Strong summability and properties of Fourier?Laplace series on a sphere
We investigate the behavior of quantities that characterize the strong summability of Fourier - Laplace series. On this basis, we establish some properties of the Fourier - Laplace series of functions of the class $L_2(S^{m-1})$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2605 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508531510214656 |
|---|---|
| author | Lasuriya, R. A. Ласурия, Р. А. Ласурия, Р. А. |
| author_facet | Lasuriya, R. A. Ласурия, Р. А. Ласурия, Р. А. |
| author_sort | Lasuriya, R. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:33Z |
| description | We investigate the behavior of quantities that characterize the strong summability of Fourier - Laplace series.
On this basis, we establish some properties of the Fourier - Laplace series of functions of the class $L_2(S^{m-1})$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Р. А. ЛАСУРИЯ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5 649
УДК 517.5
Р. А. Ласурия (Абхаз. ун-т, Сухум)
СИЛЬНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ
И СВОЙСТВА РЯДОВ ФУРЬЕ – ЛАПЛАСА НА СФЕРЕ
We investigate the behavior of quantities that characterize the strong summability of Fourier – Laplace series. On this
basis, we establish some properties of the Fourier – Laplace series of functions of the class L2(Sm!1) .
Досліджується поведінка величин, що характеризують сильну сумовність рядів Фур’є – Лапласа, і на їх основі
наведено деякі властивості рядів Фур’є – Лапласа функцій класу L2(Sm!1) .
1. Введение. Пусть
Sm!1 = x = x1,…, xm( ) "Rm : xi
2 = 1i=1
m#{ } , m ! 3, — единичная
сфера в m-мерном евклидовом пространстве Rm , Lp (Sm!1) , p = 1, 2 , — пространство изме-
римых функций f x( ) c нормой
f Lp (Sm!1) =
Sm!1
!
" f x( ) p dS x( )
#
$
%%
&
'
((
1/ p
,
Sm!1
!
" dS x( ) = 1 ,
где dS x( ) — элемент площади поверхности Sm!1, L(Sm!1) =df L1(Sm!1) ,
f , g( ) =
Sm!1
!
" f x( ) g x( )dS x( )
— скалярное произведение вещественнозначных функций класса L2 (Sm!1).
Функцию x! =
df
x"!"
"=1
m# , !" #Z+ , !""=1
m# = k называют алгебраическим мономом
порядка k от m переменных.
Линейная комбинация мономов k -го порядка называется однородным полиномом k -го по-
рядка. Если однородный полином k -го порядка Pk (x) удовлетворяет уравнению Лапласа
!Pk (x) = 0 ,
то он называется m-мерным гармоническим однородным полиномом k -го порядка.
Множество сужений на Sm!1 всех гармонических однородных полиномов Pk (x) порядка
k (сферических гармоник) образует пространство Hk размерности
ak =
m + k + 1
k
!
"#
$
%&
'
m + k ' 3
k ' 2
!
"#
$
%&
.
Через Yj
k( )(x), 1 ! j ! ak , будем обозначать элементы ортонормированного базиса в Hk .
650 Р. А. ЛАСУРИЯ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Пусть f !L(Sm"1) и
S f[ ] =
k=0
!
"
j=1
ak
"c j
k( )Yj
k( ) x( ) =
k=0
!
"Yk f , x( ) , (1)
где
c j
k( ) = c j
k( ) f( ) = ( f ,Yj k( )) =
Sm!1
!
" f x( )Yj k( ) x( )dS x( )
— коэффициенты Фурье — Лапласа функции f (x) , Yk f , x( ) — проекция f (x) на прост-
ранство Hk сферических гармоник степени k .
Подробная информация о сферических гармониках содержится в работах [1 – 3].
