Boundary controllability problems for the equation of oscillation of an inhomogeneous string on a semiaxis
We consider a wave equation on a semiaxis, namely, $w_{tt}(x,t) = w_{xx}(x,t) — q(x)w(x,t), x > 0$. The equation is controlled by one of the following two boundary conditions: $w(0,t) = u_0(t)$ and $w_x(0,t) = u_1(t), t \in (0,T)$, where $u_0, u_1$ are controls. In both cases, the potentia...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2593 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508517628116992 |
|---|---|
| author | Khalina, K. S. Халіна, К. С. |
| author_facet | Khalina, K. S. Халіна, К. С. |
| author_sort | Khalina, K. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:15Z |
| description | We consider a wave equation on a semiaxis, namely, $w_{tt}(x,t) = w_{xx}(x,t) — q(x)w(x,t), x > 0$.
The equation is controlled by one of the following two boundary conditions: $w(0,t) = u_0(t)$ and $w_x(0,t) = u_1(t), t \in (0,T)$, where $u_0, u_1$ are controls.
In both cases, the potential q satisfies the condition $q \in C[0, \infty)$, the controls belong to the class $L^{\infty}$ and the time $T >$ 0 is fixed. These control systems are considered in Sobolev spaces.
Using the operators adjoint to the transformation operators for the Sturm - Liouville problem,
we obtain necessary and sufficient conditions for the null-controllability and approximate null-controllability of these systems. The controls that solve these problems are found in explicit form. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
К. С. Халiна (Фiз.-техн. iн-т низьких температур НАН України, Харкiв)
ПРОБЛЕМИ КРАЙОВОЇ КЕРОВАНОСТI
ДЛЯ РIВНЯННЯ КОЛИВАННЯ НЕОДНОРIДНОЇ СТРУНИ НА ПIВОСI
We consider a wave equation on a semiaxis, namely, wtt(x, t) = wxx(x, t) − q(x)w(x, t), x > 0. The equation is
controlled by one of the following two boundary conditions: w(0, t) = u0(t) and wx(0, t) = u1(t), t ∈ (0, T ), where
u0 and u1 are controls. In both cases, the potential q satisfies the condition q ∈ C[0,∞), the controls belong to the class
L∞, and the time T > 0 is fixed. These control systems are considered in Sobolev spaces. Using the operators adjoint
to the transformation operators for the Sturm – Liouville problem, we obtain necessary and sufficient conditions for the
null-controllability and approximate null-controllability of these systems. The controls that solve these problems are found
in explicit form.
Рассматривается волновое уравнение на полуоси: wtt(x, t) = wxx(x, t) − q(x)w(x, t), x > 0. Это уравнение
управляется одним из двух граничных условий: w(0, t) = u0(t) или wx(0, t) = u1(t), t ∈ (0, T ), где u0, u1 —
управления. В обоих случаях потенциал q удовлетворяет условию q ∈ C[0,+∞), управления принадлежат классу
L∞ и время T > 0 фиксировано. Управляемые системы рассмотрены в пространствах Соболева. С помощью
операторов, сопряженных к операторам преобразования для задачи Штурма – Лиувилля, получены необходимые и
достаточные условия 0- и ε-управляемости для этих систем. Управления, решающие поставленные задачи, найдены
в явном виде.
1. Вступ. У цiй роботi розглядається рiвняння коливання неоднорiдної струни на пiвосi. Це
рiвняння керується крайовими умовами у точцi x = 0. Час T задано. Ми розглядаємо два
випадки крайових умов: типу Дiрiхле та типу Неймана. Керування в обох випадках належить
класу L∞. Керована система розглядається у пiдпросторах функцiй з обмеженими носiями
iз просторiв Соболєва Hs
0 . У випадку керування типу Дiрiхле використовуються пiдпростори
непарних функцiй, а у випадку керування типу Неймана — пiдпростори парних функцiй. Роботу
присвячено дослiдженню питань 0- та ε-керованостi заданих систем.
Зауважимо, що питання керованостi для рiвнянь гiперболiчного типу було дослiджено у ба-
гатьох роботах (див., наприклад, [1 – 18]). З питань керованостi для рiвняння коливання струни
на скiнченному вiдрiзку одержано багато результатiв, тодi як на пiвосi аналогiчних результатiв
є надто мало.
Наведемо стислий огляд деяких робiт, у яких струна є скiнченною. Крайову Lp-керованiсть
для рiвняння коливання однорiдної струни на скiнченному вiдрiзку добре вивчено у роботах
[1 – 8]. У цих роботах одержано результати для 2 ≤ p < ∞. Для випадку p = ∞ результати
одержано у [5, 7], при цьому у [7] керування обмеженi наперед заданою сталою. У роботi [8]
одержано результати для однорiдної струни, яка закрiплена на одному кiнцi вiдрiзка i керується
iншим кiнцем. Керування при цьому має мiнiмальну норму у L∞(0, T ).
Проблеми крайової керованостi для рiвняння коливання неоднорiдної струни у скiнченнiй
областi Ω ⊂ Rn було вивчено у [9 – 11], а на вiдрiзку — у [12 – 14]. Зазначимо, що потенцiал q
дорiвнює сталiй у [12] та не дорiвнює сталiй, взагалi кажучи, у [13, 14]. Керування належать
класу L2 у [9 – 11], класу W 1
2 у [12] та класу L∞ у [13, 14]. У всiх цих роботах керування було
задано на частинi межi. Звернемо увагу на те, що у данiй роботi q 6= const, струна розглядається
на пiвосi та керування належать класу L∞ на вiдмiну вiд усiх згаданих робiт.
Далi наведемо огляд тих робiт, де вивчено питання керованостi для рiвняння коливання
струни на пiвосi. Для однорiдної струни на пiвосi результати за вiльний час одержано у [15 –
c© К. С. ХАЛIНА, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4 525
526 К. С. ХАЛIНА
17]. У точцi x = 0 керування типу Дiрiхле розглянуто у [15, 16] та типу Неймана — у [17]. У
[18, 19] вивчено питання керованостi для рiвняння неоднорiдної струни на пiвосi з потенцiалом
q = const ≥ 0. У [18] час було зафiксовано. У [19] розглянуто два випадки: фiксованого та
вiльного часу. На лiвому кiнцi розглядалося керування типу Неймана у [18] та типу Дiрiхле
у [19]. Керування належали класу L∞ та були обмеженi наперед заданою сталою у [15 – 19].
Керованi системи вивчалися у просторах Соболєва Hs
0 , s ≤ 0, у [15, 16, 19] та s ≤ 1 у [17, 18].
У всiх цих роботах було одержано необхiднi та достатнi умови 0- та ε-керованостi i знайдено
явнi формули для керувань. Крiм цього, дослiджено деякi iншi властивостi цих керувань.
Суттєвою вiдмiннiстю даної роботи вiд [15 – 19] є той факт, що потенцiал q 6= const . Ця
умова значно ускладнює вивчення питань керованостi. Метод дослiдження вiдрiзняється вiд
методiв, якi використовувалися ранiше для дослiдження схожих питань. Цей метод включає
застосування операторiв, спряжених до операторiв перетворення на пiвосi для задачi Штурма –
Лiувiлля. Ми розглядаємо та вивчаємо спряженi оператори у тих же пiдпросторах просторiв
Соболєва, в яких розглядається вiдповiдна керована система. Оскiльки дослiдження згаданих
операторiв у заданих просторах виявилось фундаментальним i надто громiздким, його перене-
сено в окремий пункт. Зауважимо також, що обмеженiсть носiїв функцiй iз просторiв Соболєва
є важливим фактом, тому що довести неперервнiсть спряжених операторiв в iншому випадку
не вдалося. В результатi застосування операторiв ми одержимо необхiднi та достатнi умови 0-
та ε-керованостi за заданий час для керованих систем. Серед цих умов — зв’язок початкових
функцiй мiж собою, який описується вiдповiдними спряженими операторами. Зауважимо, що
подiбний зв’язок мiж початковими функцiями було встановлено у [18, 19], а результат даної
роботи є продовженням цих результатiв на випадок q 6= const . Також знайдено явнi формули
для керувань: вони залежать вiд початкового стану, i цi залежностi також описуються згада-
ними операторами. Окрiм цього показано, що обмеженiсть початкового стану є необхiдною
i достатньою умовою обмеженостi вiдповiдного керування в обох випадках. Також знайдено
зв’язок мiж цими сталими.
