6 доведено.
Лема 7. Нехай S— комутативна нiльпотентна напiвгрупа, яка не є напiвгрупою з нульо-
вим множенням. Якщо iнверсний моноїд PA(S) є переставним, то S мiстить пiднапiвгрупу,
iзоморфну напiвгрупi K iз прикладу.
Доведення. Згiдно з лемою 3 для кожного елемента a ∈ S a2 = 0, до того ж за умовою
напiвгрупа S не є напiвгрупою з нулевим множенням. Отже, iснують елементи x, y ∈ S такi,
що x 6= y i xy 6= 0. Легко перевiрити, що {0, x, y, xy} є чотириелементною напiвгрупою, яка
iзоморфна напiвгрупi K.
Лему 7 доведено.
Лема 8. Нехай S— комутативна нiльпотентна напiвгрупа, яка не є напiвгрупою з нульо-
вим множенням. Якщо iнверсний моноїд PA(S) є переставним, то |S2| = 2.
Доведення. Спочатку припустимо, що |S2| ≥ 4.Позначимо S2 черезR. Розглянемо можливi
випадки.
Випадок 1: R2 = {0}, тобто R є напiвгрупою з нульовим множенням.
Оскiльки |S2| ≥ 4, то iснують три ненульовi елементи u, v, w ∈ S2.Пiднапiвгрупа {0, u, v, w}
є напiвгрупою з нульовим множенням. Вiдомо (див. [9], теорема 4), що iдеали переставної на-
пiвгрупи утворюють ланцюг вiдносно включення. Оскiльки h({0, u, v, w}) = h(K) = 3, то
згiдно з твердженням 2 {0, u, v, w} ∼= K. Позаяк напiвгрупа K не є напiвгрупою з нульовим
множенням, одержуємо суперечнiсть.
Випадок 2: R2 6= {0}.
Отже, iснують x, y ∈ R такi, що xy = z 6= 0. Оскiльки x ∈ S2, то iснують елементи a i b
такi, що ab = x. Розглянемо множину {0, a, x, z}. Покажемо, що елементи 0, a, x, z є попарно
рiзними. По-перше, x 6= 0, z 6= 0, a 6= 0. Припустимо, що a = x, тодi ab = a. З останньої
рiвностi легко випливає a = 0. Суперечнiсть. Припустимо, що a = z. Оскiльки ab = x, то
zb = xyb = x. Позаяк y2 = 0, то bxy2 = xy = z = 0. Суперечнiсть. Якщо припустити, що
x = z, то x = xy. Звiдси xy = xy2 = 0. Суперечнiсть. Отже, елементи 0, a, x, z є попарно
рiзними. Далi, ax = aab = 0, az = axy = 0y = 0, xz = xxy = 0. Отже, {0, a, x, z} — напiвгрупа
з нульовим множенням. Оскiльки h({0, a, x, z}) = h(K) = 3 (див. попередню лему), то згiдно
з твердженням 2 {0, a, x, z} ∼= K. Оскiльки пiднапiвгрупа K не є напiвгрупою з нульовим
множенням, то одержуємо суперечнiсть. Таким чином, |S2| ≤ 3.
Тепер припустимо, що |S2| = 3. Нехай S2 = {0, a, b}. Вiзьмемо елемент x /∈ S2. Розглянемо
множину {0, a, b, x}. По-перше, чотири елементи 0, a, b, x є попарно рiзними. Позаяк b ∈ S2,
то iснують елементи z, t ∈ S такi, що zt = b. Припустимо, що bx = a, тодi (zt)x = z(tx) = a.
Якщо припустити, що tx = a, то za = a. Звiдси a = 0. Суперечнiсть. Якщо припустити, що
tx = b, то zb = a, а отже, z(zt) = (z2)t = a = 0. Суперечнiсть. Таким чином, bx = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
КЛАСИФIКАЦIЯ СКIНЧЕННИХ КОМУТАТИВНИХ НАПIВГРУП, ДЛЯ ЯКИХ IНВЕРСНИЙ МОНОЇД . . . 183
Розглянемо тепер елемент ax. Оскiльки a ∈ S2, то a = gf для деяких g, f ∈ S. Припустимо,
що ax = a, тодi ax2 = ax = a = 0. Суперечнiсть. Тепер припустимо, що ax = b, тодi
(gf)x = g(fx) = b. Якщо fx = b, то gb = b. Звiдки легко випливає, що b = 0. Суперечнiсть.
