On the properties of blocks of terms of the series $\sum \cfrac1k \sin kx$
We investigate the decomposability of the series $\sum \cfrac1k \sin kx$ into blocks such that the sum of the series formed of the moduli of these blocks belongs to the spaces $L^p[0, \pi]$ or the spaces $L^p[0, \pi]$ with weight $x^{-\gamma},\quad \gamma < 1$.
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2610 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508538864926720 |
|---|---|
| author | Telyakovskii, S. A. Теляковский, С. А. Теляковский, С. А. |
| author_facet | Telyakovskii, S. A. Теляковский, С. А. Теляковский, С. А. |
| author_sort | Telyakovskii, S. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:33Z |
| description | We investigate the decomposability of the series $\sum \cfrac1k \sin kx$ into blocks such that the sum of the series formed of the
moduli of these blocks belongs to the spaces $L^p[0, \pi]$ or the spaces $L^p[0, \pi]$ with weight $x^{-\gamma},\quad \gamma < 1$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. А. Теляковский (Мат. ин-т РАН, Москва, Россия)
О СВОЙСТВАХ БЛОКОВ ЧЛЕНОВ РЯДА
∑ 1
k
sin kx
We investigate the decomposability of the series
∑ 1
k
sin kx into blocks such that the sum of the series formed of the
moduli of these blocks belongs to the spaces Lp[0, π] or the spaces Lp[0, π] with weight x−γ , γ < 1.
Дослiджено, на якi блоки можна розбити ряд
∑ 1
k
sin kx, щоб сума ряду iз модулiв цих блокiв належала просторам
Lp[0, π] або просторам Lp[0, π] з вагою x−γ , γ < 1.
1. Введение. Ряд
∞∑
k=1
1
k
sin kx (1)
часто используется при исследовании тригонометрических рядов и в теории приближения
функций. Во многих случаях ряд (1) играет роль модельного при изучении функций ограни-
ченной вариации.
Настоящая работа посвящена свойствам рядов из модулей блоков членов ряда (1).
Рассмотрим строго возрастающую последовательность Λ натуральных чисел 1 = n1 <
< n2 < . . . , для которой сходится ряд
∞∑
j=1
1
nj
,
и составим с помощью этой последовательности ряд
∞∑
j=1
∣∣∣∣∣∣
nj+1−1∑
k=nj
sin kx
k
∣∣∣∣∣∣ . (2)
В силу известной оценки∣∣∣∣∣
S∑
k=s
sin kx
k
∣∣∣∣∣ ≤ π
sx
, s ≤ S ≤ ∞, 0 < x ≤ π, (3)
ряд (2) сходится при всех x, и его сумма, которую обозначим gΛ(x), является непрерывной на
(0, π] функцией.
В [1] получены условия на последовательность Λ, достаточные для ограниченности функ-
ции gΛ(x). В последовавших затем работах эти условия были ослаблены и найдены достаточ-
ные условия на последовательность Λ, являющиеся в некоторых случаях и необходимыми для
того, чтобы функция gΛ(x) принадлежала пространствам L1, L2 или являлась ограниченной,
т. е. принадлежала L∞.
Пункт 2 посвящен интегрируемости функции gΛ(x), приведен обзор известных резуль-
татов и получено новое утверждение о принадлежности gΛ(x) пространствам Lp[0, π] при
p = 3, 4, . . . . В п. 3 изучается задача интегрируемости функции gΛ(x) с весом x−γ .
c© С. А. ТЕЛЯКОВСКИЙ, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5 713
714 С. А. ТЕЛЯКОВСКИЙ
Формулировки утверждений будут содержать не только числа nj , но и построенные с их
помощью числа mj := min (nj , nj+1 − nj + 1). Заметим, что mj ≥ 2 при j ≥ 2.
2. Интегрируемость функции gΛ. В [2] установлено, что для ограниченности функции
gΛ(x) необходимо и достаточно существование такого числа M, что при всех i = 1, 2, . . .
справедлива оценка
∞∑
j=i
1
nj
mi ≤M.
Из результатов работ [3, 4] следует, что для того чтобы функция gΛ(x) принадлежала
L1[0, π], необходима и достаточна сходимость ряда
∞∑
j=1
1
nj
log mj . (4)
Достаточность доказана в [3], а необходимость — в [4]. В [4] показано также, что ряд (4)
сходится в том и только в том случае, когда сходится ряд
∞∑
j=1
1
nj+1
log (nj+1 − nj + 1).
