Approximation by interpolation trigonometric polynomials on classes of periodic analytic functions
We establish asymptotically unimprovable interpolation analogs of Lebesgue-type inequalities on the sets $C^{\psi}_{\beta}L_p$ of $(\psi, \beta)$-differentiable functions generated by sequences $\psi(k)$ that satisfy the d'Alembert conditions. We find asymptotic equalities for the least up...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2609 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508534492364800 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:33Z |
| description | We establish asymptotically unimprovable interpolation analogs of Lebesgue-type inequalities on the sets $C^{\psi}_{\beta}L_p$ of $(\psi, \beta)$-differentiable functions generated by sequences $\psi(k)$ that satisfy the d'Alembert conditions.
We find asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations by interpolation trigonometric polynomials on the classes $C^{\psi}_{\beta, p},\;\; 1 \leq p \leq \infty$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
А. С. Сердюк (Iн-т математики НАН України, Київ)
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ
ПОЛIНОМАМИ НА КЛАСАХ ПЕРIОДИЧНИХ АНАЛIТИЧНИХ ФУНКЦIЙ
We establish asymptotically unimprovable interpolation analogs of Lebesgue-type inequalities on the sets Cψβ Lp of (ψ, β)-
differentiable functions generated by sequences ψ(k) that satisfy the d’Alembert conditions. We find asymptotic equalities
for the least upper bounds of approximations by interpolation trigonometric polynomials on the classes Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞.
Установлены асимптотически неулучшаемые интерполяционные аналоги неравенств типа Лебега на множествах
(ψ, β)-дифференцируемых функций Cψβ Lp, порождаемых последовательностями ψ(k), удовлетворяющими услови-
ям Даламбера. Найдены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений интерполяционными
тригонометрическими полиномами на классах Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞.
У цiй роботi продовжуються дослiдження [1 – 4] по вивченню апроксимацiйних властивостей
iнтерполяцiйних тригонометричних полiномiв Лагранжа на введених О. I. Степанцем [5, 6]
класах (ψ, β)-диференцiйовних функцiй CψβN.
Через Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, як прийнято, позначатимемо простори 2π-перiодичних сумовних
функцiй ϕ зi скiнченними нормами ‖ϕ‖p, де при p ∈ [1,∞)
‖ϕ‖p = ‖ϕ‖Lp =
2π∫
0
|ϕ(t)|pdt
1/p ,
а при p =∞
‖ϕ‖∞ = ‖ϕ‖M = ess sup
t
|ϕ(t)|,
через C — простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй ϕ, в якому норма задається рiвнiстю
‖ϕ‖C = max
t
|ϕ(t)|.
Позначимо через CψβN, N ⊂ L1, множину неперервних 2π-перiодичних функцiй f(x), якi при
всiх x ∈ R можна зобразити у виглядi згортки
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)Ψβ(t)dt, ϕ ∈ N, ϕ ⊥ 1, (1)
з фiксованим сумовним ядром Ψβ(t), ряд Фур’є якого має вигляд
Ψβ(t) ∼
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, ψ(k) > 0, β ∈ R. (2)
Функцiю ϕ у рiвностi (1) називають (ψ, β)-похiдною функцiї f i позначають через fψβ (·), з
iншого боку, функцiю f називають (ψ, β)-iнтегралом функцiї ϕ i позначають через J ψβ (ϕ).
В рамках даної роботи будемо вважати, що послiдовнiсть ψ(k) коефiцiєнтiв ядра Ψβ(t)
вигляду (2) задовольняє умову Dq, q ∈ [0, 1), яка полягає у виконаннi рiвностi
lim
k→∞
ψ(k + 1)
ψ(k)
= q. (3)
c© А. С. СЕРДЮК, 2012
698 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 699
Цей факт будемо записувати так: ψ ∈ Dq. Якщо ψ ∈ Dq, q ∈ [0, 1), то (див., наприклад, [6,
с. 139 – 141]) класиCψβN складаються з 2π-перiодичних функцiй f(x), якi допускають регулярне
продовження у смугу |Imz| ≤ ln
1
q
комплексної площини.
Важливим прикладом ядер Ψβ(t) вигляду (2), коефiцiєнти ψ(k) яких задовольняють умо-
ву (3) при 0 < q < 1, є вiдомi ядра Пуассона
Pq,β(t) =
∞∑
k=1
qk cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R. (4)
Класи CψβN, породженi ядрами (4), будемо позначати через CqβN, (ψ, β)-похiднi функцiй f —
через f qβ , а (ψ, β)-iнтеграли функцiй ϕ — через J qβϕ. У роботi як N використовуватимуться,
зокрема, множини U0
p = {ϕ ∈ Lp : ‖ϕ‖p ≤ 1, ϕ ⊥ 1}. При цьому для зручностi покладемо
Cψβ U
0
p = Cψβ,p, C
q
βU
0
p = Cqβ,p.
Нехай f ∈ C. Через S̃n−1(f ;x) позначатимемо тригонометричний полiном порядку n − 1,
що iнтерполює f(x) у вузлах x(n−1)k =
2kπ
2n− 1
, k ∈ Z, тобто такий, що
S̃n−1(f ;x
(n−1)
k ) = f(x
(n−1)
k ), k ∈ Z.
Простiр тригонометричних полiномiв tn−1, порядок яких не перевищує n − 1, позначимо
через T2n−1. Величина
En(f)Lp = inf
tn−1∈T2n−1
‖f − tn−1‖p, 1 ≤ p ≤ ∞,
є найкращим наближенням функцiї f ∈ Lp у метрицi простору Lp тригонометричними полiно-
мами порядку n− 1.
