Realization of a closed 1-form on closed oriented surfaces
We study closed 1-forms with isolated zeros on closed orientable surfaces. Conditions under which given invariants generate a closed 1-form are found.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2613 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508541843931136 |
|---|---|
| author | Budnyts'ka, N. V. Rybalkina, T. V. Будницька, Н. В. Рибалкіна, Т. В. |
| author_facet | Budnyts'ka, N. V. Rybalkina, T. V. Будницька, Н. В. Рибалкіна, Т. В. |
| author_sort | Budnyts'ka, N. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:57Z |
| description | We study closed 1-forms with isolated zeros on closed orientable surfaces. Conditions under which given invariants generate a closed 1-form are found. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 515.164.13, 517.91
Н. В. Будницька, Т. В. Рибалкiна (Iн-т математики НАН України, Київ)
РЕАЛIЗАЦIЯ ЗАМКНЕНОЇ 1-ФОРМИ
НА ЗАМКНЕНИХ ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ
We study closed 1-forms with isolated zeros on closed orientable surfaces. Conditions under which given invariants generate
a closed 1-form are found.
Исследуются замкнутые 1-формы с изолированными нулями на замкнутых ориентируемых поверхностях. Найдены
условия, при которых заданные инварианты будут определять замкнутую 1-форму.
1. Вступ. Дослiдження топологiчних властивостей замкнених 1-форм вiдноситься до роздiлiв
математики, що вивчають шарування на многовидах, зокрема до роздiлу топологiї, що вивчає
диференцiальнi 1-форми на многовидах, або до роздiлу теорiї динамiчних систем, що розглядає
потоки. Серед праць останнiх рокiв варто видiлити роботу [5], в якiй отримано топологiчну
класифiкацiю замкнених 1-форм Морса з iзольованими нулями та замкненими рекурентними
кривими на замкнених поверхнях. У [6, 7] наведено класифiкацiю довiльних замкнених 1-
форм з довiльними рекурентними кривими на замкнених орiєнтованих та на неорiєнтованих
поверхнях вiдповiдно, у [8] — з довiльними рекурентними кривими на поверхнях з краєм.
У роботi [9] знайдено реалiзацiю замкненої 1-форми iз замкненими рекурентними кривими
на замкнених поверхнях, тобто знайдено умови, при яких певний iнварiант — граф — визначає
замкнену 1-форму. У данiй роботi розглядається реалiзацiя замкненої 1-форми з довiльними ре-
курентними кривими, зокрема незамкненими, на замкнених орiєнтованих поверхнях. Знайдено
умови, при яких заданi iнварiанти будуть визначати замкнену 1-форму.
2. Попереднi вiдомостi. Нехай M — замкнена орiєнтована поверхня роду p, ω — замкнена
1-форма на M. Нагадаємо деякi визначення з [6, 7, 9].
Позначимо через N(ω) множину нулiв ω. Крива γ ⊂ M, що не мiстить нулiв, називається
iнтегральною кривою ω, якщо локально вона є рiвнем функцiї f такої, що ω = df. Ми буде-
мо розглядати лише максимальнi iнтегральнi кривi (якi не є власними пiдмножинами iнших
кривих) i називатимемо їх просто кривими.
Iнтегральна крива γ : R → M називається рекурентною, якщо γ ⊂ {z ∈ M : ∃{tn} →
→ ±∞, γ(tn) → z, n → ∞}. З означення випливає, що якщо iнтегральна крива є замкненою
або скрiзь щiльною в M, то вона рекурентна. Вiдомо, що кривi замкненої 1-форми можуть бути
лише або замкненими, або незамкненими рекурентними.
Для кожного досить малого околу O(z) точки z ∈ M\N(ω) крива, що проходить через z,
розбиває O(z) на двi частини: додатну {s : f(s)− f(z) > 0} i вiд’ємну {s : f(s)− f(z) < 0}.
З роботи [7] вiдомо, що в околi кожної точки iнтегральної кривої замкненої 1-форми можна
задати однозначно визначений вектор p̄. Будемо вважати, що вектор p̄ направлений вiд iнте-
гральної кривої з меншим значенням рiвня (з вiд’ємної частини околу) до iнтегральної кривої
з бiльшим значенням рiвня (в додатну частину околу), тобто вектор p̄ локально порiвнює двi
сусiднi iнтегральнi кривi замкненої 1-форми ω, i називатимемо його порiвнюючим напрямком у
точцi. Порiвнюючi напрямки скрiзь узгодженi, тобто немає точки, в якiй задано два протилежно
напрямленi напрямки.
c© Н. В. БУДНИЦЬКА, Т. В. РИБАЛКIНА, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6 739
740 Н. В. БУДНИЦЬКА, Т. В. РИБАЛКIНА
Нуль 1-форми називається iзольованим, якщо iснує його окiл, що не мiстить iнших нулiв.
У цiй роботi будемо розглядати замкненi 1-форми з iзольованими нулями.
Вiдомо [10], що для кожного нуля (крiм локального мiнiмуму i максимуму) iснує окiл,
у якому функцiя спряжена з функцiєю Re zk для деякого числа k ∈ N ∪ {0}. У випадку k ∈
∈ N\{0; 1} iзольований нуль буде сiдлом парної валентностi бiльше нiж 2; при k = 1 валентнiсть
сiдла дорiвнює 2, i такi сiдла у роботi розглядатися не будуть; при k = 0 буде центр. Тому
можливi лише два види iзольованих нулiв: сiдла парної валентностi бiльше нiж 2 i центри.
Далi будемо вважати, що центр має 0-валентнiсть, тобто парну валентнiсть.
Об’єднання нулiв ω та iнтегральних кривих, що їх з’єднують, будемо розглядати як граф
замкненої 1-форми G(ω), що вкладений у поверхню. Вершинами графа є нулi, а ребрами —
кривi, що їх з’єднують. При цьому якщо з нуля виходить незамкнена рекурентна пiвкрива, то
для отримання графа G(ω) обрiжемо цю пiвкриву на деякiй вiдстанi вiд нуля i отримаємо ребро
з однiєю вершиною валентностi 1.
