Neumann problem and one oblique-derivative problem for an improperly elliptic equation
We investigate the solvability of an inhomogeneous Neumann problem and oblique-derivative problem for an improperly elliptic scalar differential equation with complex coefficients in a bounded domain. The model case where the domain is the unit disk and the equation does not have lower-order terms i...
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2589 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508510602657792 |
|---|---|
| author | Burskii, V. P. Lesina, E. V. Бурский, В. П. Лесина, Е. В. Бурский, В. П. Лесина, Е. В. |
| author_facet | Burskii, V. P. Lesina, E. V. Бурский, В. П. Лесина, Е. В. Бурский, В. П. Лесина, Е. В. |
| author_sort | Burskii, V. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:15Z |
| description | We investigate the solvability of an inhomogeneous Neumann problem and oblique-derivative problem for an improperly elliptic scalar differential equation with complex coefficients in a bounded domain. The model case where the domain is the unit disk and the equation does not have lower-order terms is studied.
It is proved that the classes of boundary data for which the problems have unique solutions in a Sobolev space are the spaces of functions with exponentially decreasing Fourier coefficients. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
В. П. Бурский, Е. В. Лесина (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ЗАДАЧА НЕЙМАНА И ОДНА ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
ДЛЯ НЕПРАВИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
We investigate the solvability of an inhomogeneous Neumann problem and oblique-derivative problem for an improperly
elliptic scalar differential equation with complex coefficients in a bounded domain. The model case where the domain is
the unit disk and the equation does not have lower-order terms is studied. It is proved that the classes of boundary data
for which the problems have unique solutions in a Sobolev space are the spaces of functions with exponentially decreasing
Fourier coefficients.
Розглядається проблема розв’язностi неоднорiдної задачi Неймана i один випадок задачi зi скiсною похiдною в
обмеженiй областi для скалярного неправильно елiптичного диференцiального рiвняння з комплексними коефiцi-
єнтами. Дослiджено модельний випадок, коли за область вибрано одиничний круг, а рiвняння не має молодших
членiв. Доведено, що класами граничних даних, для яких задачi мають єдиний розв’язок у просторi Соболєва, є
простори функцiй з експоненцiальним спаданням коефiцiєнтiв Фур’є.
1. Введение. В настоящее время граничные задачи для линейных эллиптических уравнений
и систем изучаются только для правильно эллиптического случая, так как после примеров
А. В. Бицадзе изучение граничных задач для неправильно эллиптического случая представля-
ется весьма туманным. Напомним, что в 1948 г. А. В. Бицадзе [1] привел пример уравнения
d2u/dz2 = 0, z = x1 + ix2, однородная задача Дирихле в единичном круге для которого имеет
счетное число линейно независимых полиномиальных решений uN (z) = (1 − zz) zN . Позже
им был найден еще один пример уравнения с тем же свойством, но уже с простыми нулями
символа (см. [2]).
В настоящей работе мы рассмотрим неправильно эллиптическое уравнение второго порядка
в модельной области — круге — и получим разрешимость задачи Неймана и один частный
случай задачи с косой производной в обычной соболевской шкале пространств, при этом правые
части в граничных условиях должны быть из некоторого класса аналитических функций. Эта
работа продолжает исследование граничных задач для неправильно эллиптических уравнений,
начатое в [7], где была доказана разрешимость задачи Дирихле для этого же уравнения.
Заметим, что и для правильно эллиптического оператора граничная задача с косой про-
изводной может не быть эллиптической (т. е. не удовлетворять условию Лопатинского). Так,
Л. Хермандер рассматривал задачу с косой производной как неэллиптическую граничную за-
дачу, которая решалась сведением к псевдодифференциальному оператору на границе. В его
работе [14] установлена связь между задачей с косой производной и теорией псевдодифферен-
циальных операторов, в частности указаны условия, при которых псевдодифференциальный
оператор является субэллиптическим. В определенном смысле продолжением его исследова-
ний можно считать работу Ю. В. Егорова и В. А. Кондратьева [8], однако предложенные в ней
методы являются более простыми, так как основаны на простых геометрических рассуждениях
и использовании теории коэрцитивных эллиптических задач.
В работе В. Г. Мазьи [12] изучена задача с косой производной для эллиптического урав-
нения второго порядка. В предположении, что векторное поле касается выделенных гладких
компактных подмногообразий границы Γ рассматриваемой области, показано, что задача одно-
c© В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 451
452 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
значно разрешима, получены оценки решений в Lp(Γ), 1 < p ≤ ∞, и доказана компактность
обратного оператора.
Исследованием граничной задачи с косой производной для эллиптического дифференци-
ального оператора в ограниченной области с гладкой границей занимался также Б. П. Панеях
[15]. При условии, что множество точек границы, в которых векторное поле задачи пересека-
ется с касательным пространством, непусто, он доказал фредгольмовость в подходящих про-
странствах оператора, соответствующего задаче, и привел необходимое и достаточное условие
компактности обратного оператора.