Пусть, далее,
Sn f , x( ) =
k=0
n
!Yk f , x( )
— суммы Фурье – Лапласа порядка n , ! = "k{ } , k = 0,1,…, — некоторая последователь-
ность неотрицательных чисел, !"k = "k+1 # "k , k = 0,1,…. Введем в рассмотрение величину
H2 x( ) = H2 f , x, !( ) =
df
k=0
"
#$!k f x( ) % Sk f , x( ) 2 , (2)
характеризующую сильную суммируемость с показателем 2 ряда Фурье – Лапласа (1).
Изучение свойств суммы ряда (2) является одним из аспектов теории сильной суммируе-
мости рядов.
Подобные величины для ортонормированных на конечном отрезке систем функций рас-
сматривались ранее Г. А. Фоминым [4]. Часть приводимых ниже результатов являются, в из-
вестном смысле, сферическими аналогами соответствующих результатов работ Г. А. Фомина
[4], С. Н. Бернштейна [6], О. Саса [7], Г. Харди [8], Г. Вейля [9].
2. Сильная суммируемость на сфере и теоремы вложения.
Теорема 1. Пусть f (x) !L2 (Sm"1) , ! = "k{ } , k = 0,1, 2,…, — некоторая неубываю-
щая последовательность неотрицательных чисел. Для того чтобы ряд (2) сходился почти
всюду на сфере Sm!1 к некоторой функции H2 (x) !L! (Sm"1), необходимо и достаточно
выполнение условия
k=0
!
"#k
j=1
ak
" c j
k( ) 2 < !, (3)
или, что то же самое,
k=0
!
"#k Yk f , x( ) L2 (Sm$1)
2 < ! , (3′)
СИЛЬНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ И СВОЙСТВА РЯДОВ ФУРЬЕ – ЛАПЛАСА НА СФЕРЕ 651
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
причем если H2 (x) !L(Sm"1) , то
H2 (x) L(Sm!1) =
k=1
"
# $k ! $0( ) Yk f , x( ) L2 (Sm!1)
2 . (4)
Доказательство. Пусть H2 (x) !L(Sm"1) и положим
H2,n x( ) = H2,n f , x( ) =
k=0
n
!"#k f x( ) $ Sk f , x( ) 2 .
Тогда в силу известной теоремы Б. Леви и равенства Парсеваля [3, с. 19] находим
H2 (x) L(Sm!1) = lim
n"#
Sm!1
!
$ H2,n x( )dS x( ) =
= lim
n!" k=0
n
#$%k
Sm&1
!
' f x( ) & Sk f , x( ) 2 dS x( ) = lim
n!" k=0
n
#$%k
&=k+1
"
# Y& f , x( ) L2 (Sm'1)
2 . (5)
Применяя преобразования Абеля, получаем
k=0
n
!"#k
$=k+1
%
! Y$ f , x( ) L2 (Sm&1)
2 =
=
k=1
n
! "k # "0( ) Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
2 + "n+1 # "0( )
$=n+1
%
! Y$ f , x( ) L2 (Sm#1)
2 , n = 1, 2,…. (6)
Из существования конечного предела в (5) следует существование конечного предела в
правой части (6), откуда вытекает условие (3) или (3′). Действительно, существование конеч-
ного предела в правой части (6) влечет ограниченность обоих слагаемых в правой части (6).
Отсюда следует условие (3) или (3′), так как правая часть в (6) равна
k=1
n
!"k Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
2 + "n+1
$=n+1
%
! Y$ f , x( ) L2 (Sm#1)
2 # "0 f
L2 (Sm#1)
2 .
Поэтому из (6) следует равенство (4).
Обратно, пусть выполнено условие (3). Поскольку последовательность !k неотрицатель-
на и не убывает, второе слагаемое в последнем выражении не превышает величину
!=n+1
"
# $! Y! f , x( ) L2 (Sm%1)
2 ,
которая в силу (3) или (3′) стремится к нулю при n! " . Поэтому правая часть в (6) огра-
ничена. Тогда из равенства (6) следует сходимость ряда
652 Р. А. ЛАСУРИЯ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
k=1
!