З роботи [7] вiдомо, що траєкторiї потокiв на орiєнтованих поверхнях є iнтегральними
кривими замкненої 1-форми, тому для дослiдження кривих замкнених 1-форм можна дослi-
джувати траєкторiї потокiв. Враховуючи це, наведемо теореми для потокiв i будемо вважати їх
справедливими для замкнених 1-форм.
Орiєнтована поверхня роду 1. Розглянемо тор M як фактор-простiр евклiдової площини
R
2 з координатами x, y по цiлочисловiй решiтцi Z2, яка iзоморфна фундаментальнiй групi тора
[1]. Нехай π : R2 → M — проекцiя, f t — потiк на M, L — додатна пiвтраєкторiя f t, l : x = x(t),
y = y(t) (t ∈ [0,+∞)) — її прообраз на R
2.
Згiдно з теоремою 4.4 [1], якщо x2(t) + y2(t) → +∞ при t → +∞, то iснує скiнченна чи
нескiнченна границя ν(L) = limt→+∞
y(t)
x(t)
, яка не залежить вiд вибору прообразу l в π−1(L).
Для потоку f t на M можна говорити про одне число ν для будь-якої пiвтраєкторiї, аби лише
її прообраз на R
2 залишав компактну частину площини. Таке число ν називається числом
обертання Пуанкаре потоку f t на торi M.
За теоремою 4.2 [1], якщо L — пiвтраєкторiя потоку f t на торi M, то: 1) якщо гранична
множина для L мiстить замкнену негомотопну нулю траєкторiю або замкнений не гомотопний
нулю контур, який складається зi станiв рiвноваги i сепаратрис, то число обертання Пуанкаре
ν потоку f t iснує i є або рацiональним, або дорiвнює ∞; 2) якщо гранична множина для L
мiстить незамкнену стiйку за Пуассоном пiвтраєкторiю, то число обертання Пуанкаре ν потоку
f t iснує i є iррацiональним.
За теоремою 4.3 [1], якщо на торi M задано потiк f t без станiв рiвноваги, то число обертання
Пуанкаре ν iснує i: 1) якщо ν рацiональне або дорiвнює ∞, то на торi є хоча б одна замкнена
траєкторiя; 2) якщо ν iррацiональне, то потiк f t не має замкнених траєкторiй i мiстить рiвно
одну нетривiальну (вiдмiнну вiд станiв рiвноваги i замкненої траєкторiї) мiнiмальну множину,
яка або збiгається з усiм тором (транзитивний потiк), або нiде не щiльна на торi (сингулярний
потiк).
Орiєнтована поверхня роду бiльше нiж 1. Для орiєнтованої поверхнi M роду p > 1,
дотримуючись робiт [1, 4], розглянемо H2 — круг Пуанкаре, ∂H2 = S1
∞
— абсолют з метрикою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
РЕАЛIЗАЦIЯ ЗАМКНЕНОЇ 1-ФОРМИ НА ЗАМКНЕНИХ ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 741
ds2 =
4(dx2 + dy2)
(1− (x2 + y2))2
, де x i y — координати точки в R
2. Позначимо множину всiх iзометрiй
на H2 через Γ. Вiдомо, що Γ iзоморфна фундаментальнiй групi π1(M), а проекцiя π : H2 →
→ H2/Γ ∼= M — унiверсальне накриття M.
Нагадаємо [1], що потiк f t на M належить класу T, якщо виконуються наступнi умови:
потiк f t є транзитивним, тобто має на M скрiзь щiльну пiвтраєкторiю; f t має лише скiнченне
число станiв рiвноваги i сепаратрис; f t не має сепаратрис, що йдуть з одного стану рiвноваги
в iнший або в той самий.
Для потокiв класу T повним топологiчним iнварiантом (з точнiстю до автоморфiзму групи
Γ) є гомотопiчний клас обертання пiвтраєкторiї [1, 4], який визначається для конкретної пiв-
траєкторiї, що не має точку спокою своєю граничною. Оскiльки гомотопiчний клас обертання
однiєї пiвтраєкторiї визначається гомотопiчним класом обертання довiльної iншої пiвтраєкто-
рiї, то повний топологiчний iнварiант можна зобразити у виглядi геодезичного каркасу, що
складається з геодезичних з тими ж граничними точками, що i траєкторiї потоку.
У данiй роботi будемо використовувати поняття геодезичної ламiнацiї, описане у роботi [2],
а у роботi [3] використовується еквiвалентний термiн „геодезичне шарування”. Наведемо деякi
вiдомостi з цих робiт.
Геодезичною ламiнацiєю на поверхнi M називається шарування замкненої пiдмножини M
геодезичними без самоперетинiв. Орiєнтацiя геодезичної ламiнацiї G на M називається сумiс-
ною, якщо для довiльної геодезичної l ∈ G i для довiльної точки m ∈ l iснує трансверсальний
сегмент Σ, що проходить через m i оснащений звичайною орiєнтацiєю, такий, що при перетинi
Σ з усiма геодезичними з G iндекси є рiвними. Геодезична ламiнацiя називається орiєнтованою,
якщо її геодезичнi визначають сумiсну орiєнтацiю.
Геодезична ламiнацiя називається рацiональною, якщо вона не мiстить нетривiальних реку-
рентних геодезичних. Геодезична ламiнацiя називається iррацiональною, якщо вона складається
з нетривiальних рекурентних геодезичних.
Нехай f t — потiк на замкненiй орiєнтованiй поверхнi M роду p > 1, f̃ t = π−1(f t) — накри-
ваючий потiк на H2. Розглянемо траєкторiю l̃ = π−1(l) потоку f̃ t, яка є прообразом траєкторiї
l потоку f t i прямує в обох напрямках до рiзних точок на абсолютi S1
∞
: ω(l̃) i α(l̃) — ω- i
α-граничних множин траєкторiї l̃. Геодезична L̃(l̃) з кiнцями в α(l̃) i ω(l̃) з орiєнтацiєю вiд
α(l̃) до ω(l̃) називається коасимптотичною для l̃, а π(L̃(l̃)) = L(l) є коасимптотичною для
l. Можна показати, що L(l) не має трансверсальних самоперетинiв i топологiчне замикання
L(l) є геодезичною ламiнацiєю. Поняття коасимптотичних геодезичних аналогiчне для тра-
єкторiй з граничною точкою сiдло. В даному випадку розглядаються узагальненi траєкторiї,
тобто траєкторiї, що складаються з самої сепаратриси та її одностороннього продовження по
Бендиксону.
