Local time at zero for arratia flow
We study the Arratia flow $x(u,t)$. We prove that $x(\cdot,t)$ is a Markov process whose phase space is a certain subset $K$ of the Skorokhod space. We introduce the notion of total local time at zero for the Arratia flow. We prove that it is an additive, nonnegative, continuous functional of the f...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2594 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508517306204160 |
|---|---|
| author | Chernega, P. P. Чернега, П. П. Чернега, П. П. |
| author_facet | Chernega, P. P. Чернега, П. П. Чернега, П. П. |
| author_sort | Chernega, P. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:15Z |
| description | We study the Arratia flow $x(u,t)$. We prove that $x(\cdot,t)$ is a Markov process whose phase space is a certain subset $K$ of the Skorokhod space.
We introduce the notion of total local time at zero for the Arratia flow.
We prove that it is an additive, nonnegative, continuous functional of the flow and calculate its characteristic. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
П. П. Чернега (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ЛОКАЛЬНОЕ ВРЕМЯ В НУЛЕ ДЛЯ ПОТОКА AРРАТЬЯ
We study the Arratia flow x(u, t). We prove that x(·, t) is a Markov process whose phase space is a certain subset K of the
Skorokhod space. We introduce the notion of total local time at zero for the Arratia flow. We prove that it is an additive,
nonnegative, continuous functional of the flow and calculate its characteristic.
Вивчається потiк Арратья x(u, t). Доведено, що x(·, t) — марковський процес, фазовим простором якого є деяка пiд-
множина K простору Скорохода. Введено поняття сумарного локального часу в нулi для потоку Арратья. Доведено,
що воно є адитивним, невiд’ємним, неперервним функцiоналом вiд потоку, i обчислено його характеристику.
1. Введение.
Определение 1 [1]. Поток Арратья — случайный процесс {x(u), u ∈ R}, заданный на
вероятностном пространстве (Ω,=,P), со значениями в пространствеC([0; 1]) и следующими
свойствами:
1) x(uk, ·) — стандартный винеровский процесс, стартующий из uk;
2) ∀t ∈ [0; 1] : x(u1, t) ≤ . . . ≤ x(un, t), u1 ≤ u2 ≤ . . . ≤ un;
3) распределение (x(u1, ·), . . . , x(un, ·)) совпадает с распределением стандартного n-мер-
ного винеровского процесса, начинающегося в (u1, . . . , un) на множестве {f ∈ C([0; 1],Rn) :
fk(0) = uk, k = 1, n, f1(t) < . . . < fn(t), t ∈ [0; 1]}.
На неформальном уровне поток Арратья можно описывать как совокупность частиц, стар-
тующих из точек вещественной прямой и движущихся независимо до момента встречи. После
встречи две частицы склеиваются в одну. Каждая отдельная частица в потоке совершает бро-
уновское движение. Настоящая статья посвящена описанию фазового пространства для потока
Арратья, распространению понятия локального времени на случай многих взаимодействующих
частиц и описанию его свойств.
Определение 2 [2]. Локальным временем броуновского движения {x(s), s ≥ 0} называет-
ся совокупность случайных величин {ϕ(t, x), t ≥ 0, x ∈ R} таких, что:
1) ϕ(t, x) непрерывно по совокупности переменных (t, x) почти наверное;
2) для любого A ∈ B(R) имеет место равенство
2
∫
A
ϕ(t, x)dx =
t∫
0
1A(x(s))ds.
Величина ϕ(t, x) трактуется как локальное время в точке x, проведенное броуновским
движением x(s) до момента времени t, и часто обозначается
∫ t
0
δx(x(s))ds.
Поскольку поток Арратья состоит из частиц, совершающих броуновское движение, то
естественно определить локальное время в нуле для него как сумму локальных времен, прове-
денных в нуле каждой частицей до момента склейки:
∫
R
t∧τu∫
0
δ0(x(u, s))ds := lim
∆→0+
+∞∑
k=−∞
t∧τ(uk)∫
0
δ0(x(uk, s))ds почти наверное,
c© П. П. ЧЕРНЕГА, 2012
542 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЛОКАЛЬНОЕ ВРЕМЯ В НУЛЕ ДЛЯ ПОТОКА AРРАТЬЯ 543
uk = k∆ =
k
2m
, k ∈ Z, m ∈ N; τ(uk) := inf{t : x(uk, t) = x(uk−1, t)} ∧ 1.
При таком определении локальное время может служить интегральной характеристикой,
описывающей совместное поведение частиц в потоке. Оно оказывается конечным для любого
промежутка времени t (теорема 2).
Определение 3 [3]. Аддитивным функционалом от марковского процесса (X(t),=t, Px)
с фазовым пространством (X,B) называется случайный процесс ϕ(t) со следующими свой-
ствами:
1) для любого t ϕ(t) является =t-измеримой случайной величиной;
2) ϕ(t) + θtϕ(s) = ϕ(t + s) почти наверное, где θt — оператор сдвига вдоль траектории
процесса [3, с. 128].
Имеет место формула восстановления аддитивного неотрицательного непрерывного функ-
ционала с помощью экспоненциальных моментов [3]:
ϕ(t) = Px − lim
h→0+
t∫
0
1
h
[1− vϕ(h, x(s, ω))]ds, x ∈ X,
vϕ(t, x) := Mx exp {−ϕ(t).
Приведем основные результаты, полученные в данной работе.