2. Позначення. Розглянемо хвильове рiвняння на пiвосi
wtt(x, t) = wxx(x, t)− q(x)w(x, t), x ∈ (0,+∞), t ∈ (0, T ), (2.1)
де q ∈ C[0,+∞), T > 0. Рiвняння (2.1) керується однiєю з крайових умов
w(0, t) = u0(t), t ∈ (0, T ), (2.2)
wx(0, t) = u1(t), t ∈ (0, T ), (2.3)
де керування u0 та u1 такi, що uj ∈ L∞(0, T ), j = 0, 1. Ми будемо вивчати питання 0- та
ε-керованостi для систем (2.1), (2.2) та (2.1), (2.3), а саме, будемо шукати такi керування iз
класу L∞(0, T ), якi переводять вiдповiдну струну iз заданого початкового стану в нульовий
стан та в деякий ε-окiл нульового стану за час T вiдповiдно.
Введемо простори, що будуть розглядатись у роботi. Нехай S — простiр Шварца [20]:
S =
{
ϕ ∈ C∞(R) : ∀m, l ∈ N ∪ {0} ∃Cml > 0: ∀x ∈ R
∣∣∣ϕ(m)(x)(1 + |x|2)l
∣∣∣ ≤ Cml} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ПРОБЛЕМИ КРАЙОВОЇ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ РIВНЯННЯ КОЛИВАННЯ . . . 527
S′ — простiр узагальнених функцiй над S. Узагальнена функцiя f ∈ S′ називається непар-
ною, якщо (f, ϕ(x)) = −(f, ϕ(−x)), ϕ ∈ S, та парною, якщо (f, ϕ(x)) = (f, ϕ(−x)), ϕ ∈ S.
Позначимо через Hs
l простори Соболєва [21] (гл. 1):
Hs
l =
{
f ∈ S′ : (1 + x2)l/2(1 + |D|2)s/2f ∈ L2(R)
}
, s, l ∈ R, D = −id/dx,
Hs
l,o(−a, a) = {f ∈ Hs
l : f непарна i supp f ⊂ (−a, a)} , a ∈ R,
Hs
l,e(−a, a) = {f ∈ Hs
l : f парна i supp f ⊂ (−a, a)} ,
Hs
l,p(−a, a) = Hs
l,p(−a, a)×Hs−1
l,p (−a, a), p = o, e,
з нормою ‖f‖sl =
(∫ +∞
−∞
∣∣∣(1 + x2)l/2(1 + |D|2)s/2f(x)
∣∣∣2 dx)1/2
, s, l ∈ R. Для f =
(
f0
f1
)
∈
∈ Hs
l ×H
s−1
l використовуватимемо норму |||f |||sl =
(
(‖f0‖sl )2 + (‖f1‖s−1l )2
)1/2
. Очевидно, що
якщо f ∈ Hs
l,o(−a, a), то f ′ ∈ Hs−1
l,e (−a, a), i якщо f ∈ Hs
l,e(−a, a), то f ′ ∈ Hs−1
l,o (−a, a). У
введених просторах будемо розглядати також норму
′‖f‖sl =
+∞∫
−∞
∣∣∣(1 + |D|2)s/2(1 + x2)l/2f(x)
∣∣∣2 dx
1/2
.
Як вiдомо (див. [21], гл. 1), для будь-яких s, l iснує P sl > 0 таке, що
1
P sl
‖f‖sl ≤ ′‖f‖
s
l ≤ P sl ‖f‖
s
l .
Зауважимо, що ‖·‖00 = ′‖·‖00 = ‖·‖L2 .
Позначимо через F : S′ → S′ оператор перетворення Фур’є:
(Fϕ)(λ) =
1√
2π
∞∫
−∞
e−ixλϕ(x)dx
та (Ff, ϕ) = (f,F−1ϕ), де f ∈ S′, ϕ ∈ S.
2.1. Означення операторiв, спряжених до операторiв перетворення для задачi Штур-
ма – Лiувiлля. Для дослiдження питань керованостi систем (2.1), (2.2) та (2.1), (2.3) вико-
ристовуються оператори, спряженi до операторiв перетворення для задачi Штурма – Лiувiлля.
(Оператори перетворення вивчено, наприклад, у [22], гл. 1.) Ми розглянемо та вивчимо спряженi
оператори у просторах Hs
0,o(−T, T ), s = 0,−1, i Hs
0,e(−T, T ), s = 1, 0. Оскiльки дослiдження
згаданих операторiв у просторах Соболєва виявилось фундаментальним i надто громiздким,
його перенесено у пункт 6. Тому далi наведено лише їх означення. Визначимо оператори
Lo,Ko : H0
0,o(−T, T )→ H0
0,o(−T, T ), D(Lo) = D(Ko) = H0
0,o(−T, T ) за формулами
(Lof)(t) = f(t) + sign t
T∫
|t|
L(x, |t|;∞)f(x)dx, (Kog)(t) = g(t) + sign t
T∫
|t|
K(x, |t|;∞)g(x)dx,
(2.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
528 К. С. ХАЛIНА
де f, g ∈ H0
0,o(−T, T ), L(ξ, η;∞) та K(ξ, η;∞) — ядра операторiв, (ξ, η) ∈ R × R. Властивостi
ядер та оператори K∗o, L∗o = (K∗o)−1 описано на початку пункту 6. У лемi 6.1 стверджується,
що оператори Lo,Ko неперервнi з H0
0,o(−T, T ) у H0
0,o(−T, T ) i R(Lo) = R(Ko) = H0
0,o(−T, T ).
У зауваженнi 6.4 показано, що спряженi оператори L∗o, K∗o, D(L∗o) = D(K∗o) = H0
0,o(−T, T ),
неперервнi з H0
0,o(−T, T ) у H0
0,o(−T, T ), R(L∗o) = R(K∗o) = H0
0,o(−T, T ) та L−1o = Ko. У лемi
6.2 стверджується, що оператори L∗o, K∗o звуженi на H1
0,o(−T, T ), неперервнi з H1
0,o(−T, T )
у H1
0,o(−T, T ) i мають своєю областю визначення та областю значень H1
0,o(−T, T ). Отже,
продовжимо оператори Lo, Ko на H−10,o (−T, T ), D(Lo) = D(Ko) = H−10,o (−T, T ), за правилом
(Lof, ϕ) = (f,L∗oϕ), (Kog, ψ) = (g,K∗oψ), (2.5)
де f, g ∈ H−10,o (−T, T ), ϕ, ψ ∈ H1
0,o(−T, T ). З леми 6.2 випливає неперервнiсть операторiв
Lo,Ko з H−10,o (−T, T ) у H−10,o (−T, T ) i R(Lo) = R(Ko) = H−10,o (−T, T ).
Визначимо також оператори Le,Ke : H0
0,e(−T, T ) → H0
0,e(−T, T ), D(Le) = D(Ke) =
= H0
0,e(−T, T ):
(Leh)(t) = h(t) +
T∫
|t|
L(x, |t|; 0)h(x)dx, (Ker)(t) = r(t) +
T∫
|t|
K(x, |t|; 0)r(x)dx, (2.6)
де h, r ∈ H0
0,e(−T, T ), L(ξ, η; 0) та K(ξ, η; 0) — ядра цих операторiв, (ξ, η) ∈ R × R. Власти-
востi цих ядер та оператори K∗e , L∗e = (K∗e)−1 також описано на початку пункту 6. У лемi
6.3 стверджується, що оператори Le,Ke неперервнi з H0
0,e(−T, T ) у H0
0,e(−T, T ) i R(Le) =
= R(Ke) = H0
0,e(−T, T ). У зауваженнi 6.5 показано, що оператори L∗e, K∗e , D(L∗e) = D(K∗e) =
= H0
0,e(−T, T ), неперервнi з H0
0,e(−T, T ) у H0
0,e(−T, T ), R(L∗e) = R(K∗e) = H0
0,e(−T, T )
та L−1e = Ke. Визначимо звуження операторiв Le,Ke на H1
0,e(−T, T ), D(Le) = D(Ke) =
= H1
0,e(−T, T ), за формулами (2.6). У лемi 6.4 стверджується, що вони неперервнi зH1
0,e(−T, T )
у H1
0,e(−T, T ) i R(Le) = R(Ke) = H1
0,e(−T, T ). Метод знаходження ядер L(x, t;∞), K(x, t;∞),
L(x, t; 0) i K(x, t; 0) також наведено у пунктi 6.
3. Умови керованостi для хвильового рiвняння з керуванням типу Дiрiхле. Розглянемо
керовану систему (2.1), (2.2) з початковими умовами
w(x, 0) = W 0
0 (x), wt(x, 0) = W 0
1 (x), x ∈ (0,+∞), (3.1)
де W 0 =
(
W 0
0
W 0
1
)
∈ H0
0,o(−T, T ). (Ми наполягаємо, що носiї початкових функцiй належать
(−T, T )). Розв’язки системи (2.1), (2.2), (3.1) розглядаються у просторi H0
0 (0, 2T ) (це буде
зрозумiло iз формули (3.5)).