"#$k
%=k+1
!
" Y% f , x( ) L2 (Sm&1)
2
и
Sm!1
!
" H2,n x( )dS x( ) =
k=0
n
#$%k
&=k+1
'
# Y& f , x( ) L2 (Sm!1)
2 ≤
≤
k=0
!
"#$k
%=k+1
!
" Y% f , x( ) L2 (Sm&1)
2 < K , n = 1, 2,….
Отсюда по теореме Б. Леви заключаем, что
lim
n!"
H2,n (x) = H (x) #L(Sm$1) .
Теорема доказана.
Пусть
En ( f )L2 (Sm!1) = inf
Tn
f ! Tn L2 (Sm!1)
— наилучшее приближение функции f (x) !L2 (Sm"1) в пространстве L2 (Sm!1) полинома-
ми степени не выше n :
Tn x( ) =
k=0
n
! !
j=1
ak
!bj
k( )Yj
k( ) x( ) .
Справедливо такое утверждение.
Теорема 2. Соотношение
k=0
!
"#$kEk2 f( )L2 (Sm%1) < ! (7)
эквивалентно условию (3) или (3′).
Доказательство. Условие (7) запишем в виде
k=0
!
"#$k
Sm%1
!
& f x( ) % Sk f , x( ) 2 dS x( ) < ! .
Отсюда по теореме Б. Леви следует сходимость почти всюду на Sm!1 ряда (2). А это соглас-
но теореме 1 влечет соотношение (3). Обратно, поскольку
Ek2 f( )L2 (Sm!1) = f x( ) ! Sk f , x( ) L2 (Sm!1)
2 =
!=k+1
"
# Y! f , x( ) L2 (Sm$1)
2 ,
равенство (6) можно представить в виде
СИЛЬНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ И СВОЙСТВА РЯДОВ ФУРЬЕ – ЛАПЛАСА НА СФЕРЕ 653
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
k=0
n
!"#kEk2 f( )L2 (Sm$1) =
k=1
n
! #k $ #0( ) Yk f , x( ) L2 (Sm$1)
2 +
+ !n+1 " !0( )En2 f( )L2 (Sm"1) < K , K # const > 0 .
Отсюда ясно, что соотношение (3) влечет (7).
Пусть теперь
H x( ) = H f , x, !( ) =
df
k=0
"
#$%k f x( ) & Sk f , x( ) .
Условия включения H (x) !L2 (Sm"1) содержатся в следующем утверждении.
Теорема 3. Пусть для некоторой неубывающей последовательности неотрицательных
чисел ! = "k{ } , k = 0,1,… ,
k=0
!
"#$kEk! f( )L2 (Sm%1) < !, f x( ) &L2 (Sm%1) . (8)
Тогда ряд
k=0
!
"#$k f x( ) % Sk f , x( ) (9)
сходится почти всюду на Sm!1 к H (x) !L2 (Sm"1) .
Доказательство. Если, начиная с некоторого номера n0 , En! f( )L2 (Sm!1) = 0 , n ! n0 , то
утверждение теоремы 3 очевидно.
Пусть En! ( f )L2 (Sm!1) > 0 , n = 0,1, 2…. Положим t0 = 0 , tk =
!"#
E#( f )L2 (Sm$1)
#=0
k$1% ,
k = 1, 2,… .
Тогда условие (8) означает, что
k=0
!
"#tkEk2 f( )L2 (Sm$1) < ! ,
и в силу теоремы Б. Леви ряд
k=0
!
"#tk f x( ) $ Sk f , x( ) =
k=0
!
" #%k
Ek f( )L2 (Sm$1)
f x( ) $ Sk f , x( ) 2
почти всюду на Sm!1 сходится к некоторой суммируемой на Sm!1 функции. Применяя нера-
венство Буняковского, находим
654 Р. А. ЛАСУРИЯ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
k=0
!