Рассмотрим пространство Скорохода D := D(−∞; +∞) [4] с метрикой
d(x, y) = inf
λ∈Λ
[γ(λ) ∨ sup
t∈R
|x(t)− y(λ(t))| ∧ 1],
γ(λ) = sup
s>t
∣∣∣∣log
λ(s)− λ(t)
s− t
∣∣∣∣ ,
где Λ — множество возрастающих гомеоморфизмов вещественной прямой, явлющихся липши-
цевыми, для которых γ(λ) конечно.
Пусть
K :=
ϕ ∈ D, ϕ↗, ∃ lim
u→∞
ϕ(u)
u
> 0,
ϕ−1(1)∫
ϕ−1(0)
lnϕ(z)dz > −∞
.
Для потока Арратья x(u, t) имеет место независимость σ-алгебр, порожденных приращени-
ями потока на непересекающихся интервалах времени, поэтому x(·, t) — марковский процесс c
фазовым пространством K (теорема 3).
Определим случайную величину Φt (теорема 4):
Φt := lim
m→+∞
+∞∑
k=−∞
t∧τ(ukm)∫
0
δ0(x(ukm, s))ds =:
∫
R
t∧τu∫
0
δ0(x(u, s))ds,
ukm =
k
2m
, k ∈ Z, m ∈ N.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
544 П. П. ЧЕРНЕГА
Определение 4. Величину Φt будем называть локальным временем в нуле для потока
Арратья.
Φt — аддитивный, неотрицательный, непрерывный функционал от потока Арратья (теоре-
ма 5).
2. Поток Арратья как марковский процесс. Поскольку в дальнейшем мы будем предпола-
гать, что марковский процесс может стартовать из произвольной точки фазового пространства,
для доказательства марковского свойства потока Арратья (теорема 3) нам понадобится понятие
броуновской сети. Приведем основные определения [5].
Пусть (R2, ρ) — пополнение R2 по метрике ρ:
ρ((x1, t1), (x2, t2)) = |Φ(x1, t1)− Φ(x2, t2)| ∨ |Ψ(t1)−Ψ(t2)|,
где
Φ(x, t) :=
tanh (x)
1 + |t|
; Ψ(t) := tanh (t).
Для t0 ∈ [−∞; +∞] пусть
C[t0] := {f : [t0; +∞]→ [−∞; +∞],Φ(f(t), t) непрерывно}.
Определим
Π :=
⋃
t0∈[−∞;+∞]
C[t0]× {t0}.
Пусть (f, t0) ∈ Π обозначает траекторию в R2, начинающуюся в (f(t0), t0). Для (f, t0) обозна-
чим через f̂ продолжение f на [−∞; +∞], определив f̂ значением f(t0), t < t0.
Рассмотрим метрику
d((f1, t1), (f2, t2)) := (sup
t
|Φ(f1(t), t)− Φ(f2(t), t)|) ∨ |Ψ(t1)−Ψ(t2)|.
Известно [5], что (Π, d) — полное сепарабельное метрическое пространство. Рассмотрим мет-
рику Хаусдорфа:
H := {K ∈ Π, K — компакт},
dH(K1,K2) := sup
g1∈K1
inf
g2∈K2
d(g1, g2) ∨ sup
g2∈K2
inf
g1∈K1
d(g1, g2),
(H, dH) — полное сепарабельное метрическое пространство. Пусть =H — борелевская σ-
алгебра, порожденная dH .
Определение 5. Броуновская сеть W — (H,=H)-значная случайная величина, распреде-
ление которой однозначно определяется следующими свойствами:
1) для любых (x, t) ∈ R2 почти наверное существует траектория Wt,·(x), стартующая из
(x, t);
2) для (x1, t1), . . . , (xn, tn) совместное распределение {Wt1,·(x1), . . . ,Wtn,·(xn)} совпадает
с распределением склеивающихся броуновских движений (независимо движущихся до момента
встречи);
3) для любого счетного всюду плотного множества D в R2 почти наверное W является
замыканием в (H, dH) {Wt,·(x), (x, t) ∈ D}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЛОКАЛЬНОЕ ВРЕМЯ В НУЛЕ ДЛЯ ПОТОКА AРРАТЬЯ 545
Существование броуновской сети доказано в [5]. Заметим, что поток Арратья можно по-
лучить, если рассматривать частицы броуновской сети, стартующие в момент времени t = 0,
и справедливо соотношение
(x(u1, t+ s), . . . , x(un, t+ s))
d
= (Ws,t(x(u1, s)), . . . ,Ws,t(x(un, s))).
Имеет место независимость на непересекающихся временных интервалах σ-алгебр, порож-
денных приращениями броуновской сети как элемента пространства всех отображений (RR,L),
где L — цилиндрическая σ-алгебра в RR:
L := σ{f ∈ RR, (f(t1, . . . , f(tn))) ∈ ∆n, ∆n ∈ B(Rn)}.
Пусть
Hs,t := a{ω : Wu,s(r1, ω)−Wu,s(r2, ω) ∈ ∆, u ∈ R, ∆ ∈ B(R), s ≤ r2 ≤ r1 ≤ t}
— алгебра в пространстве (Ω,=,P).
Теорема 1. Hs1,t1 ⊥ Hs2,t2 , s1 < t1 < s2 < t2.
Доказательство. Для доказательства независимости алгебр используем случайное блуж-
дание со склеиванием:
ϕ0,n(u) := u+ ξu,1 + . . .+ ξϕ0,n−1(u),n, u ∈ Z, n ∈ N.