Как мы отмечали ранее, в работе [7] была доказана разрешимость задачи Дирихле в обыч-
ной соболевской шкале пространств. В ней в зависимости от свойств числа ϕ0 = ϕ1 − ϕ2,
называемого углом между характеристиками уравнения (2), были рассмотрены три случая:
1) угол ϕ0 веществен и π-рационален, т. е. ϕ0/π ∈ Q;
2) угол ϕ0 веществен и π-иррационален;
3) угол ϕ0 невеществен.
Случай 1 — это случай нарушения единственности решения задачи Дирихле [3]. В этом
случае имеется счетное число линейно независимых решений однородной задачи Дирихле. В
случаях 2 и 3 пришлось вводить пространства аналитических правых частей для разрешимости
в обычной соболевской шкале пространств, причем на свойства задачи Дирихле в случае 2, в
отличие от случая 3, оказывали влияние теоретико-числовые свойства числа ϕ0, аналогично
тому, как это происходит со свойствами задачи Дирихле для гиперболического уравнения (2)
с вещественными коэффициентами (см., например, [6]). Ниже мы убедимся, что этот эффект
проявляется и при исследовании как задачи Неймана, так и задачи с косой производной.
Напомним определения правильно эллиптического оператора и задачи с косой производной.
Линейный дифференциальный оператор L =
∑
|α|≤m aα(x)Dα называется эллиптическим
в области Ω ⊆ Rn , если его старший символ l(x, ξ) =
∑
|α|=m aα(x)ξα 6= 0 для всех x ∈ Ω,
ξ ∈ Rn \ {0}, и правильно (или собственно) эллиптическим в открытой или замкнутой области
Ω ⊆ Rn, если m чeтно, m = 2k, и для любого x ∈ Ω, для каждой пары линейно независимых
действительных векторов ξ и η среди корней полинома l(x, ξ+tη) от параметра t имеется ровно
k корней t1+, t
2
+, ... , t
k
+ с положительной мнимой частью (Im t j+ > 0) и k корней t 1
−, t
2
−, ... , t
k
− с
отрицательной мнимой частью (Im t j− < 0).
Ясно, что каждый правильно эллиптический линейный дифференциальный оператор явля-
ется эллиптическим. Отметим, что при n ≥ 3 каждый эллиптический линейный дифферен-
циальный оператор является правильно эллиптическим, но при n = 2 это не так (например,
оператор Коши – Римана ∂/∂z̄ = (∂/∂x− i∂/∂y)/2 ), и то же справедливо для всех n в случае,
когда коэффициенты оператора вещественны [11] (см. также [10]).
Если теперь предположить, что L — эллиптический оператор второго порядка и на границе
∂Ω области (точнее, в некоторой окрестности границы) задана вектор-функция l = l(x) со
значениями в Rn, то задача
Lu = 0,
∂u
∂l
∣∣∣∣
∂Ω
= ϕ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЗАДАЧА НЕЙМАНА И ОДНА ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ . . . 453
называется задачей с косой производной [9]. При n ≥ 3 эллиптичность такой задачи равносиль-
на тому, что поле l(x) не касается границы ни в одной точке x ∈ ∂Ω, а при n = 2 — эквивалентна
условию l(x) 6= 0 при всех x ∈ ∂Ω. Отметим, что если направление l совпадает с направлением
конормали, то задача с косой производной переходит в задачу Неймана. Ниже, рассматривая
уравнение с комплексными коэффициентами, мы сталкиваемся с комплексным направлением
конормали, и потому вектор-функция l(x) будет принимать комплексные значения.
Для случая n = 2 будем рассматривать общее уравнение второго порядка с постоянными
комплексными коэффициентами без младших членов
aux1x1 + bux1x2 + cux2x2 = 0. (1)
Раскладывая оператор в левой части на линейные множители, уравнение (1) можно записать в
виде
(a1 · ∇)(a2 · ∇)u = 0
с единичными комплексными векторами aj = (aj1, a
j
2), j = 1, 2, что позволяет перейти к виду
Lu ≡
(
sinϕ1
∂
∂x1
+ cosϕ1
∂
∂x2
)(
sinϕ2
∂
∂x1
+ cosϕ2
∂
∂x2
)
u = 0, (2)
где ϕ1 и ϕ2 — комплексные числа, ϕ1 6= ϕ2. Невещественность чисел ϕ1 и ϕ2 означает, что
исходное уравнение является эллиптическим, т. е. l(ξ) 6= 0 при ξ 6= 0, где l(ξ) = (sinϕ1 · ξ1 +
+ cosϕ1 · ξ2)(sinϕ2 · ξ1 + cosϕ2 · ξ2) — символ дифференциального оператора L. Правильная
эллиптичность здесь означает, что корни λ1, λ2 квадратного уравнения aλ2 + bλ+ c = 0 имеют
мнимые части противоположных знаков, а это эквивалентно тому, что комплексные углы ϕ1 и
ϕ2 имеют мнимые части противоположных знаков, и, стало быть, имеют мнимые части одного
знака в неправильно эллиптическом случае.