Позначимо через G̃(f̃ t) множину орiєнтованих геодезичних, що вiдповiдають усiм траєк-
торiям i узагальненим траєкторiям потоку f̃ t. Згiдно з [2], G̃(f̃ t) називається геодезичним
каркасом, а π(G̃(f̃ t)) = G(f t) є геодезичним каркасом потоку f t.
Розглянемо поняття геодезичного каркасу для квазiмiнiмальних множин потоку. Незамкнена
траєкторiя називається нетривiально рекурентною, якщо вона належить своїй ω(α)-граничнiй
множинi. Вiзьмемо одну з накриваючих l̃ для нетривiальної рекурентної траєкторiї l, що нале-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
742 Н. В. БУДНИЦЬКА, Т. В. РИБАЛКIНА
жить квазiмiнiмальнiй множинi Q потоку f t. У [4] доведено, що l̃ прямує до рiзних точок на аб-
солютi, тому iснує коасимптотична геодезична L̃(l̃), а π(L̃(l̃)) = L(l) є нетривiальною рекурент-
ною геодезичною без самоперетинiв на поверхнi M. Топологiчне замикання clos [L(l)] = G(Q)
є геодезичною ламiнацiєю, яка не залежить вiд вибору l i називається геодезичним каркасом Q.
Отже, геодезичний каркас потоку — це топологiчне замикання об’єднання всiх коасимп-
тотичних геодезичних для траєкторiй i узагальнених траєкторiй (об’єднання сiдел, нерухомих
точок i траєкторiй, що прямують до нерухомих точок). Можна показати, що геодезичний каркас
завжди є геодезичною ламiнацiєю.
За теоремою 3.2 [2], якщо f t — iррацiональний потiк на замкненiй орiєнтованiй гiперболiч-
нiй поверхнi M, то її геодезичний каркас G(f t) є iррацiональною орiєнтованою геодезичною
ламiнацiєю.
За теоремою 3.3 [2], якщо задано довiльну iррацiональну орiєнтовану геодезичну ламiнацiю
G на замкненiй орiєнтованiй гiперболiчнiй поверхнi M, то iснує iррацiональний потiк f t на M
такий, що G(f t) = G.
Топологiчна еквiвалентнiсть потокiв на орiєнтованiй поверхнi роду 1 (торi) зводиться до
сумiрностi вiдповiдних чисел обертання Пуанкаре [1], а теорема 4.3 [1] описує можливий вигляд
кривих потоку в залежностi вiд рацiональностi чи iррацiональностi даного числа. Топологiчна
еквiвалентнiсть замкнених 1-форм [6] зводиться не лише до сумiрностi чисел обертання, а й
до iзоморфiзму вiдповiдних графiв 1-форм, тому при дослiдженнi реалiзацiї доцiльно викорис-
товувати як число обертання, так i граф.
Топологiчна еквiвалентнiсть потокiв на орiєнтованiй поверхнi роду бiльше нiж 1 зводиться
до сумiрностi вiдповiдних гомотопiчних класiв [4], а теорема 3.3 [2] задає реалiзацiю потоку
через узагальнення гомотопiчного класу — геодезичний каркас. Топологiчна еквiвалентнiсть
замкнених 1-форм [6] зводиться не лише до сумiрностi гомотопiчних класiв обертання, а й
до iзоморфiзму вiдповiдних графiв 1-форм, тому при дослiдженнi реалiзацiї доцiльно викорис-
товувати як геодезичний каркас, так i граф.
Теореми 4.3 [1] i 3.3 [2] не дають iнформацiї про граф, тому використання крiм зазначених
iнварiантiв потокiв ще i наперед визначеного графа є новою i не розв’язаною задачею, яка i
дослiджується у данiй роботi.
3. Основнi результати.
Означення 3.1. Вiдкриту множину U ⊂ M будемо називати областю, якщо ∂U склада-
ється з ребер i вершин графа G(ω).
Для отримання умов реалiзацiї розглянемо кiлька допомiжних лем.
Лема 3.1. Нехай M — замкнена поверхня роду p, ω — замкнена 1-форма на M, G(ω) —
граф ω, який вкладено в M i який розбиває M на областi Ui, тобто M\G = ∪Ui. Тодi:
1) область Ui заповнена лише або замкненими, або незамкненими рекурентними кривими;
2) якщо область Ui має незамкнену рекурентну пiвкриву, то ∂(M\Ui) має ребра з верши-
нами валентностi 1;
3) якщо зв’язна межа ∂(M\Ui) має хоча б одне ребро з вершиною валентностi 1, то
кiлькiсть таких ребер на данiй межi ∂(M\Ui) є парною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
РЕАЛIЗАЦIЯ ЗАМКНЕНОЇ 1-ФОРМИ НА ЗАМКНЕНИХ ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 743
Доведення. 1. Припустимо супротивне, тобто нехай iснує область Ui, в якiй є одночасно
замкненi i незамкненi рекурентнi кривi. Оскiльки данi кривi повнiстю заповнюють Ui, то буде
iснувати замкнена крива γ така, що незамкненi рекурентнi кривi перетинають досить малий
окiл γ. При близькому наближеннi до γ деяка незамкнена крива буде мати або граничну
точку на γ, або всю γ своєю граничною множиною. Оскiльки область Ui ⊂ M\G, то Ui не
мiстить особливих точок, а кривi 1-форми не можуть мати замкненi кривi своїми граничними
множинами. Тому данi випадки є неможливими.
Отже, довiльна область Ui заповнена лише або замкненими, або незамкненими рекурент-
ними кривими.