Заметим, что необходимость сходимости ряда (4) для принадлежности gΛ(x) пространству
L1[0, π] легко вывести из теоремы 3 работы [5] (в [5] это не было отмечено).
В самом деле, согласно этой теореме, если gΛ(x) ∈ L1[0, π], то сходится ряд
∞∑
j=1
nj+1−1∑
k=nj
1
k(k − nj + 1)
.
Но в случае, когда mj = nj+1 − nj + 1, имеем nj+1 < 2nj и
nj+1−1∑
k=nj
1
k(k − nj + 1)
>
1
2nj − 1
nj+1−1∑
k=nj
1
k − nj + 1
>
1
2nj − 1
logmj .
А если mj = nj и nj < nj+1 − nj + 1, то nj+1 ≥ 2nj , поэтому
nj+1−1∑
k=nj
1
k(k − nj + 1)
≥
2nj−1∑
k=nj
1
k(k − nj + 1)
≥ 1
2nj − 1
logmj .
Таким образом, данное утверждение доказано.
В [6] показано, что если сходится ряд
∞∑
j=1
1
nj
√
mj ,
то gΛ(x) ∈ L2[0, π].
Покажем, что подобное достаточное условие принадлежности функции gΛ(x) простран-
ствам Lp[0, π] имеет место при целых p = 3, 4, . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
О СВОЙСТВАХ БЛОКОВ ЧЛЕНОВ РЯДА
∑ 1
k
sin kx 715
Теорема 1. При каждом целом p = 2, 3, . . . функция gΛ(x) принадлежит пространству
Lp[0, π], если сходится ряд
∞∑
j=1
1
nj
m
1−1/p
j . (5)
Доказательство. Как и в [6], где эта теорема доказана для p = 2, будем использовать
оценку
uj(x) :=
∣∣∣∣∣∣
nj+1−1∑
k=nj
sin kx
k
∣∣∣∣∣∣ ≤ A
nj
min
(
1
x
,mj
)
, 0 < x ≤ π, (6)
где A — некоторая абсолютная постоянная, вытекающую из (3) и равномерной ограниченности
частных сумм ряда (1).
Установим равномерную относительно N ограниченность интегралов
π∫
0
N∑
j=1
uj(x)
p dx =
π∫
0
N∑
j1=1
uj1(x) . . .
N∑
jp=1
ujp(x)dx =
=
N∑
j1=1
. . .
N∑
jp=1
π∫
0
uj1(x) . . . ujp(x) dx.
Разобьем [0, π] на отрезки [0, α] и [α, π]. С помощью (6) получим
α∫
0
uj1(x) . . . ujp(x) dx ≤ Ap
α∫
0
mj1
nj1
. . .
mjp
njp
dx = Ap
mj1
nj1
. . .
mjp
njp
α
и
π∫
α
uj1(x) . . . ujp(x) dx ≤ Ap
nj1 . . . njp
π∫
α
dx
xp
<
Ap
nj1 . . . njp
α1−p
(p− 1)
.
Поэтому, положив
α =
(
mj1 . . .mjp
)−1/p
, (7)
придем к оценке
π∫
0
N∑
j=1
uj(x)
p dx ≤ 2Ap
N∑
j1=1
. . .
N∑
jp=1
1
nj1 . . . njp
(
mj1 . . .mjp
)1−1/p ≤ 2Ap
( ∞∑
j=1
1
nj
m
1−1/p
j
)p
.
Таким образом, в силу сходимости ряда (5) интегралы
π∫
0
N∑
j=1
uj(x)
p dx
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
716 С. А. ТЕЛЯКОВСКИЙ
ограничены величиной, не зависящей от N, и, значит, согласно теореме Б. Леви функция gΛ(x)
принадлежит Lp[0, π].
Теорема доказана.
Вопросы о принадлежности функции gΛ(x) пространствам Lp[0, π] при нецелых p > 1 и о
необходимых условиях при целых p ≥ 2 остаются открытыми.
3. Интегрируемость функции gΛ с весом. Задачи об интегрируемости функции gΛ(x) с
весом x−γ будем рассматривать при естественном условии γ < 1.
