Best mean-square approximation of functions defined on the real axis by entire functions of exponential type
Exact constants in Jackson-type inequalities are calculated in the space $L_2 (\mathbb{R})$ in the case where the quantity of the best approximation $\mathcal{A}_{\sigma}(f)$ is estimated from above by the averaged smoothness characteristic $\Phi_2(f, t) = \cfrac 1t \int^t_0||\Delta^2_h(f)||dh$. We...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2601 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508526136262656 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:33Z |
| description | Exact constants in Jackson-type inequalities are calculated in the space $L_2 (\mathbb{R})$ in the case where the quantity of the best
approximation $\mathcal{A}_{\sigma}(f)$ is estimated from above by the averaged smoothness characteristic $\Phi_2(f, t) = \cfrac 1t \int^t_0||\Delta^2_h(f)||dh$.
We also calculate the exact values of the average $\nu$-widths of classes of functions defined by $\Phi_2$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Днепропетр. ун-т им. А. Нобеля)
НАИЛУЧШЕЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ,
ЗАДАННЫХ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ, ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
Exact constants in Jackson-type inequalities are calculated in the space L2(R) in the case where the quantity of the best
approximation Aσ(f) is estimated from above by the averaged smoothness characteristic Φ2(f, t) =
1
t
∫ t
0
‖∆2
h(f)‖dh.
We also calculate the exact values of the average ν-widths of classes of functions defined by Φ2.
У просторi L2(R) обчислено точнi константи в нерiвностях типу Джексона у випадку, коли величина найкращого
наближення Aσ(f) оцiнюється зверху осередненою характеристикою гладкостi Φ2(f, t) =
1
t
∫ t
0
‖∆2
h(f)‖dh. Також
обчислено точнi значення середнiх ν-поперечникiв класiв функцiй, означених за допомогою Φ2.
1. Теория приближения функций является одним из наиболее успешно развивающихся направ-
лений современной математики, имеющим важное значение в различных ее областях. При
этом в качестве аппаратов приближения используются, например, полиномы, сплайны, целые
функции, вейвлет-функции („всплески”) и т. д.
Начало исследованиям, связанным с аппроксимацией функций, заданных на всей веще-
ственной оси, было положено в работах С. Н. Бернштейна (см., например, [1]). Средством
приближения послужило подпространство целых функций конечного экспоненциального типа,
к которому С. Н. Бернштейн пришел путем некоторого предельного процесса по алгебраи-
ческим полиномам. В ходе проводимых им исследований выяснилось, что рассматриваемые
пространства обобщали и тригонометрические полиномы. В дальнейшем различные аспекты
теории аппроксимации функций на вещественной оси целыми функциями экспоненциального
типа нашли свое отражение в работах Н. И. Ахиезера, А. Ф. Тимана, М. Ф. Тимана, С. М. Ни-
кольского, И. И. Ибрагимова, Ф. Г. Насибова, В. Ю. Попова, В. К. Дзядыка, А. И. Степанца и
многих других (см., например, [2 – 12]).
Пусть L2(R), R := {x : −∞ < x <∞} — пространство вещественных функций f, опреде-
ленных и измеримых на R, которые удовлетворяют условию
‖f‖ :=
−∞∫
−∞
|f(x)|2dx
1/2
<∞.
Символом Bσ,2, 0 < σ < ∞, обозначим подпространство целых функций экспоненциального
типа σ, принадлежащих L2(R). Величину
Aσ(f) := inf
{
‖f − g‖ : g ∈ Bσ,2
}
,
где f ∈ L2(R), называют наилучшим приближением функции f элементами подпростран-
ства Bσ,2.
Для решения ряда задач конструктивной теории функций в пространстве 2π-периодических
функций Lp([0, 2π]), 1 6 p 6∞, Н. Н. Пустовойтов использовал вместо модуля непрерывности
k-го порядка ωk(f, t)p усредненную конечную разность k-го порядка [13]
c© С. Б. ВАКАРЧУК, 2012
604 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАИЛУЧШЕЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ . . . 605
Φk(f, t)p :=
1
t
t∫
0
‖∆k
h(f)‖pdh,
где ∆k
h(f, x) :=
∑k
j=0
(−1)k−j
(
k
j
)
f(x + jh) — конечная разность k-го порядка функции f
в точке x с шагом h. В [13] также отмечалось, что в смысле слабой эквивалентности для
2π-периодической функции f ∈ Lp([0, 2π]), 1 6 p 6∞, справедливо соотношение Φk(f, t)p �
� ωk(f, t)p.
