On local near-rings with Miller?Moreno multiplicative group
A near-ring $R$ with identity is local if the set $L$ of all its noninvertible elements is a subgroup of the additive group $R^{+}$. We study the local near-rings of order $2^n$ whose multiplicative group $R^{*}$ is a Miller-Moreno group, i.e., a non-abelian group all proper subgroups of which are...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2618 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508548358733824 |
|---|---|
| author | Raievska, M. Yu. Sysak, Ya. P. Раєвська, М. Ю. Сисак, Я. П. |
| author_facet | Raievska, M. Yu. Sysak, Ya. P. Раєвська, М. Ю. Сисак, Я. П. |
| author_sort | Raievska, M. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:57Z |
| description | A near-ring $R$ with identity is local if the set $L$ of all its noninvertible elements is a subgroup of the additive group $R^{+}$.
We study the local near-rings of order $2^n$ whose multiplicative group $R^{*}$ is a Miller-Moreno group, i.e., a non-abelian group all proper subgroups of which are abelian.
In particular, it is proved that if $L$ is a subgroup of index $2^m$ in $R^{+}$, then either $m$ is a prime for which $2^m - 1$ is a Mersenna prime or $m = 1$. In the first case $n = 2m$,
the subgroup $L$ is elementary abelian, the exponent of $R^{+}$ does not exceed 4, and $R^{*}$ is of order $2^m(2^m - 1)$.
In the second case either $n < 7$ or the subgroup $L$ is abelian and $R^{*}$
is a nonmetacyclic group of order $2^{n−1}$
and of exponent at most $2^{n−4}$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.6
М. Ю. Раєвська, Я. П. Сисак (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ЛОКАЛЬНI МАЙЖЕ-КIЛЬЦЯ
З МУЛЬТИПЛIКАТИВНОЮ ГРУПОЮ МIЛЛЕРА – МОРЕНО
A near-ring R with identity is local if the set L of all its noninvertible elements is a subgroup of the additive group R+.
We study the local near-rings of order 2n whose multiplicative group R∗ is a Miller – Moreno group, i.e., a non-abelian
group all proper subgroups of which are abelian. In particular, it is proved that if L is a subgroup of index 2m in R+,
then either m is a prime for which 2m − 1 is a Mersenna prime or m = 1. In the first case n = 2m, the subgroup
L is elementary abelian, the exponent of R+ does not exceed 4, and R∗ is of order 2m(2m − 1) ). In the second case
either n < 7 or the subgroup L is abelian and R∗ is a nonmetacyclic group of order 2n−1 and of exponent at most
2n−4.
Почти-кольцо R с единицей локально, если множество L всех его необратимых элементов является подгруппой
аддитивной группы R+ . Изучаются локальные почти-кольца порядка 2n , мультипликативная группа R∗ кото-
рых является группой Миллера – Морено, т. е. неабелевой группой, все собственные подгруппы которой абелевы.
Доказано, в частности, что если L — подгруппа индекса 2m в R+ , то либо m — простое число, для которого
2m − 1 является простым числом Мерсенна, либо m = 1. В первом случае n = 2m, подгруппа L элементарная
абелева, экспонента группы R+ не превышает 4 и порядок группы R∗ равен 2m(2m − 1). Во втором случае
либо n < 7, либо подгруппа L абелева, а R∗ — неметациклическая группа порядка 2n−1 и экспоненты не выше
2n−4 .
1. Вступ. Майже-кiльця — це множини з двома бiнарними операцiями, додаванням та мно-
женням, що задовольняють всi аксiоми асоцiативного кiльця, за винятком комутативностi до-
давання та одного (в даному випадку правого) дистрибутивного закону. Типовим прикладом
майже-кiльця є множина Map(G) всiх вiдображень деякої групи G в себе вiдносно операцiй
їх додавання, яке iндукується операцiєю групи, та множення, що є композицiєю вiдображень.
В той час як теорiя асоцiативних кiлець — це по сутi вивчення лiнiйних вiдображень на абе-
левих групах, майже-кiльця можна розглядати як нелiнiйний аналог теорiї кiлець, який вивчає
загальний випадок довiльних вiдображень на групах.