"#$k f x( ) % Sk f , x( ) ≤
≤
k=0
!
"#$kEk f( )L2 (Sm%1)
k=0
!
" #$k
Ek f( )L2 (Sm%1)
f x( ) % Sk f , x( ) 2
&
'
(
)(
*
+
(
,(
1/2
.
Отсюда с учетом условия (8) заключаем, что ряд (9) сходится к некоторой функции из
L2 (Sm!1) почти для всех x !Sm"1.
Теорема доказана.
Теорема 4. Пусть ряд (9) сходится почти всюду на Sm!1 к некоторой функции
H (x) !L2 (Sm"1) . Тогда имеет место соотношение
k=0
!
"#k2
j=1
ak
" c j
k( ) 2 < ! , (10)
или, что то же самое,
k=0
!
"#k2 Yk f , x( ) L2 (Sm$1)
2 < ! , (10′)
причем
H (x) L2 (Sm!1) "
k=1
#
$ %k! – %0!( )2
j=1
ak
$ c j
k( ) 2&
'
(
)(
*
+
(
,(
1/2
=
k=1
!
" #k! – #0!( )2 Yk f , x( ) L2 (Sm$1)
2%
&
'
('
)
*
'
+'
1/2
.(11)
Доказательство. Полагая
Hn (x) =
df
k=0
n
!"#k f x( ) $ Sk f , x( ) ,
!k f , x( ) =df f x( ) " Sk f , x( )
и применяя преобразования Абеля, имеем
H 2 x( ) ! Hn
2 x( ) !
k=0
n
"#$k%k f , x( )
2
=
=
k=0
n!1
" #k+1 ! #0( ) $k f , x( ) ! $k+1 f , x( ) + #n+1 ! #0( )$n f , x( )( )
2
=
СИЛЬНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ И СВОЙСТВА РЯДОВ ФУРЬЕ – ЛАПЛАСА НА СФЕРЕ 655
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
=
k=0
n!1
" #k+1 ! #0( )
j=1
ak
"c j
k( )Yj
k( ) x( ) + #n+1 ! #0( )$n f , x( )
2
.
В силу равенства Парсеваля находим
Sm!1
!
" H 2 x( )dS x( ) ≥
Sm!1
!
"
k=1
n
# $k ! $0( )
j=1
ak
#c j
k( )Yj
k( ) x( ) + $n+1 ! $0( )%n f , x( )
2
dS x( ) =
=
k=1
n
! "k # "0( )2
j=1
ak
! c j
k( ) 2 + "n+1 # "0( )2
k=n+1
$
! !
j=1
ak
! c j
k( ) 2 ≥
≥
k=1
n
! "k # "0( )2
j=1
ak
! c j
k( ) 2 , n = 1, 2,….
Таким образом,
H (x) L2 (Sm!1) "
k=1
#
$ %k! – %0!( )2 Yk f , x( ) L2 (Sm!1)
2&
'
(
)(
*
+
(
,(
1/2
.
Следующее утверждение дает поточечную оценку на сфере классических сильных средних
рядов Фурье – Лапласа.
Теорема 5. Пусть f (x) !L2 (Sm"1) , ! = "k{ } , k = 0,1,…, — возрастающая последова-
тельность неотрицательных чисел. Если выполнено условие
k=0
!
"#$k! Ek2 f x( )L2 (Sm%1) < ! ,
то почти всюду на сфере Sm!1
1
n + 1 k=0
n
! "k f , x( ) # !H2 (x)
1
n + 1( )2 k=0
n
! 1
$%k!
&
'
(
)(
*
+
(
,(
1/2
, n = 0,1, 2,…, (12)
где
!H2 x( ) =df H2 x( ) !L2 (Sm"1) .