Якщо ж припустити, що fx = a, то b = ga = g(gf) = g2f = 0. Суперечнiсть. Отже, ax =
= 0. Крiм того, очевидно, що ab = 0. Таким чином, {0, a, b, x} — пiднапiвгрупа з нульовим
множенням. Оскiльки h({0, a, x, z}) = h(K) = 3 (див. попередню лему), то згiдно з тверджен-
ням 2 {0, a, x, z} ∼= K. Оскiльки пiднапiвгрупа K не є напiвгрупою з нульовим множенням, то
одержуємо суперечнiсть. Отже, |S2| = 2.
Лему 8 доведено.
Лема 9. Нехай S — комутативна нiльпотентна напiвгрупа, яка не є напiвгрупою з нульо-
вим множенням. Якщо моноїд локальних автоморфiзмiв PA(S) є переставним, то напiвгрупа
S належить класу N .
Доведення. За попередньою лемою S2 = {0, z}. Згiдно з лемою 3 для довiльного x ∈ S
x2 = 0. Крiм того, очевидно, що xz = zx = 0. Зрозумiло, що iснують елементи a, b ∈ S
такi, що a 6= b, {a, b} ∩ {0, z} = ∅ i ab = z. Припустимо, що елементи c, d ∈ S такi, що
c 6= d, {c, d} ∩ {0, z} = ∅ i cd = 0. Тодi пiднапiвгрупа {0, c, d, z} є напiвгрупою з нульовим
множенням. Вiдомо (див. [9], теорема 4), що iдеали переставної напiвгрупи утворюють ланцюг
вiдносно включення. Оскiльки h({0, a, b, z}) = h({0, c, d, z}) = 3, то згiдно з твердженням 2
{0, a, b, z} ∼= {0, c, d, z}. Звiдси випливає, що пiднапiвгрупа {0, a, b, z} є напiвгрупою з нульовим
множенням. Суперечнiсть. Отже, cd = z. Це означає що напiвгрупа S належить класу N .
Лему 9 доведено.
Тепер перейдемо до доведення основної теореми.
Теорема. До повного списку комутативних напiвгруп, для яких iнверсний моноїд локальних
автоморфiзмiв є переставним, входять:
1) лiнiйно впорядкованi напiврешiтки;
2) примiтивнi напiврешiтки;
3) елементарнi абелевi p-групи;
4) напiвгрупи з нульовим множенням;
5) нiльпотентнi напiвгрупи з класу N .
Доведення. Нехай комутативна напiвгрупа S така, що iнверсний моноїд PA(S) є перестав-
ним. Тодi згiдно з лемою 2 напiвгрупа S є або напiврешiткою, або групою, або нiльпотентною
напiвгрупою. Якщо S — напiврешiтка, то згiдно з твердженням 3 (див. [4]) вона є або ланцюгом,
або примiтивною напiврешiткою. Якщо ж напiвгрупа S є групою, то згiдно з теоремою 2 (див.
[4]) вона є елементарною абелевою p -групою. Нехай тепер S — нiльпотентна напiвгрупа. Якщо
вона не є напiвгрупою з нульовим множенням, то згiдно з лемою 9 напiвгрупа S належить
класу N . Таким чином, якщо комутативна напiвгрупа S така, що iнверсний моноїд локальних
автоморфiзмiв PA(S) є переставним, то вона належить одному з п’яти перелiчених у теоремi
класiв.
Доведемо тепер, що для кожної з перерахованих у теоремi напiвгруп її моноїд локальних
автоморфiзмiв є переставним. Якщо S — n-елементний ланцюг, то моноїд PA(S) — це, оче-
видно, iнверсна напiвгрупа iн’єктивних часткових монотонних перетворень, яка в лiтературi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
184 В. Д. ДЕРЕЧ
зазвичай позначається через IOn. Той факт, що моноїд PA(S) є переставним, вiдмiчено в
[4] (твердження 3). Звiсно, що це твердження також безпосередньо випливає з того факту, що
iдеали напiвгрупи IOn утворюють ланцюг вiдносно включення, а конгруенцiї вичерпуються
конгруенцiями Рiса. Вищенаведенi властивостi напiвгрупи IOn можна знайти в кiлькох статтях
рiзних авторiв (див., наприклад, [10], а також коментарi 14.5.19 i 14.5.20 в [11]). Слiд зазна-
чити, що вони (цi властивостi) є аналогом вiдповiдних результатiв А. Айзенштат про On —
напiвгрупу усiх повних монотонних перетворень скiнченного ланцюга (див. [12]).
