Lower bounds for the deviations of the best linear methods of approximation of continuous functions by trigonometric polynomials
In the case of uniform approximation of continuous periodic functions of one variable by trigonometric polynomials, we obtain lower bounds for the Jackson constants of the best linear methods of approximation.
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2606 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508537141067776 |
|---|---|
| author | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_facet | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. |
| author_sort | Pichugov, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:33Z |
| description | In the case of uniform approximation of continuous periodic functions of one variable by trigonometric polynomials, we
obtain lower bounds for the Jackson constants of the best linear methods of approximation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
© С. А. ПИЧУГОВ, 2012
662 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
УДК 517.5
С. А. Пичугов (Днепропетр. нац. ун-т ж.-д. транспорта)
ОЦЕНКИ СНИЗУ ДЛЯ УКЛОНЕНИЙ НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ
МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ
ПОЛИНОМАМИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
In the case of uniform approximation of continuous periodic functions of one variable by trigonometric polynomials, we
obtain lower bounds for the Jackson constants of the best linear methods of approximation.
У випадку рівномірної апроксимації неперервних періодичних функцій однієї змінної тригонометричними полінома-
ми отримано оцінки знизу сталих Джексона для найкращих лінійних методів наближень.
1. Введение. Пусть C2! — пространство действительнозначных непрерывных 2! -периоди-
ческих функций с нормой f = max f x( ) ; x !R{ } ; ! f , h( ) = sup "t f ; t # h{ } ,
h ! 0 , — модуль непрерывности f из C2! , где !t f x( ) = f x + t( )" f x( ) ; !n"1 — под-
пространство тригонометрических полиномов Tn!1(x) , Tn!1(x) = "r cos rx + µr sin rxr=0
n!1# ,
степени не выше n !1 ;
en!1( f ) = inf f ! Tn!1 ; Tn!1 "#n!1{ }
— наилучшее приближение f подпространством !n"1 .
По теореме Джексона (см., например, [1]) при любом фиксированном ! > 0 и всех
n !N конечна величина
! "n#1; $
n
%
&'
(
)* := sup
en#1 f( )
+ f , $
n
%
&'
(
)*
; f ,C2- , f . const
/
0
11
2
1
1
3
4
11
5
1
1
,
которая является точной константой в соответствующем неравенстве Джексона для наилуч-
ших приближений
en!1( f ) " # $n!1; %
n
&
'(
)
*+ , f , %
n
&
'(
)
*+ . (1)
Н. П. Корнейчук доказал [2], что при всех n !N
1! 1
2n
" # $n!1; %
n
&
'(
)
*+ " 1 . (2)
В работе [3] было получено обобщение этого результата: при всех k, n !N
k + 1
2
1! 1
2n
"
#$
%
&' ( ) *n!1; +
nk
"
#$
%
&' (
k + 1
2
. (3)
ОЦЕНКИ СНИЗУ ДЛЯ УКЛОНЕНИЙ НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ … 663
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Наряду с наилучшими приближениями функций важное значение имеет также их прибли-
жение линейными методами.
Пусть Ln!1 — совокупность линейных полиномиальных операторов An!1:!C2" # $n!1 ,
! An"1;
#
n
$
%&
'
() := sup f " An"1 f
* f , #
n
$
%&
'
()
; f +C2, , f - const
.
/
00
1
0
0
2
3
00
4
0
0
(4)
— константа Джексона для приближения линейным методом An!1 , а
! Ln"1;
#
n
$
%&
'
() = inf ! An"1;
#
n
$
%&
'
() ; An"1 *Ln"1
+
,
-
.
/
0
(5)
— точная константа Джексона для наилучшего линейного метода приближения.
В настоящий момент константы (5) и наилучшие линейные методы при n > 1 неизвестны.
В [4] доказано, что при n = 2, 3,!…
! Ln"1;
#
n
$
%&
'
() > 1 . (6)
Это означает (см. (2)), что точные неравенства Джексона для наилучших приближений (1) при
n > 1 и ! = " не реализуются линейным методом.
