Scalar operators equal to the product of unitary roots of the identity operator
We study the set of all $\gamma \in \mathbb{C}$ for which there exist unitary operators $U_i$ such that $U_1U_2 ... U_n = \gamma I$ and $U_i^{m_i} = I$, where $m_i \in \mathbb{N}$ are given.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2619 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508549130485760 |
|---|---|
| author | Samoilenko, Yu. S. Yakymenko, D. Yu. Самойленко, Ю. С. Якименко, Д. Ю. Самойленко, Ю. С. Якименко, Д. Ю. |
| author_facet | Samoilenko, Yu. S. Yakymenko, D. Yu. Самойленко, Ю. С. Якименко, Д. Ю. Самойленко, Ю. С. Якименко, Д. Ю. |
| author_sort | Samoilenko, Yu. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:57Z |
| description | We study the set of all $\gamma \in \mathbb{C}$ for which there exist unitary operators $U_i$ such that $U_1U_2 ... U_n = \gamma I$ and $U_i^{m_i} = I$, where $m_i \in \mathbb{N}$ are given. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:26:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 513.88
Ю. С. Самойленко, Д. Ю. Якименко (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
СКАЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, РАВНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЮ
УНИТАРНЫХ КОРНЕЙ ИЗ ЕДИНИЧНОГО ОПЕРАТОРА
We study the set of all γ ∈ C for which there exist unitary operators Ui such that U1U2 . . . Un = γI and Umi
i = I , where
mi ∈ N are given.
Вивчається множина тих γ ∈ C, для яких iснують такi унiтарнi оператори Ui, що U1U2 . . . Un = γI та Umi
i = I,
де mi ∈ N є заданими.
Пусть H — гильбертово пространство (конечномерное или бесконечномерное сепарабельное)
над C. В ряде статей (см. [1 – 4] и приведенную в них библиографию) изучались, в частности,
следующие задачи:
1) нахождение множества всех λ ∈ R, для которых существуют самосопряженные операто-
ры {Ak}nk=1 с заданными спектрами {σ(Ak)}nk=1 такие, что выполняется соотношение
A1 +A2 + . . .+An = λIH , (1)
где IH — единичный оператор в H;
2) описание с точностью до унитарной эквивалентности неприводимых наборов операторов
{Ak}nk=1 с заданными спектрами {σ(Ak)}nk=1, удовлетворяющих соотношению (1).
Аналогичные вопросы естественны и для произведений унитарных операторов (см., напри-
мер, [5 – 7]):
1) при каких γ ∈ S1 (через S1 будем обозначать множество {|γ| = 1, γ ∈ C}) существуют
унитарные операторы {Uk}nk=1 с заданными спектрами {σ(Uk)}nk=1 такие, что выполняется
соотношение
U1U2 . . . Un = γIH ; (2)
2) дать описание с точностью до унитарной эквивалентности неприводимых наборов опера-
торов {Uk}nk=1 с заданными спектрами {σ(Uk) ⊂ S1}nk=1, удовлетворяющих соотношению (2).
О мультипликативных задачах и их связях с аддитивными см., например, [8 – 10].
Настоящая статья посвящена изучению множества
∏
(m1,...,mn)
, mk ∈ N, mk ≥ 2, k =
= 1, . . . , n, тех γ ∈ S1, для которых существуют унитарные операторы {Uk}nk=1 такие, что
Umk
k = I и выполняется соотношение (2).
Через S1
n будем обозначать множество {γn = 1, γ ∈ C}. Если n = 1, то очевидно, что∏
(m) = S1
m. При n = 2 нетрудно доказать, что
∏
(m1,m2)
= S1
НОК(m1,m2)
, где НОК(m1, . . . ,mn)
— наименьшее общее кратное чисел mk.
В случае n = 3 и
1
m1
+
1
m2
+
1
m3
> 1 множество
∏
(m1,m2,m3)
конечно и подсчитано (см.
теорему 1).
При
1
m1
+
1
m2
+ . . .+
1
mn
≤ n− 2 в [5], в частности, было показано, что
∏
(2,2,2,2) = S1, а
в [6] — что
∏
(m,m,m) = S1 при m ≥ 3.
c©Ю. С. САМОЙЛЕНКО, Д. Ю. ЯКИМЕНКО, 2012
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6 819
820 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, Д. Ю. ЯКИМЕНКО
Мы докажем (см. теорему 2), что при
1
m1
+
1
m2
+
1
m3
≤ 1 множество
∏
(m1,m2,m3)
= S1
при дополнительном условии, что m2, m3 являются четными, однако при
1
m1
+
1
m2
+
1
m3
= 1
множество
∏
(m1,m2,m3)
= S1 без дополнительных условий (теорема 3).