У данiй роботi для ψ ∈ Dq, q ∈ [0, 1), i довiльних β ∈ R, x ∈ R i 1 ≤ p ≤ ∞ встановлено
асимптотично непокращуванi нерiвностi типу Лебега для величин
ρ̃n(f ;x) = f(x)− S̃n−1(f ;x)
при f ∈ Cψβ Lp, а також асимптотичнi при n→∞ рiвностi для величин
Ẽn(Cψβ,p;x) = sup
f∈Cψβ,p
|ρ̃n(f ;x)|.
Основними результатами роботи є наступнi твердження.
Теорема 1. Нехай ψ ∈ Dq, 0 < q < 1, β ∈ R i 1 ≤ p ≤ ∞. Тодi якщо f ∈ Cψβ Lp, то для
довiльних n ∈ N i x ∈ R при n→∞
|ρ̃n(f ;x)| ≤ ψ(n)
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q)+
+O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
En(fψβ )Lp . (5)
При цьому для довiльних x ∈ R, n ∈ N i f ∈ Cψβ Lp знайдеться функцiя F (·) = F (f ;n;x; ·)
така, що En(Fψβ )Lp = En(fψβ )Lp i при n→∞ виконується рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
700 А. С. СЕРДЮК
|ρ̃n(F ;x)| = ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q)+
+O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
En(Fψβ )Lp . (6)
У формулах (5) i (6) p′ = p/(p− 1),
K(α, q) =
1
21+1/α
∥∥∥∥∥ 1√
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
α
, (7)
εn = εn(ψ) = sup
k≥n
∣∣∣∣∣ψ(k + 1)
ψ(k)
− q
∣∣∣∣∣, (8)
s(p) =
1, p =∞,
2, 1 ≤ p <∞,
(9)
а величини O(1) рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Iз теореми 1 випливає, зокрема, що нерiвнiсть (5) є асимптотично непокращуваною на
всьому просторi Cψβ Lp при кожному x ∈ R, q ∈ (0, 1), β ∈ R i 1 ≤ p ≤ ∞. Виявляється,
що ця нерiвнiсть залишається асимптотично точною i на деяких важливих пiдмножинах з
Cψβ Lp. Зокрема, розглядаючи точнi верхнi межi в обох частинах нерiвностi (5) по класах Cψβ,p,
отримуємо нерiвнiсть
Ẽn(Cψβ,p;x) ≤ ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q)+
+O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
. (10)
Наступна теорема показує, що у спiввiдношеннi (10) замiсть „≤” можна поставити знак „=”.
Теорема 2. Нехай ψ ∈ Dq, 0 < q < 1, β ∈ R i 1 ≤ p ≤ ∞. Тодi для довiльних x ∈ R при
n→∞ виконується асимптотична рiвнiсть
Ẽn(Cψβ,p;x) = ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q)+
+O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
, (11)
в якiй p′, K(p′, q), εn, s(p) i O(1) мають той же сенс, що i в теоремi 1.
Зазначимо, що рiвнiсть (11) є iнтерполяцiйним аналогом асимптотичної рiвностi для точної
верхньої межi рiвномiрних наближень функцiй f iз класу Cψβ,p частинними сумами Фур’є
Sn−1(f) порядку n− 1
En(Cψβ,p)C = sup
f∈Cψβ,p
‖f − Sn−1(f)‖C ,
яку було знайдено в [7, c. 1090] i яка має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 701
En(Cψβ,p)C = ψ(n)
(
2
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q) +O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
. (12)
Зiставлення (11) i (12) дозволяє записати спiввiдношення
Ẽn(Cψβ,p;x) = 2
∣∣∣∣sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
En(Cψβ,p)C +O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
, (13)
яке справджується при довiльних ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), β ∈ R, x ∈ R i 1 ≤ p ≤ ∞. При p = ∞
спiввiдношення (13) встановлено в [1, c. 1692]. Зауважимо також, що формула (11) доповнює
результат роботи [8, c. 279, 280], де було знайденo асимптотичнi рiвностi Ẽn(Cψβ,p;x) за умови,
що ψ ∈ D0.
Важливим прикладом ядер Ψβ(t) вигляду (2), коефiцiєнти ψ(k) яких задовольняють умову
ψ ∈ Dq, є полiгармонiчнi ядра Пуассона (див. [9, c. 256, 257])
Pq,β(m, t) =
∞∑
k=1
ψm(k) cos
(
kt− βπ
2
)
, m ∈ N, β ∈ R, (14)
де
ψm(k) = qk
(
1 +
m−1∑
j=1
(1− q2)j
j!2j
j−1∏
l=0
(k + 2l)
)
, q ∈ (0, 1), (15)
та ядра Неймана (див. [6, c. 361])
Nq,β(t) =
∞∑
k=1
qk
k
cos
(
kt− βπ
2
)
, q ∈ (0, 1), β ∈ R. (16)
Для величин εn вигляду (8), що породжуються послiдовностями ψ(k) =
qk
k
(у випадку ядер
Nq,β(t)), елементарно доводиться оцiнка
εn ≤
q
n
, n ∈ N. (17)
Що ж стосується величин εn, породжених послiдовностями ψ(k) = ψm(k) ядер Pq,β(m, t), то
при m = 1 для них справджується очевидна тотожнiсть
εn ≡ 0, (18)
а при m ∈ N \ {1}, як доведено в [10, c. 108] (див. також [11, c. 180]), виконується нерiвнiсть
εn = εn(m) ≤ (2m− 3)q
n
, n ∈ N. (19)
Iз теореми 2 та нерiвностей (17) – (19) отримуємо наступнi твердження.