В связи с этим представляют интерес оценки сверху и снизу величин ! Ln"1;
#
n
$
%&
'
() .
Известно много оценок сверху для этих констант, вытекающих из вычисления величин (4)
для конкретных линейных методов. Мы отметим работу С. Б. Стечкина [5] по вычислению
константы Джексона (4) ! "n#1;
$
n
%
&'
(
)* для приближения линейным методом Фавара !n"1 :
!n"1 f , x( ) =
1
2#
f x " t( )Fn"1 t( )dt
"#
#
$ ,
(7)
Fn!1 t( ) = 1+ 2 r"
2n
ctg r"
2n
cos rt
r=1
n!1
# .
Теорема 1 [5]. При всех n !N справедливы равенства
sup f ! "n!1 f
# f , $
n
%
&'
(
)*
; f +C2$ , f , const
-
.
//
0
/
/
1
2
//
3
/
/
=
1+ Fn!1 1
2
, (8)
причем
664 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
sup
n
1
2
1+ Fn!1 1( ) =
1
2
1+ 2
"
u ctg u cos tu du
0
" /2
# dt
0
$
#
%
&
'
(
)
* ,
где Fn!1 1 =
1
2"
Fn!1 dt
!"
"
# .
По подсчетам Н. П. Корнейчука [6] (подробности которых не были опубликованы)
2
!
u ctg u cos tu du
0
! /2
" dt
0
#
" $ 1,36 .
Из теоремы 1 вытекает следующая оценка сверху для наилучшего линейного метода в случае
! = " :
! Ln"1;
#
n
$
%&
'
() * ! +n"1;
#
n
$
%&
'
() =
1
2
1+ Fn"1 1( ) * 1,18 , n = 2, 3,!…!. (9)
Ниже мы получим оценки снизу для констант ! L2n"1; #/2n( ) , уточняющие (6). При этом
будет найдено точное значение ! L1; "/2( ) и наилучший линейный метод A1 , который сов-
пал с методом Фавара !1 . Кроме того, получим оценки снизу для констант ! L2n"1; #/2nk( ) ,
k = 2, 3,!…, из которых, в частности, следует, что точные неравенства Джексона для наилуч-
ших приближений по крайней мере для четных n не реализуются линейным методом ни при
каком значении k !N .
2. Формулировки основных результатов. Имеют место следующие теоремы.
Теорема 2. При всех n !N
! L2n"1;
#
2n
$
%&
'
() * ! L1;
#
2
$
%&
'
() = ! +1;
#
2
$
%&
'
() =
=
1+ F1 1
2
= 1! 1
"
arccos 2
"
+
1
4
!
1
"2
. (10)
Теорема 3. При k = 2, 3,!… и всех n !N
! L2n"1;
#
2nk
$
%&
'
() * ! L1;
#
2k
$
%&
'
() ≥
≥ k + 1
2
!
k
"
# k +
1
4 sin "
4k
cos "
4k
! # k
$
%&
'
() ! sin "
4k
! # k
$
%&
'
() ! cos "
4k
! sin "
4k
$
%&
'
()
$
%&
'
()
, (11)
где ! k из 0; !/2k( ) — корень уравнения
cos !
4k
" # k
$
%&
'
() + sin
!
4k
" # k
$
%&
'
() =
sin !/4k( )
!/4k
. (12)
ОЦЕНКИ СНИЗУ ДЛЯ УКЛОНЕНИЙ НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ … 665
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Следствие. При k = 2, 3,!… и всех n !N
! L2n"1;
#
2nk
$
%&
'
() >
k + 1
2
.
3. Вспомогательные утверждения. Пусть !n,k , k !N и n = 2,!3,!… , — класс огра-
ниченных измеримых 2! -периодических функций, удовлетворяющих условиям
f 0( ) = 0 , f !x( ) = f x( ) ,
sup
x! "x # $/nk
f x( ) ! f "x( ) # 1 .