2. Припустимо супротивне, тобто нехай iснує область Ui, яка має незамкнену рекурентну
пiвкриву i ∂(M\Ui) не має вершин валентностi 1. Тодi навколо ∂(M\Ui) розташованi замкненi
iнтегральнi кривi ω i Ui мiстить замкненi i незамкненi рекурентнi кривi, що неможливо згiдно
з п. 1 леми.
3. Зауважимо, що якщо ∂(M\Ui) без вершин валентностi 1, то навколо ∂(M\Ui) розташо-
ванi замкненi кривi i скрiзь узгодженi порiвнюючi напрямки. Якщо ∂(M\Ui) має хоча б одне
ребро з вершиною валентностi 1, то в околi ∂(M\Ui) це ребро роздiлить замкненi кривi, а в
околi точки розриву змiняться порiвнюючi напрямки на протилежнi. Для того щоб порiвнюючi
напрямки були скрiзь узгодженими, потрiбно, щоб вони змiнювалися парну кiлькiсть разiв,
тобто щоб кiлькiсть ребер з вершиною валентностi 1 була парною.
Лему 3.1 доведено.
Означення 3.2. Граф G′ будемо називати парним G-графом, якщо в кожному максималь-
ному зв’язному пiдграфi з G, який має вершини валентностi 1, будуть проведенi склеювання
таким чином:
розглянемо довiльне ребро з вершиною валентностi 1 i з областi, якiй належить дана
вершина, продовжимо всi iншi ребра з вершинами валентностi 1 даного пiдграфа до вибраної
вершини;
всi ребра продовжуємо вздовж сусiднiх ребер i вершин даного пiдграфа по поверхнi M ;
продовження ребер з вершинами валентностi 1 не перетинаються мiж собою i не пере-
тинають граф G.
Далi в роботi без додаткових пояснень будемо для графа G використовувати граф G′,
визначений в означеннi 3.2, а для G(ω) — G′(ω).
Зауваження 3.1. 1. За побудовою граф G′ є вкладеним у M.
2. Якщо граф G не має вершин валентностi 1, то G′ = G.
3. За лемою 3.1 кiлькiсть ребер в G(ω) у кожнiй областi буде парною, тому ситуацiї, зобра-
женої на рис. 1, не буде, а всi новоутворенi вершини в G′(ω) будуть мати парну валентнiсть.
4. При склейцi лише двох ребер з вершинами валентностi 1 сiдла валентностi 2 розглядати
не будемо — буде лише одне суцiльне ребро. Тому G′(ω) має всi вершини парної валентностi
бiльше нiж 2.
Нехай M — замкнена поверхня, G — граф, вкладений у M. Розглянемо точки перетину xk
графа G i довiльної замкненої кривої s, зафiксуємо деяку точку перетину xk i поставимо їй у
вiдповiднiсть знак δk : + чи −. Тодi з кожною наступною точкою xk+1 будемо пов’язувати знак
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
744 Н. В. БУДНИЦЬКА, Т. В. РИБАЛКIНА
Рис. 1
δk+1 за таким правилом: якщо, рухаючись по s, кожну наступну точку перетину xk+1 можна
отримати, рухаючись вiд попередньої xk по ребрах i вершинах (чи ребрi) графа G, то для точки
xk+1 будемо вважати δk+1 = −δk, тобто δk змiнює знак. Якщо таких ребер (чи ребра) не iснує,
то з точкою xk+1 зiставимо δk+1 = δk, тобто δk знак не змiнює. Зауважимо, що знак δk будемо
ставити перед перетином кривої s з графом G, який визначає точку xk. Таким чином, на кривiй
s ми задали множину точок xk, якi утворенi перетином графа G з кривою s, i з кожною точкою
зiставили знак δk : + чи −.
Лема 3.2. Якщо G = G(ω) — граф замкненої 1-форми ω, то порiвнюючi напрямки в околi
G(ω) однозначно задають порiвнюючi напрямки в околi G′(ω) i навпаки.
Доведення. Якщо G(ω) не має вершин валентностi 1, то G′(ω) = G(ω) i лему доведено.
Нехай G(ω) має вершини валентностi 1. Розглянемо деякий зв’язний пiдграф з вершинами
валентностi 1 i довiльну замкнену криву s, що перетинає його. Точкам перетину пiдграфа з
кривою зiставимо знаки + i − за правилом, описаним вище. Оскiльки в кожнiй точцi перети-
ну знак ставиться до перетину s з ребром, то пiсля перетину розставимо протилежнi знаки.
Кожнiй новоутворенiй парi знакiв + i − зiставимо порiвнюючий напрямок, направлений вiд
− до +. Таким чином ми задали порiвнюючi напрямки на s, i зi змiною знакiв вiдбувається
змiна порiвнюючих напрямкiв. Рухаючись по s, порiвнюючий напрямок змiнює напрямок на
протилежний лише в точцi перетину s з ребром пiдграфа.
Для спрощення мiркувань будемо розглядати перетини s з кожним ребром G(ω) без додат-
кових перетинiв (наприклад, зображених на рис. 2).
a б
Рис. 2
Кожна вершина пiдграфа, крiм вершин валентностi 1, має парну валентнiсть, i порiвню-
ючий напрямок, рухаючись по s в околi кожної вершини (рис. 3, а), проходить через парну
кiлькiсть ребер. Оскiльки ребро з вершиною валентностi 1 може бути достатньо малим, то
може виникнути ситуацiя, коли в околi цiєї вершини s не перетне дане ребро i рух по s покаже
неузгодженiсть порiвнюючих напрямкiв, хоча насправдi це не так (рис. 3, б).
