Investigation of solutions of boundary-value problems with essentially infinite-dimensional elliptic operator
We consider Dirichlet problems for the Poisson equation and linear and nonlinear equations with essentially infinite-dimensional elliptic operator (of the Laplace -Levy type). The continuous dependence of solutions on boundary values and sufficient conditions for increasing the smoothness of soluti...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2569 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508486206488576 |
|---|---|
| author | Statkevych, V. M. Статкевич, В. М. |
| author_facet | Statkevych, V. M. Статкевич, В. М. |
| author_sort | Statkevych, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:29:46Z |
| description | We consider Dirichlet problems for the Poisson equation and linear and nonlinear equations with essentially infinite-dimensional elliptic operator (of the Laplace -Levy type).
The continuous dependence of solutions on boundary values and sufficient conditions for increasing the smoothness of solutions are investigated. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:25:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.986.7+517.911
В. М. Статкевич (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ)
ДОСЛIДЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
З СУТТЄВО НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИМ ЕЛIПТИЧНИМ ОПЕРАТОРОМ
We consider Dirichlet problems for the Poisson equation and linear and nonlinear equations with essentially infinite-
dimensional elliptic operator (of the Laplace – Lévy type). The continuous dependence of solutions on boundary values and
sufficient conditions for increasing the smoothness of solutions are investigated.
Рассматриваются задачи Дирихле для уравнения Пуассона, линейного и нелинейного уравнений с существенно бес-
конечномерным эллиптическим оператором (типа Лапласа – Леви). Исследуется непрерывная зависимость решений
от краевых условий и достаточные условия повышения гладкости решений.
У нескiнченновимiрному просторi iснують оператори, якi не мають скiнченновимiрних ана-
логiв. Таким, зокрема, є оператор Лапласа – Левi, введений П. Левi [1], — диференцiальний
оператор другого порядку, який задовольняє лейбнiцевську властивiсть L(uv) = Lu · v+ u ·Lv
та набуває нульового значення на цилiндричних функцiях. Сучасний стан теорiї оператора Ла-
пласа – Левi викладено у роботi М. Н. Феллера [2]. Суттєво нескiнченновимiрний елiптичний
оператор, запропонований Ю. В. Богданським [3] (див. також [4, 5]), є узагальненням оператора
Лапласа – Левi та успадковує його властивостi.
1. Нехай H — нескiнченновимiрний сепарабельний дiйсний гiльбертiв простiр, BC(H) —
банахiв простiр самоспряжених обмежених лiнiйних операторiв на H, J — конус невiд’ємних
лiнiйних функцiоналiв на BC(H). Множину D ⊂ BC(H) будемо називати майже компактною,
якщо для кожного ε > 0 iснують компактна множина K ⊂ BC(H) та числа n ∈ N, d > 0
такi, що K + Qn,d є ε-сiткою для D (тут Qn,d ⊂ BC(H) — множина операторiв, ранг яких не
перевищує n, а норма не перевищує d).
Виберемо R > 0. Нехай Z — множина дiйсних функцiй класу C2(H), носiї яких належать
кулi BR = {x ∈ H | ‖x‖ 6 R}, u′′ рiвномiрно неперервна на H, а множина {u′′(x) | x ∈ BR}
є майже компактною. X — замикання Z за нормою supx∈H |u(x)| — є дiйсною комутативною
банаховою алгеброю без одиницi вiдносно поточкових операцiй. Суттєво нескiнченновимiрний
функцiонал j ∈ J — це такий ненульовий функцiонал, ядру якого належать усi оператори
скiнченного рангу з BC(H) [3]. Суттєво нескiнченновимiрний елiптичний оператор задається
формулою L : Z 3 u(x) 7→ 1
2
j(u′′(x)) ∈ X [3]. Вiн є лейбнiцевським та допускає замикання
L̄, визначене на D(L̄). Для функцiй f1 ∈ C2(R), f2 ∈ C1(R) таких, що f1(0) = f2(0) = 0,
мають мiсце властивостi (u ∈ Z) ⇒ (f1 ◦ u ∈ Z, L(f1 ◦ u) = (f ′1 ◦ u) · Lu), (u ∈ X) ⇒
⇒ (f2 ◦u ∈ X, L̄(f2 ◦u) = (f ′2 ◦u) · L̄u). L̄ генерує (C0)-пiвгрупу стиску T (t) в X, нiльпотентну
(∃t0 > 0: T (t0) = 0) та мультиплiкативну (∀u, v ∈ X : T (t)(uv) = T (t)u ·T (t)v) [4]. При цьому
T (t)u належить Z для u ∈ Z, а для функцiї f ∈ C(R) такої, що f(0) = 0, виконується рiвнiсть
T (t)(f ◦ u) = f ◦ T (t)u, зокрема T (t)(|u|) = |T (t)u|.
