Optimality conditions in problems of control over systems of impulsive differential equations with nonlocal boundary conditions
We consider the problem of optimal control in which the state of the controlled system is described by impulsive differential equations under nonlocal boundary conditions, which is a natural generalization of the Cauchy problem. Using the principle of contracting mappings, we prove the existence and...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2012
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2621 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860508551575764992 |
|---|---|
| author | Sharifov, Ya. A. Шарифов, Я. А. Шарифов, Я. А. |
| author_facet | Sharifov, Ya. A. Шарифов, Я. А. Шарифов, Я. А. |
| author_sort | Sharifov, Ya. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:30:57Z |
| description | We consider the problem of optimal control in which the state of the controlled system is described by impulsive differential
equations under nonlocal boundary conditions, which is a natural generalization of the Cauchy problem. Using the principle
of contracting mappings, we prove the existence and uniqueness of a solution of a nonlocal boundary-value problem with
pulse action with fixed admissible controls. Under certain conditions for the initial data of the problem, we calculate the
gradient of a functional and obtain necessary optimality conditions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:27:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
Я. А. Шарифов (Бакин. гос. ун-т, Ин-т кибернетики НАН Азербайджана)
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ
СИСТЕМАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
ПРИ НЕЛОКАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ
We consider the problem of optimal control in which the state of the controlled system is described by impulsive differential
equations under nonlocal boundary conditions, which is a natural generalization of the Cauchy problem. Using the principle
of contracting mappings, we prove the existence and uniqueness of a solution of a nonlocal boundary-value problem with
pulse action with fixed admissible controls. Under certain conditions for the initial data of the problem, we calculate the
gradient of a functional and obtain necessary optimality conditions.
Дослiджується задача оптимального керування, в якiй стан керованої системи описується диференцiальними рiвнян-
нями з iмпульсними збуреннями при нелокальних крайових умовах. Спочатку з допомогою принципу стиснутих
вiдображень доведено iснування та єдинiсть розв’язкiв нелокальної крайової задачi при iмпульсних збуреннях i
фiксованих допустимих керуваннях. При деяких умовах на початковi данi задачi обчислено градiєнт функцiонала i
встановлено необхiднi умови оптимальностi.
1. Введение. Часто при математическом описании эволюции реальных процессов с кратко-
временными возмущениями длительностью возмущений удобно пренебречь и считать, что
эти возмущения имеют мгновенный характер. Такая идеализация приводит к необходимо-
сти исследовать динамические системы с разрывными траекториями или, как их называют,
дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями [1]. В [2, с. 10, 16] приведены
конкретные примеры из теории электрических колебаний и часов, математические модели в ко-
торых описываются дифференциальными уравнениями с импульсными воздействиями. Такие
дифференциальные уравнения достаточно подробно изучены в [1 – 6]. Однако в последние го-
ды интенсивно исследуются дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями при
нелокальных краевых условиях [6 – 10]. В этих работах отмечается, что существуют многочис-
ленные процессы в физике, технике, экологии, механике и др., математические модели которых
описываются дифференциальными уравнениями с импульсными воздействиями при нелокаль-
ных краевых условиях. Еще одним источником появления импульсных воздействий являются
такие отрасли, как электроника, автоматика, робототехника, системы телекоммуникации и т. д.
[11]. Поэтому целесообразно исследовать задачи оптимального управления, в которых состо-
яние системы описывается дифференциальными уравнениями с импульсными воздействиями
при нелокальных краевых условиях.
В настоящей работе впервые исследуются задачи оптимального управления, состояние си-
стемы в которых описывается дифференциальными уравнениями с импульсными воздействи-
ями при нелокальных краевых условиях. Исследованы вопросы существование и единствен-
ности решений краевой задачи, найдены достаточные условия дифференцируемости критерия
качества, получена формула для его градиента и установлены необходимые условия оптималь-
ности в форме вариационных неравенств.
