Inverse Jackson theorems in spaces with integral metric
In the spaces $L_{\Psi}(T)$ of periodic functions with metric $\rho(f, 0)_{\Psi} = \int_T \Psi(|f(x)|)dx$, where $\Psi$ is a function of the modulus-of-continuity type, we investigate the inverse Jackson theorems in the case of approximation by trigonometric polynomials. It is proved that the inver...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2581 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508502479339520 |
|---|---|
| author | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_facet | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_sort | Pichugov, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:02Z |
| description | In the spaces $L_{\Psi}(T)$ of periodic functions with metric $\rho(f, 0)_{\Psi} = \int_T \Psi(|f(x)|)dx$, where $\Psi$ is a function of the
modulus-of-continuity type, we investigate the inverse Jackson theorems in the case of approximation by trigonometric polynomials.
It is proved that the inverse Jackson theorem is true if and only if the lower dilation exponent of the function $\Psi$ is not equal to zero. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
© С. А. ПИЧУГОВ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3 351
УДК 517.5
С. А. Пичугов (Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. трансп.)
ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЖЕКСОНА
В ПРОСТРАНСТВАХ С ИНТЕГРАЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ
In the spaces L! (T ) of periodic functions with metric !( f , 0)" = "(| f (x) |)T# dx , where ! is a function of the
modulus-of-continuity type, we investigate the inverse Jackson theorems in the case of approximation by trigonometric
polynomials. It is proved that the inverse Jackson theorem is true if and only if the lower dilation exponent of the function
! is not equal to zero.
У просторах L! (T ) періодичних функцій з метрикою !( f , 0)" = "(| f (x) |)T# dx , де ! — функція типу мо-
дуля неперервності, досліджуються обернені теореми Джексона у випадку апроксимації тригонометричними
поліномами. Доведено, що обернена теорема Джексона має місце тоді і тільки тоді, коли нижній показник роз-
тягнення функції ! не дорівнює нулеві.
1. Введение. Для действительнозначных функций f (x) , x !R , имеющих период 1,
L0 ! L0 (T ) — множество измеримых и почти всюду конечных функций на основном торе пе-
риодов T = [0,1] ; ! — множество функций ! : R+1 " R+1 , являющихся модулем непрерыв-
ности;
L! " L! (T ) = f #L! : f ! := !( f (x) )dx < $
T
%
&
'
(
)(
*
+
(
,(
— метрические пространства (в случае ! "#). В частности, для 0 < p < 1 f p : =
: = f (x) p dx
T! .
Через Tn (x) будем обозначать тригонометрические полиномы периода 1, а через
! k ( f , h)" — k -й модуль непрерывности f , т. e.
! k ( f , h)" = sup
s #h
$ s
k f
"
, k !N ,
! s
k = ! s ! s
k"1( ) , ! s
1 f x( ) := ! s f x( ) := f x + s( ) " f x( ) .
En ( f )! = inf
Tn
f " Tn !
— наилучшее приближение f в L! тригонометрическими полиномами степени не вы-
ше n .
В работах [1, 2] исследовался вопрос о наличии в пространствах L! прямых неравенств
Джексона, точнее, вопрос о наличии соотношений
352 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
sup
n
sup
f !L" , f #const
En( f )"
$( f , 1/n)"
< % . (1)
Выяснилось, что ответ на этот вопрос зависит от значений нижнего показателя растяжения
! " функции ! .
Пусть для s !(0,")
M! (s) := sup
0 < t <"
!(st)
!(t)
— функция растяжения ! [3]. Тогда ! " — такое число из [0,1], что для всех s ![0,1]
M! (s) " s# ! ,
и в то же время для любого ! > 0 найдется константа C! такая, что
M! (s) " C#s
$ ! %# , s ![0,1].
В [2] доказано, что в пространстве L! неравенства Джексона (1) имеют место тогда и только
тогда, когда ! " > 0 .
В настоящей работе мы исследуем задачу о наличии в пространствах L! обратных тео-
рем Джексона, характеризующих дифференциально-разностные свойства функций с заданной
последовательностью наилучших приближений. Будет показано, что ответ снова существенно
зависит от значений ! " .
