Best bilinear approximations of functions from Nikolskii-Besov classes
We obtain exact-order estimates for the best bilinear approximations of Nikol'skii-Besov classes in the spaces of functions $L_q (\pi_{2d})$.
Saved in:
| Date: | 2012 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2608 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508535586029568 |
|---|---|
| author | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. |
| author_facet | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. |
| author_sort | Romanyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:33Z |
| description | We obtain exact-order estimates for the best bilinear approximations of Nikol'skii-Besov classes in the spaces of functions $L_q (\pi_{2d})$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
A. С. Романюк, В. С. Романюк (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
ИЗ ПРОСТРАНСТВ НИКОЛЬСКОГО – БЕСОВА
We obtain exact-order estimates for the best bilinear approximations of Nikol’skii – Besov classes in the spaces of functions
Lq(π2d).
Знайдено точнi за порядком оцiнки величин найкращих бiлiнiйних наближень на класах Нiкольського – Бєсова у
функцiональних просторах Lq(π2d).
В работе исследуются приближения функций 2d переменных, принадлежащих классам Николь-
ского – Бесова Br
p,θ, линейными комбинациями произведений функций d переменных. Такого
вида приближения называют билинейными, и наряду с классическими методами приближения
с помощью алгебраических или тригонометрических полиномов они занимают важное место
в теории аппроксимации. Об этом подробнее будет идти речь в следующем пункте.
Приведем сначала определения рассматриваемых классов функций и исследуемой аппрок-
симативной характеристики.
Пусть R d, d ≥ 1, обозначает d-мерное евклидово пространство с элементами x = (x1, . . .
. . . , xd), а Lp(πd) — пространство 2π-периодических по каждой переменной функций f, для
которых
||f ||p =
(2π)−d
∫
πd
|f(x) |pdx
1/p
<∞, 1 ≤ p <∞,
||f ||∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)| <∞.
Здесь πd :=
∏d
i=1
[0; 2π).
Определим кратную разность порядка k ∈ N функции f в точке x с шагом h ∈ Rd индук-
тивно по формулам
∆hf(x) = ∆1
hf(x) := f(x+ h)− f(x),
∆k
hf(x) = ∆h(∆k−1
h f(x)), k = 2, 3, . . . .
Положим также ∆0
hf(x) := f(x).
Пусть далее
ωk(f ; t)p := sup
|h|≤t
‖∆k
hf‖p,
где |h| =
(∑d
i=1
h2
i
)1/2
— модуль непрерывности k-го порядка функции f ∈ Lp(πd).
Будем говорить, что функция f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, принадлежит пространству Br
p,θ,
1 ≤ θ ≤ ∞, r > 0, если
c© A. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5 685
686 A. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК ∞∫
0
(t−rωk(f, t)p)
θ dt
t
1/θ
<∞ при 1 ≤ θ <∞
и
sup
t>0
ωk(f ; t)pt
−r <∞ при θ =∞.
При этом предполагается, что k > r.
Норму на линейных пространствах Br
p,θ определим по формулам
‖f‖Brp,θ = ‖f‖p +
∞∫
0
(t−rωk(f, t)p)
θ dt
t
1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
‖f‖Brp,∞ = ‖f‖p + sup
t>0
ωk(f, t)pt
−r.
(1)
ПространстваB r
p, θ введены О. В. Бесовым [1] и при этомB r
p,∞ = H r
p , гдеH r
p — пространст-
ва, введенные С. М. Никольским [2]. Известно, что при 1 ≤ θ ≤ θ′ <∞ B r
p, θ ↪→ B r
p, θ′ , т. е.,
как для функциональных множеств, справедливо вложение Br
p,θ ⊂ Br
p,θ′ и ‖f‖Br
p,θ′
≤ C‖f‖Brp,θ ,
f ∈ Br
p,θ, C > 0.
В последующих рассуждениях нам будет удобно пользоваться эквивалентным определени-
ем нормы функций из пространств B r
p, θ и Hr
p .
Пусть Vl(u), l ∈ N, u ∈ R, обозначает ядро Валле Пуссена вида
Vl(u) = 1 + 2
l∑
k=1
cos ku+ 2
2l−1∑
k=l+1
2l − k
l
cos ku
(при l = 1 вторую сумму полагаем равной нулю).
Многомерное ядро Vl(x), x ∈ Rd, d ≥ 2, определим по формуле
Vl(x) =
d∏
j=1
Vl(xj).
На множестве Lp(πd) определим оператор свертки Vl : Lp(πd) −→ L1(πd), действующий по
формуле
Vlf(x) = (2π)−d
∫
πd
f(y)Vl(x− y)dy.
Таким образом, с помощью оператора Vl определяются кратные средние Валле Пуссена функ-
ции f ∈ Lp(πd)
Vl(f ;x) := Vlf(x),
которые естественным образом можно записать и в виде тригонометрического полинома, воз-
никающего из разложения функции f в ряд Фурье по тригонометрической системе.