1. Отметим следующее свойство множества
∏
(m1,...,mn)
.
Утверждение .
∏
(m1,...,mn)
не зависит от порядка {mi}.
Доказательство. Действительно, если U = U1U2 . . . Un, где Umi
i = I, Ui унитарные, то
U = U1U2 . . . Uk−2(Uk)(U
−1
k Uk−1Uk)Uk+1 . . . Un,
где Umi
i = I при i ≤ k−2, (Uk)
mk = I, (U−1k Uk−1Uk)
mk−1 = I, Umi
i = I при i ≥ k+1. Отсюда
получаем, что транспозиции в наборе {mi} не меняют множество
∏
(m1,...,mn)
, а значит, и любая
перестановка {mi} его не меняет.
Утверждение доказано.
Отметим, что если mi ≥ 2, то
1
m1
+
1
m2
+
1
m3
> 1 будет только при (m1,m2,m3) =
= (2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 3, 5) или (2, 2, n), n ≥ 2, а
1
m1
+
1
m2
+
1
m3
= 1 только при (m1,m2,m3) =
= (2, 4, 4), (3, 3, 3) или (2, 3, 6) с точностью до перестановки.
Теорема 1. В случае, когда
1
m1
+
1
m2
+
1
m3
> 1,∏
(2,2,n)
= S1
2n,
∏
(2,3,3)
= S1
12,
∏
(2,3,4)
= S1
24,
∏
(2,3,5)
= S1
60.
Доказательство. Через G(m1,m2,m3) будем обозначать группу, заданную образующими
и соотношениями 〈x, y, z, u | xm1 = ym2 = zm3 = 1, xyz = u, u ∈ Z(G)〉 (условие u ∈
∈ Z(G) означает, что выполняются равенства xu = ux, yu = uy, zu = uz). Отметим, что
любой неприводимый набор {U1, U2, U3}, для которого γI = U1U2U3, U
mi
i = I, порождает
неприводимое представление π группы G(m1,m2,m3) : π(x) = U1, π(y) = U2, π(z) = U3, π(u) =
= γI. И наоборот, неприводимое представление дает неприводимый набор {U1, U2, U3}.
1. Рассмотрим группу G(2,2,n). Имеем (xy)n = (uz−1)n = unz−n = un; (yx)n = x(xy)nx =
= xunx = un, отсюда u2n = unun = (xy)n(yx)n = 1. Отсюда получаем
∏
(2,2,n) ⊂ S1
2n.
Обозначим t = un. Несложно видеть, что G(2,2,n) ' 〈x, y, t | x2 = y2 = 1, (xy)n = t,
t2 = 1, t ∈ Z(G)〉 × Cn. Но 〈x, y, t | x2 = y2 = 1, (xy)n = t, t2 = 1, t ∈ Z(G)〉 ' D2n,
где D2n = 〈x, y | x2 = y2 = (xy)2n = 1〉 (группа диэдра), так как (xy)n ∈ Z(D2n). Для D2n
существуют представления π, для которых π((xy)n) = −I (можно, например, взять одномерное
представление {1,−1} подгруппы {1, (xy)n} и построить индуцированное представление), а
значит, существуют представления π группы 〈x, y, t | x2 = y2 = 1, (xy)n = t, t2 = 1, t ∈ Z(G)〉,
для которых π(t) = −I. Отсюда
∏
(2,2,n) = S1
2n.
2. Рассмотрим группу G(5,3,2) = 〈x, y, z, u | x5 = y3 = z2 = 1, xyz = u, u ∈ Z(G)〉.
Поскольку z = (xy)−1u и z2 = 1, выполняется (xy)2 = u2. Обозначим Q1 = u−1xy, Q2 =
= u−1yx. Тогда Q2
1 = Q2
2 = 1. Поскольку xyxy = u2, то x4 = x−1 = u−2yxy, y2 = y−1 =
= u−2xyx. Подсчитаем Q1Q2 :
Q1Q2 = u−2x(y2)x = u−2x(u−2xyx)x = u−4x2yx2 = u−4x2y(x−1)x3 =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
СКАЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, РАВНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЮ УНИТАРНЫХ КОРНЕЙ . . . 821
= u−4x2y(u−2yxy)x3 = u−6x2y2xyx3 = u−6(x2y2)x(x2y2)−1.