Наслiдок 1. Нехай класи Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, породжуються полiгармонiчними ядрами Пу-
ассона Pq,β(m, t) вигляду (14). Тодi для довiльних x ∈ R при n → ∞ i m = 1 виконується
асимптотична рiвнiсть
Ẽn(Cψβ,p;x) =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣qn
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q) +O(1)
q
n(1− q)s(p)
)
, (20)
а при m ∈ N \ {1} — асимптотична рiвнiсть
Ẽn(Cψβ,p;x) =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣qn
(
1 +
m−1∑
j=1
(1− q2)j
j!2j
j−1∏
l=0
(n+ 2l)
)
×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
702 А. С. СЕРДЮК
×
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q) +O(1)
mq
n(1− q)2
)
. (21)
У рiвностях (20) i (21) p′ = p/(p − 1), K(p′, q) означено формулою (7), а величини O(1)
рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх розглядуваних параметрiв.
Наслiдок 2. Нехай класи Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, породжуються ядрами Неймана Nq,β(t) ви-
гляду (16). Тодi для довiльних x ∈ R при n→∞ виконується асимптотична рiвнiсть
Ẽn(Cψβ,p;x) =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣qnn
(
4
π1+1/p′
‖ cos t‖p′K(p′, q) +O(1)
q
n(1− q)2
)
, (22)
в якiй p′, K(p′, q) i O(1) мають той же сенс, що i у наслiдку 1.
При 1 ≤ p′ <∞ залежнiсть величини K(p′, q) вiд параметрiв p′ i q виражається формулою
K(p′, q) =
π1/p
′
2
(
1 +
∞∑
k=1
(
(p
′
2 )k
k!
)2
q2k
)1/p′
, (23)
де (
p′
2
)
k
=
p′
2
(
p′
2
+ 1
)(
p′
2
+ 2
)
· · ·
(
p′
2
+ k − 1
)
.
Щоб переконатись у справедливостi (23), досить з урахуванням зображення
π∫
−π
(1− 2q cosx+ q2)−p
′/2dx =
π∫
−π
(1− qeix)−p
′/2(1− qe−ix)−p
′/2dx
та вiдомого розкладу
(1− qeix)−
p′
2 = 1 +
∞∑
k=1
(p′/2)k
k!
qkeikx, x ∈ R, q ∈ (0, 1), (24)
використати рiвнiсть Парсеваля.
Позначивши через F (a, b; c; z) гiпергеометричну функцiю Гаусса
F (a, b; c; z) = 1 +
∞∑
k=1
(a)k(b)k
(c)k
zk
k!
,
iз (23) i (24) одержуємо
K(p′, q) =
π1/p
′
2
F 1/p′
(
p′
2
,
p′
2
; 1; q2
)
, 1 ≤ p′ <∞, q ∈ (0, 1). (25)
На пiдставi (25) асимптотичну рiвнiсть (11) при 1 ≤ p′ <∞ можна записати у виглядi
Ẽn(Cψβ,p;x) = ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π
‖ cos t‖p′F 1/p′
(
p′
2
,
p′
2
; 1; q2
)
+
+O(1)
(
q
n(1− q)s(p)
+
εn
(1− q)2
))
. (26)
Зокрема, при p′ = 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 703
K(p′, q) = K(1, q) =
π
2
F
(
1
2
,
1
2
; 1; q2
)
= K(q), (27)
де K(q) =
∫ π/2
0
du√
1− q2 sin2 u
— повний елiптичний iнтеграл першого роду, а при p′ = 2
K(p′, q) = K(2, q) =
√
π
2
F 1/2(1, 1; 1; q2) =
√
π
2
√
1− q2
. (28)
Iз (26) – (28) маємо
Ẽn(Cψβ,∞;x) = ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
16
π2
K(q) +O(1)
(
q
n(1− q)
+
εn
(1− q)2
))
, (29)
Ẽn(Cψβ,2;x) = ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2√
π(1− q2)
+O(1)
εn + q/n
(1− q)2
)
. (30)
Рiвнiсть (29) встановлено в роботi [1, c. 1691].
При p′ =∞, як випливає з (7),
K(p′, q) = K(∞, q) =
1
2
∥∥∥∥∥ 1√
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
∞
=
1
2(1− q)
. (31)
Iз (11) i (31) отримуємо асимптотичну формулу
Ẽn(Cψβ,1;x) = ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π(1− q)
+O(1)
εn + q/n
(1− q)2
)
. (32)
Асимптотичнi рiвностi (30) i (32) одержано вперше.
Доповненням теореми 1 при q = 0 є наступне твердження.