Нехай Ω,Ξ: S′ → S′, D(Ω) = D(Ξ) = S′ — оператори непарного та парного продовження
вiдповiдно. Маємо (Ωf)(x) = f(x)− f(−x), (Ξf)(x) = f(x) + f(−x), f ∈ S′. Припустимо, що
q задано на R i q ≡ 0 на (−∞, 0). Позначимо Q = Ξq, W (·, t) = Ωw(·, t), t ∈ (0, T ). Очевидно,
що W (·, t) ∈ H0
0,o(−T, T ), t ∈ (0, T ).
Легко побачити, що керована система (2.1), (2.2), (3.1) еквiвалентна системi
Wtt(x, t) = Wxx(x, t)−Q(x)W (x, t)− 2u0(t)δ
′(x), x ∈ R, t ∈ (0, T ), (3.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ПРОБЛЕМИ КРАЙОВОЇ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ РIВНЯННЯ КОЛИВАННЯ . . . 529
W (x, 0) = W 0
0 (x), Wt(x, 0) = W 0
1 (x), x ∈ R, (3.3)
де δ — дельта-функцiя Дiрака, δ = H ′, H — функцiя Хевiсайда. Розглянемо (3.2), (3.3) за деяких
умов влучення
W (x, T ) = W T
0 (x), Wt(x, T ) = W T
1 (x), x ∈ R, (3.4)
де W T =
(
W T
0
W T
1
)
∈ H0
0,o(−T, T ). Нехай T > 0, W 0 ∈ H0
0,o(−T, T ). Позначимо через RoT (W 0)
множину станiв W T ∈ H0
0,o(−T, T ), для яких iснує керування u0 ∈ L∞(0, T ) таке, що задача
(3.2) – (3.4) має єдиний розв’язок у H0
0,o(−2T, 2T ).
Означення 3.1. Стан W 0 ∈ H0
0,o(−T, T ) називається 0-керованим за заданий час T > 0,
якщо 0 належитьRoT (W 0),та ε-керованим за заданий час T > 0, якщо 0 належить замиканню
RoT (W 0) у H0
0,o(−T, T ).
Наступне поняття введено за аналогiєю з „косинус-перетворенням Фур’є” [22] (гл. 2).
Означення 3.2. Нехай ω(λ, x) — розв’язок задачi Кошi (6.2). Функцiя F [ω], F [ω](λ) =
= (f, ω(λ, ·)), λ ∈ C, називається ω-перетворенням функцiї f для f ∈ Hs
0,o(−T, T ), s = 0,−1.
Лемa 7.2 мiстить явну формулу для ω-перетворення i встановлює його неперервнiсть iз
Hs
0,o(−T, T ) у H0
s+1,e(R), s = 0,−1.
Лема 3.1. Нехай U0(t) = u0(t)[H(t)−H(t− T )]. Тодi
Ko
(
W
Wt
)
(·, t) = E(·, t) ∗
(
Ko
(
W 0
0
W 0
1
)
− Ω
(
U0
U ′0
))
, t ∈ (0, T ), (3.5)
де E(y, τ) =
1
2
δ(y + τ) + δ(y − τ)
1
2
(sign(y + τ)− sign(y − τ))
δ′(y + τ)− δ′(y − τ) δ(y + τ) + δ(y − τ)
, y ∈ R, τ ∈ R.
Доведення. Застосуємо ω-перетворення до рiвняння (3.2):
d2
dt2
(W (·, t), ω(λ, ·)) = −
(
W (·, t),
(
d2
dx2
+Q)ω(λ, ·
))
+ 2u0(t)(δ, ω
′
x(λ, ·)),
де λ ∈ C, t ∈ (0, T ). Враховуючи, що ω(λ, x) — розв’язок задачi Кошi (6.2) по x, та позначаючи
F [ω](λ, t) = (W (·, t), ω(λ, ·)), t ∈ (0, T ), F
[ω]
j (λ) = (W 0
j , ω(λ, ·)), j = 0, 1, λ ∈ C, отримуємо
задачу Кошi
F
[ω]
tt (λ, t) + λ2F [ω](λ, t) = 2u0(t),
F [ω](λ, 0) = F
[ω]
0 (λ), F
[ω]
t (λ, 0) = F
[ω]
1 (λ),
λ ∈ C, t ∈ (0, T ),
єдиний розв’язок якої
(
F [ω](λ, t)
F
[ω]
t (λ, t)
)
= Σ(λ, t)
F
[ω]
0 (λ)− 2
t∫
0
sinλτ
λ
u0(τ) dτ
F
[ω]
1 (λ) + 2
t∫
0
cosλτu0(τ) dτ
, λ ∈ C, t ∈ (0, T ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
530 К. С. ХАЛIНА
де Σ(λ, t) =
(
cosλt
sinλt
λ
−λ sinλt cosλt
)
, λ ∈ C, t ∈ (0, T ). Пiдставимо вирази для F [ω] та F [ω]
j ,
j = 0, 1, iз леми 7.2. Пiсля цього домножимо на − iλ√
2π
i застосуємо оператор F−1. Оскiльки
F−1[fg] =
1√
2π
F−1f ∗ F−1g для f, g ∈ S′, то
(
KoW (·, t)
KoWt(·, t)
)
=
1√
2π
F−1Σ(·, t) ∗
KoW 0
0 +
√
2
π
i
F−1 t∫
0
sinλτu0(τ) dτ
KoW 0
1 −
√
2
π
F−1
iλ t∫
0
cosλτu0(τ) dτ
, t ∈ (0, T ).
(3.6)
Як вiдомо,
1√
2π
F−1Σ(λ, t) = E(y, t), λ ∈ C, y ∈ R, t ∈ (0, T ). (3.7)
Легко довести, що
iF−1
t∫
0
sinλτu0(τ) dτ = −
√
π
2
ΩU0, F−1
iλ t∫
0
cosλτu0(τ) dτ
=
√
π
2
ΩU ′0. (3.8)
Пiдставляючи (3.7), (3.8) у (3.6), одержуємо (3.5).
Лему доведено.
Iз (3.5) маємо
KoW T = E(·, T ) ∗
(
KoW 0 − Ω
(
U0
U ′0
))
. (3.9)
Теорема 3.1. Нехай T > 0, W 0 ∈ H0
0,o(−T, T ) i виконано умови
W 0
0 ∈ L∞(R), (3.10)
W 0
1 = Lo(signxKoW 0
0 )′. (3.11)
Тодi стан W 0 є 0-керованим за час T.
Крiм цього, розв’язок проблеми 0-керованостi (керування u0) задається формулою
u0(t) = W 0
0 (t) +
T∫
t
K(x, t;∞)W 0
0 (x) dx, t ∈ (0, T ). (3.12)
Доведення. Позначимо Ũ0 = KoW 0
0 . Тодi Ũ0 ∈ H0
0,o(−T, T ). Згiдно з (3.10) i лемою 6.5,
Ũ0 ∈ L∞(R). Через u0 позначимо обмеження Ũ0 на (0, T ). Отже, u0 ∈ L∞(0, T ) i (3.12)
виконано. Нехай U0 = u0[H(x) − H(x − T )]. Тодi ΩU0 = Ũ0, ΞU0 = signxŨ0. Враховуючи
(3.11), одержуємо ΩU0 = KoW 0
0 , ΩU ′0 = (ΞU0)
′ = (signxKoW 0
0 )′ = KoW 0
1 . Пiдставляючи цi
рiвностi у (3.9), отримуємо KoW T = 0. Оскiльки Lo0 = 0, то W T = 0.
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ПРОБЛЕМИ КРАЙОВОЇ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ РIВНЯННЯ КОЛИВАННЯ . . . 531
Теорема 3.2. Нехай T > 0, W 0 ∈ H0
0,o(−T, T ) i стан W 0 є ε-керованим за час T. Тодi
виконуються умови (3.10), (3.11) i керування u0 задається формулою (3.12).
Доведення. Оскiльки стан W 0 є ε-керованим за час T, то iснує послiдовнiсть {(W T )m}∞m=1
така, що (W T )m ∈ RoT (W 0), m = 1,∞ i
∣∣∣∣∣∣(W T )m
∣∣∣∣∣∣0
0
→ 0 при m→∞. Отже, iснує послiдов-
нiсть {um}∞m=1 така, що um ∈ L∞(0, T ), m = 1,∞, i iз (3.9) маємо(
KoW 0 − Ω
(
Um
(Um)′
))
= E(·,−T ) ∗ Ko(W T )m, m = 1,∞,
для Um = um[H(t) − H(t − T )]. Використаємо наступну оцiнку, доведену у [18] (лема 6.7):
‖E(x, τ) ∗ f‖s0 ≤
√
(2τ2 + 6)(1 + q2) для f ∈ Hs
0 × H
s−1
0 , τ ∈ R, де q ≡ const — потенцiал
керованої системи. Оскiльки застосування оператора Ko фактично зводить керовану систему
з потенцiалом Q 6= 0 до керованої системи з Q ≡ 0, то ми використаємо цю оцiнку з q = 0.