Для неправильно эллиптического уравнения (2) в единичном круге K будем изучать кор-
ректную разрешимость задачи Неймана и задачи с косой производной, а именно, следуя опре-
делению корректности по Адамару линейной граничной задачи
Lu = f, Bu|∂Ω = g,
укажем в обоих случаях пространство B, для которого справедлива оценка
‖u‖S ≤ ‖f‖R + ‖g‖B
(S,R,B — банаховы пространства решений и правых частей) с пространством Соболева в
качестве пространства S.
2. Метод исследования. В работе [4] получено условие связи следов решения задачи Коши
для уравнения (2) с данными из обычных соболевских пространств, которое мы приводим в
виде следующей теоремы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
454 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
Теорема 1. Для того чтобы функция u ∈ Hs(K) была решением задачи
u|∂K = ψ ∈ Hs− 1
2 (∂K), u′ν |∂K = χ ∈ Hs− 3
2 (∂K)
для уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы функции
P (x) = −l(ν(x))ψ(x) ∈ Hs− 1
2 (∂K),
C(x) = l(ν(x))χ(x) + [(ν2
1 − ν2
2) sin(ϕ1 + ϕ2) + 2ν1ν2 cos(ϕ1 + ϕ2)]ψ′τ+
+[(ν2
2 − ν2
1) cos(ϕ1 + ϕ2)− 2ν1ν2 sin(ϕ1 + ϕ2)]ψ ∈ Hs− 3
2 (∂K)
удовлетворяли условию∫
∂K
[P (x)(−i〈ν, ξ〉) + C(x)] exp(−i〈x, ξ〉) dτ = 0 ∀ξ ∈ Λ = {ξ ∈ C2 : l(ξ) = 0}. (3)
Здесь и ниже τ — натуральный параметр на ∂K, 〈x, ξ〉 = x1ξ1 + x2ξ2, x · η = x1η1 + x2η2.
В работе [5] было показано, что равенство (3) эквивалентно паре условий∫
∂K
[
u′ν∗ +
∆
2
u′τ
]
Q(x · ã1)dτ = 0,
∫
∂K
[
u′ν∗ −
∆
2
u′τ
]
Q(x · ã2)dτ = 0.
Здесь ã1 = (−a1
2, a
1
1), ã2 = (−a2
2, a
2
1) — направляющие векторы множества комплексных ха-
рактеристических направлений Λj =
{
λãj |λ ∈ C
}
, j = 1, 2, 〈ãj , aj〉 = 0, Λ = Λ1 ∪ Λ2,
∂
∂τ
и
∂
∂ν∗
= l(ν)
∂
∂ν
− 1
2k
[l(ν(τ))]′τ ·
∂
∂τ
— производные по касательной и по конормали
соответственно, k — кривизна кривой ∂K.
Данная эквивалентность вместе с теоремой 1 гарантировала справедливость следующей
теоремы, доказанной в [5].
Теорема 2. Для того чтобы функция u ∈ Hs(K), s > 2, была решением задачи
u′τ |∂K = γ ∈ Hs− 3
2 (∂K), u′ν∗ |∂K = κ ∈ Hs− 3
2 (∂K)
для уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы функции γ и κ удовлетворяли интеграль-
ному равенству ∫
∂K
[
κ− (−1)j
∆
2
γ
]
Q(x · ãj)dτ = 0, j = 1, 2, (4)
с любым полиномом Q ∈ C[z]. При этом функция u восстанавливается с точностью до
аддитивной постоянной.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЗАДАЧА НЕЙМАНА И ОДНА ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ . . . 455
Таким образом, было получено другое условие связи следов решения, имеющее вид пробле-
мы неопределенности некоторой проблемы моментов, свойства которой определяли свойства
граничной задачи.
Рассмотрим несколько подробнее возникшую проблему моментов на границе ∂K единич-
ного круга K:
Для двух заданных наборов чисел ω1
n и ω2
n, ω
1
0 = ω2
0, n = Z+, найти функцию α такую,
что ∫
∂K
α(τ)(x(τ) · ãj)ndτ = ωjn.
Эта проблема моментов обобщает классическую тригонометрическую проблему моментов.
Действительно, возьмем в качестве векторов ãj следующие векторы: ã1 = (1, i), ã2 = (1,−i).
Получим обычную тригонометрическую проблему моментов∫
∂K
α(τ)einτdτ = ω1
n,
∫
∂K
α(τ)e−inτdτ = ω2
n.