Теорема 3. Нехай ψ ∈ D0, β ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞, x ∈ R i n ∈ N. Тодi якщо f ∈ Cψβ C або
f ∈ Cψβ L∞, то при n→∞
|ρ̃n(f ;x)| ≤
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
8
π
ψ(n) +O(1)
(
ψ2(n+ 1)
ψ(n)
+
∞∑
k=n+2
ψ(k)
))
En(fψβ )L∞ , (33)
якщо ж f ∈ Cψβ Lp, 1 ≤ p <∞, то при n→∞
|ρ̃n(f ;x)| ≤
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π
‖ cos t‖p′ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
En(fψβ )Lp . (34)
При цьому для довiльних f ∈ Cψβ C
(
Cψβ L∞
)
, x ∈ R i n ∈ N знайдеться функцiя F (·) =
= F (f ;n;x; ·) ∈ Cψβ C така, що En(Fψβ )C = En(fψβ )L∞ i при n→∞ виконується рiвнiсть
|ρ̃n(F ;x)| =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
8
π
ψ(n) +O(1)
(
ψ2(n+ 1)
ψ(n)
+
∞∑
k=n+2
ψ(k)
))
En(Fψβ )C , (35)
а для довiльних f ∈ Cψβ Lp, 1 ≤ p <∞, n ∈ N i x ∈ R знайдеться функцiя F (·) = F (f ;n;x; ·) ∈
∈ Cψβ Lp така, що En(Fψβ )Lp = En(fψβ )Lp i при n→∞ виконується рiвнiсть
|ρ̃n(F ;x)| =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π
‖ cos t‖p′ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
En(Fψβ )Lp . (36)
У формулах (34) i (36) p′ = p/(p − 1), а величини O(1) рiвномiрно обмеженi вiдносно всiх
розглядуваних параметрiв.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
704 А. С. СЕРДЮК
Нерiвностi (33), (34) залишаються асимптотично непокращуваними не тiльки на всiх про-
сторах Cψβ L∞ та Cψβ Lp, 1 ≤ p <∞, при ψ ∈ D0 i кожному x ∈ R та β ∈ R, але й на таких
важливих їхнiх пiдмножинах, якими є класи Cψβ,∞ та Cψβ,p. Цей факт випливає з наступних
мiркувань. Розглянемо точнi верхнi межi в обох частинах нерiвностi (33) по класу Cψβ,∞ i точнi
верхнi межi в обох частинах нерiвностi (34) по класах Cψβ,p, 1 ≤ p <∞. В результатi одержимо
нерiвностi
Ẽn(Cψβ,∞;x) ≤
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
8
π
ψ(n) +O(1)
(
ψ2(n+ 1)
ψ(n)
+
∞∑
k=n+2
ψ(k)
))
, (37)
Ẽn(Cψβ,p;x) ≤
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π
‖ cos t‖p′ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
, 1 ≤ p <∞. (38)
Зiставляючи два останнi спiввiдношення з рiвностями (15) i (16) роботи [8, c. 279, 280], з яких,
зокрема, випливають асимптотичнi формули
Ẽn(Cψβ,∞;x) =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
8
π
ψ(n) +O(1)
(
ψ2(n+ 1)
ψ(n)
+
∞∑
k=n+2
ψ(k)
))
, (39)
Ẽn(Cψβ,p;x) =
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π
‖ cos t‖p′ψ(n) +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
, 1 ≤ p <∞, (40)
робимо висновок, що у спiввiдношеннях (37) i (38) насправдi можна поставити знаки рiвностi.
Доведення теореми 1. Нехай ψ ∈ Dq, 0 < q < 1. Тодi згiдно з лемою 1 роботи [1,
c. 1694] для довiльної функцiї f ∈ Cψβ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, β ∈ R, у кожнiй точцi x ∈ R має мiсце
iнтегральне зображення
ρ̃n(f ;x) =
2
π
sin
2n− 1
2
x
π∫
−π
δn(t+ x)
( ∞∑
k=n
ψ(k) cos(kt+ γn) + rn(t)
)
dt, (41)
в якому δn(τ) = fψβ (τ)− tn−1(τ), tn−1(·) — довiльний тригонометричний полiном iз множини
T2n−1, а rn(t) i γn означенi за допомогою рiвностей
rn(t) = rn(ψ;β;x; t) =
∞∑
k=1
∞∑
ν=(2k+1)n−k
ψ(ν) sin
(
νt+
(
k +
1
2
)
(2n− 1)x+
βπ
2
)
, (42)
γn = γn(β;x) =
(2n− 1)x+ π(β − 1)
2
. (43)
При цьому, згiдно з формулами (20) i (21) роботи [1, c. 1696], для залишкового члена rn(t) за
умови ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1), при достатньо великих n виконується оцiнка
|rn(t)| ≤
∞∑
k=1
∞∑
ν=(2k+1)n−k
ψ(ν) ≤ ψ(n)(q + εn)2n−1
(1− q − ε3n−1)(1− (q + εn)2n−1)
, (44)
в якiй εm = εm(ψ) = sup
k≥m
∣∣∣∣ψ(k+1)
ψ(k) − q
∣∣∣∣, m ∈ N. Крiм того, згiдно з лемою 1 роботи [12, c. 379]
справджується рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 705
∞∑
k=n
ψ(ν) cos(kt+ γn) = ψ(n)
(
q−n
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn) + r̄n(t)
)
, (45)
де для залишкового члена r̄n(t) = r̄n(ψ, γn, t), починаючи з деякого номера n0, виконується
нерiвнiсть
|r̄n(t)| ≤ εn
(1− q − εn)(1− q)
. (46)
Об’єднуючи спiввiдношення (41), (44) – (46), отримуємо формулу
ρ̃n(f ;x) =
2
π
ψ(n) sin
2n− 1
2
x
π∫
−π
δn(t+ x)
(
q−n
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)+
+O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)
))
dt. (47)
Беручи в (47) за tn−1(·) полiном t∗n−1(·) найкращого наближення у просторi Lp функцiї fψβ (·),
тобто такий, що
‖fψβ − t
∗
n−1‖p = En(fψβ )Lp , 1 ≤ p ≤ ∞,
i застосовуючи нерiвнiсть Гельдера
π∫
−π
|h(t)g(t)|dt ≤ ‖h‖p‖g‖p′ , h ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, g ∈ Lp′ ,
1
p
+
1
p′
= 1, (48)
для довiльної функцiї f ∈ Cψβ Lp маємо
|ρ̃n(f ;x)| ≤ 2
π
ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
q−n
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)
∥∥∥∥
p′
+
+O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)
))
En(fψβ )Lp . (49)
У роботi [7, c. 1087, 1088] (див. також [13, c. 1400, 1401]) доведено, що для довiльних q ∈ (0, 1),
ξ ∈ R i 1 ≤ α ≤ ∞ справедливою є асимптотична при n→∞ рiвнiсть∥∥∥∥∥
∞∑
k=n
qk cos(kt+ ξ)
∥∥∥∥∥
α
= qn
(
2
π1/α
‖ cos t‖αK(α, q) +O(1)
q
n(1− q)σ(α)
)
, (50)
в якiй
σ(α) =
1, α = 1,
2, 1 < α ≤ ∞,
K(α, q) означена рiвнiстю (7), а O(1) — величина, рiвномiрно обмежена по n, α, q i ξ. Викори-
стовуючи рiвнiсть (50) при α = p′ i ξ = γn, iз (49) одержуємо оцiнку (5).