Под Lrp([0, 2π]), r ∈ N, 1 6 p 6∞, понимаем множество функций f ∈ Lp([0, 2π]), у которых
производные (r−1)-го порядка f (r−1) абсолютно непрерывны, а производные r-го порядка f (r)
принадлежат пространству Lp([0, 2π]). В случае r = 0 полагаем L0
p([0, 2π]) ≡ Lp([0, 2π]). При
p = k = 2 для полиномиальной аппроксимации 2π-периодических функций в пространстве
L2([0, 2π]) из результатов работы [14] получаем
sup
{
nrEn−1(f)2
Φ2(f (r), t)2
: f ∈ Lr2([0, 2π]), f 6≡ const
}
=
{
2
(
1− sinnt
nt
)}−1
, (1)
где 0 < t 6 π/(2n), r ∈ Z+, f
(0) ≡ f, En−1(f)2 — наилучшее приближение функции
f ∈ L2([0, 2π]) подпространством тригонометрических полиномов порядка n − 1 в метрике
пространства L2([0, 2π]). Напомним, что отношение 0/0 полагаем равным нулю.
2. С целью распространения результата (1) на случай наилучшей аппроксимации целыми
функциями конечного экспоненциального типа на всей вещественной оси в качестве усреднен-
ной характеристики гладкости произвольной функции f ∈ L2(R) рассмотрим величину
Φ2(f, t) :=
1
t
t∫
0
‖∆2
h(f)‖dh, t > 0.
Через Lr2(R), r ∈ N, обозначим множество функций f ∈ L2(R), у которых производные
(r − 1)-го порядка f (r−1) локально абсолютно непрерывны, а производные r-го порядка f (r)
принадлежат пространству L2(R). Отметим, что Lr2(R) является банаховым пространством с
нормой ‖f‖+ ‖f (r)‖. Полагаем L0
2(R) ≡ L2(R).
Теорема 1. Пусть r ∈ Z+, 0 < σ <∞ и 0 < t 6 π/(2σ). Тогда справедливо равенство
sup
{
σrAσ(f)
Φ2(f (r), t)
: f ∈ Lr2(R)
}
=
{
2
(
1− sinσt
σt
)}−1
. (2)
При r = 0 верхняя грань вычисляется на множестве функций f ∈ L2(R), которые не эквива-
лентны нулю.
Доказательство. Известно [6], что для произвольного элемента f ∈ L2(R) существует
единственная целая функция Λσ(f) ∈ Bσ,2, которая наименее уклоняется от f в метрике
пространства L2(R) и имеет вид
Λσ(f, x) :=
1√
2π
∞∫
−∞
eixτχσ(τ)F(f, τ)dτ =
1√
2π
σ∫
−σ
eixτF(f, τ)dτ,
где F(f) — преобразование Фурье функции f, χσ — характеристическая функция множества
(−σ, σ). Для квадрата наилучшего среднеквадратического приближения функции f ∈ L2(R)
подпространством Bσ,2 получаем (см., например, [6, 7])
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
606 С. Б. ВАКАРЧУК
A2
σ(f) = ‖f − Λσ(f)‖2 =
∫
|τ |>σ
|F(f, τ)|2dτ. (3)
Поскольку вследствие вещественности функции f функция |F(t)| является четной, в силу (3)
запишем
A2
σ(f) = 2
∞∫
σ
|F(f, τ)|2dτ. (4)
Рассмотрим произвольную функцию f ∈ Lr2(R). Опираясь на фундаментальные свойства
преобразования Фурье (см., например, [2, 3]), имеем
F(∆2
h(f (r)), τ) = (iτ)r(eihτ − 1)2 F(f, τ). (5)
По теореме Планшереля, поскольку ∆2
h(f (r)) ∈ L2(R), то F(∆2
h(f (r))) ∈ L2(R) и эти функции
имеют одинаковые нормы. Поэтому в силу равенства (5) получаем
‖∆2
h(f (r))‖2 = 23
∞∫
0
|F(f, τ)|2τ2r(1− coshτ)2dτ. (6)
Используя соотношение (4), записываем
A2
σ(f)−2
∞∫
σ
|F(f, τ)|2 coshτdτ=2
∞∫
σ
|F(f, τ)| {|F(f, τ)|(1−coshτ)} dτ. (7)
Применяя к правой части равенства (7) неравенство Гельдера и используя соотношения (4) и
(6), имеем
A2
σ(f)− 2
∞∫
σ
|F(f, τ)|2 coshτdτ 6
6
{
2
∞∫
σ
|F(f, τ)|2dτ
}1/2{
2
∞∫
σ
|F(f, τ)|2(1− coshτ)2dτ
}1/2
6
6Aσ(f)
{
2
σ2r
∞∫
σ
|F(f, τ)|2τ2r(1− coshτ)2dτ
}1/2
6Aσ(f)
‖∆2
h(f (r))‖
2σr
. (8)
Интегрируя соотношение (8) по h в пределах от 0 до t, где 0 < t 6 π/(2σ), и умножая обе
части полученного неравенства на величину 1/t, получаем
A2
σ(f) 6 2
∞∫
σ
|F(f, τ)|2 | sin τt|
τt
dτ +Aσ(f)
Φ2(f
(r), t)
2σr
. (9)
Поскольку при 0 < tσ 6 π/2 имеем
max
{
| sinu|
u
: tσ 6 u
}
=
sinσt
σt
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАИЛУЧШЕЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ . . . 607
из неравенства (9) получаем
A2
σ(f) 6
sinσt
σt
A2
σ(f) +Aσ(f)
Φ2(f
(r), t)
2σr
.