Нагадаємо, що кiльце R з одиницею, множина L всiх необоротних елементiв якого утво-
рює iдеал в R, а отже фактор-кiльце R/L є тiлом, називається локальним кiльцем. Як легко
переконатися, в означеннi локального кiльця достатньо насправдi припускати, що L є тiльки
пiдгрупою адитивної групи кiльця R. Замiнивши в ньому слово „кiльце” на „майже-кiльце”,
отримаємо означення локальних майже-кiлець, вивчення яких уперше було iнiцiйовано К. Мек-
соном [11]. Майже-поля — це локальнi майже-кiльця, множина всiх необоротних елементiв яких
складається з одного нуля. Зокрема, кожне тiло є майже-полем. Першi приклади скiнченних
майже-полiв, якi не є полями, а отже, мультиплiкативна група яких є неабелевою, були по-
будованi Л. Дiксоном ще на початку минулого столiття в роботi [6], присвяченiй питанню
незалежностi аксiом поля. В подальшому майже-поля вивчались головним чином через їх за-
стосування в геометрiї, iнформацiю про якi можна почерпнути з 20-ї глави книги М. Холла
[2], де мiститься також класифiкацiя мультиплiкативних груп скiнченних майже-полiв, яка була
отримана К. Цассенхаузом в [16].
Очевидно, що майже-поле з абелевою мультиплiкативною групою є полем. Локальнi майже-
кiльця, мультиплiкативна група яких є абелевою i якi не є кiльцями, вивчались О. Городником
[8]. Ним, зокрема, доведено, що множина всiх необоротних елементiв такого майже-кiльця
c© М. Ю. РАЄВСЬКА, Я. П. СИСАК, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6 811
812 М. Ю. РАЄВСЬКА, Я. П. СИСАК
утворює абелеву пiдгрупу iндексу 2 в його адитивнiй групi. Наступним природним кроком є
дослiдження локальних майже-кiлець, мультиплiкативна група яких є мiнiмальною неабелевою
або, в iншiй термiнологiї, групою Мiллера – Морено. Випадок, коли адитивна група такого
майже-кiльця є p -групою з p 6= 2, розглядався в [1]. Крiм того, в [3] описано локальнi майже-
кiльця з мультиплiкативною групою дiедра, а в [14] — з мультиплiкативною групою, що є
узагальненою групою кватернiонiв. У данiй статтi вивчаються локальнi майже-кiльця порядку
2n з мультиплiкативною групою Мiллера – Морено.
Скрiзь нижче |A| — число елементiв множини A, Φ(A) — пiдгрупа Фраттiнi групи A,
Z(A) — центр групи A та |A : B| — iндекс пiдгрупи B в групi A.
2. Попереднi результати. Нагадаємо спочатку основнi означення, що стосуються майже-
кiлець та пов’язаних з ними груп.
Означення 1. Множина R з двома бiнарними операцiями + та · називається (лiвим)
майже-кiльцем, якщо:
1) (R,+) = R+ — група з нейтральним елементом 0,
2) (R, ·) — напiвгрупа,
3) x · (y + z) = x · y + x · z для всiх x, y, z ∈ R.
З умови 3 означення випливає, що для кожної пiдгрупи M групи R+ та кожного елемента
x ∈ R множина xM = {x ·y|y ∈M} є пiдгрупою в R+ i, зокрема, x ·0 = 0. Майже-кiльце R
називається нуль-симетричним, якщо також 0 · x = 0, та майже-кiльцем з одиницею i, якщо
напiвгрупа (R, ·) є моноїдом з одиничним елементом i.
Лема 1. Нехай R — майже-кiльце з одиницею i. Тодi в групi автоморфiзмiв AutR+
iснує пiдгрупа A, яка iзоморфна мультиплiкативнiй групi R∗ та задовольняє умову iA = {ia |
a ∈ A} = R∗.
Доведення. За умовою 3 означення для кожного s ∈ R вiдображення ŝ : r 7→ s−1r з r ∈
∈ R є автоморфiзмом групи R+. Крiм того, вiдповiднiсть s 7→ ŝ визначає мономорфiзм групи
R∗ в групу Aut R+, оскiльки для довiльних s, t ∈ R∗ маємо rŝt = (st)−1r = t−1(s−1r) =
= t−1(rŝ) = (rŝ)t̂ та з рiвностi iŝ = i випливає s = i. Отже, якщо A — образ групи R∗
вiдносно вiдображення ˆ , то iA = {iŝ = s−1 | s ∈ R∗} = R∗, що i доводить лему.
Пiдгрупу A, визначену в лемi 1, будемо називати групою автоморфiзмiв групи R+, асоцi-
йованою з групою R∗ .
Як i для кiлець, гомоморфiзми майже-кiлець — це гомоморфiзми їх адитивних груп та
мультиплiкативних напiвгруп одночасно. Зокрема, якщо α — гомоморфiзм майже-кiльця R,
то його ядро Ker α — нормальна пiдгрупа в R+, яка називається iдеалом майже кiльця R.