2. Згiдно з роботою [5] вважаємо, що поверхня S в H належить класу Y, якщо її можна
записати у виглядi S = {x ∈ H | g(x) = 1}, де g ∈ Z, infx∈S ‖g′(x)‖ > 0, та належить класу
Y1, якщо виконуються додатковi умови: g′′′ iснує i рiвномiрно неперервна на H, а множина
{(g′(·), h)′′(y) | h ∈ H, ‖h‖ 6 1, y ∈ S} є майже компактною (у подальшому записуємо коротко
c© В. М. СТАТКЕВИЧ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2 229
230 В. М. СТАТКЕВИЧ
S ∈ Y або S ∈ Y1). Через Sε позначимо ε-окiл поверхнi S. При необхiдностi накладатимемо на
поверхню S ще й умову Lg ∈ Z. Згiдно з роботою [5] вiдкриту обмежену область G = {x ∈ H |
g(x) > 1, g ∈ Z} ⊂ H з межею S ∈ Y будемо називати L-опуклою, якщо (Lg)(x) < −α < 0
для всiх x ∈ S та деякого α > 0; Ḡ — замикання областi G. З наведених означень випливає, що
Ḡ ⊂ {x ∈ H | ‖x‖ < R}, тому R виберемо достатньо великим.
Вкладення поверхнi S в H iндукує рiманову метрику на поверхнi S, ∇ — вiдповiдна їй
зв’язнiсть Левi-Чивiти, TxS — дотичний простiр, для кожного x ∈ S простiр H розкладається
в ортогональну суму H = TxS ⊕ (TxS)⊥. Множину дiйсних функцiй на S, для яких ∇2u (тут
i далi оператор ∇2u(x) : TxS → TxS ототожнюється з оператором ∇2u(x)⊕ 0 ∈ BC(H)) iснує
i рiвномiрно неперервна на S, а множина {∇2u(x) | x ∈ S} є майже компактною, позначимо
через Z(S). Нехай X(S) — її замикання за нормою supx∈S |u(x)|. Очевидно, що u|S ∈ X(S)
для u ∈ X .
Множину Z(G) дiйсних функцiй класу C2(G), для яких u′′ рiвномiрно неперервна на
G, а множина {u′′(x) | x ∈ G} є майже компактною, замкнемо за нормою supx∈G |u(x)|;
отримане замикання X(G) є банаховою алгеброю з одиницею. Оператор LG : Z(G) 3 u(x) 7→
7→ 1
2
j(u′′(x)) ∈ X(G) коректно визначений, лейбнiцевський та допускає замикання L̄G, визна-
чене на D(L̄G) [5]. При цьому (u ∈ Z) ⇒ (u|G ∈ Z(G)), (u ∈ X) ⇒ (u|G ∈ X(G)), (u ∈
∈ D(L̄))⇒ (u|G ∈ D(L̄G), L̄G(u|G) = (L̄u)|G). Окрiм того, як i в п. 1, для функцiй f1 ∈ C2(R),
f2 ∈ C1(R) виконуються властивостi (u ∈ Z(G))⇒ (f1 ◦u ∈ Z(G), LG(f1 ◦u) = (f ′1 ◦u) ·LGu),
(u ∈ X(G))⇒ (f2 ◦ u ∈ X(G), L̄G(f2 ◦ u) = (f ′2 ◦ u) · L̄Gu).