Доведемо другу частину теореми 1. На пiдставi iнтегрального зображення (41), спiввiдно-
шень (44) – (46) та ортогональностi функцiї rn(t) вигляду (42) до будь-якого тригонометричного
полiнома tn−1 ∈ T2n−1, для довiльної функцiї f з множини Cψβ Lp, ψ ∈ Dq отримуємо рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
706 А. С. СЕРДЮК
ρ̃n(f ;x) =
2
π
ψ(n) sin
2n− 1
2
x
(
q−n
π∫
−π
fψβ (t+ x)
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)dt+
+O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)
)
En(fψβ )Lp
)
. (51)
Зауважимо, що для функцiї
gx(·) :=
1
π
π∫
−π
fψβ (t+ ·)
∞∑
k=1
qk cos(kt+ γn)dt,
де γn = γn(β;x) означена формулою (43), при кожному фiксованому x ∈ R
ρn(gx; ·) = f(·)− Sn−1(gx; ·) =
1
π
π∫
−π
fψβ (t+ ·)
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)dt
i, зокрема,
ρn(gx;x) =
1
π
π∫
−π
fψβ (t+ x)
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)dt. (52)
У вiдповiдностi з теоремою 3 роботи [14, c. 310] при кожному n ∈ N для функцiї gx(·)
знайдеться функцiя ϕ̄(t) = ϕ̄(n;x; t) така, що
En(ϕ̄)Lp = En(fψβ )Lp (53)
i для (q, 2γn/π)-iнтеграла цiєї функцiї ϕ̄, який позначимо через G (тобто G(·) = J q2γn/π(·)),
виконується рiвнiсть
‖ρn(G; ·)‖C = qn
(
2‖ cos t‖p′
π1+1/p′
K(p′, q) +O(1)
q
n(1− q)s(p)
)
En(fψβ )Lp , (54)
де
G(·) = J q2γn/πϕ̄(·) =
1
π
π∫
−π
ϕ̄(·+ t)
∞∑
k=1
qk cos(kt+ γn)dt.
Виберемо точку x0 таким чином, щоб виконувалась рiвнiсть
|ρn(G;x0)| = ‖ρn(G; ·)‖C . (55)
Розглянемо функцiю F (t) := J ψβ ϕ̄(t − x + x0) i покажемо, що вона буде шуканою. Дiйсно,
оскiльки Fψβ (t) = ϕ̄(t − x + x0), то з урахуванням (53) та iнварiантностi норми функцiї в Lp,
1 ≤ p ≤ ∞, вiдносно зсуву аргумента маємо
En(Fψβ )Lp = En(fψβ )Lp .
Крiм того, на пiдставi (51), (52), (54) i (55) для довiльного заданого x ∈ R отримуємо
|ρ̃n(F ;x)| = 2
π
ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
q−n
∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ̄(t+ x0)
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)dt
∣∣∣∣∣+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 707
+O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)
)
En(Fψβ )Lp
)
=
= 2ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
q−n‖ρn(G; ·)‖C +O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)
)
En(fψβ )Lp
)
=
= ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
4‖ cos t‖p′
π1+1/p′
K(p′, q) +O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)s(p)
))
En(fψβ )Lp .
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. Будемо вiдштовхуватись вiд iнтегрального зображення (47), яке
має мiсце для довiльної функцiї f з множини Cψβ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, ψ ∈ Dq, q ∈ (0, 1). Розглянемо
точнi верхнi межi модулiв обох частин рiвностi (47) при tn−1 ≡ 0 i довiльному фiксованому
x ∈ R по класу Cψβ,p. З огляду на iнварiантнiсть множини U0
p вiдносно зсуву аргументу будемо
мати
Ẽn(Cψβ,p;x) = sup
f∈Cψβ,p
|ρ̃n(f ;x)| =
=
2
π
ψ(n)
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
q−n sup
ϕ∈U0
p
π∫
−π
ϕ(t)
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)dt+
+O(1)
(
εn
(1− q)2
+
q
n(1− q)
))
. (56)
Як випливає iз спiввiдношень двоїстостi (див., наприклад, [15, c. 27])
sup
ϕ∈U0
p
π∫
−π
ϕ(t)
∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)dt = inf
λ∈R
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
qk cos(kt+ γn)− λ
∥∥∥∥
p′
. (57)
У роботi [7, c. 1087, 1088] доведено рiвномiрну вiдносно всiх розглядуваних параметрiв оцiнку
inf
λ∈R
∥∥∥∥ ∞∑
k=n
qk cos(kt+ ξ)− λ
∥∥∥∥
p′
=
= qn
(
‖ cos t‖p′
(2π)1/p′
∥∥∥∥∥ 1
1− 2q cos t+ q2
∥∥∥∥∥
p′
+O(1)
q
n(1− q)s(p)
)
=
= qn
(
2‖ cos t‖p′
π1/p′
K(p′, q) +O(1)
q
n(1− q)s(p)
)
, (58)
де q ∈ (0, 1),
1
p
+
1
p′
= 1, 1 ≤ p ≤ ∞, ξ ∈ R, n ∈ N, а K(p′, q) i s(p) означено формулами (7) i
(9) вiдповiдно. Застосовуючи оцiнку (58) при ξ = γn i враховуючи (56) i (57), одержуємо (11).