Следовательно,
sup
{
σrAσ(f)
Φ2(f (r), t)
: f ∈ Lr2(R)
}
6
{
2
(
1− sinσt
σt
)}−1
. (10)
Для получения оценки снизу экстремальной характеристики, записанной в левой части
неравенства (10), рассмотрим, как и в работе [10], целую функцию экспоненциального типа
σ + ε, где ε ∈ (0, σ∗) — произвольное число, σ∗ := min(σ, 1), заданную формулой
qε(x) :=
√
2
π
(µσ+ε(x)− µσ(x)) . (11)
Здесь
µa(x) :=
sin ax
x
, a > 0.
Поскольку преобразование Фурье функции µa имеет вид
F(µa, x) =
√
π
2
, если |x| < a,
1
2
√
π
2
, если |x| = a,
0, если |x| > a,
для целой функции qε в силу представления (11) получаем
F(qε, x) =
1, если σ < |x| < σ + ε,
1
2
, если |x| = σ + ε или |x| = σ,
0, если |x| > σ + ε или |x| < σ.
(12)
Очевидно, что qε принадлежит пространству Lr2(R). На основании равенства (4) и формулы (12)
имеем
A2
σ(qε) = 2ε. (13)
Поскольку F(q
(r)
ε , x) = (ix)rF(qε, x), используя соотношения (6) и (12), получаем
‖∆2
h(q(r)ε )‖2 = 23
σ+ε∫
σ
τ2r(1− coshτ)2dτ 6 23ε(σ + ε)2r(1− cos(σ + ε)h)2, (14)
где 0 < h 6 π/(2σ). Из неравенства (14) следует оценка сверху
Φ2(q
(r)
ε , t) 6 23/2
√
ε(σ + ε)r
(
1− sin(σ + ε)t
(σ + ε)t
)
. (15)
Используя формулы (13) и (15), записываем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
608 С. Б. ВАКАРЧУК
σrAσ(qε)
Φ2(q
(r)
ε , t)
> Ut(σ, ε), (16)
где
Ut(σ, ε) :=
(
σ
σ + ε
)r {
2
(
1− sin(σ + ε)t
(σ + ε)t
)}−1
. (17)
Учитывая принадлежность функции qε множеству Lr2(R), на основании неравенства (16) полу-
чаем
sup
{
σrAσ(f)
Φ2(f (r), t)
: f ∈ Lr2(R)
}
> Ut(σ, ε). (18)
Из формул (10), (17) и (18) следует, что при стремлении ε к нулю справа величина Ut(σ, ε) бу-
дет монотонно возрастать, оставаясь ограниченной сверху числом, записанным в правой части
неравенства (10). Вычислим верхнюю грань по ε ∈ (0, σ∗) от выражения, содержащегося в пра-
вой части неравенства (18). Очевидно, что указанная верхняя грань не будет превышать левую
часть соотношения (18). Поскольку для любого сколь угодно малого числа δ > 0 можно подо-
брать число ε∗ := ε(δ) ∈ (0, σ∗) так, что Ut(σ, ε∗) >
{
2
(
1− sinσt
σt
)}−1
− δ, из определения
верхней грани множества имеем
sup{Ut(σ, ε) : 0 < ε < σ∗} =
{
2
(
1− sinσt
σt
)}−1
. (19)
Требуемое равенство (2) получаем, сопоставляя оценку сверху (10) и следующую из фор-
мул (18), (19) оценку снизу
sup
{
σrAσ(f)
Φ2(f (r), t)
: f ∈ Lr2(R)
}
>
{
2
(
1− sinσt
σt
)}−1
.
Теорема 1 доказана.
3. Поскольку все промежуточные производные функции f ∈ Lr2(R), r = 2, 3, . . . , так-
же принадлежат пространству L2(R), определенный интерес представляет вычисление экс-
тремальных характеристик, содержащих величины наилучших приближений промежуточных
производных f (r−µ), µ = 1, . . . , r − 1, элементами подпространства Bσ,2 в метрике L2(R).