Отметим кратко основные известные результаты по обратным неравенствам Джексона в
пространствах Lp , 0 < p ! " (при p = ! под L! подразумеваем C(T )).
Пусть k,!r,!n !N .
1. Случай 1 ! p ! " [4 – 6]:
! k f , 1n( )p " Ck
nk
j k#1E j#1( f )p
j=1
n
$ .
2. Случай 1 < p < ! [7]: при ! := min (p, 2)
! k f , 1n( )p "
Ck, p
nk
j#k$1E j$1
# ( f )p
j=1
n
%
&
'
(
)
*
+
1/#
.
3. Случай 1 ! p ! " [5, 8]: если при некотором r
j r!1E j!1( f )p < "
j=1
"
# ,
то f (r!1) "AC, f (r) !Lp и для любого k
ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ С ИНТЕГРАЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ 353
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
! k f (r), 1n( )p " Ck,r 1
nk
j r#1+kE j#1( f )p + j r#1
j=n+1
$
% E j#1( f )p
j=1
n
%
&
'
(
)
*
+ .
4. Случай 1 < p < ! [7, 9]: если при некотором r
j!r"1E j"1
! ( f )p < #
j=1
#
$ , ! := min (p,!2) ,
то f (r!1) "AC, f (r) !Lp и для любого k
! k f (r), 1n( )p " Ck,r, p 1
nk
j#(k+r)$1E j$1
# ( f )p
j=1
n
%
&
'
(
)
*
+
1/#
+ j#r$1E j$1
# ( f )p
j=n+1
,
%
&
'
(
)
*
+
1/#&
'
(
(
)
*
+
+
.
Подробнее с этими результатами можно ознакомиться в [10, 11].
5. Случай 0 < p < 1 [12, 13]:
! k f , 1n( )p "
Ck, p
nk
j k#1E j#1( f )p
j=1
n
$ .
6. Случай 0 < p < 1 [13]: если f ! Tn p = O(En ( f )p ) и при некотором r
j rp!1E j!1( f )p
j=1
"
# < " ,
то f имеет r -ю производную f (r) в смысле Lp и
f (r) ! Tn(r) p
" Cr, p nrpEn ( f )p + j rp!1E j!1( f )p
j=n+1
#
$
%
&
'
(
)
* .
При исследовании обратных неравенств Джексона в L! мы придерживаемся классиче-
ской схемы доказательств, основанной на неравенствах типа С. Н. Бернштейна для прираще-
ний и производных тригонометрических полиномов. Полиномиальные неравенства в L! изу-
чались в [14]. Приведeм те неравенства из [14], которые будут здесь использоваться.
Пусть k,!r = 0,!1,… , h !(0,!1/2] и ! " > 0 . Тогда при всех n !N
!hkTn(r) "
# Cr,kM" (nr min((nh)k ,1)) Tn " , (2)
!h
h " D#
$
%
& Tn
(r)
'
( CrM' max
k ( n
k r sin()kh)
h " )k#
$*
%
&+
#
$*
%
&+ Tn ' . (3)
354 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
2 . Обратная теорема Джексона в случае ! " > 0 .
Теорема 1. Пусть ! " > 0 . Тогда для любого k !N найдется константа C = C(k,!)
такая, что для всех f !L" и всех h !(0,1/2] имеют место неравенства
! k ( f , h)" # C
M" (( jh)k )
j E j$1( f )"
j=1
[1/h]
% . (4)
Доказательство. Для функции растяжения M! будем использовать мультипликатив-
ное неравенство M! u " v( ) # M! u( ) "M! v( ), вытекающее из определения.
Обозначим ej := E j ( f )! , и пусть Tn — полином наилучшего приближения f в L!
степени n (существование таких полиномов см. в [15]). Для доказательства (4) без ограниче-
ния общности можно считать, что T0 = 0 .
Пусть сначала h = 2!n . Тогда
f != ! f ! T2n !1( ) + T2n !1 != ! f ! T2n !1 + T2 j !1 ! T2 j!1!1( )
j=1
n
" ,
(5)
!
1/2n
k f
"
! # !2k e2n $1 + !
1/2n
k T2 j $1 $ T2 j$1$1( )
"j=1
n
% .