В роботi [5] доведено наступнi факти. Якщо S ∈ Y1, то функцiю u ∈ X(S) (вiдповiдно,
u ∈ X(G)) можна продовжити до функцiї ū ∈ X такої, що ū|S = u (вiдповiдно, ū|G = u);
вiдповiднi оператори продовження є гомоморфiзмами алгебр та зберiгають норму. Якщо S ∈ Y1,
то для u ∈ Z(G) i довiльного ε > 0 iснує ūε ∈ Z така, що ūε|G\Sε
= u|G\Sε
та |ūε(x)−u(x)| < ε
для x ∈ G ∩ Sε. Iснує i до того ж єдина функцiя θ на Ḡ — фундаментальна функцiя областi G,
для якої θ(x) > 0 на G, θ(x) = 0 на S, θ диференцiйовна на Ḡ, θ та θ′ рiвномiрно неперервнi
на Ḡ, θ|G ∈ X(G), L̄G(θ|G) ≡ −1 скрiзь в G; якщо додатково Lg ∈ Z, то θ|G ∈ Z(G). З
побудови функцiї θ випливає, що θ(x) < t0. Функцiю ϕ ∈ X(S) розумiємо або як обмеження
на поверхню S функцiї ϕ̄ ∈ X, або визначеною лише на S, але при цьому вимагаємо щоб
S належала класу Y1 (тодi iснування ϕ̄ ∈ X доводиться, як вказано вище); для такої функцiї
ϕ iснує i до того ж єдина рiвномiрно неперервна на Ḡ функцiя W (x) = (T (θ(x))ϕ̄)(x), для
якої W |G ∈ X(G), L̄G(W |G) = 0, W |S = ϕ; якщо додатково Lg ∈ Z, ϕ̄ ∈ Z, Lϕ̄ ∈ Z, то
W |G ∈ Z(G).
3. Нехай функцiю u визначено на Ḡ. Розглянемо задачу Дiрiхле для рiвняння Пуассона
L̄G(u|G) = f, (1)
u|S = ϕ. (2)
Якщо поверхня S належить класу Y, то вважаємо f = f̄ |G, ϕ = ϕ̄|S , де f̄ , ϕ̄ ∈ X . Якщо S ∈ Y1,
то f ∈ X(G), ϕ ∈ X(S), а iснування продовжень гарантує п. 2. Така задача з оператором
Лапласа – Левi розглядалась у роботах [1, 7 – 11], з оператором квазiдиференцiювання (одним з
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
ДОСЛIДЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 231
узагальнень оператора Лапласа – Левi) — у [12]. У роботах [1, 7 – 12] в iнших функцiональних
класах iз застосуванням технiки, що вiдрiзняється вiд наведеної в роботi, отримано явнi фор-
мули розв’язкiв. У вказаному функцiональному класi з використанням методiв теорiї пiвгруп
задачу (1), (2) дослiджено в роботi [5]: доведено iснування та єдинiсть розв’язку та дано схему
розв’язання, а для задачi L̄G(u|G) = 0, u|S = ϕ знайдено явну формулу W (x) = (T (θ(x))ϕ̄)(x).
У роботi [6] (див. також [13]) для задачi (1), (2) у випадку областi G з межею S ∈ Y1 знайдено
явну формулу розв’язку
u(x) = −
θ(x)∫
0
(T (t)f̄)(x)dt+ (T (θ(x))ϕ̄)(x), x ∈ Ḡ. (3)
Доведемо, що й у випадку S ∈ Y розв’язок задачi (1), (2) задається формулою (3).
Теорема 1. За наведених умов задача (1), (2) має i до того ж єдиний розв’язок (3).
Доведення. Як було доведено в [5] i нагадано в п. 2, для функцiї W (x) = (T (θ(x))ϕ̄)(x)
виконуються спiввiдношення L̄G(W |G) = 0, W |S = ϕ. Оскiльки θ|S = 0, то досить довести,
що для функцiї u1(x) = −
∫ θ(x)
0
(T (t)f̄)(x)dt виконується L̄G(u1|G) = f .
Цей факт доводиться таким чином (див. також [6] (лему 1) та [13] (лему 2)). Виберемо
послiдовностi {f̄n} ⊂ Z, збiжну до f̄ при n → ∞, та {vn} ⊂ Z(G), для якої vn → θ|G,
LGvn → L̄G(θ|G) ≡ −1 при n → ∞. Нагадаємо, що θ(x) < t0 (див. п. 2), тому, починаючи з
деякого n, vn(x) 6 t0. Нехай Fn(x) = −
∫ vn(x)
0
(T (t)f̄n)(x)dt, тодi
(F ′′n (x)h1, h2) = −
vn(x)∫
0
(
∂2
∂x2
(T (t)f̄n)(x)h1, h2
)
dt−
−
(
∂
∂x
(T (t)f̄n)(x)
∣∣∣∣
t=vn(x)
, h1
)
· (v′n(x), h2)−
−
(
d
dx
((T (vn(·))f̄n)(·))(x), h2
)
· (v′n(x), h1)− (T (vn(x))f̄n)(x) · (v′′n(x)h1, h2), (4)
де h1, h2 ∈ H, x ∈ G. Другий та третiй доданки у формулi (4) є операторами рангу не вище за
1, а тому належать ядру j; безпосередня перевiрка показує, що Fn|G ∈ Z(G). Тодi
(LGFn)(x) = −
vn(x)∫
0
LG((T (t)f̄n)(x)|G)dt− (T (vn(x))f̄n)(x)(LGvn)(x), x ∈ G.