Доказательство. Применяя неравенство Коши – Буняковского, находим
1
n + 1 k=0
n
! "k f , x( ) #
1
n + 1 k=0
n
! 1
$%k! k=0
&
!$%k! "k f , x( ) 2
'
(
)
*)
+
,
)
-)
1/2
=
656 Р. А. ЛАСУРИЯ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
1
n + 1 k=0
n
! 1
"#k!
H2 x( )
$
%
&
'&
(
)
&
*&
1/2
= H2 x( ) 1
n + 1( )2 k=0
n
! 1
"#k!
$
%
&
'&
(
)
&
*&
1/2
,! n = 0,1, 2,…,
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Если f (x) !L2 (Sm"1) и для некоторого ! , 0 < ! " 1, выполняется ус-
ловие
En f( )L2 (Sm!1) = O 1
n"
#
$%
&
'( ,
то почти всюду на сфере Sm!1
1
n + 1 k=0
n
! "k f , x( ) #
!H2
$( ) x( ) ln n( )1/2+%
n$
, 0 < $ < 1,
!H2
1( ) x( ) ln n( )1+%
n !
,!!!!!!! $ = 1,
&
'
(
(
)
(
(
где
!H2
!( ) x( ) =df
k=2
"
# k2!$1
ln k( )1+2%
&k f , x( ) 2
'
(
)
*)
+
,
)
-)
1/2
, 0 < ! < 1,
!H2
1( ) x( ) =df
k=2
!
" k !
ln k( )1+2#
$k f , x( ) 2
%
&
'
('
)
*
'
+'
1/2
, , = 1,
!H2
!( ) x( ) "L2 (Sm#1),! 0 < ! $ 1.
В самом деле, положим
!k! =
l=2
k"1
# l2$"1
ln l( )1+2%
, % > 0, !0 < $ & 1.
Тогда
!"k! =
k2#$1
ln k( )1+2%
,
и если выполнено условие следствия 1, то
k=2
!
" k2#$1
ln k( )1+2%
Ek2 f( )L2 (Sm$1) < ! .
В этом случае, согласно теореме 5, будем иметь
СИЛЬНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ И СВОЙСТВА РЯДОВ ФУРЬЕ – ЛАПЛАСА НА СФЕРЕ 657
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
1
n + 1 k=2
n
! "k f , x( ) # !H2! x( ) 1
n + 1( )2 k=1
n
! ln k( )1+2$
k2%&1
'
(
)
*)
+
,
)
-)
1/2
≤
≤
!H2
!( ) x( ) ln n( )1/2+"
n!
, 0 < ! < 1,
!H2
1( ) x( ) ln n( )1+"
n !
,!!!!!!!!!! ! = 1.
#
$
%
%
&
%
%
Следствие 2. Пусть f (x) !L2 (Sm"1) и ! = "k{ } , k = 0,1, 2,…, — возрастающая по-
следовательность неотрицательных чисел. Если выполнено условие
k=0
!
"#$k! Ek2 f x( )L2 (Sm%1) < ! , (13)
то
1
n + 1 k=0
n
! "k f , x( )
L2 Sm#1( )
$
H2 L(Sm#1)
n + 1( )2 k=0
n
! 1
%&k!
'
(
)
*)
+
,
)
-)
1/2
, n = 0,1, 2,… .
Пусть, далее, ! = "k
n( ), k,!n = 0,1, 2,…, !k
n( ) = 0 , k >!n , — матрица действительных чи-
сел, элементы которой не убывают по k и подчинены условию Г. А. Фомина [5]:
n
k=0
n
! "#k
n( ) 2$
%&
'
()
1/2
< K , K * const > 0 . (14)
Тогда почти всюду на Sm!1
k=0
n
!"#k
n( ) $k f , x( ) %
k=0
n
! "#k
n( ) 2&
'
(
)(
*
+
(
,(
1/2
k=0
n
! $k f , x( ) 2
&
'
(
)(
*
+
(
,(
1/2
≤
≤ K
n1/2 k=0
n
! "k f , x( ) 2
#
$
%
&%
'
(
%
)%
1/2
* K1
1
n + 1 k=0
n
! "k f , x( ) 2
#
$
%
&%
'
(
%
)%
1/2
.