Отже, ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(KoW 0 − Ω
(
Um
(Um)′
))∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0
0
≤
√
2T 2 + 6
∣∣∣∣∣∣Ko(W T )m
∣∣∣∣∣∣0
0
, m = 1,∞.
Внаслiдок того, що Ko є неперервним з Hs
0,o у Hs
0,o, s = 0 − 1,
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣KoW 0 −
(
ΩUm
(ΞUm)′
)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0
0
→ 0
при m→∞. Це означає, що(
ΩUm
(ΞUm)′
)
→ KoW 0 при m→∞ у H0
0,o(−T, T ). (3.13)
Позначимо Ũ0 = KoW 0
0 . Тодi Ũ0 ∈ H0
0,o(−T, T ) ⊂ L2(R). Оскiльки um ∈ L∞(0, T ), то ΩUm ∈
∈ L∞(R), m = 1,∞. Отже, Ũ0 ∈ L∞(R). Нехай U0(t) = Ũ0(t)H(t). Iз (3.13) маємо(
ΩUm
(ΞUm)′
)
→
(
ΩU0
(ΞU0)
′
)
=
(
KoW 0
0
KoW 0
1
)
при m→∞ у H0
0,o(−T, T ). (3.14)
Звiдси KoW 0
1 = (ΞU0)
′ = (signxΩU0)
′ = (signxKoW 0
0 )′. Отже, (3.11) виконано.
Iз (3.14) маємоW 0
0 = LoΩU0. Оскiльки U0 ∈ L∞(R), то, згiдно з лемою 6.5, (3.10) виконано.
Позначимо через u0 обмеження U0 на (0, T ). Тодi, очевидно, u0 ∈ L∞(0, T ) i (3.12) виконується.
Теорему доведено.
Зауваження 3.1. Якщо задано сталу Cu > 0 таку, що |u0| ≤ Cu майже скрiзь на (0, T ), то
з огляду на лему 6.5 ми повиннi додати до умов (3.10), (3.11) у теоремах 3.1 та 3.2 наступну
умову: ∣∣W 0
0
∣∣ ≤ Cu(1 + 2TCL), (3.15)
де CL > 0 така, що |L(x, t;∞)| ≤ CL на (−T, T )× (−T, T ).
Зауваження 3.2. Якщо q ≡ const, то неважко довести, що Lo = ΨT та Ko = Ψ−1T , де
оператор ΨT було введено та вивчено у [19]. Отже, теорема 3.1 є узагальненням теореми 2.5 iз
[19] на випадок q 6= const .
Зауваження 3.3. Якщо q ≡ 0, то Lo = Ko = I, де I — тотожний оператор. У цьому
випадку умова (3.11) набирає вигляду W 0
1 = (signxW 0
0 )′, а умова (3.12) — вигляду u0 = W 0
0 на
(0, T ). Цей результат було одержано у [15].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
532 К. С. ХАЛIНА
Приклад 3.1. Нехай T = 3, W 0
0 (x) = 2 sinx−6x, x ∈ [−3, 3], iW 0
0 (x) = 0, x ∈ (−∞,−3)∪
∪(3,+∞). НехайW 0
1 таке, щоW 0
1 = Lo(signxKoW 0
0 )′. Нехай також q(x) = e−x i u0 ∈ L∞(0, 3)
таке, що |u0| ≤ 5.
Знайдемо функцiю K(x, t), яка буде визначати ядро K(x, t;∞) за формулою (6.11). Згiдно
iз зауваженням 6.3 достатньо знайти K(x, t) лише для x > t > 0. Поклавши α =
x+ t
2
> 0,
β =
x− t
2
> 0, зведемо крайову задачу (6.12), (6.13) до задачi Гурса. Розв’яжемо її методом
послiдовних наближень (див., наприклад, [23]). Повертаючись до змiнних x i t, одержуємо
K(x, t) =
1
2
∞∑
n=0
1
n!(n+ 1)!
(
1− e−
x−t
2
)n (
1− e−
x+t
2
)n+1
(3.16)
для 0 < t < x i K(x, t) = 0 для t > x > 0. Враховуючи, що K(x, t;∞) = K(x, t) − K(x,−t), i
застосовуючи означення модифiкованої функцiї Бесселя I1(z) = i−1J1(iz), де J1(z) — функцiя
Бесселя, отримуємо
K(x, t;∞) =
(
e−
x−t
2 − e−
x+t
2
) I1(2
√(
1− e−
x−t
2
)(
1− e−
x+t
2
))
2
√(
1− e−
x−t
2
)(
1− e−
x+t
2
) (3.17)
для 0 < t < x та K(x, t;∞) = 0 для t > x > 0.
Використовуючи (6.18), знаходимо |L(x, t;∞)| ≤ 57, 48 на (0, 3)× (0, 3). Маємо |W 0
0 | ≤ 20
на (0, 3) i Cu(1 + 2TCL) ≈ 1729, 25. Очевидно, що (3.15) виконується.
Оскiльки умови (3.10), (3.11) та (3.15) виконано, то стан W 0 є 0-керованим за час T = 3 i
керування, що розв’язує задачу 0-керованостi, задається формулою (t ∈ (0, 3))
u0(t) = 2 sin t− 6t+
3∫
t
(
e−
x−t
2 − e−
x+t
2
) I1(2
√(
1− e−
x−t
2
)(
1− e−
x+t
2
))
2
√(
1− e−
x−t
2
)(
1− e−
x+t
2
) (2 sinx− 6x)dx.
4. Умови керованостi для хвильового рiвняння з керуванням типу Неймана. У цьому
пунктi розглянемо керовану систему (2.1), (2.3) з початковими умовами
w(x, 0) = V 0
0 (x), wt(x, 0) = V 0
1 (x), x ∈ (0,+∞), (4.1)
де V 0 =
(
V 0
0
V 0
1
)
∈ H1
0,e(−T, T ). Розв’язки системи (2.1), (2.3), (4.1) розглядаємо у H1
0 (0, 2T ).
Позначимо V (·, t) = Ξw(·, t), t ∈ (0, T ). Очевидно, що V (·, t) ∈ H1
0,e(−T, T ), t ∈ (0, T ).
Керована система (2.1), (2.3), (4.1) еквiвалентна системi
Vtt(x, t) = Vxx(x, t)−Q(x)V (x, t)− 2u1(t)δ(x), x ∈ R, t ∈ (0, T ), (4.2)
V (x, 0) = V 0
0 (x), Vt(x, 0) = V 0
1 (x), x ∈ R. (4.3)
Розглянемо (4.2), (4.3) за деяких умов влучення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ПРОБЛЕМИ КРАЙОВОЇ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ РIВНЯННЯ КОЛИВАННЯ . . . 533
V (x, T ) = V T
0 (x), Vt(x, T ) = V T
1 (x), x ∈ R, (4.4)
де V T =
(
V T
0
V T
1
)
∈ H1
0,e(−T, T ). Для заданих T > 0, V 0 ∈ H1
0,e(−T, T ) позначимо черезReT (V 0)
множину станiв V T ∈ H1
0,e(−T, T ), для яких iснує керування u1 ∈ L∞(0, T ) таке, що задача
(4.2) – (4.4) має єдиний розв’язок у H1
0,e(−2T, 2T ).
Означення 4.1. Стан V 0 ∈ H1
0,e(−T, T ) називається 0-керованим за заданий час T > 0,
якщо 0 належитьReT (V 0), та ε-керованим за заданий час T > 0, якщо 0 належить замиканню
ReT (V 0) у H1
0,e(−T, T ).
Введемо оператор, обернений до оператора диференцiювання.
Позначимо ∂ : S′ → S′, D(∂) = Hs+1
0,e (−T, T ), s = −1, 0, ∂z = z′, z ∈ Hs+1
0,e (−T, T ).
Очевидно, що ∂z ∈ Hs
0,o(−T, T ). Мiркуючи, як у додатку у [18], можна показати, що оператор
∂ неперервний зHs+1
0,e (−T, T ) уHs
0,o(−T, T ), R(∂) = Hs
0,o(−T, T ), та iснує обернений оператор
∂−1 : S′ → S′, D(∂−1) = R(∂), R(∂−1) = D(∂), неперервний з Hs
0,o(−T, T ) у Hs+1
0,e (−T, T ).
Отже,
∥∥∂−1y∥∥s+1
0
≤ ‖y‖s0 , де y ∈ Hs
0,o(−T, T ), s = −1, 0.
Знову введемо нове поняття за аналогiєю з „косинус-перетворенням Фур’є” [22] (гл. 2).
Означення 4.2. Нехай ν(λ, x) — розв’язок задачi Кошi (6.6). Функцiя F [ν], F [ν](λ) =
= (f, ν(λ, ·)), λ ∈ C, називається ν-перетворенням функцiї f для f ∈ Hs
0,e(−T, T ), s = 1, 0.