Легко перевiрити, що нормальна пiдгрупа I iз R+ є iдеалом в R тодi i тiльки тодi, коли
для всiх r, s ∈ R та x ∈ I справедливо rx ∈ I та (r + x)s − rs ∈ I . Пiдгрупа M iз R+
називається R∗ -iнварiантною, якщо rM ≤ M для кожного r ∈ R∗, та (R,R) -пiдгрупою,
якщо xMy ⊆M для довiльних x, y ∈ R.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
ПРО ЛОКАЛЬНI МАЙЖЕ-КIЛЬЦЯ З МУЛЬТИПЛIКАТИВНОЮ ГРУПОЮ МIЛЛЕРА – МОРЕНО 813
Означення 2. Майже-кiльце R з одиницею називається локальним, якщо множина L =
= R\R∗ всiх необоротних елементiв iз R утворює пiдгрупу адитивної групи R+, та майже-
полем, якщо L = 0.
Як вiдомо [16], адитивна група скiнченного майже-поля елементарна абелева. Очевидно
також, що якщо пiдгрупа L є iдеалом локального майже-кiльця R, то R/L є майже-полем.
Наступна лема, яка випливає з [3] (див. леми 3.2, 3.5, 3.9 та наслiдок 3.8), характеризує основнi
властивостi скiнченних локальних майже-кiлець.
Лема 2. Нехай R — скiнченне локальне майже-кiльце з одиницею i та L — пiдгру-
па в R+ всiх необоротних елементiв iз R. Тодi R+ — p -група для деякого простого p,
експонентою якої є адитивний порядок одиницi i, та справджуються наступнi твердження:
1) L — iдеал в R та (R,R) -пiдгрупа в R+;
2) кожна власна R∗ -iнварiантна пiдгрупа iз R+ мiститься в L;
3) множина i+L утворює нормальну силовську p -пiдгрупу мультиплiкативної групи R∗;
4) фактор-група R∗/i+ L iзоморфна мультиплiкативнiй групi майже-поля R/L.
Зазначимо, що локальнi майже-кiльця з циклiчною пiдгрупою L розглядалися в [1], де
встановлено, зокрема, що адитивна група такого майже-кiльця R або циклiчна порядку pn
з n ≥ 1, або є елементарною абелевою групою порядку p2. Звiдси та з [5] випливає, що в
першому випадку R є локальним кiльцем, iзоморфним кiльцю лишкiв Z/pnZ, а в другому,
згiдно з [12], iснує в точностi p неiзоморфних майже-кiлець R з |L| = p, з яких p − 1 є
нуль-симетричними. Що стосується майже-полiв порядку p2, то їх класифiкацiя випливає з
[16].
Нагадаємо також, що скiнченна група називається групою Мiллера – Морено, якщо вона
неабелева, а всi її власнi пiдгрупи є абелевими. Будова таких груп є вiдомою i повнiстю
описується наступною теоремою (див. [13]).
Теорема 1. Скiнченнi групи Мiллера – Морено вичерпуються групами наступних типiв:
1) групою кватернiонiв Q8;
2) групою G = 〈a〉o 〈b〉 порядку pm+n з ap
m
= bp
n
= 1 та b−1ab = a1+pm−1
, де m ≥ 2
та n ≥ 1;
3) групою G = (〈a〉 × 〈c〉) o 〈b〉 порядку pm+n+1 з ap
m
= bp
n
= cp = 1, b−1ab = ac та
b−1cb = c, де m ≥ n ≥ 1 та m+ n > 2 при p = 2;
4) групою G = P o 〈b〉 порядку prqs з елементарною абелевою пiдгрупою P порядку pr,
на якiй елемент b iндукує незвiдний автоморфiзм простого порядку q, причому bq
s
= 1 та
〈bq〉 = Z(G), де p, q — рiзнi простi та r, s — натуральнi числа.
3. Групи автоморфiзмiв, асоцiйованi з мультиплiкативними 2-групами локальних
майже-кiлець. Нехай R — скiнченне локальне майже-кiльце з одиницею i та L — група всiх
необоротних елементiв iз R. Тодi за лемою 2 адитивна група R+ є p -групою з нормальною
пiдгрупою L, елементарною абелевою фактор-групою R+/L та експонентою, що дорiвнює
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
814 М. Ю. РАЄВСЬКА, Я. П. СИСАК
порядку елемента i. Якщо A — група автоморфiзмiв групи R+, асоцiйована з мультиплiка-
тивною групою R∗, то за лемою 1 R+ = iA ∪ L. Тому вивчення локальних майже-кiлець в
значнiй мiрi зводиться до вивчення скiнченних p -груп K з нормальною пiдгрупою L, група
автоморфiзмiв Aut K яких мiстить таку пiдгрупу A порядку |K| − |L|, що K = iA ∪ L для
деякого елемента i максимального порядку в K.