2. Постановка задачи. Рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу при импульс-
ных воздействиях:
c© Я. А. ШАРИФОВ, 2012
836 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ . . . 837
dx
dt
= f(t, x(t), u (t)), 0 ≤ t ≤ T, t 6= ti, (1)
x(0) +Bx(T ) = C, (2)
∆x(ti) = Ii(x(ti), vi), i = 1, 2, ..., p, 0 < t1 < t2 < ... < tp < T, (3)
(u (·) , [v])∈U ×Πp={u (t)∈Lr
2 [0, T ] : u (t)∈V, п.в. t ∈ [0, T ] , vi ∈ Π} , (4)
где x(t) ∈ Rn, f(t, x, u) — n-мерная непрерывная функция, B ∈ Rn×n, C ∈ Rn×1 — заданные
постоянные матрицы, ∆x(ti) = x(t+i )− x(t−i ), Ii (x, v) — некоторые заданные функции, (u, [v])
— управляющие параметры, V ∈ Rr и Π ∈ Rm — ограниченные выпуклые множества.
Требуется на решениях краевой задачи (1) – (4) минимизировать функционал
J (u, [v]) = Φ (x (0) , x (T )) . (5)
Под решением краевой задачи (1) – (3), соответствующей фиксированному управляющему па-
раметру (u (·) , [v]) ∈ U × Πp, будем понимать функцию x(t) : [0, T ] → Rn, абсолютно непре-
рывную на [0, T ] при t 6= ti и непрерывную слева при t = ti, для которой существует конеч-
ный правый предел x(t+i ) при i = 1, 2, . . . , p. Пространство таких функций обозначим через
PC([0, T ], Rn). Очевидно, такое пространство является банаховым с нормой
‖x‖PC = max
t∈[0,T ]
|x(t)| ,
где | · | — норма в Rn.
Допустимый процесс {(u (t) , [v]) , x (t;u (t) , [v])}, являющийся решением задачи (1) – (5),
т. е. доставляющий минимум функционалу (5) при ограничениях (1) – (4), будем называть опти-
мальным процессом, а (u (t) , [v]) — оптимальным управлением, где через x (t;u (t) , [v]) обозна-
чено решение краевой задачи (1) – (3), соответствующее допустимому управлению (u (t) , [v]).
3. Существование решений краевой задачи (1) – (3). Предположим выполнение следую-
щих условий:
1) ‖B‖ < 1;
2) f : [0, T ]×Rn ×Rr → Rn, Ii : Rn ×Rm → Rn, i = 1, 2, . . . , p, — непрерывные функции
и существуют постоянные K > 0, Li > 0, i = 1, 2, ..., p, такие, что
|f(t, x, u)− f(t, y, u)| ≤ K |x− y| , t ∈ [0, T ], x, y ∈ Rn, (6)
|Ii(x, v)− Ii(y, v)| ≤ Li |x− y| , x, y ∈ Rn; (7)
3) L = (1− ‖B‖)−1 [KT +
∑p
i=1 Li] < 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
838 Я. А. ШАРИФОВ
Теорема 1. Пусть выполняется условие 1. Функция x(·) ∈ PC ([0, T ], Rn) является аб-
солютно непрерывным решением краевой задачи (1) – (3) тогда и только тогда, когда
x(t) = (E +B)−1C +
T∫
0
K(t, τ)f(τ, x(τ), u (τ))dτ +
p∑
i=1
M(t, ti)Ii(x(ti), vi), (8)
где
K(t, τ) =
(E +B)−1, 0 ≤ τ ≤ t,
−(E +B)−1B, t ≤ τ ≤ T,
M(t, ti) =
(E +B)−1, 0 < ti ≤ t,
−(E +B)−1B, t ≤ ti ≤ T.
Доказательство. Если x = x(·) является решением дифференциального уравнения (1), то
для t ∈ (tj , tj+1)
t∫
0
f(s, x(s), u (s))ds =
t∫
0
x′(s)ds =
[
x(t−1 )− x(0+)
]
+
+
[
x(t−2 )− x(t+1 )
]
+ ...+
[
x(t−)− x(t+j )
]
=
= −x(0)−
[
x(t+1 )− x(t−1 )
]
−
[
x(t+2 )− x(t−2 )
]
− ...−
[
x(t+j )− x(t−j )
]
+ x(t).
Отсюда
x(t) = x(0) +
t∫
0
f(s, x(s), u (s))ds+
∑
0<tj<t
∆x(tj), (9)
где x(0) — пока произвольная постоянная. Для определения x(0) потребуем, чтобы функция,
определяемая равенством (9), удовлетворяла условию (2):
(E +B)x(0) = C −B
T∫
0
f(t, x(t), u (t))dt−B
∑
0<tj<T
∆x(tj).