{ξx,k}x,k∈Z — набор независимых в совокупности случайных величин
ξx,k =
+1,
1
2
,
−1,
1
2
.
Заметим, что
P{ξϕ0,n−1(u),n = 1, ϕ0,n−1(u) = v} = P{ξv,n = 1, ϕ0,n−1(u) = v} =
= P{ξv,n = 1}P{ϕ0,n−1(u) = v}.
Суммируя по всем возможным значениям v, получаем
P{ξϕ0,n−1(u),n = 1} =
1
2
.
Докажем, что {ϕ0,n(u)}n∈N является симметричным целочисленным блужданием. Для этого
подсчитаем, например, вероятность события {ξϕ0,n(u),n+1 = 1, ξϕ0,m(u),m+1 = −1}, n < m:
P{ξϕ0,n(u),n+1 = 1, ξϕ0,m(u),m+1 = −1} =
=
∑
P{ξu,1 = x1, ξu+x1,2 = x2, . . . , ξu+x1+...+xn−1,n = xn,
ξu+x1+...+xn,n+1 = 1, ξu+x1+...+xn+1,n+2 = xn+2, . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
546 П. П. ЧЕРНЕГА
. . . , ξu+x1+...+xm−1,m = xm, ξu+x1+...+xm,m+1 = −1} =
=
∑(
1
2
)n
· 1
2
·
(
1
2
)m−n−1
· 1
2
=
∑ 1
4
·
(
1
2
)m−1
=
1
4
.
Здесь рассматриваются суммы по всевозможным наборам чисел {x1, . . . , xn, xn+2, . . . , xm} из
±1.
Применим следующую конструкцию: пусть {ξx,n}, {ηy,k} — два независимых случайных
поля. Определим
ϕ0,n(u1) := u1 + ξu1,1 + . . .+ ξϕ0,n−1(u1),n,
ϕ̃0,n(u2) := u1 + ξu2,1 + . . .+ ξϕ0,n−1(u2),n
для n ≤ τ, где
τ := inf{k : ϕ0,k(u1) = ϕ0,k(u2)}.
Для τ > n ϕ0,n(u1) определяется таким же образом (по случайному полю {ξx,n}), а
ϕ̃0,n(u2) := u1 + ξu2,1 + . . .+ ξϕ0,τ−1(u2),τ + ηϕ0,τ (u2),τ+1 + ηϕ0,n−1(u2),n.
Нам понадобится несколько вспомогательных утверждений. Докажем независимость ко-
нечномерных распределений ϕ0,n(u1) и ϕ̃0,n(u2).
Лемма 1. Имеет место равенство
P{ϕ0,n1(u1) = a1, . . . , ϕ0,nk(u1) = ak; ϕ̃0,m1(u2) = b1, . . . , ϕ̃0,mn(u2) = bn} =
= P{ϕ0,n1(u1) = a1, . . . , ϕ0,nk(u1) = ak}P{ϕ̃0,m1(u2) = b1, . . . , ϕ̃0,mn(u2) = bn}.
Доказательство. Вероятность в условии леммы равна∑
N∈N
P{ϕ0,n1(u1) = a1, . . . , ϕ̃0,mn(u2) = bn ∩ τ = N}.
Вероятность под знаком суммы можно записать следующим образом:∑
P{ξu1,1 = x1 − u1, ξx1,2 = x2 − x1, . . . , ξxnk−1,nk = ak − xnk−1;
ξu2,1 = y1 − u2, ξyN−1,N = yN − yN−1, ηyN ,N+1 = yN+1 − yN , . . .
. . . , ηymn−1,mn = bm − ymn−1}.
Здесь рассматривается сумма по всем возможным наборам целых чисел
x1, . . . , xnk−1; y1, . . . , ymn−1.
Последняя вероятность равна произведению отдельных вероятностей. Производя соответству-
ющее суммирование, получаем утверждение леммы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЛОКАЛЬНОЕ ВРЕМЯ В НУЛЕ ДЛЯ ПОТОКА AРРАТЬЯ 547
Рассмотрим случайные ломаные:
xun(t) :=
i
n
− t
1
n
ϕ0,i−1([u
√
n])√
n
+
t− i− 1
n
1
n
ϕ0,i([u
√
n])√
n
,
t ∈
[
i− 1
n
;
i
n
]
, i ∈ {1, . . . , n}; xun(·) ∈ C([0; 1],R) ∀u ∈ Z ∀n ∈ N.
Используя условия слабой сходимости в C([0; 1],R), можно утверждать, что
xun(·)⇒ wu(·), n→∞,
где wu(·) — винеровский процесс, стартующий из точки u.
Рассмотрим функцию xu1n (·), построенную по случайному блужданию ϕ0,n(u1), и функцию
xu2n (·), построенную по ϕ̃0,n(u2).
Случайная вектор-функция
−→
Xn(t) := (xu1n (t); xu2n (t)) слабо сходится вC([0; 1],R2) к двумер-
ному винеровскому процессу
−→
W (t) = (wu1(t);wu2(t)), компоненты которого — независимые
винеровские процессы [6].
Рассмотрим теперь отображение Φ:
Φ : C([0; 1],R2)→ C([0; 1],R2),
Φ(f1(·); f2(·))(t) := (f1(t) ∗ 1{t≤τ}; f2(t) ∗ 1{t≤τ}) + (f1(t) ∗ 1{t>τ}; f1(t) ∗ 1{t>τ}),
где τ := inf{t : f1(t) = f2(t)} ∧ 1.
