Diagonalizability of matrices over a principal ideal domain
A square matrix is said to be diagonalizable if it is similar to a diagonal matrix. We establish necessary and sufficient conditions for the diagonalizability of matrices over a principal ideal domain.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2576 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508496869457920 |
|---|---|
| author | Prokip, V. M. Прокіп, В. М. |
| author_facet | Prokip, V. M. Прокіп, В. М. |
| author_sort | Prokip, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:29:46Z |
| description | A square matrix is said to be diagonalizable if it is similar to a diagonal matrix. We establish necessary and sufficient conditions for the diagonalizability of matrices over a principal ideal domain. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.64
В. М. Прокiп (Iн-т прикл. проблем механiки i математики НАН України, Львiв)
ДIАГОНАЛIЗОВНIСТЬ МАТРИЦЬ
НАД ОБЛАСТЮ ГОЛОВНИХ IДЕАЛIВ
A square matrix is said to be diagonalizable if it is similar to a diagonal matrix. We establish necessary and sufficient
conditions for the diagonalizability of matrices over a principal ideal domain.
Квадратная матрица нызывается диагонализируемой, если она подобна диагональной матрице. В статье установлены
необходимые и достаточные условия диагонализируемости матриц над областью главных идеалов.
Вступ. Нехай R — область головних iдеалiв з одиницею e 6= 0, U(R) — мультиплiкативна група
областi R, F — поле часток областi R. Позначимо через Mm,n(R) множину (m × n)-матриць
над областю головних iдеалiв R. Якщо m = n, то кiльце (n×n)-матриць над R позначатимемо
через Mn(R). Далi In — одинична (n × n)-матриця, 0m,n — нульова (m × n)-матриця i O —
нульова матриця, вимiрнiсть якої визначатиметься з контексту.
Нехай характеристичний многочлен a(x) матрицi A ∈ Mn(R) допускає зображення у ви-
глядi добутку
a(x) = det(Inx−A) = (x− α1)
k1(x− α2)
k2 . . . (x− αr)kr ,
де αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , r; αi 6= αj при i 6= j. Кажуть, що матриця A ∈ Mn(R) дiагоналiзовна
(простої структури), якщо вона перетворенням подiбностi зводиться до дiагонального вигляду,
тобто для A iснує матриця U ∈ GL(n,R) така, що
UAU−1 =
r⊕
i=1
αiIki
— дiагональна матриця. Зрозумiло, що якщо A ∈ Mn(R) — матриця простої структури, то її
мiнiмальний многочленm(x) = (x−α1)(x−α2) . . . (x−αr) не має кратних коренiв. Якщо ж R —
поле, то остання умова є необхiдною та достатньою для дiагоналiзовностi матрицi A над полем
за допомогою перетворення подiбностi. Проте ця умова не є достатньою для дiагоналiзовностi
матриць за допомогою перетворення подiбностi над комутативними кiльцями з одиницею.
По аналогiї з умовами дiагоналiзовностi матриць над полем в [1] доведено, що A ∈Mn(R)
— матриця простої структури тодi i тiльки тодi, коли для неї iснує n рiзних власних векторiв
u1, u2, . . . , un ∈ M1,n(R), що вiдповiдають власним значенням α1, α2, . . . , αn (серед яких мо-
жуть бути й однаковi), таких, що вони є базою R-модуля M1,n(R). Проте з практичної точки
зору це є трудомiсткою задачею, i на даний час не встановлено умов такого iснування. В роботi
[2] вказано необхiднi та достатнi умови дiагоналiзацiї матрицi A ∈Mn(R) у випадку, коли її ха-
рактеристичний многочлен a(x) має n рiзних власних значень α1, α2, . . . , αn. Там же доведено,
що якщо (αi − αj) ∈ U(R) для всiх i 6= j, то матриця A має просту структуру. Умови, за яких
матриця A ∈Mn(R) з мiнiмальним многочленом m(x) = (x−α)(x−β), α 6= β, перетворенням
подiбностi зводиться до дiагонального вигляду, наведено в [3].