Лемма 1. Имеют место соотношения
! Ln"1;
#
nk
$
%&
'
() = inf
Kn"1(t )=1+2 *r cos rtr=1
n"1+{ }
sup
f ,-n, k
1
#
Kn"1(t) f (t)dt
0
#
. . (13)
Доказательство. Для заданных k !N и n = 2,!3,!... построим равномерное разбиение
отрезка 0, ![ ] точками j!/nk , j = 0,!1,!…!,!nk , и определим кусочно-постоянную функ-
цию !n,k (h) , h ! 0 , по этому разбиению условиями !n,k (0) = 0, !n,k (h) = j при h !
! j " 1( ) #
nk
, j #
nk
$
%&
'
()
, j = 1,!…!,!nk , !n,k (h) = nk при h ! " . Рассмотрим класс функций
!n,k : = f !C2" : # f , h( ) $ #n,k (h), h % 0{ } . Очевидно, что для функций f !C2" условия
! f , "/nk( ) # 1 и f !"n,k эквивалентны. Поэтому
! Ln"1;
#
nk
$
%&
'
() = inf
An"1*Ln"1
sup
f *C2#
f +const
f " An"1 f
, f , #/nk( ) =
=
inf
An!1"Ln!1
sup
# f , $/nk( )%1
f ! An!1 f = inf
An!1"Ln!1
sup
f "&n,k
f ! An!1 f . (14)
Класс функций !n,k является инвариантным относительно сдвига, поэтому нижнюю грань в
(14) достаточно вычислить для операторов An!1 , перестановочных со сдвигами [7, с. 195],
т. е. для операторов свертки с полиномиальным ядром
An!1 f , x( ) = 1
2"
f t ! x( )Kn!1(t)dt,
!"
"
#
где
Kn!1(t) = "0 + 2! "r cos rt + µr sin rt
r=1
n!1
# . (15)
Ясно, что в (14) достаточно ограничиться операторами An!1 , точными на константах, поэто-
му в (15) !0 = 1 .
666 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Из инвариантности по сдвигу класса !n,k и операторов An!1 следует, что
! Ln"1;
#
nk
$
%&
'
() = inf
An"1
sup
f *+n,k
f 0( ) " An"1 f , 0( ) , (16)
а из точности An!1 на константах — что в (16) без ограничения общности достаточно ограни-
читься функциями f такими, что f 0( ) = 0 . Для такой функции f из !n,k ее четная
часть f1 x( ) = 1
2
f x( ) + f !x( )( ) также принадлежит !n,k . Пусть ar f( ) — косинус-ко-
эффициенты Фурье f . Тогда
!rar
r=1
n"1
# f( ) = f 0( ) " An"1( f , 0) = 1
2!
Kn"1(t) f t( )dt
"!
!
# =
1
!
Kn"1,1(t) f1 t( )dt
0
!
# , (17)
где Kn!1,1(t) = 1+ 2! "r cos rtr=1
n!1# .
Теперь видно, что экстремум интегрального функционала (17) реализуется для функций из
класса !n,k .
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Для всех k, n, j !N справедливы соотношения
! Lnj"1;
#
njk
$
%&
'
()
! * !! L j"1;
#
jk
$
%&
'
()
. (18)
Доказательство. Пусть E — банахово пространство периодических четных и
измеримых функций f , f 0( ) = 0 , с нормой
f E ! = ! sup
!x , !!x
f !x( ) " f !!x( )
# j,k !x " !!x( ) .
Класс ! j,k является единичным шаром в E . По теореме двойственности С. М. Никольского
[8], если F0,!F1,!...!,!Fj!1 — линейные функционалы на E и
H j!1 = f "E; Fr ( f ) = 0, r = 1, j ! 1{ } ,
то
inf
!r"R
F0 + !rFr
r=1
j#1
$
E*
= sup F0 ( f ); f E % 1, f "H j#1{ } . (19)
Пусть F0 ( f ) =
1
!
f (t) dt
0
!