Теорема 2. Если для γ ∈ (0, 1) сходится ряд
∞∑
j=1
1
nj
mγ
j ,
то сходится интеграл
π∫
0
1
xγ
gΛ(x) dx. (8)
Доказательство. Имеем
π∫
0
1
xγ
gΛ(x) dx =
∞∑
j=1
π∫
0
1
xγ
uj(x) dx. (9)
Как и при доказательстве теоремы 1, разбиваем [0, π] при каждом j на отрезки [0, αj ] и
[αj , π] и, используя оценку (6), находим
αj∫
0
1
xγ
uj(x) dx ≤ A
αj∫
0
1
xγ
mj
nj
dx =
A
1− γ
mj
nj
α1−γ
j
и
π∫
αj
1
xγ
uj(x) dx ≤ A
π∫
αj
1
xγ
1
njx
dx <
A
γnj
α−γj .
При αj = m−1
j из (9) следует оценка
π∫
0
1
xγ
gΛ(x) dx ≤ A(γ)
∞∑
j=1
1
nj
mγ
j ,
в которой множитель A(γ) зависит только от γ.
Теорема доказана.
Если p > 1 и p′ — сопряженное с p число, то согласно неравенству Гельдера интеграл (8)
сходится, если gΛ(x) ∈ Lp[0, π] и γp′ < 1. Последнее условие означает, что
γ < 1− 1
p
. (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
О СВОЙСТВАХ БЛОКОВ ЧЛЕНОВ РЯДА
∑ 1
k
sin kx 717
Таким образом, из теоремы 1 следует, что если при p = 2, 3, . . . сходится ряд (5), то
интеграл (8) сходится при условии (10), а теорема 2 показывает, что если сходится ряд (5), то
интеграл (8) сходится и при
γ = 1− 1
p
.
Дополним теперь теорему 1, рассмотрев вопрос о сходимости интеграла
π∫
0
1
xγ
gpΛ(x) dx (11)
при γ < 1.
Рассуждая, как и при доказательстве теоремы 1, при p = 2, 3, . . . имеем
π∫
0
1
xγ
N∑
j=1
uj(x)
p dx =
N∑
j1=1
. . .
N∑
jp=1
π∫
0
1
xγ
uj1(x) . . . ujp(x) dx.
Используя оценку (6), при γ > 1− p для α ∈ (0, π) находим
α∫
0
1
xγ
uj1(x) . . . ujp(x) dx ≤
≤ Ap
α∫
0
1
xγ
mj1
nj1
. . .
mjp
njp
dx = Ap
mj1
nj1
. . .
mjp
njp
1
1− γ
α1−γ (12)
и
π∫
α
1
xγ
uj1(x) . . . ujp(x) dx ≤
≤ Ap
nj1 . . . njp
π∫
α
dx
xγ+p
<
Ap
nj1 . . . njp
1
(γ + p− 1)
α1−γ−p. (13)
Из этих оценок при α, заданном формулой (7), получаем
π∫
0
1
xγ
N∑
j=1
uj(x)
p dx ≤ A(p, γ)
N∑
j1=1
. . .
N∑
jp=1
1
nj1 . . . njp
(mj1 . . .mjp)
1−1
p (1−γ)
,
где A(p, γ) зависит только от p и γ.
Следовательно,
π∫
0
1
xγ
N∑
j=1
uj(x)
p ≤ A(p, γ)
N∑
j=1
1
nj
m
1−1
p (1−γ)
j
p .
Опираясь, как и в доказательстве теоремы 1, на теорему Б. Леви, видим, что справедливо
следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
718 С. А. ТЕЛЯКОВСКИЙ
Теорема 3. При целых p = 2, 3, . . . и γ, удовлетворяющих условию 1 − p < γ < 1,
интеграл (11) сходится, если сходится ряд
∞∑
j=1
1
nj
m
1−1
p (1−γ)
j .
В доказательстве теоремы 3 условие γ > 1−p было использовано по существу. Рассмотрим
теперь случай, когда γ = 1− p.
Теорема 4. При целых p = 2, 3, . . . и γ = 1 − p интеграл (11) сходится, если сходится
ряд (4).
Доказательство. Выше отмечалось, что при p = 1 такое утверждение доказано в [3].
При γ = 1− p оценка (12) принимает вид
α∫
0
1
x1−puj1(x) . . . ujp(x) dx ≤ Apmj1
nj1
. . .
mjp
njp
1
p
αp,
а вместо (13) получаем
π∫
α
1
x1−puj1(x) . . . ujp(x) dx ≤ Ap
nj1 . . . njp
π∫
α
dx
x
=
Ap
nj1 . . . njp
log
π
α
.
Выбрав α согласно (7), находим
log
π
α
= log π +
1
p
log
(
mj1 . . .mjp
)
.