Далее для функции f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, положим
σ0(f ;x) := V1(f, x), σs(f ;x) := V2s(f ;x)− V2s−1(f ;x), s = 1, 2, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ . . . 687
В принятых обозначениях для нормы ‖f‖B r
p, θ
имеют место соотношения (см., например, [3])
||f ||B r
p, θ
�
∑
s∈Z+
2srθ ||σs(f ; ·)|| θp
1/θ
, 1 ≤ θ <∞,
||f ||B r
p,∞ � sup
s∈Z+
2s r ||σs(f ; ·)||p.
(2)
Здесь и далее для выражений A и B соотношение A � B означает, что существуют такие
постоянные C1 и C2, C1 > C2 > 0, для которых C2B ≤ A ≤ C1B. Если же только C2B ≤ A
(A ≤ C1B), то пишем A� B (A� B). Заметим также, что константы C1 и C2 в порядковых
соотношениях, как правило, разные в разных местах текста. Зависимость этих констант от
параметров не будет оговариваться каждый раз, а будет очевидна из контекста.
Пусть Lq1,q2(π2d) — множество функций f(x, y), x, y ∈ Rd, 2π-периодических по каждой
из 2d переменных с конечной смешанной нормой
‖f(x, y)‖q1,q2 :=
∥∥∥‖f(·, y)‖q1
∥∥∥
q2
,
где справа норма функции f(x, y) вычисляется сначала в пространстве Lq1(πd), как от функции
переменной x ∈ Rd (при фиксированном y ∈ Rd), а затем от полученного результата, как от
функции переменной y ∈ Rd в пространстве Lq2(πd).
Для f ∈ Lq1,q2(π2d) определим величину наилучшего билинейного приближения порядка
M (M ∈ N) согласно формуле
τM (f)q1,q2 := inf
uj(x),vj(y)
∥∥∥∥∥∥f(x, y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y)
∥∥∥∥∥∥
q1,q2
, (3)
где uj ∈ Lq1(πd), vj ∈ Lq2(πd), j = 1,M. При M = 0 будем считать, что τ0(f(x, y))q1,q2 :=
:= ‖f(x, y)‖q1,q2 .
Если F ⊂ Lq1,q2(π2d) — класс функций, то полагаем
τM (F )q1,q2 := sup
f∈F
τM (f)q1,q2 . (4)
В завершение этого пункта отметим, что всюду ниже символом B r
p, θ обозначается не все
пространство B r
p, θ, а единичный шар этого пространства, т. е. множество функций f ∈ B r
p, θ,
для которых ‖f‖B r
p, θ
≤ 1.
1. Исторические сведения. По-видимому, первый результат о наилучших билинейных при-
ближениях был получен Е. Шмидтом [4] еще в 1907 г. при исследовании интегральных уравне-
ний. При этом выяснилось, что приближение функций f(x, y) двух переменных, определенных
на квадрате [0, 1]×[0, 1] ⊂ R2, билинейными формами в пространстве L2,2([0, 1]2) тесно связано
со свойствами интегральных операторов
Jf (g) =
1∫
0
f(x, y)g(y)dy
с ядром f(x, y). Точнее, в [4] было получено разложение (известное как разложение Е. Шмидта)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
688 A. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
f(x, y) =
∞∑
j=1
sj(Jf )ϕj(x)ψj(y),
где
{
sj(Jf )
}∞
j=1
— невозрастающая последовательность (перестановка) сингулярных чисел опе-
ратора Jf , т. е. sj(Jf ) = λj(J
∗
fJf ),
{
λj(T )
}∞
j=1
— последовательность собственных чисел опе-
ратора T, J∗f — оператор, сопряженный оператору Jf и, наконец,
{
ϕj(x)
}∞
j=1
и
{
ψj(y)
}∞
j=1
—
ортонормированные системы собственных функций операторов JfJ∗f и J∗fJf соответственно.
Кроме того, Е. Шмидтом было доказано равенство∥∥∥∥∥f(x, y)−
M∑
j=1
sj(Jf )ϕj(x)ψj(y)
∥∥∥∥∥
2,2
= inf
uj ,vj∈L2([0,1])
∥∥∥∥∥f(x, y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y)
∥∥∥∥∥
2,2
,
в котором проявляется связь между величинами τM (f)2,2 и сингулярными числами sj(Jf )
оператора Jf . Впоследствии эта связь была использована для получения оценок сингулярных
чисел интегральных операторов в работе М. Ш. Бирмана, М. З. Соломяка [5] и установления
оценок величин τM (f)2,2 в работе Н. В. Мирошина, В. В. Хромова [6]. Затем Р. С. Исмаги-
лов [7] обнаружил связь между величинами τM (f(x−y))2,∞ и поперечниками по Колмогорову
класса F, которому принадлежит функция f(x). Отметим также, что Ч. Мичелли и А. Пин-
кус [8], исследовав билинейные приближения некоторых функций двух переменных, заданных
на квадрате [ 0, 1 ]× [ 0, 1 ], применили полученные результаты для нахождения точных значе-
ний поперечников классов дифференцируемых функций. С более полной библиографией по
указанным вопросам можно ознакомиться в работе Е. М. Чини [9].