" , Fr ( f ) = ar ( f ) . Тогда из леммы 1 и (19) получаем соотношение
двойственности для наилучших линейных приближений:
ОЦЕНКИ СНИЗУ ДЛЯ УКЛОНЕНИЙ НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ … 667
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
! L j"1;
#
jk
$
%&
'
()
= inf
*r+R
sup
f +, j ,k
1
#
f t( ) dt
0
#
- + *rar ( f )
r=1
j"1
. =
= sup 1
!
f (t) dt
0
!
" ; f #$ j,k , ar ( f ) = 0, r = 1, j % 1
&
'
(
)(
*
+
(
,(
. (20)
Пусть G f (x) := f (nx) для функции f (x) из ! j,k ! H j"1 . Тогда ar (G f ) = 0 , r =
= 1, nj ! 1 , и
sup G f !x( ) " G f !!x( ) ; !x " !!x #
$
njk
%
&
'
(
)
*
= sup f !x( ) " f !!x( ) ; !x " !!x #
$
jk
%
&
'
(
)
*
,
т. e. G f !"nj,k ! Hnj#1 . Поэтому
! Lnj"1;
#
njk
$
%&
'
()
= sup 1
#
G t( ) dt
0
#
* ;G +,nj,k ! Hnj"1 ≥
≥
sup 1
!
G f t( ) dt
0
!
" ; f #$ j,k ! H j%1 =
=
sup 1
!
f t( ) dt
0
!
" ; f #$ j,k ! H j%1 = & L j%1;
!
jk
'
()
*
+,
.
Лемма 2 доказана.
В частности, при j = 2
! L2n"1;
#
2nk
$
%&
'
() * ! L1;
#
nk
$
%&
'
() . (21)
Аналогичные (21) соотношения использовал В. В. Шалаев [9] для оценок снизу уклонений ли-
нейных методов для классов H ! .
4. Доказательство основных результатов. Доказательство теоремы 2. Из лемм 2, 1
следует, что
! L2n"1;
#
2nk
$
%&
'
() * ! L1;
#
2k
$
%&
'
() = inf
+,R
sup
f ,-2,k
1
#
K1 t( ) f (t)dt
0
#
. , (22)
где K1 t( ) = 1+ 2! cos t .
Пусть k = 1 . Для произвольного значения параметра ! " 0, #/2[ ) определим следующие
функции f! x( ) и g! x( ) из !2,1 :
f! 0( ) = 0; f! x( ) = 1, x " 0, # $ !( ]; f! x( ) = 0, x " # $ ! , #[ ]; f! $x( ) = f! x( );
668 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
f! x + 2"( ) = f! x( );
g! x( ) = f! x( ) , x "
#
2
; g! x( ) = f! x( ) + 1, x $
#
2
, #%
&'
(
)* ; g! (#) = 0;
g! (x + 2") = g! (x).
Эти функции используем для оценок снизу ! L1; "/2( ) .
Если ! " #/4 , то
1
!
K1 t( ) f" (t)dt
0
!
# ! = ! 1
!
1+ 2$ cos t( ) f" (t)dt
0
!
# ! = !1% "
!
+
2$
!
sin " ! & !1% "
!
+
1
2
sin " . (23)
Если же ! " 0, #/4[ ] , то
1
!
K1 t( ) g" (t) dt
0
!
# ! = ! 1
!
K1 t( ) f" (t) dt
0
!
# +
1
!
K1(t) dt
! /2
!
# =
= 1! "
#
+
2$
#
sin "%
&'
(
)* +
1
2
!
2$
#
%
&'
(
)* =
= 3
2
!
"
#
+
2$
#
sin " ! 1( )! % ! 3
2
!
"
#
+
1
2
sin " ! 1( )! = !1! "
#
+
1
2
sin " . (24)
Если ! < 0 , то оценки снизу (23), (24) получим заменой функций f! (x) и g! (x) соот-
ветственно на функции f! (" # x) и g! (" # x) , которые также принадлежат классу !2,1 .