Докажем, что винеровская мера точек разрыва отображения Φ равна 0.
Лемма 2. Пусть:
1)
−→
F (t) := (f1(t); f2(t)) ∈ C([0; 1],R2);
2) τF := inf{t : f1(t) = f2(t)} ∧ 1;
3) f1(0) > f2(0);
4) ∃{tn} : tn ↘ τ, f1(tn) < f2(tn).
Тогда
−→
F (·) — точка непрерывности отображения Φ.
Доказательство. Пусть ε > 0 задано. Укажем δ > 0 такое, что ‖Φ(
−→
F ) − Φ(
−→
G)‖ < ε,
как только ‖
−→
F −
−→
G‖ < δ. Рассмотрим случай τF < τG (случай τF ≥ τG рассматривается
аналогично):
‖Φ(
−→
F )− Φ(
−→
G)‖ = max
0≤t≤τF
√
(f1(t)− g1(t))2 + (f2(t)− g2(t))2+
+ max
τF<t≤τG
√
(f1(t)− g1(t))2 + (f1(t)− g2(t))2 + max
τG<t≤1
√
2(f1(t)− g1(t))2 ≤
≤ ‖f1(·)− g1(·)‖+ ‖f2(·)− g2(·)‖+ ‖f1(·)− g1(·)‖+ max
τF<t≤τG
|f1(t)− g2(t)|+
+
√
2‖f1(·)− g1(·)‖ ≤ (2 +
√
2)‖f1(·)− g1(·)‖+ 2‖f2(·)− g2(·)‖+ max
τF<t≤τG
|f1(t)− f2(t)|.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
548 П. П. ЧЕРНЕГА
Выберем g1(·) и g2(·) так, чтобы
‖f1(·)− g1(·)‖ ≤ ε
3(2 +
√
2)
, ‖f2(·)− g2(·)‖ ≤ ε
6
, g1(0) > g2(0).
Такой выбор можно сделать в силу условия 3 теоремы.
Выберем t0:
∀t ∈ [τF , t0] : |f1(t)− f2(t)| < ε
3
, f1(t0)− f2(t0) < 0.
Такой выбор возможен в силу непрерывности f1 и f2. Докажем, что τG < t0 при дополнитель-
ных предположениях относительно g1 и g2:
‖f1(·)− g1(·)‖ < f2(t0)− f1(t0)
3
, ‖f2(·)− g2(·)‖ < f2(t0)− f1(t0)
3
.
Действительно,
g1(t0)− g2(t0) = g1(t0)− f1(t0) + f1(t0)− f2(t0) + f2(t0)− g2(t0) ≤ f1(t0)− f2(t0)
3
< 0.
Значит, при таком выборе g1 и g2 τG < t0 и maxτF<t≤τG |f1(t)− f2(t)| < ε
3
, δ :=
ε
3(2 +
√
2)
∧
∧ f2(t0)− f1(t0)
3
.
Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть
C1 := {(f1(·); f2(·)) ∈ C([0; 1],R2) : f1(·) и f2(·)
пересекаются на (0; 1) и ∃{tn} : tn ↘ τ, f1(tn) < f2(tn)},
C2 := {(f1(·); f2(·)) : f1(·) и f2(·) не пересекаются на (0; 1)}.
Тогда
W (C1 ∪ C2) = 1,
где W — слабый предел последовательности мер, соответствующих распределениям случай-
ных векторов
−→
Xn(t) = (xu1n (t); xu2n (t)) на C([0; 1],R2).
Доказательство. Имеет место равенство
W (C1 ∪ C2) = P{(wu1(t);wu2(t)) ∈ C1 ∪ C2} = 1− P{wu1(·) и wu2(·)
встречаются на (0; 1), но !∃{tn} : tn ↘ τ и wu1(tn) < wu2(tn)}.
Последняя вероятность равна 0 в силу строго марковского свойства винеровского процесса и
закона повторного логарифма:
P
lim
t→0+
wu1 (t)−wu2 (t)√
2√
t · lln1
t
= −1
= 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЛОКАЛЬНОЕ ВРЕМЯ В НУЛЕ ДЛЯ ПОТОКА AРРАТЬЯ 549
Поэтому W (C1 ∪ C2) = 1.
Лемма доказана.
Используя лемму 3 и основную теорему о слабой сходимости в пространстве непрерывных
функций [6], получаем
Φ(
−→
Xn(·))⇒ Φ(
−→
W (·)),
т. е. слабую сходимость случайных блужданий со склеиванием к склеивающимся винеровским
процессам. Действуя аналогичным образом в случае не двух, а N случайных блужданий,
и переопределяя надлежащим образом отображение Φ, можно доказать слабую сходимость
N склеивающихся случайных блужданий к N склеивающимся винеровским процессам. Для
независимости {ϕ0,n(ui)}n≥1, i = 1, N, в этом случае необходимо N независимых случайных
полей {ξix,k}, i = 1, N. Случайные блуждания будем строить следующим образом: до момента
первой встречи любых двух блужданий все ϕ0,n(ui) строятся по полю {ξ1
x,k}. После встречи
двух блужданий одно из них строится дальше без изменений, а второе — по полю {ξ2
x,k}.