Щоб уникнути подiбного, можна накласти додаткову умову на s в околi сiдла, що має
вiдповiднi ребра: або s перетинає кожне ребро в двох точках (рис. 4, а), або s перетинає всi
ребра в однiй точцi кожне (рис. 4, б). Дана умова є громiздкою, оскiльки потрiбно розглядати
не довiльну замкнену криву s, а замкнену криву з описаною умовою.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
РЕАЛIЗАЦIЯ ЗАМКНЕНОЇ 1-ФОРМИ НА ЗАМКНЕНИХ ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 745
a б
Рис. 3
a б
Рис. 4
Розглянемо детальнiше структуру побудови G′ в околi одного сiдла, що має ребра з вер-
шинами валентностi 1. В кожнiй областi при побудовi G′ всi ребра з вершинами валентностi
1 продовжуються до спiльної точки, тобто продовженi ребра будуть сепаратрисами одночасно
двох сiдел. I тому якщо, рухаючись, крива s перетне певне ребро, то або s розвернеться i пе-
ретне це ребро знову (рис. 5, а), або поступово перетне всi ребра нового сiдла (рис. 5, б). Тому
пiсля склеювання умови, описанi для s, будуть виконуватись автоматично.
a б
Рис. 5
Провiвши такi склеювання у кожному пiдграфi, що має вершини валентностi 1, замiсть
G(ω) отримаємо граф G′(ω). Тому порiвнюючi напрямки в околi G(ω) однозначно задають
порiвнюючi напрямки в околi G′(ω) i навпаки, що i потрiбно було довести.
Лему 3.2 доведено.
Зауваження 3.2. Спосiб продовження ребер та вибiр вершини валентностi 1, до якої вiд-
бувається продовження, є несуттєвими. Важливим є те, що в результатi продовженi ребра будуть
сепаратрисами одночасно двох сiдел i умови для s (в доведеннi леми) будуть виконуватись.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
746 Н. В. БУДНИЦЬКА, Т. В. РИБАЛКIНА
Означення 3.3. Будемо казати, що для графа G виконується правило знакiв, якщо s
— довiльна замкнена крива, яка перетинає G′ послiдовно в точках xk, i кожнiй точцi xk
поставлено у вiдповiднiсть знак δk за правилом, описаним вище. Тодi при повному обходi s,
починаючи з точки xk, ми повернемося в початкову точку з тим самим знаком δk.
За теоремою 1 [9], якщо M — замкнена поверхня роду p, G — граф, який вкладений у M
i не має вершин валентностi 2, а має вершини лише парної валентностi, то iснує замкнена
1-форма ω з заданим графом G = G(ω) тодi i лише тодi, коли s — довiльна замкнена крива, яка
перетинає G послiдовно в точках xk i кожнiй точцi xk поставлено у вiдповiднiсть знак δk за
правилом, описаним вище. Тодi при повному обходi s, починаючи з точки xk, ми повернемося
в початкову точку з тим самим знаком δk.
Використовуючи означення 3.2, 3.3 i той факт, що G не має вершин валентностi 1, тобто
G′ = G, теорему 1 [9] можна переформулювати таким чином: якщо M — замкнена поверхня
роду p, G — граф, який вкладений у M i не має вершин валентностi 2, а має вершини лише
парної валентностi, то iснує замкнена 1-форма ω з заданим графом G = G(ω) тодi i лише
тодi, коли для G виконується правило знакiв. Дане формулювання є бiльш зручним i буде
використовуватись у доведеннях наступних теорем.
Орiєнтована поверхня роду 0. Нехай M — замкнена орiєнтована поверхня роду 0 (сфера),
тодi замкнена 1-форма ω на M не має незамкнених рекурентних кривих, тобто G(ω) не має
вершин валентностi 1. Тому реалiзацiя ω на данiй поверхнi зводиться до теореми 1 [9], що
описана вище.
Орiєнтована поверхня роду 1.
Теорема 3.1. Нехай M — замкнена орiєнтована поверхня роду 1 (тор), ν ∈ R ∪∞, G —
граф, вкладений у M, кожна зв’язна компонента якого має наступнi властивостi:
не має вершин валентностi 2,
має або вершини парної валентностi, або парне число ребер з однiєю вершиною валент-
ностi 1.
Граф G i число ν визначають замкнену 1-форму ω з графом G = G(ω) та числом обертання
Пуанкаре ν для кривих ω тодi i лише тодi, коли для G виконується правило знакiв i має мiсце
одна з умов:
1) G не має вершин валентностi 1, ν — рацiональне число або рiвне ∞;
2) G = ∅, ν — iррацiональне число;
3) G 6= ∅, ν — iррацiональне число i при цьому:
3.1) G має хоча б один пiдграф рiвно з двома ребрами з вершинами валентностi 1;
3.2) пiдграфи без вершин валентностi 1 i ребра з вершинами валентностi 1 не є межами
спiльної областi.
Доведення. Необхiднiсть. Оскiльки граф G(ω) замкненої 1-форми ω має таку ж будову,
як i граф G, то розглянемо G = G(ω) — граф, що вкладений у поверхню M. Для отримання
iнших умов розглянемо такi випадки:
1. G(ω) = ∅ i ω не має незамкненої рекурентної кривої, тодi G(ω) не має вершин валент-
ностi 1, умова щодо виконання правила знакiв для G зникає, а кривi ω будуть замкненими
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
РЕАЛIЗАЦIЯ ЗАМКНЕНОЇ 1-ФОРМИ НА ЗАМКНЕНИХ ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 747
без особливостей. За теоремою 4.2 [1] для таких кривих ω число обертання Пуанкаре ν є
рацiональним або дорiвнює ∞.
G(ω) 6= ∅ i ω не має незамкненої рекурентної кривої, тодi G(ω) не має вершин валентностi
1, а кривi ω мають центри, замкненi кривi, сепаратриси, сiдла. За теоремою 1 [9] для G(ω)
виконується правило знакiв, а за теоремою 4.2 [1] для таких кривих ω число обертання Пуанкаре
ν є рацiональним або дорiвнює ∞.
2. G(ω) = ∅ i ω має незамкненi рекурентнi кривi, тодi вони щiльно заповнюють тор i за
п. 2 теореми 4.2 [1] число обертання Пуанкаре ν є iррацiональним. Оскiльки G = ∅, то умова
щодо виконання правила знакiв для G зникає.
3. G(ω) 6= ∅ i ω має незамкненi рекурентнi кривi. Для дослiдження вигляду графа G(ω) до-
слiдимо можливi випадки одночасного iснування довiльного графа i незамкнених рекурентних
кривих на заданiй поверхнi.