Моноїд PA(S) переставний також у випадку, коли напiвгрупа S є або примiтивною напiвре-
шiткою, або елементарною абелевою p -групою (див. [4], теорема 2). Припустимо тепер, що S
— напiвгрупа з нульовим множенням, до того ж |S| = n. Легко зрозумiти, що iнверсний моноїд
PA(S) iзоморфний ISn−1 — симетричнiй iнверснiй напiвгрупi на (n− 1)-елементнiй множинi.
Оскiльки напiвгрупа ISn−1 є переставною (див. [3]), то PA(S) також переставна напiвгрупа.
Лема 5 стверджує, що для довiльної нiльпотентної напiвгрупи H з класу N iнверсний моноїд
PA(H) є переставним.
Теорему доведено.
1. Либих А. Л. Инверсные полугруппы локальных автоморфизмов абелевых групп // Исследования по алгебре. –
1973. – Вып. 3. – С. 25 – 33.
2. Goberstein S. M. Inverse semigroups with certain types of partial automorphism monoids // Glasgow Math. J. – 1990.
– 32. – P. 189 – 195.
3. Дереч В. Д. Характеристика напiврешiтки iдемпотентiв переставної iнверсної напiвгрупи скiнченного рангу з
нулем // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 10. – С. 1353 – 1362.
4. Дереч В. Д. Структура скiнченної комутативної iнверсної напiвгрупи i скiнченної в’язки, для яких iнверсний
моноїд локальних автоморфiзмiв є переставним // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1218 – 1226.
5. Дереч В. Д. Конгруенцiї переставної iнверсної напiвгрупи скiнченного рангу // Укр. мат. журн. – 2005. – 57,
№ 4. – С. 469 – 473.
6. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: В 2 т. – М.: Мир, 1972. – Т. 1. – 286 с.; Т. 2. –
422 с.
7. Tamura T., Kimura N. On decompositions of a commutative semigroup // Kodai Math. Sem. Rep. – 1954. – P. 109 –
112.
8. Tamura T. Construction of trees and commutative archimedean semigroups // Math. Nachr. – 1968. – 36. – P. 255 – 287.
9. Hamilton H. Permutability of congruences on commutative semigroups // Semigroup Forum. – 1975. – 10. – P. 55 – 66.
10. Дереч В. Д. О квазипорядках на некоторых инверсных полугруппах // Изв. вузов. Математика. – 1991. – № 3.
– С. 76 – 78.
11. Ganyushkin O., Mazorchuk V. Classical finite transformation semigroups. An introduction. – Springer, 2009. –
xii + 314 p.
12. Айзенштат А. О гомоморфизмах полугрупп эндоморфизмов упорядоченных множеств // Учен. зап. ЛГПИ. –
1962. – 238. – С. 38 – 48.
Одержано 12.04.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2564 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:55Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/09/a4335dd95f4541d6fbf3d3de23372009.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25642020-03-18T19:29:46Z Classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є переставним Derech, V. D. Дереч, В. Д. We give a classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable. Дана классификация конечных коммутативных полугрупп, для которых инверсный моноид локальных автоморфизмов является переставным. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2564 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 2 (2012); 176-184 Український математичний журнал; Том 64 № 2 (2012); 176-184 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2564/1887 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2564/1888 Copyright (c) 2012 Derech V. D. |
| spellingShingle | Derech, V. D. Дереч, В. Д. Classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| title | Classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| title_alt | Класифікація скінченних комутативних напівгруп, для яких інверсний моноїд локальних автоморфізмів є переставним |
| title_full | Classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| title_fullStr | Classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| title_full_unstemmed | Classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| title_short | Classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| title_sort | classification of finite commutative semigroups for which the inverse monoid of local automorphisms is permutable |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2564 |
| work_keys_str_mv | AT derechvd classificationoffinitecommutativesemigroupsforwhichtheinversemonoidoflocalautomorphismsispermutable AT derečvd classificationoffinitecommutativesemigroupsforwhichtheinversemonoidoflocalautomorphismsispermutable AT derechvd klasifíkacíâskínčennihkomutativnihnapívgrupdlââkihínversnijmonoídlokalʹnihavtomorfízmívêperestavnim AT derečvd klasifíkacíâskínčennihkomutativnihnapívgrupdlââkihínversnijmonoídlokalʹnihavtomorfízmívêperestavnim |