Поскольку ‖B‖ < 1, матрица E +B обратима и
∥∥∥(E +B)−1
∥∥∥ < (1− ‖B‖)−1. Тогда
x(0) = (E +B)−1C−
−(E +B)−1B
T∫
0
f(t, x(t), u (t))dt− (E +B)−1B
∑
0<tj<T
∆x(tj). (10)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ . . . 839
Теперь подставим значение x(0), определяемое равенством (10), в (9). Тогда
x(t) = (E +B)−1C − (E +B)−1B
T∫
0
f(t, x(t), u (t))dt−
−(E +B)−1B
∑
0<ti<T
∆x(ti) +
t∫
0
f(s, x(s), u (s))ds+
∑
0<ti<t
∆x(ti) =
= (E +B)−1C +
T∫
0
K(t, τ)f(τ, x(τ), u (τ))dτ +
P∑
i=1
M(t, ti)Ii(x(ti), vi).
Таким образом, мы показали, что краевую задачу (1) – (3) можно представить в виде ин-
тегрального уравнения (8). Непосредственной проверкой можно показать, что решение инте-
грального уравнения (8) также удовлетворяет краевой задаче (1) – (3).
Теорема 1 доказана.
Определим оператор P : PC ([0, T ], Rn)→ PC ([0, T ], Rn) по правилу
(Px)(t) = (E +B)−1C +
T∫
0
K(t, τ)f(τ, x(τ), u (τ))dτ+
+
P∑
i=1
M(t, ti)Ii(x(ti), vi). (11)
Теорема 2. Пусть выполняются условия 1 – 3. Тогда для любого C ∈ Rn и (u (·) , [v]) ∈
∈ U × Πp краевая задача (1) – (3) имеет единственное решение, которое удовлетворяет ра-
венству
x(t) = (E +B)−1C +
T∫
0
K(t, τ)f(τ, x(τ), u (τ))dτ+
+
P∑
i=1
M(t, ti)Ii(x(ti), vi). (12)
Доказательство. Пусть C ∈ Rn и (u (·) , [v]) ∈ U × Πp фиксированы. Рассмотрим отобра-
жение P : PC ([0, T ], Rn) → PC ([0, T ], Rn), определяемое равенством (11). Тогда для любых
ω,w ∈ PC ([0, T ], Rn) имеем
|(Pω)(t)− (Pw)(t)| ≤
T∫
0
|K(t, s)| |f(s, ω(s), u (s))− f(s, w(s), u (s))| ds+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
840 Я. А. ШАРИФОВ
+
p∑
i=1
|M(t, ti)| |Ii(ω(ti), vi)− Ii(w(ti)vi)| ≤
≤ (1− ‖B‖)−1
K T∫
0
|ω(s)− w(s)| ds+
p∑
i=1
Li · |ω(ti)− w(ti)|
≤
≤ (1− ‖B‖)−1
[
KT +
p∑
i=1
Li
]
‖ω(·)− w(·)‖PC , t ∈ [0, T ],
или
‖Pv − Pw‖PC ≤ L ‖ω − w‖PC . (13)
Оценка (13) показывает, что оператор P является сжимающим в пространстве PC ([0, T ], Rn).
Поэтому, согласно принципу сжимающих операторов, оператор P , определяемый равенством
(12), имеет единственную неподвижную точку в PC ([0, T ], Rn). Значит, интегральное уравне-
ние (8) или краевая задача (1) – (3) имеет единственное решение.
Теорема 2 доказана.
Замечание 1. Теорема 2 содержит в себе различные частные случаи. Например, если
Ii (x, v) = 0, i = 0, 1, . . . , p, то получаем систему дифференциальных уравнений без импульс-
ных воздействий. Тогда условие 3 превращается в условие
KT (1− ‖B‖)−1 < 1,
которое является достаточным условием существование и единственности решения краевой
задачи
ẋ = f(t, x)
x(0) +Bx(T ) = C.
4. Градиент в задаче оптимального управления (1) – (4). Нетрудно показать, что при
предположениях 1 – 3 любое решение краевой задачи (1) – (3) ограничено. Действительно, в
силу ограниченности множества допустимых управлений из (12) имеем
x(t) = (E +B)−1C +
T∫
0
K(t, τ)f(τ, 0, u (τ))dτ+
+
P∑
i=1
M(t, ti)Ii(0, vi) +
T∫
0
K(t, τ) [f(τ, x(τ), u (τ))− f(τ, 0, u (τ))] dτ+
+
P∑
i=1
M(t, ti) [Ii(x(ti), vi)− Ii(0, vi)] .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ . . . 841
Отсюда
(1− L) |x (t)| ≤ (1− ‖B‖)−1
[
lT +
p∑
i=1
li
]
+
∥∥∥(E +B)−1C
∥∥∥ ,
где l = maxt∈[0,T ],u∈V |f (t, 0, u)|, li = maxvi∈Π |Ii (0, vi)|.