Таким образом, приходим к следующему утверждению.
Теорема 6. Пусть матрица чисел ! = "k
n( ), k,!n = 0,1,…, !k
n( ) = 0 , k >!n , такова, что
ее элементы не убывают по k и удовлетворяют условию (14). Тогда для f (x) !L(Sm"1)
почти всюду на Sm!1
k=0
n
!"#k
n( ) $k f , x( ) % K1
1
n + 1 k=0
n
! $k f , x( ) 2
&
'
(
)(
*
+
(
,(
1/2
.
Отсюда получаем такое следствие.
658 Р. А. ЛАСУРИЯ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Следствие 3. Пусть выполнены все условия теоремы 6. Тогда для f (x) !L2 (Sm"1)
k=0
n
!"#k
n( ) $k f , x( )
L2 (Sm%1)
& K !
1
n + 1 k=0
n
!Ek2 f( )L2 ! (Sm%1)
'
(
)
*)
+
,
)
-)
1/2
, n = 0,1, 2,….
3. Приложения в вопросах абсолютной сходимости в L2 (S
m!1) рядов Фурье – Лап-
ласа.
Теорема 7. Пусть f (x) !L2 (Sm"1) ,
!k =
l=0
k"1
#dl , dl $ 0, l = 0,1,…, k = 1, 2,…, (15)
и
k=0
!
"dkEk2 f( )L2 (Sm#1) < ! . (16)
Тогда
k=0
!
"#k Yk f , x( ) L2 (Sm$1)
2 < ! . (17)
Если
tk =
l=0
k!1
" !dk (18)
и
k=0
!
" !dkEk2 f( )L2 (Sm#1) = ! , (19)
то
k=0
!
"tk Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
2 = ! . (20)
Доказательство. Пусть выполнено условие (16). С учетом (15) оно примет вид
k=0
!
"#$kEk2 f( )L2 (Sm%1) < ! . (21)
Условие (21), согласно теореме 2, влечет соотношение (17). Если же выполнено условие
(19), то с учетом (18) получаем
k=0
!
"#tkEk2 f( )L2 (Sm$1) = ! ,
а это, в свою очередь, согласно теореме 2, равносильно условию (20).
СИЛЬНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ И СВОЙСТВА РЯДОВ ФУРЬЕ – ЛАПЛАСА НА СФЕРЕ 659
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Следствие 4. Если для некоторого ! , 0 < ! " 1, выполняется условие
En! f( )L2 (Sm!1) = O 1
n"
#
$%
&
'( , (22)
то для любого ! > 0
k=0
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
2 k2$
ln k( )1+%
< ! . (23)
Если, кроме того,
En! f( )L2 (Sm!1) "
K
n#
, n = 1, 2,…, (24)
K ! const > 0 , то
k=2
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
2 k2$
ln k
= ! . (25)
Доказательство. Положим d0 = d1 = 0 , dk =
k2!"1
ln k( )1+#
, 0 < ! " 1, k = 2, 3,…. Тогда из
условия (22) следует (16) и в этом случае, в силу теоремы 7, справедливо условие (17). По-
скольку
!k =
l=2
k"1
# l2$"1
ln l( )1+%
>
1
ln l( )1+% l=2
k"1
#l2$"1 = O k2$
ln k( )1+%
&
'(
)
*+
, k = 3, 4,…,
то
k=0
!
"#k Yk f , x( ) L2 (Sm$1)
2 % K
k=2
!
" k2&
ln k( )1+'
Yk f , x( ) L2 (Sm$1)
2 (' > 0 ,
т. е. справедливо соотношение (23).
Положим теперь !d0 = !d1 = 0 ,
!dk =
k2!"1
ln k( )!
, k = 2, 3,….