Теперь из (22) – (24) следует необходимая оценка снизу
! L1;
"
2
#
$%
&
'( ! ) ! max*+[0," /2]
1, *
"
+
1
2
sin *#
$%
&
'( ! = !1,
*1
"
+
1
2
sin *1 ,
где !1 = arccos 2/"( ) .
Для оценки сверху величины ! L1;!"/2( ) рассмотрим линейный метод свертки с ядром
K1 t( ) = 1+ !
2
cos t . Это ядро совпадает с ядром F1 метода Фавара (см. (7)). Поскольку
F1 ! " #1( ) = 0 , то
F1 1 ! = !
1
!
1+ !
2
cos t dt
0
!
" ! = ! 1
!
1+ !
2
cos t#
$%
&
'( dt
0
!)*1
" ) 1+ !
2
cos t#
$%
&
'( dt
!)*1
!
"
#
$
%%
&
'
((
=
= 1
!
! " #1 +
!
2
sin #1
$
%&
'
() " #1 "
!
2
sin #1
$
%&
'
()
$
%&
'
()
! = !1" 2#1
!
+ sin #1 ,
и по теореме 1
ОЦЕНКИ СНИЗУ ДЛЯ УКЛОНЕНИЙ НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ … 669
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
! L1;
"
2
#
$%
&
'( ! ) !! *1;
"
2
#
$%
&
'( ! = !
1
2
1+ F1 1( )! = !1+ ,1
"
+
1
2
sin ,1.
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 3. Пусть k = 2,!3,!… . Для произвольного значения парамет-
ра ! " 0, #/2k[ ) рассмотрим следующую кусочно-постоянную функцию f! (x) из !2,k :
f! 0( ) = 0; f! "x( ) = f! x( ) ;
f! x( ) = j для x ! j " 1( ) #
2k
, j #
2k
$
%&
'
()
, j = 1,!…!,!k ;
f! x( ) = k для x ! "
2
, "
2
+ "
2k
# $%
&'
(
)*
;
f! x( ) = k " j для x ! "
2
+ j
"
2k
# $ , "
2
+ j + 1( ) "
2k
# $%
&'
(
)*
, j = 1,!…!,!k # 1;
f! x( ) = 0 для x ! " # $ , "( ] ; f$ x + 2"( )! = ! f$ x( ) .
Вычислим значение интеграла 1
!
1+ 2" cos t( ) f# (t)dt0
!
$ :
1
!
f" (t)dt
0
!
# =
1
!
2 j !
2kj=1
k$1
% +
1
!
k !
2k
+
!
2k
$ "&
'(
)
*+ =
k + 1
2
$
k"
!
,
1
!
f" (t) cos tdt
0
!
# = $ sin j !
2kj=1
k$1
% + sin !
2
+ j !
2k
$ "&
'(
)
*+j=1
k
% =
= ! sin j "
2kj=1
k!1
# + sin $ + cos j !
2k
cos " + sin j !
2k
sin "#
$%
&
'(j=1
k)1
* .
Поскольку
cos j !
2k
! = !
j=1
k"1
# sin j !
2k
! = !
j=1
k"1
# 1
2 sin !/4k( ) cos !
4k
" sin !
4k
$
%&
'
() ,
то
1
!
f" (t) cos t dt
0
!
# ! = ! 1
2 sin !/4k( ) cos !
4k
$ sin !
4k
%
&'
(
)* cos " + sin " $ 1( ) + sin " =
=
1
2 sin !/4k( ) cos !
4k
" #$
%&
'
() " sin
!
4k
" #$
%&
'
() " cos !
4k
" sin !
4k
$
%&
'
()
$
%&
'
()
! = : ! 1
2 sin !/4k( ) * #( ) .
Поэтому
670 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
1
!
1+ 2" cos t( ) f# (t)dt
0
!
$ ! = ! k + 1
2
%
k#
!
+
2"
!