В даному пунктi ми розглянемо випадок, коли K є 2 -групою з пiдгрупою L iндексу 2,
в якому група автоморфiзмiв A є групою порядку |K| − |L| = |L|, тобто також 2 -групою.
Наступнi двi леми — це реалiзацiя вказаної схеми для груп порядкiв 64 та 128 за допомогою
обчислень, виконаних з використанням системи комп’ютерної алгебри GAP, версiя 4.4.12.
Лема 3. Нехай K — нециклiчна група порядку 64, група автоморфiзмiв AutK якої
мiстить пiдгрупу A порядку 32. Якщо в групi K iснують елемент i максимального порядку
та пiдгрупа L iндексу 2 такi, що K = iA ∪ L, то пiдгрупа A є неметациклiчною.
Лема 4. Нехай K — група порядку 128 та A — силовська 2 -пiдгрупа її групи ав-
томорфiзмiв AutK. Якщо в K iснують елемент i максимального порядку та пiдгрупа L
iндексу 2 такi, що K = iA ∪ L, то A не мiстить пiдгруп Мiллера – Морено порядку 64 та
експоненти 16.
Спираючись на лему 3, як базу iндукцiї, отримуємо таке твердження.
Лема 5. Нехай K — нециклiчна група порядку 2n, група автоморфiзмiв AutK якої
мiстить метациклiчну пiдгрупу A порядку 2n−1. Якщо в групi K iснують елемент i макси-
мального порядку та пiдгрупа L iндексу 2 такi, що K = iA ∪ L, то n ≤ 5.
Доведення. Оскiльки 2n = |K| ≤ |iA| + 2n−1 та |iA| ≤ 2n−1, то |iA| = 2n−1 i тому
CA(i) = 1 та iA = iL. Звiдси L = K\iA, так що L є A -iнварiантною нормальною пiдгрупою
в K. Оскiльки пiдгрупа Фраттiнi Φ(K) є власною пiдгрупою в L та характеристичною в K,
а отже A -iнварiантною, то iснує A -iнварiантна пiдгрупа M iндексу 2 в L, яка мiстить Φ(K)
та нормальна в K. Тодi iM ⊆ iL = iA, i тому iснує така пiдмножина B iз A, що iM = iB.
Покажемо, що насправдi B є пiдгрупою iндексу 2 в A.
Дiйсно, якщо a, b ∈ B, то ia = ix та ib = iy для деяких x, y ∈ M. Тодi iab = ibxb =
= i(yxb) ∈ iM, i тому ab ∈ B. Аналогiчно, i = ia
−1
xa
−1
, звiдки ia
−1
= i(x−1)a
−1 ∈ iM,
тобто a−1 ∈ B. Отже, B — пiдгрупа в A, а тому з рiвностей CA(i) = 1 та iM = iB випливає
|B| = |M | = 2n−2, що i потрiбно було показати.
Покладемо тепер N = 〈 i 〉M. Оскiльки фактор-група K/Φ(K), а отже i K/M, елемен-
тарна абелева, то i2 ∈M i тому M — пiдгрупа iндексу 2 в N. Звiдси N = iM ∪M = iB∪M
i, таким чином, N — група порядку 2n−1, група автоморфiзмiв Aut N якої мiстить метацик-
лiчну пiдгрупу B порядку 2n−2 та задовольняє умови леми. Отже, якщо iснує група порядку
2n з n > 5, що задовольняє умови леми, то iснує i група порядку 2n−1, яка теж задовольняє
аналогiчнi умови. Оскiльки за лемою 3 груп порядку 64 = 26 з такими умовами не iснує, то
звiдси випливає, що n ≤ 5.
Лему 5 доведено.
Наступне твердження доведено в [9].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
ПРО ЛОКАЛЬНI МАЙЖЕ-КIЛЬЦЯ З МУЛЬТИПЛIКАТИВНОЮ ГРУПОЮ МIЛЛЕРА – МОРЕНО 815
Лема 6. Нехай G — скiнченна p -група та N — її нормальна пiдгрупа, що мiститься в
пiдгрупi Фраттiнi Φ(G) групи G. Якщо центр Z(N) циклiчний, то пiдгрупа N є циклiчною.
Леми 4 та 6 покладено в основу останнього твердження цього пункту.
Лема 7. Нехай K — група порядку 2n+1, група автоморфiзмiв AutN якої мiстить
неметациклiчну пiдгрупу Мiллера – Морено A порядку 2n та експоненти 2n−2. Якщо в групi
K iснують елемент i максимального порядку та нециклiчна пiдгрупа L iндексу 2 такi, що
K = iA ∪ L, то n ≤ 5.