Якщо незамкненi рекурентнi кривi не перетинають даний граф у сiдлах, то ∂(M\Ui) не має
вершин валентностi 1 i навколо ∂(M\Ui) розташованi замкненi кривi. Тодi область заповнена
одночасно замкненими i незамкненими рекурентними кривими, що за лемою 3.1 неможливо.
Тому незамкненi кривi будуть перетинати вкладений граф i ∂(M\Ui) має ребра з вершинами
валентностi 1.
Зауважимо, що довiльний зв’язний граф може перетинати лише двi незамкненi рекурентнi
кривi. Iнакше, пiсля видалення даного графа, заклеїмо межу диском i стягнемо його в точку,
отримаємо сiдло валентностi бiльше нiж 2, що неможливо.
З описаних мiркувань отримаємо, що G має хоча б один пiдграф рiвно з двома ребрами з
вершинами валентностi 1.
Якщо є пiдграфи без вершин валентностi 1, то вони розмiщенi таким чином, щоб замкненi
кривi навколо них не перетиналися з незамкненими рекурентними кривими, тобто щоб пiдграфи
без вершин валентностi 1 i ребра з вершинами валентностi 1 не були межами спiльної областi
(наприклад, зображений на рис. 6). Глобальна поведiнка незамкнених кривих не змiниться,
тому число ν не змiниться i залишиться iррацiональним.
Оскiльки на поверхнi задана замкнена 1-форма, то граф задовольняє правило знакiв.
Рис. 6
Отже, показано, що незалежно вiд вигляду кривих ω для G виконується правило знакiв i
умови 1 – 3.
Достатнiсть. Нехай G — граф, що описаний у теоремi, для якого виконується правило
знакiв. Розглянемо випадки 1 – 3 окремо i побудуємо по кожному замкнену 1-форму.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
748 Н. В. БУДНИЦЬКА, Т. В. РИБАЛКIНА
1. Нехай G не має вершин валентностi 1, тодi за теоремою 1 [9] на M iснує замкнена
1-форма ω з графом G = G(ω), а кривi ω можуть бути замкненими без особливостей, або
мати сiдла, центри, сепаратриси. Тодi на пiдставi теореми 4.2 [1] число обертання Пуанкаре ν
кривих ω iснує i або є рацiональним, або дорiвнює ∞. Оскiльки рацiональнi числа обертання
(включаючи ∞) завжди сумiрнi [1], то гомеоморфно можна так перетворити кривi ω, щоб вони
мали ν — число обертання Пуанкаре.
2. G = ∅, ν — iррацiональне. Побудуємо на M незамкненi кривi, для яких iррацiональне
число ν є числом обертання Пуанкаре. Тодi за п. 2 теореми 4.3 [1] на M немає замкнених
траєкторiй i M мiстить рiвно одну нетривiальну (вiдмiнну вiд станiв рiвноваги i замкненої
траєкторiї) мiнiмальну множину, яка або збiгається з усiм тором (транзитивний потiк), або
нiде не щiльна на торi (сингулярний потiк). Оскiльки незамкненi iнтегральнi кривi замкненої
1-форми можуть бути лише рекурентними, то, розглянувши випадок транзитивного потоку,
отримаємо поверхню M, заповнену незамкненими рекурентними кривими замкненої 1-форми.
3. G 6= ∅ i має хоча б один пiдграф рiвно з двома ребрами з вершинами валентностi 1;
пiдграфи без вершин валентностi 1 i ребра з вершинами валентностi 1 не є межами спiльної
областi, ν — iррацiональне. Побудуємо на M незамкненi рекурентнi кривi, для яких iрра-
цiональне число ν є числом обертання Пуанкаре. Розглянемо деяку частину (a; b) на деякiй
незамкненiй кривiй i видалимо її з кривої.
Розглянемо пiдграф з двома ребрами з вершинами валентностi 1. Якщо ребра з вершинами
валентностi 1 не мають спiльної вершини, то одну таку вершину ототожнимо з точкою a,
iншу — з точкою b, ребра з вершинами валентностi 1 покладемо на вiдповiднi незамкненi кривi
(щоб сам граф знаходився у видаленiй частинi кривої), потiм вiдкритi частини (a; b) отожнимо
з вiдповiдними зовнiшнiми частинами пiдграфа.
Якщо ребра з вершинами валентностi 1 мають спiльну вершину, то спочатку стягнемо
одну з двох вiдкритих частин (a; b) в точку a = b, потiм спiльну вершину ребер з вершинами
валентностi 1 ототожнимо з a = b, ребра з вершинами валентностi 1 покладемо на вiдповiднi
незамкненi кривi (щоб сам граф знаходився в розрiзанiй частинi кривої — петлi) i вiдкриту
частину (a; b) отожнимо з вiдповiдними зовнiшнiми частинами пiдграфа.
Таким чином ми „вставили” даний граф в незамкнену криву.
За умовою пiдграфи без вершин валентностi 1 i ребра з вершинами валентностi 1 не є
межами спiльної областi, тому такi пiдграфи розташуємо у внутрiшностi попереднiх. Оскiльки
для G виконується правило знакiв, то дана перебудова не змiнить порiвнюючих напрямкiв
в околi вставлених графiв. Провiвши аналогiчнi мiркування для всiх пiдграфiв, отримаємо
замкнену 1-форму на M.
Теорему 3.1 доведено.
Орiєнтована поверхня роду бiльше нiж 1.
Теорема 3.2. Нехай M — замкнена поверхня роду p > 1, G — граф, вкладений у M, кожна
зв’язна компонента якого має наступнi властивостi:
не має вершин валентностi 2,
має або вершини парної валентностi, або парне число ребер з однiєю вершиною валент-
ностi 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
РЕАЛIЗАЦIЯ ЗАМКНЕНОЇ 1-ФОРМИ НА ЗАМКНЕНИХ ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 749
Граф G розбиває поверхню на областi, тобто M\G = ∪Ui. Кожнiй Ui роду 1 зiставимо
число νi ∈ R, Ui роду бiльше нiж 1 — геодезичну ламiнацiю Gi, що задана на крузi Пуанкаре.