Лемa 7.3 мiстить явну формулу для ν-перетворення i встановлює його неперервнiсть iз
Hs
0,e(−T, T ) у H0
s,e(R), s = 1, 0.
Лема 4.1. Нехай U1(t) = u1(t)[H(t)−H(t− T )]. Тодi
Ke
(
V
Vt
)
(·, t) = E(·, t) ∗
(
Ke
(
V 0
0
V 0
1
)
−
(
∂−1ΩU1
ΞU1
))
, t ∈ (0, T ),
де E(y, t) було визначено у лемi 3.1.
Доведення цiєї леми аналогiчне доведенню леми 3.1, при цьому застосовується ν-перетворен-
ня до рiвняння (4.2) i враховується, що
F−1
t∫
0
sinλτu1(τ) dτ = −
√
π
2
∂−1ΩU1
i
F−1
t∫
0
cosλτu1(τ) dτ =
√
π
2
ΞU1.
Iз леми 4.1 маємо
KeV T = E(·, T ) ∗
(
KeV 0 −
(
∂−1ΩU1
ΞU1
))
. (4.5)
Теорема 4.1. Нехай T > 0, V 0 ∈ H1
0,e(−T, T ) та виконуються умови
V 0
1 ∈ L∞(R), (4.6)
V 0
0 = Le∂−1(signxKeV 0
1 ). (4.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
534 К. С. ХАЛIНА
Тодi стан V 0 є 0-керованим за час T.
Крiм цього, розв’язок проблеми 0-керованостi (керування u1) задається формулою
u1(t) = V 0
1 (t) +
T∫
t
K(x, t; 0)V 0
1 (x) dx, t ∈ (0, T ). (4.8)
Ця теорема доводиться аналогiчно теоремi 3.1 з використанням (4.5).
Теорема 4.2. Нехай T > 0, V 0 ∈ H1
0,e(−T, T ) i стан V 0 є ε-керованим за час T. Тодi
виконуються умови (4.6), (4.7) i керування u1 задається формулою (4.8).
Ця теорема знову доводиться аналогiчно теоремi 3.2 з використанням (4.5).
Зауваження 4.1. Як i у випадку керування типу Дiрiхле, якщо задано сталу C1
u > 0 таку,
що |u1| ≤ C1
u майже скрiзь на (0, T ), то, згiдно з лемою 6.6, ми повиннi додати до умов (4.6),
(4.7) умову ∣∣V 0
1
∣∣ ≤ C1
u(1 + 2TBL), (4.9)
де BL > 0 така, що |L(x, t; 0)| ≤ BL на (−T, T )× (−T, T ).
Зауваження 4.2. Очевидно, що умова (4.7) еквiвалентна умовi
V 0
1 = Le signx(KeV 0
0 )′. (4.10)
Нехай q ≡ const . Можна побачити, що Le = Φ та Ke = Φ−1, де оператор Φ було введено
та вивчено у [18]. Отже, теорема 4.1 є узагальненням теореми 3.3 iз [18] на випадок q 6= const .
Зауваження 4.3. Очевидно, що Le = Ke = I, де I — тотожний оператор, якщо q ≡ 0. У
цьому випадку умова (4.10) набирає вигляду V 0
1 = signx(V 0
0 )′, а умова (4.8) — вигляду u1 = V 0
1
на (0, T ). Цей результат було одержано у [17].
Приклад 4.1. Нехай T = 1, V 0
1 (x) = x2 + cos 2x − 5, x ∈ [−1, 1], i V 0
1 (x) = 0, x ∈
∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞). Нехай V 0
0 таке, що V 0
0 = Le∂−1(signxKeV 0
1 ). Нехай також q(x) = e−x
i u1 ∈ L∞(0, 1) таке, що |u1| ≤ 1/2.
Очевидно, що умови (4.6), (4.7) виконуються. Знайдемо ядро K(x, t; 0) за формулою (6.11).
Оскiльки q(x) таке саме, як у прикладi 3.1, то ми використаємо формулу (3.16). Враховуючи,
що K(x, t; 0) = K(x, t) + K(x,−t), та мiркуючи, як у прикладi 3.1, одержуємо
K(x, t; 0) =
(
2− e−
x−t
2 − e−
x+t
2
) I1(2
√(
1− e−
x−t
2
)(
1− e−
x+t
2
))
2
√(
1− e−
x−t
2
)(
1− e−
x+t
2
)
для 0 < t < x та K(x, t; 0) = 0 для t > x > 0.
Використовуючи (6.19), одержуємо |L(x, t; 0)| ≤ 1, 32 на (0, 1) × (0, 1). Маємо |V 0
1 | ≤ 7
на (0, 1) та C1
u(1 + 2TBL) ≈ 1, 82. Очевидно, що (4.9) не виконується. Отже, стан V 0 не є
0-керованим за час T = 1.
5. Проблема ε-керованостi та неперервнi керування. Зауважимо, що керування, якi одер-
жано у теоремах 3.1 та 4.1, можуть бути дуже складними для практичної реалiзацiї. У цьому
пунктi ми будуємо неперервнi керування, що розв’язують проблему ε-керованостi для систем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ПРОБЛЕМИ КРАЙОВОЇ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ РIВНЯННЯ КОЛИВАННЯ . . . 535
(2.1), (2.2), (3.1) та (2.1), (2.3), (4.1), тому що у деяких випадках необхiдно перевести почат-
ковий стан керованої системи у заданий кiнцевий стан неперервним шляхом. Зазначимо, що
проблему 0-керованостi для обмеженої струни з неперервним початковим станом за допомогою
неперервного керування було розглянуто у [6]. У [18] побудовано неперервнi керування типу
Неймана i показано, що вони розв’язують проблему ε-керованостi для хвильового рiвняння на
пiвосi з потенцiалом q ≡ const . Автором було також доведено, що якщо початковий стан є
неперервним, то кiнцевий стан також є неперервним.
Покладемо
µk =
2
T
T∫
0
W 0
0 (t) sin
πkt
T
dt+
2
T
T∫
0
sin
πkt
T
T∫
t
K(x, t;∞)W 0
0 (x) dx dt, k = 0,∞, (5.1)
un(t) =
n∑
k=0
n+ 1 + k
n+ 1
µk sin
πkt
T
, n = 0,∞, (5.2)
γk =
2
T
T∫
0
V 0
1 (t) sin
πkt
T
dt+
2
T
T∫
0
sin
πkt
T
T∫
t
K(x, t; 0)V 0
1 (x) dx dt, k = 0,∞, (5.3)
u1n(t) =
n∑
k=0
n+ 1 + k
n+ 1
γk sin
πkt
T
, n = 0,∞. (5.4)
Очевидно, що un та u1n є середнiми за Чезаро для часткових сум тригонометричних рядiв∑∞
k=0
µk sin
πkt
T
та
∑∞
k=0
γk sin
πkt
T
, n = 0,∞, вiдповiдно. Мiркуючи, як i при доведеннi
теореми 5.1 iз [18], можна прийти до висновку, що справджуються наступнi теореми.
Теорема 5.1. Нехай T > 0, W 0 ∈ H0
0,o(−T, T ). Нехай для системи (2.1), (2.2), (3.1)
виконано умови (3.10), (3.11), а {µk}∞k=0 визначено формулою (5.1). Тодi для керувань un ∈
∈ L∞(0, T ), визначених за формулою (5.2), вiдповiдний кiнцевий стан (W T )n системи (2.1),
(2.2), (3.1) задовольняє нерiвнiсть∣∣∣∣∣∣(W T )n
∣∣∣∣∣∣0
0
→ 0 при n→∞.
Бiльше того, un ∈ C∞(0, T ), n = 1,∞.
Теорема 5.2. Нехай T > 0, V 0 ∈ H1
0,e(−T, T ). Нехай для системи (2.1), (2.3), (4.1)
виконано умови (4.6), (4.7), а {γk}∞k=0 визначено за формулою (5.3). Тодi для керувань u1n ∈
∈ L∞(0, T ), визначених за формулою (5.4), вiдповiдний кiнцевий стан (V T )n системи (2.1),
(2.3), (4.1) задовольняє нерiвнiсть∣∣∣∣∣∣(V T )n
∣∣∣∣∣∣1
0
→ 0 при n→∞.
При цьому u1n ∈ C∞(0, T ), n = 1,∞.