1
2 sin !/4k( ) & #( ) . (25)
Пусть ! " #
4
. Так как
!" #( ) = sin $
4k
% #&
'(
)
*+ + cos
$
4k
% #&
'(
)
*+ , 0 для ! " 0, #
2k
$
%&
'
()
,
то ! "( ) # ! 0( ) = 0 и
k + 1
2
!
k"
#
+
2$
#
1
2 sin #/4k( ) % "( ) &
k + 1
2
!
k"
#
+
1
4 sin #/4k( ) % "( ) := %1 "( ) . (26)
Далее, поскольку
!!"1 #( ) =
1
4 sin $/4k( ) % cos $
4k
% #&
'(
)
*+ + sin
$
4k
% #&
'(
)
*+
&
'(
)
*+
< 0
для ! " 0, #/2k( ) , !1 0( ) = !1 "/2k( ) = (k + 1)/2 , функция !1 "( ) строго выпуклая вверх
на 0, !/2k[ ] и имеет на этом отрезке единственный максимум в точке ! k , определяемой
условием !1" # k( ) = 0 , т. е. ! k — корень уравнения (12).
Из (25), (26) следует, что
inf
!"#
4
sup
f $%2,k
1
#
1+ 2! cos t( ) f (t)dt
0
#
& " '1 ( k( ) = k + 1
2
)
k( k
#
+
+
1
4 sin(!/4k)
cos
!
4k
" # k
$
%&
'
() " sin
!
4k
" # k
$
%&
'
() " cos
!
4k
" sin
!
4k
$
%&
'
()
*
+
,
-
.
/
. (27)
Заметим, что так как !1 "( ) > !1 0( ) = (k + 1)/2 , то значение правой части неравенства (27)
строго больше (k + 1)/2 .
Пусть ! " 0, #/4[ ] . Теперь для оценки снизу используем функции g! x( ) из !2,k :
g! x( )! = ! f! x( ) для x !
"
2
; g! x( )! = ! f! x( ) + 1 для x !
"
2
, "#
$%
&
'( ;
g! (")! = !0; g! (x + 2")! = !g! (x).
Тогда (см. (25))
1
!
1+ 2" cos t( ) g# (t)dt
0
!
$ =
1
!
1+ 2" cos t( ) f# (t)dt
0
!
$ + 1+ 2" cos t( )dt
! /2
!
$ =
ОЦЕНКИ СНИЗУ ДЛЯ УКЛОНЕНИЙ НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ … 671
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
=
k + 1
2
!
k"
#
+
2$
#
1
2 sin (#/4k)
% "( )&
'(
)
*+
+
1
2
!
2$
#
&
'(
)
*+ =
=
k
2
+ 1!
k"
#
+
2$
#
1
2 sin (#/4k)
cos
#
4k
! "%
&'
(
)* ! sin
#
4k
! "%
&'
(
)* ! cos
#
4k
! sin
#
4k
+
,
-
.
/
0
= :
= :
k
2
+ 1! k"
#
+
2$
#
1
2 sin (#/4k)
%2 "( ) . (28)
Поскольку !2" #( ) = sin $
4k
% #&
'(
)
*+ + cos
$
4k
% #&
'(
)
*+ > 0, то !2 "( ) # !2
$
2k
%
&'
(
)* = 0 , и при
! " 0, #
4
$
%&
'
()
(см. (26))
k
2
+ 1! k"
#
+
2$
#
1
2 sin (#/4k)
%2 "( ) ≥
≥
k
2
+ 1! k"
#
+
1
4 sin (#/4k)
$2 "( )! = !$1 "( )! % !$1 " k( ) . (29)
Из (28), (29) следует, что оценка снизу (27) справедлива для всех ! " 0 . Если ! < 0 , то
такую же оценку получим, если вместо функций f! x( ) и g! x( ) использовать функции
f! " # x( ) и g! " # x( ) .
Теперь из (22) получаем утверждение теоремы 3.
5. Дополнения к теореме 2. 1. Так как !1 = arccos
1
"
= 0,8806892354… ,
то
! L1;
"
2
#
$%
&
'( ! = !1)
*1
"
+
1
2
sin *1 ! = !1,105256831... .