Теорему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
708 А. С. СЕРДЮК
Доведення теореми 3. Нехай f ∈ Cψβ,p, 1 ≤ p ≤ ∞, ψ ∈ D0. Згiдно з лемою 1 роботи [1,
c. 1694] має мiсце iнтегральне зображення (41). З огляду на (42) для залишкового члена rn(t)
у формулi (41) можна записати очевидну оцiнку
|rn(t)| ≤
∞∑
k=1
∞∑
ν=(2k+1)n−k
ψ(ν). (59)
Оскiльки для довiльної ψ ∈ D0 при досить великих n
∞∑
k=1
∞∑
ν=(2k+1)n−k
ψ(ν) ≤ 1
1− ε3n−1
∞∑
k=1
ψ((2k + 1)n− k), (60)
де εn = sup
k≥n
∣∣∣∣ψ(k + 1)
ψ(k)
∣∣∣∣, то на пiдставi (41), (59) i (60) маємо
ρ̃n(f ;x) =
2
π
sin
2n− 1
2
x
π∫
−π
δn(t+ x)
( ∞∑
k=n
ψ(k) cos(kt+ γn) +O(1)
∞∑
k=3n−1
ψ(k)
)
dt. (61)
Якщо f ∈ Cψβ L∞ (Cψβ C), то, взявши в (61) за tn−1 полiном t∗n−1 найкращого наближення у
просторi L∞ функцiї fψβ i застосувавши нерiвнiсть (48) при p =∞, одержимо оцiнку
|ρ̃n(f ;x)| ≤ 2
π
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(∥∥∥∥ ∞∑
k=n
ψ(k) cos(kt+ γn)
∥∥∥∥
1
+O(1)
∞∑
k=3n−1
ψ(k)
)
En(fψβ )L∞ . (62)
Як випливає з роботи [16, c. 512, 513],∥∥∥∥ ∞∑
k=n
ψ(k) cos(kt+ γn)
∥∥∥∥
1
=
= ‖ψ(n) cos(nt+ γn) + ψ(n+ 1) cos((n+ 1)t+ γn)‖1 +O(1)
∞∑
k=n+2
ψ(k) ≤
≤ 4ψ(n) +O(1)
(
ψ2(n+ 1)
ψ(n)
+
∞∑
k=n+2
ψ(k)
)
. (63)
Спiввiдношення (62) i (63) доводять нерiвнiсть (33). Якщо ж f ∈ Cψβ Lp, 1 ≤ p <∞, то,
взявши в (61) за tn−1 полiном t∗∗n−1 найкращого наближення функцiї fψβ у метрицi простору Lp
i застосувавши нерiвнiсть (48), одержимо
|ρ̃n(f ;x)| ≤ 2
π
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
ψ(n)‖ cos(nt+ γn)‖p′ +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
En(fψβ )Lp =
=
∣∣∣∣ sin 2n− 1
2
x
∣∣∣∣
(
2
π
ψ(n)‖ cos t‖p′ +O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)
)
En(fψβ )Lp . (64)
Доведемо другу частину теореми 3. Виходячи з iнтегрального зображення (61) i враховуючи
ортогональнiсть функцiї
∑∞
k=n+2
ψ(k) cos(kt + γn) + rn(t) до будь-якого тригонометричного
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 709
полiнома tn−1 ∈ T2n−1, для довiльної функцiї f з множини Cψβ L∞, ψ ∈ D0, β ∈ R, отримуємо
рiвнiсть
ρ̃n(f ;x) =
2
π
sin
2n− 1
2
x
(
ψ(n)
π∫
−π
fψβ (t+ x)
(
cos(nt+ γn)+
+
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt+O(1)
∞∑
k=n+2
ψ(k)En(fψβ )L∞
)
. (65)
З огляду на (65) для доведення (35) досить встановити, що для довiльних x ∈ R i ϕ ∈ L0
∞ =
= {ϕ ∈ L∞ : ϕ ⊥ 1} iснує функцiя Φ(·) = Φ(ϕ;x; ·) ∈ C, для якої
En(Φ)C = En(ϕ)∞, n ∈ N,
i, крiм того, має мiсце рiвнiсть∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
Φ(t+ x)
(
cos(nt+ γn) +
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt
∣∣∣∣∣∣ =
=
(
4 +O(1)
(
ψ(n+ 1)
ψ(n)
)2)
En(ϕ)∞. (66)
Покладемо
ϕ0(t) = ϕ0(n;x;β; t) = sign sin
(
nt− x
2
+
πβ
2
)
En(ϕ)∞
i через ϕδ(t) = ϕδ(n;x;β; t) позначимо 2π-перiодичну функцiю, яка збiгається з ϕ0(t) скрiзь,
за винятком δ-околiв
(
δ <
π
2n
)
точок tk =
2kπ + x− πβ
2n
, k ∈ Z, де вона лiнiйна i її графiк
сполучає точки (tk−δ, ϕ0(tk−δ)) i (tk+δ, ϕ0(tk+δ)). Функцiя ϕδ(t) неперервна i у точках τk =
=
(2k − 1)π + x− πβ
2n
, k = 1, 2, . . . , 2n, перiоду
(
x− βπ
2n
, 2π +
x− πβ
2n
]
досягає по модулю
максимального значення, яке дорiвнює En(ϕ)∞, почергово змiнюючи знак. Тому її полiном
найкращого рiвномiрного наближення порядку не вищого n− 1, згiдно з критерiєм Чебишова,
є полiномом, що тотожно дорiвнює нулю i, отже,
En(ϕδ)C = ‖ϕδ‖C = En(ϕ)∞. (67)
На пiдставi (67) i (48)∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕδ(t+ x)
(
cos(nt+ γn) +
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
π∫
−π
∣∣∣∣ cosnt+
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos
(
(n+ 1)t− γn
n
) ∣∣∣∣dtEn(ϕ)∞. (68)
Iз нерiвностi (19) роботи [16, c. 513] випливає оцiнка
π∫
−π
∣∣∣∣ cosnt+
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos
(
(n+ 1)t− γn
n
) ∣∣∣∣dt ≤ 4 +O(1)
(
ψ(n+ 1)
ψ(n)
)2
. (69)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
710 А. С. СЕРДЮК
З iншого боку,∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕδ(t+ x)
(
cos(nt+ γn) +
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ0(t+ x)
(
cos(nt+ γn) +
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt
∣∣∣∣∣∣+O(1)rn(δ), (70)
де
rn(δ) =
∥∥∥∥∥∥
π∫
−π
(
ϕδ(t+ x)− ϕ0(t+ x)
)(
cos(nt+ γn) +
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt
∥∥∥∥∥∥
C
.