6. Оператори перетворення для задачi Штурма – Лiувiлля та спряженi до них. Спочатку
коротко нагадаємо означення та деякi властивостi операторiв перетворення, якi було встановле-
но у [22] (гл. 1). Пiсля цього розглянемо спряженi оператори у просторах Соболєва та доведемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
536 К. С. ХАЛIНА
їх неперервнiсть. Розглянемо двi задачi Кошi
−y′′(x) = λ2y(x),
y(0) = 0, y′(0) = 1,
x ∈ R, λ ∈ C, (6.1)
−y′′(x) +Q(x)y(x) = λ2y(x),
y(0) = 0, y′(0) = 1,
x ∈ R, λ ∈ C. (6.2)
Як вiдомо [22] (гл. 1), iнтегральний оператор (I + K) f(x) = f(x)+
∫ x
0
K(x, t;∞)f(t)dt перево-
дить розв’язок задачi (6.1) у розв’язок ω(λ, x) задачi (6.2). K(x, t;∞) — ядро оператора, x, t ∈ R
(див. (6.9), (6.11)). Позначимо I + K = K∗o. Згiдно з [22] (гл. 1), цей оператор має обернений
I + L тiєї ж форми з ядром L(x, t;∞), x, t ∈ R (див. (6.10), (6.14), (6.15)). Обернений оператор
позначимо через L∗o. Отже, (L∗o)−1 = K∗o i
ω(λ, x) =
(
K∗o
sinλt
λ
)
(x) =
sinλx
λ
+
x∫
0
K(x, t;∞)
sinλt
λ
dt, x ∈ R, λ ∈ C, (6.3)
sinλx
λ
= (L∗oω(λ, ·)) (x) = ω(λ, x) +
x∫
0
L(x, t;∞)ω(λ, t)dt, x ∈ R, λ ∈ C. (6.4)
Розглянемо наступнi задачi Кошi з iншими початковими умовами
−y′′(x) = λ2y(x),
y(0) = 1, y′(0) = 0,
x ∈ R, λ ∈ C, (6.5)
−y′′(x) +Q(x)y(x) = λ2y(x),
y(0) = 1, y′(0) = 0,
x ∈ R, λ ∈ C. (6.6)
У цьому випадку, згiдно з [22] (гл. 1), оператори перетворення мають iншi ядра, якi позначено
через K(x, t; 0) та L(x, t; 0), x, t ∈ R (див. (6.9) – (6.11), (6.16), (6.17)). Будемо позначати цi
оператори через K∗e та L∗e. Нехай ν(λ, x) — розв’язок задачi (6.6). Отже, згiдно з [22] (гл. 1),
(L∗e)−1 = K∗e i
ν(λ, x) = (K∗e cosλt) (x) = cosλx+
x∫
0
K(x, t; 0) cosλtdt, x ∈ R, λ ∈ C, (6.7)
cosλx = (L∗eν(λ, ·)) (x) = ν(λ, x) +
x∫
0
L(x, t; 0)ν(λ, t)dt, x ∈ R, λ ∈ C. (6.8)
Легко показати, що ω(λ, x) є непарним по x, а ν(λ, x) — парним по x за умови, що Q є парним.
Враховуючи цей факт, легко довести наступне:
K(−x,−t;∞) = −K(x, t;∞), K(−x,−t; 0) = −K(x, t; 0), x, t ∈ R, (6.9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ПРОБЛЕМИ КРАЙОВОЇ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ РIВНЯННЯ КОЛИВАННЯ . . . 537
L(−x,−t;∞) = −L(x, t;∞), L(−x,−t; 0) = −L(x, t; 0), x, t ∈ R. (6.10)
Для ядер K(x, t;∞) i K(x, t; 0) iз [22] (гл. 1) маємо
K(x, t;∞) = K(x, t)− K(x,−t), K(x, t; 0) = K(x, t) + K(x,−t), x, t ∈ R, (6.11)
де функцiя K(x, t) = 0, |t| > |x|, i є розв’язком системи [22] (гл. 1)
Kxx(x, t)− Ktt(x, t) = Q(x)K(x, t), x, t ∈ R, |t| < |x|, (6.12)
K(x, x) =
1
2
x∫
0
Q(ξ) dξ, K(x,−x) = 0, x ∈ R. (6.13)
Автором також доведено, що якщо Q має n ≥ 0 неперервних похiдних, то K(x, t) має n + 1
неперервну похiдну за обома змiнними.
Зауваження 6.1. Пiдставляючи (6.3) у (6.4) та (6.7) у (6.8) i враховуючи, що K(x, t;∞) =
= K(x, t; 0) = 0, |t| > |x|, неважко одержати L(x, t;∞) = L(x, t; 0) = 0, |t| > |x|.
Зауваження 6.2. У роботi [22] (гл. 1) одержано систему для знаходження ядра L(x, t; 0).
За аналогiєю можна знайти вiдповiдну систему для знаходження ядра L(x, t;∞). Отже, ядро
L(x, t;∞) оператора L∗o є розв’язком системи
Lxx(x, t;∞) = Ltt(x, t;∞)−Q(t)L(x, t;∞), x, t ∈ R, |t| < |x|, (6.14)
L(x, x;∞) = −1
2
x∫
0
Q(ξ) dξ, L(x, 0;∞) = 0, x ∈ R. (6.15)
Ядро L(x, t; 0) оператора L∗e є розв’язком системи
Lxx(x, t; 0) = Ltt(x, t; 0)−Q(t)L(x, t; 0), x, t ∈ R, |t| < |x|, (6.16)
L(x, x; 0) = −1
2
x∫
0
Q(ξ) dξ, Lt(x, 0; 0) = 0, x ∈ R. (6.17)
Також аналогiчно до [22] (гл. 1, теорема 1.2.2) можна довести, що якщо Q має n ≥ 0 неперерв-
них похiдних, то L(x, t;∞) та L(x, t; 0) мають n + 1 неперервну похiдну за обома змiнними i
виконуються нерiвностi
|L(x, t;∞)| ≤ σ0((x+ t)/2) exp{2σ1((x+ t)/2)}, (6.18)
|L(x, t; 0)| ≤ σ0((x+ t)/2) exp{2σ1((x+ t)/2)}, (6.19)
де σ0(x) =
∫ x
0
|Q(ξ)| dξ, σ1(x) =
∫ x
0
σ0(y)dy.
Зауваження 6.3. Враховуючи (2.4) – (2.6) та (6.9), (6.10), достатньо знайти функцiї K(x, t),
L(x, t;∞) та L(x, t; 0) лише для x > 0 i t > 0.
Далi ми розглянемо оператори Lo,Ko та Le,Ke у просторах Соболєва.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
538 К. С. ХАЛIНА
Лема 6.1. Оператори Lo,Ko : H0
0,o(−T, T ) → H0
0,o(−T, T ), D(Lo) = D(Ko) = H0
0,o(−T,
T ), визначенi за формулами (2.4), неперервнi з H0
0,o(−T, T ) у H0
0,o(−T, T ) i R(Lo) = R(Ko) =
= H0
0,o(−T, T ).
Доведення. Нехай f ∈ H0
0,o(−T, T ). З (2.4) видно, що suppLof ⊂ (−T, T ). З непарностi f
випливає непарнiсть Lof. Розглянемо норму ‖·‖00 другого доданка у Lof. Оскiльки Q ∈ C(R),
то iснує CL > 0 таке, що |L(x, |t|;∞)| ≤ CL на (−T, T ) × (−T, T ). Враховуючи, що supp f ⊂
⊂ (−T, T ), i застосовуючи нерiвнiсть Кошi – Буняковського, маємо∥∥∥∥∥∥∥
T∫
|t|
L(x, t;∞)f(x)dx
∥∥∥∥∥∥∥
0
0
=
1
2
√√√√√√ T∫
−T
∣∣∣∣∣∣
T∫
−T
|L(x, |t|;∞)| · |f(x)| dx
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤
≤ 1
2
√√√√√ T∫
−T
T∫
−T
|L(x, |t|;∞)|2dx
T∫
−T
|f(x)|2dx
dt ≤ TCL ‖f‖00 . (6.20)
Отже, множення на sign t у (2.4) є коректним i ‖Lof‖00 ≤ ‖f‖
0
0 (1 + TCL). Твердження про
оператор Ko i його неперервнiсть з H0
0,o(−T, T ) у H0
0,o(−T, T ) доводиться аналогiчно. З непе-
рервностi операторiв випливає, що R(Lo) = R(Ko) = H0
0,o(−T, T ).
Лему доведено.
Зауваження 6.4. Застосуємо спряженi операториK∗o,L∗o,що визначенi за формулами (6.3),
(6.4), до ψ,ϕ ∈ H0
0,o(−T, T ) вiдповiдно. З попередньої леми випливає, що спряженi оператори
неперервнi зH0
0,o(−T, T ) уH0
0,o(−T, T ). А звiдси випливає, щоR(L∗o) = R(K∗o) = H0
0,o(−T, T ).
Оскiльки (L∗o)−1 = K∗o, то (Lo)−1 = Ko.
Лема 6.2. Оператори Lo,Ko : H−10,o (−T, T )→ H−10,o (−T, T ), D(Lo) = D(Ko) = H−10,o (−T,
T ), визначенi за формулами (2.5), неперервнi з H−10,o (−T, T ) у H−10,o (−T, T ) i R(Lo) = R(Ko) =
= H−10,o (−T, T ).