Граф G, числа νi, геодезичнi ламiнацiї Gi визначають замкнену 1-форму ω з графом
G = G(ω), νi — числами обертання Пуанкаре кривих ω на вiдповiдних Ui та Gi = Gi(ω)
— геодезичними каркасами кривих ω на вiдповiдних Ui тодi i лише тодi, коли:
1) для G виконується правило знакiв;
2) для Ui роду 0 ∂(M\Ui) не має вершин валентностi 1;
3) для Ui роду 1 кожен зв’язний пiдграф ∂(M\Ui) має рiвно два ребра, в кожному з яких є
по однiй вершинi валентностi 1, νi — iррацiональне число;
4) для Ui роду бiльше нiж 1 ∂(M\Ui) має вершини валентностi 1, Gi — iррацiональна
орiєнтована геодезична ламiнацiя.
Доведення. Граф G розбиває поверхню M на областi Ui таких типiв: двозв’язнi областi
роду 0, областi роду 1, областi роду бiльше нiж 1. Оскiльки M орiєнтована, то всi Ui також
орiєнтованi. Далi у доведеннi будемо використовувати це без пояснень.
Необхiднiсть. Оскiльки граф G(ω) замкненої 1-форми ω має таку ж будову, як i граф G,
то розглянемо G = G(ω) — граф, що вкладений у поверхню M.
Як i при доведеннi леми 3.2, за допомогою порiвнюючих напрямкiв задамо знаки + i − на
довiльнiй замкненiй кривiй, що перетинає G. Оскiльки порiвнюючi напрямки скрiзь узгодженi,
то i знаки будуть змiнюватися так само узгоджено, тобто для G виконується правило знакiв.
Отримали умову 1.
Умова 2 виконується, бо ребро з вершиною валентностi 1 задає незамкнену рекурентну
пiвкриву, а таких на областi роду 0 бути не може.
Для доведення умови 3 покажемо, що область роду 1 не може бути заповнена замкненими
кривими. Припустимо вiд супротивного, що область Ui заповнена замкненими кривими. Роз-
глянемо зв’язну суму Ui з її копiєю. Отримаємо замкнену орiєнтовану поверхню, заповнену
замкненими кривими. При цьому рiд новоутвореної поверхнi залежить вiд кiлькостi меж областi
Ui i буде дорiвнювати щонайменше 2 (при наявностi лише однiєї межi в Ui). Використовуючи
теорему Пункаре – Хопфа, переконуємося, що замкненими кривими може бути заповнена лише
орiєнтована поверхня роду 1, а не роду 2 чи бiльше. Отримали суперечнiсть.
Отже, область роду 1 заповнена незамкненими рекурентними кривими. За лемою 3.1
∂(M\Ui) має парну кiлькiсть вершин валентностi 1. Заклеївши ∂(M\Ui) дисками, отрима-
ємо тор.
Покажемо, що тор з незамкненими рекурентними кривими не може мати сiдел. Iзольованi
нулi замкненої 1-форми можуть бути сiдлами парної валентностi або центрами (стокiв чи вито-
кiв не буде). За теоремою Пуанкаре – Хопфа на торi можливi сiдла при одночасному iснуваннi
центрiв. Навколо кожного центра розташованi замкненi кривi. В розглядуваному випадку тор
заповнений незамкненими рекурентними кривими. Якщо на ньому iснують сiдла i центри, то
будуть одночасно заданi замкненi i незамкненi кривi, чого за лемою 3.1 не може бути. Тому
новоутворений тор з незамкненими рекурентними кривими не має сiдел.
Сiдла можливi на межi областi, але такi, щоб пiсля стягнення приклеєних до ∂(M\Ui)
дискiв в точку не утворилися сiдла. Це виконується, якщо ∂(M\Ui) має лише два ребра, в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
750 Н. В. БУДНИЦЬКА, Т. В. РИБАЛКIНА
кожному з яких є по однiй вершинi валентностi 1 (наприклад, зображений на рис. 7). Заклеївши
межi дисками i постягувавши цi диски в точки, одержимо тор, що заповнений незамкненими
рекурентними кривими. За теоремою 4.2 [1] число обертання Пуанкаре νi є iррацiональним
числом.
a б
Рис. 7
4. Як i у випадку з областю роду 1, область роду бiльше нiж 1 буде заповнена лише
незамкненими рекурентними кривими. За лемою 3.1 ∂(M\Ui) має парну кiлькiсть ребер з
вершинами валентностi 1. Заклеївши ∂(M\Ui) дисками i постягувавши цi диски в точки,
отримаємо орiєнтовану поверхню роду бiльше нiж 1; при цьому кривi, що задавали ребра з
вершинами валентностi 1 в графi G(ω), утворять сiдла парної валентностi (сiдла валентностi 2
розглядати не будемо, утвориться суцiльна крива). Нехай Gi(ω) — iррацiональний орiєнтований
геодезичний каркас 1-форми ω, що задана на новоутворенiй поверхнi. Тодi за теоремою 3.2 [2]
Gi = Gi(ω) — iррацiональна орiєнтована геодезична ламiнацiя.
Достатнiсть. За допомогою графа G, iррацiональних чисел νi, що вiдповiдають областям
Ui роду 1, iррацiональних орiєнтованих геодезичних ламiнацiй Gi, що вiдповiдають Ui роду
бiльше нiж 1, та умов 1 – 4 побудуємо замкнену 1-форму на поверхнi M. Спочатку заповнимо
кривими кожну область Ui.
Двозв’язнi областi роду 0 заповнимо замкненими кривими без самоперетинiв вiд однiєї
межi до iншої.
В областях Ui роду 1 позаклеюємо межi дисками, диски постягуємо в точки, отримаємо тор.