Отсюда (Q1Q2)
5 = u−30(x2y2)x5(x2y2)−1 = u−30, (Q2Q1)
5 = Q1(Q1Q2)
5Q1 = Q1u
−30Q1 =
= u−30.Отсюда u−60 = u−30u−30 = (Q1Q2)
5(Q2Q1)
5 = 1, т. е. u60 = 1, а значит,
∏
(2,3,5) ⊂ S1
60.
Обозначим x′ = xu−6, y′ = yu−10, z′ = zu−15. Тогда x′5 = y′3 = z′2 = u−30, x′y′z′ =
= xyzu−31 = u−30. Пусть t = u−30. Тогда несложно видеть, что G(5,3,2) ' 〈x, y, z, t | x5 =
= y3 = z2 = xyz = t, t2 = 1, t ∈ Z(G)〉 × C30.
Группа 〈x, y, z, t | x5 = y3 = z2 = xyz = t, t2 = 1, t ∈ Z(G)〉 — это бинарная икосаэдриче-
ская группа (порядка 120). Она имеет представления π, для которых π(t) = −I (можно взять
одномерное представление {1,−1} подгруппы {1, t} и построить индуцированное представле-
ние), а значит, есть представления G(5,3,2), для которых π(u−30) = −I. Отсюда
∏
(2,3,5) = S1
60.
Аналогично показываем, что
∏
(2,3,4) = S1
24,
∏
(2,3,3) = S1
12.
Рассмотрим группу G(4,3,2) = 〈x, y, z, u | x4 = y3 = z2 = 1, xyz = u, u ∈ Z(G)〉. Имеем
(xy)2 = u2, x3 = x−1 = u−2yxy, y2 = y−1 = u−2xyx. Обозначим Q1 = u−1xy, Q2 = u−1yx,
Q2
1 = Q2
2 = 1. Тогда
Q1Q2 = u−2x(y2)x = u−2x(u−2xyx)x = u−4x2yx2 = u−4(x2)y(x−2).
Отсюда (Q1Q2)
3 = u−12(x2)y3(x−2) = u−12, (Q2Q1)
3 = Q1(Q1Q2)
3Q1 = Q1u
−12Q1 = u−12,
Откуда u−24 = u−12u−12 = (Q1Q2)
3(Q2Q1)
3 = 1, т. е. u24 = 1, а значит,
∏
(2,3,4) ⊂ S1
24.
Обозначим x′ = xu−3, y′ = yu−4, z′ = zu−6. Тогда x′4 = y′3 = z′2 = u−12, x′y′z′ =
= xyzu−13 = u−12. Пусть t = u−12. Тогда несложно видеть, что G(4,3,2) ' 〈x, y, z, t | x4 =
= y3 = z2 = xyz = t, t2 = 1, t ∈ Z(G)〉 × C12.
Группа 〈x, y, z, t | x4 = y3 = z2 = xyz = t, t2 = 1, t ∈ Z(G)〉 — это бинарная октаэдрическая
группа (порядка 48). Она имеет представления π, для которых π(t) = −I, а значит, есть
представления G(4,3,2), для которых π(u−12) = −I. Отсюда
∏
(2,3,4) = S1
24.
Рассмотрим группу G(3,3,2) = 〈x, y, z, u | x3 = y3 = z2 = 1, xyz = u, u ∈ Z(G)〉. Имеем
(xy)2 = u2, x2 = x−1 = u−2yxy, y2 = y−1 = u−2xyx. Обозначим Q1 = u−1xy, Q2 = u−1yx,
Q2
1 = Q2
2 = 1. Тогда
Q1Q2 = u−2x(y2)x = u−2x(u−2xyx)x = u−4x2yx2 = u−4(x)(xy)(x−1).
Отсюда (Q1Q2)
2 = u−8(x)(xy)2(x−1) = u−8(x)u2(x−1) = u−6, (Q2Q1)
2 = Q1(Q1Q2)
2Q1 =
= Q1u
−6Q1 = u−6. Отсюда u−12 = u−6u−6 = (Q1Q2)
2(Q2Q1)
2 = 1, т. е. u12 = 1, а значит,∏
(2,3,3) ⊂ S1
12.