Исследованию величин τM (F )q1,q2 для некоторых классов периодических функций многих
переменных посвящены работы В. Н. Темлякова [10 – 14], А. С. Романюка [15] и А. С. Ро-
манюка, В. С. Романюка [16], в которых содержится соответствующая библиография по этим
направлениям. Отметим еще работы М.-Б. А. Бабаева [17, 18], в которых рассматриваются
вопросы билинейных приближений непериодических функций.
Целью настоящей работы является получение точных по порядку оценок величин
τM (Br
p,θ)q1,q2 при условии q1 = q2 = q. Отметим, что в таком случае, согласно определе-
ниям, Lq1,q2(π2d) ≡ Lq(π2d) и ‖f(x, y)‖q1,q2 = ‖f(x, y)‖q для f ∈ Lq(π2d). Поэтому условимся
писать τM (Br
p,θ)q вместо τM (Br
p,θ)q,q.
2. Порядковые оценки величин наилучших билинейных приближений классов Br
p,θ.
Прежде чем сформулировать основной результат приведем два известных утверждения, систе-
матически используемые в доказательстве.
Определим следующие множества:
Cd(N) :=
{
k = (k1, . . . , kd), kj ∈ Z, |kj | ≤ N, j = 1, d
}
, N = 1, 2, . . . ,
T (Cd(N)) :=
{
f : f(x) =
∑
k∈Cd(N)
cke
i(k,x), ck ∈ C, x = (x1, . . . , xd)
}
и для 1 ≤ q ≤ ∞
T (Cd(N))q := {f ∈ T (Cd(N)) : ‖f‖q ≤ 1}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ . . . 689
Теорема A. Пусть t ∈ T (Cd(2n)), n ∈ N. Тогда при 1 ≤ q < p ≤ ∞ имеет место
неравенство
‖t‖p ≤ 2d · 2nd(1/q−1/p)‖t‖q. (5)
Неравенство (5) установлено С. М. Никольским [2] и называется „неравенством разных
метрик”.
Следующее утверждение касается оценок колмогоровских поперечников классов T (Cd(N))2
в пространстве L∞(πd).
Напомним определение колмогоровского поперечника. Пусть Φ — центрально-симметричное
множество банахова пространства X с нормой ‖ · ‖X и LM — совокупность всевозможных под-
пространств LM в X размерности, не превышающей M (dimLM ≤M ).
Величина
dM (Φ;X) := inf
LM⊂LM
sup
f∈Φ
inf
u∈LM
‖f − u‖X
называется M -мерным колмогоровским поперечником множества Φ в пространстве X.
Лемма A [11]. Пусть n ∈ N. Тогда
dM (T (Cd(2n))2, L∞(πd))�M−1/22nd/2
(
log
(
1 +
2nd
M
))1/2
.
Теперь перейдем к формулировке и доказательству основного результата.
Теорема 1. Пусть 1 ≤ θ ≤ ∞. Имеют место соотношения
τM (B r
p, θ)q �
M−r/d+1/p−1/q, 1 ≤ p ≤ q ≤ 2, r > 2d
(
1
p
− 1
q
)
,
M−r/d, 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞, r > d,
или 2 ≤ q ≤ p ≤ ∞, r > 0,
M−r/d+1/p−1/2, 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞, r >
2d
p
.
Доказательство. Установим сначала оценки сверху. Заметим, что при этом достаточно
установить требуемые оценки сверху в случае θ =∞, т. е. для величин τM (Hr
p)q.
Итак, пусть задана функция f(t), t = (t1, . . . , t2d) ∈ R2d и f ∈ Hr
p . Определим полиномы
An(f ; z) := f(t) ∗ (V2n(t)− V2n−1(t)), n = 1, 2, . . . ,
Ao(f ; z) = f(t) ∗ V1(t).
Здесь z = (z1, . . . , z2d) ∈ R2d.
В силу сходимости при n −→ ∞ средних Валле Пуссена к функции f в пространстве
Lp(π2d), функция f ∈ Hr
p представима в виде
f(z) =
∞∑
n=0
An(f ; z) (6)
в смысле сходимости ряда в Lp(π2d).
Известно также, что для f ∈ Hr
p , 1 ≤ p ≤ ∞,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
690 A. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
‖An(f ; ·)‖p � 2−rn. (7)
Рассмотрим случаи: 1 ≤ p = q ≤ 2, r > 0 и 2 ≤ q ≤ p, r > 0. Пусть m ∈ N. В качестве
приближающей функции для f рассмотрим функцию
g1(z) = f(t) ∗ V2m−1(t) =
m−1∑
n=0
An(f ; z). (8)
Тогда согласно определению ядра V2m−1(t) можем записать
g1(z) = g1(x, y) =
∑
k∈Cd(2m−1)
ck(y)ei(k,x) =
M1∑
j=0
uj(x)vj(y), (9)
где x = (z1, . . . , zd), y = (zd+1, . . . , z2d), M1 = (2m+1 − 1)d � 2md и ck, uj , vj ∈ Lq(πd).