У данiй роботi встановлено необхiднi та достатнi умови звiдностi матриць iз Mn(R) за
допомогою перетворень подiбностi до дiагонального вигляду. Зауважимо, що одержанi резуль-
c© В. М. ПРОКIП, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2 283
284 В. М. ПРОКIП
тати справджуються для матриць над областями елементарних дiльникiв. Крiм цього, деякi з
них можна поширити на матрицi над ID-кiльцями [4], тобто над комутативними кiльцями з
одиницею, над якими iдемпотентна матриця дiагоналiзується.
Основнi результати. Нехай характеристичний многочлен a(x) матрицi A ∈ Mn(R) допу-
скає зображення у виглядi
a(x) = det (Inx−A) = (x− α1)
k1(x− α2)
k2 . . . (x− αr)kr ,
де αj ∈ R, j = 1, 2, . . . , r. Матрицi A та її власним значенням α1, α2, . . . , αr ∈ R поставимо у
вiдповiднiсть матрицi
WA =
In
A
...
Ar−1
∈Mnr,n(R), Wα =
In In . . . In
α1In α2In . . . αrIn
· · · · · · · · · · · ·
αr−1
1 In αr−1
2 In . . . αr−1
r In
∈Mnr(R).
Нижче опишемо структуру матриць, якi перетворенням подiбностi зводяться до дiагонального
вигляду.
Теорема 1. Нехай характеристичний многочлен матрицiA ∈Mn(R) допускає зображен-
ня у виглядi добутку
a(x) = det(Inx−A) = (x− α1)
k1(x− α2)
k2 . . . (x− αr)kr ,
де αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , r. Якщо матриця A подiбна до дiагональної матрицi, тобто
TAT−1 =
r⊕
i=1
αiIki ,
де T ∈ GL(n,R), то для матрицi A iснує єдиний набiр попарно ортогональних iдемпотентних
матриць P1, P2, . . . , Pr ∈Mn(R) (тобто P 2
i = Pi i PiPj = 0n,n, якщо i 6= j) таких, що
A = α1P1 + α2P2 + . . .+ αrPr.
Доведення. Нехай матриця A ∈Mn(R) з характеристичним многочленом
det(Ix−A) = (x− α1)
k1(x− α2)
k2 . . . (x− αr)kr , αi ∈ R,
подiбна до дiагональної матрицi, тобто
TAT−1 = DA =
α1Ik1 O . . . . . . O
O α2Ik2 O . . . O
. . . . . . . . . . . . . . .
O . . . . . . O αrIkr
,
де T ∈ GL(n,R). На пiдставi останньої рiвностi матрицюDA запишемо у виглядi суми матриць
DA = α1E1 + α2E2 + . . .+ αrEr, (1)
де E1 = diag ( e . . . e︸ ︷︷ ︸
k1
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n−k1
) ∈Mn(R) i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
ДIАГОНАЛIЗОВНIСТЬ МАТРИЦЬ НАД ОБЛАСТЮ ГОЛОВНИХ IДЕАЛIВ 285
Ei = diag ( 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
k1+k2+...+ki−1
e . . . e︸ ︷︷ ︸
ki
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
ki+1+...+kr
) ∈Mn(R), i = 2, 3, . . . , r.
Очевидно, що Ei — iдемпотентнi матрицi, тобто E2
i = Ei всiх i = 1, 2, . . . , r i EiEj = 0n,n для
всiх i 6= j. Крiм цього, iз рiвностi (1) отримуємо
E1 + E2 + . . .+ Er = In.
Враховуючи рiвнiсть (1), матрицю A записуємо у виглядi
A = T−1DAT = T−1(α1E1 + α2E2 + . . .+ αrEr)T = α1P1 + α2P2 + . . .+ αrPr,
де Pi = T−1EiT, i = 1, 2, . . . , r. Оскiльки Ei — iдемпотентнi матрицi, то Pi ∈ Mn(R) теж
iдемпотентнi матрицi, до того ж PiPj = 0n,n для всiх i 6= j.