Теорема 2. Пусть r= 2, 3, . . . , 0<σ<∞, 0< t6π/(2σ), µ= 1, . . . , r − 1. Тогда имеет
место равенство
sup
{
σµAσ(f (r−µ))
Φ2(f (r), t)
: f ∈ Lr2(R)
}
=
{
2
(
1− sinσt
σt
)}−1
. (20)
Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию f ∈ Lr2(R), для которой в силу
формулы (2) запишем
Aσ(f) 6
{
2σr
(
1− sinσt
σt
)}−1
Φ2(f
(r), t). (21)
Поскольку f (r) ∈ L2(R), на основании соотношения (2), в котором в качестве функции f
использована ее производная r-го порядка f (r), получаем
Aσ(f (r)) 6
{
2
(
1− sinσt
σt
)}−1
Φ2(f
(r), t). (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАИЛУЧШЕЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ . . . 609
В работе [12] для f ∈ Lr2(R) было установлено неравенство
Aσ(f (r−µ)) 6 A1−µ/r
σ (f (r)) · Aµ/rσ (f). (23)
Используя соотношения (21), (22), из (23) имеем
sup
{
σµAσ(f (r−µ))
Φ2(f (r), t)
: f ∈ Lr2(R)
}
6
{
2
(
1− sinσt
σt
)}−1
. (24)
Для получения оценки снизу экстремальной характеристики, записанной в левой части
неравенства (24), рассмотрим функцию qε ∈ Lr2(R), введенную при доказательстве теоремы 1.
С учетом формулы (12) получаем
A2
σ(q(r−µ)ε ) = 2
∞∫
σ
|F(qε, τ)|2τ2(r−µ)dτ = 2
σ+ε∫
σ
τ2(r−µ)dτ > 2εσ2(r−µ). (25)
Используя неравенства (15) и (25), имеем
σµAσ(q
(r−µ)
ε )
Φ2(q
(r)
ε , t)
> Ut(σ, ε), (26)
где величина Ut(σ, ε) определена формулой (17). Проводя рассуждения, аналогичные имевшим
место при завершении доказательства теоремы 1, записываем
sup
{
σµAσ(f (r−µ))
Φ2(f (r), t)
: f ∈ Lr2(R)
}
>
{
2
(
1− sinσt
σt
)}−1
. (27)
Требуемое равенство (20) получаем из сравнения оценок сверху (24) и снизу (27), что и
завершает доказательство теоремы 2.
4. Напомним, что введение Г. Г. Магарил-Ильяевым в работах [15, 16] определения средней
размерности, являющегося модификацией соответствующего понятия, данного ранее В. М. Ти-
хомировым, дало возможность определить аппроксимационные характеристики, подобные n-
поперечникам. При этом роль размерности играла средняя размерность. В результате этого
значительно расширился круг экстремальных задач теории приближения функций, имеющих
оптимизационное содержание, которые стало возможным решать на всей вещественной оси R.
Прежде чем ввести необходимые экстремальные характристики, приведем ряд необходимых
определений и понятий из работы [16].
Пусть BL2(R) — единичный шар в L2(R); Lin(L2(R)) — совокупность всех линейных
подпространств в L2(R);
Linn(L2(R)) :=
{
L ∈ Lin(L2(R)) : dimL 6 n
}
, n ∈ Z+;
d(Q,A,L2(R)) := sup
{
inf{‖x− y‖ : y ∈ A} : x ∈ Q
}
— наилучшее приближение множества Q ⊂ L2(R) множеством A ⊂ L2(R). Под AT , T > 0,
понимаем сужение множества A ⊂ L2(R) на отрезок [−T, T ], а через LinCL2(R) обозначим
совокупность таких подпространств L ∈ Lin(L2(R)), для которых множество (L ∩ BL2(R))T
предкомпактно в L2([−T, T ]) при любом T > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
610 С. Б. ВАКАРЧУК
Если L ∈ LinC(L2(R)) и T, ε > 0, то существуют такие n ∈ Z+ и M ∈ Linn(L2(R)), для
которых
d((L ∩BL2(R))T ,M, L2([−T, T ])) < ε.
Пусть
Dε(T,L, L2(R)) := min
{
n ∈ Z+ : ∃M ∈ Linn(L2([−T, T ])),
d((L ∩BL2(R)T ,M, L2([−T, T ])) < ε
}
.
Данная функция не убывает по T и не возрастает по ε. Величину
dim(L, L2(R)) :=lim
{
lim inf{Dε(T,L, L2(R))/(2T ) : T→∞} : ε→0
}
,
где L ∈ LinC(L2(R)), называют средней размерностью подпространства L в L2(R). Из [15]
следует, что
dim(Bσ,2;L2(R)) =
σ
π
. (28)
Пусть Q — центрально-симметричное подмножество из L2(R) и ν > 0 — произвольнoe
конечнoe число. Тогда под средним ν-поперечником по Колмогорову множества Q в L2(R)
понимают величину
dν(Q,L2(R)) := inf
{
sup{inf{‖f − ϕ‖ : ϕ ∈ L} : f ∈ Q} :
L ∈ LinC(L2(R)),dim(L, L2(R)) 6 ν
}
.
Подпространство, на котором достигается внешняя нижняя грань, называется экстремальным.