Исходя из представления (9) и принимая во внимание (6) – (8), получаем
τM1(f)q ≤ ‖f − g1‖q =
∥∥∥∥ ∞∑
n=m
An(f ; ·)
∥∥∥∥
q
≤
∞∑
n=m
∥∥∥∥An(f ; ·)
∥∥∥∥
q
�
∞∑
n=m
2−rn � 2−rm �M−r/d1 .
Отсюда очевидным образом следует оценка τM (f)q � M−r/d при любом M ∈ N, которая
влечет оценку сверху величины τM (Br
p,θ)q в случаях 1 ≤ p = q ≤ 2, r > 0 и 2 ≤ q ≤ p ≤ ∞,
r > 0.
При установлении оценок сверху для остальных соотношений между параметрами p, q,
охватываемых теоремой 1, за исходные возьмем соотношения (6) и (8), из которых следует
представление произвольной функции f ∈ Lq(π2d), 1 ≤ q ≤ ∞, в виде
f(z) = g1(z) +
∞∑
n=m
An(f ; z) (10)
при любых m = 2, 3, . . . .
Тогда если M ∈ N — произвольное заданное число (M > 2(m+1)d) и последовательность
{Mn}∞n=2 натуральных чисел такова, что M1 +
∑∞
n=m
Mn ≤M, то
τM (f)q ≤
∞∑
n=m
τMn(An(f ; ·))q. (11)
Приняв во внимание соотношение (11), по заданной последовательности {Mn}∞n=2 постро-
им вначале функции вида
gn(z) = gn(x, y) =
Mn∑
j=1
unj (x)vnj (y), n = 2, 3, . . . , (12)
с unj , v
n
j ∈ Lq(πd), j = 1, . . . ,Mn, надлежащим образом приближающие в Lq(π2d) функции
An(f ; ·), f ∈ Lp(π2d) при 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞.
Для n ≥ 2 представим полином An(f ; z) в виде
An(f ; z) = 2−2d(n+3)
∑
µ,ν
An(f ;xµ, yν)V2n+1(x− xµ, y − yν),
где
µ = (µ1, . . . , µd), ν = (ν1, . . . , νd),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ . . . 691
xµj =
µjπ
2n+2
, µj = 0, 1, . . . , 2n+3 − 1, j = 1, d,
yνj =
νjπ
2n+2
, νj = 0, 1, . . . , 2n+3 − 1, j = 1, d.
Пусть Bn обозначает множество, состоящее из Mn точек (xµ, yν) с наибольшими числами∣∣An(f ;xµ, yν)
∣∣. Положим
gn(x, y) := 2−2d(n+3)
∑
µ,ν:(xµ,yν)∈Bn
An(f ;xµ, yν)V2n+1(x− xµ, y − yν). (13)
Очевидно, что функции, определяемые равенством (13), представляются (так же, как и функция
g1(x, y)) в виде (12), и согласно оценке, полученной в [10], для любой функции f ∈ Lp(π2d)
при 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ и n ≥ 2 можем записать
‖An(f ; ·)− gn(·)‖q � min{M−βn ; 1}22ndβ‖An(f ; ·)‖p, β =
1
p
− 1
q
. (14)
Докажем вспомогательное утверждение, на котором базируются промежуточные оценки
величин τM (Hr
p).
Лемма 1. Пусть f ∈ T (C2d(2n)), n ∈ N. Тогда
τM (f)∞ �M−12nd log
(
1 +
2nd
M
)
‖f‖2. (15)
Доказательство. Пусть n ∈ N, 2 ≤ M ≤ dimT (Cd(2n)) = (2n+1 + 1)d и M :=
[
M
2
]
,
где [c] — целая часть числа c ∈ R. Поскольку функция f(z) = f(x, y), x = (z1, . . . , zd),
y = (zd+1, . . . , z2d), при каждом фиксированном y ∈ Rd принадлежит множеству T (Cd(2n)),
при любых заданных vj ∈ L∞(πd) найдутся функции uj(x), j = 1,M (uj ∈ L∞(πd)), такие,
что при каждом y ∈ Rd справедлива оценка∥∥∥∥∥f(·, y)−
M∑
j=1
uj(·)vj(y)
∥∥∥∥∥
∞
� dM (T (Cd(2n))2;L∞(πd))‖f(·, y)‖2. (16)
Положим
ψ(x, y) = f(x, y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y).