Доведення. Згiдно з теоремою 1 A = (〈 a 〉 × 〈 c 〉) o 〈 b 〉, де a2n−2
= b2 = c2 = 1 та
b−1ab = ac. Крiм того, L — A -iнварiантна нормальна пiдгрупа в K порядку 2n та iA = iL,
як показано в доведеннi леми 5. Тому L = i−1iA = [i, A] — нормальна пiдгрупа напiвпрямого
добутку G = K o A, що мiститься в його комутантi G′, а отже i в пiдгрупi Фраттiнi Φ(G).
Звiдси за лемою 6 випливає, що центр Z(L) є нециклiчним, i тому iснує нормальна в G
елементарна абелева пiдгрупа E порядку 4, що мiститься в Z(L).
Припустимо, що n > 5, i розглянемо централiзатор C〈 a 〉(L) пiдгрупи L в 〈 a 〉. Якщо
C〈 a 〉(L) = 1, то a iндукує в L автоморфiзм порядку 2n−2, i тому за лемою 9 роботи
[4] фактор-група L/E є або дiедральною групою, або узагальненою групою кватернiонiв.
Зокрема, її центр Z(L/E) — циклiчна пiдгрупа порядку 2. З iншого боку, L/E — нормальна
пiдгрупа фактор-групи G/E, що мiститься в її пiдгрупi Фраттiнi Φ(G/E), а тому за лемою 6
її центр є циклiчним лише у випадку, коли L/E циклiчна. Отримана суперечнiсть означає, що
C〈 a 〉(L) 6= 1, звiдки [a2n−3
, L] = 1. З цiєї ж причини [i−1a2n−3
i, L] = 1.
Нехай V — пiдгрупа в G, породжена елементами a2n−3
та i−1a2n−3
i. Тодi V = 〈a2n−3〉×
× 〈i−1a2n−3
i〉 — нормальна в G елементарна абелева пiдгрупа порядку 4, оскiльки i2 ∈ L.
Крiм того, K∩V = 〈x 〉, де x = i−1ia
2n−3
, — нормальна в G пiдгрупа порядку 2. Розглянемо
фактор-групу Ḡ = G/V, в якiй покладемо K̄ = KV/V, ī = iV, L̄ = LV/V та Ā = AV/V.
Тодi K̄ = īĀ ∪ L̄ та CĀ(K̄) = 1. Очевидно також, що K̄ ' K/〈x 〉 та Ā ' A/〈 a2n−3 〉. Тому
K̄ — група порядку 2n з групою автоморфiзмiв Ā, що є неметациклiчною групою Мiллера –
Морено порядку 2n−1 та експоненти 2n−3, для яких виконуються умови леми. Оскiльки
за лемою 4 групи порядку 128 = 27, що задовольняють такi умови, не iснують, то звiдси
випливає, що n ≤ 5.
Лему 7 доведено.
4. Локальнi майже-кiльця, мультиплiкативна група яких є 2-групою. Скрiзь у цьому
пунктi R — скiнченне локальне майже-кiльце з одиницею i та L — пiдгрупа в R+ всiх його
необоротних елементiв.
Лема 8. Нехай R — локальне майже-кiльце, мультиплiкативна група R∗ якого є 2 -
групою. Тодi R+ — 2 -група, L — пiдгрупа iндексу 2 в R+ та R∗ = i+ L.
Доведення. Оскiльки за лемою 2 R+ є групою порядку pn з простим числом p та n ≥ 1,
то |L| = pm для деякого 1 ≤ m < n, звiдки pn − pm = |R∗| = 2k для деякого k ≥ 1.
Очевидно, остання рiвнiсть має мiсце лише при p = 2 та k = m = n− 1, а тому R+ — група
порядку 2n, L — її пiдгрупа iндексу 2 та R∗ = i+ L.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
816 М. Ю. РАЄВСЬКА, Я. П. СИСАК
Лема 9. Нехай R — локальне майже-кiльце, мультиплiкативна група R∗ якого є мета-
циклiчною 2 -групою. Якщо адитивна група R+ нециклiчна, то |R| = 2n з n ≤ 5.
Доведення. За лемою 8 R+ — група порядку 2n для деякого n ≥ 1, L — пiдгрупа
iндексу 2 в R+ та R∗ = i + L. Нехай A — пiдгрупа в Aut R+, асоцiйована з групою R∗.
Тодi R+ = iA ∪ L за лемою 1, |A| = 2n−1 та i є елементом максимального порядку в групi
R+. Отже, якщо група R+ нециклiчна, то за лемою 5 n ≤ 5.