Тогда условие (24) влечет соотношение (19), а это, в свою очередь, влечет равенство (20).
Из него же следует условие (25).
Следствие 4 доказано.
Следствие 5. Если f (x) !L2 (Sm"1) и выполнено условие (22), тодля любого ! < "
k=1
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
2 k2$ < ! . (26)
Действительно, если выполняется условие (22), то получаем сходимость ряда (23). В та-
ком случае для любого ! < "
660 Р. А. ЛАСУРИЯ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
k=1
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
2 k2$ % K
k=1
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
2 k2&
ln k( )1+'
.
Прежде чем перейти к формулировке утверждения, которое вытекает из следствия 5, на-
помним следующее определение. Пусть E — нормированное пространство и yk !E , k = 0 ,
1, …. Ряд ykk=1
!" называется абсолютно сходящимся, если сходится числовой ряд
k=0
!
" yk E ,
а если E — банахово пространство, то любой абсолютно сходящийся в E ряд сходится.
Принимая во внимание, что любая функция ! f (x) !L2 (Sm"1) однозначно представима в
виде суммы сходящегося в L2 (Sm!1) ряда Фурье – Лапласа, приходим к такому утверждению.
Следствие 6. Если f (x) !L2 (Sm"1) и в условии (22) ! >
1
2
, то ряд Фурье – Лапласа (1)
является абсолютно сходящимся в L2 (Sm!1), т. е.
k=0
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
! < ! .
В самом деле, выберем ! так, чтобы ! > " >
1
2
. Учитывая следствие 5 и применяя нера-
венство Коши – Буняковского, находим
k=1
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
! $
k=1
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
2 ! k2%
k=1
!
" 1
k2%
&
'
(
)(
*
+
(
,(
1/2
< !.
Следствие 6 является сферическим аналогом результата С. Н. Бернштейна [6] относитель-
но абсолютной сходимости тригонометрических рядов (см. также [7]).
Следствие 7. Если f (x) !L2 (Sm"1) и выполнено условие (22), то для любого ! , ! >
> 2
2! + 1
, справедливо соотношение
k=0
!
" Yk f , x( )
L2 (Sm#1)
$ ! < ! . (27)
Доказательство. Если ! " 2 , то утверждение следует из оценки
k=0
!
" Yk f , x( )
L2 (Sm#1)
$ ! %
k=0
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
2 ! < ! .
Пусть ! < 2 . Согласно следствию 4, для любого ! < 2"
k=1
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
2 k $ < ! .
СИЛЬНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ И СВОЙСТВА РЯДОВ ФУРЬЕ – ЛАПЛАСА НА СФЕРЕ 661
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Положим p =
2
!
! p > 1( ) и !p =
p
p " 1
=
2
2 " #
. Тогда в силу неравенства Гельдера на-
ходим
k=1
!
" Yk f , x( )
L2 (Sm#1)
$ ! %
k=1
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
2 ! k &
'
(
)
*)
+
,
)
-)
$ /2
k=1
!
"k &$ /($#2
! )'
(
)
*)
+
,
)
-)
1/ p
.
Принимая во внимание, что ! >
2
" + 1
>
2
2# + 1
, приходим к соотношению (27).
Следствие 8. Если f (x) !L2 (Sm"1) и выполнено условие (22), то для любого ! < "
k=1
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm#1)
! k$#1/2 < ! .
Действительно, если ! — такое число, что 2! < " < 2# , то на основании следствия 5 по-
лучаем
k=1
!
"k#$1/2 Yk f , x( ) L2 (Sm$1)
! %
k=1
!
" Yk f , x( ) L2 (Sm$1)
2 ! k &
'
(
)
*)
+
,
)
-)
!
k=1
!
" k2#$1
k &
'
(
)
*)
+
,
)
-)
1/2
< ! .