(71)
Оскiльки ψ ∈ D0, то для досить великих номерiв n
ψ(n+ 1)
ψ(n)
< 1 i, отже, як неважко пiдраху-
вати,
rn(δ) < 2
π∫
−π
|ϕδ(t)− ϕ0(t)|dt ≤ 8nδEn(ϕ)∞. (72)
Вибравши δ настiльки малим, щоб виконувалась умова
0 < δ <
1
n
(
ψ(n+ 1)
ψ(n)
)2
, (73)
iз (72) одержимо оцiнку
rn(δ) = O(1)
(
ψ(n+ 1)
ψ(n)
)2
En(ϕ)∞. (74)
Оскiльки
∫ π
−π
ϕ0(t+ x) cos((n+ 1)t+ γn)dt = 0, то∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ0(t+ x)
(
cos(nt+ γn) +
ψ(n+ 1)
ψ(n)
cos ((n+ 1)t+ γn)
)
dt
∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
ϕ0(t+ x) cos(nt+ γn)dt
∣∣∣∣∣∣ =
π∫
−π
| cos(nt+ γn)|dtEn(ϕ)∞ = 4En(ϕ)∞. (75)
Об’єднання формул (68) – (70), (74) i (75) дозволяє стверджувати, що для функцiї Φ(t) = ϕδ(t),
параметр δ якої задовольняє умову (73), при n → ∞ має мiсце асимптотична рiвнiсть (66), а
отже, i (35).
Для доведення (36) знову скористаємось iнтегральним зображенням (61), а також ортого-
нальнiстю функцiї
∑∞
k=n+1
ψ(k) cos(kt + γn) + rn(t) до будь-якого тригонометричного полi-
нома tn−1 ∈ T2n−1. В результатi одержимо, що для довiльної функцiї f(x) з множини Cψβ Lp,
1 ≤ p <∞, ψ ∈ D0, β ∈ R, виконується рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
НАБЛИЖЕННЯ IНТЕРПОЛЯЦIЙНИМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛIНОМАМИ . . . 711
ρ̃n(f ;x) =
=
2
π
sin
2n− 1
2
x
(
ψ(n)
π∫
−π
fψβ (t+ x) cos(nt+ γn)dt+O(1)
∞∑
k=n+1
ψ(k)En(fψβ )Lp
)
, x ∈ R.
(76)
З огляду на (76), щоб переконатися в iстинностi (34), досить показати, що якими б не були
функцiя ϕ ∈ Lp, 1 ≤ p <∞, i точка x ∈ R, знайдеться функцiя Φ(·) = Φ(ϕ;x; ·), для якої
En(Φ)Lp = En(ϕ)Lp , n ∈ N, (77)
i, крiм того, має мiсце рiвнiсть∣∣∣∣
π∫
−π
Φ(t+ x) cos(nt+ γn)dt
∣∣∣∣ = ‖ cos t‖p′En(ϕ)Lp . (78)
Покажемо, що шуканою функцiєю Φ(·) є функцiя
Φ(t) =
= ‖ cos t‖1−p
′
p′ En(ϕ)Lp
∣∣∣∣ cos
(
nt− x
2
+
π(β − 1)
2
) ∣∣∣∣p′−1sign cos
(
nt− x
2
+
π(β − 1)
2
)
. (79)
Спочатку переконаємось у справедливостi рiвностi (77). Дiйсно, з одного боку,
‖Φ(t)‖p = ‖ cos t‖1−p
′
p′
∥∥∥∥ cos
(
nt− x
2
+
π(β − 1)
2
)∥∥∥∥p′−1
p′
En(ϕ)Lp = En(ϕ)Lp . (80)
Крiм того, оскiльки для довiльного тригонометричного полiнома tn−1 ∈ T2n−1
π∫
−π
tn−1(τ)|Φ(τ)|p−1sign Φ(τ)dτ =
=
(
‖ cos t‖1−p
′
p′ En(ϕ)Lp
)p−1 π∫
−π
tn−1(τ) cos
(
nτ − x
2
+
π(β − 1)
2
)
dτ = 0,
то на пiдставi твердження 1.4.6 роботи [15, c. 28] полiном t∗n−1 ≡ 0 є полiномом найкращого
наближення функцiї Φ(t) в метрицi простору Lp, 1 ≤ p <∞. Отже, з урахуванням (80)
En(Φ)Lp = ‖Φ‖p = En(ϕ)Lp .
Рiвнiсть (78) випливає з того, що з урахуванням (79) i (43)∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
Φ(t+ x) cos(nt+ γn)dt
∣∣∣∣∣∣ =
= ‖ cos t‖1−p
′
p′ En(ϕ)Lp
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
∣∣∣∣cos
(
n(t+ x)− x
2
+
π(β − 1)
2
)∣∣∣∣p′−1 ×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
712 А. С. СЕРДЮК
× sign cos
(
n(t+ x)− x
2
+
π(β − 1)
2
)
cos(nt+ γn)dt
∣∣∣∣∣∣ =
= ‖ cos t‖1−p
′
p′ En(ϕ)Lp
π∫
−π
| cos(nt+ γn)|p′dt = ‖ cos t‖p′En(ϕ)Lp .