З рiвностi LG((T (t)f̄n)(x)|G) = (LT (t)f̄n)(x)|G =
∂
∂t
(T (t)f̄n)(x)|G та формули iнтегрування
частинами отримуємо (LGFn)(x) = −(T (vn(x))f̄n)(x)((LGvn)(x)+1)+fn(x), x ∈ G. Виконає-
мо граничний перехiд при n → ∞: Fn(x) ⇒ u1(x), (LGFn)(x) ⇒ f(x), x ∈ G. Замкненiсть
оператора L̄G доводить шукану формулу L̄G(u1|G) = f .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
232 В. М. СТАТКЕВИЧ
Твердження 1. Нехай u = u(x, f, ϕ) та u0 = u(x, f0, ϕ0) — розв’язки задачi (1), (2) з
умовами f, ϕ та f0, ϕ0 вiдповiдно. Тодi: a) ∀ε > 0 ∃δ1, δ2 > 0 : (‖f̄ − f̄0‖ < δ1, ‖ϕ̄ − ϕ̄0‖ <
< δ2) ⇒ (‖u − u0‖ < ε) (у випадку S ∈ Y1 вважаємо ‖f − f0‖ < δ1, ‖ϕ − ϕ0‖ < δ2); б) якщо
додатково функцiї Lg, f̄ , ϕ̄, Lϕ̄ належать Z, то u|G ∈ Z(G).
Доведення. а) Покладемо δ1 =
ε
2t0
, δ2 =
ε
2
. Оскiльки T (t) — пiвгрупа стиску, θ(x) < t0, то
‖u−u0‖ 6 t0‖f̄ − f̄0‖+‖ϕ̄− ϕ̄0‖ < ε. У випадку S ∈ Y1 процедура продовження функцiй (див.
п. 2) зберiгає норму. б) З огляду на п. 2 достатньо довести, що з θ|G ∈ Z(G), f̄ ∈ Z випливає(
−
∫ θ(x)
0
(T (t)f̄)(x)dt
)∣∣∣∣
G
∈ Z(G), а цей факт випливає з формули типу (4).
4. Розглянемо задачу Дiрiхле з крайовою умовою (2) для лiнiйного рiвняння
(L̄Gu)(x) + a(x)u(x) = f(x), x ∈ G. (5)
Як i в п. 3, вважаємо або a = ā|G, f = f̄ |G, ϕ = ϕ̄|S , де ā, f̄ , ϕ̄ ∈ X, або a, f ∈ X(G),
ϕ ∈ X(S) та S ∈ Y1. Така задача з оператором Лапласа – Левi дослiджувалась у роботах
[2, 14, 15] (у припущеннi f ≡ 0), з оператором квазiдиференцiювання — у [12] (для f 6= 0). У
роботах [12, 2, 14, 15] в iнших функцiональних класах отримано явнi формули розв’язкiв.
Теорема 2. Задача (5), (2) має i до того ж єдиний розв’язок, який можна записати у
виглядi u = u1 + u2, де
u1(x) = −
θ(x)∫
0
exp
t∫
0
(T (s)ā)(x)ds
(T (t)f̄)(x)dt,
u2(x) = exp
θ(x)∫
0
(T (t)ā)(x)dt
(T (θ(x))ϕ̄)(x), x ∈ Ḡ.
Доведення. Крок 1. Як i при доведеннi теореми 1, виберемо послiдовностi {ān} ⊂ Z, збiж-
ну до ā при n → ∞; {f̄n} ⊂ Z, збiжну до f̄ при n → ∞, та {vn} ⊂ Z(G), для якої vn → θ|G,
LGvn → L̄G(θ|G) ≡ −1 при n→∞. Нехай
Fn(x) = −
vn(x)∫
0
exp
t∫
0
(T (s)ān)(x)ds
(T (t)f̄n)(x)dt,
тодi з обчислення F ′′n випливає належнiсть F ′′n до Z(G), а врахування факту, що всi оператори
скiнченного рангу належать ядру j, приводить до формули
(LGFn)(x) = −
vn(x)∫
0
exp
t∫
0
(T (s)ān)(x)ds
t∫
0
LG((T (s)ān)(x)|G)ds(T (t)f̄n)(x)dt−
−
vn(x)∫
0
exp
t∫
0
(T (s)ān)(x)ds
LG((T (t)f̄n)(x)|G)dt−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
ДОСЛIДЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 233
− exp
vn(x)∫
0
(T (s)ān)(x)ds
(T (vn(x))f̄n)(x)(LGvn)(x), x ∈ G.