Средним линейным ν-поперечником множества Q в L2(R) называют величину
δν(Q,L2(R)) := inf
{
sup{‖f − Λ(f)‖ : f ∈ Q} : (X,Λ)
}
,
где нижняя грань берется по всем парам (X,Λ) таким, что X — нормированное пространство,
непосредственно вложенное в L2(R), Q ⊂ X , Λ: X → L2(R) — непрерывный линейный
оператор, для которого ImΛ ∈ LinC(L2(R)) и dim(ImΛ, L2(R)) 6 ν. Здесь ImΛ — образ
оператора Λ. Пару, на которой достигается нижняя грань, называют экстремальной.
Величину
bν(Q,L2(R)) := sup
{
sup{ρ > 0: L ∩ ρBL2(R) ⊂ Q} :
L ∈ LinC(L2(R)), dim(L, L2(R)) > ν, dν(L ∩BL2(R), L2(R)) = 1
}
называют средним ν-поперечником по Бернштейну множества Q в L2(R). Последнее условие,
налагаемое на L при вычислении внешней верхней грани, означает, что рассматриваются только
те подпространства, для которых справедлив аналог теоремы В. М. Тихомирова о поперечнике
шара. Этому требованию удовлетворяет, например, подпространство Bσ,2, если σ > νπ, т. е.
dν(Bσ,2 ∩BL2(R), L2(R)) = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАИЛУЧШЕЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ . . . 611
Между перечисленными экстремальными характеристиками множества Q имеют место
следующие неравенства:
bν(Q,L2(R)) 6 dν(Q,L2(R)) 6 δν(Q,L2(R)). (29)
5. Непрерывную и неубывающую на [0,∞) функцию Ψ = Ψ(t) называют мажорантой,
если Ψ(0) = 0 (см., например, [17, с. 24]). Через W r(Φ2,Ψ), r ∈ Z+, обозначим класс функций
f ∈ Lr2(R), у которых производные r-го порядка f (r) удовлетворяют условию Φ2(f
(r), t) 6 Ψ(t)
для любых t > 0. При этом полагаем W (Φ2,Ψ) := W 0(Φ2,Ψ).
Обозначим через Aσ(W r(Φ2,Ψ)) := sup{Aσ(f) : f ∈ W r(Φ2,Ψ)} величину наилучшего
приближения класса W r(Φ2,Ψ) элементами подпространства Bσ,2 в метрике пространства
L2(R).
Теорема 3. Пусть для любого σ > νπ, где 0 < ν <∞ — произвольное число, мажоранта
Ψ удовлетворяет условию
Ψ(t)
Ψ(t/(2σ))
>
π
π − 2
1− sinσt
σt , если 0 < t 6 π/σ,
2− π
σt, если t > π/σ.
(30)
Тогда для произвольного r ∈ Z+ справедливы равенства
diamν(W r(Φ2,Ψ);L2(R)) = Aνπ(W r(Φ2,Ψ)) =
π1−r
2(π − 2)νr
Ψ
(
1
2ν
)
, (31)
где diamν — любой из средних ν-поперечников: колмогоровский dν , линейный δν , бернштей-
новский bν . При этом пара (Lr2(R),Λνπ), где линейный оператор Λνπ определяется из условия
F(Λνπ(f), ·) = χνπ(·)F(f, ·) (здесь F — преобразование Фурье в L2(R), а χνπ — характерис-
тическая функция множества (−νπ, νπ)), является экстремальной для среднего линейного
ν-поперечника δν(W r(Φ2,Ψ);L2(R)), а подпространство Bνπ,2 — экстремальным для сред-
него ν-поперечника по Колмогорову dν(W r(Φ2,Ψ);L2(R)). При этом множество мажорант,
удовлетворяющих условию (30), не пусто.
Доказательство. Использовав формулу (28), вычислим среднюю размерность подпро-
странства целых функций Bνπ,2, а именно, dim(Bνπ,2;L2(R)) = ν. Полагая в связи с этим
в формуле (2) σ := νπ, t := π/(2σ) = 1/(2ν), используя соотношение (29) и определения
среднего линейного ν-поперечника и класса W r(Φ2,Ψ), получаем оценки сверху
diamν(W r(Φ2,Ψ);L2(R)) 6 δν(W r(Φ2,Ψ);L2(R)) 6 sup
{
‖f − Λνπ(f)‖ :
f ∈W r(Φ2,Ψ)
}
= Aνπ(W r(Φ2,Ψ)) 6
π1−r
2(π − 2)νr
Ψ
(
1
2ν
)
, (32)
где
Λνπ(f, x) =
1√
2π
νπ∫
−νπ
eixτF(f, τ)dτ.
Перейдем к оценке снизу рассматриваемых средних ν-поперечников. Из пункта 4 следует,
что подпространство целых функций Bσ̂,2, где σ̂ := νπ(1 + ε), ε — произвольное бесконечно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
612 С. Б. ВАКАРЧУК
малое положительное число, удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к подпростран-
ствам, участвующим в определении среднего ν-поперечника по Бернштейну. При этом, согласно
формуле (28), имеем dim(Bσ̂,2;L2(R)) = ν(1 + ε), а в соответствии с [15] получаем
dν(Bσ̂,2 ∩BL2(R);L2(R)) = 1.