Отже, P1 + P2 + . . .+ Pr = In, i для матрицi A iснує зображення у виглядi
A = α1P1 + α2P2 + . . .+ αrPr. (2)
З огляду на викладене вище та рiвнiсть (2) легко переконатись у тому, що
Ak =
(
α1P1 + α2P2 + . . .+ αrPr
)k
= αk1P1 + αk2P2 + . . .+ αkrPr
для всiх k = 1, 2, . . . , r.
Тепер одержуємо рiвнiсть
In In . . . In
α1In α2In . . . αrIn
· · · · · · · · · · · ·
αr−1
1 In αr−1
2 In . . . αr−1
r In
P1
P2
...
Pr
=
In
A
...
Ar−1
,
тобто рiвняння WαZ =WA є розв’язним. Очевидно, що
Wα = In ⊗W (α1, α2, . . . , αr),
де W (α1, α2, . . . , αr) =
e e . . . e
α1 α2 . . . αr
· · · · · · · · · · · ·
αr−1
1 αr−1
2 . . . αr−1
r
— матриця Вандермонда. Оскiльки Wα
— неособлива матриця, то матричне рiвняння WαZ =WA має єдиний розв’язок. Отже, матриця
Z0 =
P1
P2
...
Pr
є єдиним розв’язком цього рiвняння. Таким чином, зображення матрицi A у виглядi
суми (2) є єдиним з точнiстю до перестановки доданкiв.
Теорему доведено.
Нехай P ∈Mn(R) — iдемпотентна матриця рангу rankP = k. Вiдомо [4], що iдемпотентна
матриця P дiагоналiзовна, тобто для P iснує матриця U ∈ GL(n,R) така, що UPU−1 =
=
[
Ik O
O O
]
. Тепер доведемо лему, яка має i самостiйний iнтерес.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
286 В. М. ПРОКIП
Лема . Нехай P1, P2, . . . , Pk ∈Mn(R) — iдемпотентнi матрицi. Нехай, далi, rankPi = ri.
Якщо PiPj = 0n,n для всiх i 6= j, то для матриць P1, P2, . . . , Pk iснує матриця T ∈ GL(n,R)
така, що
TPiT
−1 = diag
(
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
r1+···+ri−1
e . . . e︸ ︷︷ ︸
ri
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n−(r1+···+ri)
)
, i = 1, 2, . . . , k.
Доведення проведемо методом математичної iндукцiї. Доведемо справедливiсть леми для
k = 2. Нехай T1 ∈ GL(n,R) така, що
T1P1T
−1
1 = P 1 =
[
Ir1 O
O O
]
.
Матрицю T1P2T
−1
1 запишемо у виглядi
T1P2T
−1
1 = P 2 =
[
P11 P12
P21 P22
]
,
де P11 ∈Mr1(R), P22 ∈Mn−r1(R).Очевидно, що P 1P 2 = P 2P 1. З останньої рiвностi випливає,
що P 2 =
[
O O
O P22
]
, де P22 — iдемпотентна матриця. Для матрицi P22 iснує матриця T2 ∈
∈ GL(n− r1,R) така, що
T2P22T
−1
2 =
[
Ir2 O
O O
]
.
Отже, для оборотної матрицi T =
[
Ir1 O
O T2
]
T1 справджуються рiвностi
TP1T
−1 = diag
(
e . . . e︸ ︷︷ ︸
r1
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n−r1
)
,
TP2T
−1 = diag
(
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
r1
e . . . e︸ ︷︷ ︸
r2
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n−(r1+r2)
)
.
Припустимо, що лема справедлива при k − 1, тобто для iдемпотентних матриць P1, P2, . . .
. . . , Pk−1 ∈Mn(R) iснує матриця T0 ∈ GL(n,R) така, що
T0PiT
−1
0 = P i = diag
(
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
r1+...+ri−1
e . . . e︸ ︷︷ ︸
ri
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n−(r1+...+ri)
)
, i = 1, 2, . . . , k − 1.