Лема 10. Нехай R — локальне майже-кiльце та M — пiдгрупа його адитивної групи
R+. Якщо множина i + M мiститься в мультиплiкативнiй групi R∗ та централiзується в
нiй елементом −i, то пiдгрупа M є абелевою.
Доведення. Дiйсно, для довiльного x ∈M маємо −i+(−i)x = (−i)(i+x) = (i+x)(−i) =
= −x − i, звiдки (−i)x = i − x − i. Зокрема, (−i)(x + y) = i − (x + y) − i для довiльних
x, y ∈ M. З iншого боку, внаслiдок лiвої дистрибутивностi (−i)(x + y) = (−i)x + (−i)y =
= (i−x− i) + (i− y− i) = i−x− y− i = i− (y+x)− i. Отже, x+ y = y+x, тобто пiдгрупа
M є абелевою.
Лема 11. Нехай R — локальне майже-кiльце порядку 2n+1, мультиплiкативна група R∗
якого є неметациклiчною 2 -групою Мiллера – Морено. Якщо пiдгрупа L неабелева, то R∗ —
група порядку 2n та експоненти 2n−2.
Доведення. За лемою 8 L — пiдгрупа порядку 2n та i+L = R∗. Отже, якщо L неабелева,
то за лемою 10 −i — нецентральний елемент в групi R∗. Оскiльки остання є неметациклiчною
групою Мiллера – Морено порядку 2n та (−i)2 = i, то за теоремою 1 R∗ = (〈a〉 × 〈c〉)o 〈−i〉
з a2n−2
= c2 = i i, таким чином, R∗ є групою експоненти 2n−2.
Лема 12. Якщо R — локальне майже-кiльце порядку 2n+1, мультиплiкативна група R∗
якого є неметациклiчною 2 -групою Мiллера – Морено експоненти 2n−2, то n ≤ 5.
Доведення. Нехай A — пiдгрупа в Aut R+, асоцiйована з групою R∗. Тодi за лемою 1
R+ = iA ∪ L. Крiм того, за лемою 8 L — пiдгрупа iндексу 2 в R+ та R∗ = i + L. Отже,
A — неметациклiчна група Мiллера – Морено порядку 2n та експоненти 2n−2. Оскiльки i —
елемент максимального порядку в R+, то за лемою 7 n ≤ 5.
5. Основнi теореми. Як i в попередньому пунктi, далi R — скiнченне локальне майже-
кiльце з одиницею i та L — пiдгрупа в R+ всiх його необоротних елементiв.
Теорема 2. Нехай R — локальне майже-кiльце, мультиплiкативна група R∗ якого є
2 -групою Мiллера – Морено. Тодi справджуються наступнi твердження:
1) |R| = 2n з n ≥ 4, L — пiдгрупа iндексу 2 в R+ та R∗ = i+L — група порядку 2n−1;
2) якщо n ≥ 6, то група R∗ неметациклiчна;
3) якщо n ≥ 7, то пiдгрупа L абелева, а експонента групи R∗ не перевищує 2n−4.
Доведення. Дiйсно, перше твердження випливає з леми 8, друге — з леми 9 i третє — з
леми 12.
Згiдно з лемою 2, L тодi i тiльки тодi є пiдгрупою iндексу |R : L| > 2 в R+, коли
мультиплiкативна група R∗ не є 2 -групою. Наступна лема характеризує будову майже-кiльця
R у цьому випадку.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
ПРО ЛОКАЛЬНI МАЙЖЕ-КIЛЬЦЯ З МУЛЬТИПЛIКАТИВНОЮ ГРУПОЮ МIЛЛЕРА – МОРЕНО 817
Лема 13. Якщо R — локальне майже-кiльце порядку 2n з |R : L| > 2 та мультиплi-
кативною групою Мiллера – Морено, то n = 2m для такого простого числа m, що 2m − 1
є простим числом Мерсенна, експонента групи R+ не перевищує 4 та L — елементарна
абелева група порядку 2m з L2 = 0.
Доведення. Дiйсно, нехай |R : L| = 2m з m > 2. Тодi |L| = 2n−m, звiдки |R∗| =
= 2n − 2n−m = 2n−m(2m − 1) i тому |R∗ : i + L| = 2m − 1. За лемою 2 i + L — нормальна
силовська 2 -пiдгрупа в R∗, а отже, за теоремою Шура R∗ = (i + L) o K з пiдгрупою
K порядку 2m − 1, iзоморфною мультиплiкативнiй групi майже-поля R/L. Оскiльки R∗ є
групою Мiллера – Морено, то за теоремою 1 K = 〈 b 〉 — циклiчна група порядку qs для деякого
простого числа q та s ≥ 1. Таким чином, 2m − 1 = qs, що на пiдставi основного результату
роботи [10] можливо лише коли s = 1 та m — просте число. Зокрема, |b| = q = 2m − 1.