Рассмотрим далее множество Bσ̂(ρ), являющееся результатом пересечения шара ρBL2(R)
радиуса
ρ :=
π
2(π − 2)(σ̂)r
Ψ
( π
2σ̂
)
(33)
с подпространством целых функций Bσ̂,2, т. е.
Bσ̂(ρ) := Bσ̂,2 ∩ ρBL2(R) = {g ∈ Bσ̂,2 : ‖g‖ 6 ρ}.
Произвольный элемент g ∈ Bσ̂,2 в силу теоремы Винера – Пели, как целую функцию, имеющую
конечную степень σ̂, можно представить в виде
g(x) =
1√
2π
σ̂∫
−σ̂
ϕ(τ)eixτdτ, (34)
где ϕ — некоторая функция с интегрируемым по Лебегу квадратом модуля на отрезке [−σ̂, σ̂]
(см., например, [3, с. 212]). Используя формулу (34), записываем
∆2
h(g, x) =
1√
2π
σ̂∫
−σ̂
(eiτh − 1)2ϕ(τ)eixτdτ. (35)
Поскольку
‖g‖2 =
σ̂∫
−σ̂
|ϕ(τ)|2dτ, (36)
из равенства (35) получаем
‖∆2
h(g)‖2 = 22
σ̂∫
−σ̂
(1− cos τh)2|ϕ(τ)|2dτ. (37)
Полагаем (1−cosσh)∗ := {1−cosσh, если 0 6 h 6 π/σ; 2, если π/σ 6 h}. Поскольку из чисто
геометрических соображений следует, что для любого τ ∈ [−σ̂, σ̂] выполняется неравенство
1− cos τh 6 (1− cos σ̂h)∗,
в силу равенств (36), (37) имеем
‖∆2
h(g)‖ 6 2(1− cos σ̂h)∗‖g‖. (38)
Используя неравенство С. Н. Бернштейна для целых функций g ∈ Bσ̂,2, получаем (см., напри-
мер, [3])
‖g(r)‖ 6 (σ̂)r‖g‖. (39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАИЛУЧШЕЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ . . . 613
Тогда из неравенств (38), (39) имеем
‖∆2
h(g(r))‖ 6 2(σ̂)r(1− cos σ̂h)∗‖g‖. (40)
Следовательно,
Φ2(g
(r), t) =
1
t
t∫
0
‖∆2
h(g(r))‖dh 6 2(σ̂)r‖g‖1
t
t∫
0
(1− cos σ̂h)∗dh. (41)
Покажем, что множество Bσ̂(ρ) принадлежит классу W r(Φ2,Ψ). При этом рассмотрим два
случая: 0 < t 6 π/σ̂ и π/σ̂ 6 t <∞. Пусть вначале 0 < t 6 π/σ̂. Тогда в силу определения
класса W r(Φ2,Ψ), неравенства (41) и первого неравенства из условия (30) для произвольного
элемента g ∈ Bσ̂(ρ) с учетом (33) имеем
Φ2(g
(r), t) 6
π
π − 2
(
1− sin σ̂t
σ̂t
)
Ψ
( π
2σ̂
)
6 Ψ(t). (42)
Пусть теперь π/σ̂ 6 t < ∞. Используя второе неравенство из условия (30) и аналогичные
соображения, записываем
Φ2(g
(r), t) 6 2(σ̂)r‖g‖
1
t
π/σ̂∫
0
(1− cos σ̂h)dh+ 2
(
1− π
σ̂t
) =
= 2(σ̂)r
(
2− π
σ̂t
)
‖g‖ 6 π
π − 2
(
2− π
σ̂t
)
Ψ
( π
2σ̂
)
6 Ψ(t). (43)
Из формул (42), (43) получаем Bσ̂(ρ) ⊂ W r(Φ2,Ψ). Отсюда, используя определение среднего
ν-поперечника по Бернштейну, находим
bν(W r(Φ2,Ψ);L2(R)) > bν(Bσ̂(ρ);L2(R)) > ρ. (44)
Из формул (29) и (44) с учетом обозначения (33) получаем неравенство
Aνπ(W r(Φ2,Ψ)) > diamν(W r(Φ2,Ψ);L2(R)) >
π1−r
2(π − 2)νr
G(Ψ; ν, ε), (45)
где diamν — любой из средних ν-поперечников, рассмотренных в пункте 4,
G(Ψ; ν, ε) :=
1
(1 + ε)r
Ψ
(
1
2ν(1 + ε)
)
. (46)
Из соотношений (44), (45) следует, что величина G(Ψ; ν, ε) при стремлении ε к нулю справа
будет монотонно возрастать, оставаясь ограниченной сверху. Проводя далее рассуждения, ана-
логичные имевшим место при завершении доказательства теоремы 1, получаем sup{G(Ψ; ν, ε) :
0 < ε < σ∗} = Ψ(1/(2ν)). Тогда с учетом (45) имеем
diamν(W r(Φ2,Ψ);L2(R)) >
π1−r
2(π − 2)νr
Ψ
(
1
2ν
)
. (47)
Сопоставляя оценки сверху (32) и снизу (47), получаем требуемые равенства (31). В заключение
отметим, что условию (30) удовлетворяет, например, мажоранта Ψ∗(t) := tα, где α := 2/(π−2)
(см., например, [14]).