Матрицю T0PkT
−1
0 запишемо у виглядi
T0PkT
−1
0 = P k =
P11 P12 . . . P1r
P21 P22 . . . P2r
. . . . . . . . . . . .
Pr1 Pr2 . . . Prr
,
де Pij ∈Mri,rj (R) для всiх i, j = 1, 2, . . . , r.
Оскiльки PiPj = 0n,n для всiх i 6= j, то очевидно, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
ДIАГОНАЛIЗОВНIСТЬ МАТРИЦЬ НАД ОБЛАСТЮ ГОЛОВНИХ IДЕАЛIВ 287
P iP k = P kP i = 0n,n
для всiх i 6= k. З останньої рiвностi отримуємо, що P k =
[
O O
O Pkk
]
, де Pkk ∈ Mrk(R) —
iдемпотентна матриця. Нехай Tkk ∈ GL(rk,R) така, що
TkkPkkT
−1
kk =
[
Irk O
O O
]
.
Неважко переконатись у тому, що для матрицi T =
[
In−rk O
O Tkk
]
T0 справджуються рiвностi
TPiT
−1 = diag
(
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
r1+...+ri−1
e . . . e︸ ︷︷ ︸
ri
0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n−(r1+...+ri)
)
для всiх i = 1, 2, . . . , k, що i доводить лему.
Тепер доведемо основний результат даної статтi.
Теорема 2. Нехай характеристичний многочлен матрицiA ∈Mn(R) допускає зображен-
ня у виглядi добутку
det(Inx−A) = (x− α1)
k1(x− α2)
k2 . . . (x− αr)kr , αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , r.
Матриця A дiагоналiзовна, тобто для A iснує матриця T ∈ GL(n,R) така, що
TAT−1 =
r⊕
i=1
αiIki
тодi i тiльки тодi, коли виконуються наступнi двi умови:
a) m(x) = (x− α1)(x− α2) . . . (x− αr) — мiнiмальний многочлен матрицi A;
b) вiдповiднi iнварiантнi множники матриць Wα i
[
Wα WA
]
збiгаються з точнiстю до
дiльникiв одиницi.
Доведення. Необхiднiсть випливає з теореми 1.
Достатнiсть. Нехай A ∈Mn(R) — матриця з характеристичним многочленом
a(x) = det(Inx−A) = (x− α1)
k1(x− α2)
k2 . . . (x− αr)kr , αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , r,
та мiнiмальним многочленом m(x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αr). Нехай, далi, вiдповiднi
iнварiантнi множники матрицьWα i
[
Wα WA
]
збiгаються мiж собою з точнiстю до дiльникiв
одиницi. Отже, матричне рiвняння
WαZ =WA (3)
є розв’язним. Нехай, далi, матриця Z0 =
P1
P2
...
Pr
∈ Mnr,n(R), де Pj ∈ Mn(R), j = 1, 2, . . . , r,
— розв’язок цього рiвняння. Iз рiвностi (3) отримуємо, що для матрицi A ∈ Mn(R) iснує
зображення у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
288 В. М. ПРОКIП
A = α1P1 + α2P2 + . . .+ αrPr. (4)
Нехай F — поле часток областi R. Оскiльки мiнiмальний многочлен матрицi A ∈ Mn(R)
не має кратних коренiв, то матриця A над полем F перетворенням подiбностi зводиться до
дiагонального вигляду, тобто для матрицi A iснує матриця T ∈ GL(n,F) така, що
TAT−1 =
r⊕
i=1
αiIki .
На пiдставi теореми 1 для матрицi A над полем F iснує єдиний набiр попарно ортогональних
iдемпотентних матриць Q1, Q2, . . . , Qr ∈Mn(F) (Q2
i = Qi, QiQj = 0n,n, i 6= j) таких, що
A = α1Q1 + α2Q2 + . . .+ αrQr.