Поэтому
π∫
0
1
x1−puj1(x) . . . ujp(x) dx ≤ Ap
nj1 . . . njp
(
1
p
+ log π +
1
p
p∑
i=1
logmji
)
.
Таким образом, справедлива оценка
π∫
0
1
x1−p g
p
Λ(x) dx ≤ CAp
∞∑
j1=1
. . .
∞∑
jp=1
1
nj1 . . . njp
p∑
i=1
logmji = CAp
∞∑
j=1
1
nj
p−1
∞∑
j=1
logmj
nj
,
где C — некоторая абсолютная постоянная.
Теорема доказана.
1. Теляковский С. А. О частных суммах рядов Фурье функций ограниченной вариации // Труды Мат. ин-та РАН.
– 1997. – 219. – С. 378 – 386.
2. Белов А. С., Теляковский С. А. Усиление теорем Дирихле – Жордана и Янга о рядах Фурье функций ограни-
ченной вариации // Мат. сб. – 2007. – 198, № 6. – С. 25 – 40.
3. Telyakovskii S. A. Certain properties of Fourier series of functions with bounded variation // East J. Approxim. –
2004. – 10, № 1–2. – P. 215 – 218.
4. Trigub R. M. A note on the paper of Telyakovskii “Certain properties of Fourier series of functions with bounded
variation” // East J. Approxim. – 2007. – 13, № 1. – P. 1 – 6.
5. Белов А. С. О сумме модулей членов сгруппированного тригонометрического ряда с монотонными коэффици-
ентами // Вестн. Иванов. гос. ун-та. Биология, Химия, Физика, Математика. – 2006. – Вып. 3. – С. 107 – 121.
6. Теляковский С. А. Некоторые свойства рядов Фурье функций ограниченной вариации. II // Труды Ин-та
математики и механики УрО РАН. – 2005. – 11, № 2. – С. 168 – 174.
Получено 13.12.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-2610 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:48Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fb/d6311b58d89e72723477fb2a01337cfb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26102020-03-18T19:30:33Z On the properties of blocks of terms of the series $\sum \cfrac1k \sin kx$ О свойствах блоков членов ряда $\sum \cfrac1k \sin kx$ Telyakovskii, S. A. Теляковский, С. А. Теляковский, С. А. We investigate the decomposability of the series $\sum \cfrac1k \sin kx$ into blocks such that the sum of the series formed of the moduli of these blocks belongs to the spaces $L^p[0, \pi]$ or the spaces $L^p[0, \pi]$ with weight $x^{-\gamma},\quad \gamma < 1$. Дослiджено, на якi блоки можна розбити ряд $\sum \cfrac1k \sin kx$, щоб сума ряду iз модулiв цих блокiв належала просторам $L^p[0, \pi]$ або просторам $L^p[0, \pi]$ з вагою $x^{-\gamma},\quad \gamma < 1$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2610 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 5 (2012); 713-718 Український математичний журнал; Том 64 № 5 (2012); 713-718 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2610/1979 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2610/1980 Copyright (c) 2012 Telyakovskii S. A. |
| spellingShingle | Telyakovskii, S. A. Теляковский, С. А. Теляковский, С. А. On the properties of blocks of terms of the series $\sum \cfrac1k \sin kx$ |
| title | On the properties of blocks of terms of the series $\sum \cfrac1k \sin kx$ |
| title_alt | О свойствах блоков членов ряда $\sum \cfrac1k \sin kx$ |
| title_full | On the properties of blocks of terms of the series $\sum \cfrac1k \sin kx$ |
| title_fullStr | On the properties of blocks of terms of the series $\sum \cfrac1k \sin kx$ |
| title_full_unstemmed | On the properties of blocks of terms of the series $\sum \cfrac1k \sin kx$ |
| title_short | On the properties of blocks of terms of the series $\sum \cfrac1k \sin kx$ |
| title_sort | on the properties of blocks of terms of the series $\sum \cfrac1k \sin kx$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2610 |
| work_keys_str_mv | AT telyakovskiisa onthepropertiesofblocksoftermsoftheseriessumcfrac1ksinkx AT telâkovskijsa onthepropertiesofblocksoftermsoftheseriessumcfrac1ksinkx AT telâkovskijsa onthepropertiesofblocksoftermsoftheseriessumcfrac1ksinkx AT telyakovskiisa osvojstvahblokovčlenovrâdasumcfrac1ksinkx AT telâkovskijsa osvojstvahblokovčlenovrâdasumcfrac1ksinkx AT telâkovskijsa osvojstvahblokovčlenovrâdasumcfrac1ksinkx |