Из (2) при r = 0 получаем
!
1/2n
k (T2 j "1 " T2 j"1"1) #
! $ !C1M# (2( j"n)k ) T2 j "1 " T2 j"1"1 #
≤
≤ 2C1M! (2( j"n)k )e2 j"1"1 . (6)
Из (5) и (6) вытекает
! k f , 1
2n
"
#$
%
&' (
! ) !C2 M( (2( j*n)k )e2 j*1*1
j=1
n+1
+ . (7)
Из монотонного убывания en следует, что
e2 j !1 ! " !2
es!1
s
s=2 j!1+1
2 j
# (8)
при j ! 1, а из монотонного возрастания M! (x) — что
M! (2( j"n)k ) ≤ M! (2k )M!
1
2nk
2k( j"1)#
$%
&
'( ≤ M! (2k )M!
s
2n
"
#$
%
&'
k"
#
$
%
&
' (9)
при s > 2 j!1.
ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ С ИНТЕГРАЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ 355
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
Используя (8), (9), из (7) в случае h = 1
2n
получаем (4):
! k f , 1
2n
"
#$
%
&' (
) C2 M( (2( j*n)k ) 2
j=2
n+1
+ es*1
s
s=2 j*2 +1
2 j *1
+ + C2M( (2*nk )e0 ≤
≤
C2 2M! (2k )
M! (s/2n )k( )
s
s=2 j"2 +1
2 j "1
#
j=2
n+1
# es"1 + C2M! (2"nk ) e0 ≤
≤
C3
M! (s/2n )k( )
s es"1
s=1
2n
# . (10)
Для произвольного h !(0,!1/2] найдем n !N такое, что h ! 2"(n+1),!2"n( #$ , и с помощью
(10) получим
! k ( f , h)" # ! k f , 1
2n
$
%&
'
() "
# C3
M" (1/2n )k( )
s es*1
s=1
2n
+ ≤
≤ C3
M! sk (2h)k( )
s es"1 #
s=1
2n
$ C3M! (2k )
M! (sh)k( )
s es"1
s=1
[1/h]
$ .
Теорема 1 доказана.
Утверждение теоремы 1 является неулучшаемым в следующем смысле.
Теорема 2. Какова бы ни была неотрицательная функция !(h) , h !(0,!1/2] , такая,
что !(h)" 0 при h! 0 , неравенство
! k ( f , h)" # $(h)C
M" ( jh)k( )
j E j%1( f )"
j=1
1/h[ ]
&
для h !(0,!1/2] на всем пространстве L! невозможно ни при какой константе C (не
зависящей от f и h ).
Доказательство. Рассмотрим семейство функций
fA (x) = A sin(2!x) , A > 0 .
Очевидно, что при j > 1 E j!1( fA )" = 0 , E0 ( fA )! " fA ! " !(A) , поэтому
M! ( jh)k( )
j E j"1( fA )!
j=1
1/h[ ]
# $ M! (hk )!(A) . (11)
356 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
Теперь оценим !( fA , h)" снизу:
!hk fA "
= A(2 sin #h)k sin 2#x
"
>
>
! A(2 sin "h)k sin 2"x( ) dx >
x#$: sin 2"x % 2/2{ }
& ! A(2 sin "h)k 2
2
'
()
*
+,
1
2 ≥
≥ ! A(4h)k 2
2
"
#$
%
&'
1
2 , (12)
так как при h !(0,1/2] sin !h " 2h.
Из (11) и (12) получаем
sup
{ fA}
! k ( fA , h)"
#(h)
M" (( jh)k )
j E j$1( fA )"j=1
[1/h]%
> sup
A>0
2$1"(22k$1/2hkA)
#(h)M" (hk )"(A)
=
= 2!1
"(h)M# (hk )
sup
A>0
#(22k!1/2hkA)
#(A) = 2!1
"(h)M# (hk )
M# (22k!1/2hk ) ≥
≥ 2!1
M" (2!(2k!1/2) )
1
#(h) $ % , h! 0 .
Отсюда следует утверждение теоремы.
Теорема 1 позволяет дать конструктивную характеристику некоторых функциональных
классов в L! .