Доведення. Достатньо довести, що звуженi на H1
0,o(−T, T ) спряженi оператори неперервнi
з H1
0,o(−T, T ) у H1
0,o(−T, T ) i їхньою областю значень є H1
0,o(−T, T ). Нехай ϕ ∈ H1
0,o(−T, T ).
Маємо (L∗oϕ) = ϕ(x) +
∫ x
0
L(x, t;∞)ϕ(t)dt. Непарнiсть L∗oϕ є очевидною завдяки (6.10). Оче-
видно також, що suppL∗oϕ ⊂ (−T, T ). Як вiдомо, ‖y‖10 ≤ ‖y‖
0
0 + ‖y′‖00 для будь-якої y ∈ H1
0 .
Отже,
‖L∗oϕ‖
1
0 ≤ ‖ϕ‖
1
0 +
∥∥∥∥∥∥
x∫
0
L(x, t;∞)ϕ(t)dt
∥∥∥∥∥∥
0
0
+
∥∥∥∥∥∥ ddx
x∫
0
L(x, t;∞)ϕ(t)dt
∥∥∥∥∥∥
0
0
. (6.21)
Оскiльки ‖ϕ‖00 ≤ ‖ϕ‖
1
0 , то аналогiчно до (6.20) одержуємо
∥∥∥∥∫ x
0
L(x, t;∞)ϕ(t)dt
∥∥∥∥0
0
≤ TCL ‖ϕ‖10 .
Розглянемо останнiй доданок у (6.21). Маємо∥∥∥∥∥∥ ddx
x∫
0
L(x, t;∞)ϕ(t)dt
∥∥∥∥∥∥
0
0
≤
∥∥∥∥∥∥
x∫
0
Lx(x, t;∞)ϕ(t)dt
∥∥∥∥∥∥
0
0
+ ‖L(x, x;∞)ϕ(x)‖00 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ПРОБЛЕМИ КРАЙОВОЇ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ РIВНЯННЯ КОЛИВАННЯ . . . 539
Iз того, що Q ∈ C(R), випливає, що iснує C1
L > 0 таке, що |Lx(x, t;∞)| ≤ C1
L на (−T, T ) ×
×(−T, T ). Тому аналогiчно до (6.20) одержуємо
∥∥∥∥∫ x
0
Lx(x, t;∞)ϕ(t)dt
∥∥∥∥0
0
≤ TC1
L ‖ϕ‖
1
0 . Iз того,
щоQ ∈ C(R), випливає, що
∣∣∣∣∣
∫ |t|
0
Q(ξ)dξ
∣∣∣∣∣ ≤ C1
Q на (−T, T ), де C1
Q > 0. Використовуючи (6.15),
одержуємо ‖L(x, x;∞)ϕ(x)‖00 = 1/2
∥∥∥∥ϕ(x)
∫ x
0
Q(ξ)dξ
∥∥∥∥0
0
≤ 1/2C1
Q ‖ϕ‖
1
0 .
Продовжуючи (6.21), маємо ‖L∗oϕ‖
1
0 ≤ ‖ϕ‖
1
0 (1 +TCL +TC1
L + 1/2C1
Q). Неперервнiсть опе-
ратора K∗o iз H1
0,o(−T, T ) у H1
0,o(−T, T ) доводиться аналогiчно. Звiдси випливає, що R(L∗o) =
= R(K∗o) = H1
0,o(−T, T ).
Лему доведено.
Лема 6.3. Оператори Le,Ke : H0
0,e(−T, T ) → H0
0,e(−T, T ), D(Le) = D(Ke) = H0
0,e(−T,
T ), визначенi за формулами (2.6), неперервнi з H0
0,e(−T, T ) у H0
0,e(−T, T ) i R(Le) = R(Ke) =
= H0
0,e(−T, T ).
Доведення леми аналогiчне доведенню леми 6.1 iз замiною непарних функцiй на парнi.
Зауваження 6.5. Розглянемо дiю спряжених операторiв K∗e , L∗e, визначених за формулами
(6.7), (6.8), на ψ,ϕ ∈ H0
0,e(−T, T ) вiдповiдно. З леми 6.3 випливає, що цi оператори неперервнi
з H0
0,e(−T, T ) у H0
0,e(−T, T ). Звiдси в свою чергу випливає, що R(L∗e) = R(K∗e) = H0
0,e(−T, T ).
Оскiльки (L∗e)−1 = K∗e , то (Le)−1 = Ke.
Лема 6.4. Оператори Le,Ke : H1
0,e(−T, T ) → H1
0,e(−T, T ), D(Le) = D(Ke) = H1
0,e(−T,
T ), визначенi за формулами (2.6), неперервнi з H1
0,e(−T, T ) у H1
0,e(−T, T ) i R(Le) = R(Ke) =
= H1
0,e(−T, T ).
Доведення цiєї леми аналогiчне доведенню леми 6.2 (замiсть спряженого оператора потрiб-
но розглядати основний) iз замiною непарних функцiй на парнi та врахуванням того, що∥∥∥∥∥∥∥
T∫
|t|
L(x, |t|; 0)h(x) dx
∥∥∥∥∥∥∥
1
0
≤
∥∥∥∥∥∥∥
T∫
|t|
L(x, |t|; 0)h(x) dx
∥∥∥∥∥∥∥
0
0
+
∥∥∥∥∥∥∥
d
dt
T∫
|t|
L(x, |t|; 0)h(x) dx
∥∥∥∥∥∥∥
0
0
.
Лема 6.5. Нехай f, g ∈ H0
0,o(−T, T ) такi, що f, g ∈ L∞(R). Тодi Kof, Log ∈ L∞(R).
Доведення. Нехай Cf > 0, Cg > 0 такi, що |f | ≤ Cf i |g| ≤ Cg на R. Оскiльки Q ∈ C(R), то
iснують такi CK > 0, CL > 0, що |K(x, t;∞)| ≤ CK i |L(x, t;∞)| ≤ CL на (−T, T )× (−T, T ),
T > 0. Використовуючи (2.4), одержуємо
|Kof | ≤ Cf (1 + 2TCK), |Log| ≤ Cg(1 + 2TCL).
Лему доведено.
Наступна лема доводиться аналогiчно.
Лема 6.6. Нехай h, r ∈ H0
0,e(−T, T ) такi, що h, r ∈ L∞(R). Тодi Keh, Ler ∈ L∞(R) i
|Keh| ≤ Ch(1 + 2TBK), |Ler| ≤ Cr(1 + 2TBL),
де Ch > 0, BK > 0, Cr > 0, BL > 0 такi, що |h| ≤ Ch, |r| ≤ Cr на R i |K(x, t; 0)| ≤ BK ,
|L(x, t; 0)| ≤ BL на (−T, T )× (−T, T ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
540 К. С. ХАЛIНА
7. Додаток.
Лема 7.1. Нехай y ∈ Hs
0,o(−T, T ), s = 0,−1. Тодi
Fy
iλ
∈ H0
s+1,e(R).
Доведення. Оскiльки ∂−1 — взаємно однозначний оператор, то iснує z ∈ Hs+1
0,e (−T, T )
таке, що z = ∂−1y. Тодi Fz ∈ H0
s+1,e(R). Як вiдомо, F∂z = iλFz. Тому
Fy
iλ
=
F∂z
iλ
= Fz ∈
∈ H0
s+1,e(R).
Лему доведено.
Лема 7.2. Нехай f1 ∈ H0
0,o(−T, T ), f2 ∈ H−10,o (−T, T ).Нехай також F
[ω]
j (λ)=(fj , ω(λ, ·)),
j = 1, 2, λ ∈ C. Тодi F [ω]
j (λ) = −
√
2π
iλ
(FKofj)(λ), j = 1, 2, i ω-перетворення є неперервним iз
Hs
0,o(−T, T ) у H0
s+1,e(R).
Доведення. Як вiдомо, (Ff)(λ) = − i√
2π
(f, sinλt) для будь-якої непарної f ∈ S′.
Застосуємо ω-перетворення до fj , j = 1, 2. Враховуючи (6.3), маємо
F
[ω]
j (λ) = (fj , ω)(λ) =
(
fj ,K∗o
(
sinλt
λ
))
=
(
Kofj ,
sinλt
λ
)
= −
√
2π
iλ
(FKofj)(λ), λ ∈ C.
Вiдомо [21] (гл. 1), що FHs
l,p(−a, a) ⊂ H l
s,p(R) i ‖f‖sl = ′‖Ff‖ls для f ∈ Hs
l,p(−a, a), p =
= o, e. Тому, використовуючи лему 7.1, одержуємо F [ω]
1 ∈ H0
1,e(R), F
[ω]
2 ∈ H0
0,e(R). Враховуючи
неперервнiсть оператора Ko, легко бачити, що ω-перетворення є неперервним.