Обозначим x′ = xu−2, y′ = yu−2, z′ = zu−3. Тогда x′3 = y′3 = z′2 = u−6, x′y′z′ =
= xyzu−7 = u−6. Пусть t = u−6. Тогда несложно видеть, что G(3,3,2) ' 〈x, y, z, t | x3 = y3 =
= z2 = xyz = t, t2 = 1, t ∈ Z(G)〉 × C6.
Группа 〈x, y, z, t | x3 = y3 = z2 = xyz = t, t2 = 1, t ∈ Z(G)〉 — это бинарная тетраэдная
группа (порядка 24). Она имеет представления π, для которых π(t) = −I, а значит, есть
представления G(3,3,2), для которых π(u−6) = −I. Отсюда
∏
(2,3,3) = S1
12.
Теорема 1 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
822 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, Д. Ю. ЯКИМЕНКО
Замечание. Чтобы найти все неприводимые наборы {U1, U2, U3}, удовлетворяющие усло-
виям γI = U1U2U3, U
mi
i = I при
1
m1
+
1
m2
+
1
m3
> 1, достаточно найти все неприводимые
представления группы G(m1,m2,m3), которая, как было показано при доказательстве теоремы 1,
конечна и при (m1,m2,m3) = (2, 2, n) есть прямое произведение циклической на группу диэд-
ра, а при (2, 3, 3), (2, 3, 4), (2, 3, 5) — произведение циклической на соответствующую бинарную
полиэдрическую группу.
2. Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема 2. Пусть
1
m1
+
1
m2
+
1
m3
≤ 1, где m2,m3 являются четными. Тогда∏
(m1,m2,m3)
= S1.
Доказательство. Рассмотрим треугольную группу T(m1,m2,m3) = 〈x, y, z | xm1 = ym2 =
= zm3 = xyz = 1〉. В условиях теоремы эта группа бесконечная (см. например, [11]). Рас-
смотрим ее (левое) регулярное представление подгруппой перестановок натуральных чисел.
Элементу x будет соответствовать некая перестановка чисел из N, которую обозначим через
X. Аналогично, y соответствует перестановка Y, а элементу z — Z. Ясно, что для переста-
новок выполняются те же соотношения: Xm1 = Y m2 = Zm3 = XY Z = 1, где 1 обозначает
тождественную перестановку.
Возьмем сепарабельное гильбертово пространствоH с ортонормированным базисом {v1, . . .
. . . , vn, . . .}, dimH =∞.
Рассмотрим унитарные операторы A,B,C в H следующего вида:
Avn = ei·a(n)vX(n), Bvn = ei·b(n)vY (n), Cvn = ei·c(n)vZ(n) ∀n ∈ N, где a, b, c : N → R —
некоторые функции.
Покажем, что a, b, c можно подобрать таким образом, что будут выполняться соотношения
Am1 = Bm2 = Cm3 = I, ABC = γI,
для любого наперед заданного γ = eiλ ∈ S1, из чего будет следовать утверждение теоремы.
Условие Am1 = I эквивалентно следующему: для любого n
a(n) + a(X(n)) + . . .+ a(Xm1−1(n)) = 2πk1(n), k1(n) ∈ Z.
Отметим, что для любого n Xm1(n) = n, так как xm1 = 1 в группе T(m1,m2,m3). Аналогично,
условия Bm2 = I, Cm3 = I эквивалентны соответственно условиям
b(n) + b(Y (n)) + . . .+ b(Y m2−1(n)) = 2πk2(n), k2(n) ∈ Z,
c(n) + c(Z(n)) + . . .+ c(Zm3−1(n)) = 2πk3(n), k3(n) ∈ Z,
для любого n.
Условие ABC = γI эквивалентно следующему:
c(n) + b(Z(n)) + a(Y Z(n)) = λ+ 2πk4(n), k4(n) ∈ Z.
Отметим, что для любого n XY Z(n) = n, так как xyz = 1.
Покажем, что полученная бесконечная система уравнений имеет решение при любом λ ∈ R,
откуда следует, что искомые функции a, b, c существуют.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
СКАЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, РАВНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЮ УНИТАРНЫХ КОРНЕЙ . . . 823
Положим ki(n) = 0, a(n) = 0. Тогда при n > 0 получим следующую систему:
b(n) + b(Y (n)) + . . .+ b(Y m2−1(n)) = 0,
c(n) + c(Z(n)) + . . .+ c(Zm3−1(n)) = 0,
c(n) + b(Z(n)) = λ.