Последнее утверждение также является сферическим аналогом соответствующих резуль-
татов Г. Харди [8], Вейля [9], Г. А. Фомина [4] относительно тригонометрических рядов и ря-
дов по произвольным полным ортонормированным на отрезке системам функций.
1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир, 1974. – 333 с.
2. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. – М.: Наука, 1965.
3. Топурия С. Б. Ряды Фурье – Лапласа на сфере. – Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1987. – 356 с.
4. Фомин Г. А. Некоторые свойства ортогональных разложений в L2 // Некоторые вопросы математического
анализа. – Тула: Тул. гос. пед. ин-т, 1972. – С. 141 – 154.
5. Фомин Г. А. О линейных методах суммирования рядов Фурье // Мат. сб. – 1964. – 65, № 1. – С. 144 – 152.
6. Бернштейн С. Н. Об абсолютной сходимости тригонометрических рядов // Собр. сочинений. – М.: Изд-во
АН СССР, 1952. – Т. 1. – С. 217 – 223.
7. Szasz O. Über den Konvergenzexponent der Fourierschen Reihen // Sitzungsber. Bayer. Akad. Wiss. – 1922. – S. 135
– 150.
8. Hardy G. H. Weierstrass’s nondifferentiable function // Proc. Amer. Math. Soc. – 1916. – 17. – P. 301 – 325.
9. Weyl H. Bemerkungen zum Begriff der Differentialquotienten gebrochener Ordnung // Vierteljahresschr. Naturforsch.
Ges. Zürich. – 1917. – 62. – S. 296 – 302.
Получено 09.09.11,
после доработки — 03.01.12
|
| id | umjimathkievua-article-2605 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:41Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5e/e74c7f6271a1288ac6ef85c72e4a035e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26052020-03-18T19:30:33Z Strong summability and properties of Fourier?Laplace series on a sphere Сильная суммируемость и свойства рядов Фурье - Лапласа на сфере Lasuriya, R. A. Ласурия, Р. А. Ласурия, Р. А. We investigate the behavior of quantities that characterize the strong summability of Fourier - Laplace series. On this basis, we establish some properties of the Fourier - Laplace series of functions of the class $L_2(S^{m-1})$. Досліджується поведінка величин, що характеризують сильну сумовність рядів Фур’є – Лапласа, і на їх основі наведено деякі властивості рядів Фур’є – Лапласа функцій класу $L_2(S^{m-1})$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2605 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 5 (2012); 649-661 Український математичний журнал; Том 64 № 5 (2012); 649-661 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2605/1969 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2605/1970 Copyright (c) 2012 Lasuriya R. A. |
| spellingShingle | Lasuriya, R. A. Ласурия, Р. А. Ласурия, Р. А. Strong summability and properties of Fourier?Laplace series on a sphere |
| title | Strong summability and properties of Fourier?Laplace series on a sphere |
| title_alt | Сильная суммируемость и свойства рядов Фурье - Лапласа на сфере |
| title_full | Strong summability and properties of Fourier?Laplace series on a sphere |
| title_fullStr | Strong summability and properties of Fourier?Laplace series on a sphere |
| title_full_unstemmed | Strong summability and properties of Fourier?Laplace series on a sphere |
| title_short | Strong summability and properties of Fourier?Laplace series on a sphere |
| title_sort | strong summability and properties of fourier?laplace series on a sphere |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2605 |
| work_keys_str_mv | AT lasuriyara strongsummabilityandpropertiesoffourierlaplaceseriesonasphere AT lasuriâra strongsummabilityandpropertiesoffourierlaplaceseriesonasphere AT lasuriâra strongsummabilityandpropertiesoffourierlaplaceseriesonasphere AT lasuriyara silʹnaâsummiruemostʹisvojstvarâdovfurʹelaplasanasfere AT lasuriâra silʹnaâsummiruemostʹisvojstvarâdovfurʹelaplasanasfere AT lasuriâra silʹnaâsummiruemostʹisvojstvarâdovfurʹelaplasanasfere |