Таким образом, из последнего неравенства имеем
|x| ≤ (1− L)−1
{
(1− ‖B‖)−1
[
lT +
p∑
i=1
li
]
+
∥∥∥(E +B)−1C
∥∥∥} ≡ R.
Сформулируем теперь некоторыe дополнительныe условия на f (t, x, u) , I (x, v) , Φ (x, y),
которые предполагаются выполненными для всех |x| ≤ R, u ∈ V, vi ∈ Π, 0 ≤ t ≤ T :
4) производные f (t, x, u) по аргументу u ограничены:
|fu (t, x, u) ū| ≤ K1 |ū| ;
5) производные f (t, x, u) по x и u удовлетворяют условиям Липшица, т. е.
|f (t, x+ x̄, u+ ū)− f (t, x, u)− fx (t, x, u) x̄− fu (t, x, u) ū| ≤
≤ K2 |x̄|2 +K3 |ū|2 ;
6) производные Ii (x, v) = 0, i = 0, 1, . . . , p, по аргументу v ограничены:
|Iiv (x, v) v̄| ≤ L(1)
i |v̄| ;
7) производные Ii (x, v) , i = 1, 2, . . . , p, по x и v удовлетворяют условиям Липшица, т. е.
|Ii (x+ x̄, v + v̄)− Ii (x, v)− Iix (x, v) x̄− Iiv (x, v)| ≤ L(2)
i |x̄|
2 + L
(3)
i |v|
2 ;
8) функция Φ (x, y) имеет ограниченные первые производные, которые удовлетворяют усло-
вию Липшица
|Φx (x, y)| ≤ K4, |Φy (x, y) | ≤ K5,
|Φ (x+ x̄, y + ȳ)− Φ (x, y)− 〈Φx (x, y) , x̄〉 − 〈Φy (x, y) , ȳ〉| ≤
≤ K6 |x̄|2 +K7 |ȳ|2 .
Лемма 1. Пусть выполняются условия 1 – 4, а (u (t) , [v] , x (t)) и (u (t) + ū (t) , [v + v̄] ,
x (t) + x̄ (t)) — два решения краевой задачи (1) – (4). Тогда
|x̄ (t)| ≤ c1 (‖ū‖+ ‖[v̄]‖) ,
где c1 = (1− L)−1 (1− ‖B‖)−1 max
[
K1
√
T , L
(1)
i
√
p
]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
842 Я. А. ШАРИФОВ
Доказательство. Очевидно, x̄ (t) является решением интегрального уравнения
x̄(t) =
T∫
0
K(t, τ) [f(τ, x(τ) + x̄ (τ) , u (τ) + ū (τ)− f(τ, x(τ), u (τ))] dτ+
+
P∑
i=1
M(t, ti) [Ii(x(ti) + x̄ (ti) , vi + v̄i)− Ii(x(ti), vi)] .
Отсюда, учитывая условия 2, 4 и 6, получаем
|x̄ (t)| ≤ (1− ‖B‖)−1
T∫
0
(K |x (t)|+K1 |ū (t)|) dt
+
+ (1− ‖B‖)−1
[
p∑
i=1
(
Li |x̄ (ti)|+ L
(1)
i |v̄i|
)]
.
Теперь легко можно получить оценку
|x̄ (t)| ≤ (1− L)−1 (1− ‖B‖)−1
K1
√
T ‖ū‖+ L
(1)
i
√
p
(
p∑
i=1
|v̄i|2
)1/2
.
Таким образом, из последнего неравенства имеем
|x̄ (t)| ≤ (1− L)−1 (1− ‖B‖)−1 max
[
K1
√
T , L
(1)
i
√
p
]
(‖ū‖+ ‖[v̄]‖) .
Лемма 1 доказана.