Теорема 3 доказана.
6. Определенный интерес представляет также изучение поведения величин наилучших
приближенийAσ(f (r−µ)) промежуточных производных f (r−µ), где r = 2, 3, . . . , µ = 1, . . . , r−
− 1, на классе W r(Φ2,Ψ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
614 С. Б. ВАКАРЧУК
Теорема 4. Пусть r = 2, 3, . . . , µ = 1, . . . , r − 1, 0 < ν < ∞ — произвольное число и
мажоранта Ψ удовлетворяет условию (30). Тогда имеет место равенство
sup
{
Aνπ(f (r−µ)) : f ∈W r(Φ2,Ψ)
}
=
π1−µ
2(π − 2)νµ
Ψ
(
1
2ν
)
. (48)
Доказательство. Из соотношения (20), в котором полагаем t := π/(2σ) и σ := νπ, в силу
определения класса W r(Φ2,Ψ) получаем оценку сверху
sup
{
Aνπ(f (r−µ)) : f ∈W r(Φ2,Ψ)
}
6
π1−µ
2(π − 2)νµ
Ψ
(
1
2ν
)
. (49)
Для получения оценки снизу экстремальной характеристики, представленной в левой части
неравенства (49), рассмотрим целую функцию qε̃ экспоненциального типа σ + ε̃, заданную
формулой (11), где ε̃ — произвольное бесконечно малое положительное число. Полагая ε :=
:= ε̃/(νπ), записываем
σ + ε̃ = νπ(1 + ε) = σ̂. (50)
Поскольку на основании равенства (12)
‖qε̃‖2 = 2
σ+ε̃∫
σ
|F(qε̃, τ)|2dτ = 2ε̃, (51)
то, как следует из формул (33), (50) и (51), целая функция
q∗ε̃(x) :=
ρ√
2ε̃
qε̃(x) (52)
является элементом множества Bσ̂(ρ), которое согласно рассуждениям, проведенным при дока-
зательстве теоремы 3, принадлежит классу W r(Φ2,Ψ). Используя соотношение (25), в котором
полагаем σ = νπ, и применяя формулы (52) и (33), получаем
Aνπ((q∗ε̃)
(r−µ)) > ρ(νπ)r−µ =
π1+r−µνr−µ
2(π − 2)(σ̂)r
Ψ
( π
2σ̂
)
. (53)
Учитывая принадлежность функции q∗ε̃ классуW r(Φ2,Ψ), а также используя соотношение (50),
из (53) находим
sup
{
Aνπ(f (r−µ)) : f ∈W r(Φ2,Ψ)
}
>
π1−µ
2(π − 2)νµ
G(Ψ; ν, ε), (54)
где выражение G(Ψ; ν, ε) определяется формулой (46). Проводя рассуждения, связанные с вы-
числением верхней грани от правой части неравенства (54) по ε ∈ (0, σ∗), которые аналогичны
по смыслу имевшим место при завершении доказательства теоремы 3, получаем
sup{Aνπ(f (r−µ)) : f ∈W r(Φ2,Ψ)} > π1−µ
2(π − 2)νµ
Ψ
(
1
2ν
)
. (55)
Требуемое равенство (48) следует из сопоставления оценок сверху (49) и снизу (55), что и
завершает доказательство теоремы 4.
1. Бернштейн С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций на всей вещественной оси при помощи
целых функций данной степени (1912) // Собр. соч. – М.: АН СССР, 1952. – Т. 2. – С. 371 – 375.
2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.; Л.: Гостехиздат, 1947. – 324 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАИЛУЧШЕЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ . . . 615
3. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
4. Тиман М. Ф. Приближение функций, заданных на всей вещественной оси, целыми функциями экспоненци-
ального типа // Изв. вузов. Математика. – 1968. – № 2. – С. 89 – 101.
5. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1969. – 480 с.
6. Ибрагимов И. И., Насибов Ф. Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной
оси посредством целых функций конечной степени // Докл. АН СССР. – 1970. – 194, № 5. – С. 1013 – 1016.
7. Попов В. Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа
// Изв. вузов. Математика. – 1972. – № 6. – С. 65 – 73.