Для ! "(0,1] определим стандартным образом классы Липшица
Lip (!,") := f #L" : $( f , h)" % C f h! , h # 0, 12( &
'{ } .
Теорема 3. Пусть ! " > 0 . Тогда для любого ! "(0, # $ ) следующие утверждения
эквивалентны:
1) f !Lip (",#) ,
2) !K f "n #N : En!1( f )" # K f n!$ .
Доказательство. Импликация 1) ! 2) следует из прямой теоремы Джексона в L! [2],
и справедлива для всех ! "(0,1].
Пусть теперь справедливо утверждение 2. Из свойств ! " следует, что для любого ! > 0
найдется константа C(!) такая, что для всех y !(0,1] выполняется M! (y) " C(#)y
$ ! %# .
Для заданного ! "(0, # $ ) выберем ! > 0 из условия ! < " # $ % и воспользуемся теоре-
мой 1:
ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ С ИНТЕГРАЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ 357
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
!( f , h)" # C
M" ( jh)
j K f j$% #
j=1
1/h[ ]
& C1(')
( jh)( " $'
j K f j$%
j=1
1/h[ ]
& =
= C2 ( f , !) h
" # $! j " # $!$%$1 &
j=1
1/h[ ]
' C3( f , !) h
" # $! 1
h
(
)
*
+
" # $!$%
& C4 ( f , !) h% .
Итак, импликация 2) ! 1), а следовательно, и теорема доказаны.
Заметим, что для пространств Lp , 0 < p < 1, ! " = p , и в случае ! " #$ имплика-
ция 2) ! 1) становится неверной [12]. По-видимому, так будет в каждом пространстве L!
при ! " > 0 .
Теорему 3 можно переформулировать следующим образом: если ! " > 0 , то для любого
! "(0,1)
f !Lip (" # $%, #)( ) & En'1( f )# ( K f
1
n"#( )% , n = 1, 2,…
)
*+
,
-.
. (13)
Поскольку функция x ! " при x !(0,1) ,,близка” к функции M! (x), соотношения (13) на-
водят на мысль о возможности конструктивной характеристики классов
H M!
"
:= f #L! : $( f ; h)! % C f (M! (h))" , h # 0, 12
&
' ){ } ,
где ! "(0,1] . Заметим, что при ! " > 0 функция M! (h) является функцией типа модуля
непрерывности, поэтому классы H M!
"
наряду с липшицевыми принадлежат шкале классиче-
ских классов H!
" . В пространствах Lp , очевидно, H M!
"
= Lip (# ! $", !) , однако легко ви-
деть, что для произвольных ! "# это будут, вообще говоря, различные классы.
Для формулировки результата нам понадобится определение верхнего показателя растяже-
ния !" функции ! (см. [3, с. 76]): в случае ! "# !" — такое число из отрезка [! " ,1] ,
что при s > 1 M! (s) " s
#! , но для любого ! > 0 M! (s) " C#s
$! +# .
Теорема 4. Пусть ! " > 0 . Тогда для любого ! "(0, # $ /%$ ) следующие утверждения
эквивалентны:
1) f !H M"
#
;
2) !K f "n #N : En!1( f )" # K f (M" (1/n))$ .
Доказательство. Из прямой теоремы Джексона следует импликация 1) ! 2) для
любого ! "(0,1) .
Пусть выполняется утверждение 2. Поскольку
M!
1
j
"
#
$
% = M!
1
jh h
"
#
$
% & M!
1
jh
"
#
$
% M! (h) ,
358 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
из теоремы 1 следует
!( f , h)" # C
M" ( jh)
j K f M"
$ 1
j
%
&
'
( #
j=1
1/h[ ]
) M"
$ (h) *C1
M" ( jh)
j M"
$ 1
jh
%
&
'
(j=1
1/h[ ]
) .
Всe будет доказано, если мы покажем, что при h! 0
Uh :=
M! ( jh)
j M!
" 1
jh
#
$
%
&j=1
1/h[ ]
' = O(1) .
По условию ! " > #$" . Выберем ! > 0 настолько малым, чтобы ! " # $ > %(&" + $). Из
свойств показателей растяжения следует, что
M! ( jh) " C(#)( jh)$ ! %# , M!