Тогда из (16) имеем ∥∥∥∥‖ψ(·, y)‖∞
∥∥∥∥
2
� dM (T (Cd(2n))2, L∞(πd))‖f‖2. (17)
Пусть ψ(x, y) обозначает ортогональную проекцию функции ψ(x, y), как функции от y, на
T (Cd(2n)). Тогда
ψ(x, y) = f(x, y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y), (18)
где vj(y) — ортогональная проекция функции vj ∈ L∞(πd) на T (Cd(2n)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
692 A. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
Понятно, что
‖ψ(x, ·)‖2 ≤ ‖ψ(x, ·)‖2. (19)
Поскольку при каждом фиксированном x ∈ Rd функция ψ(x, y) принадлежит множеству
T (Cd(2n)), при любых заданных uj ∈ L∞(πd), j = M + 1, . . . ,M, найдутся функции vj(y),
j = M + 1, . . . ,M (vj ∈ L∞(πd)), такие, что при каждом x ∈ Rd∥∥∥∥∥ψ(x, ·)−
M∑
j=M+1
uj(x)vj(·)
∥∥∥∥∥
∞
� dM (T (Cd(2n))2;L∞(πd))‖ψ(x, ·)‖2. (20)
Исходя из определения τM (f)∞ и принимая во внимание (18) – (20), находим
τM (f)∞ ≤
∥∥∥∥‖f(x, ·)−
M∑
j=1
uj(x)vj(·)−
M∑
j=M+1
uj(x)vj(·)‖∞
∥∥∥∥
∞
≤
≤ dM (T (Cd(2n))2;L∞(πd))
∥∥‖ψ(x, ·)‖2
∥∥
∞ ≤
≤ dM (T (Cd(2n))2;L∞(πd))
∥∥‖ψ(·, y)‖∞
∥∥
2
.
Далее, воспользовавшись оценкой (17) для второго сомножителя и применив лемму А, получим
τM (f)∞ �
(
dM (T (Cd(2n))2;L∞(πd))
)2
‖f‖2 �M−12nd log
(
1 +
2nd
M
)
‖f‖2.
Лемма доказана.
Перейдем к установлению оценок сверху в теореме 1 для величин τM (Br
p, θ)q в случае
2 ≤ p ≤ q ≤ ∞, r > d. Очевидно, что искомую оценку достаточно установить для p = 2 и,
согласно отмеченному ранее, для значения θ =∞, т. е. для классов Hr
2 .
Итак, пусть f ∈ Hr
2 и m ∈ N. Отправляясь от соотношения (11), полагаем в нем
M1 = (2m+1 − 1)d � 2md,
Mn = [M12−α(n−m)], n ≥ m,
где α > 0 — пока произвольное число. ПустьM = C(α)2md, где C(α) > 0 достаточно большое.
ТогдаM0 := M1+
∑∞
n=m
Mn < M иM0 � 2md. Очевидно, существует n0 = n0(α) = [λm]+1,
λ > 1, такое, что Mn ≥ 1 при m ≤ n ≤ n0 и Mn = 0 при n > n0.
Далее, согласно лемме 1,
τMn(An(f ; ·))∞ �M−1
n 2nd log
(
1 +
2nd
Mn
)
‖An(f ; ·)‖2, n ≤ n0,
откуда с учетом неравенства (7), а затем теоремы А получаем
τMn(An(f ; ·))∞ �M−1
n 2−n(r−d) log
(
1 +
2nd
Mn
)
и
τM (f)q ≤ τM (f)∞ ≤
∞∑
n=m
τMn(An(f ; ·))∞ �
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ . . . 693
�M−1
1 2−αm
n0∑
n=m
2−n(r−d−α) log
(
1 +
2nd
Mn
)
+
∞∑
n=n0+1
2−n(r−d). (21)
Выберем α > 0 так, чтобы выполнялось неравенство r − d− α > 0 (это возможно, так как
в рассматриваемом случае r > d). Тогда из (21) находим
τM (f)q �M−1
1 2−αm2−m(r−d−α) + 2−n0(r−d) � 2−mr �M−r/d,
откуда получаем
τM (Br
p, θ)q �M−r/d
при 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ и r > d.
В случае 1 ≤ p < q ≤ 2, r > 2d
(
1
p
− 1
q
)
из соотношения (11), учитывая (14), для f ∈ Hr
p
при определенных выше n, n0, m и {Mn}∞n=1 получаем
τM (f)q ≤
n0∑
n=m
‖An(f ; ·)− gn(·)‖q +
∞∑
n=n0+1
‖An(f ; ·)‖q �
�
n0∑
n=m
M−βn 22ndβ‖An(f ; ·)‖p +
∞∑
n=n0+1
‖An(f ; ·)‖q �
�
n0∑
n=m
M−βn 22ndβ · 2−rn +
∞∑
n=n0+1
22nd(1/p−1/q)2−rn �
�M−β1 2−αβm
n0∑
n=m
2−n(r−β(2d+α)) +
∞∑
n=n0+1
2−n
(
r−2d(1/p−1/q)
)
.
Выбирая α > 0 так, чтобы выполнялось неравенство r − β(2d + α) > 0, из предыдущего
соотношения находим
τM (f)q �M−β1 2−αβm2−m(r−β(2d+α)) + 2−rm � 2−mr+mdβ �M−r/d+1/p−1/q.
Отсюда получаем
τM (Br
p,θ)q �M−r/d+1/p−1/q.
Для завершения установления оценок сверху в теореме 1 осталось рассмотреть случай
1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞, r > 2d
p
. Как и в предыдущем случае, достаточно ограничиться опреде-
ленными значениями параметров θ и q, а именно, θ =∞ и q =∞.
Для оценки сверху величины τM (Hr
p)∞, 1 ≤ p < 2, r >
2d
p
, отправным является снова соот-
ношение (11) со значениями m, M, {Mn}∞n=1, установленными при рассмотрении предыдущих
случаев.