Крiм того, за цiєю ж теоремою i+L — елементарна абелева пiдгрупа в R∗, на якiй елемент b
iндукує незвiдний автоморфiзм порядку q = 2m − 1. Оскiльки |i+L| = 2n−m, то q = 2m − 1
— примiтивний простий дiльник числа 2n−m−1 (див., наприклад, [7], лема 5.6.3), що можливо
лише при n = n−m, тобто n = 2m.
Далi, для кожного 0 6= x ∈ L вiдображення x̂ : r 7→ xr з r ∈ R є ендоморфiзмом групи
R+, ядро Ker x̂ та образ xR якого за лемою 2 належать L, а тому |Ker x̂| ≤ |L| = 2m та
|xR| ≤ |L| = 2m. Враховуючи, що Ker x̂ є нормальною пiдгрупою в R+ та R+/Ker x̂ ' xR,
отримуємо 2n = |R| = |Ker x̂||xR| ≤ 22m = 2n, звiдки |Ker x̂| = |xR| = 2m. Отже, Ker x̂ =
= L = xR. А оскiльки R+/L — елементарна абелева 2 -група та RL ⊆ L за лемою 2, звiдси
випливає i + i = i · 2 ∈ L та L2 = (xR)L ⊆ x(RL) = xL = 0. Але тодi x · 2 = x + x =
= x · i+x · i = x ·(i+ i) = 0 для кожного x ∈ L i тому L є елементарною абелевою 2 -групою,
а отже експонента групи R+ не перевищує 4.
Лему 13 доведено.
Наступна теорема пiдсумовує результати, отриманi в [1] (теорема 7), в теоремi 2 та лемi 13.
Теорема 3. Нехай R — локальне майже-кiльце порядку 2n, мультиплiкативна група
якого є групою Мiллера – Морено, та L пiдгрупа всiх необоротних елементiв з R. Тодi n ≥ 4
та справджуються наступнi твердження:
1) якщо R — майже-поле, то R∗ — група Мiллера – Морено порядку 63;
2) якщо |R : L| > 2, то R+ — група порядку 22p та експоненти не вище 4, де p —
просте число, для якого число 2p − 1 є простим числом Мерсенна, R∗ — група Мiллера –
Морено порядку 2p(2p − 1) та L — елементарна абелева 2 -група, в якiй xy = 0 для всiх x,
y ∈ L;
3) якщо |R : L| = 2, то при n ≥ 7 пiдгрупа L абелева, а R∗ — неметациклiчна група
Мiллера – Морено порядку 2n−1 та експоненти не вище 2n−4.
1. Раєвська М. Ю. Локальнi майже-кiльця з мультиплiкативною групою Мiллера – Морено // Вiсн. Київ. ун-ту.
Математика, Механiка. – 2011. – 25. – С. 45 – 48.
2. Холл М. Теория групп. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 468 с.
3. Amberg B., Hubert P., Sysak Ya. P. Local near-rings with dihedral multiplicative group // J. Algebra. – 2004. – 273.
– P. 700 – 717.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
818 М. Ю. РАЄВСЬКА, Я. П. СИСАК
4. Baginski C., Malinowska I. On groups of order pn with automorphisms of order pn−2 // Demonstr. Math. – 1996.
– 29. – P. 365 – 375.
5. Clay J. R., Malone J. J. (jr.) The near-rings with identities on certain finite groups // Math. Scand. – 1966. – 19.
P. 146 – 150.
6. Dickson L. E. Definitions of a group and a field by independent postulates // Trans. Amer. Math. Soc. – 1905. – 6.
P. 198 – 204.
7. Gorenstein D. Finite groups. – New York: Harper & Row, 1968. – 527 p.
8. Gorodnik A. Local near-rings with commutative groups of units // Houston J. Math. – 1999. – 25. – P. 223 – 234.
9. King B. W. Normal subgroups of groups of prime-power order // Lect. Notes Math.: Proc. Second Int. Conf. Theory
Groups (Australian Nat. Univ., Canberra, 1973). – Berlin: Springer, 1974. – 372. – P. 401 – 408.
10. Ligh S., Neal L. A note on Mersenne numbers // Math. Mag. – 1974. – 47. – P. 231 – 233.
11. Maxson C. J. On local near-rings // Math. Z. – 1968. – 106. – S. 197 – 205.
12. Maxson C. J. Local near-rings of cardinality p2 // Can. Math. Bull. – 1968. – 11. – P. 555 – 561.
13. Redei L. Das “schiefe Produkt” in der Gruppentheorie mit Anwendung auf die endlichen nichtkommutativen Gruppen
mit lauter kommutativen echten Untergruppen und die Ordnungszahlen, zu denen nur kommutative Gruppen gehören
// Comment. math. helv. – 1947. – 20. – S. 225 – 264.