Отже, матриця X0 =
Q1
Q2
...
Qr
∈ Mnr,n(F) є розв’язком рiвняння (3). Оскiльки рiвняння (3) має
єдиний розв’язок, то очевидно, що X0 = Z0. Отже, Pi = Qi — iдемпотентнi матрицi, до
того ж PiPj = 0n,n для всiх i 6= j. На пiдставi леми матрицi P1, P2, . . . , Pr одним i тим же
перетворенням подiбностi зводяться до дiагонального вигляду. Отже, враховуючи рiвнiсть (4),
приходимо до висновку, що матриця дiагоналiзовна.
Теорему доведено.
Iз теореми 2 отримуємо узагальнення твердження 2 роботи [2].
Наслiдок. Нехай характеристичний многочлен a(x) матрицi A ∈Mn(R) допускає зобра-
ження у виглядi добутку
a(x) = det(Inx−A) = (x− α1)
k1(x− α2)
k2 . . . (x− αr)kr ,
де αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , r. Нехай, далi, мiнiмальний многочлен матрицi A не має кратних
коренiв, тобто m(x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αr). Якщо (αi − αj) ∈ U(R) для всiх i 6= j,
i, j = 1, 2, . . . , r, то матриця A дiагоналiзовна, тобто для A iснує матриця T ∈ GL(n,R)
така, що
TAT−1 =
r⊕
i=1
Ikiαi.
1. Richter R. B., Wardlaw W. P. Diagonalization over commutative rings // Amer. Math. Monthly. – 1990. – 97, № 3. –
P. 223 – 227.
2. Prokip V. On similarity of matrices over commutative rings // Linear Algebra and Appl. – 2005. – 399. – P. 225 – 233.
3. Прокiп В. М. Дiагоналiзацiя матриць над областю головних iдеалiв з мiнiмальним многочленом m(λ) =
= (λ− α)(λ− β), α 6= β // Укр. мат. вiсн. – 2010. – 7, № 2. – С. 212 – 219.
4. Steger A. Diagonability of idempotent matrices // Pacif. J. Math. – 1969. – 19, № 3. – P. 535 – 542.
Одержано 26.01.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-2576 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:08Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a5/4f51497e0f8477ede2d14c3c7c39dba5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25762020-03-18T19:29:46Z Diagonalizability of matrices over a principal ideal domain Діагоналізовність матриць над областю головних ідеалів Prokip, V. M. Прокіп, В. М. A square matrix is said to be diagonalizable if it is similar to a diagonal matrix. We establish necessary and sufficient conditions for the diagonalizability of matrices over a principal ideal domain. Квадратная матрица нызывается диагонализируемой, если она подобна диагональной матрице. В статье установлены необходимые и достаточные условия диагонализируемости матриц над областью главных идеалов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2576 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 2 (2012); 283-288 Український математичний журнал; Том 64 № 2 (2012); 283-288 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2576/1911 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2576/1912 Copyright (c) 2012 Prokip V. M. |
| spellingShingle | Prokip, V. M. Прокіп, В. М. Diagonalizability of matrices over a principal ideal domain |
| title | Diagonalizability of matrices over a principal ideal domain |
| title_alt | Діагоналізовність матриць над областю головних ідеалів |
| title_full | Diagonalizability of matrices over a principal ideal domain |
| title_fullStr | Diagonalizability of matrices over a principal ideal domain |
| title_full_unstemmed | Diagonalizability of matrices over a principal ideal domain |
| title_short | Diagonalizability of matrices over a principal ideal domain |
| title_sort | diagonalizability of matrices over a principal ideal domain |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2576 |
| work_keys_str_mv | AT prokipvm diagonalizabilityofmatricesoveraprincipalidealdomain AT prokípvm diagonalizabilityofmatricesoveraprincipalidealdomain AT prokipvm díagonalízovnístʹmatricʹnadoblastûgolovnihídealív AT prokípvm díagonalízovnístʹmatricʹnadoblastûgolovnihídealív |