Далее, умножая эти равенства на коэффициенты полинома Чебышева Tn первого рода и скла-
дывая, получаем ∫
∂K
α(τ)Tn(−x(τ) · ãj)dτ = µjn
с некоторыми µjn. Поскольку Tn(cosσ) = cosnσ и, кроме того, произведение x(τ) · ãj =
= (cos τ, sin τ) · (− cosϕj , sinϕj) = − cos(τ + ϕj), исходная проблема моментов может быть
записана в следующей форме:
Для двух заданных наборов чисел µ1
n и µ2
n, n = Z+, найти функцию α такую, что∫
∂K
α(τ) cosn(τ + ϕj)dτ = µjn. (5)
Введем обозначения. Пусть M j
l — подпространство пространства H l(∂K), l ∈ R, элемен-
тами которого являются функции α(τ), удовлетворяющие при всех k ∈ Z+ интегральному
равенству ∫
∂K
α(τ)(x · ãj)kdτ = 0, j = 1, 2.
Определение 1. Определим пространство Соболева Hm
ρ (∂K) с весом ρ = ρ(n) для
коэффициентов Фурье как пространство функций
α(τ) =
∞∑
n=1
(
αCn cosnτ + αSn sinnτ
)
(6)
из L2(∂K) таких, что коэффициенты αCn , α
S
n разложения удовлетворяют условию
∞∑
n=1
(
|αCn |2 + |αSn |2
)
ρ2(n)
(
1 + n2
)m
<∞. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
456 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
Замечание 1. В дальнейшем в качестве веса ρ(n) примем значение
ρ = ρ(n) = en(|Im(ϕ1+ϕ2)|−|Im(ϕ2−ϕ1)|).
Отметим, что |Im(ϕ1 + ϕ2)| − |Im(ϕ2 − ϕ1)| > 0 для неправильно эллиптического уравнения
(8). Пространство Hm
ρ (∂K) с таким весом состоит из аналитических функций. Функции с
экспоненциальным убыванием коэффициентов Фурье систематически используются в теории
функций, начиная с работ С. Н. Берштейна (см. [13]).
Определение 2. Будем говорить, что векторы ã1, ã2 ∈ C2 имеют (Hm
ρ −H l)-свойство
на кривой ∂K, l 6 m, если для каждой функции α ∈ Hm
ρ (∂K) существуют единственные
функции α1 ∈M1
l , α
2 ∈M2
l такие, что имеет место представление α = α1 + α2 + const.(
Hm
ρ − H l
)
-задача на кривой ∂K (l 6 m) состоит в нахождении условий на векторы
ã1, ã2 ∈ C2, необходимых и достаточных для (Hm
ρ −H l)-свойства на кривой ∂K.
После подстановки разложения (6) в равенство (5) получим соотношения
π(αCn cosnϕj − αSn sinnϕj) = µjn, j = 1, 2,
исходя из которых определим подпространства M j
l , j = 1, 2, равенствами
M1
l : αCn cosnϕ1 − αSn sinnϕ1 = 0,
M2
l : αCn cosnϕ2 − αSn sinnϕ2 = 0.
Теперь исследуем
(
Hm
ρ −H l
)
-задачу на окружности ∂K в предположении, что α ∈ Hm
ρ (∂K)
— произвольная функция, имеющая представление (6). Спроектируем вектор (αCn , α
S
n) ∈ C2 на
прямую αCn cosnϕ1 − αSn sinnϕ1 = 0 вдоль прямой αCn cosnϕ2 − αSn sinnϕ2 = 0. Определяя
координаты (α1,C
n , α1,S
n ) проекции из системы
α1,C
n cosnϕ1 − α1,S
n sinnϕ1 = 0,
α1,C
n cosnϕ2 − α1,S
n sinnϕ2 = αCn cosnϕ2 − αSn sinnϕ2,
имеем
(α1,C
n , α1,S
n ) =
(
αCn − αSn tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
,
ctg nϕ1(αCn − αSn tg nϕ2)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
)
.
Прямым дополнением этого вектора в C2, лежащим на второй прямой, будет вектор
(α2,C
n , α2,S
n ) =
(
αCn −
αCn − αSn tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
, αSn −
ctg nϕ1(αCn − αSn tg nϕ2)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
)
=
=
(
tg nϕ2(−αCn ctg nϕ1 + αSn)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
,
−αCn ctg nϕ1 + αSn
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
)
.
Далее, имея координаты проекции и прямого дополнения, найдем функции αj ∈M j
l , j = 1, 2:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЗАДАЧА НЕЙМАНА И ОДНА ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ . . . 457
α1 =
∞∑
n=1
(α1,C
n cosnτ + α1,S
n sinnτ) =
=
∞∑
n=1
(
αCn − αSn tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
cosnτ +
ctg nϕ1(αCn − αSn tg nϕ2)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
sinnτ
)
,
(8)
α2 =
∞∑
n=1
(α2,C
n cosnτ + α2,S
n sinnτ) =
=
∞∑
n=1
(
tg nϕ2(−αCn ctg nϕ1 + αSn)
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
cosnτ +
−αCn ctg nϕ1 + αSn
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
sinnτ
)
.