Введем систему уравнений в вариациях:
dz
dt
= fx(t, x(t), u (t))z (t) + fu (t, x (t) , u (t)) ū (t) , 0 ≤ t ≤ T, t 6= ti,
z(0) +Bz(T ) = 0,
∆z(ti) = Iix(x(ti), vi)z (ti) + Iivi (x(ti), vi) v̄i, i = 1, 2, . . . , p,
0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tp < tp+1 = T.
Лемма 2. Пусть выполняются условия 1 – 6, (ū (t) , [v̄] , x̄ (t)) — те же решения, что и в
лемме 1, а z (t) — решение уравнения в вариациях.
Тогда
|x̄ (t)− z (t)| ≤ c2
(
‖ū‖2 + ‖[v]‖2
)
, 0 ≤ t ≤ T,
где
c2 = (1− L)−1 (1− ‖B‖)−1×
×max
{
2c2
1
(
K2T +
p∑
i=1
L
(2)
i
)
+K3, 2c
2
1
(
K2T +
p∑
i=1
L
(2)
i
)
+ max
1≤i≤p
L
(3)
i
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ . . . 843
Доказательство. Функция x̄ (t)− z (t) является решением интегрального уравнения
x̄(t)− z (t) =
T∫
0
K(t, τ)fx(τ, x(τ), u (τ)) (x̄ (t)− z (t)) dτ+
+
P∑
i=1
M(t, ti)Iix(x(ti), vi) (x̄ (ti)− z (ti)) +
+
P∑
i=1
M(t, ti) [Ii(x(ti) + x̄ (ti) , vi + v̄i)− Ii(x(ti), vi)−
−Iix(x(ti), vi)x̄ (ti)− Iivi (x(ti), vi) v̄i] +
+
T∫
0
K(t, τ) [f(τ, x(τ) + x̄ (τ) , u (τ) + ū (τ)− f(τ, x(τ), u (τ)) −
−fx (τ, x(τ), u (τ)) x̄ (τ)− fu (τ, x(τ), u (τ)) ū (τ)] dτ.
Отсюда получаем оценку
|x̄(t)− z (t)| ≤ (1− L)−1 (1− ‖B‖)−1×
×
T∫
0
(
K2 |x̄|2 +K3 |ū|2
)
dt+
p∑
i=1
(
L
(2)
i |x̄ (ti)|2 + L
(3)
i |v̄i|
2
) .
Теперь, учитывая лемму 1, получаем
|x̄(t)− z (t)| ≤ (1− L)−1 (1− ‖B‖)−1×
×
[
c2
1
(
K2T +
p∑
i=1
L
(2)
i
)
(‖ū‖+ ‖[v̄]‖)2 +K3 ‖ū‖2 +
p∑
i=1
L
(3)
i |v̄i|
2
]
.
Поскольку (a+ b)2 ≤ 2
(
a2 + b2
)
, из последнего неравенства имеем
|x̄(t)− z (t)| ≤ (1− L)−1 (1− ‖B‖)−1 max
{
2c2
1
(
K2T +
p∑
i=1
L
(2)
i
)
+K3,
2c2
1
(
K2T +
p∑
i=1
L
(2)
i
)
+ max
1≤i≤p
L
(3)
i
}(
‖ū‖2 + ‖[v̄]‖2
)
,
что и требовалось доказать.
Лемма 2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
844 Я. А. ШАРИФОВ
Теорема 3. Пусть выполняются условия 1 – 7. Тогда функционал (5) при ограничениях
(1) – (4) дифференцируем, причем его градиент имеет вид
J ′ (u, [v]) =
(
f
′
u (t, x, u)ψ (t) ,
p∑
i=1
I ′ivi (xi, vi)ψ (ti)
)
∈ Lr
2 [0, T ]×Rm, (14)
где ψ (t) — решение дифференциально-разностной системы
dψ (t)
dt
= −f ′
x (t, x, u)ψ (t) , (15)
∆ψ (ti) = −I ′ix (x (ti) , vi)
(
I ′ix (x (ti) , vi) + E
)−1
ψ (ti) , i = 1, 2, . . . , p, (16)
с граничными условиями (
E +B′
)−1
ψ (T ) +B′
(
E +B′
)−1
ψ (0) =
= B′
(
E +B′
)−1
Φx(0) (x (0) , x (T ))−
(
E +B′
)−1
Φx(T ) (x (0) , x (T )) . (17)
Доказательство. Пусть (u, [v]) , (u+ ū, [v + v̄]) ∈ U × Πp — два допустимых управления.
Тогда для приращения функционала (5) справедлива формула
J (u+ ū, [v + v̄])− J (u, [v]) =
=
〈
Φx(0) (x (0) , x (T )) , z (0)
〉
+
〈
Φx(T ) (x (0) , x (T )) , z (T )
〉
+ η, (18)
где
η =
〈
Φx(0) (x (0) , x (T )) , x̄ (0)− z (0)
〉
+
〈
Φx(T ) (x (0) , x (T )) , x̄ (T )− z (T )
〉
+
+Φ (x (0) + x̄ (0) , x (T ) + x̄ (T ))− Φ (x (0) , x (T ))−
−
〈
Φx(0) (x (0) , x (T )) , x̄ (0)
〉
−
〈
Φx(T ) (x (0) , x (T )) , x̄ (T )
〉
. (19)
К формуле (18) добавим нулевые слагаемые
T∫
0
〈
ψ (t) ,−dz
dt
+ fx(t, x(t), u (t))z (t) + fu (t, x (t) , u (t)) ū (t)
〉
dt,
〈λ, z(0) +Bz(T )〉 ,
где ψ (t) ∈ Lr
2 [0, T ] — пока произвольная функция, а λ ∈ Rn — произвольный числовой вектор.
После несложных преобразований для приращения функционала получаем формулу
J (u+ ū, [v + v̄])− J (u, [v]) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ . . . 845
=
p∑
i=0
ti+1∫
ti
〈
ψ̇ (t) +Hx (t, x (t) , u (t) , ψ (t)) , z (t)
〉
dt+
+
T∫
0
〈Hu (t, x (t) , u (t) , ψ (t)) , ū (t)〉 dt+
p∑
i=1
〈hivi (xi, vi) , v̄i〉+
+
〈
Φx(0) (x (0) , x (T )) + λ+ ψ (0) , z (0)
〉
+
+
〈
Φx(T ) (x (0) , x (T )) +B′λ− ψ (T ) , z (T )
〉
+
+
〈
∆ψ (ti) + I ′ix (x (ti) , vi)
(
I ′ix (x (ti) , vi) + E
)−1
ψ (ti) , z (ti)
〉
+ η, (20)
где H (t, x, u, ψ) = 〈ψ, f (t, x, u)〉, hi (xi, vi) = 〈ψ (ti) , Ii (xi, vi)〉. Теперь произвольную функ-
цию ψ (t) ∈ Lr
2 [0, T ] выбираем как решение дифференциально-разностного уравнения
ψ̇ (t) = −Hx (t, x (t) , u (t) , ψ (t)) , t 6= ti,
∆ψ (ti) = −I ′x (x (ti) , vi)
(
I ′x (x (ti) , vi) + E
)−1
ψ (ti) , i = 1, 2, ..., p,
которое совпадает с (14), (15), а числовой вектор λ ∈ Rn определяем из соотношений
Φx(T ) (x (0) , x (T )) +B′λ− ψ (T ) = 0, (21)
Φx(0) (x (0) , x (T )) + λ+ ψ (0) = 0. (22)
Замечание 2. Поскольку в краевых условиях (21), (22) содержится векторный параметр
λ ∈ Rn, система уравнений (14), (15), (21), (22) называется сопряженной системой в парамет-
рическом виде.
Здесь, учитывая условие 3, можно исключить неизвестный вектор λ ∈ Rn. Действительно,
из (21), (22) имеем
λ =
(
E +B′
)−1 [
ψ (T )− ψ (0)− Φx(T ) (x (0) , x (T ))− Φx(0) (x (0) , x (T ))
]
.
Найденное значение учтем в (21) или (22) и после несложных преобразований получим
(17). Из равенства (19) получаем оценку
|η| ≤
∣∣Φx(0) (x (0) , x (T ))
∣∣ |x̄ (0)− z (0)|+
+
∣∣Φx(T ) (x (0) , x (T ))
∣∣ |x̄ (T )− z (T )|+
+ |Φ (x (0) + x̄ (0) , x (T ) + x̄ (T ))− Φ (x (0) , x (T ))−
−
〈
Φx(0) (x (0) , x (T )) , x̄ (0)
〉
−
〈
Φx(T ) (x (0) , x (T )) , x̄ (T )
〉∣∣ .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
846 Я. А. ШАРИФОВ
Используя условия 1 – 3, 7 и леммы 1 и 2, из последнего неравенства находим
|η| ≤
[
(K4 +K5) c2 + c2
1 (K7 +K6)
] (
‖ū‖2 + ‖[v̄]‖2
)
.
Теорема 3 доказана.
5. Необходимые условия оптимальности. Имея формулы градиента для функционала
(5) при ограничениях (1) – (4), можно получить необходимые условия оптимальности в задаче
оптимального управления.
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для оптимальности управления
(u∗, [v]∗) ∈ U ×Πp в задаче (1) – (5) необходимо, чтобы выполнялось неравенство
T∫
0
〈Hu (t, x∗ (t) , u∗ (t) , ψ∗ (t)) , u (t)− u∗ (t)〉 dt+
+
p∑
i=1
〈hivi (xi∗, vi∗) , vi − vi∗〉 ≥ 0 (23)
для любого (u, [v]) ∈ U ×Πp, где x∗ (t) = x (t;u∗, [v]∗), ψ∗ (t) = ψ (t;u∗, [v]∗).
Доказательство. Множество U×Πp, определяемое равенством (4), выпукло в пространстве
L2 [0, T ]×Πp. Кроме того, согласно теореме 3 функционал J (u, [v]) дифференцируем по Фреше
на множестве U × Πp. Тогда в силу теоремы 3 из [10, с. 524] на элементе (u∗, [v]∗) ∈ U × Πp
необходимо выполнение неравенства 〈J ′ (u∗, [v]∗) , (u, [v])− (u∗, [v]∗)〉 ≥ 0 при всех (u, [v]) ∈
∈ U ×Πp. Отсюда и из (14) следует неравенство (23).
Теорема 4 доказана.
Из теоремы 4 вытекает следующее очевидное следствие.
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для оптимальности управления
(u∗, [v]∗) ∈ U ×Πp в задаче (1) – (5) необходимо, чтобы выполнялись неравенства
T∫
0
〈Hu (t, x∗ (t) , u∗ (t) , ψ∗ (t)) , u (t)− u∗ (t)〉 dt ≥ 0,
p∑
i=1
〈hivi (xi∗, vi∗) , vi − vi∗〉 ≥ 0
для любого (u, [v]) ∈ U ×Πp, где x∗ (t) = x (t;u∗, [v]∗) , ψ∗ (t) = ψ (t;u∗, [v]∗).
6. Заключение. Теорема 1 имеет вспомогательный характер и позволяет нелокальную кра-
евую задачу представить в виде интегрального уравнения, которое, в свою очередь, упрощает
исследования существование и единственности решения исходной краевой задачи. Теорема 2
дает достаточное условие существования и единственности решения краевой задачи (1) – (3)
при каждом фиксированном допустимом управлении.
Заметим, что в отличие от локальных краевых задач для нелокальных задач требуется ин-
дивидуальный подход, так как для них не существует общего подхода доказательства теорем о
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ . . . 847
существовании и единственности решений. Отметим, что из схемы доказательств теорем видно,
что данную схему можно успешно применять для более сложных задач оптимального управле-
ния с нелокальными условиями при импульсных воздействиях. Для численного решения задачи
(1) – (5) может быть использован метод штрафных функций в сочетании с градиентными мето-
дами [12].
1. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. – Киев: Вища
шк., 1987. – 287 с.
2. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. – М.: Мир, 1971. – 309 с.
3. Perestyk N. A., Plotnikov V. A., Samoilenko A. M., Skripnik N. V. Differential equations with impulse effect: multivalued
right-hand sides with discontinuities // DeGruyter Stud. Math. – Berlin: Walter de Gruter Co., 2011. – 40.
4. Samoilenko A. M., Perestyk N. A. Impulsive differential equations. – Singapore: World Sci., 1995.
5. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. – Singapore: World
Sci., 1989. – 434 p.
6. Benchohra M., Henderson J., Ntouyas S. K. Impulsive differential equations and inclusions // Contemp. Math. and
Appl. – New York: Hindawi Publ. Corporation, 2006. – 2.
7. Selvaraj B., Mallika Arjunan M., Kavitha V. Existence of solutions for impulsive nonlinear differential equations with
nonlocal conditions // J. KSIAM. – 2009. – 13, № 3. – P. 203 – 215.
8. Anguraj A., Mallika Arjunan M. Existence and uniqueness of mild and classical solutions of impulsive evolution
equations // Electon. J. Different. Equat. – 2005. – 2005, № 111. – P. 1 – 8.