Пусть f ∈ Hr
p и gn(z) = gn(x, y) — функции, определенные по формуле (13). Согласно
лемме 1
τMn(An(f ; ·)− gn(·))∞ �M−1
n 2nd log
(
1 +
2nd
Mn
)∥∥An(f ; ·)− gn(·)
∥∥
2
, (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
694 A. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
а в силу неравенства (14) с учетом (7)∥∥An(f ; ·)− gn(·)
∥∥
2
�M−γn 22ndγ ‖An(f ; ·)‖p �M−γn 22ndγ−nr, (23)
где γ =
1
p
− 1
2
.
Сопоставив (22) и (23), получим
τ2Mn(An(f ; ·))∞ �M−1−γ
n 2−n(r−2dγ−d) log
(
1 +
2nd
Mn
)
. (24)
Такая же оценка, очевидно, сохраняется и для τMn(An(f ; ·))∞. Приняв во внимание это обстоя-
тельство и подставив в (11) вместо τM (An(f ; ·))∞ правую часть (24), а также воспользовавшись
теоремой А, будем иметь
τM (f)∞ �
n0∑
n=m
M1−γ
n 2−n(r−2dγ−d) log
(
1 +
2nd
Mn
)
+
∞∑
n=n0+1
2
2nd· 1
p 2−nr �
�M
−1/2−1/p
1 2−αm(1/2+1/p)
n0∑
n=m
2αn(1/2+1/p)+nd+2nd(1/p−1/2)−nr log
(
1 +
2nd
Mn
)
+ 2−n0(r−2d/p) �
�M−1/2−1/p2−αm(1/2+1/p)
n0∑
n=m
2−n(r−2d/p−α(1/2+1/p)) log
(
1 +
2nd
Mn
)
+ 2−n0(r−2d/p). (25)
Выбирая α > 0 так, чтобы выполнялось неравенство r− 2d
p
−α
(
1
2
+
1
p
)
> 0
(
напомним,
что по условию r >
2d
p
)
, из (25) находим
τM (f)∞ �M−1/2−1/p2−αm(1/2+1/p)2−m(r−2d/p−α(1/2+1/p)) + 2−mr �
�M−1/2−1/p2−m(r−2d/p) +M−r/d �M−r/d+1/p−1/2. (26)
Соотношение (26) влечет оценку
τM (Br
p, θ)q �M−r/d+1/p−1/2
при 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ и r >
2d
p
.
Оценки сверху в теореме 1 установлены.
Для доказательства соответствующих оценок снизу используем экстремальные функции,
принадлежащие классам Br
p, θ, билинейные приближения которых совпадают по порядку с
указанными в теореме 1 оценками.
Ограничимся поиском таких функций на множестве функций 2d переменных ϕ(x, y) вида
ϕ(x, y) = f(x − y), где f, как функция d переменных, принадлежит классу Br
p, θ при θ = 1 (и
такая, что ϕ(x, y), как функция 2d переменных, принадлежит Br
p, 1).
Сформулируем еще одно вспомогательное утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ . . . 695
Лемма Б [10]. Пусть n ∈ N и M = 2nd. Тогда для любой функции
g(t) =
∑
k∈Cd(2n+1)
ĝ(k)ei(k,t), t ∈ Rd,
такой, что |ĝ(k)| ≤ 1 и |ĝ(k)| = 1 при k ∈ Cd(2n), выполнено соотношение
τM (g(x− y))2,1 �M1/2.
Пусть n ∈ N и 1 ≤ q1 ≤ 2. Установим сначала оценки снизу для величины τM (V2n(x−y))q1
при M = 2nd, где x = (x1, . . . , xd), y = (y1, . . . , yd), а Vm(t), m = 2, 3, . . . , t = (t1, . . . , td), —
кратное ядро Валле Пуссена. Пусть системы функций {uj(x)}Mj=1 и {vj(y)}Mj=1 таковы, что∥∥∥∥∥V2n(x− y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y)
∥∥∥∥∥
q1,1
≤ 2τM (V2n(x− y))q1,1. (27)
Поскольку для функции Vm
V2n+1(z) ∗ V2n(z) = V2n(t) (28)
и для f ∈ Lq1(πd)
‖V2n+1f‖q1 ≤ 3d‖f‖q1 , 1 ≤ q1 ≤ ∞, (29)
то, действуя на функцию под знаком нормы ‖ · ‖q1,1 в левой части (27) оператором свертки
V2n+1 (последовательно, как на функцию по каждой из переменных x и y), можно с учетом
(28) и (29) считать выполненным следующее. Во-первых, функции uj(x) и vj(y) являются три-
гонометрическими полиномами с „номерами” гармоник из множества Cd(2n+2) и, во-вторых,
согласно (27) – (29) справедлива оценка∥∥∥∥V2n(x− y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y)
∥∥∥∥
q1,1
� τM (V2n(x− y))q1,1. (30)
Таким образом, воспользовавшись сначала теоремой А, а затем неравенством (30), можем
записать∥∥∥∥V2n(x− y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y)
∥∥∥∥
2,1
� 2nd(1/q1−1/2)
∥∥∥∥V2n(x− y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y)
∥∥∥∥
q1,1
�
� 2nd(1/q1−1/2)τM (V2n(x− y))q1,1. (31)
Далее, учитывая, что для функции V2n выполняются условия леммы Б, из (31), применяя
лемму Б, находим
τM (V2n(x− y))q1 ≥ τM (V2n(x− y))q1,1 �
� 2−nd(1/q1−1/2)
∥∥∥∥V2n(x− y)−
M∑
j=1
uj(x)vj(y)
∥∥∥∥
2,1
� 2−nd(1/q1−1/2)M
1
2 � 2−nd(1/q1−1). (32)
Теперь рассмотрим функцию
f1(t) = C12−nd(r/d+1−1/p)V2n(t), t = (t1, . . . , td) ∈ Rd, C1 > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
696 A. С. РОМАНЮК, В. С. РОМАНЮК
При надлежащем выборе постоянной C1 > 0 эта функция принадлежит классу Br
p,1. В самом
деле, поскольку
‖V2n‖p � 2nd(1−1/p), 1 ≤ p ≤ ∞,
согласно (2) можем записать
‖V2n‖Brp,1 �
∑
s
2sr‖σs(V2n , ·)‖p =
=
n+1∑
s=0
2sr‖σs(V2n , ·)‖p � 2(n+1)r2d(n+1)(1−1/p) � 2nd(r/d+1−1/p),
а значит, существует постоянная C1 > 0 такая, что f1 ∈ Br
p,1.