Рассмотрим векторы ã1, ã2 ∈ C2, заданные уравнением (2), и выясним, при каком показателе
l, l 6 m, эти векторы имеют (Hm
ρ −H l)-свойство на кривой ∂K. Исследуем отдельно два случая,
отмеченные во введении:
2) ϕ0 = ϕ2 − ϕ1 — вещественное π-иррациональное число,
3) ϕ0 — невещественное комплексное число.
Оценим коэффициенты при множителях αCn cosnτ, αSn cosnτ, αCn sinnτ, αSn sinnτ в выра-
жениях (8):
∣∣∣∣ 1
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ sinnϕ1 cosnϕ2
sinnϕ1 cosnϕ2 − sinnϕ2 cosnϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣sinnϕ1 cosnϕ2
sinnϕ0
∣∣∣∣ 6
6
en|Imϕ1|en|Imϕ2|
| sinnϕ0|
=
en|Im(ϕ1+ϕ2)|
| sinnϕ0|
,
∣∣∣∣ tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣sinnϕ1 sinnϕ2
sinnϕ0
∣∣∣∣ 6 en|Im(ϕ1+ϕ2)|
| sinnϕ0|
, (9)
∣∣∣∣ ctg nϕ1
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣cosnϕ1 cosnϕ2
sinnϕ0
∣∣∣∣ 6 en|Im(ϕ1+ϕ2)|
| sinnϕ0|
,
∣∣∣∣ ctg nϕ1 tg nϕ2
1− tg nϕ2 ctg nϕ1
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣cosnϕ1 sinnϕ2
sinnϕ0
∣∣∣∣ 6 en|Im(ϕ1+ϕ2)|
| sinnϕ0|
.
Случай 2. Напомним, что, по предположению из замечания 1, мы используем вес для
коэффициентов Фурье в виде ρ = en(|Im(ϕ1+ϕ2)|−|Im(ϕ2−ϕ1)|), так что ρ = en|Im(ϕ1+ϕ2)| при
вещественном ϕ0, так как в этом случае Imϕ1 = Imϕ2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
458 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
Воспользуемся следующим утверждением из книги [6].
Утверждение 1. Пусть µ+ 1 > 0. Неравенство для числа ϕ0 ∈ R
∃C0 > 0 ∀n ∈ N : | sinnϕ0| > C0n
−µ (10)
равносильно неравенству
∃C1 > 0 ∀q
r
∈ Q :
∣∣∣∣ϕ0
π
− q
r
∣∣∣∣ > C1r
−µ−1.
Из неравенства (10) нетрудно видеть, что при вещественном ϕ0 все указанные выше отноше-
ния в левых частях неравенств (9) оцениваются величиной ρnµ. Следовательно, коэффициенты
функций α1, α2 удовлетворяют оценке
|αj,Cn | 6 ρnµ(|αCn |+ |αSn |), |αj,Sn | 6 ρnµ(|αCn |+ |αSn |), j = 1, 2,
которая означает, с учетом принадлежности α ∈ Hm
ρ (∂K), что αj ∈ Hm−µ(∂K). Действитель-
но,
∞ >
∞∑
n=1
(|αCn |2 + |αSn |2)ρ2n2m >
∞∑
n=1
|αj, Cn |2 + |αj,Sn |2
ρ2n2µ
· ρ2n2m =
=
∞∑
n=1
(
|αj, Cn |2 + |αj, Sn |2
)
n2(m−µ).
Итак, мы выяснили, используя неравенство (7), что в случае 2 функции αj принадлежат
Hm−µ(∂K) (т. е. искомое l = m− µ).
Случай 3. Если ϕ0− комплексное невещественное число, то, как нетрудно убедиться, все
четыре соотношения из (9) оцениваются сверху весом ρ = en(|Im(ϕ1+ϕ2)|−|Im(ϕ2−ϕ1)|). Но тогда
|αj,Cn | 6 ρ(|αCn |+ |αSn |), |αj,Sn | 6 ρ(|αCn |+ |αSn |), j = 1, 2,
поэтому, снова используя определение 1, замечаем, что функции αj принадлежат Hm(∂K)
(здесь индекс l совпадает с m).
Резюмируя полученные результаты, сформулируем только что доказанное нами утвержде-
ние в виде следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть ϕ0 — вещественное число, α ∈ Hm
ρ (∂K) и выполнено неравенство
(10). Тогда функции αj , j = 1, 2, принадлежат пространствуHm−µ(∂K). Если же ϕ0 — комп-
лексное невещественное число и, по-прежнему, α ∈ Hm
ρ (∂K), то функции αj принадлежат
Hm(∂K).