1
jh
"
#
$
% & C(') 1
jh
"
#
$
%
(! +'
.
Тогда
Uh ! "C (#) ( jh)$% &#
j
1
jh
'
(
)
*
+(,% +#)
j=1
1/h[ ]
- =
= !C (")h# $ %"%&('$ +") j%1+(# $ %")%&('$ +")
j=1
1/h[ ]
( ≤
≤ !!C (")h# $ %"%&('$ +") 1
h( )# $ %"%&('$ +")
= O(1) .
Теорема 4 доказана.
3. О существовании обратной теоремы в L! .
Определение 1. Скажем, что в пространстве L! для данного k !N имеет место
обратная теорема Джексона (для модуля непрерывности k -го порядка) в форме
! k ( f , h)" # C $ j (h)E j%1( f )"
j=1
&([1/h])
' , (14)
если найдутся функции
! j (h) , j !N , ! j : 0, 12
"
#
$
% & R+ ,
целочисленная функция ! : N " N и константа C такие, что для всех f !L" ,
h !(0,!1/2] выполнены неравенства (14) и при этом для любого f !L"
ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ С ИНТЕГРАЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ 359
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
lim
h!0
" j (h)E j#1( f )$ = 0
j=1
%([1/h])
& . (15)
Поскольку limh!0 " k ( f , h)# = 0 , условие (15) нам представляется естественным для то-
го, чтобы правая часть (14) была «хорошей» мажорантой для модулей непрерывности.
Отметим, что из (15) следует, что limh!0 " j (h) = 0 !j "N .
Теорема 5. Каким бы ни было k !N , в пространстве L! имеет место обратная
теорема Джексона в форме (14) для k -го модуля непрерывности тогда и только тогда,
когда ! " > 0 .
Доказательство. При ! " > 0 см. теорему 1.
Пусть ! " = 0 . Допустим противное: для некоторых k , ! j (h) , ! , C выполняются нера-
венства (14) для всех f !L" , h !(0,!1/2] . Применим (14) к семейству функций
fA (x) = A sin(2!x), A > 0 .
Так как (см. (12))
! k ( fA , h)" # 2$1"(22k$1/2hkA) ,
! j (h)E j"1( fA )#
j=1
$([1/h])
% & !1(h)#(A) ,
для любого h !(0,1/2]
C ! sup
{ fA}
" k ( fA , h)#
$ j (h)E j%1( fA )#
j=1
&[1/h]
'
! sup
A
2%1#(22k%1/2hkA)
$1(h)#(A)
= 2%1
$1(h)
M# (22k%1/2hk ) .
Поскольку в случае ! " = 0 M! (s) = 1 !s "(0,1], при всех достаточно малых h
C ! 2"1
#1(h)
,
что невозможно, так как при h! 0 !1(h)" 0 .
Теорема 5 доказана.
4 . Дифференциально-разностные свойства функции и еe наилучшие приближения.
В зависимости от скорости убывания наилучших приближений f в L! будем исследовать
вопрос о существовании производных функции f в этом же пространстве L! . При этом
используем следующее известное понятие глобальной производной, но сформулированное для
случая пространств L! .
360 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
Определение 2. Скажем, что функция g !L" является (глобальной) L! -производной
для f !L" (и будем обозначать g = !f ), если
lim
h!0
1
h ( f (x + h) " f (x)) " g(x)
#
= 0 .
Далее, если у этой функции g существует L! -производная, то обозначим еe !!f и
назовем L! -производной для f !L" второго порядка (и т. д.).
Теорема 6. Пусть ! " > 0 и для заданного r !N функция f из L! такова, что
сходится ряд
M! ( jr )
j E j"1( f )! < #
j=1
#
$ . (16)
Тогда:
1. Существуют L! -производные !f ,… , f (r) функции f до порядка r включи-
тельно.