8. Дзядик В. К. Про точнi верхнi гранi найкращих наближень на деяких класах неперервних функцiй, визначених
на дiйснiй осi // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1975. – № 7. – С. 589 – 592.
9. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 т. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – Т. 2. –
468 с.
10. Vakarchuk S. B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2-approximatiuon on the line and exact values
of mean widths of functional classes // East J. Approxim. – 2004. – 10, № 1-2. – C. 27 – 39.
11. Лигун А. А., Доронин В. Г. Точные константы в неравенствах типа Джексона для L2-аппроксимации на прямой
// Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 1. – С. 92 – 98.
12. Вакарчук С. Б., Доронин В. Г. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями конечной
степени на прямой и точные значения средних поперечников функциональных классов // Укр. мат. журн. –
2010. – 62, № 8. – С. 1032 – 1043.
13. Пустовойтов Н. Н. Оценка наилучших приближений периодических функций тригонометрическими по-
линомами через усредненные разности и многомерная теорема Джексона // Мат. сб. – 1997. – 188, № 10. –
С. 95 – 108.
14. Вакарчук С. Б., Забутная В. И. О неравенствах типа Джексона и поперечниках классов периодических
функций в пространстве L2 // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. – 2008. – 5, № 1. – С. 37 – 48.
15. Магарил-Ильяев Г. Г. Средняя размерность и поперечники классов функций на прямой // Докл. АН СССР. –
1991. – 318, № 1. – С. 35 – 38.
16. Магарил-Ильяев Г. Г. Средняя размерность, поперечники и оптимальное восстановление соболевских классов
функций на прямой // Мат. сб. – 1991. – 182, № 11. – С. 1635 – 1656.
17. Шевчук А. И. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. – Киев : Наук. думка,
1992. – 225 с.
Получено 28.11.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2601 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:36Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/45/dc15646feaafab870a925584b83bc845.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26012020-03-18T19:30:33Z Best mean-square approximation of functions defined on the real axis by entire functions of exponential type Наилучшее среднеквадратическое приближение функций, заданных на вещественной оси, целыми функциями экспоненциального типа Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. Exact constants in Jackson-type inequalities are calculated in the space $L_2 (\mathbb{R})$ in the case where the quantity of the best approximation $\mathcal{A}_{\sigma}(f)$ is estimated from above by the averaged smoothness characteristic $\Phi_2(f, t) = \cfrac 1t \int^t_0||\Delta^2_h(f)||dh$. We also calculate the exact values of the average $\nu$-widths of classes of functions defined by $\Phi_2$. У просторi $L_2 (\mathbb{R})$ обчислено точнi константи в нерiвностях типу Джексона у випадку, коли величина найкращого наближення $\mathcal{A}_{\sigma}(f)$ оцiнюється зверху осередненою характеристикою гладкостi $\Phi_2(f, t) = \cfrac 1t \int^t_0||\Delta^2_h(f)||dh$. Також обчислено точнi значення середнiх $\nu$-поперечникiв класiв функцiй, означених за допомогою $\Phi_2$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2601 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 5 (2012); 604-615 Український математичний журнал; Том 64 № 5 (2012); 604-615 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2601/1961 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2601/1962 Copyright (c) 2012 Vakarchuk S. B. |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. Best mean-square approximation of functions defined on the real axis by entire functions of exponential type |
| title | Best mean-square approximation of functions defined on the real axis by entire functions of exponential type |
| title_alt | Наилучшее среднеквадратическое приближение функций, заданных на вещественной оси, целыми функциями экспоненциального типа |
| title_full | Best mean-square approximation of functions defined on the real axis by entire functions of exponential type |
| title_fullStr | Best mean-square approximation of functions defined on the real axis by entire functions of exponential type |
| title_full_unstemmed | Best mean-square approximation of functions defined on the real axis by entire functions of exponential type |
| title_short | Best mean-square approximation of functions defined on the real axis by entire functions of exponential type |
| title_sort | best mean-square approximation of functions defined on the real axis by entire functions of exponential type |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2601 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb bestmeansquareapproximationoffunctionsdefinedontherealaxisbyentirefunctionsofexponentialtype AT vakarčuksb bestmeansquareapproximationoffunctionsdefinedontherealaxisbyentirefunctionsofexponentialtype AT vakarčuksb bestmeansquareapproximationoffunctionsdefinedontherealaxisbyentirefunctionsofexponentialtype AT vakarchuksb nailučšeesrednekvadratičeskoepribliženiefunkcijzadannyhnaveŝestvennojosicelymifunkciâmiéksponencialʹnogotipa AT vakarčuksb nailučšeesrednekvadratičeskoepribliženiefunkcijzadannyhnaveŝestvennojosicelymifunkciâmiéksponencialʹnogotipa AT vakarčuksb nailučšeesrednekvadratičeskoepribliženiefunkcijzadannyhnaveŝestvennojosicelymifunkciâmiéksponencialʹnogotipa |