Замечание 2. Отметим, что в смысле определения 2 последнее утверждение означает, что
при вещественном ϕ0 векторы ã1, ã2 ∈ C2 имеют (Hm
ρ −Hm−µ)-свойство на окружности ∂K,
а в случае комплексного ϕ0 — (Hm
ρ −Hm)-свойство на ∂K.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЗАДАЧА НЕЙМАНА И ОДНА ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ . . . 459
3. Задача Неймана. Рассмотрим задачу Неймана
u′ν∗ |∂K = κ (11)
для уравнения (2) в пространстве СоболеваHs(K)(= W s
2 (K)), s > 2, гдеK = {x ∈ R2 : |x| <
< 1} — единичный круг с границей ∂K, функция κ ∈ Hs− 3
2 (∂K), и выясним, для каких классов
граничных данных такая задача имеет единственное решение.
Сформулируем и докажем результат, отражающий связь свойств проблемы моментов (5) с
разрешимостью задачи (2), (11).
Теорема 4. Пусть ϕ0 вещественно и π-иррационально. При наличии
(
H
s− 3
2
ρ −Hs−µ− 3
2
)
-
свойства на границе ∂K круга у векторов ã1, ã2 ∈ C2 решение u(x) задачи (11) с κ ∈
∈ Hs− 3
2
ρ (∂K) для уравнения (2) существует, единственно (с точностью до аддитивной по-
стоянной) и принадлежит пространству Hs−µ(K).
Доказательство. В силу
(
H
s− 3
2
ρ −Hs−µ− 3
2
)
-свойства векторов ã1, ã2 любая функция κ ∈
∈ Hs− 3
2
ρ (∂K) представима в виде суммы κ = v1+v2, где vj ∈M j
s−µ− 3
2
⊂ Hs−µ− 3
2 (∂K), j = 1, 2.
Нам необходимо по известной функции κ построить функцию γ таким образом, чтобы было
выполнено интегральное равенство (4). Полагая γ =
2
∆
(2v1 − κ), где ∆ = sinϕ0, и подставляя
разложение κ = v1 + v2, получаем γ =
2
∆
(v1 − v2).
Убедимся, что при таком выборе γ и κ выполняется равенство (4). В самом деле, при j = 1
имеем ∫
∂K
[
κ+
∆
2
γ
]
Q(x · ã1)dτ =
∫
∂K
(
v1 + v2 +
∆
2
· 2
∆
(v1 − v2))Q(x · ã1
)
dτ =
= 2
∫
∂K
v1 ·Q(x · ã1)dτ = 0.
Ясно, что равенство нулю интеграла достигается вследствие принадлежности v1 ∈M1
s−µ− 3
2
.
Далее, при j = 2 получаем∫
∂K
[
κ− ∆
2
γ
]
Q(x · ã2)dτ =
∫
∂K
(
v1 + v2 −
∆
2
· 2
∆
(v1 − v2)
)
Q(x · ã2)dτ =
= 2
∫
∂K
v2 ·Q(x · ã2)dτ = 0,
так как v2 ∈M2
s−µ− 3
2
.
Отметим, что в силу вложения функция κ ∈ H
s− 3
2
ρ (∂K) ⊂ Hs− 3
2 (∂K) ⊂ Hs−µ− 3
2 (∂K).
Кроме того, γ ∈ Hs−µ− 3
2 (∂K), так как имеет место представление γ =
2
∆
(v1 − v2), где
vj ∈M j
s−µ− 3
2
⊂ Hs−µ− 3
2 (∂K), j = 1, 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
460 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
Итак, обе функции γ и κ принадлежат пространству Hs−µ− 3
2 (∂K) и удовлетворяют ра-
венству (4). Следовательно, для этих функций справедлива теорема 2, а это, в свою очередь,
означает, что существует единственное решение u(x) ∈ Hs−µ(K) задачи
u′τ |∂K = γ ∈ Hs−µ− 3
2 (∂K), u′ν∗ |∂K = κ ∈ Hs−µ− 3
2 (∂K)
с двумя граничными условиями для уравнения (2). Таким образом, функция u(x) удовлетво-
ряет исходному уравнению и каждому из граничных условий, в частности условию Неймана
u′ν∗ |∂K = κ. Значит, существует единственное (с точностью до аддитивной постоянной) реше-
ние u(x) ∈ Hs−µ(K) задачи (2), (11).
Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть ϕ0 невещественно. Если векторы ã1, ã2 ∈ C2 имеют
(
H
s− 3
2
ρ −Hs− 3
2
)
-
свойство на границе ∂K круга, то решение u(x) задачи (11) с κ ∈ Hs− 3
2
ρ (∂K) для уравнения
(2) существует, единственно (с точностью до аддитивной постоянной) и принадлежит про-
странству Hs(K).
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы с тем отличием, что в
этом случае µ = 0.
Объединяя теоремы 3 – 5, получаем основной результат в виде теорем 6 и 7, соответствую-
щих случаям 2 и 3.
Теорема 6. Пусть ϕ0 вещественно и π-иррационально, κ ∈ H
s− 3
2
ρ (∂K) и выполнено
неравенство (10). Тогда решение задачи (2), (11) существует, единственно (с точностью до
аддитивной постоянной) и принадлежит пространству Hs−µ(K).