По условию теоремы m2, m3 являются четными, т. е. m2 = 2l2, m3 = 2l3, l2, l3 ∈ N.
Рассмотрим более сильную систему
b(n) + b(Y l2(n)) = 0,
c(n) + c(Z l3(n)) = 0,
c(n) + b(Z(n)) = λ,
n > 0.
Выражая c(n) из третьего уравнения и подставляя во второе, для любого n получаем
b(Z(n)) + b(Z l3(Z(n))) = 2λ, что эквивалентно b(n) + b(Z l3(n)) = 2λ.
В итоге получаем эквивалентную систему
b(n) + b(Y l2(n)) = 0,
b(n) + b(Z l3(n)) = 2λ,
c(n) = λ− b(Z(n)),
n > 0.
Ясно, что эта система совместна тогда и только тогда, когда совместна система
b(n) + b(Y l2(n)) = 0,
b(n) + b(Z l3(n)) = 2λ,
n > 0.
Далее для доказательства теоремы нам понадобится следующая лемма.
Лемма . В группе T(m1,m2,m3) = 〈x, y, z | xm1 = ym2 = zm3 = xyz = 1〉 при
1
m1
+
+
1
m2
+
1
m3
≤ 1 и m2 = 2l2,m3 = 2l3, l2, l3 ∈ N, выполняются неравенства
∀k 6= 0: (yl2zl3)k 6= 1, (yl2zl3)kyl2 6= 1, zl3(yl2zl3)k 6= 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
824 Ю. С. САМОЙЛЕНКО, Д. Ю. ЯКИМЕНКО
Доказательство. Если
1
m1
+
1
2l2
+
1
2l3
= 1, то это возможно лишь при (m1, 2l2, 2l3) =
= (2, 4, 4) или (m1, 2l2, 2l3) = (3, 2, 6).
Рассмотрим случай (2, 4, 4). Группа T(2,4,4) имеет представление, которое удобно задавать
как преобразования комплексных чисел. Отображение Y, соответствующее y, — это поворот
плоскости C : Y (c) = εc, где ε = ei2π/4, c ∈ C; отображение Z — это поворот со смещением:
Z(c)− 1 = ε(c− 1). Тогда Y 2(c) = (Y (Y (c)) = −c, Z2(c)− 1 = (Z(Z(c))− 1 = ε(Z(c)− 1) =
= −(c − 1), т. е. Z2(c) = −c + 2. Отсюда (Y 2Z2)(c) = c − 2 и поэтому ∀k 6= 0: (Y 2Z2)k 6= id
(тождественному преобразованию), а значит, и в группе T(2,4,4) (y2z2)k 6= 1 ∀k 6= 0.
Рассмотрим случай (3, 2, 6). Группа T(3,2,6) в этом случае имеет следующее представление:
отображение Z(c) = εc, где ε = ei2π/6, c ∈ C; X(c) − 1 = ε2(c − 1); Y (c) = −c − 1 − ε.
Тогда Z3(c) = −c, Y Z3(c) = c − 1 − ε. Поэтому ∀k 6= 0: (Y Z3)k 6= id, а значит, и в группе
T(3,2,6) (yz3)k 6= 1 ∀k 6= 0.
Пусть теперь
1
m1
+
1
2l2
+
1
2l3
< 1. Рассмотрим так называемую „полную” треугольную
группу T ∗(m1,m2,m3)
= 〈a, b, c | a2 = b2 = c2 = (ab)m1 = (bc)m2 = (ca)m3 = 1〉, которая является
группой Кокстера. Элементы x = ab, y = bc, z = ca порождают подгруппу G, изоморфную
обычной треугольной группе T(m1,m2,m3) (см. [11]), хотя для нас будет важно лишь то, что
эта подгруппа является представлением T(m1,m2,m3), что очевидно. Покажем, что в T ∗(m1,2l2,2l3)
выполняются неравенства (yl2zl3)k 6= 1 ∀k 6= 0, где y = bc, z = ca. Из этого будет следовать,
что эти неравенства выполняются и в подгруппе G, а значит, и в группе T(m1,2l2,2l3).