С учетом неравенства (32) окончательно имеем
τM (Br
p,1)q1 ≥ τM (f1(x− y))q1 � 2−nd(r/d+1−1/p)τM (V2n(x− y))q1 �
� 2−nd(r/d+1−1/p)2−nd(1/q1−1) = 2−nd(r/d−1/p+1/q1) �M−r/d+1/p−1/q1 (33)
при 1 ≤ p ≤ ∞ и 1 ≤ q1 ≤ 2.
Из соотношения (33) следует оценка
τM (Br
p,θ)q �M−r/d+1/p−1/q
при 1 ≤ θ ≤ ∞, 1 ≤ p ≤ q ≤ 2 и r > 0.
При q1 = 2, 1 ≤ p < 2 из (33) получаем
τM (Br
p,1)2 �M−r/d+1/p−1/2
и так как, очевидно, τM (Br
p,1)q ≥ τM (Br
p,1)2, 2 < q < ∞, при 1 ≤ p < 2 < q ≤ ∞ справедлива
оценка
τM (Br
p,1)q �M−r/d+1/p−1/2.
В оставшихся случаях 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞, r > d
2
и 2 ≤ q ≤ p ≤ ∞, r > 0 достаточно устано-
вить искомые оценки снизу для q = 2.
Пусть M ∈ N задано (M > 2d). Выберем число n ∈ N так, что 2nd < M ≤ 2(n+1)d, и
рассмотрим функцию
f2(t) = C22−nd(r/d+1/2)Rn(t), t = (t1, . . . , td), C2 > 0,
где
Rn(t) =
d∏
j=1
2n+1−1∑
l=2n
εle
iltj , εl ∈ {−1, 1}, n = 1, 2, . . . ,
— полином Рудина – Шапиро. Известно (см., например, [19, c. 155]), что ‖Rn‖∞ � 2nd/2.
Поскольку
‖Rn‖Brp,1 =
∑
s
2sr‖σs(Rn; ·)‖p � 2(n+1)r‖Rn‖p � 2(n+1)r‖Rn‖∞ � 2nr2nd/2 = 2nd(r/d+1/2),
при соответствующем выборе постоянной C2 > 0 функция f2 принадлежит Br
p,1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАИЛУЧШИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ . . . 697
Далее, согласно лемме Б выполняется неравенство
τM (Rn(x− y))2,1 �M1/2,
из которого следует
τM (f2)2 � 2−nd(r/d+1/2)τM (Rn(x− y))2,1 �
� 2−nd(r/d+1/2)M1/2 �M−r/d−1/2M1/2 = M−r/d.
Таким образом, в силу сделанных выше замечаний последнее соотношение влечет нера-
венство
τM (Br
p, θ)q �M−r/d
при r > 0, 1 ≤ θ ≤ ∞ и 2 ≤ p ≤ q ≤ ∞ или 2 ≤ q ≤ p ≤ ∞.
Теорема 1 доказана.
1. Бесов О. В. Исследования одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и
продолжения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1961. – 60. – С. 42 – 61.
2. Никольский С. М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференци-
руемых функций многих переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1951. – 38. – С. 244 – 278.
3. Лизоркин П. И. Обобщенные гельдеровы пространства B(r)
p,θ и их соотношение с пространствами Соболева
L
(r)
p // Сиб. мат. журн. – 1968. – 9, № 5. – С. 1127 – 1152.
4. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichlincaren Integralgleichungen. I // Math. Ann. – 1907. – 63. – S. 433 – 476.
5. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Оценки сингулярных чисел интегральных операторов // Успехи мат. наук. –
1977. – 32, № 1. – С. 17 – 84.