Теорема 7. Если ϕ0 — невещественное число и κ ∈ Hs− 3
2
ρ (∂K), то решение задачи (2),
(11) существует, единственно (с точностью до аддитивной постоянной) и принадлежит
пространству Hs(K).
4. Задача с косой производной. Для уравнения (2) рассмотрим краевую задачу
(u′ν∗ − gu
′
τ )|∂K = κ− gγ = α, (12)
где g 6= ±∆
2
, ∆ = sinϕ0, и будем предполагать, что α ∈ Hm
ρ (∂K).
По определению
(
Hm
ρ − H l
)
-свойства векторов ã1, ã2 имеет место представление α =
= w1 + w2, где wi ∈M i
l ⊂ H l(∂K), l 6 m, i = 1, 2. Обозначив
v1 =
(
u′ν∗ +
∆
2
u′τ
)∣∣∣∣
∂K
= κ+
∆
2
γ,
v2 =
(
u′ν∗ −
∆
2
u′τ
)∣∣∣∣
∂K
= κ− ∆
2
γ,
выразим через v1 и v2 функции κ и γ:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЗАДАЧА НЕЙМАНА И ОДНА ЗАДАЧА С КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ . . . 461
κ =
1
2
(v1 + v2),
γ =
1
∆
(v1 − v2).
(13)
Тогда
α = κ− gγ =
1
2
(v1 + v2)− g
∆
(v1 − v2) =
(
1
2
− g
∆
)
v1 +
(
1
2
+
g
∆
)
v2,
откуда
v1 =
w1
1
2
− g
∆
=
2∆w1
∆− 2g
, v2 =
w2
1
2
+
g
∆
=
2∆w2
∆ + 2g
,
т. е. по заданным функциям wi, построенным по известной функции α, мы по последним
формулам получим функции vi, а по ним по формуле (13) строим функции κ и γ:
κ = ∆ ·
(
w1
∆− 2g
+
w2
∆ + 2g
)
∈ H l(∂K), γ = 2
(
w1
∆− 2g
− w2
∆ + 2g
)
∈ H l(∂K). (14)
В силу принадлежности w1, w2 пространству H l(∂K) функции γ и κ также принадлежат
H l(∂K), а по построению функций wi они удовлетворяют интегральному равенству (4). Но
тогда из теоремы 2 следует существование единственного решения u(x) ∈ H l+3/2(K) задачи
Lu = 0, u′ν∗ |∂K = κ, u′τ |∂K = γ.
Этот факт влечет, в свою очередь, существование единственного решения задачи (2), (12).
Действительно, выразив w1 и w2 из равенств (14) через κ и γ и подставив их значения в
представление α = w1 + w2, получим в точности граничное условие (12). Таким образом,
функция u удовлетворяет исходному уравнению и условию (12), т. е. является решением задачи
с косой производной.
Замечание 3. 1. Если ϕ0 = ϕ2 − ϕ1 — вещественное и π-иррациональное число и α ∈
∈ Hm
ρ (∂K), то функции γ, κ принадлежат Hm−µ(∂K) (в этом случае l = m− µ).
2. Если же ϕ0 — комплексное невещественное число и, по-прежнему, α ∈ Hm
ρ (∂K), то
γ, κ ∈ Hm(∂K) (т. е. l = m).
Действительно, из теоремы 3 в силу
(
Hm
ρ −H l
)
-свойства следует, что w1, w2 принадлежат
Hm−µ(∂K) в случае 1 и w1, w2 принадлежат Hm(∂K) в случае 2 соответственно, но, как
установлено выше (см. (14)), функции γ и κ принадлежат тому же пространству, что и w1, w2.
Сформулируем окончательный результат, касающийся разрешимости задачи с косой произ-
водной для исходного уравнения (2).
Теорема 8. Пусть α ∈ Hm
ρ (∂K) и выполнено
(
Hm
ρ −H l
)
-свойство на границе ∂K. Тогда
решение граничной задачи (2), (12) существует, единственно и принадлежит пространству
H l(K), причем
l =
{
m− µ, если ϕ0 вещественное, π-иррациональное,
m, если ϕ0 комплексное невещественное.
В случае вещественного ϕ0 требуется дополнительно выполнение неравенства (10).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
462 В. П. БУРСКИЙ, Е. В. ЛЕСИНА
1. Бицадзе А. В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными произ-
водными // Успехи мат. наук. – 1948. – 3, № 6. – С. 211 – 212.
2. Бицадзе А. В. Некоторые классы дифференциальных уравнений с частными производными. – М.: Наука, 1981.
– 448 с.
3. Бурский В. П. О нарушении единственности решения задачи Дирихле для эллиптических систем в круге //
Мат. заметки. – 1990. – 48, № 3. – C. 32 – 36.
4. Бурский В. П. О решениях задачи Дирихле для эллиптических систем в круге // Укр. мат. журн. – 1992. – 44,
№ 10. – С. 1307 – 1313.