В дальнейшем при встрече двух блужданий, эволюционирующих по полям {ξ1
x,k}, {ξ2
x,k},
одно из них не изменяем, а второе заставляем эволюционировать по еще „не занятому” полю
{ξjx,k}, j ∈ 3, . . . , N. Перенесем теперь рассмотренную выше конструкцию на случай произ-
вольных моментов старта s и точки старта u:
xun,s(t) :=
i
n
− t
1
n
ϕ[ns],i−1([u
√
n])
√
n
+
t− i− 1
n
1
n
ϕ[ns],i([u
√
n])
√
n
,
t ∈
[
i− 1
n
;
i
n
]
, i− 1 ≥ [ns], i ≤ n, s, u ∈ Q.
Здесь
ϕm,n(u) := u+ ξu,m+1 + . . .+ ξϕm,n−1(u),n, m ≤ n− 1,
ϕm,m(u) := u, ϕm,m+1(u) := u+ ξu,m+1.
Но при таком определении xun,s(t) определены, вообще говоря, на разных интервалах вида[
[ns]
n
; 1
]
. Для определения xun,s(t) на интервале [s; 1] рассмотрим последовательность
{x̃ul,s}∞l=1 := {xulm,s}∞l=1,
где m определяется равенством s =
k
m
, k,m ∈ Z (напомним, что s ∈ Q ∩ [0; 1]).
Таким образом можно получить произвольное число склеивающихся винеровских процес-
сов, стартующих из точек (s, u), s, u ∈ Q, т. е. броуновскую сеть.
Замечание. Для ϕm1,n(u1) и ϕm2,n(u2) момент первой встречи определяется так:
τ := inf{n ≥ m2 ∨m1 : ϕm1,n(u1) = ϕm2,n(u2)}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
550 П. П. ЧЕРНЕГА
Вернемся к доказательству теоремы 1. Для r1 > r2 определим отображение
f : C([0; 1],R)→ R; f(xun,s(·)) := xun,s(r1)− xun,s(r2);
f — непрерывное отображение, следовательно, f(xun,s) ⇒ f(wus ), где wus (·) — винеровский
процесс, стартующий в момент времени s из точки u. В силу определения xun,s(t) и случай-
ных блужданий ϕm,n(u) приращения Xu
n,s(r1)−Xu
n,s(r2) будут независимыми для отделенных
друг от друга временных интервалов [s1; t1] и [s2; t2], содержащих точки r1, r2. В силу сла-
бой сходимости указанная независимость переносится на случай склеивающихся винеровских
процессов. Значит, Hs1,t1 ⊥ Hs2,t2 , s1 < t1 < s2 < t2.
Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Пусть =s,t := σ{Hs,t}. Тогда =s1,t1 ⊥ =s2,t2 .
Доказательство следует из достаточного условия независимости σ-алгебр [7, с. 60].
Поскольку известно, что поток Арратья имеет cadlag-модификацию как случайный процесс,
заданный на R и принимающий значения в C([0; 1]) [8], в качестве фазового пространства для
x(·, t) можно выбрать некоторое подмножество K пространства Скорохода D (см. введение) с
индуцированной метрикой
K :=
ϕ ∈ D,ϕ↗, ∃ lim
u→∞
ϕ(u)
u
> 0,
ϕ−1(1)∫
ϕ−1(0)
lnϕ(z)dz > −∞
.
Лемма 4. В любой момент времени t поток находится во множестве K.
Доказательство. Проверим для произвольного момента времени t сохранение: 1) асимп-
тотики на бесконечности и 2) локального условия в нуле.
1. Воспользуемся следующим утверждением.
Утверждение 1 [9]. Пусть {ξn}n≥1 — одинаково распределенные случайные величины с
M|ξn|α <∞, α > 0. Тогда имеет место соотношение limn→∞
ξn
n1/α
= 0 почти наверное.
Поскольку для потока Арратья в произвольный момент времени имеет место упорядочен-
ность частиц, выполняются неравенства
ϕ(u) + wϕ(u)(t) ≤ ϕ(n+ 1) + wϕ(n+1)(t),
ϕ(n) + wϕ(n)(t) ≤ ϕ(u) + wϕ(u)(t), u ∈ [n;n+ 1].
Здесь wx(t) — стандартный винеровский процесс, соответствующий точке x.
Так как имеют место оценки
|wϕ(u)(t)|
n+ 1
≤
|wϕ(u)(t)|
u
≤
|wϕ(u)(t)|
n
, u ∈ [n;n+ 1], n > 0,
и обратные неравенства при n+ 1 < 0, то
wϕ(u)(t)
u
→ 0, u→∞ для любого t > 0.
Значит,
lim
u→∞
x(ϕ(u), t)
u
= lim
u→∞
ϕ(u)
u
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЛОКАЛЬНОЕ ВРЕМЯ В НУЛЕ ДЛЯ ПОТОКА AРРАТЬЯ 551
2. Проверим, что
M
x(ϕ(1),t)−1∫
x(ϕ(0),t)−1
lnx(ϕ(u), t)du > −∞. (1)
Поскольку выражение под знаком математического ожидания неположительное, тем самым
будет доказано выполнение локального условия в нуле для произвольного момента времени
t ≥ 0.
Выполним замену переменных в (1) и оценим сверху получившееся выражение с противо-
положным знаком.