Застосуємо формулу iнтегрування частинами до другого доданка:
(LGFn)(x) = an(x)
vn(x)∫
0
exp
t∫
0
(T (s)ān)(x)ds
(T (t)f̄n)(x)dt−
− exp
vn(x)∫
0
(T (s)ān)(x)ds
(T (vn(x))f̄n)(x)((LGvn)(x) + 1) + fn(x), x ∈ G.
Граничний перехiд при n→∞ та замкненiсть оператора L̄G доводять, що L̄G(u1|G)+a ·u1|G =
= f . Оскiльки θ|S = 0 (див. п. 2), то u1 є розв’язком задачi L̄G(u|G) + a · u|G = f, u|S = 0.
Крок 2. За теоремою 1 θ(x)∫
0
(T (t)ā)(x)dt
∣∣∣∣∣∣∣
G
∈ D(L̄G), L̄G
θ(x)∫
0
(T (t)ā)(x)dt
= −a(x), x ∈ G.
Згiдно з п. 2,
exp
θ(x)∫
0
(T (t)ā)(x)dt
∣∣∣∣∣∣∣
G
∈ D(L̄G),
L̄G
exp
( θ(x)∫
0
(T (t)ā)(x)dt
) = exp
θ(x)∫
0
(T (t)ā)(x)dt
(−a(x)), x ∈ G;
для функцiї W (x) = (T (θ(x))ϕ̄)(x) виконуються спiввiдношення L̄G(W |G) = 0, W |S = ϕ.
Оскiльки оператор L̄G лейбнiцевський, то (L̄Gu2)(x) = −a(x)u2(x), x ∈ G. Отже, функцiя u2
є розв’язком задачi L̄G(u|G) + a · u|G = 0, u|S = ϕ.
Крок 3. Залишилось довести єдинiсть розв’язку. Припустимо супротивне: нехай задача (5),
(2) має два рiзнi розв’язки u1 та u2. Тодi задача L̄G(u|G) + a · u|G = 0, u|S = 0 має ненульовий
розв’язок. Але рiвняння L̄v + āv = 0 має єдиний нульовий розв’язок в H [16]. Отримана
суперечнiсть доводить теорему.
Зауважимо, що в [2] (теорема 5.12) для задачi L̄G(u|G)+a ·u|G = 0, u|S = ϕ отримано явну
формулу розв’язку u(x) = ev1(x)v2(x), де v1 — розв’язок задачi L̄G(v1|G) = −a, v1|S = 0, а v2
— розв’язок задачi L̄G(v2|G) = 0, v2|S = ϕ (у позначеннях даної роботи). Незважаючи на рiзнi
функцiональнi класи мiж вказаною формулою та функцiєю u2(x) = ew(x)W (x) iз теореми 2
iснує очевидна паралель: w(x) =
∫ θ(x)
0
(T (t)ā)(x)dt — розв’язок задачi L̄G(w|G) = −a, w|S = 0
(див. теорему 1), а W (x) — розв’язок задачi L̄G(W |G) = 0, W |S = ϕ (див. п. 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
234 В. М. СТАТКЕВИЧ
Твердження 2. Нехай u = u(x, a, f, ϕ) та u0 = u(x, a0, f0, ϕ0) — розв’язки задачi (5), (2)
з умовами a, f, ϕ та a0, f0, ϕ0 вiдповiдно. Тодi: а) ∀ε > 0 ∃δ1, δ2, δ3 > 0 : (‖ā − ā0‖ < δ1,
‖f̄ − f̄0‖ < δ2, ‖ϕ̄ − ϕ̄0‖ < δ3) ⇒ (‖u − u0‖ < ε) (у випадку S ∈ Y1 вважаємо ‖a − a0‖ < δ1,
‖f − f0‖ < δ2, ‖ϕ − ϕ0‖ < δ3); б) якщо додатково функцiї Lg, ā, f̄ , ϕ̄, Lϕ̄ належать Z, то
u|G ∈ Z(G).
Доведення. а) T (t) є пiвгрупою стиску (див. п. 1), θ(x) < t0 (див. п. 2), тому для x ∈ G
стандартними мiркуваннями отримуємо
‖u− u0‖ 6
∥∥∥∥∥∥∥
θ(·)∫
0
exp
t∫
0
T (s)āds
T (t)f̄ − exp
t∫
0
T (s)ā0ds
T (t)f̄0
dt
∥∥∥∥∥∥∥+
+
∥∥∥∥∥∥∥exp
θ(·)∫
0
T (t)ādt
T (θ(·))ϕ̄− exp
θ(·)∫
0
T (t)ā0dt
T (θ(·))ϕ̄0
∥∥∥∥∥∥∥ 6
6 t0e
t0‖ā‖‖f̄ − f̄0‖+ t0e
t0‖ā0‖(et0‖ā−ā0‖ − 1)‖f̄0‖+
+et0‖ā‖‖ϕ̄− ϕ̄0‖+ et0‖ā0‖(et0‖ā−ā0‖ − 1)‖ϕ̄0‖.
У випадку S ∈ Y1 процедура продовження функцiй зберiгає норму. б) u2|G ∈ Z(G), оскiльки
з твердження 1 випливає належнiсть
(∫ θ(x)
0
(T (t)ā)(x)dt
)∣∣∣∣∣
G
до Z(G), з п. 2 — належностi
exp
(∫ θ(x)
0
(T (t)ā)(x)dt
)∣∣∣∣∣
G
до Z(G) та (T (θ(x))f̄)(x)|G до Z(G), а Z(G) є алгеброю. Належ-
нiсть u1|G ∈ Z(G) випливає з мiркувань, наведених у кроцi 1 доведення теореми 2.
5. Розглянемо задачу Дiрiхле з крайовою умовою (2) для нелiнiйного рiвняння
L̄G(u|G) = F (u|G), (6)
де F : X(G) → X(G) — нелiнiйне вiдображення, а S ∈ Y1. В iнших функцiональних класах
така задача з оператором Лапласа – Левi дослiджувалась у роботi [15], з оператором квазiди-
ференцiювання — у [12], а на поверхнi спецiального типу з поверхневим лапласiаном Левi —
у [17]. У вказаному функцiональному класi задачу (6), (2) дослiджено в роботi [13]: за умови
типу Лiпшиця (∃C > 0 ∀v1, v2 ∈ X(G) : |F (v1) − F (v2)| 6 C|v1 − v2|) для нелiнiйного вiдоб-
раження F вона має i до того ж єдиний розв’язок. Доведення цього факту ґрунтується на тому,
що деякий степiнь вiдображення
X(G) 3 v(x) 7→ −
θ(x)∫
0
(
T (t)
(
F (v)
))
(x)dt
∣∣∣∣
G
+(T (θ(x))ϕ̄)(x)
∣∣∣∣
G
∈ X(G) (7)
є стиском, а сам розв’язок — нерухомою точкою вiдображення (7).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
ДОСЛIДЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 235
Твердження 3. Нехай u = u(x, F, ϕ) та u0 = u(x, F0, ϕ0) — розв’язки задачi (6), (2) з
умовами F, ϕ та F0, ϕ0 вiдповiдно. Тодi ∀ε > 0 ∃δ1, δ2 > 0 ∀w ∈ X(G) : (‖ϕ − ϕ0‖ < δ1,
|F (w)− F0(w)| < δ2)⇒ (‖u− u0‖ < ε).
Доведення. Точки u та u0 є нерухомими точками вiдповiдних вiдображень вигляду (7),
тому для v1(x) = F (u0)− F0(u0), v2(x) = (T (θ(x))(ϕ̄− ϕ̄0))(x), x ∈ G, маємо
|u− u0| 6
∣∣∣∣∣∣∣
θ(·)∫
0
T (t)
(
F (u)− F0(u0)
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣+ |v2| 6
6
t0∫
0
T (t)
(∣∣∣F (u)− F (u0) + v̄1
∣∣∣) dt+ |v2| 6
6 C
t0∫
0
T (t)
(
|u− u0|
)
dt+
t0∫
0
T (t)(|v̄1|)dt+ |v2|.
Застосуємо дану формулу послiдовно m разiв для x ∈ G i врахуємо оцiнку∣∣∣∣∣∣
t0∫
0
dt1 . . .
t0∫
0
dtmT (t1 + . . .+ tm)wdt
∣∣∣∣∣∣ 6 tm0
m!
|w|(w ∈ X) :
|u− u0| 6
Cmtm0
m!
|u− u0|+ |v1|
m∑
k=1
Ck−1tk0
k!