По теореме 2.9 из [11], если слово w из T ∗(m1,m2,m3)
, приведенное к каноническому виду
(в котором любые две соседние буквы различны), равно 1, то в этом слове w есть подслово l,
которое является подсловом одного из слов r1 = (ab)m1 , r2 = (bc)m2 , r3 = (ca)m3 , r4 = (ba)m1 ,
r5 = (cb)m2 , r6 = (ac)m3 (приведенных к каноническому виду), и при этом длина l превышает
половину длины соответствующего ri.
Слово (yl2zl3)k имеет канонический вид
(bcbc . . . bc︸ ︷︷ ︸
2l2−2 буквы
ba caca . . . ca︸ ︷︷ ︸
2l3−2 буквы
)(bcbc . . . bc ba caca . . . ca) . . . .
Несложно видеть, что это слово не содержит подслово ri больше половины длины ri.
Значит, (yl2zl3)k 6= 1 ∀k 6= 0.
Если (yl2zl3)kyl2 = 1, то (yl2zl3)2k = (yl2)2 = 1, поэтому (yl2zl3)kyl2 6= 1, аналогично
zl3(yl2zl3)k 6= 1.
Лемма доказана.
Продолжим доказательство теоремы 2. Рассмотрим подгруппу, порожденную элементами
Y l2 , Z l3 . Все числа N разбиваются на орбиты под действием этой подгруппы: N =
⋃
Nn, где
Nn = {n, Y l2(n), Z l3(n), . . . , (Y l2Z l3)k(n), (Y l2Z l3)kY l2(n), Z l3(Y l2Z l3)k(n), . . .},
k ≥ 1. Все элементы из Nn различны. Действительно, пусть g1, g2, g ∈ T(m1,m2,m3), элементам
g1, g2 соответствуют перестановки P1, P2 в регулярном представлении, а элементу g соответст-
вует номер n в множестве N, на котором действует регулярное представление. Тогда номерам
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
СКАЛЯРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, РАВНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЮ УНИТАРНЫХ КОРНЕЙ . . . 825
P1(n), P2(n) будут соответствовать элементы группы g1g и g2g. Отсюда P1(n) = P2(n) только
при g1 = g2. А в силу леммы 1 все (yl2zl3)k, (yl2zl3)kyl2 , zl3(yl2zl3)k (∀k ∈ N) различны.
Для каждой орбиты произвольным образом зададим значение b(n) для одного из чисел n
из этой орбиты. В силу равенств b(n) + b(Y l2(n)) = 0, b(n) + b(Z l3(n)) = 2λ получаем, что
значения b(n) для чисел n из одной орбиты будут получаться однозначно. Это несложно видеть,
если соединить каждое число n c Y l2(n) и Z l3(n) отрезками. Тогда числа из одной орбиты Nn
будут соединены в бесконечную цепочку.
Теорема 2 доказана.
3. Выделим как отдельное утверждение следующий результат.
Теорема 3. Пусть
1
m1
+
1
m2
+
1
m3
= 1. Тогда
∏
(m1,m2,m3)
= S1.
Доказательство. При (m1,m2,m3) = (2, 4, 4) или (2, 3, 6) это непосредственно следует
из теоремы 2. Случай (m1,m2,m3) = (3, 3, 3) следует из [6] (следствие 1).
1. Кругляк С. А., Рабанович В. И., Самойленко Ю. С. О суммах проекторов // Функцион. анализ и его прил. –
2002. – 36, вып. 3. – С. 20 – 35.
2. Меллит А. С., Рабанович В. И., Самойленко Ю. С. Когда сумма частичных отражений кратна единичному
оператору // Функцион. анализ и его прил. – 2004. – 38, вып. 2. – С. 91 – 94.
3. Островський В. Л., Самойленко Ю. С. Про спектральнi теореми для сiмей лiнiйно пов’язаних самоспряжених
операторiв iз заданими спектрами, що асоцiйованi з розширеними графами Динкiна // Укр. мат. журн. – 2006.
– 58, № 11. – С. 1556 – 1570.
4. Albeverio S., Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. On functions of graphs and representations of a certain class of ∗-algebras
// J. Algebra. – 2007. – 308. – P. 567 – 582.
5. Halmos P. R., Kakutani S. Products of symmetries // Bull. Amer. Math. Soc. – 1958. – 64, № 3, pt 1. – P. 77 – 78.
6. Hladnik M., Omladic M., Radjavi H. Products of roots of the identity // Proc. Amer. Math. Soc. – 2001. – 129. –
P. 459 – 465.
7. Albeverio S., Rabanovich S. Decomposition of a scalar operator into a product of unitary operators with two points
in spectrum // Linear Algebra and its Appl. – 2010. – 433. – P. 1127 – 1137.