Обозначим y(·, t) := x(ϕ(·), t), t ≥ 0. Имеют место следующие соотношения:
M
+∞∑
n=1
lnnλ
{
u : y(u, t) ∈
(
1
n+ 1
,
1
n
)}
=
+∞∑
n=1
lnnMλ
{
u : y(u, t) ∈
(
1
n+ 1
,
1
n
)}
=
=
+∞∑
n=1
lnn
∫
R
dv
1/n∫
1/(n+1)
dx
1√
2πt
exp
{
−(x− ϕ(v))2
2t
}
≤
≤
+∞∑
n=1
lnn
∫
R
dv
1/n∫
1/(n+1)
dx
1√
2πt
exp
{
−ϕ(v)2
2t
+
2x2
t
}
≤
≤ exp
{
1
t
}∫
R
dv exp
{
−ϕ(v)2
2t
}
1√
2πt
+∞∑
n=1
lnn
(
1
n
− 1
n+ 1
)
< +∞.
Лемма доказана.
Теорема 2. Поток Арратья имеет измеримую модификацию как случайный процесс в
пространстве K.
Доказательство. Проверим непрерывность справа потока Арратья как случайного процес-
са в пространстве K [3]:
P{d(x(·, t), x(·, t0))→ 0, t↘ t0} =
P{∀U ≥ 0 ∃{λUt,ω} ⊂ Λ′ : lim
t↘t0
sup
|u|≤U
|x(λUt,ω(u), t)− x(u, t0)| = 0,
lim
t↘t0
sup
|u′|≤U
|λUt,ω(u′)− u′| = 0} =
= P
{ ⋂
U≥0
⋃
{λUt,ω}⊂Λ′
{ lim
t↘t0
sup
|u|≤U
|x(λUt,ω(u), t)− x(u, t0)| = 0}
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
552 П. П. ЧЕРНЕГА
⋂
{ lim
t↘t0
sup
|u′|≤U
|λUt,ω(u′)− u′| = 0}
}
≥
≥ P
⋂
U≥0
{ lim
t↘t0
sup
|u|≤U
|x(u, t)− x(u, t0)| = 0}
.
Известно, что [10]
sup
|u|≤U
|x(u, t)− x(u, t0)| ∼
√
(t− t0) ln(t− t0)−1, t > t0.
Поскольку t ln
1
t
→ 0, t→ 0+, получаем
{ sup
|u|≤U
|x(u, t)− x(u, t0)| → 0, t↘ t0} ⊇
⊇ { sup
|u|≤U
|x(u, t)− x(u, t0)| ∼
√
(t− t0) ln(t− t0)−1, t↘ t0}.
Поэтому
∀U : P{ sup
|u|≤U
|x(u, t)− x(u, t0)| → 0, t↘ t0} = 1.
Здесь Λ′ — множество строго возрастающих гомеоморфизмов вещественной прямой.
Теорема доказана.
Теорема 3. Процесс x(·, t) является марковским в пространстве (K, d), где d — метрика
в пространстве Скорохода.
Доказательство. Пусть Ws,t(·) — броуновская сеть. Справедливо равенство Ws,t(x(·, s)) d
=
d
= x(·, t). Действительно, в случае одномерных распределений получаем u+w1(s)+w2(t−s) d
=
d
= u + w1(t). Последнее же равенство заведомо выполняется, так как w1 и w2 — независимые
винеровские процессы. Записав n-мерные распределения для левой и правой частей, получим
случайные векторы (xi1 , . . . , xik1 , . . . , xim , . . . , xikm ), k1 + . . . + km = n, компоненты которых
имеют гауссовские распределения с равными параметрами и либо совпадают, либо независимы:
xij = . . . = xikj , j = 1,m.
Зададим переходные вероятности: P(s, x, t,Γ) := P{Ws,t(x) ∈ Γ}, x ∈ K, Γ ∈ L|K — cуже-
ние цилиндрической σ-алгебры L на множество K, s < t. Проверим выполнение марковского
свойства [11]:
P{x(·, t) ∈ Γ/Fs} = P{Ws,t(x(·, s)) ∈ Γ/Fs} = M{1Γ(Ws,t(x(·, s)))/Fs}. (2)
Поскольку Ws,t(·) ⊥ Fs, x(·, s) является Fs-измеримым, (2) можно записать так:
M1Γ(Ws,t(y))|y=x(·,s) = P{Ws,t(y) ∈ Γ}|y=x(·,s) = P(s, x, t,Γ)|y=x(·,s) = P(s, x(·, s), t,Γ). Здесь
Fs := σ{x(u, r), u ∈ R, r ≤ s}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЛОКАЛЬНОЕ ВРЕМЯ В НУЛЕ ДЛЯ ПОТОКА AРРАТЬЯ 553
3. Локальное время в нуле для потока Арратья.
Лемма 5. Существует
L2 − lim
ε→0+
t∧τ(uk)∫
0
fε(x(uk, s))ds =:
t∧τ(uk)∫
0
δ0(x(uk, s))ds,
где τ(uk) := inf{t : x(uk, t) = x(uk−1, t)} ∧ 1, uk−1 < uk.
Доказательство. Рассмотрим функции ϕε(t) :=
∫ t
−∞
∫ s
−∞
fε(x)dxds, ϕε ∈ C2(R). Исполь-
зуем формулу Ито
ϕε(x(uk, s))− ϕε(uk)−
t∫
0
ϕ
′
ε(x(uk, s))dx(uk, s) =
1
2
t∫
0
fε(x(uk, s))ds.
Имеют место следующие сходимости:
ϕ
′
ε(·)→
1
2
1[0,+∞)(·); ϕε(t)→
1
2
t+, ε→ 0 + .