+ |v2|
m−1∑
k=0
Cktk0
k!
.
Граничним переходом при m→∞ отримуємо ‖u− u0‖ 6
1
C
(eCt0 − 1)‖v1‖+ eCt0‖v2‖, шуканi
δ1 =
εC
2
(eCt0 − 1)−1, δ2 =
ε
2
e−Ct0 .
6. Розглянемо приклад. Якщо область обмежено елiпсоїдом [5], то твердження 1 та 2 можна
посилити. Нехай C,C0 ∈ BC(H), C > αI > 0, C0 > αI > 0, областi G = {x ∈ H | (Cx, x) <
< 1} та G0 = {x ∈ H | (C0x, x) < 1} мають фундаментальнi функцiї θ(x) =
1
j(C)
(1− (Cx, x))
та θ0(x) =
1
j(C0)
(1− (C0x, x)) вiдповiдно. Для x ∈ Ḡ ∩ Ḡ0
|θ(x)− θ0(x)| 6 |j(C − C0)|
j(C)j(C0)
+
|j(C)(C0x, x)− j(C0)(Cx, x)|
j(C)j(C0)
6
6
‖C − C0‖
α2‖j‖
+
|((C − C0)x, x)|
α‖j‖
+
|j(C − C0)||(C0x, x)|
α2‖j‖2
<
2 + |(αx, x)|
α2‖j‖
‖C − C0‖ 6
6
2 + |(Cx, x)|
α2‖j‖
‖C − C0‖ <
3
α2‖j‖
‖C − C0‖.
Тому мають мiсце наступнi твердження (їх доведення аналогiчнi доведенню тверджень 1 та 2
вiдповiдно).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
236 В. М. СТАТКЕВИЧ
Твердження 4. Нехай функцiї f̄ , ϕ̄, f̄0, ϕ̄0 ∈ X задано на всьому просторi H; u =
= u(x, f̄ , ϕ̄, G) та u0 = u(x, f̄0, ϕ̄0, G0) — розв’язки задачi (1), (2) в областях G та G0 з
умовами f̄ , ϕ̄ та f̄0, ϕ̄0 вiдповiдно. Тодi ∀ε > 0 ∃δ1, δ2, δ3 > 0 ∀x ∈ Ḡ ∩ Ḡ0 : (‖f̄ − f̄0‖ < δ1,
‖ϕ̄− ϕ̄0‖ < δ2, ‖C − C0‖ < δ3)⇒ (|u(x)− u0(x)| < ε).
Твердження 5. Нехай функцiї ā, f̄ , ϕ̄, ā0, f̄0, ϕ̄0 ∈ X задано на всьому просторi H;
u = u(x, ā, f̄ , ϕ̄, G) та u0 = u(x, ā0, f̄0, ϕ̄0, G0) — розв’язки задачi (5), (2) в областях G та
G0 з умовами ā, f̄ , ϕ̄ та ā0, f̄0, ϕ̄0 вiдповiдно. Тодi ∀ε > 0 ∃δ1, δ2, δ3, δ4 > 0 ∀x ∈ Ḡ ∩ Ḡ0 :
(‖ā− ā0‖ < δ1, ‖f̄ − f̄0‖ < δ2, ‖ϕ̄− ϕ̄0‖ < δ3, ‖C − C0‖ < δ4)⇒ (|u(x)− u0(x)| < ε).
Автор дякує Ю. В. Богданському за критичнi зауваження до даної роботи.
1. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. – М.: Наука, 1967. – 512 с.
2. Feller M. N. The Lévy Laplacian. – Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 2005. – 153 p.
3. Богданский Ю. В. Задача Коши для параболических уравнений с существенно бесконечномерными эллипти-
ческими операторами // Укр. мат. журн. – 1977. – 29, № 6. – С. 781 – 784.
4. Богданский Ю. В. Задача Коши для уравнения теплопроводности с нерегулярным эллиптическим оператором
// Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 5. – С. 584 – 590.
5. Богданский Ю. В. Задача Дирихле для уравнения Пуассона с существенно бесконечномерным эллиптическим
оператором // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 7. – С. 803 – 808.
6. Статкевич В. М. Об одной краевой задаче с существенно бесконечномерным оператором // Spectral and
Evolution Problems. – 2010. – 20. – P. 189 – 192.
7. Полищук Е. М. О функциональном лапласиане и уравнениях параболического типа // Успехи мат. наук. – 1964.