8. Kostov V. On the Deligne – Simpson problem // Comp. Rend. l’Acad. Sci. – Ser. I – Math. – 1999. – 329, Issue 8. –
P. 657 – 662.
9. Crawley-Boevey W., Shaw P. Multiplicative preprojective algebras, middle convolution and the Deligne – Simpson
problem // Adv. Math. – 2006. – 201. – P. 180 – 208.
10. Etingof P., Rains E. New deformations of group algebras of Coxeter groups // Int. Math. Res. Not. – 2005. – № 10.
– P. 635 – 646.
11. Magnus W. Noneuclidean tesselations and their groups. – New York: Acad. Press, 1974. – 208 p.
Получено 31.01.12,
после доработки — 10.04.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2619 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:26:58Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/97/b5a3f8ea0884b8272b5ed09d1bf54097.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26192020-03-18T19:30:57Z Scalar operators equal to the product of unitary roots of the identity operator Скалярные операторы, равные произведению унитарных корней из единичного оператора Samoilenko, Yu. S. Yakymenko, D. Yu. Самойленко, Ю. С. Якименко, Д. Ю. Самойленко, Ю. С. Якименко, Д. Ю. We study the set of all $\gamma \in \mathbb{C}$ for which there exist unitary operators $U_i$ such that $U_1U_2 ... U_n = \gamma I$ and $U_i^{m_i} = I$, where $m_i \in \mathbb{N}$ are given. Вивчається множина тих $\gamma \in \mathbb{C}$, для яких iснують такi унiтарнi оператори $U_i$ , що $U_1U_2 ... U_n = \gamma I$ та $U_i^{m_i} = I$, де $m_i \in \mathbb{N}$ є заданими. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2619 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 6 (2012); 819-825 Український математичний журнал; Том 64 № 6 (2012); 819-825 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2619/1997 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2619/1998 Copyright (c) 2012 Samoilenko Yu. S.; Yakymenko D. Yu. |
| spellingShingle | Samoilenko, Yu. S. Yakymenko, D. Yu. Самойленко, Ю. С. Якименко, Д. Ю. Самойленко, Ю. С. Якименко, Д. Ю. Scalar operators equal to the product of unitary roots of the identity operator |
| title | Scalar operators equal to the product of unitary roots of the identity operator |
| title_alt | Скалярные операторы, равные произведению унитарных корней из единичного оператора |
| title_full | Scalar operators equal to the product of unitary roots of the identity operator |
| title_fullStr | Scalar operators equal to the product of unitary roots of the identity operator |
| title_full_unstemmed | Scalar operators equal to the product of unitary roots of the identity operator |
| title_short | Scalar operators equal to the product of unitary roots of the identity operator |
| title_sort | scalar operators equal to the product of unitary roots of the identity operator |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2619 |
| work_keys_str_mv | AT samoilenkoyus scalaroperatorsequaltotheproductofunitaryrootsoftheidentityoperator AT yakymenkodyu scalaroperatorsequaltotheproductofunitaryrootsoftheidentityoperator AT samojlenkoûs scalaroperatorsequaltotheproductofunitaryrootsoftheidentityoperator AT âkimenkodû scalaroperatorsequaltotheproductofunitaryrootsoftheidentityoperator AT samojlenkoûs scalaroperatorsequaltotheproductofunitaryrootsoftheidentityoperator AT âkimenkodû scalaroperatorsequaltotheproductofunitaryrootsoftheidentityoperator AT samoilenkoyus skalârnyeoperatoryravnyeproizvedeniûunitarnyhkornejizediničnogooperatora AT yakymenkodyu skalârnyeoperatoryravnyeproizvedeniûunitarnyhkornejizediničnogooperatora AT samojlenkoûs skalârnyeoperatoryravnyeproizvedeniûunitarnyhkornejizediničnogooperatora AT âkimenkodû skalârnyeoperatoryravnyeproizvedeniûunitarnyhkornejizediničnogooperatora AT samojlenkoûs skalârnyeoperatoryravnyeproizvedeniûunitarnyhkornejizediničnogooperatora AT âkimenkodû skalârnyeoperatoryravnyeproizvedeniûunitarnyhkornejizediničnogooperatora |