2. Для любого k !N существует константа C = C(k, r,!) такая, что для всех
h !(0,1/2] выполняется неравенство
! k ( f (r), h)" # C M ( j r ( jh)k )
j E j$1( f )"
j<1/h
% + M ( j r )
j E j$1( f )"
j&1/h
%
'
(
)
*
+
, . (17)
Доказательство. Пусть Tn — полином наилучшего приближения f , T0 = 0 (без огра-
ничения общности),
S(!)( f ) := (T2 j "1 " T2 j"1"1
j=1
#
$ )(!) , ! = 0, 1, 2,… , r . (18)
Условие (16) гарантирует L! -сходимость рядов (18). Действительно, поскольку ! " > 0 , по
неравенству Бернштейна (2)
(T2 j !1 ! T2 j!1!1)
(")
#
$ C1M# (2 j" ) T2 j !1 ! T2 j!1!1 #
$ 2C1M# (2 j" )E2 j!1!1( f )# ,
поэтому, действуя аналогично (8) – (10), получаем
(T2 j !1 ! T2 j!1!1)
(")
j=1
#
$
%
& 2C1 M% (2 j" )E2 j!1!1( f )%
j=1
#
$ & C2
M% ( j" )
j E j!1( f )%
j=1
#
$
(на последнем этапе использовали монотонное возрастание функции M! (s)).
Таким образом, корректно определены функции S(!)( f ) как элементы пространства L! .
ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ С ИНТЕГРАЛЬНОЙ МЕТРИКОЙ 361
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
Докажем первое утверждение теоремы. Для этого достаточно показать, что для
всех ! " r
f (!) = S(!)( f ) . (19)
Очевидно, что f (0) := f = S( f ) := S(0)( f ) . Поэтому допустим, что (19) справедливо для
! " r # 1, и докажем, что f (r) = S(r)( f ) .
Для любого h ! 0 и N !" имеем
!h
h f (r"1) " S(r)( f )
#
= !h
h S(r"1)( f ) " S(r)( f )
#
≤
≤ !h
h Dr"1 " Dr#
$
%
& (T2 j "1 " T2 j"1"1) 'j=0
(
) =
j=1
N
) +
j>N
) := (h)1) + (h)2) .
Для оценки (h)2! используем (3) и неравенство sin xx ! 1 :
(h)2! " C3 M# (2 jr )E2 j$1$1( f )#
j>N
! . (20)
Из условия (16) следует, что правая часть неравенства (20) является остатком сходящегося
ряда, поэтому с ростом N стремится к нулю. Тем самым (h)2! можно сделать как угодно
малым при всех h , если N достаточно велико.
Оценим (h)1! при любом фиксированном N с помощью (3):
(h)1! " C4 M# max
k " 2 j
k r$1 sin(%kh)
h $ %k&
'(
)
*+
&
'(
)
*+j=1
N
! E2 j$1$1( f )# ≤
≤ C4M! 2N (r"1) max
k # 2N
sin($kh)
h " $k
%
&'
(
)*
E2 j"1"1
j=1
N
+ ( f )! .
Отсюда следует, что (h)1! " 0 при h! 0 .
Таким образом,
lim
h!0
"h
h f (r#1) # S(r)( f )
$
= 0 ,
и первое утверждение теоремы доказано.
Докажем (17). Используя (2), имеем
362 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 3
!hk f (r) "
= (T2 j #1 # T2 j#1#1)
($)
j=1
%
&
"
≤
≤ 2C5 M! 2 jr min (2 j h)k ,1( )( )
j=1
"
# E2 j$1$1( f )! =
= 2C5 M! (2 j(r+k )hk )E2 j"1 "1( f )!
2 j <1/h
# + M! (2 jr )E2 j"1"1( f )!
2 j $1/h
#
%
&
'
'
(
)
*
*
.
Дальнейшие преобразования стандартные (см. доказательство теоремы 1).
Теорема 6 доказана.
1. Пичугов С. А. О теореме Джексона для периодических функций в пространствах с интегральной метрикой //
Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 1. – С. 122 – 133.
2. Пичугов С. А. О теореме Джексона для периодических функций в метрических пространствах с интегральной
метрикой. II // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 11. – С. 1524 – 1533.
3. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. – М.: Наука, 1978. – 400 с.
4. Salem R. Essais sur les Series trigonometriques. – Paris, 1940.
5. Стечкин С. Б. О порядке наилучшего приближения непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1951.
– 15. – С. 219 – 242.