– 19, вып. 2(116). – C. 155 – 162.
8. Полищук Е. М. Об уравнениях типа Лапласа и Пуассона в функциональном пространстве // Мат. сб. – 1967. –
72(114), № 2. – С. 261 – 292.
9. Феллер М. Н. Об уравнении Пуассона в пространстве L2(C) // Докл. АН УССР. – 1966. – № 4. – С. 426 – 429.
10. Шилов Г. Е. О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. I // Функцион. анализ и его прил. –
1967. – 1, вып. 2. – С. 81 – 90.
11. Дорфман И. Я. О средних и лапласиане функций на гильбертовом пространстве // Мат. сб. – 1970. – 81, № 2.
– С. 192 – 208.
12. Сикирявый В. Я. Оператор квазидифференцирования и связанные с ним краевые задачи // Труды Моск. мат.
о-ва. – 1972. – 27. – С. 195 – 246.
13. Богданський Ю. В., Статкевич В. М. Нелiнiйнi рiвняння з суттєво нескiнченновимiрними диференцiальними
операторами // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 11. – С. 1571 – 1576.
14. Феллер М. Н. Об уравнении ∆U [x(t)] + P [x(t)]U [x(t)] = 0 в функциональном пространстве // Докл. АН
СССР. – 1967. – 172, № 6. – С. 1282 – 1285.
15. Шилов Г. Е. О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. III // Мат. сб. – 1967. – 74(116), № 1.
– С. 161 – 168.
16. Богданський Ю. В., Статкевич В. М. Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння з суттєво нескiнченновимiрними
операторами // Наук. вiстi НТУУ ”КПI”. – 2008. – № 2. – С. 144 – 147.
17. Соколовский В. Б. Поверхностный лапласиан Леви Ls и бесконечномерная задача с косой производной //
Вестн. Самар. гос. ун-та. – 1997. – №4(6). – С. 91 – 102.
Одержано 24.05.11,
пiсля доопрацювання — 30.01.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2569 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:25:58Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7b/fc700bcb375ed2f4b9e0604ff007617b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25692020-03-18T19:29:46Z Investigation of solutions of boundary-value problems with essentially infinite-dimensional elliptic operator Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором Statkevych, V. M. Статкевич, В. М. We consider Dirichlet problems for the Poisson equation and linear and nonlinear equations with essentially infinite-dimensional elliptic operator (of the Laplace -Levy type). The continuous dependence of solutions on boundary values and sufficient conditions for increasing the smoothness of solutions are investigated. Рассматриваются задачи Дирихле для уравнения Пуассона, линейного и нелинейного уравнений с существенно бесконечномерным эллиптическим оператором (типа Лапласа – Леви). Исследуется непрерывная зависимость решений от краевых условий и достаточные условия повышения гладкости решений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2569 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 2 (2012); 229-236 Український математичний журнал; Том 64 № 2 (2012); 229-236 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2569/1897 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2569/1898 Copyright (c) 2012 Statkevych V. M. |
| spellingShingle | Statkevych, V. M. Статкевич, В. М. Investigation of solutions of boundary-value problems with essentially infinite-dimensional elliptic operator |
| title | Investigation of solutions of boundary-value problems with essentially infinite-dimensional elliptic operator |
| title_alt | Дослідження розв'язків крайових задач з суттєво нескінченновимірним еліптичним оператором |
| title_full | Investigation of solutions of boundary-value problems with essentially infinite-dimensional elliptic operator |
| title_fullStr | Investigation of solutions of boundary-value problems with essentially infinite-dimensional elliptic operator |
| title_full_unstemmed | Investigation of solutions of boundary-value problems with essentially infinite-dimensional elliptic operator |
| title_short | Investigation of solutions of boundary-value problems with essentially infinite-dimensional elliptic operator |
| title_sort | investigation of solutions of boundary-value problems with essentially infinite-dimensional elliptic operator |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2569 |
| work_keys_str_mv | AT statkevychvm investigationofsolutionsofboundaryvalueproblemswithessentiallyinfinitedimensionalellipticoperator AT statkevičvm investigationofsolutionsofboundaryvalueproblemswithessentiallyinfinitedimensionalellipticoperator AT statkevychvm doslídžennârozv039âzkívkrajovihzadačzsuttêvoneskínčennovimírnimelíptičnimoperatorom AT statkevičvm doslídžennârozv039âzkívkrajovihzadačzsuttêvoneskínčennovimírnimelíptičnimoperatorom |