Лему доведено.
Лема 7.3. Нехай g1 ∈ H1
0,e(−T, T ), g2 ∈ H0
0,e(−T, T ).Нехай також F
[ν]
j (λ) = (gj , ν(λ, ·)),
j = 1, 2, λ ∈ C. Тодi F [ν]
j (λ) =
√
2π(FKegj)(λ), j = 1, 2, i ν-перетворення є неперервним iз
Hs
0,e(−T, T ) у H0
s,e(R).
Ця лема доводиться аналогiчно до попередньої з урахуванням того, що (Ff)(λ) =
=
1√
2π
(f, cosλt) для будь-якої парної f ∈ S′, та (6.7).
1. Krabs W., Leugering G. On boundary controllability of one-dimension vibrating systems by W 1,p
0 -controls for
p ∈ [0,∞) // Math. Methods Appl. Sci. – 1994. – 17, № 2. – P. 77 – 93.
2. Gugat M. Analytic solutions of L∞-optimal control problems for the wave equation // J. Optim. Theor. Appl. – 2002.
– 114, № 2. – P. 397 – 421.
3. Gugat M., Leugering G. Solutions of Lp-norm-minimal control problems for the wave equation // Comput. Appl.
Math. – 2002. – 21, № 1. – P. 227 – 244.
4. Negreanu M., Zuazua E. Convergence of multigrid method for the controllability of a 1-d wave equation // C. r. Math.
Acad. sci. Paris. – 2004. – 338, № 5. – P. 413 – 418.
5. Gugat M., Leugering G., Sklyar G. Lp-optimal boundary control for the wave equation // SIAM J. Control Optim. –
2005. – 44, № 1. – P. 49 – 74.
6. Gugat M. Optimal boundary control of a string to rest in a finite time with continuous state // ZAMM. – 2006. – 86,
№ 2. – P. 134 – 150.
7. Фардигола Л. В., Халiна К. С. Проблеми керованостi для рiвняння струни // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 7.
– С. 939 – 952.
8. Gugat M., Leugering G. L∞-norm minimal control of the wave equation: on the weakness of the bang-bang principle
// ESAIM: Control Optim. Calc. Var. – 2008. – 14, № 2. – P. 254 – 283.
9. Эмануилов О. Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями // Сиб. мат. журн. – 2000. – 41,
№ 4. – С. 944 – 959.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ПРОБЛЕМИ КРАЙОВОЇ КЕРОВАНОСТI ДЛЯ РIВНЯННЯ КОЛИВАННЯ . . . 541
10. Russell D. L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations: recent progress and
open questions // SIAM Rev. – 1978. – 20, № 4. – P. 639 – 739.
11. Vancostenoble J., Zuazua E. Hardy inequalities, observability, and control for the wave and Schrödinger equations
with singular potentials // SIAM J. Math. Anal. – 2009. – 41, № 4. – P. 1508 – 1532.
12. Ильин В. А., Моисеев Е. И. О граничном управлении на одном конце процессом, описываемым телеграфным
уравнением // Докл. АН. – 2002. – 387, № 5. – С. 600 – 603.
13. Khalina K. S. Controllability problems for the non-homogeneous string that is fixed at the right end point and has
the Dirichlet boundary control at the left end point // J. Math. Phys. Anal. Geom. – 2011. – 7, № 1. – P. 34 – 58.
14. Khalina K. S. On the Neumann boundary controllability for the non-homogeneous string on a segment // J. Math.
Phys. Anal. Geom. – 2011. – 7, № 4. – P. 333 – 351.
15. Sklyar G. M., Fardigola L. V. The Markov power moment problem in problems of controllability and frequency
extinguishing for the wave equation on a half–axis // J. Math. Anal. and Appl. – 2002. – 276, № 1. – P. 109 – 134.
16. Sklyar G. M., Fardigola L. V. The Markov trigonometric moment problem in controllability problems for the wave
equation on a half-axis // Mat. Fizika, Analiz, Geometriya. – 2002. – 9, № 2. – P. 233 – 242.
17. Фардигола Л. В. Проблема керованостi крайовими умовами Неймана для рiвняння струни на пiвосi // Доп.
НАН України. – 2009. – Вип. 10. – С. 36 – 41.
18. Fardigola L. V. Controllability problems for the string equation on a half-axis with a boundary control bounded by a
hard constant // SIAM J. Control Optim. – 2008. – 47. – P. 2179 – 2199.
19. Fardigola L. V. Controllability problems for the 1 − D wave equation on a half-axis with the Dirichlet boundary
control // ESAIM: Control Optim. Calc. Var./ E–first, DOI:10.1051/cocv/2011169.
20. Schwartz L. Théorie des distributions, I, II. – Paris: Hermann, 1950–1951.
21. Волевич Л. Р., Гиндикин С. Г. Обобщенные функции и уравнения в свертках. – М.: Физматлит, 1994. – 336 с.
22. Марченко В. А. Операторы Штурма – Лиувилля и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1977. – 331 с.
23. Владимиров В. С. Уравнения математической физики.– М.: Наука, 1981. – 512 с.
24. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. Вып. 3. Обобщенные
функции. – М.: Физматгиз, 1958. – 275 с.
Одержано 30.11.11,
пiсля доопрацювання — 21.03.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2593 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:28Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b4/0f024fd18c9ff0c255896e71fa7842b4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25932020-03-18T19:30:15Z Boundary controllability problems for the equation of oscillation of an inhomogeneous string on a semiaxis Проблеми крайової керованості для рівняння коливання неоднорідної струни на півосі Khalina, K. S. Халіна, К. С. We consider a wave equation on a semiaxis, namely, $w_{tt}(x,t) = w_{xx}(x,t) — q(x)w(x,t), x > 0$. The equation is controlled by one of the following two boundary conditions: $w(0,t) = u_0(t)$ and $w_x(0,t) = u_1(t), t \in (0,T)$, where $u_0, u_1$ are controls. In both cases, the potential q satisfies the condition $q \in C[0, \infty)$, the controls belong to the class $L^{\infty}$ and the time $T >$ 0 is fixed. These control systems are considered in Sobolev spaces. Using the operators adjoint to the transformation operators for the Sturm - Liouville problem, we obtain necessary and sufficient conditions for the null-controllability and approximate null-controllability of these systems. The controls that solve these problems are found in explicit form. Рассматривается волновое уравнение на полуоси: $w_{tt}(x,t) = w_{xx}(x,t) — q(x)w(x,t), x > 0$. Это уравнение управляется одним из двух граничных условий:$w(0,t) = u_0(t)$ или $w_x(0,t) = u_1(t), t \in (0,T)$, где $u_0, u_1$ — управления. В обоих случаях потенциал q удовлетворяет условию q ∈ $q \in C[0, \infty)$, управления принадлежат классу $L^{\infty}$ и время $T >$ 0 фиксировано. Управляемые системы рассмотрены в пространствах Соболева. С помощью операторов, сопряженных к операторам преобразования для задачи Штурма – Лиувилля, получены необходимые и достаточные условия 0- и $\varepsilon$-управляемости для этих систем. Управления, решающие поставленные задачи, найдены в явном виде. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2593 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 4 (2012); 525-541 Український математичний журнал; Том 64 № 4 (2012); 525-541 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2593/1945 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2593/1946 Copyright (c) 2012 Khalina K. S. |
| spellingShingle | Khalina, K. S. Халіна, К. С. Boundary controllability problems for the equation of oscillation of an inhomogeneous string on a semiaxis |
| title | Boundary controllability problems for the equation of oscillation of an inhomogeneous string on a semiaxis |
| title_alt | Проблеми крайової керованості для рівняння коливання неоднорідної струни на півосі |
| title_full | Boundary controllability problems for the equation of oscillation of an inhomogeneous string on a semiaxis |
| title_fullStr | Boundary controllability problems for the equation of oscillation of an inhomogeneous string on a semiaxis |
| title_full_unstemmed | Boundary controllability problems for the equation of oscillation of an inhomogeneous string on a semiaxis |
| title_short | Boundary controllability problems for the equation of oscillation of an inhomogeneous string on a semiaxis |
| title_sort | boundary controllability problems for the equation of oscillation of an inhomogeneous string on a semiaxis |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2593 |
| work_keys_str_mv | AT khalinaks boundarycontrollabilityproblemsfortheequationofoscillationofaninhomogeneousstringonasemiaxis AT halínaks boundarycontrollabilityproblemsfortheequationofoscillationofaninhomogeneousstringonasemiaxis AT khalinaks problemikrajovoíkerovanostídlârívnânnâkolivannâneodnorídnoístruninapívosí AT halínaks problemikrajovoíkerovanostídlârívnânnâkolivannâneodnorídnoístruninapívosí |