Теорему 3 доведено.
1. Степанец А. И., Сердюк А. С. Приближение периодических аналитических функций интерполяционными
тригонометрическими многочленами // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 12. – C. 1689 – 1701.
2. Степанець О. I., Сердюк А. С. Оцiнкa залишку наближення iнтерполяцiйними тригонометричними многочле-
нами на класах нескiнченно диференцiйовних функцiй // Теорiя наближення функцiй та її застосування: Пр.
Iн-ту математики НАН України. – 2000. – 31. – С. 446 – 460.
3. Сердюк А. С. Про асимптотично точнi оцiнки похибки наближення iнтерполяцiйними тригонометричними
полiномами функцiй високої гладкостi // Доп. НАН України. – 1999. – № 8. – C. 29 – 33.
4. Сердюк А. С. Наближення нескiнченно диференцiйовних перiодичних функцiй iнтерполяцiйними тригономет-
ричними полiномами // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 4. – C. 495 – 505.
5. Степанец А. И. Класификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 286 с.
6. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2002. – 40, ч. I.
– 427 с.
7. Сердюк А. С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в рiвномiрнiй метрицi // Укр. мат. журн.
– 2005. – 57, № 8. – C. 1079 – 1096.
8. Сердюк А. С., Войтович В. А. Наближення класiв цiлих функцiй iнтерполяцiйними аналогами сум Валле
Пуссена // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010.
– 7, № 1. – С. 274 – 297.
9. Тиман М. Ф. Аппроксимация и свойства периодических функций. – Киев: Наук. думка, 2009. – 376 с.
10. Сердюк А. С., Чайченко С. О. Наближення класiв аналiтичних функцiй лiнiйним методом спецiального вигляду
// Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 1. – C. 102 – 109.
11. Serdyuk А. S., Sokolenko I. V. Asymptotic behavior of best approximations of classes of periodic analitic functions
defined by moduli of continuity // Bulgar.-Turkish-Ukr. Sci. Conf. ”Math. Analysis, Different. Equat. and their Appl. ”,
Sunny Beach, Sept. 15 – 20, 2010. – Sofia: Acad. Publ. House ”Prof. Marin Drinov”, 2011. – P. 173 – 182.
12. Степанец А. И., Сердюк А. С. Приближение суммами Фурье и наилучшие приближения на классах аналити-
ческих функций // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 3. – C. 375 – 395.
13. Сердюк А. С. Наближення класiв аналiтичних функцiй сумами Фур’є в метрицi простору Lp // Укр. мат. журн.
– 2005. – 57, № 10. – C. 1395 – 1408.
14. Сердюк А. С., Мусiєнко А. П. Нерiвностi типу Лебега для сум Валле Пуссена при наближеннi iнтегралiв
Пуассона // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2010.
– 7, № 1. – С. 298 – 316.
15. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука, 1987. – 423 с.
16. Теляковский С. А. О приближении суммами Фурье функций высокой гладкости // Укр. мат. журн. – 1989. – 41,
№ 4. – C. 510 – 518.
Одержано 04.11.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2609 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:44Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a5/2e7adab30db1cf0cfdde40b7994286a5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26092020-03-18T19:30:33Z Approximation by interpolation trigonometric polynomials on classes of periodic analytic functions Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. We establish asymptotically unimprovable interpolation analogs of Lebesgue-type inequalities on the sets $C^{\psi}_{\beta}L_p$ of $(\psi, \beta)$-differentiable functions generated by sequences $\psi(k)$ that satisfy the d'Alembert conditions. We find asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations by interpolation trigonometric polynomials on the classes $C^{\psi}_{\beta, p},\;\; 1 \leq p \leq \infty$. Установлены асимптотически неулучшаемые интерполяционные аналоги неравенств типа Лебега на множествах $(\psi, \beta)$-дифференцируемых функций $C^{\psi}_{\beta}L_p$, порождаемых последовательностями ψ(k), удовлетворяющими условиям Даламбера. Найдены асимптотические равенства для точных верхних граней приближений интерполяционными тригонометрическими полиномами на классах $C^{\psi}_{\beta, p},\;\; 1 \leq p \leq \infty$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2609 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 5 (2012); 698-712 Український математичний журнал; Том 64 № 5 (2012); 698-712 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2609/1977 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2609/1978 Copyright (c) 2012 Serdyuk A. S. |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Сердюк, А. С. Approximation by interpolation trigonometric polynomials on classes of periodic analytic functions |
| title | Approximation by interpolation trigonometric polynomials on classes of periodic analytic functions |
| title_alt | Наближення інтерполяційними тригонометричними поліномами на класах періодичних аналітичних функцій |
| title_full | Approximation by interpolation trigonometric polynomials on classes of periodic analytic functions |
| title_fullStr | Approximation by interpolation trigonometric polynomials on classes of periodic analytic functions |
| title_full_unstemmed | Approximation by interpolation trigonometric polynomials on classes of periodic analytic functions |
| title_short | Approximation by interpolation trigonometric polynomials on classes of periodic analytic functions |
| title_sort | approximation by interpolation trigonometric polynomials on classes of periodic analytic functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2609 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas approximationbyinterpolationtrigonometricpolynomialsonclassesofperiodicanalyticfunctions AT serdûkas approximationbyinterpolationtrigonometricpolynomialsonclassesofperiodicanalyticfunctions AT serdyukas nabližennâínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomaminaklasahperíodičnihanalítičnihfunkcíj AT serdûkas nabližennâínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomaminaklasahperíodičnihanalítičnihfunkcíj |