Переходя в формуле Ито к пределу при ε→ 0+, получаем
x(uk, s)
+ − u+
k −
t∫
0
1[0;+∞)(x(uk, s))dx(uk, s) =
1
2
lim
ε→0+
t∫
0
fε(x(uk, s))ds =:
=:
1
2
t∫
0
δ0(x(uk, s))ds.
Заметим, что выражение в левой части совпадает с локальным временем в нуле для броунов-
ского движения x(uk, ·) [2].
Чтобы доказать утверждение леммы, нужно применить формулу Ито к остановленно-
му случайному процессу x̃(uk, t) = x(uk, t ∧ τ(uk)). При этом заметим, что 〈x̃(uk, ·)〉t =
= 〈(x(uk, ·)〉t∧τ(uk).
Лемма доказана.
Теорема 4. Для каждого t ∈ [0; 1] почти наверное существует предел
lim
m→∞
+∞∑
k=−∞
t∧τ(ukm)∫
0
δ0(x(ukm, s))ds =:
∫
R
t∧τ(u)∫
0
δ0(x(u, s))ds,
ukm =
k
2m
, m ∈ N.
Доказательство. Рассмотрим последовательность неотрицательных случайных величин
Sm(t) :=
+∞∑
k=−∞
t∧τ(ukm)∫
0
δ0(x(ukm, s))ds, Sm(t) ∈ [0; +∞], Sm(t)↗ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
554 П. П. ЧЕРНЕГА
Пусть S(t) := limm→∞ Sm(t). Докажем, что S(t) <∞ почти наверное, t ∈ [0; 1].
По теореме Лебега о монотонной сходимости
MS(t) = lim
m→∞
MSm(t) = lim
m→∞
+∞∑
k=−∞
M
t∧τ(ukm)∫
0
δ0(x(ukm, s))ds =
= lim
m→∞
+∞∑
k=−∞
M
t∧τ(ukm)∫
0
f s
2
(
w2(s)√
2
+ ukm
)
ds =
= lim
m→∞
+∞∑
k=−∞
t∫
0
dr
+∞∫
0
dyf r
2
(
y√
2
+ k∆− ∆√
2
)
nr
(
∆√
2
, y
)
, (3)
где nr(x, y) = fr(x−y)−fr(x+y) — переходная плотность винеровского процесса с убыванием
в нуле, ∆ =
1
2m
.
В последнем равенстве использовано соотношение
M
t∧τ(ukm)∫
0
δ0(x(ukm, s))ds/w2
=
t∧τ(ukm)∫
0
f s
2
(
w2(s)√
2
+ ukm
)
ds.
Окончательно (3) можно записать так:
(3) = −
√
2
t∫
0
dr
+∞∫
0
dy
+∞∫
−∞
dzf r
2
(
y√
2
+ z
)
f ′r(y).
Поэтому MS(t) < +∞ и S(t) < +∞ P-почти наверное, t ∈ [0; 1].
Обозначим Φt :=
∫
R
∫ t∧τ(u)
0
δ0(x(u, s))ds.
Теорема 5. Φt — аддитивный, неотрицательный, непрерывный функционал от потока
Арратья.
Доказательство. Рассмотрим функционал
ϕt :=
t∧τ(ukm)∫
0
fε(x(ukm, s))ds, ukm =
k
2m
, k ∈ Z, m ∈ N.
Справедливы следующие соотношения:
ϕt+s − ϕs :=
(t+s)∧τ(ukm)∫
s∧τ(ukm)
fε(x(ukm, r))dr.
Согласно определению действия оператора сдвига [3, с. 128]
θs({ω : x(ukm, t) ∈ A}) = {ω : x(ukm, t+ s) ∈ A}, t ≥ 0, A ∈ B(R).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
ЛОКАЛЬНОЕ ВРЕМЯ В НУЛЕ ДЛЯ ПОТОКА AРРАТЬЯ 555
Поэтому
θsϕt = θs
t∫
0
fε(x(ukm, r))1{r≤τ(ukm)}dr =
t∫
0
fε(x(ukm, r + s))1{r≤τ(ukm)−s}dr =
=
t+s∫
s
fε(x(ukm, r
′))1{r′≤τ(ukm)}dr
′ =
(t+s)∧τ(ukm)∫
s∧τ(ukm)
fε(x(ukm, r))dr.
Поэтому
ϕt+s − ϕs = θsϕt. (4)
Переходя в (4) к пределу при ε→ 0+, получаем, что
∫ t∧τ(ukm)
0
δ0(x(ukm, s))ds — аддитивный
неотрицательный функционал. Суммируя по k и переходя к пределу по m, доказываем, что∫
R
∫ t∧τ(u)
0
δ0(x(u, s))ds — аддитивный неотрицательный функционал.
Проверим непрерывность. Заметим, что в силу неотрицательности
sup
0≤t≤1
l∑
k=n+1
t∧τ(ukm)∫
0
δ0(x(ukm, s))ds ≤
l∑
k=n+1
1∧τ(ukm)∫
0
δ0(x(ukm, s))ds→ 0, n, l→∞,
как остаток сходящегося P-почти наверное ряда. Поэтому ряд
+∞∑
k=−∞
t∧τ(ukm)∫
0
δ0(x(ukm, s))ds
сходится равномерно по t. Обозначим его сумму Sm(t), Sm(·) ∈ C([0; 1]).