5. Бурский В. П. О краевых задачах для эллиптического уравнения с комплексными коэффициентами и одной
проблеме моментов // Укр. мат. журн. – 1993. – 45, № 11. – С. 1476 – 1483.
6. Бурский В. П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 2002. – 316 с.
7. Бурский В. П., Кириченко Е. В. О задаче Дирихле для неправильно эллиптического уравнения // Укр. мат.
журн. – 2011. – 63, № 2. – С. 156 – 164.
8. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А. О задаче с косой производной // Мат. сб. – 1969. – 78 (120). – С. 148 – 176.
9. Егоров Ю. В., Шубин М. А. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы
классической теории // Соврем. пробл. математики. Фундам. направления. – 1987. – 30. – С. 1 – 264.
10. Лионc Ж.-М., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971. – 372 с.
11. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для систем дифференциальных уравнений
эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. мат. журн. – 1953. – 5, № 2. – C. 123 – 151.
12. Мазья В. Г. О вырождающейся задаче с косой производной // Мат. сб. – 1972. – 87 (129). – С. 417 – 454.
13. Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. – М.; Л.: ОНТИ, 1937.
14. Хермандер Л. Псевдодифференциальные операторы и неэллиптические краевые задачи // Псевдодифферен-
циальные операторы. – М.: Мир, 1967. – С. 166 – 297.
15. Панеях Б. П. К теории разрешимости задачи с косой производной // Мат. сб. – 1981. – 114 (156). – С. 226 – 268.
Получено 19.11.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2589 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:21Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2f/75ecbaef210dc541f58adbb14635a52f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25892020-03-18T19:30:15Z Neumann problem and one oblique-derivative problem for an improperly elliptic equation Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения Burskii, V. P. Lesina, E. V. Бурский, В. П. Лесина, Е. В. Бурский, В. П. Лесина, Е. В. We investigate the solvability of an inhomogeneous Neumann problem and oblique-derivative problem for an improperly elliptic scalar differential equation with complex coefficients in a bounded domain. The model case where the domain is the unit disk and the equation does not have lower-order terms is studied. It is proved that the classes of boundary data for which the problems have unique solutions in a Sobolev space are the spaces of functions with exponentially decreasing Fourier coefficients. Розглядається проблема розв’язностi неоднорiдної задачi Неймана i один випадок задачi зi скiсною похiдною в обмеженiй областi для скалярного неправильно елiптичного диференцiального рiвняння з комплексними коефiцiєнтами. Дослiджено модельний випадок, коли за область вибрано одиничний круг, а рiвняння не має молодших членiв. Доведено, що класами граничних даних, для яких задачi мають єдиний розв’язок у просторi Соболєва, є простори функцiй з експоненцiальним спаданням коефiцiєнтiв Фур’є. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2589 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 4 (2012); 451-462 Український математичний журнал; Том 64 № 4 (2012); 451-462 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2589/1937 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2589/1938 Copyright (c) 2012 Burskii V. P.; Lesina E. V. |
| spellingShingle | Burskii, V. P. Lesina, E. V. Бурский, В. П. Лесина, Е. В. Бурский, В. П. Лесина, Е. В. Neumann problem and one oblique-derivative problem for an improperly elliptic equation |
| title | Neumann problem and one oblique-derivative problem for an improperly elliptic equation |
| title_alt | Задача Неймана и одна задача с косой производной для неправильно эллиптического уравнения |
| title_full | Neumann problem and one oblique-derivative problem for an improperly elliptic equation |
| title_fullStr | Neumann problem and one oblique-derivative problem for an improperly elliptic equation |
| title_full_unstemmed | Neumann problem and one oblique-derivative problem for an improperly elliptic equation |
| title_short | Neumann problem and one oblique-derivative problem for an improperly elliptic equation |
| title_sort | neumann problem and one oblique-derivative problem for an improperly elliptic equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2589 |
| work_keys_str_mv | AT burskiivp neumannproblemandoneobliquederivativeproblemforanimproperlyellipticequation AT lesinaev neumannproblemandoneobliquederivativeproblemforanimproperlyellipticequation AT burskijvp neumannproblemandoneobliquederivativeproblemforanimproperlyellipticequation AT lesinaev neumannproblemandoneobliquederivativeproblemforanimproperlyellipticequation AT burskijvp neumannproblemandoneobliquederivativeproblemforanimproperlyellipticequation AT lesinaev neumannproblemandoneobliquederivativeproblemforanimproperlyellipticequation AT burskiivp zadačanejmanaiodnazadačaskosojproizvodnojdlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ AT lesinaev zadačanejmanaiodnazadačaskosojproizvodnojdlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ AT burskijvp zadačanejmanaiodnazadačaskosojproizvodnojdlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ AT lesinaev zadačanejmanaiodnazadačaskosojproizvodnojdlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ AT burskijvp zadačanejmanaiodnazadačaskosojproizvodnojdlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ AT lesinaev zadačanejmanaiodnazadačaskosojproizvodnojdlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâ |