On the chain equivalence of projective chain complexes
We obtain a necessary and sufficient condition for $n$-dimensional chain complexes composed of finitely generated projective modules to be stabilized by free modules to the chain equivalence.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2620 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508565199912960 |
|---|---|
| author | Khmelnitskii, N. A. Хмельницкий, Н. А. Хмельницкий, Н. А. |
| author_facet | Khmelnitskii, N. A. Хмельницкий, Н. А. Хмельницкий, Н. А. |
| author_sort | Khmelnitskii, N. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:57Z |
| description | We obtain a necessary and sufficient condition for $n$-dimensional chain complexes composed of finitely generated projective
modules to be stabilized by free modules to the chain equivalence. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.662.5
Н. А. Хмельницкий (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко)
О ЦЕПНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
ПРОЕКТИВНЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ
We obtain a necessary and sufficient condition for n-dimensional chain complexes composed of finitely generated projective
modules to be stabilized by free modules to the chain equivalence.
Отримано необхiдну та достатню умову того, коли n-вимiрнi ланцюговi комплекси, складенi зi скiнченнопороджених
проективних модулiв, можна стабiлiзувати вiльними модулями до ланцюгової еквiвалентностi.
В работе рассматриваются n-мерные цепные комплексы (Pi, ∂i), составленные из проектив-
ных модулей. Напомним, что цепные комплексы возникают в разных разделах математики, в
частности в топологии при изучении гомотопических типов клеточных пространств. Кокрофт
и Свон [1] доказали, что гомотопически эквивалентные проективные (свободные) комплексы
можно стабилизировать проективными (свободными) модулями до цепной эквивалентности, и
применили этот результат к изучению гомотопических типов неодносвязных двумерных CW -
комплексов.
Цель данной работы — показать, что проективные цепные комплексы P и P ′ можно ста-
билизировать свободными модулями до цепной эквивалентности тогда и только тогда, когда
для каждого i = 0, n модули Pi и P ′i стабильно изоморфны. Напомним необходимые понятия
и факты.
Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей, а M — левый R-модуль. Семейство элементов
{mi ∈M |i ∈ I}, порождающее модуль M, называется системой образующих модуля M. Если
же прямая сумма включений Rmi →M, i ∈ I, задает изоморфизм
f : ⊕
i∈I
Rmi →M,
то семейство {mi ∈M |i ∈ I} называется базисом модуля M, а мощность множества I — базис-
ным числом модуля M. Базисное число, вообще говоря, зависит от выбора базиса, и поэтому
не может служить инвариантом свободного модуля F = Rn, n ∈ N. Кольцо R такое, что базис-
ное число любого свободного модуля определено однозначно, называется IBN -кольцом или
кольцом с инвариантным базисным числом. Известно [2, с. 168], что IBN -кольцами являются
все нетеровые кольца, коммутативные кольца и кольца, имеющие нетривиальный гомоморфизм
в IBN -кольцо. В частности, все целочисленные групповые кольца Z[G] будут IBN -кольцами,
поскольку аугментация является нетривиальным гомоморфизмом в IBN -кольцо Z.
В данной работе везде предполагается, что все кольца являются IBN -кольцами и все
модули над кольцами конечно порождены. Также будем считать, что нулевые модули и только
они являются свободными модулями ранга 0.
Модуль P над кольцом R называется проективным, если существует R-модуль Q такой,
что P ⊕Q — свободный R-модуль. Справедливо следующее утверждение, известное как лемма
Шануэля (см., например, [3, с. 222]).
c© Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ, 2012
826 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
О ЦЕПНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРОЕКТИВНЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 827
Предложение 1. Пусть
0→ N1 → P1 →M → 0
и
0→ N2 → P2 →M → 0
— точные последовательности R-модулей с проективными модулями P1 и P2. Тогда P1⊕N2 '
' P2 ⊕N1.
Далее, пусть R — кольцо, а F, L, M — R-модули. Утолщением гомоморфизма f : F →M с
помощью модуля L называется гомоморфизм f̂ : F ⊕L→M такой, что f̂ |F⊕0 = f и f̂ |0⊕L = 0.
Стабилизацией гомоморфизма f : F → M с помощью модуля L называется гомоморфизм
fst : F ⊕ L→M ⊕ L такой, что f st = f ⊕ id.
Эпиморфизмы R-модулей f : F → M и g : F → M называются эквивалентными, если
существует изоморфизм ϕ : F → F такой, что f = g◦ϕ. В работе [4, с. 63] доказано следующее
утверждение.
Предложение 2. Пусть f : F →M и g : G→M — произвольные эпиморфизмы, где F и
G — свободные R-модули. Тогда утолщение эпиморфизма f с помощью модуля G эквивалентно
утолщению эпиморфизма g с помощью модуля F.
Два R-модуля P1 и P2 называются стабильно изоморфными, если существуют два нату-
ральных числа m и n такие, что P1 ⊕Rm ' P2 ⊕Rn.
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и
Q2 — их дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 — свободные R-модули такие, что P1 ⊕ F1 ' P2 ⊕ F2.
Рассмотрим точные последовательности
0→ Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0→ Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) ' Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть заданы два эпиморфизма
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 ' P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0→ Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0→ Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) ' Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
~~
0 Moo
P2
f2
``
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
zz
g
��
0 Moo
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
dd
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 ' Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
xx
0 Moo
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
ff
(3)
3
(1)
конечнопорожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M. Тогда для того чтобы
существовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2
такие, что имеет место коммутативная диаграмма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 ' Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
(3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) ' P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A→ P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
О ЦЕПНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРОЕКТИВНЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 829
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение „сохранять отображение”
является транзитивным, т. е. если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g —
отображение f, то h сохраняет f.Очевидно также, что стабилизация fst = f⊕id : P⊕A→ Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f.
Пусть f : P → Q и g : Q→ P — гомоморфизмыR-модулей. Отображение f̃ : P⊕Q→ Q⊕P,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и
g (см., например, [1]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным
к нему является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f. Справедливо
следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q →
→ Q ⊕ P — изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет
отображение f.
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
О ЦЕПНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРОЕКТИВНЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 829
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение „сохранять отображение”
является транзитивным, т. е. если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g
сохраняет отображение f, то h сохраняет f. Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕
id : P ⊕A → Q⊕A гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f.
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P⊕Q → Q⊕P,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и
g (см., например, [1]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным
к нему является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f. Справедливо
следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q →
→ Q ⊕ P — изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет
отображение f.
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p⊕ 0) = π(fp⊕ p) = fp.
Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть задана коммутативная диаграммаЛемма 4. Пусть задана коммутативная диаграмма
P
ϕ
��
f
��
0 M��
Q
ψ
��
(4)
с конечно порожденными проективными модулями P и Q и модулем M , где ϕ и ψ — эпиморфизмы.
Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q и P
соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
P ⊕Q
ϕ⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
Q⊕ P,
ψ⊕ 0
��
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f .
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q → P ,
делающее коммутативной диаграмму
P
ϕ
��
0 M��
Q.
ψ
�� g
�� (6)
Из коммутативности диаграмм (??) и (??) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на отобра-
жениях f и g. Покажем, что диаграмма (??) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме ?? отображение f̃ сохраняет отображение f , следовательно, f̃ — искомый изоморфизм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
P1
f1
��
f
��
0 M��
P2
f2
��
(7)
5
(4)
с конечнопорожденными проективными модулями P, Q и модулем M, где ϕ и ψ — эпиморфиз-
мы. Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q
и P соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
О ЦЕПНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРОЕКТИВНЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 829
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение „сохранять отображение”
является транзитивным, т. е. если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g
сохраняет отображение f, то h сохраняет f. Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕
id : P ⊕A → Q⊕A гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f.
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P⊕Q → Q⊕P,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и
g (см., например, [1]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным
к нему является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f. Справедливо
следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q →
→ Q ⊕ P — изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет
отображение f.
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p⊕ 0) = π(fp⊕ p) = fp.
Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть задана коммутативная диаграммаЛемма 4. Пусть задана коммутативная диаграмма
P
ϕ
��
f
��
0 M��
Q
ψ
��
(4)
с конечно порожденными проективными модулями P и Q и модулем M , где ϕ и ψ — эпиморфизмы.
Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q и P
соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
P ⊕Q
ϕ⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
Q⊕ P,
ψ⊕ 0
��
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f .
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q → P ,
делающее коммутативной диаграмму
P
ϕ
��
0 M��
Q.
ψ
�� g
�� (6)
Из коммутативности диаграмм (??) и (??) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на отобра-
жениях f и g. Покажем, что диаграмма (??) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме ?? отображение f̃ сохраняет отображение f , следовательно, f̃ — искомый изоморфизм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
P1
f1
��
f
��
0 M��
P2
f2
��
(7)
5
(4)
с конечнопорожденными проективными модулями P, Q и модулем M, где ϕ и ψ — эпиморфиз-
мы. Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q
и P соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p⊕ 0) = π(fp⊕ p) = fp.
Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть задана коммутативная диаграммаЛемма 4. Пусть задана коммутативная диаграмма
P
ϕ
~~
f
��
0 Moo
Q
ψ
``
(4)
с конечно порожденными проективными модулями P и Q и модулемM , где ϕ и ψ — эпиморфизмы.
Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q и P
соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
P ⊕Q
ϕ⊕ 0
{{
f̃
��
0 Moo
Q⊕ P,
ψ⊕ 0
cc
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f .
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q → P ,
делающее коммутативной диаграмму
P
ϕ
}}
0 Moo
Q.
ψ
`` g
OO (6)
Из коммутативности диаграмм (??) и (??) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на отобра-
жениях f и g. Покажем, что диаграмма (??) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме ?? отображение f̃ сохраняет отображение f , следовательно, f̃ — искомый изоморфизм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
P1
f1
~~
f
��
0 Moo
P2
f2
``
(7)
5
(4)
с конечнопорожденными проективными модулями P, Q и модулем M, где ϕ и ψ — эпиморфиз-
мы. Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q
и P соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
830 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ830 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 4. Пусть задана коммутативная диаграмма
P
ϕ
��
f
��
0 M��
Q
ψ
��
(4)
с конечно порожденными проективными модулями P и Q и модулем M , где ϕ и ψ — эпиморфизмы.
Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q и P
соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
P ⊕Q
ϕ⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
Q⊕ P,
ψ⊕ 0
��
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f .
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q → P ,
делающее коммутативной диаграмму
P
ϕ
��
0 M��
Q.
ψ
�� g
�� (6)
Из коммутативности диаграмм (??) и (??) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на отобра-
жениях f и g. Покажем, что диаграмма (??) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме ?? отображение f̃ сохраняет отображение f , следовательно, f̃ — искомый изоморфизм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
P1
f1
��
f
��
0 M��
P2
f2
��
(7)
5
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f.
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q → P,
делающее коммутативной диаграмму
Лемма 4. Пусть задана коммутативная диаграмма
P
ϕ
��
f
��
0 M��
Q
ψ
��
(4)
с конечно порожденными проективными модулями P и Q и модулем M , где ϕ и ψ — эпиморфизмы.
Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q и P
соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
P ⊕Q
ϕ⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
Q⊕ P,
ψ⊕ 0
��
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f .
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q → P ,
делающее коммутативной диаграмму
P
ϕ
��
0 M��
Q.
ψ
�� g
�� (6)
Из коммутативности диаграмм (??) и (??) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на отобра-
жениях f и g. Покажем, что диаграмма (??) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме ?? отображение f̃ сохраняет отображение f , следовательно, f̃ — искомый изоморфизм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
P1
f1
��
f
��
0 M��
P2
f2
��
(7)
5
(6)
Из коммутативности диаграмм (4) и (6) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и
ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на
отображениях f и g. Покажем, что диаграмма (5) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме 3 отображение f̃ сохраняет отображение f, следовательно, f̃ — искомый изомор-
физм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
Лемма 4. Пусть задана коммутативная диаграмма
P
ϕ
��
f
��
0 M��
Q
ψ
��
(4)
с конечно порожденными проективными модулями P и Q и модулем M , где ϕ и ψ — эпиморфизмы.
Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q и P
соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
P ⊕Q
ϕ⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
Q⊕ P,
ψ⊕ 0
��
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f .
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q → P ,
делающее коммутативной диаграмму
P
ϕ
��
0 M��
Q.
ψ
�� g
�� (6)
Из коммутативности диаграмм (??) и (??) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на отобра-
жениях f и g. Покажем, что диаграмма (??) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме ?? отображение f̃ сохраняет отображение f , следовательно, f̃ — искомый изоморфизм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
P1
f1
��
f
��
0 M��
P2
f2
��
(7)
5
(7)
с конечнопорожденными проективными модулями P1, P2 и модулем M. Тогда для того, чтобы
существовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие,
что имеет место коммутативная диаграмма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f.
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q→ P,
делающее коммутативной диаграмму
830 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 4. Пусть задана коммутативная диаграмма
P
ϕ
��
f
��
0 M��
Q
ψ
��
(4)
с конечно порожденными проективными модулями P и Q и модулем M , где ϕ и ψ — эпиморфизмы.
Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q и P
соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
P ⊕Q
ϕ⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
Q⊕ P,
ψ⊕ 0
��
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f .
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q → P ,
делающее коммутативной диаграмму
P
ϕ
��
0 M��
Q.
ψ
�� g
�� (6)
Из коммутативности диаграмм (??) и (??) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на отобра-
жениях f и g. Покажем, что диаграмма (??) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме ?? отображение f̃ сохраняет отображение f , следовательно, f̃ — искомый изоморфизм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
P1
f1
��
f
��
0 M��
P2
f2
��
(7)
5
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f.
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q → P,
делающее коммутативной диаграмму
Лемма 4. Пусть задана коммутативная диаграмма
P
ϕ
��
f
��
0 M��
Q
ψ
��
(4)
с конечно порожденными проективными модулями P и Q и модулем M , где ϕ и ψ — эпиморфизмы.
Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q и P
соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
P ⊕Q
ϕ⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
Q⊕ P,
ψ⊕ 0
��
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f .
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q → P ,
делающее коммутативной диаграмму
P
ϕ
��
0 M��
Q.
ψ
�� g
�� (6)
Из коммутативности диаграмм (??) и (??) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на отобра-
жениях f и g. Покажем, что диаграмма (??) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме ?? отображение f̃ сохраняет отображение f , следовательно, f̃ — искомый изоморфизм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
P1
f1
��
f
��
0 M��
P2
f2
��
(7)
5
(6)
Из коммутативности диаграмм (4) и (6) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и
ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на
отображениях f и g. Покажем, что диаграмма (5) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме 3 отображение f̃ сохраняет отображение f, следовательно, f̃ — искомый изомор-
физм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
Лемма 4. Пусть задана коммутативная диаграмма
P
ϕ
��
f
��
0 M��
Q
ψ
��
(4)
с конечно порожденными проективными модулями P и Q и модулем M , где ϕ и ψ — эпиморфизмы.
Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q и P
соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
P ⊕Q
ϕ⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
Q⊕ P,
ψ⊕ 0
��
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f .
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q → P ,
делающее коммутативной диаграмму
P
ϕ
��
0 M��
Q.
ψ
�� g
�� (6)
Из коммутативности диаграмм (??) и (??) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на отобра-
жениях f и g. Покажем, что диаграмма (??) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме ?? отображение f̃ сохраняет отображение f , следовательно, f̃ — искомый изоморфизм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
P1
f1
��
f
��
0 M��
P2
f2
��
(7)
5
(7)
с конечнопорожденными проективными модулями P1, P2 и модулем M. Тогда для того, чтобы
существовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие,
что имеет место коммутативная диаграмма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
.
(6)
Из коммутативности диаграмм (4) и (6) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и
ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на
отображениях f и g. Покажем, что диаграмма (5) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме 3 отображение f̃ сохраняет отображение f, следовательно, f̃ — искомый изомор-
физм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
Лемма 4. Пусть задана коммутативная диаграмма
P
ϕ
~~
f
��
0 Moo
Q
ψ
``
(4)
с конечно порожденными проективными модулями P и Q и модулемM , где ϕ и ψ — эпиморфизмы.
Тогда существуют утолщения гомоморфизмов ϕ и ψ с помощью проективных модулей Q и P
соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
P ⊕Q
ϕ⊕ 0
{{
f̃
��
0 Moo
Q⊕ P,
ψ⊕ 0
cc
(5)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f .
Доказательство. Поскольку модуль Q проективный, существует отображение g : Q → P ,
делающее коммутативной диаграмму
P
ϕ
}}
0 Moo
Q.
ψ
`` g
OO (6)
Из коммутативности диаграмм (??) и (??) следует, что ϕ = ψf и ψ = ϕg, откуда ϕ = ϕgf и ψ = ψfg.
Зададим отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P как изоморфизм Шануэля, построенный на отобра-
жениях f и g. Покажем, что диаграмма (??) коммутативна. Действительно,
(ψ ⊕ 0)f̃(p⊕ q) = (ψ ⊕ 0)((fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq)) =
= ψ(fp+ (1− fg)q) = ψfp+ ψq − ψfgq = ψfp = ϕp = (ϕ⊕ 0)(p⊕ q).
По лемме ?? отображение f̃ сохраняет отображение f , следовательно, f̃ — искомый изоморфизм.
Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть задана коммутативная диаграмма
P1
f1
~~
f
��
0 Moo
P2
f2
``
(7)
5
(7)
с конечнопорожденными проективными модулями P1, P2 и модулем M. Тогда для того чтобы
существовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие,
что имеет место коммутативная диаграмма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
О ЦЕПНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРОЕКТИВНЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 831О ЦЕПНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРОЕКТИВНЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 831
с конечно порожденными проективными модулями P1 и P2 и модулем M . Тогда для того, чтобы
существовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие,
что имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(8)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f , необходимо и достаточно, чтобы проективные
модули P1 и P2 были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
f⊕id
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(9)
где P1⊕(Q1⊕F1) и P2⊕(Q1⊕F1) � P2⊕(Q2⊕F2) — свободные модули, а отображение f⊕id сохраняет
отображение f . По лемме ?? диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B
— изоморфизм, сохраняющий отображение f ⊕ id, а следовательно и отображение f . Утолщая в
последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля P1, получим диаграмму
(??), где F1 = A⊕P1, F2 = B⊕P1 — свободные модули, а f̃ = ∂⊕ id — искомый изоморфизм. Лемма
доказана.
Лемма 6. Пусть задана коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(10)
6
(8)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f, необходимо и достаточно, чтобы проек-
тивные модули P1 и P2 были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (8). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (7) можно представить в виде коммутативной диаграммы
с конечно порожденными проективными модулями P1 и P2 и модулем M . Тогда для того, чтобы
существовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие,
что имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(8)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f , необходимо и достаточно, чтобы проективные
модули P1 и P2 были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
f⊕id
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(9)
где P1⊕(Q1⊕F1) и P2⊕(Q1⊕F1) � P2⊕(Q2⊕F2) — свободные модули, а отображение f⊕id сохраняет
отображение f . По лемме ?? диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B
— изоморфизм, сохраняющий отображение f ⊕ id, а следовательно и отображение f . Утолщая в
последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля P1, получим диаграмму
(??), где F1 = A⊕P1, F2 = B⊕P1 — свободные модули, а f̃ = ∂⊕ id — искомый изоморфизм. Лемма
доказана.
Лемма 6. Пусть задана коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(10)
6
(9)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули, а отображение
f⊕ id сохраняет отображение f. По лемме 4 диаграмму (9) можно дополнить до коммутативной
диаграммы
с конечно порожденными проективными модулями P1 и P2 и модулем M . Тогда для того, чтобы
существовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие,
что имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(8)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f , необходимо и достаточно, чтобы проективные
модули P1 и P2 были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
f⊕id
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(9)
где P1⊕(Q1⊕F1) и P2⊕(Q1⊕F1) � P2⊕(Q2⊕F2) — свободные модули, а отображение f⊕id сохраняет
отображение f . По лемме ?? диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B
— изоморфизм, сохраняющий отображение f ⊕ id, а следовательно и отображение f . Утолщая в
последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля P1, получим диаграмму
(??), где F1 = A⊕P1, F2 = B⊕P1 — свободные модули, а f̃ = ∂⊕ id — искомый изоморфизм. Лемма
доказана.
Лемма 6. Пусть задана коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(10)
6
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A →
P2 ⊕ B — изоморфизм, сохраняющий отображение f ⊕ id, а следовательно и отображение f.
Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1⊕0 и f2⊕0 с помощью модуля P1, получаем
диаграмму (8), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а f̃ = ∂ ⊕ id — искомый
изоморфизм.
Лемма доказана.
Лемма 6. Пусть задана коммутативная диаграмма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
(8)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f, необходимо и достаточно, чтобы проек-
тивные модули P1 и P2 были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (8). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 ' Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (7) можно представить в виде коммутативной диаграммы
О ЦЕПНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРОЕКТИВНЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 831
с конечно порожденными проективными модулями P1 и P2 и модулем M . Тогда для того, чтобы
существовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие,
что имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(8)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f , необходимо и достаточно, чтобы проективные
модули P1 и P2 были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
f⊕id
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(9)
где P1⊕(Q1⊕F1) и P2⊕(Q1⊕F1) � P2⊕(Q2⊕F2) — свободные модули, а отображение f⊕id сохраняет
отображение f . По лемме ?? диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B
— изоморфизм, сохраняющий отображение f ⊕ id, а следовательно и отображение f . Утолщая в
последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля P1, получим диаграмму
(??), где F1 = A⊕P1, F2 = B⊕P1 — свободные модули, а f̃ = ∂⊕ id — искомый изоморфизм. Лемма
доказана.
Лемма 6. Пусть задана коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(10)
6
(8)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f, необходимо и достаточно, чтобы проек-
тивные модули P1 и P2 были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (8). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (7) можно представить в виде коммутативной диаграммы
с конечно порожденными проективными модулями P1 и P2 и модулем M . Тогда для того, чтобы
существовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие,
что имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(8)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f , необходимо и достаточно, чтобы проективные
модули P1 и P2 были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
f⊕id
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(9)
где P1⊕(Q1⊕F1) и P2⊕(Q1⊕F1) � P2⊕(Q2⊕F2) — свободные модули, а отображение f⊕id сохраняет
отображение f . По лемме ?? диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B
— изоморфизм, сохраняющий отображение f ⊕ id, а следовательно и отображение f . Утолщая в
последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля P1, получим диаграмму
(??), где F1 = A⊕P1, F2 = B⊕P1 — свободные модули, а f̃ = ∂⊕ id — искомый изоморфизм. Лемма
доказана.
Лемма 6. Пусть задана коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(10)
6
(9)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули, а отображение
f⊕ id сохраняет отображение f. По лемме 4 диаграмму (9) можно дополнить до коммутативной
диаграммы
с конечно порожденными проективными модулями P1 и P2 и модулем M . Тогда для того, чтобы
существовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие,
что имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(8)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f , необходимо и достаточно, чтобы проективные
модули P1 и P2 были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
f⊕id
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(9)
где P1⊕(Q1⊕F1) и P2⊕(Q1⊕F1) � P2⊕(Q2⊕F2) — свободные модули, а отображение f⊕id сохраняет
отображение f . По лемме ?? диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B
— изоморфизм, сохраняющий отображение f ⊕ id, а следовательно и отображение f . Утолщая в
последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля P1, получим диаграмму
(??), где F1 = A⊕P1, F2 = B⊕P1 — свободные модули, а f̃ = ∂⊕ id — искомый изоморфизм. Лемма
доказана.
Лемма 6. Пусть задана коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(10)
6
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A →
P2 ⊕ B — изоморфизм, сохраняющий отображение f ⊕ id, а следовательно и отображение f.
Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1⊕0 и f2⊕0 с помощью модуля P1, получаем
диаграмму (8), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а f̃ = ∂ ⊕ id — искомый
изоморфизм.
Лемма доказана.
Лемма 6. Пусть задана коммутативная диаграмма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
(9)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) ' P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули, а отображение
f⊕ id сохраняет отображение f. По лемме 4 диаграмму (9) можно дополнить до коммутативной
диаграммы
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A →
→ P2 ⊕ B — изоморфизм, сохраняющий отображение f ⊕ id, а следовательно, и отображение
f. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля P1,
получаем диаграмму (8), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а f̃ = ∂ ⊕ id —
искомый изоморфизм.
Лемма доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
832 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 6. Пусть задана коммутативная диаграмма
с конечно порожденными проективными модулями P1 и P2 и модулем M . Тогда для того, чтобы
существовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие,
что имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
f̃
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(8)
где f̃ — изоморфизм, сохраняющий отображение f , необходимо и достаточно, чтобы проективные
модули P1 и P2 были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
f⊕id
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(9)
где P1⊕(Q1⊕F1) и P2⊕(Q1⊕F1) � P2⊕(Q2⊕F2) — свободные модули, а отображение f⊕id сохраняет
отображение f . По лемме ?? диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B
— изоморфизм, сохраняющий отображение f ⊕ id, а следовательно и отображение f . Утолщая в
последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля P1, получим диаграмму
(??), где F1 = A⊕P1, F2 = B⊕P1 — свободные модули, а f̃ = ∂⊕ id — искомый изоморфизм. Лемма
доказана.
Лемма 6. Пусть задана коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(10)
6
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
(10)
в которой P0, P1, P
′
0 и P ′1 — конечнопорожденные проективные модули, а f0∗ — изоморфизм.
Тогда существуют стабилизации гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью проективных модулей
P ′0 и P0 соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
в которой P0, P1, P ′
0 и P ′
1 — конечно порожденные проективные модули, а f0∗ — изоморфизм.
Тогда существуют стабилизации гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью проективных модулей P ′
0 и
P0 соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ P ′
0
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ P ′
0
d1⊕id��
f̃1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ P0
d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ P0
d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(11)
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0 —
изоморфизм.
Доказательство. Диаграмма (??) представляет собой диаграмму гомоморфизма цепных ком-
плексов 0 P0
d0�� P1
d1�� и 0 P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� , индуцирующего изоморфизм модулей гомоло-
гий. По теореме I.8.4 [?] отображение f0 имеет гомотопически обратное отображение f ′
0 : P ′
0 → P0
такое, что 1− f0f
′
0 = d′1s
′
0, где s′0 : P ′
0 → P ′
1 — гомотопический деформационный оператор. Отобра-
жение f̃0 зададим как изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f0 и f ′
0, а отображение
f̃1 — соотношением
f̃1(p1 ⊕ p′0) = (f1p1 + s′0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0),
где p1 ⊕ p′0 ∈ P1 ⊕ P ′
0.
По лемме ?? отображение f̃0 сохраняет отображение f0. Покажем, что отображение f̃1 сохраняет
отображение f1. Действительно, диаграмма
P1
ι ��
f1
��
P1 ⊕ P ′
0
f̃1
��
P ′
1 P ′
1 ⊕ P0,
π��
где ι — вложение, а π — проекция, коммутативна так как πf̃1ιp1 = πf̃1(p1⊕0) = π(f1p1⊕d1p1) = f1p1.
По лемме ?? левый квадрат диаграммы (??) коммутативен, а в силу точности строк и того, что
отображение f̃1 сохраняет отображение f1, коммутативным будет и правый квадрат диаграммы
(??). Покажем коммутативность среднего квадрата диаграммы (??). Действительно,
f̃0(d1 ⊕ id)(p1 ⊕ p′0) = f̃0(d1p1 ⊕ p′0) = (f0d1p1 + (1− f0f
′
0)p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0) =
= (d′1f1p1 + d′1s
′
0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0) = (d′1 ⊕ id)((f1p1 + s′0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0)) = (d′1 ⊕ id)f̃1(p1 ⊕ p′0).
Лемма доказана.
Лемма 7. Пусть задана коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(12)
в которой P0, P1, P ′
0 и P ′
1 — конечно порожденные проективные модули, а f0∗ — изоморфизм.
Тогда для того, чтобы существовала стабилизация гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью свободных
модулей F и F ′ соответственно так, чтобы имела место коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ F
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ F
d1⊕id��
f̃1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ F ′d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ F ′d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(13)
7
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
(11)
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0
— изоморфизм.
Доказательство. Диаграмма (10) представляет собой диаграмму гомоморфизма цепных
комплексов 0
d0←− P0
d1←− P1 и 0
d′0←− P ′0
d′1←− P ′1, индуцирующего изоморфизм модулей го-
мологий. По теореме I.8.4 [3] отображение f0 имеет гомотопически обратное отображение
f ′0 : P
′
0 → P0 такое, что 1− f0f ′0 = d′1s
′
0, где s′0 : P
′
0 → P ′1 — гомотопический деформационный
оператор. Отображение f̃0 зададим как изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях
f0 и f ′0, а отображение f̃1 — соотношением
f̃1(p1 ⊕ p′0) = (f1p1 + s′0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′0p′0),
где p1 ⊕ p′0 ∈ P1 ⊕ P ′0.
По лемме 3 отображение f̃0 сохраняет отображение f0. Покажем, что отображение f̃1 со-
храняет отображение f1. Действительно, диаграмма
в которой P0, P1, P ′
0 и P ′
1 — конечно порожденные проективные модули, а f0∗ — изоморфизм.
Тогда существуют стабилизации гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью проективных модулей P ′
0 и
P0 соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ P ′
0
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ P ′
0
d1⊕id��
f̃1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ P0
d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ P0
d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(11)
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0 —
изоморфизм.
Доказательство. Диаграмма (??) представляет собой диаграмму гомоморфизма цепных ком-
плексов 0 P0
d0�� P1
d1�� и 0 P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� , индуцирующего изоморфизм модулей гомоло-
гий. По теореме I.8.4 [?] отображение f0 имеет гомотопически обратное отображение f ′
0 : P ′
0 → P0
такое, что 1− f0f
′
0 = d′1s
′
0, где s′0 : P ′
0 → P ′
1 — гомотопический деформационный оператор. Отобра-
жение f̃0 зададим как изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f0 и f ′
0, а отображение
f̃1 — соотношением
f̃1(p1 ⊕ p′0) = (f1p1 + s′0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0),
где p1 ⊕ p′0 ∈ P1 ⊕ P ′
0.
По лемме ?? отображение f̃0 сохраняет отображение f0. Покажем, что отображение f̃1 сохраняет
отображение f1. Действительно, диаграмма
P1
ι ��
f1
��
P1 ⊕ P ′
0
f̃1
��
P ′
1 P ′
1 ⊕ P0,
π��
где ι — вложение, а π — проекция, коммутативна так как πf̃1ιp1 = πf̃1(p1⊕0) = π(f1p1⊕d1p1) = f1p1.
По лемме ?? левый квадрат диаграммы (??) коммутативен, а в силу точности строк и того, что
отображение f̃1 сохраняет отображение f1, коммутативным будет и правый квадрат диаграммы
(??). Покажем коммутативность среднего квадрата диаграммы (??). Действительно,
f̃0(d1 ⊕ id)(p1 ⊕ p′0) = f̃0(d1p1 ⊕ p′0) = (f0d1p1 + (1− f0f
′
0)p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0) =
= (d′1f1p1 + d′1s
′
0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0) = (d′1 ⊕ id)((f1p1 + s′0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0)) = (d′1 ⊕ id)f̃1(p1 ⊕ p′0).
Лемма доказана.
Лемма 7. Пусть задана коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(12)
в которой P0, P1, P ′
0 и P ′
1 — конечно порожденные проективные модули, а f0∗ — изоморфизм.
Тогда для того, чтобы существовала стабилизация гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью свободных
модулей F и F ′ соответственно так, чтобы имела место коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ F
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ F
d1⊕id��
f̃1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ F ′d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ F ′d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(13)
7
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
где ι — вложение, а π — проекция, коммутативна, так как
πf̃1ιp1 == πf̃1(p1 ⊕ 0) = π(f1p1 ⊕ d1p1) = f1p1.
По лемме 4 левый квадрат диаграммы (11) коммутативен, а в силу точности строк и того,
что отображение f̃1 сохраняет отображение f1, коммутативным будет и правый квадрат диа-
граммы (11). Покажем коммутативность среднего квадрата диаграммы (11). Действительно,
f̃0(d1 ⊕ id)(p1 ⊕ p′0) = f̃0(d1p1 ⊕ p′0) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
О ЦЕПНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРОЕКТИВНЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 833
= (f0d1p1 + (1− f0f ′0)p′0)⊕ (d1p1 − f ′0p′0) = (d′1f1p1 + d′1s
′
0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′0p′0) =
= (d′1 ⊕ id)((f1p1 + s′0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′0p′0)) = (d′1 ⊕ id)f̃1(p1 ⊕ p′0).
Лемма доказана.
Лемма 7. Пусть задана коммутативная диаграмма
в которой P0, P1, P ′
0 и P ′
1 — конечно порожденные проективные модули, а f0∗ — изоморфизм.
Тогда существуют стабилизации гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью проективных модулей P ′
0 и
P0 соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ P ′
0
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ P ′
0
d1⊕id��
f̃1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ P0
d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ P0
d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(11)
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0 —
изоморфизм.
Доказательство. Диаграмма (??) представляет собой диаграмму гомоморфизма цепных ком-
плексов 0 P0
d0�� P1
d1�� и 0 P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� , индуцирующего изоморфизм модулей гомоло-
гий. По теореме I.8.4 [?] отображение f0 имеет гомотопически обратное отображение f ′
0 : P ′
0 → P0
такое, что 1− f0f
′
0 = d′1s
′
0, где s′0 : P ′
0 → P ′
1 — гомотопический деформационный оператор. Отобра-
жение f̃0 зададим как изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f0 и f ′
0, а отображение
f̃1 — соотношением
f̃1(p1 ⊕ p′0) = (f1p1 + s′0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0),
где p1 ⊕ p′0 ∈ P1 ⊕ P ′
0.
По лемме ?? отображение f̃0 сохраняет отображение f0. Покажем, что отображение f̃1 сохраняет
отображение f1. Действительно, диаграмма
P1
ι ��
f1
��
P1 ⊕ P ′
0
f̃1
��
P ′
1 P ′
1 ⊕ P0,
π��
где ι — вложение, а π — проекция, коммутативна так как πf̃1ιp1 = πf̃1(p1⊕0) = π(f1p1⊕d1p1) = f1p1.
По лемме ?? левый квадрат диаграммы (??) коммутативен, а в силу точности строк и того, что
отображение f̃1 сохраняет отображение f1, коммутативным будет и правый квадрат диаграммы
(??). Покажем коммутативность среднего квадрата диаграммы (??). Действительно,
f̃0(d1 ⊕ id)(p1 ⊕ p′0) = f̃0(d1p1 ⊕ p′0) = (f0d1p1 + (1− f0f
′
0)p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0) =
= (d′1f1p1 + d′1s
′
0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0) = (d′1 ⊕ id)((f1p1 + s′0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0)) = (d′1 ⊕ id)f̃1(p1 ⊕ p′0).
Лемма доказана.
Лемма 7. Пусть задана коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(12)
в которой P0, P1, P ′
0 и P ′
1 — конечно порожденные проективные модули, а f0∗ — изоморфизм.
Тогда для того, чтобы существовала стабилизация гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью свободных
модулей F и F ′ соответственно так, чтобы имела место коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ F
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ F
d1⊕id��
f̃1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ F ′d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ F ′d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(13)
7
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
(12)
в которой P0, P1, P
′
0 и P ′1 — конечнопорожденные проективные модули, а f0∗ — изоморфизм.
Тогда для того чтобы существовали стабилизации гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью свобод-
ных модулей F и F ′ соответственно такие, чтобы имела место коммутативная диаграмма
в которой P0, P1, P ′
0 и P ′
1 — конечно порожденные проективные модули, а f0∗ — изоморфизм.
Тогда существуют стабилизации гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью проективных модулей P ′
0 и
P0 соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ P ′
0
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ P ′
0
d1⊕id��
f̃1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ P0
d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ P0
d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(11)
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0 —
изоморфизм.
Доказательство. Диаграмма (??) представляет собой диаграмму гомоморфизма цепных ком-
плексов 0 P0
d0�� P1
d1�� и 0 P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� , индуцирующего изоморфизм модулей гомоло-
гий. По теореме I.8.4 [?] отображение f0 имеет гомотопически обратное отображение f ′
0 : P ′
0 → P0
такое, что 1− f0f
′
0 = d′1s
′
0, где s′0 : P ′
0 → P ′
1 — гомотопический деформационный оператор. Отобра-
жение f̃0 зададим как изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f0 и f ′
0, а отображение
f̃1 — соотношением
f̃1(p1 ⊕ p′0) = (f1p1 + s′0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0),
где p1 ⊕ p′0 ∈ P1 ⊕ P ′
0.
По лемме ?? отображение f̃0 сохраняет отображение f0. Покажем, что отображение f̃1 сохраняет
отображение f1. Действительно, диаграмма
P1
ι ��
f1
��
P1 ⊕ P ′
0
f̃1
��
P ′
1 P ′
1 ⊕ P0,
π��
где ι — вложение, а π — проекция, коммутативна так как πf̃1ιp1 = πf̃1(p1⊕0) = π(f1p1⊕d1p1) = f1p1.
По лемме ?? левый квадрат диаграммы (??) коммутативен, а в силу точности строк и того, что
отображение f̃1 сохраняет отображение f1, коммутативным будет и правый квадрат диаграммы
(??). Покажем коммутативность среднего квадрата диаграммы (??). Действительно,
f̃0(d1 ⊕ id)(p1 ⊕ p′0) = f̃0(d1p1 ⊕ p′0) = (f0d1p1 + (1− f0f
′
0)p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0) =
= (d′1f1p1 + d′1s
′
0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0) = (d′1 ⊕ id)((f1p1 + s′0p
′
0)⊕ (d1p1 − f ′
0p
′
0)) = (d′1 ⊕ id)f̃1(p1 ⊕ p′0).
Лемма доказана.
Лемма 7. Пусть задана коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(12)
в которой P0, P1, P ′
0 и P ′
1 — конечно порожденные проективные модули, а f0∗ — изоморфизм.
Тогда для того, чтобы существовала стабилизация гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью свободных
модулей F и F ′ соответственно так, чтобы имела место коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ F
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ F
d1⊕id��
f̃1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ F ′d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ F ′d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(13)
7
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
(13)
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0
— изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P0 и P ′0 были стабильно
изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (13). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P0 и P ′0 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P0 и P ′0 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q0 и
Q′0 — модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные
модули F и F′ такие, что Q0 ⊕ F ' Q′0 ⊕ F′. Утолщая гомоморфизмы d0 и d′0 и стабилизируя
гомоморфизмы d1 и d′1 с помощью модуля Q0 ⊕ F, диаграмму (12) можно представить в виде
коммутативной диаграммы
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0
— изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P0 и P ′
0 были стабильно
изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P0 и P ′
0 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P0 и P ′
0 — стабильно изоморфные проективные модули и Q0 и Q′
0 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F и F′
такие, что Q0⊕F � Q′
0⊕F′. Утолщая гомоморфизмы d0 и d′0 и стабилизируя гомоморфизмы d1 и d′1
с помощью модуля Q0 ⊕ F, диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ (Q0 ⊕ F)
d0⊕0��
f0⊕id
��
P1 ⊕ (Q0 ⊕ F)
d1⊕id��
f1⊕id
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ (Q0 ⊕ F)
d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ (Q0 ⊕ F)
d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(14)
где P0⊕ (Q0⊕F) и P ′
0⊕ (Q0⊕F) � P ′
0⊕ (Q′
0⊕F′) — свободные модули, P1⊕ (Q0⊕F) и P ′
1⊕ (Q0⊕F) —
проективные модули, а отображения f0⊕ id и f1⊕ id сохраняют отображения f0 и f1 соответственно.
По лемме ?? диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕A
d0⊕0��
f0
��
P1 ⊕A
d1⊕id��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕A′d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕A′d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
в которой A = (Q0⊕F)⊕ (P ′
0⊕Q0⊕F), A′ = (Q0⊕F)⊕ (P0⊕Q0⊕F), отображения f0 и f1 сохраняют
отображения f0⊕ id и f1⊕ id, а значит и f0 и f1 соответственно, причем f0 — изоморфизм. Утолщая
в последней диаграмме гомоморфизмы d0⊕0 и d′0⊕0 и стабилизируя гомоморфизмы d1⊕ id и d′1⊕ id
с помощью модуля P0, получим диаграмму (??), где F = A⊕P0, F ′ = A′ ⊕P0 — свободные модули,
а f̃0 = f0 ⊕ id и f̃1 = f1 ⊕ id — искомые отображения, причем f̃0 — изоморфизм. Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть f : P → P ′ — цепное отображение n-мерных цепных комплексов конечно-
порожденных проективных модулей, индуцирующее изоморфизм модулей гомологий. Для того,
чтобы существовали ацикличные свободные цепные комплексы F и F ′ такие, что цепные ком-
плексы P ⊕F и P ′ ⊕F ′ цепно изоморфные, необходимо и достаточно, чтобы для каждого i = 0, n
модули Pi и P ′
i были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть цепные комплексы P и P ′ можно стабилизировать
свободными модулями до цепной эквивалентности. Тогда, очевидно, в силу определения для ка-
ждого i = 0, n модули Pi и P ′
i будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Доказательство носит индуктивный характер по размерности n цепных ком-
плексов.
Пусть
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
P2
d2��
f2
��
. . .
d3�� Pn
dn��
fn
��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� P ′
2
d′
2�� . . .
d′
3�� P ′
n
d′
n��
(15)
— диаграмма цепного отображения f : P → P ′ n-мерных цепных комплексов P и P ′ конечнопорож-
денных проективных модулей и для каждого i = 0, n проективные модули Pi и P ′
i — стабильно
8
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
(14)
где P0 ⊕ (Q0 ⊕ F) и P ′0 ⊕ (Q0 ⊕ F) ' P ′0 ⊕ (Q′0 ⊕ F′) — свободные модули, P1 ⊕ (Q0 ⊕ F) и
P ′1 ⊕ (Q0 ⊕ F) — проективные модули, а отображения f0 ⊕ id и f1 ⊕ id сохраняют отображения
f0 и f1 соответственно. По лемме 6 диаграмму (14) можно представить в виде коммутативной
диаграммы
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0
— изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P0 и P ′
0 были стабильно
изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P0 и P ′
0 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P0 и P ′
0 — стабильно изоморфные проективные модули и Q0 и Q′
0 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F и F′
такие, что Q0⊕F � Q′
0⊕F′. Утолщая гомоморфизмы d0 и d′0 и стабилизируя гомоморфизмы d1 и d′1
с помощью модуля Q0 ⊕ F, диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ (Q0 ⊕ F)
d0⊕0��
f0⊕id
��
P1 ⊕ (Q0 ⊕ F)
d1⊕id��
f1⊕id
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ (Q0 ⊕ F)
d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ (Q0 ⊕ F)
d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
(14)
где P0⊕ (Q0⊕F) и P ′
0⊕ (Q0⊕F) � P ′
0⊕ (Q′
0⊕F′) — свободные модули, P1⊕ (Q0⊕F) и P ′
1⊕ (Q0⊕F) —
проективные модули, а отображения f0⊕ id и f1⊕ id сохраняют отображения f0 и f1 соответственно.
По лемме ?? диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕A
d0⊕0��
f0
��
P1 ⊕A
d1⊕id��
f1
��
Z1
ι1��
fZ
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕A′d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕A′d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
в которой A = (Q0⊕F)⊕ (P ′
0⊕Q0⊕F), A′ = (Q0⊕F)⊕ (P0⊕Q0⊕F), отображения f0 и f1 сохраняют
отображения f0⊕ id и f1⊕ id, а значит и f0 и f1 соответственно, причем f0 — изоморфизм. Утолщая
в последней диаграмме гомоморфизмы d0⊕0 и d′0⊕0 и стабилизируя гомоморфизмы d1⊕ id и d′1⊕ id
с помощью модуля P0, получим диаграмму (??), где F = A⊕P0, F ′ = A′ ⊕P0 — свободные модули,
а f̃0 = f0 ⊕ id и f̃1 = f1 ⊕ id — искомые отображения, причем f̃0 — изоморфизм. Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть f : P → P ′ — цепное отображение n-мерных цепных комплексов конечно-
порожденных проективных модулей, индуцирующее изоморфизм модулей гомологий. Для того,
чтобы существовали ацикличные свободные цепные комплексы F и F ′ такие, что цепные ком-
плексы P ⊕F и P ′ ⊕F ′ цепно изоморфные, необходимо и достаточно, чтобы для каждого i = 0, n
модули Pi и P ′
i были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть цепные комплексы P и P ′ можно стабилизировать
свободными модулями до цепной эквивалентности. Тогда, очевидно, в силу определения для ка-
ждого i = 0, n модули Pi и P ′
i будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Доказательство носит индуктивный характер по размерности n цепных ком-
плексов.
Пусть
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
P2
d2��
f2
��
. . .
d3�� Pn
dn��
fn
��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� P ′
2
d′
2�� . . .
d′
3�� P ′
n
d′
n��
(15)
— диаграмма цепного отображения f : P → P ′ n-мерных цепных комплексов P и P ′ конечнопорож-
денных проективных модулей и для каждого i = 0, n проективные модули Pi и P ′
i — стабильно
8
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
834 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
в которой A = (Q0 ⊕ F) ⊕ (P ′0 ⊕ Q0 ⊕ F), A′ = (Q0 ⊕ F) ⊕ (P0 ⊕ Q0 ⊕ F), отображения f0 и
f1 сохраняют отображения f0 ⊕ id и f1 ⊕ id, а значит, и f0 и f1 соответственно, причем f0 —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы d0 ⊕ 0 и d′0 ⊕ 0 и стабилизируя
гомоморфизмы d1⊕id и d′1⊕id с помощью модуля P0, получаем диаграмму (13), где F = A⊕P0,
F ′ = A′⊕P0 — свободные модули, а f̃0 = f0⊕ id и f̃1 = f1⊕ id — искомые отображения, причем
f̃0 — изоморфизм.
Лемма доказана.
Теорема . Пусть f : P → P ′ — цепное отображение n-мерных цепных комплексов конечно-
порожденных проективных модулей, индуцирующее изоморфизм модулей гомологий. Для того
чтобы существовали ацикличные свободные цепные комплексы F и F ′ такие, что цепные
комплексы P⊕F и P ′⊕F ′ цепно изоморфные, необходимо и достаточно, чтобы для каждого
i = 0, n модули Pi и P ′i были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть цепные комплексы P и P ′ можно стабилизиро-
вать свободными модулями до цепной эквивалентности. Тогда, очевидно, в силу определения
для каждого i = 0, n модули Pi и P ′i будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Доказательство имеет индуктивный характер по размерности n цепных
комплексов.
Пусть
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0
— изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P0 и P ′0 были стабильно
изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P0 и P ′0 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P0 и P ′0 — стабильно изоморфные проективные модули и Q0 и Q′0 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F и F′
такие, что Q0⊕F ' Q′0⊕F′. Утолщая гомоморфизмы d0 и d′0 и стабилизируя гомоморфизмы d1 и d′1
с помощью модуля Q0 ⊕ F, диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
0 H0
oo
f0∗
��
P0 ⊕ (Q0 ⊕ F)
d0⊕0oo
f0⊕id
��
P1 ⊕ (Q0 ⊕ F)
d1⊕idoo
f1⊕id
��
Z1
ι1oo
fZ
��
0oo
0 H ′0oo P ′0 ⊕ (Q0 ⊕ F)
d′0⊕0oo P ′1 ⊕ (Q0 ⊕ F)
d′1⊕idoo Z ′1
ι′1oo 0,oo
(14)
где P0⊕(Q0⊕F) и P ′0⊕(Q0⊕F) ' P ′0⊕(Q′0⊕F′) — свободные модули, P1⊕(Q0⊕F) и P ′1⊕(Q0⊕F) —
проективные модули, а отображения f0⊕ id и f1⊕ id сохраняют отображения f0 и f1 соответственно.
По лемме ?? диаграмму (??) можно представить в виде коммутативной диаграммы
0 H0
oo
f0∗
��
P0 ⊕A
d0⊕0oo
f0
��
P1 ⊕A
d1⊕idoo
f1
��
Z1
ι1oo
fZ
��
0oo
0 H ′0oo P ′0 ⊕A′
d′0⊕0oo P ′1 ⊕A′
d′1⊕idoo Z ′1
ι′1oo 0,oo
в которой A = (Q0⊕F)⊕ (P ′0⊕Q0⊕F), A′ = (Q0⊕F)⊕ (P0⊕Q0⊕F), отображения f0 и f1 сохраняют
отображения f0⊕ id и f1⊕ id, а значит и f0 и f1 соответственно, причем f0 — изоморфизм. Утолщая
в последней диаграмме гомоморфизмы d0⊕0 и d′0⊕0 и стабилизируя гомоморфизмы d1⊕ id и d′1⊕ id
с помощью модуля P0, получим диаграмму (??), где F = A⊕P0, F ′ = A′⊕P0 — свободные модули,
а f̃0 = f0 ⊕ id и f̃1 = f1 ⊕ id — искомые отображения, причем f̃0 — изоморфизм. Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть f : P → P ′ — цепное отображение n-мерных цепных комплексов конечно-
порожденных проективных модулей, индуцирующее изоморфизм модулей гомологий. Для того,
чтобы существовали ацикличные свободные цепные комплексы F и F ′ такие, что цепные ком-
плексы P ⊕F и P ′⊕F ′ цепно изоморфные, необходимо и достаточно, чтобы для каждого i = 0, n
модули Pi и P ′i были стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть цепные комплексы P и P ′ можно стабилизировать
свободными модулями до цепной эквивалентности. Тогда, очевидно, в силу определения для ка-
ждого i = 0, n модули Pi и P ′i будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Доказательство носит индуктивный характер по размерности n цепных ком-
плексов.
Пусть
0 H0
oo
f0∗
��
P0
d0oo
f0
��
P1
d1oo
f1
��
P2
d2oo
f2
��
. . .
d3oo Pn
dnoo
fn
��
0 H ′0oo P ′0
d′0oo P ′1
d′1oo P ′2
d′2oo . . .
d′3oo P ′n
d′noo
(15)
— диаграмма цепного отображения f : P → P ′ n-мерных цепных комплексов P и P ′ конечнопорож-
денных проективных модулей и для каждого i = 0, n проективные модули Pi и P ′i — стабильно
8
(15)
— диаграмма цепного отображения f : P → P ′ n-мерных цепных комплексовP иP ′ конечнопо-
рожденных проективных модулей и для каждого i = 0, n проективные модули Pi и P ′i стабильно
изоморфны. Рассмотрим коммутативную диаграммуизоморфны. Рассмотрим коммутативную диаграмму
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ1
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
в которой Z1 = ker d1, Z ′
1 = ker d′1 и fZ1
— ограничение отображения f1 на Z1. Она удовлетворя-
ет условиям леммы ??, а поэтому существует стабилизация гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью
свободных модулей F0 и F ′
0 соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ F0
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ F0
d1⊕id��
f̃1
��
Z1
ι1��
fZ1
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ F ′
0
d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ F ′
0
d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0 — изо-
морфизм. Тогда используя диаграмму (??) получим
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ F0
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ F0
d1⊕id��
f̃1
��
P2
d2��
f2
��
. . .
d3�� Pn
dn��
fn
��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ F ′
0
d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ F ′
0
d′
1⊕id�� P ′
2
d′
2�� . . .
d′
3�� P ′
n,
d′
n��
где отображение f̃1 индуцирует изоморфизм f̃1∗ = f1∗ : H1 → H ′
1 модулей гомологий цепных
комплексов P и P ′. Таким образом, можно построить диаграмму
0 H1
��
f1∗
��
P1 ⊕ F0
d1⊕id��
f̃1
��
P2
d2��
f2
��
. . .
d3�� Pn
dn��
fn
��
0 H ′
1
�� P ′
1 ⊕ F ′
0
d′
1⊕id�� P ′
2
d′
2�� . . .
d′
3�� P ′
n
d′
n��
гомоморфизма (n−1)-мерных цепных комплексов конечнопорожденных проективных модулей, ин-
дуцирующего изоморфизм модулей гомологий, то есть размерность цепных комплексов уменьшить
на единицу. Справедливость последнего шага при n = 0 вытекает из леммы ??. Теорема доказана.
Литература
[1] Cockcroft W., Swan R. On the homotopy type of certain two-dimensional complexes // Proc.
London Math. Soc. — 1961. — 11. — P. 193–202.
[2] Фейс К. Алгебра: кольца, модули, категории: В 2-х т. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.
[3] Браун К. С. Когомологии групп. — М.: Наука, 1987. — 384 с.
[4] Шарко В. В. Функции на многообразиях (алгебраические и топологические аспекты). — Киев:
Наук. думка, 1990. — 196 с.
9
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
в которой Z1 = ker d1, Z
′
1 = ker d′1 и fZ1 — ограничение отображения f1 на Z1. Она удовле-
творяет условиям леммы 7, а поэтому существуют стабилизации гомоморфизмов d1 и d′1 с
помощью свободных модулей F0 и F ′0 соответственно такие, что имеет место коммутативная
диаграмма
изоморфны. Рассмотрим коммутативную диаграмму
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ1
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
в которой Z1 = ker d1, Z ′
1 = ker d′1 и fZ1
— ограничение отображения f1 на Z1. Она удовлетворя-
ет условиям леммы ??, а поэтому существует стабилизация гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью
свободных модулей F0 и F ′
0 соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ F0
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ F0
d1⊕id��
f̃1
��
Z1
ι1��
fZ1
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ F ′
0
d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ F ′
0
d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0 — изо-
морфизм. Тогда используя диаграмму (??) получим
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ F0
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ F0
d1⊕id��
f̃1
��
P2
d2��
f2
��
. . .
d3�� Pn
dn��
fn
��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ F ′
0
d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ F ′
0
d′
1⊕id�� P ′
2
d′
2�� . . .
d′
3�� P ′
n,
d′
n��
где отображение f̃1 индуцирует изоморфизм f̃1∗ = f1∗ : H1 → H ′
1 модулей гомологий цепных
комплексов P и P ′. Таким образом, можно построить диаграмму
0 H1
��
f1∗
��
P1 ⊕ F0
d1⊕id��
f̃1
��
P2
d2��
f2
��
. . .
d3�� Pn
dn��
fn
��
0 H ′
1
�� P ′
1 ⊕ F ′
0
d′
1⊕id�� P ′
2
d′
2�� . . .
d′
3�� P ′
n
d′
n��
гомоморфизма (n−1)-мерных цепных комплексов конечнопорожденных проективных модулей, ин-
дуцирующего изоморфизм модулей гомологий, то есть размерность цепных комплексов уменьшить
на единицу. Справедливость последнего шага при n = 0 вытекает из леммы ??. Теорема доказана.
Литература
[1] Cockcroft W., Swan R. On the homotopy type of certain two-dimensional complexes // Proc.
London Math. Soc. — 1961. — 11. — P. 193–202.
[2] Фейс К. Алгебра: кольца, модули, категории: В 2-х т. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.
[3] Браун К. С. Когомологии групп. — М.: Наука, 1987. — 384 с.
[4] Шарко В. В. Функции на многообразиях (алгебраические и топологические аспекты). — Киев:
Наук. думка, 1990. — 196 с.
9
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0 —
изоморфизм. Тогда, используя диаграмму (15), получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
О ЦЕПНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРОЕКТИВНЫХ ЦЕПНЫХ КОМПЛЕКСОВ 835
изоморфны. Рассмотрим коммутативную диаграмму
0 H0
��
f0∗
��
P0
d0��
f0
��
P1
d1��
f1
��
Z1
ι1��
fZ1
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0
d′
0�� P ′
1
d′
1�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
в которой Z1 = ker d1, Z ′
1 = ker d′1 и fZ1
— ограничение отображения f1 на Z1. Она удовлетворя-
ет условиям леммы ??, а поэтому существует стабилизация гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью
свободных модулей F0 и F ′
0 соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ F0
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ F0
d1⊕id��
f̃1
��
Z1
ι1��
fZ1
��
0��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ F ′
0
d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ F ′
0
d′
1⊕id�� Z ′
1
ι′1�� 0,��
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0 — изо-
морфизм. Тогда используя диаграмму (??) получим
0 H0
��
f0∗
��
P0 ⊕ F0
d0⊕0��
f̃0
��
P1 ⊕ F0
d1⊕id��
f̃1
��
P2
d2��
f2
��
. . .
d3�� Pn
dn��
fn
��
0 H ′
0
�� P ′
0 ⊕ F ′
0
d′
0⊕0�� P ′
1 ⊕ F ′
0
d′
1⊕id�� P ′
2
d′
2�� . . .
d′
3�� P ′
n,
d′
n��
где отображение f̃1 индуцирует изоморфизм f̃1∗ = f1∗ : H1 → H ′
1 модулей гомологий цепных
комплексов P и P ′. Таким образом, можно построить диаграмму
0 H1
��
f1∗
��
P1 ⊕ F0
d1⊕id��
f̃1
��
P2
d2��
f2
��
. . .
d3�� Pn
dn��
fn
��
0 H ′
1
�� P ′
1 ⊕ F ′
0
d′
1⊕id�� P ′
2
d′
2�� . . .
d′
3�� P ′
n
d′
n��
гомоморфизма (n−1)-мерных цепных комплексов конечнопорожденных проективных модулей, ин-
дуцирующего изоморфизм модулей гомологий, то есть размерность цепных комплексов уменьшить
на единицу. Справедливость последнего шага при n = 0 вытекает из леммы ??. Теорема доказана.
Литература
[1] Cockcroft W., Swan R. On the homotopy type of certain two-dimensional complexes // Proc.
London Math. Soc. — 1961. — 11. — P. 193–202.
[2] Фейс К. Алгебра: кольца, модули, категории: В 2-х т. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.
[3] Браун К. С. Когомологии групп. — М.: Наука, 1987. — 384 с.
[4] Шарко В. В. Функции на многообразиях (алгебраические и топологические аспекты). — Киев:
Наук. думка, 1990. — 196 с.
9
828 Н. А. ХМЕЛЬНИЦКИЙ
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были
стабильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (2). Тогда, очевидно, в
силу определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули, а Q1 и Q2
— модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме 1 существуют свободные модули
F1 и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля
Q1 ⊕ F1, диаграмму (1) можно представить в виде
0
Лемма 1. Пусть P1 и P2 — два стабильно изоморфных проективных R-модуля, а Q1 и Q2 — их
дополнения до свободных модулей. Тогда Q1 и Q2 стабильно изоморфны.
Доказательство. Пусть F1 и F2 свободные R-модули такие, что P1⊕F1 � P2⊕F2. Рассмотрим
точные последовательности
0 → Q1 → Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 → P1 ⊕ F1 → 0
и
0 → Q2 → Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 → P2 ⊕ F2 → 0,
где Q1 ⊕ P1 ⊕ F1 и Q2 ⊕ P2 ⊕ F2 — свободные модули. Тогда по лемме Шануэля
Q1 ⊕ (Q2 ⊕ P2 ⊕ F2) � Q2 ⊕ (Q1 ⊕ P1 ⊕ F1),
что и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть задано два эпиморфизма
P1
f1
��
0 M��
P2
f2
��
(1)
конечно порожденных проективных модулей P1 и P2 на модуль M . Тогда для того, чтобы суще-
ствовали утолщения гомоморфизмов f1 и f2 с помощью свободных модулей F1 и F2 такие, что
имеет место коммутативная диаграмма
P1 ⊕ F1
f1⊕ 0
��
g
��
0 M��
P2 ⊕ F2,
f2⊕ 0
��
(2)
где g — изоморфизм, необходимо и достаточно, чтобы проективные модули P1 и P2 были ста-
бильно изоморфными.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место диаграмма (??). Тогда, очевидно, в силу
определения модули P1 и P2 будут стабильно изоморфными.
Достаточность. Пусть P1 и P2 — стабильно изоморфные проективные модули и Q1 и Q2 —
модули, дополняющие их до свободных модулей. По лемме ?? существуют свободные модули F1
и F2 такие, что Q1 ⊕ F1 � Q2 ⊕ F2. Утолщая гомоморфизмы f1 и f2 с помощью модуля Q1 ⊕ F1,
диаграмму (??) можно представить в виде
P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1)
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1),
f2⊕ 0
��
(3)
3
, (3)
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению
2 диаграмму (3) можно дополнить до коммутативной диаграммы
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
где A = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P2 ⊕Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1)⊕ (P1 ⊕Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕A → P2 ⊕B
— изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью
модуля P1, получаем диаграмму (2), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а
g = ∂ ⊕ id — изоморфизм.
Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f, если коммутативна диаграмма
где P1 ⊕ (Q1 ⊕ F1) и P2 ⊕ (Q1 ⊕ F1) � P2 ⊕ (Q2 ⊕ F2) — свободные модули. По предложению ??
диаграмму (??) можно дополнить до коммутативной диаграммы
P1 ⊕A
∂
��
f1⊕ 0
��
0 M��
P2 ⊕B,
f2⊕ 0
��
где A = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P2 ⊕ Q1 ⊕ F1), B = (Q1 ⊕ F1) ⊕ (P1 ⊕ Q1 ⊕ F1), а ∂ : P1 ⊕ A → P2 ⊕ B —
изоморфизм. Утолщая в последней диаграмме гомоморфизмы f1 ⊕ 0 и f2 ⊕ 0 с помощью модуля
P1, получим диаграмму (??), где F1 = A ⊕ P1, F2 = B ⊕ P1 — свободные модули, а g = ∂ ⊕ id —
изоморфизм. Лемма доказана.
Пусть f : P → Q и f̃ : P ⊕ A → Q ⊕ B — гомоморфизмы R-модулей. Будем говорить, что
отображение f̃ сохраняет отображение f , если коммутативна диаграмма
P
ι ��
f
��
P ⊕A
f̃
��
Q Q⊕B,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Легко видеть, что отношение �сохранять отображение� является
транзитивным, то есть если отображение h сохраняет отображение g, а отображение g сохраняет
отображение f , то h сохраняет f . Очевидно также, что стабилизация fst = f ⊕ id : P ⊕A → Q⊕A
гомоморфизма f : P → Q с помощью модуля A сохраняет отображение f .
Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей. Отображение f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P ,
заданное соотношением
f̃(p⊕ q) = (fp+ (1− fg)q)⊕ (p− gq),
где p ⊕ q ∈ P ⊕ Q, называется изоморфизмом Шануэля, построенным на отображениях f и g
(см., например, [?]). Легко проверить, что f̃ действительно изоморфизм, так как обратным к нему
является изоморфизм Шануэля g̃, построенный на отображениях g и f . Справедливо следующее
утверждение.
Лемма 3. Пусть f : P → Q и g : Q → P — гомоморфизмы R-модулей, а f̃ : P ⊕ Q → Q ⊕ P —
изоморфизм Шануэля, построенный на отображениях f и g. Тогда f̃ сохраняет отображение f .
Доказательство. Проверим коммутативность диаграммы
P
ι ��
f
��
P ⊕Q
f̃
��
Q Q⊕ P,
π��
где ι — вложение, а π — проекция. Действительно, πf̃ιp = πf̃(p ⊕ 0) = π(fp ⊕ p) = fp. Лемма
доказана.
4
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
где отображение f̃1 индуцирует изоморфизм f̃1∗ = f1∗ : H1 → H ′1 модулей гомологий цепных
комплексов P и P ′. Таким образом, можно построить диаграмму
изоморфны. Рассмотрим коммутативную диаграмму
0 H0
oo
f0∗
��
P0
d0oo
f0
��
P1
d1oo
f1
��
Z1
ι1oo
fZ1
��
0oo
0 H ′0oo P ′0
d′0oo P ′1
d′1oo Z ′1
ι′1oo 0,oo
в которой Z1 = ker d1, Z ′1 = ker d′1 и fZ1
— ограничение отображения f1 на Z1. Она удовлетворя-
ет условиям леммы ??, а поэтому существует стабилизация гомоморфизмов d1 и d′1 с помощью
свободных модулей F0 и F ′0 соответственно такие, что имеет место коммутативная диаграмма
0 H0
oo
f0∗
��
P0 ⊕ F0
d0⊕0oo
f̃0
��
P1 ⊕ F0
d1⊕idoo
f̃1
��
Z1
ι1oo
fZ1
��
0oo
0 H ′0oo P ′0 ⊕ F ′0
d′0⊕0oo P ′1 ⊕ F ′0
d′1⊕idoo Z ′1
ι′1oo 0,oo
в которой отображения f̃0 и f̃1 сохраняют отображения f0 и f1 соответственно, причем f̃0 — изо-
морфизм. Тогда используя диаграмму (??) получим
0 H0
oo
f0∗
��
P0 ⊕ F0
d0⊕0oo
f̃0
��
P1 ⊕ F0
d1⊕idoo
f̃1
��
P2
d2oo
f2
��
. . .
d3oo Pn
dnoo
fn
��
0 H ′0oo P ′0 ⊕ F ′0
d′0⊕0oo P ′1 ⊕ F ′0
d′1⊕idoo P ′2
d′2oo . . .
d′3oo P ′n,
d′noo
где отображение f̃1 индуцирует изоморфизм f̃1∗ = f1∗ : H1 → H ′1 модулей гомологий цепных
комплексов P и P ′. Таким образом, можно построить диаграмму
0 H1
oo
f1∗
��
P1 ⊕ F0
d1⊕idoo
f̃1
��
P2
d2oo
f2
��
. . .
d3oo Pn
dnoo
fn
��
0 H ′1oo P ′1 ⊕ F ′0
d′1⊕idoo P ′2
d′2oo . . .
d′3oo P ′n
d′noo
гомоморфизма (n−1)-мерных цепных комплексов конечнопорожденных проективных модулей, ин-
дуцирующего изоморфизм модулей гомологий, то есть размерность цепных комплексов уменьшить
на единицу. Справедливость последнего шага при n = 0 вытекает из леммы ??. Теорема доказана.
Литература
[1] Cockcroft W., Swan R. On the homotopy type of certain two-dimensional complexes // Proc.
London Math. Soc. — 1961. — 11. — P. 193–202.
[2] Фейс К. Алгебра: кольца, модули, категории: В 2-х т. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.
[3] Браун К. С. Когомологии групп. — М.: Наука, 1987. — 384 с.
[4] Шарко В. В. Функции на многообразиях (алгебраические и топологические аспекты). — Киев:
Наук. думка, 1990. — 196 с.
9
гомоморфизма (n − 1)-мерных цепных комплексов конечнопорожденных проективных моду-
лей, индуцирующего изоморфизм модулей гомологий, т. е. размерность цепных комплексов
уменьшить на единицу. Справедливость последнего шага при n = 0 вытекает из леммы 5.
Теорема доказана.
1. Cockcroft W., Swan R. On the homotopy type of certain two-dimensional complexes // Proc. London Math. Soc. –
1961. – 11. – P. 193 – 202.
2. Фейс К. Алгебра: кольца, модули, категории: В 2 т. – М.: Мир, 1977. – Т. 1. – 688 с.
3. Браун К. С. Когомологии групп. – М.: Наука, 1987. – 384 с.
4. Шарко В. В. Функции на многообразиях (алгебраические и топологические аспекты). – Киев: Наук. думка,
1990. – 196 с.
Получено 18.10.11,
после доработки — 16.03.12
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2620 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:14Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b9/87870c247344ef7668538c31c7b880b9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26202020-03-18T19:30:57Z On the chain equivalence of projective chain complexes О цепной эквивалентности проективных цепных комплексов Khmelnitskii, N. A. Хмельницкий, Н. А. Хмельницкий, Н. А. We obtain a necessary and sufficient condition for $n$-dimensional chain complexes composed of finitely generated projective modules to be stabilized by free modules to the chain equivalence. Отримано необхiдну та достатню умову того, коли $n$-вимiрнi ланцюговi комплекси, складенi зi скiнченнопороджених проективних модулiв, можна стабiлiзувати вiльними модулями до ланцюгової еквiвалентностi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2620 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 6 (2012); 826-835 Український математичний журнал; Том 64 № 6 (2012); 826-835 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2620/1999 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2620/2000 Copyright (c) 2012 Khmelnitskii N. A. |
| spellingShingle | Khmelnitskii, N. A. Хмельницкий, Н. А. Хмельницкий, Н. А. On the chain equivalence of projective chain complexes |
| title | On the chain equivalence of projective chain complexes |
| title_alt | О цепной эквивалентности проективных цепных комплексов |
| title_full | On the chain equivalence of projective chain complexes |
| title_fullStr | On the chain equivalence of projective chain complexes |
| title_full_unstemmed | On the chain equivalence of projective chain complexes |
| title_short | On the chain equivalence of projective chain complexes |
| title_sort | on the chain equivalence of projective chain complexes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2620 |
| work_keys_str_mv | AT khmelnitskiina onthechainequivalenceofprojectivechaincomplexes AT hmelʹnickijna onthechainequivalenceofprojectivechaincomplexes AT hmelʹnickijna onthechainequivalenceofprojectivechaincomplexes AT khmelnitskiina ocepnojékvivalentnostiproektivnyhcepnyhkompleksov AT hmelʹnickijna ocepnojékvivalentnostiproektivnyhcepnyhkompleksov AT hmelʹnickijna ocepnojékvivalentnostiproektivnyhcepnyhkompleksov |