2. Приведем еще другое доказательство теоремы 2, основанное на соотношении двойствен-
ности (20) (при j = 2 и k = 1 ).
Рассмотрим следующую функцию h(x) из !2,1 :
h(0) = 0 ; h(x) = 1 , x ! 0, "/2( ] ; h(x) = 1+ sin !1 , x ! "/2, " # $1( ] ;
h(x) = sin !1 , x ! " # $1, "( ) ; h(!) = 0 ; h x + 2!( ) = h(x) ,
где !1 из 0, !/2( ) такое, что cos !1 = 2/" .
Тогда 1
!
h(x) cos xdx
0
!
" = 0 и
! L1;
"
2
#
$%
&
'( )
1
"
h(x)dx
0
"
* = 1 + ,1
"
+
1
2
sin ,1.
672 С. А. ПИЧУГОВ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
Это доказательство проще первоначального, но из него не видно экстремального свойства
ядра
K1 t( ) = 1 + !
2
cos t .
В заключение докажем двусторонние оценки для константы ! L2;
"
3
#
$%
&
'( .
Лемма 3. Имеют место неравенства
1,110042 < ! L2;
"
3
#
$%
&
'( < 1,125681 . (30)
Доказательство. Оценка сверху следует из теоремы 1: так как F2 1 < 1, 251361 (вы-
числения в программе Maple), то
! L2;
"
3
#
$%
&
'( ) ! *2;
"
3
#
$%
&
'( =
1+ F2 1
2
< 1,125681 .
Для оценки снизу с помощью параметров !1 , !2 , !1 , !2 ,
!1 " #/3, #/2( ] , !2 " 2#/3, #[ ) , !1 " 1, 2( ] , !2 " !1 # 0,1( ] , (31)
определим функции h(x) из класса !2,1 :
h 0( ) = 0 ; h(x) = 1 , x ! 0, "/3( ] ; h x( ) = 1+ !1 , x ! "/3, #1( ] ;
h x( ) = !1 , x ! "1, "2( ] ; h x( ) = !2 ; x ! "2, #( ] ; h x + 2!( ) = h x( ) .
Пусть a1 h( ) = a2 h( ) = 0 . Тогда
!2 " !1 =
sin #1
1" 2 cos #2
1" 2 cos #1
sin #2
,
!1 =
sin "1
1# 2 cos "2
2
sin ($/3)
cos "1 # cos "2( ) ,
(32)
1
!
h(x)dx
0
!
" =
#1
!
+
sin #1
1$ 2 cos #2
1$ 2 cos #1
sin #2
1$ #2
!
%
&'
(
)* +
4
3sin (!/3)
cos #1 $ cos #2( )%
&'
(
)*
= :
= : ! "1, "2( )
и из соотношений двойственности (20) следует, что ! L2;
"
3
#
$%
&
'( ) sup* +1, +2( ) , где верхняя
грань вычисляется при ограничениях (31), (32). Оценку снизу этой верхней грани получим,
положив !1 =
"
2
, !2 =
5
6
" . Тогда
!1 = !2 " !1 = 3 " 1 ,
ОЦЕНКИ СНИЗУ ДЛЯ УКЛОНЕНИЙ НАИЛУЧШИХ ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ … 673
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
!
"
2
, 5
6
"#
$%
&
'( =
1
2
+
5
6
3 ) 1( ) = 1,11004234… .
Из (10) и (18) при j = 3 , k = 1 получаем следующее дополнение к оценкам снизу в тео-
реме 2:
! L6n+r ;
"
6n + r + 1
#
$%
&
'( ) ! L1;
"
2
#
$%
&
'( = 1,105256… при r = 1, 3 ,
! L6n+r ;
"
6n + r + 1
#
$%
&
'( ) ! L2;
"
3
#
$%
&
'( > 1,110042 при r = 2, 5.
1. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 320 с.
2. Корнейчук Н. П. Точная константа в теореме Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных
периодических функций // Докл. АН СССР. – 1962. – 145, № 3. – С. 514 – 515.