Оскiльки областям Ui роду 1 зiставлено iррацiональнi числа νi i ∂(M\Ui) має вершини роду
1, то заповнимо тор незамкненими рекурентними кривими, що мають νi — число обертання
Пуанкаре. При цьому ребра кожної зв’язної пiдмежi ∂(M\Ui) з вершинами валентностi 1 або
продовжуються на незамкненi кривi, або з’єднуються з такими ж ребрами iншої пiдмежi i тодi
продовжуються на незамкненi кривi.
В областях Ui роду бiльше нiж 1 позаклеюємо межi дисками, диски постягуємо в точки,
отримаємо замкнену орiєнтовану поверхню роду бiльше нiж 1. За теоремою 3.3 [2] на данiй
поверхнi iснує замкнена 1-форма така, що Gi(ω) = Gi — її геодезичний каркас.
Об’єднавши всi областi Ui, отримаємо поверхню M з заданими на кожнiй областi iнтеграль-
ними кривими. Оскiльки для графа G виконується умова 1, то порiвнюючi напрямки будуть
узгодженими як на самих областях, так i на межах мiж областями. Тому побудованi кривi будуть
iнтегральними кривими деякої замкненої 1-форми на поверхнi M.
Теорему 3.2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
РЕАЛIЗАЦIЯ ЗАМКНЕНОЇ 1-ФОРМИ НА ЗАМКНЕНИХ ОРIЄНТОВАНИХ ПОВЕРХНЯХ 751
1. Арансон С. Х., Гринес В. З. Топологическая классификация потоков на замкнутых поверхностях // Успехи мат.
наук. – 1986. – 41, вып. 1(247). – С. 149 – 169.
2. Aranson S. Kh., Grines V. Z., Zhuzhoma E. V. Using the Lobachevsky plane to study surfaces and 2-webs flows,
foliation // Proc. Int. Conf. BGL-4, Nizhny Novgorod; Kiev, 7 – 11 Sept. 2004. – P. 8 – 24.
3. Арансон С. Х., Жужома Е. В., Медведев В. С. О непрерывности геодезических каркасов потоков на поверхно-
стях // Мат. сб. – 1997. – 188, № 7. – С. 3 – 22.
4. Арансон С. Х., Гринес В. З. О некоторых инвариантах динамических систем на двумерных многообразиях
(необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности транзитивных систем) // Мат. сб. –
1973. – 90(132), № 3. – С. 372 – 401.
5. Бiлун С. В., Пришляк О. О. Замкненi 1-форми Морса на замкнених поверхнях // Вiсн. Київ. нац. ун-ту.
Математика. Механiка. – 2002. – № 8. – С. 77 – 81.
6. Будницька Н. В., Пришляк О. О. Еквiвалентнiсть замкнених 1-форм на замкнених орiєнтованих поверхнях //
Вiсн. Київ. нац. ун-ту. Математика. Механiка. – 2008. – № 19. – С. 36 – 38.
7. Будницька Н. В. Еквiвалентнiсть замкнених 1-форм на замкнених неорiєнтованих поверхнях // Нелiнiйнi
коливання. – 2009. – 12, № 2. – С. 155 – 167.
8. Будницька Н. В., Пришляк О. О. Еквiвалентнiсть замкнених 1-форм на поверхнях з краєм // Укр. мат. журн. –
2009. – 61, № 11. – С. 1455 – 1472.
9. Будницька Н. В. Реалiзацiя замкненої 1-форми з замкненими рекурентними кривими на замкнених поверхнях
// Проблеми топологiї та сумiжнi питання: Зб. наук. праць Iн-ту математики НАН України. – 2009. – 6, № 2. –
С. 340 – 348.
10. Prishlyak A. O. Topological equivalence of smooth functions with isolated critical points on a cloused surface //
Topology and Appl. – 2002. – № 119. – P. 257 – 267.
Одержано 22.09.10,
пiсля доопрацювання — 27.02.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2613 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:51Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bf/65b063ee1e561bc4323dcb1ce14c16bf.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26132020-03-18T19:30:57Z Realization of a closed 1-form on closed oriented surfaces Реалізація замкненої 1-форми на замкнених орієнтованих поверхнях Budnyts'ka, N. V. Rybalkina, T. V. Будницька, Н. В. Рибалкіна, Т. В. We study closed 1-forms with isolated zeros on closed orientable surfaces. Conditions under which given invariants generate a closed 1-form are found. Исследуются замкнутые 1-формы с изолированными нулями на замкнутых ориентируемых поверхностях. Найдены условия, при которых заданные инварианты будут определять замкнутую 1-форму. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2613 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 6 (2012); 739-751 Український математичний журнал; Том 64 № 6 (2012); 739-751 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2613/1985 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2613/1986 Copyright (c) 2012 Budnyts'ka N. V.; Rybalkina T. V. |
| spellingShingle | Budnyts'ka, N. V. Rybalkina, T. V. Будницька, Н. В. Рибалкіна, Т. В. Realization of a closed 1-form on closed oriented surfaces |
| title | Realization of a closed 1-form on closed oriented surfaces |
| title_alt | Реалізація замкненої 1-форми на замкнених орієнтованих поверхнях |
| title_full | Realization of a closed 1-form on closed oriented surfaces |
| title_fullStr | Realization of a closed 1-form on closed oriented surfaces |
| title_full_unstemmed | Realization of a closed 1-form on closed oriented surfaces |
| title_short | Realization of a closed 1-form on closed oriented surfaces |
| title_sort | realization of a closed 1-form on closed oriented surfaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2613 |
| work_keys_str_mv | AT budnyts039kanv realizationofaclosed1formonclosedorientedsurfaces AT rybalkinatv realizationofaclosed1formonclosedorientedsurfaces AT budnicʹkanv realizationofaclosed1formonclosedorientedsurfaces AT ribalkínatv realizationofaclosed1formonclosedorientedsurfaces AT budnyts039kanv realízacíâzamknenoí1forminazamknenihoríêntovanihpoverhnâh AT rybalkinatv realízacíâzamknenoí1forminazamknenihoríêntovanihpoverhnâh AT budnicʹkanv realízacíâzamknenoí1forminazamknenihoríêntovanihpoverhnâh AT ribalkínatv realízacíâzamknenoí1forminazamknenihoríêntovanihpoverhnâh |