В силу вложенности разбиений
sup
s∈[0;t]
[Sn(s)− Sm(s)] = Sn(t)− Sm(t), n ≥ m.
Поскольку {Sn(t)}n≥1 — сходящаяся почти наверное последовательность, Sn(t) − Sm(t) → 0,
n,m→ +∞. Значит, Sn(·) ⇒ S(·), n→ +∞. Отсюда S(·) ∈ C([0; 1]).
Вычислим характеристику Φt.
Лемма 6. Пусть ϕ ∈ K. Тогда
MϕΦt = −
√
2
t∫
0
dr
+∞∫
0
dyf ′r(y)
+∞∫
−∞
dzf r
2
(
ϕ(z) +
y√
2
)
ϕ′(z).
Доказательство. Согласно формуле (3)
MϕΦt = lim
m→∞
+∞∑
k=−∞
t∫
0
dr
+∞∫
0
dyf r
2
y√
2
+ ϕ
(
k
2m
)
−
ϕ
(
k
2m
)
− ϕ
(
k − 1
2m
)
√
2
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
556 П. П. ЧЕРНЕГА
×nr
ϕ
(
k
2m
)
− ϕ
(
k − 1
2m
)
√
2
, y
.
Заметив в последнем выражении интегральную сумму Римана, окончательно получаем
MϕΦt = −
√
2
+∞∫
−∞
dz
t∫
0
dr
+∞∫
0
dyf ′r(y)f r
2
(
ϕ(z) +
y√
2
)
ϕ′(z). (5)
Применив теорему Фубини, получим утверждение леммы.
Вывод. Таким образом, построенное локальное время в нуле для потока Арратья явля-
ется аддитивным, неотрицательным, непрерывным функционалом от потока как марковского
процесса в фазовом пространстве K. Его характеристика имеет вид (5).
1. Дороговцев А. А. Мерозначные процессы и стохастические потоки. – Киев: Ин-т математики НАН Украины,
2007. – 289 с.
2. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. – М.: Наука,
1986. – 448 с.
3. Портенко Н. И., Скороход А. В., Шуренков В. М. Марковские процессы. – М.: Наука, 1989. – 248 с.
4. Ethier S. N., Kurtz T. G. Markov processes. Characterization and convergence. — Hoboken, New Jersey: John Willey
& Sons, 2002. – 534 p.
5. Fontes L. R. G., Isopi M., Newman C. N., Ravishankar K. The Brownian web: characterization and convergence //
Ann. Probab. – 2004. – 32. – № 4.
6. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. – М.: Наука, 1997. – 352 с.
7. Скороход А. В. Вероятность. Основные понятия. Структура. Методы // Итоги науки и техники. Соврем. пробл.
математики. Фундам. направления // ВИНИТИ. – 1989. – 43. – С. 5 – 145.
8. Дороговцев А. А. Некоторые замечания о винеровском потоке со склеиванием // Укр. мат. журн. – 2005. – 57,
№ 10. – С. 1327 – 1333.
9. Дороговцев А. Я., Сильвестров Д. С., Скороход А. В., Ядренко Н. И. Теория вероятностей. Сборник задач. –
Киев: Вища шк., 1980. – 432 с.
10. Shamov А. On short-time asymptotics of one-dimensional Harris flows // arXiv1̂010.5349V1.[mathPR] 26 Oct 2010.
11. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. – Киев: Наук. думка, 1968. – 354
с.
Получено 21.07.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-2594 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:28Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/31/0e1fb505a366076e499d5e3f0f9fd731.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-25942020-03-18T19:30:15Z Local time at zero for arratia flow Локальное время в нуле для потока Арратья Chernega, P. P. Чернега, П. П. Чернега, П. П. We study the Arratia flow $x(u,t)$. We prove that $x(\cdot,t)$ is a Markov process whose phase space is a certain subset $K$ of the Skorokhod space. We introduce the notion of total local time at zero for the Arratia flow. We prove that it is an additive, nonnegative, continuous functional of the flow and calculate its characteristic. Вивчається потiк Арратья $x(u,t)$. Доведено, що $x(\cdot,t)$ — марковський процес, фазовим простором якого є деяка пiдмножина $K$ простору Скорохода. Введено поняття сумарного локального часу в нулi для потоку Арратья. Доведено, що воно є адитивним, невiд’ємним, неперервним функцiоналом вiд потоку, i обчислено його характеристику. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2594 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 4 (2012); 542-556 Український математичний журнал; Том 64 № 4 (2012); 542-556 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2594/1947 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2594/1948 Copyright (c) 2012 Chernega P. P. |
| spellingShingle | Chernega, P. P. Чернега, П. П. Чернега, П. П. Local time at zero for arratia flow |
| title | Local time at zero for arratia flow |
| title_alt | Локальное время в нуле для потока Арратья |
| title_full | Local time at zero for arratia flow |
| title_fullStr | Local time at zero for arratia flow |
| title_full_unstemmed | Local time at zero for arratia flow |
| title_short | Local time at zero for arratia flow |
| title_sort | local time at zero for arratia flow |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2594 |
| work_keys_str_mv | AT chernegapp localtimeatzeroforarratiaflow AT černegapp localtimeatzeroforarratiaflow AT černegapp localtimeatzeroforarratiaflow AT chernegapp lokalʹnoevremâvnuledlâpotokaarratʹâ AT černegapp lokalʹnoevremâvnuledlâpotokaarratʹâ AT černegapp lokalʹnoevremâvnuledlâpotokaarratʹâ |