3. Корнейчук Н. П. О точной константе в неравенстве Джексона для непрерывных периодических функций //
Мат. заметки. – 1982. – 32, № 5. – С. 669 – 674.
4. Шалаев В. В. Некоторые точные оценки приближения функций линейными полиномиальными методами: Дис.
… канд. физ.-мат. наук. – Днепропетровск, 1980.
5. Стечкин С. Б. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фавара // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1971. – 119. – С. 26 – 34.
6. Корнейчук Н. П. Об оценке приближений функций класса H ! тригонометрическими многочленами // Иссле-
дования по современным проблемам конструктивной теории функций. – 1961. – 1. – С. 148 – 154.
7. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. – 624 с.
8. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Сер.
мат. – 1946. – С. 207 – 256.
9. Шалаев В. В. О погрешности наилучшего на классе H ! периодических функций линейного полиномиально-
го метода. – Днепропетровск, 1980. – 17 с. – Деп. в Укр НИИИТИ.
Получено 20.12.11
|
| id | umjimathkievua-article-2606 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:47Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/0f/804db950935a2e1b18294540f05b6a0f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26062020-03-18T19:30:33Z Lower bounds for the deviations of the best linear methods of approximation of continuous functions by trigonometric polynomials Оценки снизу для уклонений наилучших линейных методов приближения тригонометрическими полиномами непрерывных функций Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. In the case of uniform approximation of continuous periodic functions of one variable by trigonometric polynomials, we obtain lower bounds for the Jackson constants of the best linear methods of approximation. У випадку рівномірної апроксимації неперервних періодичних функцій однієї змінної тригонометричними поліномами отримано оцінки знизу сталих Джексона для найкращих лінійних методів наближень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2606 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 5 (2012); 662-673 Український математичний журнал; Том 64 № 5 (2012); 662-673 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2606/1971 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2606/1972 Copyright (c) 2012 Pichugov S. A. |
| spellingShingle | Pichugov, S. A. Пичугов, С. А. Пичугов, С. А. Lower bounds for the deviations of the best linear methods of approximation of continuous functions by trigonometric polynomials |
| title | Lower bounds for the deviations of the best linear methods of approximation of continuous functions by trigonometric polynomials |
| title_alt | Оценки снизу для уклонений наилучших линейных методов приближения тригонометрическими полиномами непрерывных функций |
| title_full | Lower bounds for the deviations of the best linear methods of approximation of continuous functions by trigonometric polynomials |
| title_fullStr | Lower bounds for the deviations of the best linear methods of approximation of continuous functions by trigonometric polynomials |
| title_full_unstemmed | Lower bounds for the deviations of the best linear methods of approximation of continuous functions by trigonometric polynomials |
| title_short | Lower bounds for the deviations of the best linear methods of approximation of continuous functions by trigonometric polynomials |
| title_sort | lower bounds for the deviations of the best linear methods of approximation of continuous functions by trigonometric polynomials |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2606 |
| work_keys_str_mv | AT pichugovsa lowerboundsforthedeviationsofthebestlinearmethodsofapproximationofcontinuousfunctionsbytrigonometricpolynomials AT pičugovsa lowerboundsforthedeviationsofthebestlinearmethodsofapproximationofcontinuousfunctionsbytrigonometricpolynomials AT pičugovsa lowerboundsforthedeviationsofthebestlinearmethodsofapproximationofcontinuousfunctionsbytrigonometricpolynomials AT pichugovsa ocenkisnizudlâuklonenijnailučšihlinejnyhmetodovpribliženiâtrigonometričeskimipolinomaminepreryvnyhfunkcij AT pičugovsa ocenkisnizudlâuklonenijnailučšihlinejnyhmetodovpribliženiâtrigonometričeskimipolinomaminepreryvnyhfunkcij AT pičugovsa ocenkisnizudlâuklonenijnailučšihlinejnyhmetodovpribliženiâtrigonometričeskimipolinomaminepreryvnyhfunkcij |