6. Мирошин Н. В., Хромов В. В. Об одной задаче наилучшей аппроксимации функций многих переменных //
Мат. заметки. – 1982. – 32, № 5. – С. 721 – 727.
7. Исмагилов Р. С. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций
тригонометрическими многочленами // Успехи мат. наук. – 1974. – 29, № 3. – С. 161 – 178.
8. Micchelli C. A., Pinkus A. Some problems in the approximation of functions of two variables and n-widths of integral
operators // J. Approxim. Theory. – 1978. – 24. – P. 51 – 77.
9. Cheney E. M. The best approximation of multivariate functions by combinations of univariate ones // J. Approxim.
Theory. Ser. IV. – 1983. – P. 1 – 26.
10. Темляков В. Н. Приближение периодических функций многих переменных комбинациями функций, зависящих
от меньшего числа переменных // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1986. – 173. – С. 243 – 252.
11. Темляков В. Н. Оценки наилучших билинейных приближений периодических функций // Тр. Мат. ин-та АН
СССР. – 1988. – 181. – С. 250 – 267.
12. Темляков В. Н. Билинейная аппроксимация и приложения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1989. – 187. – С. 191 –
215.
13. Темляков В. Н. Билинейная аппроксимация и близкие вопросы // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1992. – 194. –
С. 229 – 248.
14. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178. – С. 1 – 112.
15. Романюк А. С. Билинейные и тригонометрические приближения классов Бесова Brp,θ периодических функций
многих переменных // Изв. РАН. Сер. мат. – 2006. – 70, № 2. – С. 69 – 98.
16. Романюк А. С., Романюк В. С. Асимптотические оценки наилучших тригонометрических и билинейных
приближений классов функций нескольких переменных // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 4. – С. 536 – 551.
17. Бабаев М.-Б. А. Приближение соболевских классов функций суммами произведений функций меньшего числа
переменных // Мат. заметки. – 1990. – 48, № 6. – С. 10 – 21.
18. Бабаев М.-Б. А. О порядке приближения соболевского класса W r
q билинейными формами // Мат. сб. – 1991. –
182, № 1. – С. 122 – 129.
19. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. – М.: Наука, 1984. – 495 с.
Получено 27.10.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2608 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:45Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/78/aa9c045ec397b4ab1601f837d474b078.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26082020-03-18T19:30:33Z Best bilinear approximations of functions from Nikolskii-Besov classes Наилучшие билинейные приближения функций из пространств Никольского - Бесова Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. We obtain exact-order estimates for the best bilinear approximations of Nikol'skii-Besov classes in the spaces of functions $L_q (\pi_{2d})$. Знайдено точнi за порядком оцiнки величин найкращих бiлiнiйних наближень на класах Нiкольського – Бєсова у функцiональних просторах $L_q (\pi_{2d})$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2608 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 5 (2012); 685-697 Український математичний журнал; Том 64 № 5 (2012); 685-697 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2608/1975 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2608/1976 Copyright (c) 2012 Romanyuk A. S.; Romanyuk V. S. |
| spellingShingle | Romanyuk, A. S. Romanyuk, V. S. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Романюк, А. С. Романюк, В. С. Best bilinear approximations of functions from Nikolskii-Besov classes |
| title | Best bilinear approximations of functions from Nikolskii-Besov classes |
| title_alt | Наилучшие билинейные приближения функций из пространств Никольского - Бесова |
| title_full | Best bilinear approximations of functions from Nikolskii-Besov classes |
| title_fullStr | Best bilinear approximations of functions from Nikolskii-Besov classes |
| title_full_unstemmed | Best bilinear approximations of functions from Nikolskii-Besov classes |
| title_short | Best bilinear approximations of functions from Nikolskii-Besov classes |
| title_sort | best bilinear approximations of functions from nikolskii-besov classes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2608 |
| work_keys_str_mv | AT romanyukas bestbilinearapproximationsoffunctionsfromnikolskiibesovclasses AT romanyukvs bestbilinearapproximationsoffunctionsfromnikolskiibesovclasses AT romanûkas bestbilinearapproximationsoffunctionsfromnikolskiibesovclasses AT romanûkvs bestbilinearapproximationsoffunctionsfromnikolskiibesovclasses AT romanûkas bestbilinearapproximationsoffunctionsfromnikolskiibesovclasses AT romanûkvs bestbilinearapproximationsoffunctionsfromnikolskiibesovclasses AT romanyukas nailučšiebilinejnyepribliženiâfunkcijizprostranstvnikolʹskogobesova AT romanyukvs nailučšiebilinejnyepribliženiâfunkcijizprostranstvnikolʹskogobesova AT romanûkas nailučšiebilinejnyepribliženiâfunkcijizprostranstvnikolʹskogobesova AT romanûkvs nailučšiebilinejnyepribliženiâfunkcijizprostranstvnikolʹskogobesova AT romanûkas nailučšiebilinejnyepribliženiâfunkcijizprostranstvnikolʹskogobesova AT romanûkvs nailučšiebilinejnyepribliženiâfunkcijizprostranstvnikolʹskogobesova |