14. Sysak Ya. P., Di Termini S. Local near-rings with generalized quaternion multiplicative group // Ric. mat. – 2007. –
56. – P. 61 – 72.
15. Sysak Ya. P. Products of groups and local nearrings // Note Mat. – 2008. – 28, № 2. – P. 177 – 211.
16. Zassenhaus H. Über endliche Fastkörper // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. – 1935/36. – 11. – S. 187 – 220.
Одержано 26.10.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2618 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:57Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c7/ee5d7963dfda430dbd37c1153e54b1c7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26182020-03-18T19:30:57Z On local near-rings with Miller?Moreno multiplicative group Про локальні майже-кільця з мультиплікативною групою Міллера - Морено Raievska, M. Yu. Sysak, Ya. P. Раєвська, М. Ю. Сисак, Я. П. A near-ring $R$ with identity is local if the set $L$ of all its noninvertible elements is a subgroup of the additive group $R^{+}$. We study the local near-rings of order $2^n$ whose multiplicative group $R^{*}$ is a Miller-Moreno group, i.e., a non-abelian group all proper subgroups of which are abelian. In particular, it is proved that if $L$ is a subgroup of index $2^m$ in $R^{+}$, then either $m$ is a prime for which $2^m - 1$ is a Mersenna prime or $m = 1$. In the first case $n = 2m$, the subgroup $L$ is elementary abelian, the exponent of $R^{+}$ does not exceed 4, and $R^{*}$ is of order $2^m(2^m - 1)$. In the second case either $n < 7$ or the subgroup $L$ is abelian and $R^{*}$ is a nonmetacyclic group of order $2^{n−1}$ and of exponent at most $2^{n−4}$. Почти-кольцо $R$ с единицей локально, если множество $L$ всех его необратимых элементов является подгруппой аддитивной группы $R^{+}$. Изучаются локальные почти-кольца порядка $2^n$, мультипликативная группа $R^{*}$, которых является группой Миллера – Морено, т. е. неабелевой группой, все собственные подгруппы которой абелевы. Доказано, в частности, что если $L$ — подгруппа индекса $2^m$ в $R^{+}$, то либо $m$ — простое число, для которого $2^m - 1$ является простым числом Мерсенна, либо $m = 1$. В первом случае $n = 2m$, подгруппа $L$ элементарная абелева, экспонента группы $R^{+}$ не превышает 4 и порядок группы $R^{*}$ равен $2^m(2^m - 1)$. Во втором случае либо $n < 7$, либо подгруппа L абелева, а $R^{*}$— неметациклическая группа порядка $2^{n−1}$ и экспоненты не выше $2^{n−4}$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2618 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 6 (2012); 811-818 Український математичний журнал; Том 64 № 6 (2012); 811-818 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2618/1995 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2618/1996 Copyright (c) 2012 Raievska M. Yu.; Sysak Ya. P. |
| spellingShingle | Raievska, M. Yu. Sysak, Ya. P. Раєвська, М. Ю. Сисак, Я. П. On local near-rings with Miller?Moreno multiplicative group |
| title | On local near-rings with Miller?Moreno multiplicative group |
| title_alt | Про локальні майже-кільця з мультиплікативною групою Міллера - Морено |
| title_full | On local near-rings with Miller?Moreno multiplicative group |
| title_fullStr | On local near-rings with Miller?Moreno multiplicative group |
| title_full_unstemmed | On local near-rings with Miller?Moreno multiplicative group |
| title_short | On local near-rings with Miller?Moreno multiplicative group |
| title_sort | on local near-rings with miller?moreno multiplicative group |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2618 |
| work_keys_str_mv | AT raievskamyu onlocalnearringswithmillermorenomultiplicativegroup AT sysakyap onlocalnearringswithmillermorenomultiplicativegroup AT raêvsʹkamû onlocalnearringswithmillermorenomultiplicativegroup AT sisakâp onlocalnearringswithmillermorenomultiplicativegroup AT raievskamyu prolokalʹnímajžekílʹcâzmulʹtiplíkativnoûgrupoûmílleramoreno AT sysakyap prolokalʹnímajžekílʹcâzmulʹtiplíkativnoûgrupoûmílleramoreno AT raêvsʹkamû prolokalʹnímajžekílʹcâzmulʹtiplíkativnoûgrupoûmílleramoreno AT sisakâp prolokalʹnímajžekílʹcâzmulʹtiplíkativnoûgrupoûmílleramoreno |