9. Ji Sh., Wen Sh. Nonlocal Cauchy problem for impulsive differential equations in Banach spaces // Int. J. Nonlinear
Sci. – 2010. – 10, № 1. – P. 88 – 95.
10. Li M., Han M. Existence for neutral impulsive functional differential equations with nonlocal conditions // Indag.
Math. – 2009. – 20, №. 3. – P. 435 – 451.
11. Bin Liu, Xinzhi Lui, Xiaoxin Liao. Robust global exponential stability of uncertain impulsive systems // Acta Math.
Sci. – 2005. – 25, № 1. – P. 161 – 169.
12. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. – М.: Факториал Пресс, 2002. – 823 с.
Получено 06.06.11
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2012, т. 64, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-2621 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:27:00Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/be/861bfe3d25cefcbc2865be38e27c46be.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-26212020-03-18T19:30:57Z Optimality conditions in problems of control over systems of impulsive differential equations with nonlocal boundary conditions Условия оптимальности в задачах управления системами дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями при нелокальных краевых условиях Sharifov, Ya. A. Шарифов, Я. А. Шарифов, Я. А. We consider the problem of optimal control in which the state of the controlled system is described by impulsive differential equations under nonlocal boundary conditions, which is a natural generalization of the Cauchy problem. Using the principle of contracting mappings, we prove the existence and uniqueness of a solution of a nonlocal boundary-value problem with pulse action with fixed admissible controls. Under certain conditions for the initial data of the problem, we calculate the gradient of a functional and obtain necessary optimality conditions. Дослiджується задача оптимального керування, в якiй стан керованої системи описується диференцiальними рiвняннями з iмпульсними збуреннями при нелокальних крайових умовах. Спочатку з допомогою принципу стиснутих вiдображень доведено iснування та єдинiсть розв’язкiв нелокальної крайової задачi при iмпульсних збуреннях i фiксованих допустимих керуваннях. При деяких умовах на початковi данi задачi обчислено градiєнт функцiонала i встановлено необхiднi умови оптимальностi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2012-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2621 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 64 No. 6 (2012); 836-847 Український математичний журнал; Том 64 № 6 (2012); 836-847 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2621/2001 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2621/2002 Copyright (c) 2012 Sharifov Ya. A. |
| spellingShingle | Sharifov, Ya. A. Шарифов, Я. А. Шарифов, Я. А. Optimality conditions in problems of control over systems of impulsive differential equations with nonlocal boundary conditions |
| title | Optimality conditions in problems of control over systems of impulsive differential equations with nonlocal boundary conditions |
| title_alt | Условия оптимальности в задачах управления системами дифференциальных уравнений с импульсными воздействиями при нелокальных краевых условиях |
| title_full | Optimality conditions in problems of control over systems of impulsive differential equations with nonlocal boundary conditions |
| title_fullStr | Optimality conditions in problems of control over systems of impulsive differential equations with nonlocal boundary conditions |
| title_full_unstemmed | Optimality conditions in problems of control over systems of impulsive differential equations with nonlocal boundary conditions |
| title_short | Optimality conditions in problems of control over systems of impulsive differential equations with nonlocal boundary conditions |
| title_sort | optimality conditions in problems of control over systems of impulsive differential equations with nonlocal boundary conditions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/2621 |
| work_keys_str_mv | AT sharifovyaa optimalityconditionsinproblemsofcontroloversystemsofimpulsivedifferentialequationswithnonlocalboundaryconditions AT šarifovâa optimalityconditionsinproblemsofcontroloversystemsofimpulsivedifferentialequationswithnonlocalboundaryconditions AT šarifovâa optimalityconditionsinproblemsofcontroloversystemsofimpulsivedifferentialequationswithnonlocalboundaryconditions AT sharifovyaa usloviâoptimalʹnostivzadačahupravleniâsistemamidifferencialʹnyhuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmiprinelokalʹnyhkraevyhusloviâh AT šarifovâa usloviâoptimalʹnostivzadačahupravleniâsistemamidifferencialʹnyhuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmiprinelokalʹnyhkraevyhusloviâh AT šarifovâa usloviâoptimalʹnostivzadačahupravleniâsistemamidifferencialʹnyhuravnenijsimpulʹsnymivozdejstviâmiprinelokalʹnyhkraevyhusloviâh |