6. Тиман А.Ф., Тиман М.Ф. Обобщенный модуль непрерывности и наилучшее приближение в среднем // Тр.
IV Всесоюз. мат. съезда. – 1964. – 3. – С. 683 – 693.
7. Тиман М.Ф. Обратные теоремы конструктивной теории функций в пространствах Lp // Мат. сб. –1958. – 46,
№ 1. – С. 125 – 132.
8. Тиман А. Ф. Исследования по теории приближения: Автореф. … д-ра физ.-мат. наук. – Днепропетровск, 1951.
9. Бесов О. В. О некоторых условиях принадлежности к Lp производных периодических функций // Науч. докл.
высш. школы. Физ.-мат. науки. –1959. – 1. – С. 13 – 17.
10. Тиман М. Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. – Киев: Наук. думка, 2009. – 375 с.
11. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
12. Стороженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах
Lp , 0 < p < 1 // Мат. сб. – 1975. – 98, № 3. – С. 395 – 415.
13. Иванов В. И. Прямые и обратные теоремы теории приближения в метрике Lp для 0 < p < 1 // Мат. замет-
ки. – 1975. – 18, № 5. – С. 641 – 658.
14. Пичугов С. А. Неравенства для тригонометрических полиномов в пространствах с интегральной метрикой //
Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 12. – С. 1657 – 1671.
15. Гаркави А. Л. Теоремы о существовании элемента наилучшего приближения в пространствах типа (F) с ин-
тегральной метрикой // Мат. заметки. – 1970. – 8, № 4. – С. 583 – 594.
Получено 10.10.11,
после доработки — 09.02.12
|
| id | umjimathkievua-article-2581 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:14Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d7/de7b63781fff515e7f152a0a6c5de3d7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25812020-03-18T19:30:02Z Inverse Jackson theorems in spaces with integral metric Обратные теоремы Джексона в пространствах с интегральной метрикой Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. In the spaces $L_{\Psi}(T)$ of periodic functions with metric $\rho(f, 0)_{\Psi} = \int_T \Psi(|f(x)|)dx$, where $\Psi$ is a function of the modulus-of-continuity type, we investigate the inverse Jackson theorems in the case of approximation by trigonometric polynomials. It is proved that the inverse Jackson theorem is true if and only if the lower dilation exponent of the function $\Psi$ is not equal to zero. У просторах $L_{\Psi}(T)$ періодичних функцій з метрикою $\rho(f, 0)_{\Psi} = \int_T \Psi(|f(x)|)dx$, де $\Psi$ — функція типу модуля неперервності, досліджуються обернені теореми Джексона у випадку апроксимації тригонометричними поліномами. Доведено, що обернена теорема Джексона має місце тоді і тільки тоді, коли нижній показник розтягнення функції $\Psi$ не дорівнює нулеві. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2581 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 3 (2012); 351-362 Український математичний журнал; Том 64 № 3 (2012); 351-362 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2581/1921 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2581/1922 Copyright (c) 2012 Pichugov S. A. |
| spellingShingle | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. Inverse Jackson theorems in spaces with integral metric |
| title | Inverse Jackson theorems in spaces with integral metric |
| title_alt | Обратные теоремы Джексона в пространствах с интегральной метрикой |
| title_full | Inverse Jackson theorems in spaces with integral metric |
| title_fullStr | Inverse Jackson theorems in spaces with integral metric |
| title_full_unstemmed | Inverse Jackson theorems in spaces with integral metric |
| title_short | Inverse Jackson theorems in spaces with integral metric |
| title_sort | inverse jackson theorems in spaces with integral metric |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2581 |
| work_keys_str_mv | AT pichugovsa inversejacksontheoremsinspaceswithintegralmetric AT pičugovsa inversejacksontheoremsinspaceswithintegralmetric AT pičugovsa inversejacksontheoremsinspaceswithintegralmetric AT pichugovsa obratnyeteoremydžeksonavprostranstvahsintegralʹnojmetrikoj AT pičugovsa obratnyeteoremydžeksonavprostranstvahsintegralʹnojmetrikoj AT pičugovsa obratnyeteoremydžeksonavprostranstvahsintegralʹnojmetrikoj |